山东省济南市八年级数学试卷
山东省济南市八年级数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2020·金东模拟) 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）一元二次方程化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为，则的值为（）.
A .
B . 1
C .
D .
3. （2分）一组数：8，9，7，10，6，9，9，6，则这组数的中位数与众数的和是（）
A . 16.5
B . 17
C . 17.5
D . 18
4. （2分）物业公司为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量/t4569
户数3421
则下列关于这10户家庭的月用水量的说法，错误的是（）
A . 中位数是5 t
B . 众数是5 t
C . 方差是3
D . 平均数是5.3 t
5. （2分）下列说法正确的是（）
A . 3的平方根是
B . 对角线相等的四边形是矩形
C . 近似数0.2050有4个有效数字
D . 两个底角相等的梯形一定是等腰梯形
6. （2分）(2020·三门模拟) 如图，D，E两点分别在，上，点F在上，G，H两点在上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，和的面积分别为9和4，则的面积为（）
A . 18
B . 20
C . 22
D . 25
7. （2分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）
A . 50（1+x）2=182
B . 50+50（1+x）+50（1+x）2=182
C . 50(1+2x)＝182
D . 50+50（1+x）+50（1+2x）=182
8. （2分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的
值为（用含a的代数式表示）（）
A . a
B .
C . a
D .
9. （2分）(2019·寿阳模拟) 如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）
A . 30°或50°
B . 30°或60°
C . 40°或50°
D . 40°或60°
10. （2分） (2019八下·江津期中) 如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.则下列结论正确的是（）
①四边形AEGF是菱形;②△AED≌△GED;③∠DFG=122.5°;④BC+FG=1.5
A . ①②③
B . ①②
C . ②③④
D . ①②③④
二、填空题 (共10题；共10分)
11. （1分） (2017八上·深圳月考) 在函数中，自变量x的取值范围是________
12. （1分） (2020九上·苏州期末) 数据2，3，2，4，2，5，3的中位数是________．
13. （1分） (2020八下·永春月考) 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是________．
14. （1分） (2019九下·温州竞赛) 某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师笔试、面试成绩如下表所示，综合成绩按照笔试占60%，面试占40%进行计算，学校录取综合成绩得分最高者。
被录取教师的综合成绩为________分。
成绩甲乙丙
笔试80分82分78分
面试76分74分74分
15. （1分） (2015八下·江东期中) 如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAD，且AB=AE，连接DE 并延长与AB的延长线交于点F，连接CF，若AB=1cm，则△CEF面积是________ cm2 ．
16. （1分）一元二次方程ax2+3x+4a﹣3b=0一根是1，则7﹣10a+6b的值为________ ．
17. （1分） (2017八下·滦县期末) 如图，已知菱形ABCD中，∠ABD=70°，则∠ABC=________．
18. （1分） (2020九上·端州期末) 当________时，在实数范围内有意义．
19. （1分） (2020八下·玄武期末) 如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H.若AC=a，BD=b，则四边形EFGH的面积是________.
20. （1分） (2017七上·温州月考) 有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一
个数都等于它前面两上数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2所示的长方形并记为①、②、③、④．若按此规律继续作长方形，则序号为⑧的长方形的周长是________．
三、解答题 (共7题；共45分)
21. （5分） (2018七下·浦东期中) 计算：
22. （5分）已知菱形的边长是5cm，一条对角线的一半长是方程x2﹣3x﹣4=0的根，你能求出这个菱形的面积吗？
23. （10分）为了解用电量的多少，李明在六月初连续八天同一时刻观察电表显示的度数，记录如下：
（1）估计李明家六月份的总用电量是多少度；
（2）若每度电的费用是0.5元，估计李明家六月份共付电费多少元？
24. （5分）(2011·梧州) 如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
25. （5分） (2020八下·扬州期中) 已知关于x的一元二次方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3= 0有解，求k的取值范围.
26. （10分） (2018九上·黑龙江期末) 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
27. （5分） (2019八上·德州期中) 已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且
∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
答案：1-1、
考点：
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答案：2-1、
考点：
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答案：3-1、
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答案：4-1、
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答案：5-1、考点：
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答案：7-1、考点：
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答案：9-1、考点：
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答案：10-1、考点：
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二、填空题 (共10题；共10分)答案：11-1、
考点：
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答案：12-1、考点：
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答案：19-1、考点：
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答案：20-1、
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三、解答题 (共7题；共45分)答案：21-1、
考点：
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答案：22-1、考点：
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答案：23-1、
答案：23-2、考点：
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答案：24-1、考点：
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答案：26-1、
答案：26-2、考点：
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答案：27-1、
考点：解析：。
山东省济南市市中区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)
八年级期末学业质量检测数学试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列各数中，是无理数的是（ ）A ．B ．C ．D ．02．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．满足下列条件中的，不是直角三角形的是（ ）A ． ，，B ．C ．D ． 4．下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．已知一次函数的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．已知二元一次方程组，则的值为（ ）A ．2B ．6C ．D ． 7．若点和关于轴对称，则的值为（ ）A ．B ．1C ．D ． 8．如图，在中，和的平分线交于点，连接，若cm ，cm ，的面积为，则的面积为（）3.142πABC △21a =22b =23c =A B C ∠-∠=∠::3:4:5A B C ∠∠∠=::7:24:25a b c===2=32÷=y kx b =+0,0k b >>0,0k b ><0,0k b <>0,0k b <<3531x y x y +=⎧⎨+=⎩x y -2-6-()11,2P a -()23,1P b -x ()2024a b +20243-2024320245ABC △BAC ∠ABC ∠O OC 6AB =10BC =ABO △218cm BOC △A ．B ．C ．D ． 9．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．10．一次函数，，点是与轴围成的三角形内一点（含边界），令，的最大值为，则的值为（）A ．B ．1C ．D ．2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．）11．9的算式平方根是______．12．甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩都为米，方差分别为，，则成绩笔记哦啊稳定的是______（填“甲”或“乙”）．13．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为______．218cm 220cm 227cm 230cm ()3,9A -B ()10,6-()10,7-()9,6-()9,5-1:24l y x =-+()2:0l y kx k k =->(),M a b 12,l l x S a b =+S 52k 12329.520.2S =甲20.03S =乙3y x =-+y mx n =+x y 、3y x y mx n=-+⎧⎨=+⎩14．如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交于点，连接．若，则的长为______．第14题15．如图，在一个长方形草地上放着一根长方体木块，其中m ，m ，该木块较长的边和场地宽平行，横截面是边长为2m 的正方形，若点处有一只蚂蚁，它从点出发，爬过木块到达点处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是______m ．第15题16．如图，等腰，，，点为边上一点，，点为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为______．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分8分）计算：（1．（2．18．