福建省福州市八县(市)一中2018-2019学年高一下学期期末联考数学试题

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2019年7月福建省福州2018～2019学年第二学期高2018级高2021届高一数学期末质量检测试题参考答案及评分细则

分 10 分．
解：（1）依题意，该厂产品检测的平均值
x = 55 0.12 + 65 0.18+75 0.40+85 0.22+95 0.08 ·······························3 分 = 74.6 ． ····················································································4 分
所以取出的 2 件产品中含 B 车间产品的概率为 7 ．····························10 分 10
18．本小题考查 an 与 Sn 的关系、等差数列的定义及通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等．满分 12 分．
福州市 2018—2019 学年第二学期高一期末质量检测
高一数学参考答案及评分标准
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数
的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分．
1．A
2．A
3．C
4．A
5．A
6．B
7．C

福建省福州八县(市)一中高一数学下学期期末联考试题新

密封装订线高一下学期期末联考数学试题满分：150分一、选择题（每题5分，共60分。

答案请写在答题卡上） 1、角α的终边过点P （-4，3），则αcos 的值为（）。

A 、4B 、－3C 、54-D 、53 2、若θθθ则,0cos sin >在( )A 、第一、二象限B 、第一、四象限C 、第一、三象限D 、第二、四象限3、已知M 是ABC ∆的BC 边上的中点，若AB a =u u u r r 、AC b =u u u r r，则AM u u u u r 等于（）。

A 、)(21→→-b aB 、)(21→→+b aC 、)(21→→--b aD 、)(21→→+-b a4、7sin6π=（）。

A 、12 B 、3- C 、3 D 、12- 5、若扇形的圆心角α＝2，弧长l ＝4，则该扇形的面积S ＝（）。

A 、2B 、2πC 、4πD 、46、要得到函数2tan(2)4y x π=+的图像, 需要将函数2tan(2)y x =的图像（）。

A 、向左平移4π个单位B 、向右平移4π个单位 C 、向左平移8π个单位 D 、向右平移8π个单位 7、在ABC ∆中， ,,AB a CB b ==u u u r r u u u r r且0a b •<r r 则三角形ABC 是（）。

A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰直角三角形D 、直角三角形 8、已知→→b a ,是单位向量，且(2)a b a →→→-⊥，则→→b a 与的夹角是（）。

A 、3πB 、2π C 、4π D 、32π 9、若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则tan2α＝( )。

A 、－34 B 、34 C 、－43 D 、4310、已知函数sin()y A x B ωφ=++(0,0,||2A ωφπ>><)的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（）。

福建省福州市八县市一中2018_2019学年高一数学下学期期末联考试题201907220149

福建省福州市八县（市）一中2018-2019学年高一数学下学期期末联考试题完卷时间：120分钟满分：150分参考公式：球的表面积公式：24S r π=，∑∑∑∑====Λ--=---=ni ini ii ni ini iixn xyx n y x x x y yx x b 1221121)())((，x b y a ΛΛ-=一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 直线03=-+y x 的倾斜角是( )A. 30B. 45C. 135D. 1502.某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为( ) A.15 B.61 C.30 D.313.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”4.设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m //α，n //α，则m n // ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ) A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．①和④5.已知直线012:1=-+y ax l ，直线028:2=-++a ay x l ，若21//l l ，则直线1l 与2l 的距离为（） A ．55 B ．552 C ．554 D ．5 6. 将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则5个剩余分数的方差为( )A.7116 B.536C ．36 D.576 7．已知直线06)23(=---y x k 不经过第一象限，则k 的取值范围为（） A ．)23,(-∞ B ．]23,(-∞ C ．),23(+∞ D ．),23[+∞8．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ． 22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.759．三棱锥,10,8,6,P ABC PA PB PC AB BC CA -======则二面角P AC B--的大小为( )A ．90 B ．60 C ．45 D ．3010. 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A.271 B.92 C.94 D.278 11．已知点)1,1(A 和点)4,4(B ，P 是直线01=+-y x 上的一点，则PB PA +的最小值是（）A ．63B ．34C ．5D ． 5212. 在三棱锥ABC S -中，1,2=====SC BC AC SB SA ，二面角C AB S --的大小为60，则三棱锥ABC S -的外接球的表面积为（）A ．34π B ． π4 C ．π12 D ． 352π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若(2,3),(3,2),(4,)A B C m --三点共线则m 的值为___________14. 已知圆C 的圆心在直线03=-y x ，与y 轴相切，且被直线0=-y x 截得的弦长为72，则圆C 的标准方程为____________15. P 是棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -的棱1CC 的中点，沿正方体表面从点A 到点P 的最短路程是________16. 利用直线与圆的有关知识求函数12)2(943)(2+---=x x x f 的最小值为_______ 三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）已知直线0132:1=-+y x l 与直线0823:2=--y x l 的交点为P ，点Q 是圆034222=+--+y x y x 上的动点. （1）求点P 的坐标；（2）求直线PQ 的斜率的取值范围.18．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2,BC ＝3.（1）求证：AB 1∥平面BC 1D ；（2）求1AB 与BD 所成角的余弦值．19.（本小题满分12分）某中学从高三男生中随机抽取n 名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示：（1）求出频率分布表中b a n ,,的值，并完成下列频率分布直方图；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.20．（本小题满分12分）某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：(1)(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AB AD BC AD ⊥,//，侧面⊥PAB 底面ABCD .（1）求证：平面⊥PAB 平面PBC ；（2）若AD BC AB PA 2===，且二面角A BC P --等于o45，求直线BD 与平面PBC 所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知两个定点)1,0(),4,0(B A ，动点P 满足PB PA 2=.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4-=kx y . （1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的D C ,两点，且oCOD 120=∠（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若1=k ，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QN QM ,，切点为N M ,，探究：直线MN 是否过定点. ...2018—2019学年下学期八县一中联考数学期末试卷参考答案13、3- 14、 9)1()3(22=-+-y x 或9)1()3(22=+++y x 15、132 16、3解：（1）由⎩⎨⎧=--=-+08230132y x y x 得⎩⎨⎧-==12y x 3................................................)1,2(-∴的坐标为P 4............................................................................. （2）由2)2()1(03422222=-+-=+--+y x y x y x 得2),2,1(半径为圆心的坐标为∴5............................................................... 设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为012=---k y kx 6................................................ 由题意可知，直线PQ 与圆有公共点即211222≤+---k k k 8......................................................................71≥-≤∴k k 或 9.................................................................................. ),7[]1,(+∞⋃--∞∴的斜率的取值范围为直线PQ 10...................................18、(1)证明：如图，连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD .1.......................∵四边形BCC 1B 1是平行四边形．∴点O 为B 1C 的中点． 2............................................... ∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB 1C 的中位线，∴OD ∥AB 1.4....................... ∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， 5............................................... ∴AB 1∥平面BC 1D . 6............................................... （2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角7.......................O50.050.3530nan b n ì=ïïïï=íïïï=ïî 21==AB AA 221=∴AB 2=∴OD2132AC ==∆AC BD D ABC Rt 的中点，则为中，在同理可得，213=OB 9 (13)262cos 222=⋅-+=∠∆BD OD OB BD OD ODB OBD 中，在 11.......................13261所成角的余弦值为与BD AB ∴ 12............................................... （注：其它方法酌情给分）19、解：（1）由频率分布表可得，所以，100,35,0.3n a b ===------ 3分------ 6分（2）因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组75135?；第4组720435?；第5组710235?. --------------- 8分设第1组的1位学生为1A ，第4组的4位同学为1234,,,B B B B ,第5组的2位同学为12,C C .则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：{}11,,A B {}12,,A B {}13,,A B {}14,,A B {}11,,A C{}12,,A C {}12,,B B {}13,,B B {}14,,B B {}11,,B C {}12,,B C {}23,,B B {}24,,B B {}21,,B C {}22,,B C{}34,,B B {}31,,B C {}32,,B C {}41,,B C {}42,B C ，{}12,,C C 一共21种.------------ 10分记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件A ，即A 包含的基本事件分别为：{}11,,A C {}12,,A C {}12,,C C 一共3种，于是()31217P A == 所以，()()617P A P A =-= ------------ 12分20、解：(1)x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝502.............. .∑∑==Λ--=512251i i i ii xn x yx n yx b ＝1 380－5×5×50145－5×5×5＝6.5，4.................................a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5， 5.................................因此，所求回归直线方程为：y ^＝6.5x ＋17.5. 6 (2)基本事件：，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个， 10..........................................................两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：(30,40)，(30,70)，(40,70)共3个所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为103. 12.................. （注：其它写法酌情给分）21、（1）证明：由//,AD BC AD AB ^可得，BC AB ^因为，侧面PAB ^底面ABCD ，交线为AB ，BC Ì底面ABCD 且BC AB ^ 则 BC ^侧面PAB ，BC Ì平面PBC所以，平面PAB ^平面PBC ------------ 4分（2）解法一：由 BC ^侧面PAB 可得，BC PB ^，BC AB ^ 则 PBA Ð是二面角P BC A --的平面角，45o PBA?由PA AB =可得，PAB D 为等腰直角三角形 ------------ 6分取PB 的中点E ，连接AE 可得AE PB ^因为平面PAB ^平面PBC ，交线为PB ，AE Ì平面PAB 且AE PB ^所以AE ^平面PBC ，点A 到平面PBC 的距离为AE . ------------ 8分因为//,AD BC AD Ë平面PBC 则//AD 平面PBC所以点D 到平面PBC 的距离d 等于点A 到平面PBC 的距离，d AE =. 设1AD =，则2PA AB BC ===在PAB D 中，AE ；在ABD D 中，BD = ------------ 10分设直线BD 与平面PBC 所成角为q即sind AE BD BD q ==所以，直线BD 与平面PBC . ----------- 12分解法二：由 BC ^侧面PAB 可得，BC PB ^，BC AB ^ 则 PBA Ð是二面角P BC A --的平面角，45o PBA?由PA AB =可得，PAB D 为等腰直角三角形，PA AB ^ ------------ 6分由 BC ^侧面PAB 可得，BC PA ^，且AB BCB ?所以PA ^平面ABCD ------------8分设1AD =，点D 到平面PBC 的距离为d ，则2PA AB BC ===由D PBC P BCD V V --=可得，1133PBC BCD S d S PA D D 鬃=鬃22=?，解得d =分设直线BD 与平面PBC 所成角为q即sin d BD q ==所以，直线BD 与平面PBC 分22、解：（1）设点P 的坐标为(),x y由2PA PB ==整理可得 224x y += 所以曲线E的轨迹方程为224x y +=.----------- 3分（2）依题意，2OC OD ==，且0120COD ?，则点O 到CD 边的距离为1即点()0,0O 到直线l ：40kx y --=1= ，解得 k =?所以直线l的斜率为.----------- 6分（3）依题意，,ON QN OM QM ^^，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上 Q 是直线l ：4y x =-上的动点，设(),4Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t 骣-琪琪桫，且经过坐标原点即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---= ----------- 9分- 11 - 又因为,M N 在曲线E ：224x y +=上由22224(4)0x y x y tx t y ì+=ïíï+---=î，可得(4)40tx t y +--= 即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=由t R Î且()440t x y y +--=可得，04+40x y y ì+=ïí=ïî 解得11x y ì=ïí=-ïî所以直线MN 是过定点()1,1-. ----------- 12分。

