八年级数学(上册)专题突破平行线性质的综合应用折叠问题试题
(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40° 2．如图，//AB CD ，点E 在AC 上，110A ∠=︒，15D ∠=︒，则下列结论正确的个数是（ ） （1）AE EC =；（2）85AED ∠=︒；（3）A CED D ∠=∠+∠；（4）45BED ∠=︒A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在ABC 中，100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，D 是AB 上一点，将ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．55°4．在下列条件中：①A C B ∠=∠-∠，②::2:3:5A B C ∠∠∠=，③90A B ∠=︒-∠，④90B C ∠-∠=︒中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）A ．全等三角形的对应角相等；B ．同旁内角互补，两直线平行；C ．对顶角相等；D ．如果0,0a b >>，那么0a b +> 6．用反证法证明“m 为正数”时，应先假设（ ）．A ．m 为负数B ．m 为整数C ．m 为负数或零D ．m 为非负数7．下列命题是真命题的是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．同旁内角互补D ．相等的两个角是对顶角8．下列命题是真命题的是（ ）A ．相等的角是对顶角B ．内错角相等C ．任何非负数的算术平方根是非负数D ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离9．如图，//AB CD ，BE 交CD 于点F ，48B ∠=︒，20E ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）．A ．28B ．20C ．48D ．6810．下列说法：①同位角相等； ②任意三角形的三条中线交于一点；③钝角三角形只有一条高；④三角形的两边长分别为6和9，则这个三角形的第三边长不可能为16；⑤面积相等的两个三角形是全等图形；⑥两个直角一定互补其中，正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 11．下列说法正确的是（ ） A ．同位角相等B ．相等的角是对顶角C ．内错角相等，两直线平行D ．互补的两个角一定有一个锐角 12．在统一平面内有三条直线a 、b 、c ，下列说法：①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥，其中正确的是（ ）A ．只有①B ．只有②C ．①②都正确D ．①②都不正确二、填空题13．证明“若a b >，则22a b >．”是假命题，可举出反例：_________．14．下列说法中：（1）不相交的两条直线叫做平行线；（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（3）垂直于同一条直线的两直线平行；（4）直线//a b ，//b c ，则//a c ；（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的是________．15．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且76B ∠=︒，36C ∠=︒，则DAE ∠的度数为_________．16．如图，不添加辅助线，请写出一个能判定DE ∥BC 的条件___________.17．已知，如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若30ABC ∠=︒；60ACB ∠=︒，则DAE =∠__________．18．如图，BE 、CE 分别是△ABC 内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线，若∠A=70°，则∠BEC=___________．19．如图，△ABC 中,∠B=60°，∠C=80°，点D,E 分别在线段AB ，BC 上， 将△BDE 沿直线DE 翻折，使B 落在B′ 处, B′ D, B′E 分别交AC 于F,G. 若∠ADF=70°，则∠CGE 的度数为______.20．以下四个命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③数轴上的每一个点都表示一个实数；④如果点()P x,y 的坐标满足xy 0<，那么点 P 一定在第二象限．其中正确命题的序号为 ___．三、解答题21．如图，已知点E 在直线DC 上，射线EF 平分AED ∠，过E 点作EB EF ⊥，G 为射线EC 上一点，连接BG ，且90EBG BEG ︒∠+∠=．（1）求证：DEF EBG ∠=∠；（2）若EBG A ∠=∠，求证：//AB EF ．22．定义：一个三位数，如果它的各个数位上的数字互不相等且都不为0，同时满足十位上的数字为百位与个位数字之和，则称这个三位数为“西西数”．A 是一个“西西数”，从A 各数位上的数字中任选两个组成一个两位数，由此我们可以得到6个不同的两位数．我们把这6个数之和与44的商记为()h A ，如：132A =，133112212332(132)344h +++++==． （1）求()187h ，()693h 的值． （2）若A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =，求B A 的最大值． 23．如图，AB ∥CD ，点E 是CD 上一点，连结AE ．EB 平分∠AED ，且DB ⊥BE ，AF ⊥AC ，AF 与BE 交于点M ．（1）若∠AEC ＝100°，求∠1的度数；（2）若∠2＝∠D ，则∠CAE ＝∠C 吗？请说明理由．24．如图，AF 分别与BD 、CE 交于点G 、H ，155∠=︒，2125∠=︒．若A F ∠=∠，求证：C D ∠=∠．25．△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B ＝40°，∠C ＝60°，请说明∠DAE 的度数；（2）如图2（∠B ＜∠C ），试说明∠DAE 、∠B 、∠C 的数量关系；（3）如图3，延长AC 到点F ，∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G ，请直接写出∠G 的度数 ．26．如图，AB DB =，ABD ACD ∠=∠，AC 与BD 交于点F ，点E 在线段AF 上，AE DC =，6DBE ∠=︒，108BCD ∠=︒．（1）求证：BCD BEA ≅△△；（2）求AFD ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．【详解】∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∵△CDB′是由△CDB 翻折得到，∴∠CB′D ＝∠B ，∵∠CB′D ＝∠A ＋∠ADB′＝∠A ＋20°，∴∠A ＋∠A ＋20°＝90°，解得∠A ＝35°．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．B解析：B【分析】过点E 做直线EF 平行于直线AB ，然后根据同位角和同旁内角即可判断（2）和（3），其中（1）和（4）无法判断．【详解】过点E 做直线EF 平行于直线AB ，如下图所示，（1）无法判断；（2）∵AB//CD ，AB//EF∴EF//CD∴70AEF ∠=︒，15DEF ∠=︒∴85AED ∠=︒故（2）正确；（3）由（2）得A CEF CED DEF ∠=∠=∠+∠，DEF D ∠=∠∴A CED D ∠=∠+∠故（3）正确；（4）无法判断；故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，重点是做出辅助线，然后利用平行线的性质进行求解． 3．C解析：C【分析】先求出60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，得出ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒．【详解】∵100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，∴60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，∴ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】①因为∠A+∠B=∠C ，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC 是直角三角形；②因为∠A ：∠B ：∠C=2：3：5，设∠A=2x ，则2x+3x+5x=180，x=18°，∠C=18°×5=90°，所以△ABC 是直角三角形；③因为∠A=90°﹣∠B ，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC 是直角三角形；④因为∠B ﹣∠C=90°，则∠B=90°+∠C ，所以三角形为钝角三角形．所以能确定△ABC 是直角三角形的有①②③．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；理解三角形内若有一个内角为90°，则△ABC 是直角三角形．5．B解析：B【分析】先分别写出各命题的逆命题，再分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：A.全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等是假命题，所以A 选项不符合题意；B.同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补是真命题，所以B 选项符合题意；C.“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，所以C 选项不符合题意；D. 如果0,0a b >>，那么0a b +>的逆命题为如果0a b +>，那么0,0a b >>是假命题，所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．6．C解析：C【分析】根据反证法的性质分析，即可得到答案．【详解】用反证法证明“m 为正数”时，应先假设m 为负数或零故选：C ．【点睛】本题考查了反证法的知识，解题的关键是熟练掌握反证法的性质，从而完成求解． 7．A解析：A【分析】根据平行线的性质，全等三角形的性质，对顶角的性质等逐一对选项进行分析即可.【详解】A 选项中，两直线平行，同位角相等，说法正确，是真命题；B 选项中，一个三角形底为3，高为4，另一个三角形底为6，高为2，面积相等但不全等，是假命题；C 选项中，只有两直线平行时，同旁内角才互补，是假命题；D 选项中，相等的两个角不一定是对顶角，也可能是同位角，内错角等，是假命题. 故选：A.【点睛】本题主要考查真命题，会判断命题的真假是解题的关键.8．C解析：C【分析】根据对顶角的性质、平行线的性质、算术平方根的定义、点到直线距离的定义逐一分析即可．【详解】解：A ． 对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，该项为假命题；B ．两直线平行，内错角相等，该项为假命题；C ． 任何非负数的算术平方根是非负数，该项为真命题；D ． 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，该项为假命题； 故选：C ．【点睛】本题考查判断命题的真假，掌握对顶角的性质、平行线的性质、算术平方根的定义、点到直线距离的定义是解题的关键．9．A解析：A【分析】由//AB CD 和48B ∠=︒，可得到CFB ∠；再由对顶角相等和三角形内角和性质，从而完成求解．【详解】∵//AB CD∴180********CFB B ∠=-∠=-=∴132EFD CFB ∠=∠=∴1801801322028D EFD E ∠=-∠-∠=--=故选：A ．【点睛】本题考察了平行线和三角形内角和的知识；求解的关键是熟练掌握三角形内角和、平行线的性质，从而完成求解．10．B解析：B【分析】根据相关性质依次判定各个说法即可．【详解】①错误，仅当两直线平行时，同位角才相等；②正确，三角形的中线一定会交于一点；③错误，钝角三角形也有三条高，其中有两条高在三角形外部；④正确，三角形两边长分别为6和9，则3＜第三边长＜15；⑤错误，不可通过面积判定全等；⑥正确，两个直角相加为180°，互补故选：B ．【点睛】本题考查一系列性质，解题时需要注意一些性质或定理成立的前提条件，若遗失前提条件，则不成立．11．C解析：C【分析】直接利用平行线的性质、判定以及对顶角的定义、补角的特征分别判断得出答案．【详解】A 、两直线平行，同位才能角相等，此项错误；B 、相等的角不一定是对顶角，此项错误；C 、内错角相等，两直线平行，此项正确；D 、互补的两个角不一定有一个锐角，有可能是两个直角，此项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、判定以及对顶角的定义等，掌握平行线与相交线的相关知识是解题关键．12．A解析：A【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得①正确；根据应为同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得②错误．【详解】解：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，说法正确；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ，说法错误，应为同一平面内，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ； 故选：A ．【点睛】此题主要考查了平行公理和垂线，关键是注意同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．二、填空题13．答案不唯一例如当但【分析】可根据的正负性来考虑即可例如用来进行判断即可【详解】反例：取有但故答案为：但【点睛】本题考查了命题与定理举反例说明说明命题是假命题时在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选 解析：答案不唯一，例如当1,1,a b a b ==->，但22a b <【分析】可根据a 、b 的正负性来考虑即可，例如用1a =、1b =-来进行判断即可．【详解】反例：取1a =，1b =-，有a b >，但22a b =．故答案为：1a =，1b =-，a b >，但22a b =．【点睛】本题考查了命题与定理，举反例说明说明命题是假命题时，在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设要求，而不能满足命题的结论．14．（4）【分析】根据平行线的定义平行线的性质平行公理的推论解答【详解】（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线故该项错误；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行故该项错误；（3）在同一平 解析：（4）【分析】根据平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论解答．【详解】（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故该项错误；（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该项错误；（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故该项错误；（4）直线//a b ，//b c ，则//a c ，故该项正确；（5）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该项错误．故选：（4）．【点睛】此题考查判断语句，熟记平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论是解题的关键． 15．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°∠CAD=54°进而得出∠DAE 的度数进而得出答案【详解】∵ADAE 分别是△ABC 的高和角平分线且∠B=76°∠C=36°∴∠B解析：20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE 的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180763668︒-︒-︒=︒，∠BAD=9076︒-︒=14°，∠CAD=9036︒-︒=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故答案为：20°．【点睛】 本题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAD 和∠CAD 的度数是解题关键． 16．【分析】根据平行线的判定进行分析可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论【详解】∵DE和BC被AB所截∴当时AD∥BC（内错角相等两直线平行）故答案为【点睛】此题考查平行线的性质难度不大解析：DAB B∠=∠【分析】根据平行线的判定进行分析，可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论．【详解】∵DE和BC被AB所截，∴当DAB B∠=∠时,AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.故答案为DAB B∠=∠【点睛】此题考查平行线的性质，难度不大17．15°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC再根据角平分线的定义求出∠BAE根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可得解【详解】解：∵∠ABC=3解析：15°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC,再根据角平分线的定义求出∠BAE,根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD,然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可得解．