（本小题满分6分）解二元一次方程组19．（本小题满分6分）已知：如图，，．求证：．Rt ABC △90C ∠=︒30A ∠=︒AB ,AC AB ,D E BD 4CD =AD 6AB =5AD =AD A A C Rt ABC △90B ∠=︒6AB =D AB 2BD =E AC DE DE D 90︒DF ,AF BF AF BF ++236x y x y -=⎧⎨+=⎩90A D ∠=∠=︒AC BD =OB OC =20．（本小题满分6分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）．（1）将向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到．画出平移后得到的；（2）将绕着点顺时针旋转，旋转后得到的，则点的坐标为______；点的坐标为______．21．（本小题满分8分）毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今年3月5号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次后动的捐款抽取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题：图1图2（1）本次共抽取了______名学生的捐款；（2）补全条形统计图；（3）本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元；（4）求本次抽取样本学生捐款的平均金额．22．（本小题满分8分）某教育科技公司销售两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：AB进价（万元/套）3ABC △ABC △111A B C △111A B C △ABC △A 90 22AB C △2B 2C ,A B 2.4售价（万元/套）（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该公司计划购进两种多媒体各多少套？（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进种多媒体套，当把购进的两种多媒体全部售出，求为何值时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？23．（本小题满分10分）现有两种品牌的共享电动车，收费（元）与骑行时间（min ）之间的函数关系如图所示，品牌收费为，品牌收费为．（1）直接写出品牌收费方式对应的函数关系式为______；（2）求品牌在当时间段内，与之间的函数关系式；（3）当时，求出两种收费相差元时的值．24．（本小题满分10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究．图1（1）【概念理解】如图2，在四边形中，，，则四边形______（填“是”或“不是”）垂美四边形．图23.3 2.8,A B ,A B ,A B A m ()1020m ≤≤m ,A B y x A 1y B 2y A B 10x >y x 10x >0.5x ABCD AB AD =CB CD =ABCD（2）【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由．（3）【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知，，请直接写出的值．图325．（本小题满分12分）如图，一次函数分别与坐标轴交于两点，分别与坐标轴交于两点，，两直线交于点；（1）求的值及点坐标；（2）点在直线上，连接，若，求出点坐标；（3）点在坐标轴上，点在直线上，若线段被直线垂直平分，请直接写出点坐标．（备用图）26．（本小题满分12分）数学课上，老师提出一个问题：如图1，已知等腰直角，，等腰直角，，连接，是中点，连接，，请探究线段，之间的关系．小明通过思考，将此探究题分解出如下问题，逐步探究并应用．请帮助他完成：（1）如图1，延长至，使得，连接，线段与线段的数量关系为______，位置关系为______；ABCD AC BD 、O AC BD ⊥ABCD 2222AB CD AD BC +=+Rt ABC △AC AB ACE ABD 90BAD CAE ∠=∠=︒AB AD =AC AE =,,CD BE DE 3BC =4AC =DE 4y x =-+,A B ,C D ()2,0C -E k E P CD OE POE BOE S S =△△P M N CD MN AB N ABC △AB AC =CDE △DC DE =BE F BE AF DF AF DF AF A 'AF A F '=A E 'AB A E '（2）如图2，延长交延长线于点，连接，．小明的思路是先证明，进而得出与的关系，再继续探究．请判断线段，之间的关系，并根据小明的思路，写出完整的证明过程．（3）方法运用：如图3，等边与等边，点在外部．，，连接，点为中点，连接，，若，请直接写出的值．图1图2图3八年级数学期末阶段性测试答案一、选择题1—5CBCBD6—10ACDBD二、填空题11．312．乙13．14．815．16．三、解答题17．（8分）（1．解：原式．（2．18．（6分）解二元一次方程组．解：，①＋②，得，解得，把代入②，得，故原方程组的解为．19．证明：∵，，，∴ED BA GAD A D 'ACD A ED '≌△△AD A D 'AF DF ABC △DEC △,D E ABC △4AB =DE =BD F BD AF BE 3AF =BE 12x y =⎧⎨=⎩+44=-=+3241=+=+-=236x y x y -=⎧⎨+=⎩236x y x y -=⎧⎨+=⎩①②39x =3x =3x =3y =33x y =⎧⎨=⎩90A D ∠=∠=︒AC BD =BC BC =()Rt Rt HL BAC CDB ≌△△∴．∴（等角对等边）．20．解：（1）如图所示，即为所求．（2）点的坐标为；点的坐标为．21．解：（1）50（2）（人）或（人）补全图形如下：图1（3）众数是10元；中位数是15元；（4）元，答：本次抽取样本学生捐款的平均金额16元．22．解：（1）设购进种多媒体套，种多媒体套，由题意可得：，解得，答：购进种多媒体20套，种多媒体30套；（2）设利润为元，由题意可得：，∴随的增大而减小，ACB DBC ∠=∠OB OC =111A B C △2B ()4,2-2C ()1,3-5041610812----=5024%12⨯=()145161012151008301650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=A a B b 503 2.4132a b a b +=⎧⎨+=⎩2030a b =⎧⎨=⎩A B W ()()()3.33 2.8 2.4500.120W m m m =-+-⨯-=-+W m∵，∴当时，取得最大值，此时，答：购进种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元．23．解：（1）；（2）品牌在当时间段内，设与之间的函数关系式为，∵点，在该函数图象上，∴，解得，即品牌在当时间段内，与之间的函数关系式是；（3）当时，，解得：；当时，，解得：；由上可得，在15分钟或25分钟时，两种收费相差元．24．（1）是（2）正确∵，∴，由勾股定理得：，，∴；（3）25．（1）将代入，，，，（2）方法一：过点作交于，∴．点即为所求；∵，∴．∵，∴，代入，1020m ≤≤10m =W 19W =A 10.2y x =B 10x >y x 2y ax b =+()10,3()20,4103204a b a b +=⎧⎨+=⎩0.12a b =⎧⎨=⎩B 10x >y x 20.12y x =+210.5y y -=0.120.20.5x x +-=15x =120.5y y -=()0.20.120.5x x -+=25x =0.5AC BD ⊥90AOB BOC COD AOD ∠=∠=∠=∠=︒222222AB CD AO BO CO DO +=+++222222AD BC AO DO BO CO +=+++2222AB CD AD BC +=+DE =()2,0C -1y kx =+021k =-+12k =4112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩()2,2E B BP OE ∥CD P POE BOE S S =△△P ()2,2E :OE y x =BM OE ∥:BP y x b =+()0,4B∴．联立，∴同理∵为中点，∴．作交于，∴，．方法二：∵，∴若点在左侧，，令，∴，，，∴∴，∴．同理，若点在右侧，，（3）25．（1），（2），证明：∵，∴由四边形内角和为，∴由（1），∴，∴由（1），，∴．∴，∵是中点，∴∵，，∴．:4BP y x =+4112y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩()6,2P --E AB AOE BOE S S =△△AP OE '∥CD P ':4BP y x '=-()10,6P '112y x =+()0,1D P OE POE POD DOE BOE S S S S =+=△△△△1,12P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1EOD S =△12DOPS m=-△4BOE S =△1142m -=6m =-()6,2P --P OE P OE P OD DOE BOE S S S S ''=-=△△△△()10,6P '()16,4N ()24,3N AB A E '=AB A E '∥AF DF =AF DF⊥90BAC CDE ∠=∠=︒90GAC CDG ∠=∠=︒ABCD 360︒180ACD AGD ∠+∠=︒AB A E '∥180A ED AGD '∠+∠=︒A ED ACD '∠=∠A E AB AC '==CD DE =ACD A ED '≌△△AD A D '=ADC A DE '∠=∠F AA 'DF AF⊥90CDE ∠=︒90ADA CDE A DE ADC ''∠=∠-∠+∠=︒DF AF =11（3）思路：如图构造（1）中的基本图形：以为底边构造顶角为的等腰．则与是共底角顶点的两个等腰三角形，且底角互余．依据（1）（2）可得结论，且．CD 120︒GCD △ABC △GCD △C AF GF⊥AF =。
2023-2024学年山东省济南市历城区八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）1．（4分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．﹣x﹣1＜﹣y﹣1B．x+1＞y+1C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y3．（4分）若分式的值为0，则a的值为（）A．﹣3B．0C．2D．54．（4分）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），∠AOC＝60°．将菱形OABC 沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣，1）D．（﹣，﹣1）5．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．若CD ＝1，则AB的长为（）A．B．C．D．6．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤4且a≠0B．a≤4C．a＜4且a≠0D．a＜47．（4分）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC 的大小是（）A．24°B．26°C．28°D．30°8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，甲乙两位同学给出的下列结论：甲说：关于x的不等式ax+b＞﹣4的解集为x＞0；乙说：当x＞4时，ax+b＜kx；其中正确的结论有（）A．甲乙都正确B．甲正确，乙错误C．乙正确，甲错误D．甲乙都错误9．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．将△ABC绕点B旋转得△A′BC′，分别取AA′，BC′的中点E，F，则EF的取值范围是（）A．1≤EF≤9B．C．D．1＜EF＜910．（4分）如图，正方形ABCD边长为，E从B出发沿对角线BD向D运动，连接CE，将线段CE 绕C点顺时针旋转90°得到CF，连接DF，EF，设BE＝m，下列说法：①△DEF是直角三角形；②＝12.5；④取EF中点G，连接BG，CG，当m＝4时，；③有且只有一个实数m，使得S△DEF△BCG的面积随着m的增大而增大．