福建省福州市八县(市)一中高一数学下学期期末联考试题

福建省福州市八县（市）一中高一数学下学期期末联考试题高中一年数学科试卷完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、若扇形的半径为6 cm ，所对的弧长为2cm ，则这个扇形的面积是（）。

A 、12cm 2 B 、6 cm 2 C 、6cm 2 D 、4 cm 22、在△ABC 中，若(1,)(3,2)AB m BC，，090=∠B 则m =（）。

A 、－32 B 、32 C 、23- D 、233、若324tan +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则αtan 的值是（）。

A 、33B 、3-C 、1D 、以上答案都不对 4、在ABC △中,角C B A ,,所对的边分别是,,a b c ,若C A sin sin =，ac a b =-22,则=∠A （）。

A 、2π B 、4π C 、3π D 、6π 5、0000167cos 43sin 77cos 43cos +的值是（）。

A 、3、12 C 3、12-6、以下关于向量说法的四个选项中正确．．的选项是（）。

A 、若任意向量a b 与共线且a 为非零向量，则有唯一一个实数λ，使得a b λ=； B 、对于任意非零向量a b 与，若)()0a b a b （，则a b ;C 、任意非零向量a b 与满足a b a b ，则a b 与同向；D 、若A,B,C 三点满足2133OAOB OC ，则点A 是线段BC 的三等分点且离C 点较近。

7、在△ABC 中，利用正弦定理解三角形时，其中有两解的选项是（）。

A 、030,6,3===A b a ； B 、0150,5,6===A b a ；C 、060,34,3===A b a ；D 、030,5,29===A b a ； 8、已知23)23(sin -=-απ，则=+)3(cos απ（）。

A 、23 B 、23- C 、21 D 、-219、已知△ABC 满足32,2,4π=∠==BAC AC AB ，点E D 、分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则 AF DC 的值为（）。