【详解】解：∵∠ABC=30°,∠ACB=60°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-60°=90°,∵AE是三角形的平分线,∴∠BAE=12∠BAC=12×90°=45°,∵AD是三角形的高,∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-45°=15°．故答案为:15．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理,三角形的角平分线的定义,高线的定义, 熟记定理与概念并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键．18．35°【分析】根据角平分线的定义可得出再根据外角的性质可得与通过角度的计算可得出答案【详解】解：∵BECE分别是△ABC内角∠ABC和外角∠ACD 的平分线∴又∵∠ACD是△ABC的外角∴∴∵∠ECD解析：35°【分析】根据角平分线的定义，可得出12EBC ABC∠=∠，12ECD ACD∠=∠，再根据外角的性质可得ACD A ABC ∠=∠+∠与ECD BEC EBC ∠=∠+∠，通过角度的计算可得出答案．【详解】解：∵BE 、CE 分别是△ABC 内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线， ∴12EBC ABC ∠=∠，12ECD ACD ∠=∠， 又∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴ACD A ABC ∠=∠+∠， ∴A ACD ABC ∠=∠-∠∵∠ECD 是△BCE 的外角，∴ECD BEC EBC ∠=∠+∠∴1111()2222ECD EBC ACD ABC ACD E ABC A B C ∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠∠=， ∵∠A=70°， ∴1352A BEC ∠∠==︒， 故答案为：35°．【点睛】 本题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质进行角度的计算是解题的关键．19．500【分析】连接BB 由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DBE=60°再根据三角形外角性质即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°进而得出∠CEG=50°再根据三角形内角和定理即可得到△C解析：500【分析】连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，再根据三角形外角性质，即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，进而得出∠CEG=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到△CEG 中，∠CGE=180°-50°-80°=50°．【详解】如图，连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，∵∠ADF 是△BDB'的外角，∠CEG 是△BEB'的外角，∴∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，又∵∠ADF=70°，∴∠CEG=50°，又∵∠C=80°，∴△CEG 中，∠CGE=180°-50°-80°=50°，故答案为50°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理的运用；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．20．①③【分析】依次分析判断即可得到答案【详解】①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直故该项正确；②两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补故该项错误；③数轴上的每一个点都表示一个实数故该项正 解析：①③【分析】依次分析判断即可得到答案.【详解】①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该项正确；②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故该项错误；③数轴上的每一个点都表示一个实数，故该项正确；④如果点()P x,y 的坐标满足xy 0<，则x 与y 异号，那么点P 在第二或第四象限，故该项错误；故答案为：①③.【点睛】此题考查命题的正确与否，正确掌握各知识点并熟练运用解题是关键.三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意得到90FEB ∠=︒，再根据等量代换的方法求解即可；（2）通过已知条件证明A AEF ∠=∠，即可得到结果；【详解】（1）∵EB EF ⊥，∴90FEB ∠=︒，∴1809090DEF BEG ∠+∠=︒-︒=︒．又∵90EBG BEG ︒∠+∠=，∴DEF EBG ∠=∠．（2）∵EF 平分AED ∠，∴AEF DEF ∠=∠．∵EBG A ∠=∠，DEF EBG ∠=∠，∴A DEF ∠=∠．又∵DEF AEF ∠=∠，∴A AEF ∠=∠，∴//AB EF ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，结合角平分线的性质和垂直的性质证明是解题的关键． 22．（1）8,9；（2）671.154B A 【分析】（1）根据新定义的法则进行运算即可得到答案；（2）先由（1）的运算发现并总结规律，可得()h A 的值等于A 的十位数字，再运用规律结合()()35h A h B =进行合理的分类讨论，分4种情况：()()5,7h A h B ==或()()7,5,h A h B == ()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==，再根据新定义可得答案．【详解】解：（1）由定义可得：()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++== （2）探究： 133112212332(132)344h +++++==， ()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++==发现并总结规律：()h A 的值等于A 的十位数字，A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =， ()()5,7h A h B ∴==或()()7,5,h A h B ==而()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==不合题意舍去，B A的值最大，则B 最大，A 最小， ()()5,7,h A h B ∴==当()5h A =时，154A =或451A =或253A =或352A =，当()7h B =时，671B =或176B =或572B =或275B =或374B =或473.B =A ∴最小为154，B 最大为671， 此时B A 的值最大为 671.154B A 【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查了规律探究，弄懂新定义的运算法则，理解并运用规律，掌握合理的分类讨论是解题的关键．23．（1）40°；（2）∠CAE ＝∠C ，理由见解析．【分析】（1）根据邻补角的定义可求∠AED ，再根据角平分线的定义和平行线的性质可求∠1的度数；（2）根据三角形内角和定理可求∠BED ＝∠C ，根据平行线的判定可知AC ∥BE ，根据平行线的性质可得∠CAE ＝∠AEB ，根据角平分线的定义和等量关系即可求解．【详解】（1）∵∠AEC ＝100°，∴∠AED ＝80°，∵EB 平分∠AED ，∴∠BED ＝40°，∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠BED ＝40°；（2）∵DB ⊥BE ，AF ⊥AC ，∴∠EBD ＝∠CAF ＝90°，∵∠2＝∠D ，∴∠BED ＝∠C ，∴AC ∥BE ，∴∠CAE ＝∠AEB ，∵EB 平分∠AED ，∴∠AEB ＝∠BED ，∴∠CAE ＝∠C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，邻补角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理．熟悉相应的性质和定义是解答本题的关键．24．见详解【分析】根据平行线的判定与性质进行推理论证即可．【详解】证明：∵∠2＋∠AHC ＝180°，∴∠AHC ＝180°−∠2＝180°−125°＝55°，∴∠AHC ＝∠1＝55°，∴BD ∥CE （同位角相等，两直线平行），∴∠ABD ＝∠C （两直线平行，同位角相等），∵∠A ＝∠F （已知），∴AC ∥DF （内错角相等，两直线平行），∴∠ABD ＝∠D （两直线平行，内错角相等），∴∠C ＝∠D （等量代换）；【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．25．（1）∠DAE ＝10°；（2）∠DAE ＝12∠C ﹣12∠B ；（3）45°． 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得80BAC ∠=︒、30CAE ∠=︒，再根据角平分线的定义得到40CAD ∠=︒，最后根据角的和差解答即可；（2）先根据三角形的内角和定理求得180BAC B C ∠=︒-∠-∠、90CAE C ∠=︒-∠，再根据角平分线的定义得到12CAD BAD BAC ∠=∠=∠，然后根据角的和差表示出来即可；（3）先根据角平分线的定义得到2,2CAE CAG FCB FCG ∠=∠∠=∠，再结合三角形外角的性质得到2AEC G ∠=∠，然后根据题意得到90AEC ∠=︒，最后算出∠G 即可．【详解】解：（1）40,60,180B C BAC B C ∠=︒∠=︒∠+∠+∠=︒80BAC ∴∠=︒AE ∵是ABC ∆的高，90,AEC ∴∠=︒60,C ∠=︒906030CAE ∴∠=︒-︒=︒ AD 是BAC ∠的角平分线，1402CAD BAD BAC ∴∠=∠=∠=︒， 10DAE CAD CAE ∴∠=∠-∠=︒．（2）180,BAC B C ∠+∠+∠=︒180BAC B C ∴∠=︒-∠-∠AE ∵是ABC ∆的高，90,AEC ∴∠=︒90CAE C ∴∠=︒-∠ AD 是BAC ∠的角平分线，12CAD BAD BAC ∴∠=∠=∠， ()1902DAE CAD CAE BAC C ∴∠=-∠=∠-︒-∠ ()1180902C C =︒-∠B -∠-︒+∠ 1122C B =∠-∠ 即1122DAE C B ∠=∠-∠； （3）CAE ∠和BCF ∠的角平分线交于点G ，2,2CAE CAG FCB FCG ∴∠=∠∠=∠,CAE FCB AEC CAG FCG G ∠=∠-∠∠=∠-∠()2222FCG AEC FCG G FCG G ∴∠-∠=∠-∠=∠-∠，即2AEC G ∠=∠， AE ∵是ABC ∆的高，90AEC ∴∠=︒，45G ∴∠=︒．故答案为：45°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．26．（1）见解析；（2）78︒【分析】（1）根据ABD ACD ∠=∠，AFB CFD ∠=∠得出D A ∠=∠，然后利用SAS 即可证明三角形全等；（2）由（1）可知BCD BEA ∆≅∆，由题意知108BCD ∠=︒，即可得出 BEF ∠的度数，然后由AFD BEF DBE ∠=∠+∠求值即可；【详解】解：（1）证明：ABD ACD ∠=∠，AFB CFD ∠=∠，D A ∴∠=∠．在BCD ∆和BEA ∆中，CD EA D A BD BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCD BEA SAS ∴∆≅∆．（2）BCD BEA ∆≅∆，108BCD ∠=︒，108BEA BCD ∴∠=∠=︒，18010872BEF ∴∠=︒-=︒．6DBE ∠=︒，72678AFD BEF DBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的内角和，正确理解知识点是解题的关键；。
八年级数学下册专题课堂十平行四边形中的折叠问题作业新版新人教版
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB， 由 折叠 的性 质 得： ∠E B D＝∠A B D， ∴∠A B D＝∠CDB ＝ ∠E B D， ∵∠1＝ ∠CDB ＋ ∠EBD＝56°，∴∠ABD＝∠CDB＝28°，∵AD∥BC，∠ABC＝70°，∴∠A ＝180°－ ∠ABC＝180°－70°＝110°，∴∠2＝180°－∠ABD－∠A＝180°－28°－110°＝42°
四、正方形的折叠 【例 4】如图，四边形 ABCD 为正方形，点 E 是 BC 的中点，将正方形 ABCD 沿 AE 折叠，得到点 B 的对应点为点 F，延长 EF 交线段 DC 于点 P，若 AB＝6，求 DP 的长． 分析：由正方形的性质和折叠的性质可证明 Rt△AFP≌Rt△ADP，所以 PF＝PD， 设 PF＝PD＝x，由勾股定理列方程求出 x 即可．
设 AE＝x，由折叠可知，EC＝AE＝x，DE＝3－x，在 Rt△AGE 中，由勾股定理
得：AG2＋GE2＝AE2，即 12＋(1＋3－x)2＝x2，解得 x＝17 ；在 Rt△AGC 中，由勾股 8
定理得：AC＝ AG2＋GC2 ＝ 12＋（1＋3）2 ＝ 17 ，∵EF⊥AC，根据菱形 AECF
【对应训练】 2．(2023·牡丹江)在以“ 矩形的折叠” 为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下 操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法 折出一个正方形 ABEF，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点 C 恰好落在点 F 处，得到折痕 MN，如图②. 根据以上的操作，若 AB＝8，AD＝12，则线段 BM 的长是( C ) A．3 B． 5 C．2 D．1
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠EFC＝∠AEF， 由折叠，得∠EFC＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF＝5，由折叠得，FC＝AF， OA＝OC，∴BC＝3＋5＝8，在 Rt△ABF 中，AB＝ 52－32 ＝4，在 Rt△ABC 中，AC ＝ 42＋82 ＝4 5
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《7-4平行线的性质》优生辅导练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《7.4平行线的性质》优生辅导练习题（附答案）一．选择题1．如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠AEC＝50°，则∠B的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°2．如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（）A．α，β的角度数之和为定值B．α，β的角度数之积为定值C．β随α增大而增大D．β随α增大而减小3．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（）A．114°B．142°C．147°D．156°4．如图，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，给出下列结论：①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC＝50°，∠1＝∠2，则下列结论：①CB⊥CF，②∠1＝65°，③∠ACE＝2∠4，④∠3＝2∠4．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④6．如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE＝45°，∠ACB＝∠DAE，则∠ACD的度数是（）A．18°B．27°C．30°D．45°7．如图①，有一个长方形纸条ABCD，AB∥CD，AD∥BC．如图②，将长方形ABCD沿EF折叠，ED与BF交于点G，如图③，将四边形CDGF沿GF向上折叠，DG与EF交于点H，若∠GEF＝16°，则∠DHF的度数为（）A．32°B．48°C．60°D．64°8．如图，m∥n∥l，一块三角板按图所示摆放，则下列结论正确的有（）①∠1+∠2＝90°；②∠3+∠4＝∠5；③∠5+∠6−∠1＝90°；④∠5+∠6＝∠2+2∠4．A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④二．填空题9．如图，ABCD为一长条形纸带，AD∥CB，将ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C′、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为．10．如图，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若x＝50°，y＝30°，则z度数为．11．已知∠α的两边与∠β的两边分别平行，且∠α的度数比∠β的度数的一半多30度，则∠α为度．12．如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝．13．如图，已知∠ABD＝∠PCE，AB∥CD，∠AEC的角平分线交直线CD于点H，∠AFD ＝86°，∠H＝22°，∠PCE＝°．14．