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的横线上．）11．（4分）因式分解：a2﹣9＝．12．（4分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m＝．13．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝3，则线段AE的长度等于．14．（4分）近来房地产市场进入寒冬期，某楼盘原价为每平方米10000元，连续两次降价后售价为8100元，则平均每次降价的百分率是．15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F 为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若AE＝12，BF＝8，则AB的长为．16．（4分）如图，矩形ABCD中，点E是AB上一点，AE＝1，BE＝3，AD＝6，点H是AD边上的动点，以EH为边作菱形EFGH，使顶点F落在BC上，连接CG，则△FCG面积的最小值为．三、解答题（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解．18．（6分）先化简：，再从﹣1，0，1，2中选取一个适当的数代入求值．19．（10分）解分式方程：（1）；（2）．20．（8分）解下列方程．（1）x2﹣6x+5＝0；（2）x2+4x﹣1＝0．21．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：DE＝BF．22．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为；（4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是．23．（8分）已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P 运动的时间为t（0＜t＜8）．（1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值；（2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值．24．（10分）根据如表所示素材，探索完成任务．如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润素材1某书店为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．素材2已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本．素材3书店准备用不超过28200元购进A，B两种图书共2000本，且A种图书不少于600本，经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售．问题解决任务1探求图书的标价请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价．任务2确定如何获得最大利润书店应怎样进货才能获得最大利润？25．（12分）求代数式x2﹣4x+3的最小值时，我们通常运用“a2≥0”这个结论对代数式进行配方来解决．比如x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣1≥﹣1，∴x2﹣4x+3的最小值是﹣1，试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2+6x+13＝（x+）2+；（2）如图1所示的是一组邻边长分别为5，2a+9的长方形，其面积为S1；如图2所示的是边长为a+7的正方形，其面积为S2，a＞0，请比较S1与S2的大小，并说明理由．（3）如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用59m长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边AB加建1m宽的门（用其他材料）．设BC＝x m，矩形ABCD的面积为y m2．当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？26．（12分）【探索发现】（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边A1O与边AB相交于点E，边C1O与边CB相交于点F，连接EF．在实验与探究中，小新发现无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE≌△BOF即可推导出来．①请你猜想AE，CF，EF之间的数量关系是．②小新对图1的进一步研究中发现，延长EO与DC交于一点G，通过证明△AOE≌△COG也可推导出AE，CF，EF之间的数量关系，请你证明△AOE≌△COG．【类比迁移】（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断AE，CF，EF之间的数量关系并进行证明；【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，点D是边AB的中点，∠EDF=90°，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE=4cm时，请直接写出线段CF的长度．2023-2024学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）1．【分析】根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答．【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；B、是中心对称图形，故选项正确，符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2．【分析】根据不等式的性质进行分析判断．【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时乘﹣1，不等号的方向改变，即﹣x＞﹣y，两边再同时减去1，即﹣x﹣1＞﹣y﹣1，不符合题意；B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．3．【分析】根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可．【解答】解：由题可知，a﹣2＝0且a+3≠0，解答a＝2．故选：C．【点评】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分母不为零且分子为零的条件是解题的关键．4．【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据菱形的性质得出AB＝2，∠EAB＝∠AOC＝60°，于是求出AE 的长，在Rt△ABE中根据勾股定理求出BE的长，从而得出点B的坐标，再根据平移规律即可得出点B′的坐标．【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，∴∠BEA＝90°，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，∵四边形OABC是菱形，∴AB＝OA＝2，AB∥OC，∴∠EAB＝∠AOC＝60°，∴∠ABE＝30°，∴，由勾股定理得，∴OE＝AE+OA＝1+2＝3，∴点B的坐标是，将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，∴点B′的坐标为，故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系中点的平移规律，求出点B的坐标，根据平移规律得出点B′的坐标是解题的关键．5．【分析】由AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝1，得DE＝CD＝1，∠B＝45°＝∠EDB，即可得AB．【解答】解：由AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝1，得DE＝CD＝1，∠B＝45°＝∠EDB，得BE＝DE＝1，BD＝＝，得CB＝1+，得AB＝CB＝2+．故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰直角三角形，解题关键是找准直角三角形．6．【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4a≥0且a≠0，解得：a≤4且a≠0．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根是解题的关键．7．【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB ＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．8．【分析】根据所给函数图象，利用数形结合的数学思想对甲，乙两人的说法作出判断即可．【解答】解：由函数图象可知，当x＞0时，一次函数y＝ax+b的图象在直线y＝﹣4的上方，即ax+b＞﹣4，所以关于x的不等式ax+b＞﹣4的解集为x＞0．故甲的结论正确．由函数图象可知，当x＜4时，一次函数的图象在正比例函数图象的下方，即ax+b＜kx，所以x＜4时，ax+b＜kx．故乙的结论错误．故选：B．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．9．【分析】利用勾股定理求出AB的长，在根据旋转的性质可得A'C'＝AC＝8，A'B＝AB＝10，BC'＝BC＝6，利用中位线的性质可求EG＝5，FG＝4，再根据三角形的三边关系即可求出结果．【解答】解：取A'B的中点G，连接EG、FG，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，由旋转的性质可知：A'C'＝AC＝8，A'B＝AB＝10，BC'＝BC＝6，∵点E、F、G分别是AA'、BC'、A'B的中点，∴EG是△A'AB的中位线，FG是Rt△BCA′的中位线，∴EG＝5，FG＝4，当点E、F、G不共线时，EG﹣FG＜EF＜EG+FG，即1＜EF＜9，当点G在线段EF上时，EF＝EG+FG＝5+4＝9，当点F在线段EG上时，EF＝EG﹣FG＝5﹣4＝1，综上所述，1≤EF≤9，故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质、三角形中线的性质、三角形三边关系及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中线的性质求出EG、FG的值是解题的关键．10．【分析】根据正方形的性质得到BC＝DC＝5，∠BCD＝90°，求得∠CBE＝∠CDE＝45°，根据旋转的性质得到CE＝CF，∠ECF＝90°，求得∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，根据全等三角形的性质得到EDF＝∠CDE+∠CDF＝45°+45°＝90°，求得△DEF是直角三角形，故①正确；根据勾股定理得到BD＝＝BC＝×5＝10，BE＝DF＝m＝4，求得DE＝BD﹣BE＝10﹣4＝6，得到EF＝＝＝2，故②正确；根据三角形的面积公式列方程得到m＝5，推＝12.5，故③正确；连接DG，作GH⊥CD于点H，则∠GHD＝∠出有且只有一个实数m，使得S△DEFBCD＝90°，得到CH与△BCG的边BC上的高相等，根据三角形的面积公式得到S△BCG＝BC•CH＝×5×＝，推出△BCG的面积不随着m的增大而增大，故④错误．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为5的正方形，∴BC ＝DC ＝5，∠BCD ＝90°，∴∠CBE ＝∠CDE ＝45°，∵将线段CE 绕C 点顺时针旋转90°得到CF ，∴CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，∴∠BCE ＝∠DCF ＝90°﹣∠DCE ，在△BCE 和△DCF 中，，∴△BCE ≌△DCF （SAS ），∴∠CBE ＝∠CDF ＝45°，BE ＝DF ＝m ，∴∠EDF ＝∠CDE +∠CDF ＝45°+45°＝90°，∴△DEF 是直角三角形，故①正确；∵BD ＝＝BC ＝×5＝10，BE ＝DF ＝m ＝4，∴DE ＝BD ﹣BE ＝10﹣4＝6，∴EF ＝＝＝2，故②正确；∵DF •DE ＝S △DEF ，且DF ＝m ，DE ＝10﹣m ，S △DEF ＝12.5，∴m （10﹣m ）＝12.5，解得m ＝5，∴有且只有一个实数m ，使得S △DEF ＝12.5，故③正确；连接DG ，作GH ⊥CD 于点H ，则∠GHD ＝∠BCD ＝90°，∴GH ∥BC ，∴CH 与△BCG 的边BC 上的高相等，∵∠EDF ＝∠ECF ＝90°，点G 为EF 的中点，∴DG ＝CG ＝EF ，∴CH＝DH＝DC＝×5＝，＝BC•CH＝×5×＝，∴S△BCG∴△BCG的面积不随着m的增大而增大，故④错误，故选：C．