2018-2019学年福建省福州市第一中学高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年福建省福州市第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．直线10x -+=的倾斜角为 A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π 【答案】D【解析】求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率为3=，对应的倾斜角为π6，故选D.【点睛】本小题主要考查由直线一般式求斜率和倾斜角，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 2．设A B C D ，，，是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB =AC DB ，=DC ，则AD BC ⊥ D ．若AB = AC DB ，=DC ，则AD =BC 【答案】D【解析】由空间四点共面的判断可是A,B 正确，；C,D 画出图形，可以判定AD 与BC 不一定相等，证明BC 与AD 一定垂直．【详解】对于选项A ，若AC 与BD 共面，则A B C D AD ，，，是四点共面，则与BC 共面，正确；对于选项B ，若AC 与BD 是异面直线，则,,,A B C D 四点不共面，则AD 与BC 是异面直线，正确；如图，空间四边形ABCD 中，AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD 与BC 不一定相等，∴D 错误；对于C,当A B C D ，，，四点共面时显然成立，当,,,A B C D 四点不共面时，取BC 的中点M ，连接AM 、DM ，AM ⊥BC ，DM ⊥BC ，∴BC ⊥平面ADM ，∴BC ⊥AD ，∴C 正确；【点睛】本题通过命题真假的判定，考查了空间中的直线共面与异面以及垂直问题，是综合题． 3．两条直线1:1x y l a b -=和2:1x yl b a-=，22a b ≠，在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由方程得出直线的截距，逐个选项验证即可. 【详解】由截距式方程可得直线1l 的横、纵截距分别为,a b -，直线2l 的横、纵截距分别为,b a - 选项A ，由1l 的图象可得0,0a b <>，可得直线2l 的截距均为正数，故A 正确；选项B ，只有当=-a b 时，才有直线平行，故B 错误；选项C ，只有当a b =时，才有直线的纵截距相等，故C 错误；选项D ，由1l 的图象可得0,0a b >>，可得直线2l 的横截距为正数，纵截距为负数，由图像不对应，故D 错误；故选：A 【点睛】本题考查了直线的截距式方程，需理解截距的定义，属于基础题.4．设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，正确的是（）A ．若//a α，//b α，则//a bB ．若//a α，b β//，a b ⊥r r，则αβ⊥ C ．若a α⊥，b β⊥，//a b ，则//αβ D ．若a α⊥，b β⊥，//a b ，则αβ⊥【答案】C【解析】利用线面、面面之间的位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A ，若//a α，//b α，则,a b 平行、相交、异面均有可能，故A 不正确；对于B ，若//a α，b β//，a b ⊥r r，则,αβ垂直、平行均有可能，故B 不正确；对于C ，若a α⊥，b β⊥，//a b ，根据线面垂直的定义可知α内的两条相交线线与β内的两条相交线平行，故//αβ，故C 正确；对于D ，由C 可知，D 不正确；故选：C 【点睛】本题考查了由线面平行、线面垂直判断线面、线线、面面之间的位置关系，属于基础题. 5．圆()()22231x y -+-=关于直线1y x =-对称的圆的方程为（）A ．()()22411x y ++-= B ．()()22411x y -+-= C ．()()22411x y -++= D ．()()22411x y +++=【答案】B【解析】设圆心()2,3关于直线1y x =-对称的圆的圆心为(),a b ，则由311232122b a b a -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=-⎪⎩，求出,a b 的值，可得对称圆的方程. 【详解】圆()()22231x y -+-=的圆心为()2,3，半径1r =，则不妨设圆()()22231x y -+-=关于直线1y x =-对称的圆的圆心为(),a b ，半径为1，则由311232122b a b a -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=-⎪⎩，解得4,1a b ==，故所求圆的方程为()()22411x y -+-=.故选：B 【点睛】本题考查了圆的标准方程、中点坐标公式，需熟记圆的标准形式，属于基础题. 6．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h ），其中：三棱锥的体积为V ，四棱锥的底面是边长为a 的正方形，圆锥的底面半径为r ，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（） A ．3V a h =，3V r π=，1a r π= B ．3V a h =，3V r h π=，ar π= C．a =，r =，a r =D．a =，r =a r= 【答案】D【解析】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，根据椎体体积公式即可求解. 【详解】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，则213V a h =⋅⋅，解得a =，由213V r h π=⋅⋅，解得r =所以ar=. 故选：D 【点睛】本题考查了椎体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.7．下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度40AB =米，拱高10OP =米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱22A P 的高度大约是（）A ．9.7米B ．9.1米C ．8.7米D ．8.1米【答案】A【解析】以O 为原点、以AB 为x 轴，以OP 为y 轴建立平面直角坐标系，设出圆心坐标与半径，可得圆拱所在圆的方程，将4x =-代入圆的方程，可求出支柱22A P 的高度【详解】由图以O 为原点、以AB 为x 轴，以OP 为y 轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为()0,a ，()0,10P ，()20,0A -，则圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=，()222210400a r a r ⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩，解得15a =-，25r =， ∴圆的方程为()2215625x y ++=，将4x =-代入圆的方程，得229.7y A P =≈()m .故选：A 【点睛】本题考查了圆的标准方程在生活中的应用，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题. 8．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2,PA ABC =∆3则该三棱锥外接球的表面积为( ) A ．43πB ．4πC ．8πD ．20π【答案】C【解析】根据已知中底面ABC ∆3，PA ⊥平面ABC ，可得此三棱锥外接球，即为以ABC ∆为底面以PA 为高的正三棱柱的外接球∵ABC ∆的正三角形，∴ABC ∆的外接圆半径1r ==，球心到ABC ∆的外接圆圆心的距离1d =，故球的半径R == 故三棱锥P ABC -外接球的表面积248.S R ππ== 故选C ．9．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点M 的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知()3,0A ，()0,0O ，若直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则实数c 的取值范围是（）A ．()7,13-B ．[]7,13-C ．()11,9-D ．[]11,9-【答案】B【解析】根据题意设点M 的坐标为3,4x c x +⎛⎫⎪⎝⎭，利用两点间的距离公式可得到关于x 的一元二次方程，只需0∆≥即可求解. 【详解】点M 在直线340x y c -+=上，不妨设点M 的坐标为3,4x c x +⎛⎫⎪⎝⎭，由直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则()2222333444x c x c x x ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理可得()2225632480x c x c +++-=，()()22632100480c c ∆=+--≥()()269101370713c c c c c ⇒--≤⇒-+≤⇒-≤≤，所以实数c 的取值范围为[]7,13-. 故选：B 【点睛】本题考查了两点间的距离公式、一元二次不等式的解法，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是11A C ，11A D ，1DD ，1AA 的中点，K 是底面ABCD 上的动点，且//HK 平面EFG ，则HK 与平面ABCD 所成角的正弦值的最小值是（）A ．6 B ．5 C ．22D ．12【答案】A【解析】根据题意取,BC AD 的中点,M N ，可得平面//MNH 平面EFG ，从而可得K 在MN 上移动，HA ⊥平面ABCD ，即可HK 与平面ABCD 所成角中最小的为AMH ∠【详解】如图，取,BC AD 的中点,M N ，连接,,,HN MN HM AM ，由E ，F ，G ，H 分别是11A C ，11A D ，1DD ，1AA 的中点，所以//HN FG ，//MN EF ，且,HN MN N FG EF F ⋂=⋂=，则平面//MNH 平面EFG ，若K 是底面ABCD 上的动点，且//HK 平面EFG ，则K 在MN 上移动，由正方体的性质可知HA ⊥平面ABCD ，所以HK 与平面ABCD 所成角中最小的为AMH ∠，不妨设正方体的边长为a ，在AMH ∆中，62sin 66aAH AMH HM a∠===. 故选：A 【点睛】本题考查了求线面角，同时考查了面面平行的判定定理，解题的关键是找出线面角，属于基础题.二、填空题11．已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a 等于________. 【答案】13【解析】根据两直线互相垂直的性质可得()210a a +-=，从而可求出a 的值. 【详解】Q 直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈垂直，()210a a ∴+-=.解得13a =. 故答案为：13【点睛】本题考查了直线的一般式，根据两直线的位置关系求参数的值，熟记两直线垂直系数满足：12120A A B B +=是关键，属于基础题.12．四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，平面ABCD 是菱形，14AA =，6AB =，3BAD π∠=，E 是BC 的中点，则点C 到平面1C DE 的距离等于________.【答案】125【解析】利用等体法11C CDE C C DE V V --=即可求解. 【详解】如图，由ABCD 是菱形，6AB =，3BAD π∠=，E 是BC 的中点，所以DE CB ⊥,又1A A ⊥平面ABCD ，所以1C C ⊥平面ABCD ，即1C C DE ⊥，又1CB CC ⊥Q ，则DE ⊥平面11BB C C ，由1C E ⊂平面11BB C C ，所以DE ⊥1C E ，所以111163153522DEC S DE EC =⋅==，设点C 到平面1C DE 的距离为h ，由11C CDE C C DE V V --= 即111133CDE DEC S CC S h ⋅=⋅，即111532CE DE CC h ⋅⋅=，所以125h =. 故答案为：125【点睛】本题考查了等体法求点到面的距离，同时考查了线面垂直的判定定理，属于基础题. 13．等腰直角ABC ∆中，CA CB =，CD 是AB 边上的高，E 是AC 边的中点，现将ABC ∆沿BC 翻折成直二面角A DC B --，则异面直线DE 与AB 所成角的大小为________. 【答案】60o【解析】取BC 的中点F ，连接,EF DF ，则AB 与DE 所成角即为EF 与DE 所成角，根据已知可得AD BD =，90ADB ∠=o ，可以判断三角形DEF 为等边三角形，进而求出异面直线直线DE 与AB 所成角. 