如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC ＝63°，则∠BAF的度数为．15．如图所示，△ABC中∠C＝60°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝度．16．如图，已知CD∥AB，∠MFN＝α，∠4＝∠CMF，∠5＝∠BNF，则∠H﹣∠I的值为（用α表示）．三．解答题17．已知：如图EF∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）试说明GD∥CA；（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．18．如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°．求证：（1）EH∥AD；（2）∠BAD＝∠H．19．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．（1）求证：DE∥BC；（2）若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．20．如图，已知AB∥CD∥EF．（1）∠x＝60°，∠y＝150°，求∠z的度数．（2）猜想∠x、∠y、∠z三者之间的关系并加说明．21．已知直线BC∥ED．（1）如图1，若点A在直线DE上，且∠B＝44°，∠EAC＝57°，求∠BAC的度数；（2）如图2，若点A是直线DE的上方一点，点G在BC的延长线上，求证：∠ACG＝∠BAC+∠ABC；（3）如图3，FH平分∠AFE，CH平分∠ACG，且∠FHC比∠A的2倍少60°，直接写出∠A的度数．22．如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上．（1）若∠1＝23°，∠2＝34°，则∠3＝；（2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由；（3）应用（2）中的结论解答下列问题：已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°．①如图2，当点B在点A的右侧时，求∠AEC的度数；②如图3，当点B在点A的左侧时，直接写出∠AEC的度数．参考答案一．选择题1．解：∵BE⊥AF，∴∠BEF＝90°，∵∠DEF＝∠AEC＝50°，∴∠BED＝40°，∵CD∥AB，∴∠B＝∠DEB＝40°，故选：A．2．解：过C点作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠α＝∠BCF，∠β+∠DCF＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCF+∠DCF＝90°，∴∠α+180°﹣∠β＝90°，∴∠β﹣∠α＝90°，∴β随α增大而增大，故选：C．3．解：∵∠1＝24°，CE⊥直线c于点E，∴∠EAC＝90°﹣∠1＝90°﹣24°＝66°，∵a∥b，∴∠EAC＝∠ABD＝66°，∵∠ABD的平分线交直线a于点C，∴∠CBD＝，∴∠2＝180°﹣∠CBD＝180°﹣33°＝147°，故选：C．4．解：∵GH∥BC，∴∠1＝∠HGF，∠B＝∠AGH，故①正确；∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGF，∴DE∥GF，∴∠D＝∠DMF，根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故③错误；∵DE∥GF，∴∠F＝∠AHE，∵∠D＝∠1＝∠2，∴∠2不一定等于∠AHE，故④错误；∵GF⊥AB，GF∥HE，∴HE⊥AB，故②正确；即正确的个数是2，故选：B．5．解：∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∴∠ACB＝1/2∠ACD，∠ACF＝1/2∠ACG，∵∠ACG+∠ACD＝180°，∴∠ACF+∠ACB＝90°，∴CB⊥CF，故①正确，∵CD∥AB，∠BAC＝50°，∴∠ACG＝50°，∴∠ACF＝∠4＝25°，∴∠ACB＝90°﹣25°＝65°，∵CD∥AB，∴∠2＝∠BCD＝65°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝65°，故②正确；∵∠BCD＝65°，∴∠ACB＝65°，∵∠1＝∠2＝65°，∴∠3＝50°，∴∠ACE＝15°，∴③∠ACE＝2∠4错误；∵∠4＝25°，∠3＝50°，∴∠3＝2∠4，故④正确，故选：B．6．解：设∠DAE＝α，则∠EAF＝α，∠ACB＝α，∵AD⊥PQ，AF⊥AB，∴∠BAF＝∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠BAF+∠EAF＝90°+α，∠CEA＝∠ADE+∠DAE＝90°+α，∴∠BAE＝∠CEA，∵MN∥PQ，BC平分∠ABM，∴∠BCE＝∠CBM＝∠CBA，又∵∠ABC+∠BCE+∠CEA+∠BAE＝360°，∴∠BCE+∠CEA＝180°，∴AE∥BC，∴∠ACB＝∠CAE，即α＝45°，∴α＝18°，∴Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣（45°+18°）＝27°，故选：B．7．解：因为AB∥CD，将长方形ABCD沿EF折叠，ED与BF交于点G，∠GEF＝16°，所以∠BFE＝∠GEF＝16°，∠EGF＝180°﹣16°×2＝146°，所以∠DGF＝180°﹣∠EGF＝32°，所以∠DHF＝∠BFE+∠DGF＝48°，故选：B．8．解：如图，由题意可知：∠3＝30°，∠6＝60°，∠4+∠7＝90°，∵m∥n，∴∠1＝∠4，∵l∥n，∴∠2＝∠7，∵∠4+∠7＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故①正确；∵l∥n，∴∠5＝∠8，∵∠8＝∠3+∠4，∴∠5＝∠3+∠4，故②正确；∵∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝180°﹣∠2，∴∠5+∠6﹣∠1＝90°，故③正确；∵∠2＝∠7，∠4+∠7＝90°，∴∠2+∠4＝90°，∴2（∠2+∠4）＝180°，∵∠5+∠6＝180°﹣∠2，∴∠5+∠6＝2（∠2+∠4）﹣∠2，即∠5+∠6＝∠2+2∠4，故④正确．所以正确的结论有：①②③④．故选：D．二．填空题9．解：由翻折的性质可知：∠DEF＝∠FED′，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠1，∵∠1＝2∠2，∴设∠2＝x，则∠DEF＝∠1＝∠FED′＝2x，∵∠2+∠DEF+∠D'EF＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠AEF＝∠2+∠D'EF＝x+2x＝3x＝108°，故答案为：108°．10．解：如图所示，延长AB交DE于H，∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠AHE＝x，∵CD∥EF，AB∥EG，∴∠D＝∠DEF＝z，∠AHE＝∠DEG＝z+y，∴∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，∴z＝x﹣y＝50°﹣30°＝20°．故答案为：20°．11．解：∵∠α的度数比∠β的度数的一半多30度，∴∠α＝∠β+30°，①当∠α＝∠β时，得：∠β+30°＝∠β，解得：∠β＝60°，∴∠α＝×60°+30°＝60°；②∴当∠α+∠β＝180°时，∴∠β+30°+∠β＝180°，解得：∠β＝100°，∴∠α＝×100°+30°＝80°，故答案为：60或80．12．解：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠AEF＝180°，∠D＝∠FED，∴∠AEF＝180°﹣130°＝50°，∠FED＝20°，∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝50°+20°＝70°．即β＝70°．故答案为：70°．13．解：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠PDB，∵∠ABD＝∠PCE，∴∠PDB＝∠PCE，∴BD∥CE，∴∠CEG＝∠DGH，∵EH平分∠AEC，∴∠CEH＝∠AEH，∵∠DGH＝∠EGF，∴∠EGF＝∠GEF，∵∠AFD＝∠AEG+∠EGF＝2∠EGF＝86°，∴∠EGF＝43°，∴∠DGH＝43°，∴∠PCE＝∠PDG＝∠H+∠DGH＝65°，故答案为：65．14．解：延长AE交CD于点H，延长AF交CD于点G，设∠BAE＝x，∠FCG＝y，∵AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，∴∠BAF＝2∠BAE＝2x，∠ECG＝2∠FCG＝2y，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AGC＝2x，∠BAH＝∠AHC＝x，∵∠AEC是△EHC的一个外角，∴∠AEC＝∠AHC+∠ECG＝x+2y，∵∠AFC是△GCF的一个外角，∴∠AFC＝∠AGC+∠FCG＝2x+y，∵∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，∴，解得：，∴∠BAF＝46°，故答案为：46°．15．解：∵A'D∥BC∴∠CBA′＝∠A′．∵△ABD沿BD翻折得△A'BD，∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD．∵∠A＝∠ABD，∴∠CBA′＝∠A′BD＝∠ABD＝∠A．∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+3∠A＝120°．∴∠A＝30°．∴∠ABC＝90°．故答案为：90．16．解：过H作HG∥CD，过F作FG∥CD，过I作IK∥CD，如图：∵CD∥AB，∴CD∥EF∥HG∥IK∥AB，∴∠4＝∠MHG，∠5＝∠KIN，∵∠H＝∠MHG+∠GHI，∠I＝∠HIK+∠KIN，∴∠H﹣∠I＝∠MHG+∠GHI﹣（∠HIK+∠KIN）＝∠4﹣∠5＝∠CMF﹣∠BNF＝（∠CMF﹣∠BNF），又∵∠CMF+∠MFE＝180°，∠BNF＝∠EFN，∠MFN＝∠MFE+∠EFN＝α，∴（∠CMF﹣∠BNF）＝（180°﹣α）＝60°﹣α．故答案为：60°﹣α．三．解答题17．解：（1）∵EF∥CD∴∠1+∠ECD＝180°又∵∠1+∠2＝180°∴∠2＝∠ECD∴GD∥CA（2）由（1）得：GD∥CA，∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2，∵DG平分∠CDB，∴∠2＝∠BDG＝40°，∴∠ACD＝∠2＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．18．证明：（1）∵∠CDG＝∠B，∴DG∥AB，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠FEA＝180°，∴∠BAD+∠FEA＝180°，∴EH∥AD；（2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD，∴∠1＝∠H，∴∠BAD＝∠H．19．（1）证明：∵∠DFE+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，∴∠DFE＝∠3，∴BD∥EF，∴∠1＝∠ADE，∵∠1＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC；（2）解：由（1）知，∠ADE＝∠B，BD∥EF，∴∠2＝∠ADC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，∵∠3+∠ADC＝180°，∠3＝3∠B，∴3∠B+2∠B＝180°，解得：∠B＝36°，∴∠ADC＝72°，∴∠2＝72°．20．解：（1）∵CD∥EF，∠y＝150°，∴∠CEF＝180°﹣∠y＝30°，∵AB∥EF，∴∠x＝∠AEF＝∠z+∠CEF，∵∠CEF＝30°，∠x＝60°，∴∠z+30°＝60°，∴∠z＝30°，∴∠z的度数为30°；（2）∠x+∠y﹣∠z＝180°，理由如下：由（1）可知，∠CEF＝180°﹣∠y，∠x＝∠AEF＝∠z+∠CEF，即∠CEF＝∠x﹣∠z，∴180°﹣∠y＝∠x﹣∠z，整理得：∠x+∠y﹣∠z＝180°．21．解：（1）∵BC∥ED，∠B＝44°，∴∠DAB＝∠B＝44°，∵∠BAC＝180°﹣∠DAB﹣∠EAC∴∠BAC＝180°﹣44°﹣57°＝79°．（2）过点A作MN∥BG，∴∠ACG＝∠MAC，∠ABC＝∠MAB而∠MAC＝∠MAB+∠BAC∴∠ACG＝∠MAB+∠BAC＝∠ABC+∠BAC．（3）如图，设AC与FH交于点P∵FH平分∠AFE，CH平分∠ACG∴∠AFH＝∠EFH＝∠AFE，∠ACH＝∠HCG＝∠ACG ∵BC∥ED∴∠AFE＝∠B∴∠AFH＝∠B∵∠A+∠B＝∠ACG∴∠ACH＝∠ACG＝∠A+∠B在△APF和△CPH中∵∠APF＝∠CPH∴∠A+∠B＝∠A+∠B+∠FHC∴∠FHC＝∠A∵∠FHC＝2∠A﹣60°∴∠A＝2∠A﹣60°∴∠A＝40°．22．解：（1）∵直线l1∥l2，∴∠ACD+∠CDB＝180°，即∠1+∠2+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠1﹣∠2又∵在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠3＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣（180°﹣∠1﹣∠2）＝∠1+∠2；∵∠1＝23°，∠2＝34°，∴∠3＝23°+34°＝57°，故答案为：57°；（2）∠3＝∠1+∠2，理由：∵直线l1∥l2，∴∠ACD+∠CDB＝180°，即∠1+∠2+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠1﹣∠2又∵在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠3＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣（180°﹣∠1﹣∠2）＝∠1+∠2；（3）①过E点作EF∥l1∥l2，∴∠AEF＝∠EAB，∠FEC＝∠ECD，∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠EAB+∠ECD，∵l1∥l2，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°，∴∠BAD＝∠β＝32°，∠BCD＝∠α＝74°，∴∠EAB＝∠BAD＝×32°＝16°，∠ECD＝∠BCD＝×74°＝37°，∴∠AEC＝∠EAB+∠ECD＝16°+37°＝53°；∴∠AEC的度数为53°；②∠AEC的度数为：143°；过E点作EF∥l1∥l2，∴∠AEF＝180°﹣∠EAB，∠FEC＝∠ECD，∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD，∵l1∥l2，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°，∴∠BAD＝180°﹣∠β＝180°﹣32°＝148°，∠BCD＝∠α＝74°，∴∠EAB＝∠BAD＝×148°＝74°，∠ECD＝∠BCD＝×74°＝37°，∴∠AEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD＝180°﹣74°+37°＝143°，∴∠AEC的度数为143°．。
(专题精选)初中数学相交线与平行线难题汇编及解析