【点评】此题重点考查旋转的性质，正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，证明△BCE≌△DCF是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的横线上．）11．【分析】a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．12．【分析】把x＝1代入一元二次方程得到1+m＝3＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝1代入x2+mx+3＝0得1+m+3＝0，解得m＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13．【分析】连接BE，先求出∠ABC＝60°，根据线段垂直平分线性质得AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝30°，进而得∠CBE＝30°，由此得BE＝2CE＝6，据此可求出AE的长．【解答】解：连接BE，如图所示：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠A＝∠ABE＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△CBE中，CE＝3，∠CBE＝30°，∴BE＝2CE＝6，∴AE＝BE＝6．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．14．【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该楼盘的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意得：10000（1﹣x）2＝8100，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．故答案为：10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．【分析】设AE与BF相交于点O，由作图过程可知，AB＝AF，AO⊥BF，可得OB＝OF＝＝4，AO平分∠BAF，结合平行四边形的性质可得AB＝BE，由等腰三角形的性质可得OA＝OE＝＝6．在Rt△BOE中，由勾股定理得，BE＝＝，进而可得答案．【解答】解：设AE与BF相交于点O，由作图过程可知，AB＝AF，AE⊥BF，∴OB＝OF＝＝4，AO平分∠BAF，∴∠FAE＝∠BAE．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∴△ABE为等腰三角形，∵BO⊥AE，∴OA＝OE＝＝6．在Rt△BOE中，由勾股定理得，BE＝＝，∴AB＝．故答案为：．【点评】本题考查作图—基本作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理是解答本题的关键．16．【分析】通过辅助线构造Rt△IFG，由△AHE≌△IFG推出△FCG的底边FC上的高IG＝AE＝1，然后根据动点H的位置，以及直角三角形三边的关系，计算出线段FC的最小值，即可求出答案．【解答】解：如图，过点G作BC的垂线，交BC延长线于点I．∵四边形EFGH为菱形，∴FG＝EH＝EF，FG∥EH．四边形ABCD为矩形，则AD∥BC，连接FH，∴∠AHF＝∠HFI，∠EHF＝∠HFG，∴∠AHF﹣∠EHF＝∠HFI﹣∠HFG，即∠AHE＝∠IFG，在△AHE和△IFG中，∠A＝∠FIG，∠AHE＝∠IFG，EH＝FG，∴△AHE≌△IFG．∴GI＝AE＝1．＝FC•GI＝FC．∵S△FCG的最小值即FC的最小值．∴S△FCG在Rt△AHE和Rt△EBF中，AE和BE为定值，AH的最大值为AD，则EH的最大值为ED．∵ED＝＝＝．∴EH和EF的最大值为．∵BF2+BE2＝EF2，∴BF的最大值：＝＝．又∵FC＝BC﹣BF＝AD﹣BF，∴FC的最小值为：6﹣．的最小值为：FC＝×（6﹣）＝3﹣．∴S△FCG故△FCG面积的最小值为3﹣．【点评】本题考查了矩形、菱形的性质，以及全等三角形的判定和性质．构造△∠IFG与△AHE全等，得出IG为定值，将△FCG面积的最小值转化为线段FC的最小值是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，写出它的所有整数解即可．【解答】解：，由①得，x＜1；由②得，x≥﹣，故不等式组的解集为：﹣≤x＜1，它的所有整数解为：﹣1，0．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．18．【分析】先因式分解，通分，去括号化简，再选值计算即可．【解答】解：＝＝＝，∵x﹣1≠0，x﹣2≠0∴x≠1，x≠2∴当x＝﹣1时，原式＝；当x＝0时，原式＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分是解题的关键．19．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2（x+2）＝3（x﹣2），去括号得：2x+4＝3x﹣6，移项合并得：﹣x＝﹣10，解得：x＝10，检验：把x＝10代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝10；（2）去分母得：2（x﹣4）+1＝x﹣3，去括号得：2x﹣8+1＝x﹣3，移项得：2x﹣x＝﹣3+8﹣1，合并同类项得：x＝4，检验：把x＝4代入得：x﹣4＝0，∴x＝4是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．【分析】利用因式分解法及配方法对所给方程进行求解即可．【解答】解：（1）x2﹣6x+5＝0，（x﹣1）（x﹣5）＝0，则x﹣1＝0或x﹣5＝0，所以x1＝1，x2＝5．（2）x2+4x﹣1＝0，x2+4x＝1，x2+4x+4＝1+4，（x+2）2＝5，则x+2＝，所以．【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．21．【分析】首先利用平行四边形的性质，证出AD＝CB，AD∥CB，进而证出∠DAE＝∠BCF，再结合已知证得△ADE≌△CBF，最后利用全等三角形的性质证出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF．【点评】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，找到图中的全等三角形是解本题的关键．22．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用中心对称变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；（3）作出旋转中心M，可得结论；（4）根据题目要求以及平行四边形的判定作出点D即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）旋转中心M的坐标为（﹣3，0）；故答案为：（﹣3，0）；（4）点D的坐标是（0，6）．故答案为：（0，6）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质．23．【分析】（1）根据题意用t表示CQ与AP，证明四边形APCQ为平行四边形，得AP＝CQ，由此列出t 的方程即可；（2）根据题意用t表示CQ与BP，证明△ABP≌△BCQ得BP＝CQ，由此列出t的方程即可．【解答】解：（1）由题意得DQ＝t cm，AP＝2t cm，∵四边形ABCD是边长为8cm的正方形，∴CQ＝（8﹣t）cm，当PQ，AC互相平分时，四边形APCQ为平行四边形，∴AP＝CQ，∴2t＝8﹣t，解得t＝，即t的值为s；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°，∵AP⊥BQ，∴∠BAP+∠ABH＝∠ABH+∠CBQ＝90°，∴∠BAP＝∠CBQ，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，∵BP＝2t﹣AB＝2t﹣8，CQ＝8﹣t，∴2t﹣8＝8﹣t，解得t＝，即t的值为s．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，行程问题，平行四边形的性质与判定，关键是正确列出t的方程．24．【分析】任务1：设B种图书的标价是x元，则A种图书的标价是1.5x元，根据“购买数量＝金额÷标价”列方程并求解即可；任务2：设购进A种图书m本，则购进B种图书（2000﹣m）本，根据“A种图书进价×购进A种图书数量+B种图书进价×购进B种图书数量≤28200”和“A种图书不少于600本”列关于m的一元一次不等式组并求解；设获得的利润是w元，根据“获得的利润＝（A种图书售价﹣A种图书进价）×购进A种图书数量+（B种图书售价﹣B种图书进价）×购进B种图书数量”写出w关于m的函数关系式，根据该函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时w的值最大，并求出此时2000﹣m的值即可．【解答】解：任务1：设B种图书的标价是x元，则A种图书的标价是1.5x元．根据题意，得﹣＝10，解得x＝18，经检验，x＝18是所列分式方程的解，1.5×18＝27（元），∴A种图书的标价是27元，B种图书的标价是18元．任务2：设购进A种图书m本，则购进B种图书（2000﹣m）本．根据题意，得，解得600≤m≤700．由题意可得，A种图书的售价是0.8×27＝21.6（元），B种图书的售价是18元，设获得的利润是w元，则w＝（21.6﹣18）m+（18﹣12）（2000﹣m）＝﹣2.4m+12000，∵﹣2.4＜0，∴w随m的减小而增大，∵600≤m≤700，∴当m＝600时，w值最大，2000﹣600＝1400（本），∴购进A种图书600本、B种图书1400本可获得最大利润．【点评】本题考查一次函数和分式方程的应用，掌握分式方程和一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键．25．【分析】（1）根据完全平方公式求解；（2）先根据矩形的面积公式表示S1，S2，再根据作差法求解；（3）根据矩形的面积公式列出函数关系式，再配方求解．【解答】解：（1）x2+6x+13＝x2+6x+9+4＝（x+3）2+4，故答案为：3，4；（2）S2＞S1；理由：∵S1＝5（2a+9）＝10a+45，S2＝（a+7）2＝a2+14a+49，∴S2﹣S1＝a2+14a+49﹣10a﹣45＝a2+4a+4＝（a+2）2＞0，∴S2＞S1；（3）由题意得：y＝x（59﹣2x+1）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，∴当x＝15时，y有最大值，为450平方米．【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式和非负数的性质是解题的关键．26．【分析】（1）①先证明△AOE≌△BOF（ASA），可得AE＝BF，推出BE＝CF，再运用勾股定理即可证得结论；②延长EO交DC于点G，由正方形性质可得OA＝OC，∠OAE＝∠OCG＝45°，再利用ASA可证得△AOE≌△COG；（2）延长EO交CD于点G，连接FG，可证得△AEO≌△CGO（AAS），得出AE＝CG，OE＝OG，再由线段垂直平分线的性质可得EF＝FG，再运用勾股定理即可求得答案；（3）设CF＝x cm，分两种情况讨论：①当点E在线段AC上时，②当点E在CA延长线上时，结合勾股定理，即可求解．【解答】（1）①解：猜想：AE2+CF2＝EF2，理由如下：如图1，∵四边形ABCD和四边形A1B1C1O均为正方形，∴OA＝OB，AB＝BC，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝∠A1OC1＝90°，∴∠AOB﹣∠BOE＝∠A1OC1﹣∠BOE，即∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE＝BF，∴AB﹣AE＝BC﹣BF，即BE＝CF，在Rt△BEF中，BF2+BE2＝EF2，∴AE2+CF2＝EF2，故答案为：AE2+CF2＝EF2．②证明：如图1′，延长EO交DC于点G，∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCG＝45°，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG（ASA）．（2）解：结论：AE2+CF2＝EF2，证明：如图2，延长EO交CD于点G，连接FG，∵O是矩形ABCD的中心，∴点O是AC的中点．∴AO＝CO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CGO，∴△AEO≌△CGO（AAS），∴AE＝CG，OE＝OG，∵四边形A1B1C1O是矩形，∴∠A1OC1＝90°，即OF⊥EG，∴OF垂直平分EG，∴EF＝FG，在Rt△FCG中，CG2+CF2＝GF2，∴AE2+CF2＝EF2；（3）解：设CF＝x cm，①当E在线段AC上时，如图3，连接EF，∵AE＝4cm，AC＝5cm，BC＝12cm，∴CE＝1cm，在Rt△FCE中，∠C＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴12+x2＝EF2，又由（2）易知EF2＝AE2十BF2，∴EF2＝42+BF2，∴12+x2＝42+（12﹣x）2，解得：x＝，∴此时线段CF的长度为cm；②当点E在CA延长线上时，如图4，过点B作BG⊥BC，交ED的延长线于G，连接EF，GF，同理可证EF2＝AE2十BF2，∴EF2＝42+（12﹣x）2，在Rt△FCE中，EF2＝x2+（5+4）2，∴x2+（5+4）2＝42+（12﹣x）2，解得：x＝，∴此时线段CF的长度为cm；综上所述，线段CF的长度为cm或cm．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形根据勾股定理列方程解决问题。