【详解】取BC 的中点F ，连接,EF DF ，则//AB EF ，直线DE 与AB 所成角即为EF 与DE 所成角，Q AD BD =，90ADB ∠=o ，AB CA CB ∴==， 12EF AB ∴=，11,22DE CA DF CB ==，即三角形DEF 为等边三角形，∴异面直线DE 与AB 所成角的大小为60o .故答案为：60o 【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题，考查了异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.14．已知圆()()22:549C x y -+-=及点()3,2A ，若(),0M m 满足：存在圆C 上的两点P 和Q ，使得MP MA MQ =+u u u r u u u r u u u u r，则实数m 的取值范围是________.【答案】342,342⎡-+⎣【解析】设出点P 、Q 的坐标，利用平面向量的坐标运算以及两圆相交的条件求出实数m 的取值范围. 【详解】设点()()1122,,,P x y Q x y ，由MP MA MQ =+u u u r u u u r u u u u r得()()()1122,3,2,x m y m x m y -=-+-121232x x m y y =+-⎧∴⎨=+⎩，由点()11,P x y 在圆C 上，得()()2222229x m y --+-=，又()22,Q x y Q 在圆C 上， ()()2222549x y -∴-+=，()()2222229x m y --+-=∴与()()2222549x y -+-=有交点，则()2333433m -≤-+≤+，解得342342m -≤≤+故实数m 的取值范围为342,342⎡⎤-+⎣⎦.故答案为：342,342⎡⎤-+⎣⎦【点睛】本题考查了向量的坐标运算、利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，属于中档题.三、解答题15．如图，四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2BC AD =，E 为PB 中点.（1）求证：//AE 平面PCD ；（2）求证：AE BC ⊥.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】（1）取PC 的中点F ，证出//AE DF ，再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）利用线面垂直的判定定理可证出BC ⊥平面PAB ，再根据线面垂直的定义即可证出.【详解】如图，取PC 的中点F ，连接,EF DF ，Q E 为PB 中点，//EF BC ∴，且12EF BC =，又Q //AD BC ，2BC AD =， AD EF ∴=，//AD EF ,AEFD ∴为平行四边形，即//AE DF ，又AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，所以//AE 平面PCD .（2）由PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为//AD BC ，90BAD ∠=︒，所以BC AB ⊥，PA AB A =Q I ，BC ∴⊥平面PAB ，又AE ⊂Q 平面PAB ，∴AE BC ⊥.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，要证线面平行，需先证线线平行；要证异面直线垂直，可先证线面垂直，此题属于基础题.16．已知ABC ∆的顶点()1,2A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为50x y +-=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y --=.（1）求C 点坐标；（2）求直线BC 的方程.【答案】（1）()5,0；（2）2100x y +-=【解析】（1）根据点斜式求出AC 边所在的直线方程，再由CM 所在直线方程，两方程联立即可求解.（2）设(),B s t ，根据题意可得220s t --=，125022s t +++-=，两式联立解得 ,s t 的值，再根据两点式即可得到直线BC 的方程.【详解】（1）Q AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y --=，且()1,2A∴12AC k =-，AC 边所在的直线方程为250x y +-=，由AB 边上的中线CM 所在直线方程为50x y +-=，50250x y x y +-=⎧∴⎨+-=⎩，解得5,0x y ==，故C 点坐标为()5,0. （2）设(),B s t ，则由AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y --=，可得220s t --=，Q AB 边上的中线CM 所在直线方程为50x y +-=，125022s t ++∴+-=， 220125022s t s t --=⎧⎪∴⎨+++-=⎪⎩，解得3,4s t ==，故点B 的坐标为()3,4，则直线BC 的方程为430453y x --=--，即2100x y +-=. 【点睛】本题考查了点斜式方程、两点式方程，同时考查了解二元一次方程组，属于基础题. 17．已知圆M 的方程为22430x y y +-+=，直线l 的方程为30x y -=，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .（1）若60APB ∠=︒，求点P 的坐标；（2）求证：经过A ，P ，M 三点的圆必经过异于M 的某个定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）()0,0和62,55⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()0,2和31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）设()3,P m m ，连接MP ，分析易得22MP MA ==，即有()()22324m m +-=，解得m 的值，即可得到答案. （2）根据题意，分析可得：过A ，P ，M 三点的圆为以MP 为直径的圆，设P 的坐标为 ()3,m m ，用m 表示过A ，P ，M 三点的圆为()222320x y y m x y +--+-=，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案.【详解】（1）根据题意，点P 在直线l 上，设()3,P m m ，连接MP ，因为圆M 的方程为()222243021x y y x y +-+=⇒+-=，所以圆心()0,2M ，半径1r =，因为过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ；则有,PA MA PB MB ⊥⊥，且1MA MB r ===，易得APM BPM ∆≅∆，又由60APB ∠=︒，即30APM ∠=o ，则22MP MA ==，即有()()22324m m +-=，解得0m =或25m =，即P 的坐标为()0,0和62,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）根据题意，PA 是圆M 的切线，则PA MA ⊥，则过A ，P ，M 三点的圆为以MP 为直径的圆，设P 的坐标为()3,m m ，()0,2M ，则以MP 为直径的圆为()()()()0320x x m y m y --+--=，变形可得：()223220x y mx m y m +--++=，即()222320x y y m x y +--+-=，则有2220320x y yx y⎧+-=⎨+-=⎩，解得2xy=⎧⎨=⎩或3515xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则当0,2x y==和35x=，15y=时，()222320x y y m x y+--+-=恒成立，则经过A，P，M三点的圆必经过异于M的某个定点，且定点的坐标()0,2和31,55⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、圆中的定点问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.18．如图，三棱柱111ABC A B C-中，CA CB=，D为AB上一点，且1//BC平面1A CD.（1）求证：CD AB⊥；（2）若四边形11BCC B是矩形，且平面11BCC B⊥平面ABC，直线1A C与平面ABC 所成角的正切值等于2，23ACBπ∠=，23AB=111ABC A B C-的体积.【答案】（1）见详解；（2）3【解析】（1）连接1AC交1A C于点E，连接DE，利用线面平行的性质定理可得1//DE BC，从而可得D为AB的中点，进而可证出CD AB⊥（2）利用面面垂直的性质定理可得1BB⊥平面ABC，从而可得三棱柱111ABC A B C-为直三棱柱，在ABC∆中，根据等腰三角形的性质可得2CA CB==，进而可得棱柱的高为4，利用柱体的体积公式即可求解.【详解】（1）连接1AC交1A C于点E，连接DE，如图：由1//BC 平面1A CD ，且平面1ACD ⋂平面1ABC , 所以1//DE BC ，由E 为1AC 的中点，所以D 为AB 的中点，又Q CA CB =，∴CD AB ⊥（2）由四边形11BCC B 是矩形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面ABC ，即三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，在ABC ∆中，CA CB =，23ACB π∠=，23AB = 所以2CA CB ==，因为直线1A C 与平面ABC 所成角的正切值等于2，在1A AC ∆中，11tan 2AA ACA AC∠==，所以14AA =. 111111123144322A ABC ABC BC V S AA AB CD AA -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理，同时考查了线面角以及柱体的体积公式，属于基础题.19．已知圆心在直线20x y +=上的圆C 经过()2,2P 点，且与直线40x y +-=相切. （1）求过点P 且被圆C 截得的弦长等于4的直线方程；（2）过点P 作两条相异的直线分别与圆C 交于A ，B ，若直线PA ，PB 的倾斜角互补，试判断直线AB 与O P 的位置关系（O 为坐标原点），并证明.【答案】（1）2x =或2y =；（2）平行【解析】（1）设出圆的圆心为()2,n n -，半径为r ，可得圆的标准方程()()2222x n y n r ++-=，根据题意可得()()222222n n r r ⎧++-==，解出,n r 即可得出圆的方程，讨论过点P 的直线斜率存在与否，再根据点到直线的距离公式即可求解. （2）由题意知，直线P A ，PB 的倾斜角互补，分类讨论两直线的斜率存在与否，当斜率均存在时，则直线P A 的方程为：()22y k x -=-，直线PB 的方程为：()22y k x -=--，分别与圆C 联立可得,A B x x ，利用斜率的计算公式()()()224B B B A B A AB B A B A B Ak x k x k k x x y y k x x x x x x -----+-===---与1OP k =作比较即可. 【详解】（1）根据题意，不妨设圆C 的圆心为()2,n n -，半径为r ，则圆C ()()2222x n y n r ++-=，由圆C 经过()2,2P 点，且与直线40x y +-=相切，则()()222222n n r r ⎧++-==，解得0,n r ==，故圆C 的方程为：228x y +=，所以()2,2P 点在圆上，过点P 且被圆C 截得的弦长等于4的直线，当直线的斜率不存在时，直线为：2x = ，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ，直线方程为：220kx y k -+-=，故2d ===，解得0k =，故直线方程为：2y =.综上所述：所求直线的方程：2x =或2y =.（2）由题意知，直线P A ，PB 的倾斜角互补，且直线P A ，PB 的斜率均存在，设两直线的倾斜角为a 和b ， 1tan k a =，2tan k b =，因为180a b +=o ，由正切的性质，则120k k +=，不妨设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，即PA ：22y kx k =-+，则PB ：22y kx k =-++，由22228y kx k x y =-+⎧⎨+=⎩，得()()()2221414180k x k k x k ++-+--=， Q 点P 的横坐标为2一定是该方程的解，故可得222421A k k x k --=+，同理，222421B k k x k +-=+， 222448,11A B B A k k x x x x k k -∴+=-=++， ∴()()()2241B B B A B A AB OP B A B A B Ak x k x k k x x y y k k x x x x x x -----+-=====---, ∴直线AB 与O P 平行.【点睛】本题考查了圆的标准方程，已知弦长求直线方程，考查了直线与圆的位置关系以及学生的计算能力，属于中档题.。