（专题精选）初中数学相交线与平行线难题汇编及解析一、选择题1．如图，直线a∥b，直角三角开的直角顶点在直线b上，一条直角边与直线a所形成的∠1=55°，则另外一条直角边与直线b所形成的∠2的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】C【解析】如图所示：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=55°，∵∠4=90°，∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2=180°-55°-90°=35°．故选C．2．如图所示，有下列五种说法：①∠1和∠4是同位角；②∠3和∠5是内错角；③∠2和∠6旁内角；④∠5和∠2是同位角；⑤<1和∠3是同旁内角；其中正确的是（）A．①②③④B．①②③④C．①②③④⑤D．①②④⑤【答案】D【解析】如图，①∠1和∠4是直线AC和直线BC被直线AB截得的同位角，所以①正确；②∠3和∠5是直线BC 和直线AB 被直线AC 截得的内错角，所以②正确；③∠2和∠6是直线AB 和直线AC 被直线CB 截得的内错角，所以③错误；④∠5和∠2是直线AC 和直线BC 被直线AB 截得的同位角，所以④正确；⑤∠1和∠3是直线BC 和直线AB 被直线AC 截得的同旁内角，所以⑤正确.故答案选D.点睛：（1）准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清两角是由哪两条直线被哪条直线截得，这其中的关键是辨别出截线，在截线的两旁的是内错角，在截线的同旁的为同位角或同旁内角；（2）辨别截线方法：先找出两角的边所在直线，公共直线即是截线.3．如图，下列能判定AB CD ∥的条件有（ ）个．（1）180B BCD ∠+∠=︒； （2）12∠=∠；（3）34∠=∠； （4）5B ∠=∠．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定定理依次判断即可.【详解】∵180B BCD ∠+∠=︒，∴AB ∥CD ，故（1）正确；∵12∠=∠，∴AD ∥BC ，故（2）不符合题意；∵34∠=∠，∴AB ∥CD ，故（3）正确；∵5B ∠=∠，∴AB ∥CD ，故（4）正确；故选：C.【点睛】此题考查平行线的判定定理，熟记定理及两个角之间的位置关系是解题的关键.4．如图，能判定EB ∥AC 的条件是（ ）A ．∠C ＝∠ABEB ．∠A ＝∠EBDC ．∠C ＝∠ABCD ．∠A ＝∠ABE【答案】D【解析】【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【详解】A 、∠C ＝∠ABE 不能判断出EB ∥AC ，故A 选项不符合题意；B 、∠A ＝∠EBD 不能判断出EB ∥AC ，故B 选项不符合题意；C 、∠C ＝∠ABC 只能判断出AB ＝AC ，不能判断出EB ∥AC ，故C 选项不符合题意；D 、∠A ＝∠ABE ，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB ∥AC ，故D 选项符合题意． 故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．5．如图，点,D E 分别在BAC ∠的边,AB AC 上，点F 在BAC ∠的内部，若1,250F ︒∠=∠∠=，则A ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．40︒C ．45︒D ．130︒【答案】A【解析】【分析】 利用平行线定理即可解答.【详解】解：根据∠1=∠F ，可得AB//EF ，故∠2=∠A=50°.故选A.【点睛】本题考查平行线定理：内错角相等，两直线平行.6．如图，将一张矩形纸片折叠，若170∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．65︒B ．55︒C ．70︒D ．40︒【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠3=170∠=︒，得到∠2+∠4=110°，由折叠得到∠2=∠4即可得到∠2的度数.【详解】∵a ∥b ，∴∠3=170∠=︒，∴∠2+∠4=110°，由折叠得∠2=∠4,∴∠2=55︒，故选：B.【点睛】此题考查平行线的性质，折叠的性质.7．已知△ABC 中，BC=6，AC=3，CP ⊥AB ，垂足为P ，则CP 的长可能是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．7【答案】A【解析】试题分析：如图，根据垂线段最短可知：PC ＜3，∴CP 的长可能是2，故选A ．考点：垂线段最短．8．一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CED＝50°，那么∠BAF＝（）A．10°B．50°C．45°D．40°【答案】A【解析】【分析】先根据∠CED＝50°，DE∥AF，即可得到∠CAF＝50°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．【详解】∵DE∥AF，∠CED＝50°，∴∠CAF＝∠CED＝50°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°，故选：A．【点睛】此题考查平行线的性质，几何图形中角的和差关系，掌握平行线的性质是解题的关键. 9．如图，11∥l2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为()A．50°B．55°C．65°D．70°【答案】B【解析】【分析】如图，延长l2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．【详解】如图，延长l2，交∠1的边于一点，∵11∥l2，∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．10．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AE的是（）A．∠D＝∠DCE B．∠D＋∠ACD＝180° C．∠1＝∠2 D．∠3＝∠4【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定方法逐项进行分析即可得.【详解】A.由∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意；B. 由∠D＋∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意；C.由∠1＝∠2可判定AB//CD，不能得到BD//AE，故符合题意；D.由∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键.11．如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（）A．34°B．56°C．66°D．54°【答案】B【解析】试题分析：∵AB ∥CD ，∴∠D=∠1=34°，∵DE ⊥CE ，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．故选B ．考点：平行线的性质．12．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A 是72°，第二次拐弯处的角是∠B ，第三次拐弯处的∠C 是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B 等于( )A ．81°B ．99°C ．108°D ．120°【答案】B【解析】 试题解析：过B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴BD ∥CF ，∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o，∵153C ∠=o ，∴27DBC ∠=o ，则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.13．如图，四边形ABCD 中，//,,AB CD AD CD E F =、分别是AB BC 、的中点，若140,∠=︒则D ∠=（ ）A．40︒B．100︒C．80︒D．110︒【答案】B【解析】【分析】利用E、F分别是线段BC、BA的中点得到EF是△BAC的中位线，得出∠CAB的大小，再利用CD∥AB得到∠DCA的大小，最后在等腰△DCA中推导得到∠D.【详解】∵点E、F分别是线段CB、AB的中点，∴EF是△BAC的中位线∴EF∥AC∵∠1=40°，∴∠CAB=40°∵CD∥BA∴∠DCA=∠CAB=40°∵CD=DA∴∠DAC=∠DCA=40°∴在△DCA中，∠D=100°故选：B【点睛】本题考查中位线的性质和平行线的性质，解题关键是推导得出EF是△ABC的中位线.14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解析】【分析】已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°，∴∠BDC ＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵DE ∥AB ，∴∠EDB ＝∠ABD ＝36°，∴∠EDC ＝72°﹣36°＝36°，∴∠DEC ＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠A ＝∠ABD ，∠DBE ＝∠BDE ，∠DEC ＝∠C ，∠BDC ＝∠C ，∠ABC ＝∠C ，∴△ABC 、△ABD 、△DEB 、△BDC 、△DEC 都是等腰三角形，共5个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是解题的关键．15．如图//,AB CD EG EH FH ，、、分别平分,,,CEF DEF EFB ∠∠∠则图中与BFH ∠相等的角（不含它本身）的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】【分析】 先根据平行线的性质得到CEF EFB ∠=∠，CEG EGB ∠=∠，再利用把角平分线的性质得到CEG FEG EFH BFH ∠=∠=∠=∠，最后对顶角相等和等量替换得到答案.【详解】解：如图，做如下标记，∵//AB CD ，∴,CEF EFB ∠=∠CEG EGB ∠=∠（两直线平行，内错角相等），又∵EG 、FH 分别平分,,CEF EFB ∠∠∴CEG FEG EFH BFH ∠=∠=∠=∠,又∵CEG NEG ∠=∠，FEG MEN ∠=∠，EGB AGP ∠=∠（对顶角相等），∴BFH ∠=CEG FEG EFH MEN NED EGF AGP ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠（等量替换）故与BFH ∠相等的角有7个，故C 为答案.【点睛】本题主要考查直线平行的性质、对顶角的性质（对顶角相等）、角平分线的性质（角平分线把角分为两个大小相等的角）还有等量替换，把所学知识灵活运用是解题的关键.16．如图，直线,a b 被直线c 所截，则图中的1∠与2∠是（ ）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．邻补角【答案】B【解析】【分析】 根据1∠与2∠的位置关系，由内错角的定义即可得到答案.【详解】解：∵1∠与2∠在截线,a b 之内，并且在直线c 的两侧，∴由内错角的定义得到1∠与2∠是内错角，故B 为答案.【点睛】本题主要考查了内错角、同位角、同旁内角、邻补角的定义，理解内错角、同位角、同旁内角、邻补角是解题的关键.17．如图，直线,a b 被直线,c d 所截，1110,270,360︒︒︒∠=∠=∠=，则4∠的大小是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．110︒D ．120︒【答案】A【解析】【分析】 先根据对顶角相等得到15∠=∠，再根据平行线的判定得到a ∥b ，再根据平行线的性质得到34∠=∠即可得到答案.【详解】解：5∠标记为如下图所示，∵1,5∠∠是对顶角，∴15∠=∠（对顶角相等），又∵1110,270︒︒∠=∠=，∴1251107800︒︒+∠=∠=+︒，∴a ∥b （同旁内角互补，两直线平行），∴34∠=∠（两直线平行，内错角相等），∴4360∠=∠=︒，故A 为答案.【点睛】本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等）、直线平行的判定（同旁内角互补，两直线平行）、直线平行的性质（两直线平行，内错角相等），能灵活运用所学知识是解题的关键..18．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）A．115°B．120°C．145°D．135°【答案】D【解析】【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，∵∠1=45°（已知），∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），∵EF∥MN（已知），∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．故选D．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．19．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠ABC=70°，再根据角平分线的定义可得答案．【详解】∵DE∥BC，∴∠1=∠ABC=70°，∵BE平分∠ABC，∴1352CBE ABC∠=∠=︒，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．20．如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是（）A．∠BAO与∠CAO相等B．∠BAC与∠ABD互补C．∠BAO与∠ABO互余D．∠ABO与∠DBO不等【答案】D【解析】【分析】【详解】解：已知AC//BD,根据平行线的的性质可得∠BAC+∠ABD=180°，选项B正确；因AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，根据角平分线的定义可得∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO,选项A正确，选项D不正确；由∠BAC+∠ABD=180°，∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO即可得∠BAO+∠ABO=90°，选项A正确，故选D.。
北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明综合素质评价试题(含答案)
八年级上册数学第七章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列选项中，是命题的是()A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗C．延长线段AO到点C，使OC＝OAD．两直线平行，内错角相等2．【2022•广东佛山南海区模拟】如图，a∥b，∠1＝120°，则∠2等于() A．30°B．90°C．60°D．50°(第2题) (第3题)3．如图，下列条件中，能判定AD∥BC的有()①∠1＝∠4；②∠2＝∠3；③∠1＋∠2＝∠3＋∠4；④∠A＋∠C＝180°；⑤∠A＋∠ABC＝180°；⑥∠A＋∠ADC＝180°.A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列命题中，是假命题的是()A．能够完全重合的两个图形全等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等C．等腰三角形的两底角相等D．三个角都相等的三角形是等边三角形5．某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是()A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°6．已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是() A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥cB．如果b∥a，c∥a，那么b∥cC．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥cD．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c7．下列说法正确的是()A．命题一定是定理，但定理不一定是命题B．公理和定理都是真命题C．定理和命题一样，有真有假D．“取线段AB的中点C”是一个真命题8．如图，F是△ABC的角平分线CD和BE的交点，CG⊥AB于点G.若∠ACG＝36°，则∠DFE的度数是()A．117°B．108°C．144°D．148°(第8题) (第9题)9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于()A．10°B．15°C．20°D．30°10．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是()A．45°B．50°C．55°D．80°(第10题) (第11题)11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝45°，∠C ＝73°，则∠DAE的度数是()A．14°B．24°C．19°D．9°12．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是DC上一点，连接AE并延长，交BC的延长线于点H.点F是AB上一点，且∠FBE＝∠FEB，∠FEH的平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为()A．30°B．40°C．50°D．60°(第12题) (第14题)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．13．将命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式为__________________________________________________________________．14．三角板是我们学习数学的好工具，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上，点B在DE上，AB∥CF，∠EFD＝∠A＝90°，∠E ＝30°，∠ABC＝45°，则∠CBD＝__________°.15．要说明命题“若a＜b，c＜d，则a－c＜b－d”是假命题，可以举反例：a＝4，b＝5，c＝________，d＝________．16．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝66°，则∠DAC的度数是________．(第16题) (第17题) (第18题)17．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，EF∥BC交BD于点G，若∠BEG＝130°，则∠DGF＝________°.18．如图，将一张三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部的点A′处，且点A′与点C在直线AB的异侧，已知∠C＝90°，∠A＝30°.若△A′DE 的一边与BC平行，则∠ADE的度数是____________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分．19．如图，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，BC∥EF，求∠BMD的度数．20．如图，已知AB∥CD，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，CF⊥CE，∠1＝32°.(1)求∠ACE的度数；(2)若∠2＝58°，求证：CF∥AG.四、解答题(二)：本大题共2小题，每小题10分，共20分．21．如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处．(1)若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；(2)若∠B＋∠C＝130°，求∠1＋∠2的度数．22．如图，在四边形ABCD中，CE⊥AD于点E.若()，()，则()．(1)从①CB＝CD，②∠D＋∠ABC＝180°，③AC平分∠DAB中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由，条件：________，________，结论：________．(2)在(1)的条件下，若AD＝8，DE＝2，CE＝3，求△ABC的面积．