山东省济南市历下区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(含答案)
2023～2024学年第一学期八年级期中教学质量检测数学试题（2023.11）考试时间120分钟满分150分第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在平面直角坐标系中，点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列各式中，是最简二次根式的是（）ABCD3．下列关于的函数是一次函数的是（）A．B．C．D．4．是下面哪个二元一次方程的解（）A．B．C．D．5．下列计算正确的是（）ABCD6．一次函数的图象过点，且随的增大而减小，则的值为（）A．B．或2C．1D．27．将第一象限的“小旗”各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以，符合上述要求的图形是（）A．B．C．D．8．某校规定学生体测成绩由三部分组成：长跑占成绩的，50米跑占成绩的，立定跳远占成绩的．小明上述三项成绩依次是92分，100分，80分，则小明本次的体测成绩为（）分．A．95B．93C．91D．899．一次函数与的图象如图所示，下列选项正确的是（）()1,2Ax2yx=y=21y x=-52y x=-53xy=⎧⎨=⎩27x y-=2y x=-+2x y=--231x y-=-+===2+=()20y mx m m=+≠()0,4y x m2-2-1-50%25%25%1y kx b=+2y mx n=+第9题图①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③10．两地相距240千米，早上9点，甲车从地出发去地，20分钟后，乙车从地出发去地．甲、乙两车离开各自出发地的路程（千米）与甲车出发的时间（小时）之间的关系如图所示，下列描述中不正确的有（）个．第10题图①甲车的平均速度是60千米/小时；②乙车的平均速度是80千米/小时；③甲车与乙车在早上10点相遇；④两车在10：40或10：58时相距20千米．A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．如图，在“笑脸”的“嘴巴”上找一格点，这一格点的坐标可以为______（写出一点即可）．第11题图12．赵老师每天登录“学习强国”进行学习，在获得信息和知识的同时，还能获得“点点通”奖励．上表是王1y kx b =+s t y kx n =+22k m n b -=-AB A B B A 12s s 、t老师最近一周每日“点点通”奖励情况，这组数据的平均数是______点．星期一二三四五六日“点点通”（点）15202523211719第12题图13．列方程组解题：“今有马二、牛一，直金七两；马三、牛二，直金十二两．马、牛各直金几何？”其大意是：2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，问每匹马、每头牛各价值多少两？设每匹马两，每头牛两．根据题意，可列方程组为______．14．直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为______．15．下表列出了一项实验的统计数据（单位：）：5080100150 (30)455580…它表示皮球从一定高度落下时，弹跳高度是下落高度的一次函数，那么变量与之间的关系式为______．16．如图，在平面直角坐标系中，直线表达式为，点是直线上一点，直线过点，且与直线的夹角，则直线的表达式为______．第16题图三、解答题（本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分6分）计算：（1）；（2．18．（本小题满分6分）解方程组：（1）；（2）．19．（本小题满分6分）x y 1y x =+y mx n =+()1,M b ,x y 1x yy mx n+=⎧⎨-=⎩cm x yy x y x AB 13y x =()3,1M AB CD M AB 45AMC ∠=︒CD (22++127x y x y =+⎧⎨+=⎩351458x y x y -=-⎧⎨+=⎩和都是方程的解，求与的值．20．（本小题满分8分）如图，直线是一次函数的图象，且经过点和点．第20题图（1）求和的值；（2）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积．21．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，．第21题图（1）作出；（2）作出关于轴的对称图形；（3）求的面积．22．（本小题满分8分）2023年中秋、国庆双节假期期间，济南趵突泉景区共纳客200多万人次，为迎接游客，甲、乙两个纪念品商店对标价都是每个10元纪念印章推出优惠活动：甲商店购买5个以上，从第6个开始按标价的9折卖：乙商店从第1个开始就按标价的9.5折卖．（1）直接写出两商店优惠后的价格（元）与购买数量（个）的关系式（）；（2）小明要买8个纪念印章，到哪个商店购买比较省钱，请说明理由；21x y =-⎧⎨=⎩14x y =⎧⎨=⎩ax y b -=a b l y kx b =+()0,4A ()5,2B --k b l ()()()4,1,3,3,2,2A B C ----ABC △ABC △y 111A B C △111A B C △y x 5x >（3）若纪念印章的成本为每个7元，请写出甲商店的利润（元）与卖出数量（个）的关系（卖出5个以上）．23．（本小题满分10分）2023年10月1日是中华人民共和国成立74周年，学校开展了“迎国庆·弘扬中华传统文化”知识竞赛活动，学校从初中三个年级各随机抽取10人进行相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了相关信息：a ．30名同学中华传统文化知识测试成绩的统计图如图1：图1b ．30名同学中华传统文化知识测试成绩的频数分布直方图如图2（数据分成6组：，）．图2c ．测试成绩在这一组的是：70 72 72 74 74 74 75 77d ．小明的中华传统文化知识测试成绩为77分．根据以上信息，回答下列问题：（1）测试成绩在这一组的同学成绩的众数为______分；（2）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第______名；（3）抽取的30名同学的成绩的中位数为______分；（4）序号（见图1横轴）为1-10的学生是七年级的，他们成绩的方差记为；序号为11-20的学生是八年级的，他们成绩的方差记为；序号为21-30的学生是九年级的，他们成绩的方差记为．直接写出①，②，③中最小的是______（填序号）；（5）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级1800w x 4050x ≤<5060,6070,7080,8090,90100x x x x x ≤<≤<≤<≤<≤<7080x ≤<7080x ≤<21s 22s 23s 21s 22s 23s名同学都参加测试，请估计成绩优秀的同学人数．24．（本小题满分10分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计布料剪裁方案？素材1图1中是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”玩偶，经测量，制作该款吉祥物头部所需布料尺寸为，身子布料尺寸．图2是两部分布料的尺寸示意图．图1图2素材2某工厂制作该款式吉祥物，经清点库存时发现，需在市场上购进某型号布料加工制作该款式的玩偶．已知该布料长为，宽为．（剪裁时不计损耗）我是布料剪裁师任务一拟定剪裁方案若要不造成布料浪费，请你设计出一匹该布料的所有剪裁方案：方案一：剪裁头部布料16张和身子布料0张．方案二：剪裁头部布料______张和身子布料______张．方案三：剪裁头部布料______张和身子布料______张．任务二解决实际问题工厂目前已有裁剪好的12张头部布料和4张身子布料，经商议，现需购买一批该型号布料，其中一部分按照方案二裁剪，另一部分按照方案三裁剪，一共制作700个“蓉宝”玩偶．请问：需要购买该型号布料共多少匹（恰好全部用完）？25．（本小题满分12分）为激发学生们对科技的好奇心和探索欲，培养学生的创新意识和创新精神，某学校开展了“智能小车实验探究”50cm 15cm ⨯50cm 40cm ⨯240cm 50cm活动．某小组观察探究小车运动中的函数关系，如图，在一条长为的水平直线轨道上，放置一辆长为的智能小车，开始时小车左端与处挡板重合，然后以的速度匀速向右行驶，当小车接触到处的挡板时因为要改变方向需停顿，然后以相同的速度返回，至再次与处的挡板接触时小车停止运动．在这个过程中，设小车的右端与处挡板的距离为，小车出发后的时间为，请根据所给条件解决下列问题：第25题图（1）小车运动时间为时，的值为______；（2）小车从处驶向处的过程中，求与的函数表达式；（3）当小车左端与处挡板的距离比小车右端与处挡板距离的2倍多时，请求出的值．26．（本小题满分12分）如图，直线与轴、轴分别交于点，直线与轴、轴分别交于点．第26题图第26题备用图（1）直线过定点的坐标为______（填写合适的选项）；A ．B ．C ．D ．（2）若直线将的面积分为两部分，请求出的值．（3）当时，将直线沿直线作轴对称得直线，此时直线与轴平行，直接写出此时的值．初二年级期中检测数学试题参考答案（2023.11）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）50cm 4cm A 2cm /s B 1s A B ()cm s ()s t 3s s cm B A s t A B 4cmt 1:l y =+x y ,60A B BAO ∠=︒、2:l y kx k =-+x y C D、y kx k =-+M ()1,3(32⎛⎝(2,2l AOB △1:7k 0k >2l 1l 3l 3lx 2:l y kx k =-+k题号12345678910答案ACDABABCDC二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）题号111213141516答案答案不唯一20三．解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（满分共6分）（1）（218．（满分共6分）（1）解：将①代入②得：，解得：将代入①得：原方程组的解为（2）解：由①+②得：，解得：将代入②得：，解得：原方程组的解为19．（满分共6分）解：将代入，得：()0,2-273212x y x y +=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=⎩152y x =+1522y x =-+()2222431+=-=-=0+=-+=127x y x y =+⎧⎨+=⎩①②127y y ++=2y =2y =213x =+=∴32x y =⎧⎨=⎩351458x y x y -=-⎧⎨+=⎩①②77x =1x =1x =458y +=45y =∴145x y =⎧⎪⎨=⎪⎩21x y =-⎧⎨=⎩ax y b -=21a b--=将代入，得：解得：20．