福州八中2018—2019学年第二学期高一数学期末考试

福州八中2018—2019学年第二学期高一数学期末考试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、下列推理错误的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈l ，l ⊂α⇒A ∈α2、若αβ、是两个相交平面，点A 不在α内，也不在β内，则过点A 且与α 和β 都平行的直线( )A ．只有1条B ．只有2条C ．只有4条D ．无数条3、一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．．为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②4、等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8C ．±8D ．以上都不对5、在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S 为 ( ) A ．24 B ．48 C ．66 D ．1326、若a 、b 、c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（） A.11a b < B . 2211a b > C. 2211a bc c >++ D. ||||a c b c > 7、若A =(3)(7)x x ++，B =(4)(6)x x ++，则A 、B 的大小关系为( )A ．AB < B ．A B =C ．A B >D ．不确定8、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 18题图9、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于 ( ) A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶310、已知12,0,=+>b a b a ，则t a b=+11的最小值是( )A ．3+B ．3-．1+．111、下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体侧面积为( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π12、l 、m 、n 为三条不同的直线，α为一平面，下列命题正确的个数是（） ①若l α⊥，则l 与α相交；②若m α⊂，n α⊂，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥； ③若l ∥m ，m ∥n ，l α⊥则n α⊥； ④若l ∥m ，m α⊥，n α⊥则l ∥n . A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、已知a =(1,2), b =(x ,6)，且a ∥b ，则a —b = ．14、如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′.直线BA ′和CC ′的夹角是 .15、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为16、已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10 =_______.三、解答题(本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、（共10分）ABCD 与ABEF 是两个全等正方形，AM ＝FN ，其中M ∈AC ，N ∈BF .求证：MN ∥平面BCE .18、（共10分）如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．(1)求证：PA∥面BDE；(2)求证：BD⊥平面PAC19、（共10分）在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.(1)设b n＝an2n－1.证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.20、（共10分）长方体ABCD- A1 B1 C1D1中，AB=3、BC=A A1=4，点O是AC的中点，（1）求证：AD1∥平面DOC1；（2）求异面直线AD1与DC1所成角的余弦值．福州八中2018—2019学年第二学期高一数学期末考试1.C2.A3.B4.A5.D6.C7.A8.B9.A10.A11.B12.C13_____________14_____________15_____________16_____________17.18.19.20．(1)证明由已知a n＋1＝2a n＋2n，得b n＋1＝＝＝＋1＝b n＋1.∴b n＋1－b n＝1，又b1＝a1＝1.∴{b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知，b n＝n，＝b n＝n.∴a n＝n·2n－1.∴S n＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1两边乘以2得：2S n＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得：－S n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴S n＝(n－1)·2n＋1.。

2018—2019学年第二学期福建省中高一数学期末试卷及答案解析

2018—2019学年第二学期福建省高一数学期末试卷一、选择题1、将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即a 2012-5=（）A ．2018×2012B ．2018×2011C ．1009×2012D ．1009×2011 2、已知向量满足，若M为AB 的中点，并且，则λ+μ的最大值是 A ．B ．C ．D ．3、平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知（，则△ABC 的形状是A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 无法确定4、已知x =是函数f （x ）=sin （2x +φ）+cos （2x +φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f （x ）的图象向右平移个单位后得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）在[－，]上的最小值为A ．－2B ．－1C ．－D ．－5、已知α为锐角，且A ．B ．C ．－D ．±6、在△ABC 中，，则这个三角形一定是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角D ．等腰或直角三角形 7、已知若，则实数对（λ1，λ2）为A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（-1，-1）D ．无数对 8、若将函数f （x ）=2sinxcosx -2sin 2x +1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最大负值是A ．－B ．－C ．－D ．－9、若递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=2，S 3=7，则公比q 等于A ．2B ．C ．2或D ．无法确定 10、若AD 是△ABC 的中线，已知=，，则等于A ．B ．C ．D ．11、设a n =（n ∈N *），则a 3=A ．B ．C ．D ．12、化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为A ．B ．C ．－D ．－二、填空题13、给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos （A －B ）cos （B －C ）cos （C －A ）=1，则△ABC 为正三角形。