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23．已知直线a∥b，直线c和直线a，b分别相交于A，B两点，直线d和直线a，b分别相交于C，D两点．(1)如图①，当点P在线段AB上(点P不与点A，B重合)运动时，猜测∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠1，∠2，∠3之间的数量关系为________；(3)如图③，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠1，∠2，∠3之间的数量关系为________．24．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一盏探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a－3b|＋(a＋b－4)2＝0.假设钱塘江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°.(1)求a，b的值；(2)若灯B射出的光束先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，灯A射出的光束转动几秒，两灯射出的光束互相平行？(3)两灯射出的光束同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若与灯B射出的光束交于点C，过点C作CD⊥AC交PQ于点D，则两灯射出的光束在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．答案一、1．D2．C3．B4．B5．D6．C7．B8．A点拨：因为CG⊥AB，∠ACG＝36°，所以∠A＝90°－∠ACG＝54°.所以∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ＝126°.因为CD 和BE 是△ABC 的角平分线，所以∠BCD ＝12∠ACB ，∠CBE ＝12∠ABC ，所以∠BCD ＋∠CBE ＝12(∠ACB ＋∠ABC )＝63°.所以∠BFC ＝180°－(∠BCD ＋∠CBE )＝117°.又因为∠DFE ＝∠BFC ，所以∠DFE ＝117°.9．B 点拨：因为BD ，CD 分别为∠ABC ，∠ACE 的平分线， 所以∠DBC ＝∠ABD ，∠DCE ＝∠ACD .因为∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，所以∠DCE ＋∠ACD ＝∠DBC ＋∠ABD ＋∠A .所以2∠DCE ＝2∠DBC ＋∠A .因为∠DCE ＝∠DBC ＋∠D ，所以2∠DBC ＋2∠D ＝2∠DBC ＋∠A .所以∠D ＝12∠A ＝12×30°＝15°. 10．B 点拨：如图，连接AC 并延长，交EF 于点M .因为AB ∥CF ，所以∠3＝∠1.因为AD ∥CE ，所以∠2＝∠4. 所以∠BAD ＝∠3＋∠4＝∠1＋∠2＝∠FCE .因为∠FCE ＝180°－∠E －∠F ＝180°－80°－50°＝50°.所以∠BAD ＝50°.故选B .11．A点拨：因为∠B＝45°，∠C＝73°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝62°.因为AE平分∠BAC，所以∠CAE＝12∠BAC＝31°.因为AD是BC边上的高，所以∠ADC＝90°，所以∠CAD＝180°－∠ADC－∠C＝17°，所以∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝31°－17°＝14°.12．B点拨：设∠FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝∠FBE＋∠FEB＝2α.因为EG平分∠FEH，所以∠GEH＝∠GEF.设∠GEH＝∠GEF＝β，则∠AEF＝180°－∠GEF－∠GEH＝180°－2β.因为AD∥BC，所以∠ABC＋∠BAD＝180°.又因为∠D＝∠ABC，所以∠D＋∠BAD＝180°，所以AB∥CD，所以∠CEH＝∠F AE.因为∠DEH＝100°，所以∠CEH＝180°－∠DEH＝80°.所以∠F AE＝80°.因为∠F AE＋∠AFE＋∠AEF＝180°，所以80°＋2α＋180°－2β＝180°，所以β－α＝40°，所以∠BEG＝∠GEF－∠FEB＝β－α＝40°.二、13．如果两个角相等，那么它们的余角相等14．1515．2；3(答案不唯一)16．28°17．25点拨：因为EF∥BC，所以∠EGB＝∠CBG.因为BD平分∠ABC，所以∠EBG＝∠CBG，所以∠EBG＝∠EGB.因为∠BEG＝130°，所以∠EGB＝180°－130°2＝25°，所以∠DGF＝∠EGB＝25°.18．45°或30°点拨：当A′D∥BC时，∠A′DA＝∠C＝90°.由折叠的性质得∠ADE＝∠A′DE，所以∠ADE＝12∠A′DA＝45°；当A′E∥BC时，∠A′EF＝∠ABC.因为∠C＝90°，∠A＝30°，所以∠A′EF＝∠ABC＝180°－∠C－∠A＝60°. 所以∠A′EA＝180°－∠A′EF＝120°.由折叠的性质得∠A′ED＝∠AED，所以∠AED＝12(360°－∠A′EA)＝120°.所以∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝30°.综上所述，∠ADE的度数为45°或30°.三、19．解：因为∠BAC＝90°，∠C＝30°，所以∠B＝180°－∠BAC－∠C＝60°.因为∠EDF＝90°，∠E＝45°，所以∠F＝180°－∠EDF－∠E＝45°.因为BC∥EF，所以∠MDB＝∠F＝45°，所以∠BMD＝180°－∠B－∠MDB＝75°. 20．(1)解：因为AB∥CD，所以∠DCE＝∠1＝32°.因为CE平分∠ACD，所以∠ACE＝∠DCE＝32°.(2)证明：因为CF⊥CE，所以∠FCE＝90°.又因为∠ACE＝32°，所以∠FCH＝∠FCE－∠ACE＝58°.因为∠2＝58°，所以∠FCH＝∠2，所以CF∥AG.四、21.解：(1)∠1＝∠2，理由如下：因为∠D是由∠A翻折得到的，所以∠D＝∠A.因为DE∥AC，所以∠1＝∠A，∠2＝∠D，所以∠1＝∠2.(2)因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，所以∠AEF＋∠AFE＝∠B＋∠C＝130°.因为△DEF是由△AEF翻折得到的，所以∠AEF＝∠DEF，∠AFE＝∠DFE，所以∠AED＝2∠AEF，∠AFD＝2∠AFE，所以∠AED＋∠AFD＝2(∠AEF＋∠AFE)＝260°.因为∠1＋∠AED＋∠2＋∠AFD＝360°，所以∠1＋∠2＝100°.22．解：(1)②；③；①理由：如图，在AD上取一点T，使得AT＝AB，连接TC.因为AC平分∠DAB，所以∠TAC＝∠CAB.在△TAC 和△BAC 中，⎩⎨⎧AT ＝AB ，∠CAT ＝∠CAB ，AC ＝AC ，所以△TAC ≌△BAC ，所以CB ＝CT ，∠ABC ＝∠ATC .因为∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ATC ＋∠CTD ＝180°，所以∠D ＝∠CTD ，易得CT ＝CD ，所以CB ＝CD .(答案不唯一)(2)由(1)可知，CT ＝CD ，因为CE ⊥DT ，所以DE ＝TE .因为△TAC ≌△BAC ，所以AB ＝AT ＝AD －2DE ＝8－4＝4，所以S △ABC ＝S △ACT ＝12AT •CE ＝12×4×3＝6.五、23．解：(1)∠3＝∠1＋∠2，理由如下：过点P 作PE ∥a 交CD 于点E ，如图．因为PE ∥a ，a ∥b ，所以PE ∥a ∥b ，所以∠1＝∠CPE，∠2＝∠DPE.因为∠3＝∠CPE＋∠DPE，所以∠3＝∠1＋∠2.(2)∠1＝∠2＋∠3(3)∠3＝∠2－∠124．解：(1)因为|a－3b|＋(a＋b－4)2＝0，|a－3b|≥0，(a＋b－4)2≥0，所以a＝3b，a＋b＝4，所以a＝3，b＝1.(2)设灯A射出的光束转动t秒，两灯射出的光束互相平行，①当0＜t＜60时，3t＝(30＋t)×1，解得t＝15；②当60＜t＜120时，3t－3×60＋(30＋t)×1＝180，解得t＝82.5；③当120＜t＜150时，3t－180×2＝(30＋t)×1，解得t＝195(不合题意，舍去)．综上所述，灯A射出的光束转动15秒或82.5秒，两灯射出的光束互相平行．(3)不发生变化．设灯A射出的光束转动时间为x秒，因为∠CAN＝180°－3°•x，所以∠BAC＝45°－(180°－3°•x)＝3°•x－135°.又因为PQ∥MN，所以易得∠BCA＝∠CBD＋∠CAN＝1°•x＋180°－3°•x＝180°－2°•x.因为∠ACD＝90°，所以∠BCD＝90°－∠BCA＝90°－(180°－2°•x)＝2°•x－90°，2所以∠BCD＝3∠BAC.。
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《7-4平行线的性质》同步达标测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《7.4平行线的性质》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共7小题，满分28分）1．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC 的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1＝（）A．35°B．55°C．65°D．70°2．如图，直线AB∥CD，AD⊥BD，∠ADC＝38°，则∠ABD的度数为（）A．38°B．42°C．52°D．62°3．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处．若∠1＝38°，则图中∠2的度数为（）A．64°B．69°C．111°D．116°4．如图△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P，过P作MN ∥AB交AC于M，交BC于N，且AM＝8，BN＝5，则MN＝（）A．2B．3C．4D．55．如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（）A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确6．如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（）A．15°B．25°C．30°D．45°7．黑板上有一个数学问题如图所示：如图AB⊥BC，BC交CD于点C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．几位同学经过研究得到以下结论：嘉嘉说：“AB∥CD”；琪琪说：“∠AEB+∠ADC＝180°”；薇薇说：“DE平分∠ADC”；亮亮说：“∠F＝135°”，则（）A．只有嘉嘉的结论正确B．嘉嘉和琪琪的结论都正确C．只有琪琪的结论不正确D．四个人的结论都正确二．填空题（共6小题，满分24分）8．如图，QP∥MN，A，B分别为直线MN，PQ上两点，且∠BAN＝60°，射线AE从AM 开始绕点A按顺时针方向旋转至AN后立即回转，然后以不变的速度在AM和AN之间不停地来回旋转，射线BF从BQ绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线AE转动的速度是4°/s，射线BF转动的速度是1°/s，在射线BF到达BP之前，有次射线AE 与射线BF互相平行，时间分别是s．9．如图，点E在BC的延长线上，下列条件中，①∠2＝∠5；②∠3＝∠4；③∠ACE+∠E ＝180°；④∠B＝∠3，能判断AC∥DE的有．10．如图，已知AC∥BD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：①CB平分∠ACD，②AB∥CD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM ＝∠BAP+∠PCD．正确的是．11．如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有个．12．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．13．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论（填编号）．三．解答题（共8小题，满分68分）5．请完成填空，使证明过程完整：如图：已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：∠AED＝∠ACB．证明：∵∠1+＝180°（邻补角定义）∠1+∠2＝180°（已知）∴＝∠2（）∴EF∥AB（）∴∠3＝∠EDA（）又∵∠3＝∠B（已知）∴∠B＝∠EDA（）∴DE∥BC（）∴∠AED＝∠ACB（）10．如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1＝∠2，∠B＝60°．试求∠ADG的度数．15．如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．（1）求证：BD∥CE；（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．16．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF 交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝50°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠1＝∠2，∠2与∠3互余，以点C为顶点，CD 为一边，在四边形ABCD的外部作∠5，使∠5＝∠4，交DE于点F，试探索DE和CF 的位置关系，并说明理由．18．平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些几何问题时，若能根据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决问题：（1）如图（1），AB∥CD，试判断∠B，∠D与∠E的关系；（2）如图（2），已知AB∥CD，在∠ACD的角平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．19．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB 上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．（1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x＝；②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．20．【探究】（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝°；（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝；（用α、β表示）（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．【挑战】如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．参考答案一．选择题（共7小题，满分28分）1．解：∵长方形对边AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝55°，由翻折的性质得∠DEF＝∠MEF，∴∠1＝180°﹣∠DEF×2＝180°﹣55°×2＝70°．故选：D．2．解：如图：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC＝38°，∴∠1＝90°﹣38°＝52°，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠1＝52°，故选：C．3．解：∵把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠C＝∠D＝∠EA′B′＝90°，AD∥BC，∴∠1+∠CA′B′＝90°，∠CA′B′+∠DA′E＝90°，∴∠DA′E＝∠1＝38°，∴∠DEA′＝∠90°﹣∠DA′E＝52°，∴∠AEA′＝180°﹣52°＝128°，由折叠的性质得∠AEF＝∠A′EF＝∠AEA′＝64°，∵AD∥BC，∴∠2+∠AEF＝180°，∴∠2＝180°﹣64°＝116°，故选：D．4．解：如图，过P作PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，连接AP，∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P，∴PF＝PG＝PH，∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，∴∠MAP＝∠BAP，∵MN∥AB，∴∠BAP＝∠MP A，∴∠MAP＝∠MP A，∴AM＝PM，同理可得：∠NBP＝∠NPB，∴NP＝NB，∴MN＝MP﹣NP＝AM﹣BN＝8﹣5＝3，故选：B．5．解：∵AB∥EF，∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，∵BC平分∠DCF，∴∠BCD＝∠BCF，∴∠1＝∠ECA，∴AC平分∠DCE，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠1，∴AE∥CD，①正确；∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，∴∠BDC＝2∠1，②正确；故选：A．6．解：∵CE∥DF，∴∠CEA+∠DFB＝180°，∵∠1+∠CEA＝125°，∠2+DFB＝85°，∴∠1+∠CEA+∠2+DFB＝125°+85°，∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°．故选：C．7．解：过点E作EH∥AB交AD于点H，则∠1＝∠AEH，∵∠AEH+∠DEH＝90°，∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠DEH，∴EH∥CD，∴AB∥CD，∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠EAD，∵∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠2，∴DE平分∠ADC，∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．