（满分共8分）解：（1）将点和点代入得：解得：，直线的表达式为（2）点把代入，得解得：点，即点21．（满分共8分）解：（1）即为所求；（2）即为所求；（3）22．（满分共8分）解：（1）14x y =⎧⎨=⎩ax y b -=4a b -=1,3a b ==-()0,4A ()5,2B --y kx b=+452b k b =⎧⎨-+=-⎩654k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩6,45k b ∴==∴l 645y x =-+ ()0,4,4A OA ∴=0y =645y x =+6405x +=103x =-∴10,03C ⎛⎫- ⎪⎝⎭103OC = ()0,4,4A OA ∴=11102042233AOC S OA OC ∴=⋅=⨯⨯=△ABC △111A B C △1111117251523122222A B C S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△()500.910595y x x =+⨯⨯-=+甲0.95109.5y x x=⨯=乙（2）到乙商店购买较省钱把代入得：（元）把代入得：（元），到乙商店购买较省钱（3）23．（满分共10分）解：（1）74（2）11（3）73（4）③（5）（人）答：成绩优秀的同学人数为600人．24．（满分共10分）解：任务一：设一卷该布料裁切头部布料张，身子布料张，，，为非负整数，或或故答案为：8 30 6（方法二和方法三可以互换位置）任务二：设用卷该布料裁切头部布料8张，身子布料3张，用卷该布料裁切头部布料0张，身子布料6张，解得：（卷），需要购买该布料159卷．25．（满分共12分）解：（1）40（2）（秒）（3）①当小车从到运动时：解得：②当小车从到运动时：解得：或26．（满分共12分）解：（1）B8x =y 甲98577y =⨯+=甲8x =y 乙9.5876y =⨯=乙7677< ∴95725w x x x =+-=+10180060030⨯=m n 1540240m n +=4883nm -∴=,m n 160m n =⎧∴⎨=⎩83m n =⎧⎨=⎩0,6m n =⎧⎨=⎩x y 870012,367004x x y =-⎧⎨+=-⎩8673x y =⎧⎨=⎩8673159+= ∴()504223-÷= 23124∴+=()224s t ∴=⨯-248s t ∴=-A B ()224624t t =⨯-+16t =B A ()()50424822484t t ---=⨯-+31t =16t ∴=31t =（2）将代入得：将代入得：直线过定点，直线也过定点，是两直线的交点直线将的面积分为两部分，①当时，②当时，（3）0x=y =+y=(0,,B OB ∴=0y=y =+=4x ()4,0,4A OA ∴=11422AOB S OA OB ∴=⨯⨯=⨯⨯=△ 2l (M 1l (M M ∴ 2l AOB △1:70k>18BMD AOB S S ∴=⨯=△△12BMD M S BD x =⨯⨯=△BD=(0,D∴k ∴=0k<18AMC AOB S S ∴=⨯=△△12AMC M S AC y =⨯⨯= △23AC ∴=10,03C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭k ∴=k =。
2023-2024学年山东省济南市槐荫区八年级上学期期中数学测试试卷
2023～2024学年度第一学期期中质量检测八 年 级 数 学 (2023.11)本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第I 卷(选择题 共40分)注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．4的算术平方根是A ．2B ．－2C ．±2D．2．下列4组数中，不是二元一次方程2x +y ＝4的解的是A ．B ．C ．D ．3．下列二次根式中是最简二次根式的是ABCD ．4．已知点P 在第四象限，且点P 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，点P 坐标为A ．(3，－4)B ．(－3，4)C ．(4，－3)D ．(－4，3)5的值A ．在－6与－5之间B ．在－5与－4之间C ．在－4与－3之间D ．在－3与－2之间6．如图所示图象中，表示y 是x 的函数的有A ．①②③④B ．①②③C ．①④2⎩⎨⎧==21y x ⎩⎨⎧==02y x ⎩⎨⎧==35.0y x ⎩⎨⎧=-=42y x 21xy OD Oxy BO xyCABC DED′7题图7．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线上D ′处，若AB ＝6，AD ＝8，则ED 的长为A．B ．3C ．1D ．8．若直线y ＝kx +b 经过第一、二、四象限，则直线y ＝bx+k 的图象大致是9．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm ，3cm 和1cm ，点A 和点B 是这个台阶的两个相对的端点，点A 上有一只蚂蚁，想到点B 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B 的最短路程长为A ．10cmB ．11cmC ．12cmD ．13cm10．已知，△OA 1A 2，△A 3A 4A 5，△A 6A 7A 8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A 2，A 3，A 5，…都在x 轴正半轴上，且A 2A 3＝A 5A 6＝A 8A 9＝…＝1，则点A 2023的坐标是A ．(2023，)B ．(2022，0)C ．(2024，0)D ．(2026，－)342333xyO A9题图10题图Oxyy=kx+314题图xAO16题图第Ⅱ卷(非选择题 共110分)注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔(不得使用铅笔和圆珠笔)写在答题卡各题目指定区域内(超出方框无效)，不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效．二、填空题(本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．)11．－8的立方根等于 ．12．在平面直角坐标系中，已知点P (m +5，m －2)在x 轴上，则m ＝___________．13．在下列实数中：①－，②(－1)2023，，，⑤1.010010001……(两个1之间依次多1个，属于无理数的是 ．(直接填写序号)14．如图y ＝kx +6的图象经过(3，0)，则关于的方程kx +6＝0的解为 ．15．已知关于x ，y 的方程组的解满足x －y ＝6，则a 的值为 ．16．在“探索一次函数y ＝kx +b 的系数k ，b 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A (0，2)，B (2，3)，C (3，1)．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y 1＝k 1x +b 1，y 2＝k 2x +b 2，y 3＝k 3x +b 3．分别计算k 1+b 1，k 2+b 2，k 3+b 3的值，其中最大的值等于 ．三、解答题(本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)2π0)x ⎩⎨⎧-=++=+12122a y x a y x17．(本小题满分6分)计算：18．(本小题满分6分)解方程组：19．(本小题满分6分)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA 静止的时候，踏板离地高一尺(AC ＝1尺)，将它往前推进两步(EB ＝10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD ＝5尺)，∠OEB =90°.求秋千绳索(OA 或OB )的长度．20．(本小题满分8分)2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，为了更好的发扬亚运精神，济南市某校乒乓球社团购买乒乓球和乒乓球拍，已知甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价20元，乒乓球拍每副定价100元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球，乙店按八折优惠．社团需购球拍4副，乒乓球x (x ≥10)盒．(1)若在甲店购买付款y 甲(元)，在乙店购买付款y 乙(元)，分别写出：y 甲、y 乙与x 的函数关系式．(2)若该社团需要购买乒乓球30盒，在哪家商店购买合算？21．(本小题满分8分)已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A 、B 、C 三点，其中点A 坐标为(－4，1)，点B 坐标为(1，1)．8×21+18）（2035x y x y -=⎧⎨-=⎩19题图A21题图O ABC 22题图(1)请根据点A 、B 的坐标在方格纸中画出平面直角坐标系，并直接写出点C 坐标 ；(2)作出点C 关于直线AB 的对称点D ．则点D 的坐标为 ；(3)在y 轴上找一点F ，使△ABF 的面积等于△ABD 的面积，点F 的坐标为 ．22．(本小题满分8分)因为一次函数y ＝kx +b 与y ＝－kx +b (k ≠0)的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y ＝kx +b 与y ＝－kx +b (k ≠0)互为“镜子”函数．(1)请直接写出函数y ＝3x －2的“镜子”函数： ；(2)如果一对“镜子”函数y ＝kx +b 与y ＝－kx +b (k ≠0)的图象交于点A ，且与x 轴交于B 、C 两点，如图所示，若△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式．23．(本小题满分10分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，点、、均在格点上．(1)图中线段 ， ， ；(2)判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)若于点，求的长．A B C AB =AC =BC =AD BC ⊥D ADABDC23题图)24题图20015024.(本小题满分10分)某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量(千瓦时)关于已行驶路程(千米)的函数图象如图所示．(1)根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35(千瓦时)时汽车已行驶的路程为__________千米；(2)当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；(3)当时，求关于的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．25．(本小题满分12分)如图，△ABC 是边长为4的等边三角形，动点E 、F 均以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A →B →C 方向运动，点F 沿折线A →C →B 方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．(1)求y 关于t 的函数关系式并注明自变量t 的取值范围；y x 0150x ……150200x ……y xAB CE F25题图12345678 9(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．26．(本小题满分12分)如图，在数轴上有两个长方形ABCD 和EFGH ，这两个长方形的宽都是长方形ABCD 的长AD 是EFGH 的长EH 是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E 、D 两点之间的距离为．BF G C26题图(1)点在数轴上表示的数是 ，点在数轴上表示的数是 ；(2)若线段的中点为，线段上有一点N ，，点M 以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点N 以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？(3)若线段的中点为，线段上有一点N ，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，是否存在一个的值，使以M 、N 、F 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出的值；不存在，请说明理由．H A AD M EH 14EN EH =x x O MN AD M EH 14EN EH =ABCD EFGH。