福建省福州市八县(市)一中2018-2019学年高一下学期期末数学试题

绝密★启用前福建省福州市八县（市)一中2018-2019学年高一下学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．直线 y ＝﹣x +1的倾斜角是（） A ．30B ．45C ．135D ．1502．某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（）A ．15B ．16C ．30D ．313．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”4．设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若//,//m n αα，则//m n ； ②若//,//,m αββγα⊥则m γ⊥；③若,//m n αα⊥，则m n ⊥； ④若,αγβγ⊥⊥,则//αβ，其中正确命题的序号是（） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④…………装……………○……※※请※※不※※要※※在※※题※※…………装……………○……5．已知直线1:210l ax y+-=，直线2:820l x ay a++-=，若12l l//，则直线1l与2l的距离为（）A B C．5D6．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示,则5个剩余分数的方差为( )A．1167B．365C．36D．57．已知直线(32)60k x y---=不经过第一象限，则k的取值范围为（）A．3,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭B．3,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A．20，22.5B．22.5，25C．22.5，22.75D．22.75，22.759．三棱锥,10,8,6P ABC PA PB PC AB BC CA-======则二面角P AC B--的大小为( )A．90︒B．60︒C．45︒D．30︒10．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A．1B．2C．4D．811．已知点(1,1)A 和点(4,4)B ， P 是直线10x y -+=上的一点，则||||PA PB +的最小值是（） A ．B C D ．12．在三棱锥S ABC -中，2,1SA SB AC BC SC =====，二面角S AB C --的大小为60︒，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（） A ．43π B ．4π C ．12π D ．523π…外…………○…※…内…………○…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．若(2,3),(3,2),(4,)A B C m --三点共线则m 的值为________.14．已知圆C 的圆心在直线30x y -=，与y 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为C 的标准方程为________.15．P 是棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 的中点，沿正方体表面从点A 到点P 的最短路程是_______.16．利用直线与圆的有关知识求函数()312f x x =-的最小值为_______. 三、解答题17．已知直线1:2310l x y +-=与直线2:3280l x y --=的交点为P ，点Q 是圆222430x y x y +--+=上的动点.（1）求点P 的坐标；（2）求直线PQ 的斜率的取值范围.18．如图所示，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC的中点，12,3AA AB BC ＝＝＝.（1）求证：1AB //平面1BC D ；（2）求1AB 与BD 所成角的余弦值．19．某中学从高三男生中随机抽取n 名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如………装…………○……_________姓名：___________班级：___………装…………○……表所示：（1）求出频率分布表中,,n a b 的值，并完成下列频率分布直方图；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.20．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值…………线……………………线…………都不超过5的概率．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，//,AD BC AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD .（1）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若2PA AB BC AD ===，且二面角P BC A --等于45︒，求直线BD 与平面PBC 所成角的正弦值.22．已知两个定点(0,4),(0,1)A B ，动点P 满足||2||PA PB =.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的,C D 两点，且120COD ︒∠=（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若1k =， Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线,QM QN ，切点为,M N ，探究：直线MN 是否过定点.参考答案1．C 【解析】【分析】由直线方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角．【详解】直线y ＝﹣x +1的斜率为﹣1，设倾斜角为α，则tan α＝﹣1， ∴α＝135° 故选：C ．【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题． 2．D 【解析】【分析】根据分层抽样的定义和性质进行求解即可．【详解】根据分层抽样原理，列方程如下，15450480450n =+，解得n ＝31．故选：D ．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键． 3．C 【解析】分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A 中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A 错误；在B 中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；在C 中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C 正确；在D 中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D 错误．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系. 4．B 【解析】【分析】①利用线面平行的性质可得：若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 、相交或为异面直线；②利用平面平行的传递性和平行平面的性质可得：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m ⊥α，则m ⊥γ；③利用线面垂直的性质可得：若,//m n αα⊥，则m n ⊥；；④利用面面垂直的性质可得：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交．【详解】①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 、相交或为异面直线，不正确； ②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m ⊥α，则m ⊥γ；正确； ③若,//m n αα⊥，则m n ⊥；正确；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，不正确．综上可知：②和③正确．故选：B ．【点睛】本题综合考查了空间中线面的位置关系及其判定性质，属于基础题． 5．A 【解析】【分析】利用直线平行的性质解得a ，再由两平行线间的距离求解即可【详解】∵直线l 1：ax +2y ﹣1＝0，直线l 2：8x +ay +2﹣a ＝0，l 1∥l 2， ∴82a a -=-，且122a a-≠ 解得a ＝﹣4．所以直线l 1：4x -2y +1＝0，直线l 2：4x -2y +3＝0，故1l 与2l5=故选：A ．【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用． 6．B 【解析】【分析】由剩余5个分数的平均数为21，据茎叶图列方程求出x ＝4，由此能求出5个剩余分数的方差．【详解】∵将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为21， ∴由茎叶图得：1724202020215x+++++=得x ＝4，∴5个分数的方差为： S 2=()()()()()222221361721242120212021242155⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦ 故选：B 【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 7．D 【解析】【分析】由题意可得3﹣2k ＝0或3﹣2k ＜0，解不等式即可得到所求范围．【详解】直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限，可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，解得k32 ，则k的取值范围是[32，+∞）．故选：D．【点睛】本题考查直线方程的运用，注意运用直线的斜率为0的情况，考查运算能力，属于基础题．8．C【解析】【分析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．【详解】：根据频率分布直方图，得平均数为5（12.5×0.02+17.5×0.04+22.5×0.08+27.5×0.03+32.5×0.03）＝22.75，∵0.02×5+0.04×5＝0.3＜0.5，0.3+0.08×5＝0.7＞0.5；∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3+（x﹣20）×0.08＝0.5，解得x＝22.5；∴这批产品的中位数是22.5．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数平均数的应用问题，是基础题目．9．B【解析】【分析】P在底面的射影是斜边的中点，设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，则∠PED即为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角，在直角三角形PED 中求出此角即可．【详解】因为AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6 所以底面为直角三角形又因为P A ＝PB ＝PC = 所以P 在底面的射影为直角三角形ABC 的外心，为AB 中点．设AB 中点为D 过D 作DE 垂直AC ，垂足为E ，所以DE 平行BC ，且DE 12=BC ＝4，所以∠PED 即为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角．因为PD 为三角形P AB 的中线，所以可算出PD ＝所以tan ∠PED PDDE== 所以∠PED ＝60°即二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为60° 故答案为：60°．【点睛】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，确定出二面角的平面角是解答本题的关键． 10．C 【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体， ∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P 1227==49故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题． 11．D 【解析】【分析】求出A 关于直线l ：10x y -+=的对称点为C ，则BC 即为所求【详解】如下图所示：点(1,1)A ，关于直线l ：10x y -+=的对称点为C （0,2），连接BC,此时||||PA PB +的最小值为BC == 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，难度不大，属于中档题． 12．D 【解析】【分析】取AB 中点F,SC 中点E ，设ABC △的外心为1O ，外接圆半径为,r 三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，由()22212r r r =+-⇒=，在四边形1OO CE 中，设OCE α∠=，外接球半径为,R，则122cos cos cos 3απαα=⇒=⎛⎫- ⎪⎝⎭R可求，表面积可求【详解】取AB 中点F,SC 中点E,连接SF,CF, 因为2,SA SB AC BC ====则,,PF AB CF AB SFC ⊥⊥∴∠为二面角S AB C --的平面角，即60SFC ∠=又1,SC AB =∴=设ABC △的外心为1O ，外接圆半径为,r 三棱锥S ABC -的外接球球心为O 则1OO ⊥面,ABC OE PC ⊥，由()22212r r r =+-⇒=在四边形1OO CE 中，设OCE α∠=，外接球半径为,R，则1122cos cos cos 3R απαα=⇒===⎛⎫- ⎪⎝⎭则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为25243R ππ= 故选：D【点睛】本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题 13．