根据平行线的拐点问题得：∠F＝∠MAF+∠FDN＝（360°﹣45°）＝135°，∵∠AEB＝∠2，∠EDN+∠2＝180°，而∠EDN≠∠ADC，故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分）8．解：设射线AE从AM开始绕点A按顺时针方向旋转ts时，射线AE与射线BF互相平行．分三种情况：①如图，当0＜t＜45时，∠QBF＝t°，∠MAE＝（4t）°，∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝∠MAE﹣∠MAB＝（4t）°﹣120°，当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，此时，60﹣t＝4t﹣120，解得t＝36；②当45≤t≤60时，∠QBF＝t°，∠NAE＝（4t）°﹣180°，∠BAE＝60°﹣[（4t）°﹣180°]＝240°﹣（4t）°，∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝240°﹣（4t）°，当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，此时，60﹣t＝240﹣4t，解得t＝60；③如图，当60≤t＜180时，∠QBF＝t°，∠NAE＝（4t）°﹣180°，∠BAE＝[（4t）°﹣180°]﹣60°＝（4t）°﹣240°，∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，∴∠ABF＝t°﹣60°，∠BAE＝240°﹣（4t）°，当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，此时，t﹣60＝4t﹣240，解得t＝60；综上所述，在射线BF到达BP之前，有2次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是36或60s．故答案为：2，36或60．9．解：①∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行可得AC∥DE；②∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CE；③∠ACE+∠E＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AC∥DE；④∠B＝∠3，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥DC．∴能判断AC∥DE的有①③，故答案为：①③．10．解：如图，∵AC∥BD，∵∠2＝∠3∵BC平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∵CE平分∠DCM，∴∠4＝∠5，∵BC⊥CE．∴∠4+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∵∠3+∠5＝90°，∴∠3＝∠6，∴CB平分∠ACD，故①正确；∴∠1＝∠6，AB∥CD，故②正确；∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BDC，故③正确；如图，点P是线段BE上任意一点，∵AB与PC不平行，CD与PM不平行，∴∠BAP≠∠APC，∠PCD≠∠CPM，∴∠APM≠∠BAP+∠PCD．故④不正确．所以正确的是①②③．故答案为：①②③．11．解：∵AB∥CD∥EF，∴∠AGE＝∠GAB＝∠DCA；∵BC∥AD，∴∠GAE＝∠GCF；又∵AC平分∠BAD，∴∠GAB＝∠GAE；∵∠AGE＝∠CGF．∴∠AGE＝∠GAB＝∠DCA＝∠CGF＝∠GAE＝∠GCF．∴图中与∠AGE相等的角有5个．12．解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．13．解：①∵AB∥CD，∴∠BOD＝∠ABO＝a°，∴∠COB＝180°﹣a°＝（180﹣a）°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COB＝（180﹣a）°．故①正确；②∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴∠BOF＝90°﹣（180﹣a）°＝a°，∴∠BOF＝∠BOD，∴OF平分∠BOD所以②正确；③∵OP⊥CD，∴∠COP＝90°，∴∠POE＝90°﹣∠EOC＝a°，∴∠POE＝∠BOF；所以③正确；∴∠POB＝90°﹣a°，而∠DOF＝a°，所以④错误．三．解答题（共8小题，满分68分）14．证明：∵∠1+∠EFD＝180°（邻补角的定义），∠1+∠2＝180°（已知），∴∠EFD＝∠2（同角的补角相等），∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行），∴∠3＝∠EDA（两直线平行，内错角相等），又∵∠3＝∠B（已知），∴∠B＝∠EDA（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）．故答案为：∠EFD；∠EFD；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．15．解：CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，∴EF∥CD，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∵∠B＝60°，∴∠ADG＝60°．16．证明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，∴∠CHG＝45°，∵∠1＝45°，∴∠CHG＝∠1，∴BD∥CE．（2）∵BD∥CE，∴∠C＝∠ABD，∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠D．∴AC∥DF，∴∠A＝∠F．17．解：（1）∵EM平分∠AEF∴∠AEM＝∠FEM，又∵∠FEM＝∠FME，∴∠AEM＝∠FME，∴AB∥CD；（2）①如图2，∵AB∥CD，β＝50°又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝65°，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣65°＝25°，即α＝25°；②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，α＝．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG＝180°﹣β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝，即α＝；如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGF＝β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF＝（∠AEF﹣∠FEG）＝∠AEG＝β，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，即α＝90°﹣．18．解：DE⊥CF，理由如下：∵AD∥BC，∠1＝∠2，∴∠1＝∠4＝∠2，又∵∠5＝∠4，∴∠5＝∠2，又∵∠2与∠3互余，∴∠3与∠5互余，∴∠5+∠3＝90°，∴DE⊥CF．19．（1）解：∠B+∠D＝∠BED，理由如下：过E作EF∥AB，如图①所示：则EF∥AB∥CD，∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，即∠B+∠D＝∠BED；（2）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：则NG∥AB∥CD，∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，∵∠AMN是△ACM的一个外角，∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，∵CN平分∠ACD，∴∠ACM＝∠NCD，∴∠CAM＝∠BAN．20．解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，∴∠BOE＝20°，∵DE∥OB，∴∠DEO＝∠BOE＝20°；∵∠DOE＝∠DEO＝20°，∴DO＝DE，∠ODE＝140°，当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，即x＝70，故答案为：20，70；②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，∴∠EDF＝80°，又∵∠ODE＝140°，∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，∴x＝60；（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．分两种情况：①如图2，若DP在DE左侧，∵DE⊥OA，∴∠EDF＝90°﹣x°，∵∠AOC＝20°，∴∠EFD＝20°+x°，当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），解得x＝68；②如图3，若DP在DE右侧，∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），解得x＝104；综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．21．解：（1）如图1．∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，∴∠FBE＝∠CBE，∠F AB＝∠DAB．∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB＝360°﹣120°﹣130°＝110°．又∵∠F+∠F AB＝∠FBE，∴∠F＝∠FBE﹣∠F AB＝＝＝．（2）如图2．由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．∴∠AFB＝＝．（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．证明：如图3．若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．∴∠DAB＝∠CBE．∴AD∥BC．∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．挑战：如图4．∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，∴∠BAM＝，．∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．∵∠ABF与∠NBE是对顶角，∴∠ABF＝∠NBE．又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．∴∠F＝＝＝90°﹣．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》检测(答案解析)(1)
一、选择题1．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．13是13的算术平方根B ．三角形的一个外角大于任何一个内角C ．13是最简二次根式 D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 2．如图，已知//AB CD ，120AFC ∠=︒，13EAF EAB ∠=∠，1 3ECF ECD ∠=∠，则 AEC ∠=（ ）A ．60°B ．80°C ．90°D ．100°3．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）①OE 平分AOD ∠；②AOC BOD ∠=∠；③15AOC CEA ∠-∠=︒；④180COB AOD ∠+∠=︒A ．0B ．1C ．2D ．3 4．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则BDC∠的度数是（ ）A ．65︒B ．75︒C ．85︒D ．105︒ 5．下列命题中，真命题的是（ ） A ．同旁内角互补，两直线平行B ．相等的角是对顶角C ．同位角相等D ．直角三角形两个锐角互补6．下列语句正确的有（ ）个．①“对顶角相等”的逆命题是真命题．②“同角（或等角）的补角相等”是假命题．③立方根等于它本身的数是非负数．④用反证法证明：如果在ABC 中，90C ∠=︒，那么A ∠、B 中至少有一个角不大于45°时，应假设45A ∠>︒，45B ∠>︒．⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和5cm ，则周长是9cm 或12cm ． A ．4B ．3C ．2D ．1 7．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）A ．5B ．12C ．14D ．16 8．已知下列命题（1）等边三角形的三个内角都相等；（2）平行四边形相邻的两个角都相等；（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等；（4）底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题和逆命题均为真命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，//AB CD ，BE 交CD 于点F ，48B ∠=︒，20E ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）．A ．28B ．20C ．48D ．6810．如图，AB ∥DE ，80,45B D ︒︒∠=∠=则C ∠的度数为（ ）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒11．下列命题：①相等的两个角是对顶角；②若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角；③同旁内角互补；④垂线段最短，其中假命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知四边形ABCD 是长方形，点,E F 分别为线段BC ，AD 上的两点，将四边形CDFE 沿EF 折叠得到四边形C D FE ''，若40BEC '∠=︒，则EFD ∠等于（ ）A ．50︒B ．65︒C ．60︒D ．70︒二、填空题13．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且76B ∠=︒，36C ∠=︒，则DAE ∠的度数为_________．14．若△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，AE 平分∠BAC ，∠B =40°，∠C =50°，则∠EAD=_____°．15．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，若∠B ＝72°，∠DAE ＝16°，则∠C ＝_____度．16．如图，一个直角三角形纸片ABC ，90BAC ∠=，D 是边BC 上一点，沿线段AD 折叠，使点B 落在点E 处（E B 、在直线AC 的两侧），当50EAC ∠=时，则CAD ∠=__________°.17．把“同角的补角相等”改成“如果···那么···”的形式_________________．18．如图，已知//DE FG ，则12A ∠+∠-∠=________________19．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠BAD+∠ADC ＝180°；③∠ABC ＝∠ADC ；④∠3＝∠4；其中能判定AB ∥CD 的是_____（填序号）．20．用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，证明时，可以先假设：_____________________________．三、解答题21．直线AB 和CD 被直线MN 所截，如图1，EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠，当12∠=∠时，小明证明//AB CD 的过程如下：∵EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠（已知），∴21MEB ∠=∠，22DFE ∠=∠（角平分线的定义）． ∵12∠=∠，（已知），∴MEB DFE ∠=∠（等量代换）． ∴//AB CD （同位角相等，两直线平行）．请你参考上述证明过程解决下列问题：（1）如图2，EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠，1∠与2∠满足什么条件时，//AB CD ？说明理由．（2）如图3，若//AB CD ，EG 平分AEM ∠，FH 平分CFN ∠，则1∠与2∠满足怎样的条件？说明理由．22．定义：一个三位数，如果它的各个数位上的数字互不相等且都不为0，同时满足十位上的数字为百位与个位数字之和，则称这个三位数为“西西数”．A 是一个“西西数”，从A 各数位上的数字中任选两个组成一个两位数，由此我们可以得到6个不同的两位数．我们把这6个数之和与44的商记为()h A ，如：132A =，133112212332(132)344h +++++==． （1）求()187h ，()693h 的值． （2）若A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =，求B A 的最大值． 23．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数；（2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数．24．