山东省济南市 八年级(上)第一次月考数学试卷
八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.在实数0.3，0，7，π2，0.123456…中，无理数的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 52.下列说法错误的是（）A. 1的平方根是1B. −1的立方根是−1C. 2是2的平方根D. 0是0的平方根3.4的算术平方根是（）A. ±2B. 2C. 4D. −24.下列计算正确的是（）A. 5−3=2B. (3−π)2=3−πC. 15=35D. 5×3=155.满足−5＜x＜7的整数x有（）个．A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个6.下列说法正确的是（）A. 有理数只是有限小数B. 无理数是无限小数C. 无限小数是无理数D. π3是分数7.在平面直角坐标系中，点（-1，-3）位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.点P（1，-2）关于y轴对称的点的坐标是（）A. (−1,−2)B. (1,2)C. (−1,2)D. (−2,1)9.若点B（m-1，m+2）在x轴上，则m的值为（）A. −1B. 1C. −2D. 210.下列式子中，属于最简二次根式的是（）A. 9B. 7C. 20D. 1311.下列的点在第二象限的是（）A. (2,3)B. (−2,3)C. (2,−3)D. (−2,−3)12.函数y=x−1的自变量x的取值范围是（）A. x>1B. x<1C. x≤1D. x≥113.x是9的平方根，y是64的立方根，则x+y的值为（）A. 3B. 7C. 3，7D. 1，714.下面四个数中与11最接近的数是（）A. 2B. 3C. 4D. 515.估算76-3的值在（）A. 4与5之间B. 5与6之间C. 6与7之间D. 7与8之间二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）16.对于点P（a，b）若点P在第一象限，则a______0，b______0；若点P在第二象限，则a______0，b______0；若点P在第三象限，则a______0，b______0；若点P在第四象限，则a______0，b______0．17.已知点P在第二象限，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，那么点P的坐标是______．18.已知点P（a，b），Q（3，6），且PQ∥x轴，则b的值为______．19.点P（-4，3）到x轴的距离是______，到y轴的距离是______，到原点的距离是______．20.2-5的绝对值是______；化简：(3−π)2=______．21.已知x、y都是实数，且y=x−3+3−x+4，则y x=______．22.-5的相反数是______，倒数是______，绝对值是______．23.下列函数中，是一次函数的是______，是正比例函数的是______．（填序号）（1）y=-x2；（2）y=-2x；（3）y=3-5x；（4）y=-5x2；（5）y=6x-12；（6）y=x （x-4）-x2；（7）y=x-6．24.若|x-1|+（y-2）2+z−3=0，则x+y+z=______．25.49的平方根是______，1的立方根是______，16的算术平方根是______．26.在电影院5排3号用（5，3）表示，那么6排2号可表示为______．27.拖拉机开始工作时，油箱中有油24升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的剩余油量y（升）和工作时间t（时）之间的函数关系式是______．三、计算题（本大题共1小题，共40.0分）28.计算：（1）6×83；（2）33×46；（3）12×3−5；（4）18×36；（5）（2+6）2；（6）27−123；（7）（5+6）（5−6）；（8）12−12−213；（9）48÷3−12×12+24；（10）81+3−27+(−23)2．四、解答题（本大题共3小题，共17.0分）29.如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）边AC、AB、BC的长；（2）求△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离．30.△ABC在直角坐标系内的位置如图所示（1）分别写出点A，C的坐标：A：______，C：______；（2）△ABC的周长为______，面积为______；（3）请在这个坐标系内画出△A1B1C1与△ABC关于x轴对称．31.观察下列一组等式，解答后面的问题：（2+1）（2-1）=1，（3+2）（3-2）=1，（4+3）（4-3）=1，（5+4）（5-4）=1，…（1）根据上面的规律，计算下列式子的值：（12+1+13+2+14+3+…+12016+2015）（2016+1）．（2）利用上面的规律，比较12−11与13−12的大小．答案和解析1.【答案】B【解析】解：实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数有：，，0.123456…，共3个．故选：B．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据即可得出答案．本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．2.【答案】A【解析】解：A、1的平方根是±1，本选错误，B、-1的立方根是-1，本选项正确，C、是2的平方根，本选项正确，D、0是0的平方根，本选项正确，故选：A．根据平方根和立方根的知识点进行解答，若x3=a，则x=，x2=b（b≥0）则x=，据此进行判断正确答案．本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．3.【答案】B【解析】解：∵22=4，∴4的算术平方根是2，故选：B．根据算术平方根的概念即可求出答案．本题考查算术平方根，注意算术平方根是正数，属于基础题型4.【答案】D【解析】解：A、非同类二次根式的被开方数不能直接相减，故错误．B、∵π＞3，被开方数的算术平方根为非负数，故错误．C、=≠3，故错误．D、==，故正确．故选：D．根据二次根式的混合运算法则即可直接解题．本题考查了二次根式的混合运算，难度不大，重点掌握二次根式的混合运算法则．5.【答案】B【解析】解：由题意得，-≤x≤，∴满足条件的整数有-2，-1，0，1，2，共5个．故选：B．可推出：-≤x≤，从而可得出答案．本题考查了估算无理数大小的知识，难度不大，注意夹逼法的运用．6.【答案】B【解析】解：A、有理数是有限小数与无限循环小数的统称，故选项错误；B、无理数是无限不循环小数，故选项正确；C、无理数是无限不循环小数，无限循环小数是有理数，故选项错误；D、是无理数，故选项错误．故选：B．根据无理数的定义即可判断．本题主要考查了实数的分类，注意分数是能写成两个整数的商的形式的数，而不是分数．7.【答案】C【解析】解：∵点（-1，-3）的横纵坐标都为：-，∴位于第三象限．故选：C．根据点的横纵坐标特点，判断其所在象限，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．本题考查了各象限内点的坐标的符号，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．8.【答案】A【解析】解：∵点P（1，-2）关于y轴对称，∴点P（1，-2）关于y轴对称的点的坐标是（-1，-2）．故选：A．平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；这样就可以求出A的对称点的坐标，从而可以确定所在象限．本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．9.【答案】C【解析】解：∵点B（m-1，m+2）在x轴上，∴m+2=0，解得：m=-2，故选：C．根据点B在x轴上，确定出m的值即可．此题考查了解一元一次不等式组，以及点的坐标，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10.【答案】B【解析】解：A、=3，故A错误；B、是最简二次根式，故B正确；C、=2，不是最简二次根式，故C错误；D、=，不是最简二次根式，故D错误；故选：B．判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．11.【答案】B【解析】解：A、（2，3）是第一象限内的点，故A错误；B、（-2，3）是第二象限内的点，故B正确；C、（2，-3）是第四象限内的点，故C错误；D、（-2，-3）是第三象限内的点，故D错误；故选：B．根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．12.【答案】D【解析】解：根据题意得x-1≥0，解得x≥1．故选：D．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．13.【答案】D【解析】解：∵x是9的平方根，∴x=±3，∵y是64的立方根，∴y=4，所以，x+y=3+4=7，或x+y=（-3）+4=1．故选：D．根据平方根的定义求出x，立方根的定义求出y，然后相加计算即可得解．本题考查了平方根和立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．14.【答案】B【解析】解：∵32=9，3.52=12.25，42=16∴＜＜＜，∴与最接近的数是3，而非4．故选：B．先根据的平方是11，距离11最近的完全平方数是9和16，通过比较可知11距离9比较近，由此即可求解．此题主要考查了无理数的估算能力，通过比较二次根式的平方的大小来比较二次根式的大小是常用的一种比较方法和估算方法．15.【答案】B【解析】解：∵64＜76＜81，∴8＜＜9，即5＜-3＜6，则-3的值在5与6之间，故选：B．估算出的范围，即可确定出所求．此题考查了估算无理数的大小，实数的整数部分及小数部分，设实数为a，a 的整数部分A为不大于a的最大整数，小数部分B为实数a减去其整数部分，即B=a-A；理解概念是解题的关键．16.【答案】＞＞＜＞＜＜＞＜【解析】解：若点P在第一象限，则a＞0，b＞0；若点P在第二象限，则a＜0，b＞0；若点P在第三象限，则a＜0，b＜0；若点P在第四象限，则a＞0，b＜0．故答案为：＞，＞；＜，＞；＜，＜；＞，＜．直接利用各象限内点的坐标特点得出答案．此题主要考查了点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．17.【答案】（-3，2）【解析】解：∵点P在第二象限，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，∴点P的横坐标是-3，纵坐标是2，∴点P的坐标为（-3，2）．故答案为：（-3，2）．根据第二象限内点的坐标特征和点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．本题考查了点的坐标，是基础题，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．18.【答案】6【解析】解：∵点P（a，b），Q（3，6），且PQ∥x轴，∴b=6．故答案为：6．根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相同解答．本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键．19.【答案】3 4 5【解析】解：∵点P坐标为（-4，3），∴到 x轴的距离是：|3|=3；到y轴的距离：|-4|=4，到原点的距离为：=5．故答案为：3、4、5．求得P的纵坐标绝对值即可求得P点到x轴的距离，求得P的横坐标绝对值即可求得P点到y轴的距离，求点OP的长度可得出到原点的距离．本题主要考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．