3- 【解析】根据三点共线与斜率的关系即可得出．【详解】 k AB ()2332--==---1，k AC 33246m m --==---．∵(2,3),(3,2),(4,)A B C m --三点共线， ∴﹣136m-=-，解得m ＝3-．故答案为3-．【点睛】本题考查了三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++= 【解析】【分析】由圆心在直线x ﹣3y ＝0上，设出圆心坐标，再根据圆与y 轴相切，得到圆心到y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r ，距离d ，由圆的半径r 及表示出的d 利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解得到t 的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【详解】设圆心为（3t ，t ），半径为r ＝|3t |，则圆心到直线y ＝x 的距离d ==t |，而 2＝r 2﹣d 2，9t 2﹣2t 2＝7，t ＝±1，∴圆心是（3，1）或（-3，-1）故答案为22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=．【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．15．【分析】从图形可以看出图形的展开方式有二，一是以底棱BC ，CD 为轴，可以看到此两种方式是对称的，所得结果一样，另外一种是以侧棱为轴展开，即以BB 1，DD 1为轴展开，此两种方式对称，求得结果一样，故解题时选择以BC 为轴展开与BB 1为轴展开两种方式验证即可【详解】由题意，若以BC 为轴展开，则AP 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为4，6，故两点之间的距离是若以BB 1为轴展开，则AP 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，8，故两点之间的距离是故沿正方体表面从点A 到点P 的最短路程是故答案为【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，求解的关键是能够根据题意把求几何体表面上两点距离问题转移到平面中来求 16．3 【解析】【分析】令y =()()22290x y y -+=≥，()312f x x =-转化为z=3412x y -+=341255x y -+⨯，再利用圆心到直线距离求最值即可【详解】令y =()()22290x y y -+=≥故()312f x x =-转化为z=3412x y -+=341255x y -+⨯，表示上半个圆上的点到直线34120x y -+=的距离的最小值的5倍，即185335⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，是中档题 17．（1）(2,1)-；（2）(,1][7,)-∞-⋃+∞. 【解析】【分析】（1）联立方程23103280x y x y +-=⎧⎨--=⎩求解即可；（2）设直线PQ 的斜率为k ，得直线PQ 的方程为210kx y k ---=，由题意，直线PQ≤求解即可【详解】（1）由23103280x y x y +-=⎧⎨--=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩ ∴P 的坐标为(2,1)-P ∴的坐标为(2,1)- .（2）由222430x y x y +--+=得22(1)(2)2x y -+-=∴圆心的坐标为(1,2) 设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为210kx y k ---= 由题意可知，直线PQ 与圆有公共点≤ 1k ∴≤-或7k ≥∴直线PQ 的斜率的取值范围为(,1][7,)-∞-⋃+∞. 【点睛】本题考查直线交点坐标，考查直线与圆的位置关系，考查运算能力，是基础题18．（1）证明见解析；（2 . 【解析】【分析】（1）连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD .证明 OD 为1AB C ∆的中位线，得1//OD AB ，即可证明；（2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角，在OBD∆中，利用余弦定理求解即可【详解】(1)证明：如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD . ∵四边形11BCC B 是平行四边形． ∴点O 为1B C 的中点． ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为1AB C ∆的中位线，1//OD AB ∴OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 1//AB ∴平面1BC D .（2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角在Rt ABC ∆中，D 为AC 的中点，则2AC BD ==同理可得，2OB =在OBD ∆中，222cos 213OD BD OB ODB OD BD +-∠==⋅1AB ∴与BD . 【点睛】本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，考查空间想象能力与计算能力是基础题19．（1）直方图见解析；（2）67. 【解析】【分析】（1）由题意知，0.0505n=，从而n ＝100，由此求出第2组的频数和第3组的频率，并完成频率分布直方图．（2）利用分层抽样， 35名学生中抽取7名学生，设第1组的1位学生为1A ，第4组的4位同学为1234,,,B B B B ,第5组的2位同学为12,C C ，利用列举法能求出第4组中至少有一名学生被抽中的概率．【详解】（1）由频率分布表可得50.050.3530n an b n ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，100,35,0.3n a b === ；（2）因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组75135⨯=；第4组720435⨯=；第5组710235⨯=. 设第1组的1位学生为1A ，第4组的4位同学为1234,,,B B B B ,第5组的2位同学为12,C C . 则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：{}{}{}{}{}1112131411,,,,,,,,A B A B A B A B A C ，{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12121314111223232422,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A C B B B B B B B C B C B B B B B S B C {}{}{}{}{}{}343132414212,,,,,,,,,,,B B B C B C B C B C C C 一共21种.记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件A ，即A 包含的基本事件分别为：{}{}{}1112122,,,,A C A C C C 一共3种，于是31()217P A == 所以，6()1()7P A P A =-= . 【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 20．（1） 6.517.5y x =+；（2）310 .【解析】【分析】（1）首先求出x ，y 的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a 的值，写出线性回归方程．（2）由古典概型列举基本事件求解即可【详解】 (1)2456830406050705,5055x y ++++++++====51522113805550ˆ 6.5145555i ii ii x y nxybxnx ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑a 50 6.5517.5y bx =-=-⨯=，因此，所求回归直线方程为： 6.517.5y x =+. (2)基本事件：()()()()()()()()()30,4030,6030,5030,7040,6040,5040,7060,5060,7050,(7)0，，，，，，，，，共10个，两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：()()()30,4030,7040,70，，共3个所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为310. 【点睛】本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查古典概型，是基础题21．（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）由/,AD B C A D A B ⊥得，BC AB ⊥，由侧面PAB ⊥底面ABCD 得BC ⊥侧面PAB ，由面面垂直的判定即可证明；（2）由BC ⊥侧面PAB ，可得,BC PB BC AB ⊥⊥，得PBA ∠是二面角P BC A --的平面角，45PBA ︒∠=，推得PAB ∆为等腰直角三角形，取PB 的中点E ，连接AE 可得AE PB ⊥，由平面PAB ⊥平面PBC ，得AE ⊥平面PBC ，证明//AD 平面PBC ，得点D 到平面PBC 的距离d 等于点A 到平面PBC 的距离，d AE =，再利用sind AE BD BD θ====求解即可【详解】（1）证明：由//,AD BC AD AB ⊥可得，BC AB ⊥因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，交线为,AB BC ⊂底面ABCD 且BC AB ⊥ 则BC ⊥侧面PAB ，BC ⊂平面PBC 所以，平面PAB ⊥平面PBC ；（2）由BC ⊥侧面PAB 可得，,BC PB BC AB ⊥⊥，则PBA ∠是二面角P BC A --的平面角，45PBA ︒∠= 由PA AB =可得，PAB ∆为等腰直角三角形取PB 的中点E ，连接AE 可得AE PB ⊥因为平面PAB ⊥平面PBC ，交线为,PB AE ⊂平面PAB 且AE PB ⊥所以AE ⊥平面PBC ，点A 到平面PBC 的距离为AE .因为//,AD BC AD ⊄平面PBC则//AD 平面PBC所以点D 到平面PBC 的距离d 等于点A 到平面PBC 的距离，d AE =.设1AD =，则2PA AB BC ===在PAB ∆中，AE =ABD ∆中，BD =设直线BD 与平面PBC 所成角为θ即sin d AE BD BD θ====所以，直线BD 与平面PBC【点睛】本题考查面面垂直的判定，二面角及线面角的求解，考查空间想象能与运算求解能力，关键是线面平行的性质得到点D 到面的距离,是中档题22．（1）224x y +=；（2）（3）(1,1)-.【解析】【分析】（1）设点P 坐标为（x ，y ），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，由点到线的距离公式得直线l 的斜率；（3）由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设(,4)Q t t -，则圆F的圆心为4,22t t -⎛⎫ ⎪⎝⎭运用直径式圆的方程，得直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，结合直线系方程，即可得到所求定点．【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y由||2||PA PB ==整理可得224x y +=所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=.（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=1=，解得k =所以直线l 的斜率为（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则M N ，都在以OQ 为直径的圆F 上Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭，且经过坐标原点即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---= ，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上由222245(4)0x y x y x t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--= 即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=由t R ∈且()440t x y y +--=可得，0440x y y +=⎧⎨+=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩所以直线MN 是过定点(1,1)-.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