如图，在△ABC 中，点D 是AC 边上的一点，已知ABC C ∠=∠，A ABD DBC ∠=∠=∠，求C ∠的度数．25．如图，已知直线//AB CD ，100A C ∠=∠=︒，E 、F 在CD 上，且满足DBF ABD ∠=∠，BE 平分CBF ∠．（1）直线AD 与BC 有何位置关系？请说明理由．（2）求DBE ∠的度数．（3）若平行移动AD ，在平行移动AD 的过程中，存在使BEC ADB ∠=∠的情况，求ADB ∠的度数．26．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，AE BC ⊥．若40BAD ∠=︒，70C ∠=︒，求DAE ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质逐项判断即可求解．【详解】解：13的算术平方根”，判断正确，符合题意；B. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角”，判断错误，不合题意；”，不是最简二次根式，判断错误，不合题意；D. “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，两条直线不一定平行，判断错误，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了命题、算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键，注意：题设成立，结论一定成立的命题是真命题；题设成立，结论不一定成立的命题是假命题．2．C解析：C【分析】连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，得到∠FAB=4x，∠FCD=4x，根据平行线性质得出∠CAB+∠ACD=180°，从而得到x+y=30°，再根据∠AEC=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）得到结果．【详解】解：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∴∠EAB=3x，∠ECD=3x，∴∠FAB=4x，∠FCD=4x，∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°，∵∠AFC=120°，∴∠FAC+∠FCA=180°-120°=60°，∴∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FCD=180°，即60+4x+4y=180°，解得：x+y=30°，∴∠AEC=180°-（∠EAC+∠ECA）=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）=180°-（x+y+60°）=90°故选C．【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是注意整体思想的运用．3．D解析：D【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据角的和差关系可得∠COB+∠AOD=180；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°．【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，即∠AOC=∠BOD，故②正确；∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°，故④正确；如图，AB与OC交于点P，∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误．综上，②③④正确，共3个，故选：D．【点睛】本题考查了余角与补角以及三角形内角和定理，熟知余角与补角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．4．B解析：B【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∠CEA=60︒，∠BAE=45︒，∴∠ADE= 180︒−∠CEA−∠BAE=75︒，∴∠BDC =∠ADE =75︒，故选：B【点睛】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．5．A解析：A【分析】利用平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；B 、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；C 、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；D 、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题．故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义，难度不大．6．D解析：D【分析】先写出逆命题，进而即可判断；根据补角的性质，即可判断②；根据立方根的性质，即可判断③；根据反证法的定义，即可判断④根据等腰三角形的定义和三角形三边长关系，即可判断⑤．【详解】①“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故该小题错误；②“同角（或等角）的补角相等”是真命题，故该小题错误；③立方根等于它本身的数是0，±1，故该小题错误；④用反证法证明：如果在ABC 中，90C ∠=︒，那么A ∠、B 中至少有一个角不大于45°时，应假设45A ∠>︒，45B ∠>︒，故该小题正确；⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和5cm ，则周长是12cm ，故该小题错误． 故选D ．【点睛】本题主要考查补角的性质，真假命题，反证法以及等腰三角形的定义，掌握反证法的定义，等腰三角形的定义是解题的关键．7．C解析：C【详解】∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故A 错误；∵12是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故B 错误；∵14是偶数但不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例，故C 正确；∵16是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故D 错误.故选C.8．B解析：B【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据等边三角形的判定和直线定理、平行四边形的判定和性质定理、线段垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质定理判断即可．【详解】解：（1）等边三角形的三个内角都相等，是真命题，逆命题为：三个角相等的三角形是等边三角形，是真命题；（2）平行四边形相邻的两个角互补，但不一定相等，本说法是假命题，逆命题为：相邻的两个角都相等的四边形是平行四边形，是真命题；（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等，是真命题，逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题；（4）底角相等的两个等腰三角形不一定全等，本说法是假命题，逆命题为：两个全等的等腰三角形的底角相等，是真命题；故选：B ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．A解析：A【分析】由//AB CD 和48B ∠=︒，可得到CFB ∠；再由对顶角相等和三角形内角和性质，从而完成求解．【详解】∵//AB CD∴180********CFB B ∠=-∠=-=∴132EFD CFB ∠=∠=∴1801801322028D EFD E ∠=-∠-∠=--=故选：A ．【点睛】本题考察了平行线和三角形内角和的知识；求解的关键是熟练掌握三角形内角和、平行线的性质，从而完成求解．10．B解析：B【分析】延长DE交BC于F，利用平行线的性质求出∠DFC=∠B=80°，再利用三角形的内角和定理求 的度数.出C【详解】延长DE交BC于F，如图，∵AB∥DE，∴∠DFC=∠B=80°，∵∠C+∠D+∠DFC=180°，∴∠C= =180°-∠D-∠DFC=55°，故选：B.【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；三角形的内角和定理.11．B解析：B【分析】根据对顶角的定义对①进行判断；根据补角的定义对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；根据垂线段公理对④进行判断．【详解】解：相等的两个角不一定为对顶角，所以①为假命题；若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角，所以②为真命题；两直线平行，同旁内角互补，所以③为假命题；垂线段最短，所以④为真命题．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．D解析：D【分析】先根据平行线的性质的得出40'∠=∠=︒FME BEC ，DFE BEF ∠=∠，结合折叠的性质得出∠DFE=∠MFE ，即可得出结论【详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD//BC ，//''D F C E∴40'∠=∠=︒FME BEC ，DFE BEF ∠=∠，∵四边形CDFE 沿EF 折叠得到四边形C D FE ''，∴∠DFE=∠MFE ，MFE MEF ∴∠=∠∴∠EFD=∠MFE=()118040702⨯-=， 故选D ．【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．二、填空题13．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°∠CAD=54°进而得出∠DAE 的度数进而得出答案【详解】∵ADAE 分别是△ABC 的高和角平分线且∠B=76°∠C=36°∴∠B解析：20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE 的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180763668︒-︒-︒=︒，∠BAD=9076︒-︒=14°，∠CAD=9036︒-︒=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故答案为：20°．【点睛】本题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAD 和∠CAD 的度数是解题关键． 14．5【分析】由三角形的高得出求出由三角形内角和定理求出由角平分线求出即可得出的度数【详解】解：中是边上的高平分故答案为：5【点睛】本题考查了三角形内角和定理角平分线的定义角的和差计算；熟练掌握三角形内 解析：5【分析】由三角形的高得出90ADC ∠=︒，求出DAC ∠，由三角形内角和定理求出 BAC ∠，由角平分线求出EAC ∠，即可得出EAD ∠的度数．【详解】解：ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，90ADC ∴∠=︒，90905040DAC C ，180180405090BAC B C ， AE ∵平分BAC ∠， 11904522EAC BAC ，45405EAD EAC DAC ．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、角的和差计算；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．15．40【分析】根据三角形的内角和得出再利用角平分线得出利用三角形内角和解答即可【详解】是高是角平分线故答案为40【点睛】本题考查了三角形的内角和定理熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于是解题的 解析：40【分析】根据三角形的内角和得出18BAD ∠=，再利用角平分线得出68BAC ∠=，利用三角形内角和解答即可．【详解】AD 是高，72B ∠=，18BAD ∴∠=， 181634BAE ∴∠=+=， AE 是角平分线，68BAC ∴∠=，180726840C ∴∠=--=．故答案为40.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180是解题的关键．16．20【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠BAD=∠EAD 再根据∠CAB=90°即可求出答案【详解】解：由翻折可得∠EAD=∠BAD 又∠CAB=90°∠EAC=50°∴∠EAC+∠CAD=90°-∠解析：20【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠BAD=∠EAD ，再根据∠CAB=90°即可求出答案．【详解】解：由翻折可得，∠EAD=∠BAD ，又∠CAB=90°，∠EAC=50°，∴∠EAC+∠CAD=90°-∠CAD,∴50°+∠CAD=90°-∠CAD,∴∠CAD=20°.故答案为：20．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及四边形内角和定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．17．如果两个角是同一个角的补角那么这两个角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面把命题的结论写在那么的后面即可【详解】解：命题同角的补角相等改成如果…那么…的形式为：如果两个角是同一个角的补角那么这两个 解析：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论写在那么的后面即可．【详解】解：命题“同角的补角相等”改成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．18．180【分析】根据平行线的性质得到根据平角的性质得到然后根据三角形内角和定理即可求解【详解】∵∴∵又∵∴∴故答案为180【点睛】本题考查了平行线的性质—两直线平行同位角相等三角形的内角和解题过程中注解析：180【分析】根据平行线的性质，得到2AHF ∠=∠，根据平角的性质得到180AHF AHC ∠+∠=︒，1180ACH ∠+∠=︒，然后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】∵//DE FG∴2AHF ∠=∠∵180AHF AHC ∠+∠=︒，1180ACH ∠+∠=︒又∵180AHC ACH A ∠+∠+∠=︒∴180********A ︒-∠+︒-∠+∠=︒∴12180A ∠+∠-∠=︒故答案为180．【点睛】本题考查了平行线的性质—两直线平行同位角相等，三角形的内角和，解题过程中注意等量代换是本题的关键．19．①②【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得答案【详解】∵∠1＝∠2∴AB ∥CD ；故①符合题意∵∠BAD+∠ADC ＝180°∴AB ∥CD ；故②符合题意∠ABC ＝∠ADC 不能判定AB ∥CD 故③不符合解析：①②．【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得答案．【详解】∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ；故①符合题意，∵∠BAD+∠ADC ＝180°，∴AB ∥CD ；故②符合题意，∠ABC ＝∠ADC ，不能判定AB ∥CD ，故③不符合题意，∵∠3＝∠4，∴AD ∥BC ；不能判定AB ∥CD ，故④不符合题意，故答案为：①②【点睛】本题考查平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．20．这两个角所对的边相等【分析】反证法的步骤中第一步是假设结论不成立反面成立可据此进行判断【详解】解：反证法证明：在一个三角形中如果两个角不相等那么这两个角所对的边也不相等证明时可以先假设这两个角所对的 解析：这两个角所对的边相等【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，故答案为：这两个角所对的边相等．【点睛】本题考查的是反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．三、解答题21．（1）当12∠=∠时，//AB CD ，理由见解析；（2）当//AB CD 时，1290∠+∠=︒，理由见解析．【分析】（1）根据角平分线定义得出21AEF ∠=∠，22DEF ∠=∠，再根据∠1＝∠2求出AEF DFE ∠=∠，根据平行线的判定即可推出结论；（2）根据角平分线定义得出112AEM ∠=∠，122CFN ∠=∠，由平行线的性质得出180BEF DFE ∠+∠=︒，利用对顶角相等可得BEF AEM ∠=∠，DFE CFN ∠=∠，即可得出180AEM CFN ∠+∠=︒，等量代换后则得结论1290∠+∠=︒．【详解】解：（1）当12∠=∠时，//AB CD ．理由如下：∵EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠（已知），∴21AEF ∠=∠，22DEF ∠=∠（角平分线的定义）．∵12∠=∠时（已知），∴AEF DFE ∠=∠.（等量代换）．∴//AB CD （内错角相等，两直线平行）．（2）当//AB CD 时，1290∠+∠=︒．理由如下：∵EG 平分AEM ∠，FH 平分CFN ∠（已知）， ∴112AEM ∠=∠，122CFN ∠=∠（角平分线的定义）． ∵//AB CD （已知），∴180BEF DFE ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）．∵BEF AEM ∠=∠，DFE CFN ∠=∠（对顶角相等），∴180AEM CFN ∠+∠=︒（等量代换）． ∴1()902AEM CFN ∠+∠=︒． 即119022AEM CFN ∠+∠=︒（等式的性质）． ∴1290∠+∠=︒（等量代换）．