数理方程30题

所以初边值问题的解为
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y
0
L
例 7．求解双曲型方程初边值问题
⎪⎪⎨⎧uu
tt =
x=0
a 2u xx , = 0, u
x∈
x=π
(0, π =0
),
t
∈
(0,
+ ∞)
⎪ ⎪⎩u t=0
= sin x,
ut
t=0
=0
解：对应的固有值和固有函数分别为： λn = n 2 ， X n (x) = sin nx ，（n=1，2，……）。
应用牛顿第二定律，得
T(x
+
dx, t )
−
T
( x, t )
=
1 3
ρ[(x
+
dx)S ( x
+
dx)
−
xS ( x)]utt
( x, t )
由于圆锥截面积
微元（圆台）体积
S(x) = π ( R x)2 L
1 ρ[(x + dx)S(x + dx) − xS(x)] = 1 ρπ ( R )2 (3x2dx + 3xdx2 + dx3 )
解：利用判别式
∆ = a122 − a11a22 = 25 − 9 > 0
所以方程是双曲型方程。构造辅助方程
解得： λ1 = 9 ， λ2 = 1 ，由
积分，得
λ2 − 10λ + 9 = 0
dy = 9 ， dy = 1
dx
dx
由此构造变换
y = 9x + C1 ， y = x + C2 ξ = 9x − y ，η = x − y
utt
=
a 2 (u xx
+
2 x ux)
二、二阶偏微分方程化简与求通解
只考虑未知函数是两个自变量情形，即 u(x, y) 。考虑二阶偏微分方程只有二阶导数部分
a11u xx + 2a12u xy + a22u yy = 0
题目分常系数和变系数两类，前者简单。利用系数构造一元二次方程
a11λ2 − 2a12λ + a22 = 0
满足边界条件和初值条件的解为
∑ u( x, t )
=
∞ n=1
Bn (t) sin
nπ L
x
其中系数是
t
的函数：
Bn
(t)
=
Cn
cos
nπa L
t
+
Dn
sin
nπa L
t
。而
∫ ∫ Cn
=
2 L
Lϕ(ξ ) sin
0
nπ L
ξdξ
， Dn
=
2 nπa

Lψ (ξ ) sin nπ ξdξ ，（n=1，2，……）
sin α1 ≈ tanα1 = ux (x)
代入牛顿第三定律的表达式，有
ρg(L − x − dx)ux (x + dx,t) − ρg(L − x)ux (x,t) ≈ ρds utt 上式两端同除以 ρds ，得
由于 ds ≈ dx ，而
g
(L
−
(x
+
dx))ux (x + dx) ds
−
(L
⎧ X ′′ + λX = 0, x ∈ (0, L)
⎨ ⎩
X
′(0)
=
0,
X
(L)
=
0
固有值和固有函数
λn
=
(
n
+ 1/ L
2
π
)
2
，
X
n
(
x)
=
cos( n + 1/ 2 π L
x)
4．第四种边界条的固有值问题
⎧ X ′′ + λX = 0, x ∈ (0, L)
⎨ ⎩
X
(0)
=
0,
X
′(L)
=
数学物理方程常规例题
一、数学模型例题
(1-30 题)
例 1． 密度为 ρ 均匀柔软的细弦线 x =0 端固定，垂直悬挂，在重力作用下，横向拉它一下，
使之作微小的横振动。试导出振动方程。
解：考虑垂直悬挂的细弦线上一段微元 ds，该微元在坐标轴上投影为区间[x，x+dx]，在微
元的上端点处有张力：
在下端点处有张力：
显然，变换矩阵为
Q
=
⎡ξ x ⎢⎣η x
ξy ηy
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡9 ⎢⎣1
− 1⎤ − 1⎥⎦
且
[9
−
⎡1 1]⎢⎣5
5⎤ ⎡1 9⎥⎦ ⎢⎣−
⎤ 1⎥⎦
=
[9
−
⎡− 1]⎢⎣−
4⎤ 4⎥⎦
=
−32
≠
0
将变换表达式代入方程，化简得 uξη = 0 ，对其积分，得 u = f (ξ ) + g(η)
其中， f , g 是两个任意一元函数（二阶连续可微）。代回原来变量，得原方程的通解
满足边界条件的解为
∞
∑ u(x,t) = [Cn cos ant + Dn sin ant]sin nx n=1
利用初值条件，得
∞
∞
∑ Cn sin nx = sin x ， a∑ nDn sin nx = 0
n=1
n=1
对比等式两端，得
C1=1，Cn =0，（n=2，3，……）；Dn = 0，（n=1，2，……）
待解出根 λ1 和 λ2 后，再求出两个一阶常微分方程 y′ = λ1 和 y′ = λ2 的通解。如果是方程中
系数为常系数，则两个根也为常数，只需积分一次即可得通解。如果方程中系数为变系数，
则两个根不再是常数，需要用解一阶常微分方程的手段来求通解。
例 3．判别二阶微分方程 uxx + 10uxy + 9u yy = 0 的类型并求通解。
分解因式，得
( yλ − 2x)( yλ − 4x) = 0
所以
dy = 2x / y ， dy = 4x / y
dx
dx
解常微分方程得
得变换
⎪⎧ y 2 ⎪⎩⎨ y 2
= =
2x2 4x2
+ +
C1 C2
⎪⎧ξ ⎪⎩⎨η
= =
2x2 4x2
− −
y2 y2
，
⎡ξ x ⎢⎣ξ y
ηx ηy
⎤ ⎥ ⎦
得标准方程， uξξ = 0
方程的通解为： u = f (ξ ) + g(η) = f (2sin x + cos y) + g(4sin x + cos y)
三、分离变量法
1．固有值问题 （1）第一类边界条件固有值问题
⎧ X ′′ + λX = 0, x ∈ (0, L)
⎨ ⎩
X
(0)
=
0,
X
(L)
=
0,
y t=1 = 0 。
所以固有值和固有函数为： λn = (nπ )2 ， y = sin nπ t
代回原自变量，固有函数为： y = sin(nπ ln x)
2．双曲型方程分离变量法
⎧u ⎪
tt
=
a 2uxx , (0 <
x
<
L, t
>
0)
⎨u x=0 = 0, u x=L = 0
⎪⎩u t=0 = ϕ (x), ut t=0 = ψ (x)
f , g 是两个任意一元函数（二阶连续可微）。代回原来变量，得通解
u(x, y) = f (2x2 − y 2 ) + g(4x2 − y 2 )
例 5．化简微方程并求方程通解。
sin 2 y uxx + 6 cos x sin y uxy + 8cos2 x u yy = 0