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2018—2019学年度第二学期八县(市)一中期末联考高中一年数学科试卷命题学校：罗源一中命题、复核：高一集备组完卷时间：120分钟满分：150分参考公式：球的表面积公式：24S r π=，∑∑∑∑====Λ--=---=ni ini ii ni ini iixn xyx n y x x x y yx x b 1221121)())((，x b y a ΛΛ-=一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 直线03=-+y x 的倾斜角是( )A. 30B. 45C. 135D. 1502.某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为( ) A.15 B.61 C.30 D.313.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球” 4.设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m //α，n //α，则m n // ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ) A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．①和④5.已知直线012:1=-+y ax l ，直线028:2=-++a ay x l ，若21//l l ，则直线1l 与2l 的距离为（） A ．55 B ．552 C ．554 D ．5 6. 将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：1 7 7 249x则5个剩余分数的方差为( )A.7116 B.536C ．36 D.576 7．已知直线06)23(=---y x k 不经过第一象限，则k 的取值范围为（） A ．)23,(-∞ B ．]23,(-∞ C ．),23(+∞ D ．),23[+∞8．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ． 22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.759．三棱锥,10,8,6,P ABC PA PB PC AB BC CA -======则二面角P AC B --的大小为( )A ．90 B ．60 C ．45 D ．3010. 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A.271 B.92 C.94 D.278 11．已知点)1,1(A 和点)4,4(B ，是直线01=+-y x 上的一点，则PB PA +的最小值是（） A ．63 B ．34 C ．5 D ． 5212. 在三棱锥ABC S -中，1,2=====SC BC AC SB SA ，二面角C AB S --的大小为60，则三棱锥ABC S -的外接球的表面积为（） A ．34π B ． π4 C ．π12 D ． 352π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若(2,3),(3,2),(4,)A B C m --三点共线则的值为___________14. 已知圆C 的圆心在直线03=-y x ，与轴相切，且被直线0=-y x 截得的弦长为72，则圆C 的标准方程为____________15.是棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -的棱1CC 的中点，沿正方体表面从点到点的最短路程是________16. 利用直线与圆的有关知识求函数12)2(943)(2+---=x x x f 的最小值为_______ 三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知直线0132:1=-+y x l 与直线0823:2=--y x l 的交点为P ，点Q 是圆034222=+--+y x y x 上的动点.（1）求点P 的坐标；（2）求直线PQ 的斜率的取值范围.18．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2,BC ＝3.（1）求证：AB 1∥平面BC 1D ；（2）求1AB 与BD 所成角的余弦值．19.（本小题满分12分）某中学从高三男生中随机抽取名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示：（1）求出频率分布表中b a n ,,的值，并完成下列频率分布直方图；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.20．（本小题满分12分）某种产品的广告费支出x 与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：(1)(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AB AD BC AD ⊥,//，侧面⊥PAB 底面ABCD . （1）求证：平面⊥PAB 平面PBC ；（2）若AD BC AB PA 2===，且二面角A BC P --等于o45，求直线BD 与平面PBC 所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知两个定点)1,0(),4,0(B A ，动点满足PB PA 2=.设动点的轨迹为曲线，直线l ：4-=kx y . （1）求曲线的轨迹方程；（2）若l 与曲线交于不同的D C ,两点，且oCOD 120=∠（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若1=k ，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线的两条切线QN QM ,，切点为N M ,，探究：直线MN 是否过定点.2018—2019学年下学期八县一中联考数学期末试卷参考答案13、3- 14、 9)1()3(22=-+-y x 或9)1()3(22=+++y x 15、132 16、3解：（1）由⎩⎨⎧=--=-+08230132y x y x 得⎩⎨⎧-==12y x 3................................................)1,2(-∴的坐标为P 4............................................................................. （2）由2)2()1(03422222=-+-=+--+y x y x y x 得2),2,1(半径为圆心的坐标为∴5............................................................... 设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为012=---k y kx 6................................................ 由题意可知，直线PQ 与圆有公共点即211222≤+---k k k 8......................................................................71≥-≤∴k k 或 9.................................................................................. ),7[]1,(+∞⋃--∞∴的斜率的取值范围为直线PQ 10...................................18、(1)证明：如图，连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD.1.......................∵四边形BCC 1B 1是平行四边形．∴点O 为B 1C 的中点． 2............................................... ∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB 1C 的中位线，∴OD ∥AB 1.4....................... ∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， 5............................................... ∴AB 1∥平面BC 1D. 6............................................... （2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角7....................... 21==AB AA 221=∴AB 2=∴OD2132AC ==∆AC BD D ABC Rt 的中点，则为中，在 O50.050.3530na nb nì=ïïïï=íïïï=ïî 同理可得，213=OB 9 (13)262cos 222=⋅-+=∠∆BD OD OB BD OD ODB OBD 中，在 11.......................13261所成角的余弦值为与BD AB ∴ 12............................................... （注：其它方法酌情给分）19、解：（1）由频率分布表可得，所以，100,35,0.3n a b ===------ 3分------ 6分（2）因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组75135?；第4组720435?；第5组710235?. --------------- 8分设第1组的1位学生为1A ，第4组的4位同学为1234,,,B B B B ,第5组的2位同学为12,C C . 则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：{}11,,A B {}12,,A B {}13,,A B {}14,,A B {}11,,A C{}12,,A C {}12,,B B {}13,,B B {}14,,B B {}11,,B C {}12,,B C {}23,,B B {}24,,B B {}21,,B C {}22,,B C {}34,,B B {}31,,B C {}32,,B C {}41,,B C {}42,B C ，{}12,,C C 一共21种. ------------ 10分记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件，即A 包含的基本事件分别为：{}11,,A C {}12,,A C {}12,,C C 一共3种，于是()31217P A == 所以，()()617P A P A =-=------------ 12分20、解：(1)x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50 2.............. .∑∑==Λ--=512251i i i ii xn x yx n yx b ＝1 380－5×5×50145－5×5×5＝6.5，4.................................a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5， 5................................. 因此，所求回归直线方程为：y ^＝6.5x ＋17.5. 6 (2)基本事件：(30,40)，，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个， 10..........................................................两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：(30,40)，(30,70)，(40,70)共3个所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为103. 12.................. （注：其它写法酌情给分）21、（1）证明：由//,AD BC AD AB ^可得，BC AB ^因为，侧面PAB ^底面ABCD ，交线为AB ，BC Ì底面ABCD 且BC AB ^ 则 BC ^侧面PAB ，BC Ì平面PBC所以，平面PAB ^平面PBC ------------ 4分（2）解法一：由 BC ^侧面PAB 可得，BC PB ^，BC AB ^ 则 PBA Ð是二面角P BC A --的平面角，45o PBA?由PA AB =可得，PAB D 为等腰直角三角形 ------------ 6分取PB 的中点，连接AE 可得AE PB ^因为平面PAB ^平面PBC ，交线为PB ，AE Ì平面PAB 且AE PB ^所以AE ^平面PBC ，点到平面PBC 的距离为AE . ------------ 8分因为//,AD BC AD Ë平面PBC 则//AD 平面PBC所以点到平面PBC 的距离d 等于点到平面PBC 的距离，d AE =. 设1AD =，则2PA AB BC ===在PAB D 中，AE ；在ABD D 中，BD = ------------ 10分设直线BD 与平面PBC 所成角为q即sin5d AE BD BD q ===所以，直线BD 与平面PBC 分解法二：由 BC ^侧面PAB 可得，BC PB ^，BC AB ^ 则 PBA Ð是二面角P BC A --的平面角，45o PBA?由PA AB =可得，PAB D 为等腰直角三角形，PA AB ^ ------------ 6分由 BC ^侧面PAB 可得，BC PA ^，且AB BCB ?所以PA ^平面ABCD ------------8分设1AD =，点到平面PBC 的距离为d ，则2PA AB BC ===由D PBC P BCD V V --=可得，1133PBC BCD S d S PA D D 鬃=鬃22=?，解得d ------------10分设直线BD 与平面PBC 所成角为q即sin d BD q =所以，直线BD 与平面PBC 分 22、解：（1）设点的坐标为(),x y由2PA PB ==整理可得 224x y +=所以曲线的轨迹方程为224x y +=. ----------- 3分（2）依题意，2OC OD ==，且0120COD ?，则点O 到CD 边的距离为即点()0,0O 到直线l ：40kx y --=1= ，解得 k =?所以直线l 的斜率为分（3）依题意，,ON QN OM QM ^^，则,M N 都在以OQ 为直径的圆上 Q 是直线l ：4y x =-上的动点，设(),4Q t t - 则圆的圆心为4,22t t 骣-琪琪桫，且经过坐标原点即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---= ----------- 9分又因为,M N 在曲线：224x y +=上由22224(4)0x y x y tx t y ì+=ïíï+---=î，可得(4)40tx t y +--= 即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--= 由t R Î且()440t x y y +--=可得，04+40x y y ì+=ïí=ïî 解得11x y ì=ïí=-ïî所以直线MN 是过定点()1,1-. ----------- 12分。