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义等知识，掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键．22．（1）8,9；（2）671.154B A 【分析】（1）根据新定义的法则进行运算即可得到答案；（2）先由（1）的运算发现并总结规律，可得()h A 的值等于A 的十位数字，再运用规律结合()()35h A h B =进行合理的分类讨论，分4种情况：()()5,7h A h B ==或()()7,5,h A h B == ()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==，再根据新定义可得答案．【详解】解：（1）由定义可得：()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++== （2）探究： 133112212332(132)344h +++++==， ()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++==发现并总结规律：()h A 的值等于A 的十位数字，A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =， ()()5,7h A h B ∴==或()()7,5,h A h B ==而()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==不合题意舍去，B A的值最大，则B 最大，A 最小， ()()5,7,h A h B ∴==当()5h A =时，154A =或451A =或253A =或352A =，当()7h B =时，671B =或176B =或572B =或275B =或374B =或473.B =A ∴最小为154，B 最大为671， 此时B A 的值最大为 671.154B A本题考查的是新定义运算，同时考查了规律探究，弄懂新定义的运算法则，理解并运用规律，掌握合理的分类讨论是解题的关键．23．（1）72︒；（2）40︒．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=12ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，所以∠A+∠C=2∠P ，即可得解．【详解】解：（1）∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF=12ADC ∠， ∵60ADC ∠=︒，∴30ADP ∠=︒，∴304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，∴∠A+∠C=2∠P ，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．24．72︒【分析】设∠A=∠ABD=∠DBC=x ，则∠ABC=2∠A=2x ，根据三角形的内角和定理得到x+2x+2x=180°，求出x 即可得到答案.【详解】设∠A=∠ABD=∠DBC=x ，则∠ABC=2∠A=2x ，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，x=36°，∴∠C=2x=72°.此题考查三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，设设∠A=∠ABD=∠DBC=x ，用含x 的式子表示三角形的内角和是解题的关键.25．（1）直线AD 与BC 互相平行，理由见解析；（2）40DBE ∴∠=︒（3）存在，60BEC ADB ∠=∠=︒．【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明180ADC C ∠+∠=︒，即可证得//AD BC ； （2）由直线//AB CD ，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得ABC ∠的度数，又由12DBE ABC ∠=∠，即可求得DBE ∠的度数． （3）首先设ABD DBF BDC x ∠=∠=∠=︒，由直线//AB CD ，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得BEC ∠与ADB ∠的度数，又由BEC ADB ∠=∠，即可得方程：4080x x ︒+︒=︒-︒，解此方程即可求得答案．【详解】解：（1）直线AD 与BC 互相平行，理由：//AB CD ，180A ADC ∴∠+∠=︒，又A C ∠=∠180ADC C ∴∠+∠=︒，//AD BC ∴；（2）//AB CD ，18080ABC C ∴∠=︒-∠=︒，DBF ABD ∠=∠，BE 平分CBF ∠，11140222DBE ABF CBF ABC ∴∠=∠+∠=∠=︒； （3）存在．设ABD DBF BDC x ∠=∠=∠=︒．//AB CD ，40BEC ABE x ∴∠=∠=︒+︒；//AB CD ，18080ADC A ∴∠=︒-∠=︒，80ADB x ∴∠=︒-︒．若BEC ADB ∠=∠，则4080x x ︒+︒=︒-︒，得20x ︒=︒．∴存在60BEC ADB ∠=∠=︒．【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用．【分析】由题意，先求出30B ∠=︒，然后得到60=︒∠BAE ，即可求出答案．【详解】解：如图：AD 平分BAC ∠224080BAC BAD ∴∠=∠=⨯︒=︒70C ∠=︒30B ∴∠=︒AE BC ⊥于点E90AED ∴∠=︒903060BAE ∴∠=︒-︒=︒604020DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及余角的定义，解题的关键是正确的求出角的度数进行计算．。
中考数学复习专题折叠问题
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题31：折叠问题一、选择题1. （2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】A ．150°B ．210°C ．105°D ．75°【答案】A 。
【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。
【分析】∵△A′DE 是△ABC 翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。
故选A 。
2. （2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD 中，∠A=600，将纸片折叠，点A 、D 分别落在A’、D’处，且A’D’经过B ，EF 为折痕，当D’F ⊥CD 时，CF FD 的值为【 】A. 12B. 6C. 16D. 18【答案】A 。
【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】延长DC 与A′D′，交于点M ，∵在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。
∴∠D=180°-∠A=120°。
根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。
∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。
∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM -∠M=30°。
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八年级数学上册专题突破平行线性质的综合应用折叠问题试题平行线性质的综合应用：折叠问题一、平行线的性质方法归纳：平行关系数量关系（由“线”推“角”）由“线”的位置关系（平行），定“角”的数量关系（相等或互补）如（1）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1＝60°，则∠2的度数为（）A.30°B.45°c.60°D.120°解：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等），∴∠2＝∠3＝60°。
故选c。
（2）如图，直线c与a、b均相交，当a∥b时，则（）A.∠1＞∠2B.∠1＜∠2c.∠1＝∠2D.∠1＋∠2＝90°解：∵a∥b，∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），故选：c。
二、折叠问题（翻折变换）1.折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换。
2.折叠是一种对称变换，它属于轴对称。
（1）对称轴是对应点的连线的垂直平分线；（2）折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化；（3）对应边和对应角相等。
3.对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系。
例题1如图所示。
已知AB∥cD，∠B＝100°，EF平分∠BEc，EG⊥EF。
求∠BEG和∠DEG。
解析：根据平行线的性质及角平分线的性质可求出∠BEc、∠BED的度数，再根据EG⊥EF可得出要求的两角的度数。
答案：解：由题意得：∠BEc＝80°，∠BED＝100°，∠BEF＝∠BEc＝40°，∴∠BEG＝90°－∠BEF＝50°，∠DEG＝∠BED－50°＝50°。
∴∠BEG和∠DEG都为50°。
点拨：解答此类题目要熟悉平行线的性质，注意掌握两直线平行内错角相等，同旁内角互补。
例题2如图所示，将宽为4厘米的纸条折叠，折痕为AB，如果∠AcB＝30°，折叠后重叠部分的面积为多少平方厘米？解析：根据翻折不变性，得到∠α＝∠cAB，从而求出∠ABc＝∠BAc，再得出△AcB为等腰三角形，求出AD和cB 的长，进而求出△ABc的面积。
答案：解：延长GA到F，根据翻折不变性，∠α＝∠cAB，∵AG∥Bc，∴∠GAc＝∠AcB＝30°，∴∠α＝∠cAB ＝（180°－30°）÷2＝75°，∴∠ABc＝180°－30°－75°＝75°，∴Ac＝Bc。
作AD⊥Bc，垂足为D，∵纸条的宽＝4c，∴AD＝4c，在Rt△AcD中，∠AcD＝30°，∴Ac＝2AD ＝2×4＝8c，∴Ac＝Bc＝8c，∴△ABc的面积为（4×8）÷2＝16c2。
故重叠部分的面积为16c2。
点拨：此题考查了翻折不变性和平行线的性质和等腰三角形的性质及含30°的角的性质，综合性较强。
平行线的性质的熟练掌握和灵活运用至关重要，对于后继学习尤其是四边形的学习有铺垫性作用。
综合平行线性质和折叠不变性的题目灵活性较强，关键要找准平行线再确定角的关系。
满分训练如图，直线Ac∥BD，连接AB，直线Ac，BD 及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。
当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAc、∠APB、∠PBD三个角。
（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAc ＋∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAc＋∠PBD 是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAc、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论。
选择其中一种结论加以证明。
解析：（1）如图1，延长BP交直线Ac于点E，由Ac∥BD，可知∠PEA＝∠PBD。
由∠APB＝∠PAE＋∠PEA，可知∠APB＝∠PAc＋∠PBD；（2）过点P作Ac的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论。
答案：解：（1）解法一：如图1延长BP交直线Ac于点E。
∵Ac∥BD，∴∠PEA＝∠PBD。
∵∠APB＝∠PAE＋∠PEA，∴∠APB＝∠PAc＋∠PBD；解法二：如图2过点P作FP∥Ac，∴∠PAc＝∠APF。
∵Ac∥BD，∴FP∥BD。
∴∠FPB＝∠PBD。
∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝∠PAc＋∠PBD；解法三：如图3，∵Ac∥BD，∴∠cAB＋∠ABD＝180°，∠PAc＋∠PAB ＋∠PBA＋∠PBD＝180°。
又∠APB＋∠PBA＋∠PAB＝180°，∴∠APB＝∠PAc ＋∠PBD。
（2）不成立。
（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD ＝∠PAc＋∠APB。
（b）当动点P在射线BA上，结论是∠PBD＝∠PAc＋∠APB。
或∠PAc＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，∠PAc＝∠PBD（任写一个即可）。
（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAc＝∠APB＋∠PBD。
选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交Ac于。
∵Ac∥BD，∴∠Pc＝∠PBD。
又∵∠Pc＝∠PA＋∠AP（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠PBD＝∠PAc＋∠APB。
选择（b）证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB＝0°。
∵Ac∥BD，∴∠PBD＝∠PAc。
∴∠PBD＝∠PAc＋∠APB或∠PAc＝∠PBD＋∠APB，∠PAc＝∠PBD。
选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB交Ac于F∵Ac∥BD，∴∠PFA＝∠PBD。
∵∠PAc＝∠APF＋∠PFA，∴∠PAc＝∠APB＋∠PBD。
点拨：此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况。
认真做好（1）（2）小题，可以为（3）小题提供思路。
（答题时间：45分钟）一、选择题1.如图，直线l1∥l2，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是（）A.70°B.80°c.65°D.60°2.如图，AB∥cD，AD平分∠BAc，若∠BAD＝70°，那么∠AcD的度数为（）A.40°B.50°c.60°D.140°*3.如图，AB∥cD，∠cDE＝140°，则∠A的度数为（）A.140°B.60°c.50°D.40°*4.下列图形中，由AB∥cD，能得到∠1＝∠2的是（）A.B.c.D.**5.如图，直线a∥b，∠1＝120°，∠2＝40°，则∠3等于（）A.60°B.70°c.80°D.90°**6.如图，把矩形ABcD沿直线EF折叠，若∠1＝20°，则∠2＝（）A.80°B.70°c.40°D.20°二、填空题.7.如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、c分别在直线l1、l2、l3上。
若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠ABc＝________度。
*8.如图，AD平分△ABc的外角∠EAc，且AD∥Bc，若∠BAc＝80°，则∠B＝_________°。
*9.如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝25°，则∠2＝_______。
**10.如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上。
如果∠1＝18°，那么∠2的度数是_______。
三、解答题11.如图，AB∥cD，AE交cD于点c，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝37°，求∠D的度数。
12.如图，AB∥cD，直线EF分别交AB、cD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1＝40°，求∠2的度数。
*13.如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠c，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠c应为多少度？**14.将一张矩形纸条ABcD按如图所示折叠，若折叠角∠FEc＝64°。
（1）求∠1的度数；（2）求证：△EFG是等腰三角形。
**15.如图a是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF 折叠成图b，再沿BF折叠成图c，求图c中的∠cFE的度数。
1.A解析：∵直线l1∥l2，∠1＝140°，∴∠1＝∠4＝140°，∴∠5＝180°－140°＝40°，∵∠2＝70°，∴∠6＝180°－70°－40°＝70°，∵∠3＝∠6，∴∠3的度数是70°。
故选：A。
2.A解析：∵AD平分∠BAc，∠BAD＝70°，∴∠cAD ＝∠BAD＝70°，又∵AB∥cD，∴∠ADc＝∠BAD＝70°，又∵∠AcD+∠ADc＋∠cAD＝180°，∴∠AcD＝180°－70°－70°＝40°，故选A。
3.D解析：∵∠cDE＝140°，∴∠ADc＝180°－140°＝40°，∵AB∥cD，∴∠A＝∠ADc＝40°。
故选D。
4.B解析：A.∵AB∥cD，∴∠1＋∠2＝180°，故本选项错误；B.∵AB∥cD，∴∠1＝∠3，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，故本选项正确；c.∵AB∥cD，∴∠BAD＝∠cDA，而当Ac∥BD时，∠1＝∠2；故本选项错误；D.当梯形ABcD是等腰梯形时，∠1＝∠2，故本选项错误。
故选B。
5.c解析：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠4＝120°，∵∠4＝∠2＋∠3，而∠2＝40°，∴120°＝40°＋∠3，∴∠3＝80°。
故选c。
6.B解析：过G点作GH∥AD，如图，∴∠2＝∠4，∵矩形ABcD沿直线EF折叠，∴∠3＋∠4＝∠B＝90°，∵AD∥Bc，∴HG∥Bc，∴∠1＝∠3＝20°，∴∠4＝90°－20°＝70°，∴∠2＝70°。