20.【答案】5−2π-3【解析】解：2-的绝对值是|2-|=；=|3-π|=π-3，故答案为：；π-3．依据实数的绝对值进行计算，正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．本题主要考查了实数的绝对值以及二次根式的性质，实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．21.【答案】64【解析】解：∵y=+4，∴，解得x=3，∴y=4，∴y x=43=64．故答案为：64．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值代入y x进行计算即可．本题考查的是二次根式有意义的条件及有理数的乘方，能根据二次根式有意义的条件求出x的值是解答此题的关键．22.【答案】5-555【解析】解：-的相反数为：，倒数是：-，绝对值是：．故答案为：，-，．直接利用相反数以及倒数和绝对值的性质分别分析得出答案．此题主要考查了实数的性质，正确把握相关定义是解题关键．23.【答案】（1）（3）（5）（6）（7）（1）（6）【解析】解：（1）y=-是一次函数，也是正比例函数；（2）y=-是反比例函数；（3）y=3-5x是一次函数；（4）y=-5x2是二次函数；（5）y=6x-是一次函数；（6）y=x （x-4）-x2=-4x是正比例函数，也是一次函数；（7）y=x-6是一次函数．故答案为：（1）（3）（5）（6）（7）；（1）（6）根据一次函数与正比例函数的定义解答即可．本题主要考查了正比例函数与一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数与正比例函数的定义及关系：一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数．24.【答案】6【解析】解：∵|x-1|+（y-2）2+=0，∴x-1=0，y-2=0，z-3=0，∴x=1，y=2，z=3．∴x+y+z=1+2+3=6．根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算即可．本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．25.【答案】±23 1 2【解析】解：的平方根是±，1的立方根是1，即4的算术平方根是2，故答案为：±，1，2．根据平方根和立方根及算术平方根的定义逐一判断即可得．本题主要考查立方根，解题的关键是掌握平方根的定义和立方根及算术平方根的定义．26.【答案】（6，2）【解析】解：电影院5排3号用（5，3）表示，那么6排2号可表示为（6，2），故答案为：（6，2）．根据（排，号）有序数对，可确定位置．本题考查了坐标确定位置，利用有序数对确定位置，坐标确定位置．27.【答案】y=24-4t【解析】解：油箱中有油24升，如果每小时耗油4升，油箱中的剩余油量y（升）和工作时间t（时）之间的函数关系式为：y=24-4t故填：y=24-4t此题用一次函数关系解决实际问题，注意应表示剩余油量y，与耗油量之间的关系．此题主要考查了由实际问题列一次函数解析式，题目比较容易，但也是中考中一个热点问题．28.【答案】解：（1）6×83=4；（2）33×46=362；（3）12×3−5=6-5=1；（4）18×36=366=3；（5）（2+6）2；=2+2×2×6+6=8+43；（6）27−123=33=1；（7）（5+6）（5−6）=5-6=-1；（8）12−12−213=23-22-233=433-122；（9）48÷3−12×12+24=4-6+26=4+6；（10）81+3−27+(−23)2=9-3+23=623．【解析】（1）（2）根据二次根式的乘法法则计算即可求解；（3）先算乘法，再算减法；（4）先算分子，再约分计算即可求解；（5）根据平完全方公式计算即可求解；（6）先算分子，再约分计算即可求解；（7）根据平方差公式计算即可求解；（8）先化简，再算加法即可求解；（9）先算乘除法，再算加减法；（10）先化简，再相加即可求解．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、三次根式等考点的运算．29.【答案】解：（1）AC=12+22=5，AB=22+32=13，BC=12+32=10；（2）△ABC的面积=3×3-12×1×2-12×3×2-12×1×3=72；（3）点C到AB边的距离为h，则12×AB×h=72，即12×13×h=72，解得，h=71313．【解析】（1）根据勾股定理计算，求出边AC、AB、BC的长；（2）根据三角形的面积公式，正方形的面积公式，结合图形计算；（3）根据三角形的面积公式计算．本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．30.【答案】（0，3）（-2，1）22+13+17 5【解析】解：（1）如图所示：A：（0，3），C：（-2，1）；故答案为：（0，3），（-2，1）；（2）如图所示：AB==，BC==，AC==2，故△ABC的周长为：2++，面积为：3×4-×1×4-×2×2-×2×3=5；故答案为：2++，5；（3）如图所示：△A1B1C1，即为所求．（1）直接利用A，C点位置进而得出答案；（2）直接利用勾股定理以及结合三角形所在矩形面积减去周围多余三角形的面积进而得出答案；（3）直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．31.【答案】解：（1）原式=(2−1+3−2+4−3+…+2016−2015)(2006+1)=(2016−1)(2016+1)=2016-1=2015；（2）∵112−11=12+11，113−12=13+12，而12+11<13+12，∴12−11>13−12．【解析】本题主要考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．（1）利用分母有理化得到原式=，然后合并后利用平方差公式计算；（2）通过比较它们的倒数进行判断．。
2022-2023学年山东省济南市历下区八年级(上)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年山东省济南市历下区八年级（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 在平面直角坐标系中，点P是y轴上的一点，则点P的坐标可能是( )A. (1,2)B. (0,2)C. (−1,0)D. (2,−1)2. 如果a>b，那么下列各式中正确的是( )A. a+1>b+1B. 3a<3bC. −a>−bD. a2<b23. 已知一组数据3，4，5，4，则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 4，5B. 4，4.5C. 4，4D. 4.5，44. 下列命题中是真命题的是( )A. 内错角相等B. 同一平面内，只有一条直线与已知直线垂直C. 对顶角相等D. 三角形的一个外角等于两个内角的和5. 已知直线y=2x与y=−x+b的交点的坐标为(1,2)，则方程组的解是( )A. {x=1y=2 B. {x=2y=1 C.{x=2y=3 D.{x=1y=36.两个直角三角板如图摆放，其中∠ABC=∠BCD=90°，∠A=30°，∠D=45°，AC与BD交于点P，则∠BPC的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°7. 一次函数y=mx−2的图象经过二、三、四象限，则点M(−m,m)所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 如图，在△ABC中，D，E是边BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为( )A. 105°B. 120°C. 130°D. 150°9.如图，在同一直角坐标系中，一次函数y1=−x+m和的图象相交于点A，则不等式的解集为( )A. x>2B. x<2C. x>1D. x<l10. 小王同学从家出发，骑自行车到离家1200米的图书馆借书，3分钟后发现忘带借书卡，立刻按原速掉头返回，拿到借书卡后又跑步到图书馆，从第一次出发到到达图书馆共用时16分钟，在图书馆借书9分钟后，按照原路线步行回家(掉头、拿借书卡的时间忽略不计)，小王同学离家的距离y(单位：米)与出发时间x(单位：分钟)的函数关系如图所示，则从小王同学从第一次出发，到最后一次与家相距960米的时间为( )A. 26分钟B. 27分钟C. 28分钟D. 29分钟第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 点A(−3,2)关于x轴对称的点的坐标为______．12. 不等式3x−6≥0的解集为______．13. 热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，T>0，当t=15℃时，相应的热力学温度T是______ K.14. 甲、乙两个班各选取40名学生参加广播操比赛，测量两个班参赛学生的身高后计算方差，，，则两班参赛站队时看起来身高更一致的是______ 班.15. 若关于x和y的二元一次方程组，满足x−y>0，那么整数m的最大值是______ ．16. 如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接A F，FC−FB=2，则EF的长是．三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。
山东省济南市历下区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)
A ．3．如果，那么下列各式中正确的是（A ．50︒m n ≤11m n -≥-A ．155B ．1587．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长可以列方程组（ ）A ．9．如图，直线A ．1B ．2431y ax =A．414．若方程组为．3 3x -⎧⎨⎩16．如图，已知接交于点三、解答题（本大题共10个小题，共20．如图，在和边上的中线，且21．用5张大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图图案，为，求点的坐标．BD AC ABC A B C ''CD ()1,7-B22．用尺规作平行线的方法：已知：直线及直线求作：经过点P 的直线尺规作图步骤：如图，①过点P 作直线为半径画弧，交直线(1)（填写合适的选项）可判定，从而可得到A ．“” B ．“” C ．“” D ．“”(2)在上述作图步骤中用到的判定的依据是________________(3)如图3，在中，，小明通过刚才的方法，作出了是底边的平行线，那么是外角23．为丰富校园课余生活，增强班级凝聚力，展现学子积极向上的精神风貌，我市某中学准AB AB CD AB HP PMN HEF △△≌SSS SAS ASA AAS CD AB ∥ABC AB AC =ABC BC AD ABC EAC ∠b.甲乙两人投篮命中数的平均数，众数甲乙平均数（个）7.6众数（个）8根据以上信息，回答下列问题：m n(1)求直线l 的解析式；(2)如图，过线段的中点请求出点F 的坐标．(3)如图，点C 是x 轴上一动点，连接接，直接写出26．在学习了三角形的知识后，关系进行了探究．AB BD ABD △（2）如图，若点E 在边证：；（二）应用拓展（3）如图，在四边形，请直接写出亲爱的同学，祝贺你已经完成了本次考试的所有题目，如果你还有时间，希望挑战一下自己，可以尝试完成下面两道题目，请注意，以下题目的分数不计入总分．四、附加题（本大题共27．已知是二元二次式28．设x ，y ，z 为互不相等的非零实数，且2AE AF AM +=ABDC 43AD =AC 2+-x y答案与解析1．D 【分析】本题考查了轴上点坐标的特征．熟练掌握轴上点坐标的纵坐标为0是解题的关键．根据轴上点坐标的纵坐标为0，判断作答即可．【详解】解：由题意知，点A 的纵坐标为0，故选：D ．2．B【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行线的性质等知识，理解并掌握平行线的性质是解题关键．首先根据“对顶角相等”可得，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，由求解即可．【详解】解：如下图，∵，∴，∵，∴．故选：B ．3．D【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．x x x 31120∠=∠=︒21803∠=︒-∠1120∠=︒31120∠=∠=︒a b ∥2180360∠=︒-∠=︒∵是的角平分线，∴，∵，BD ABC DE CD =BD BD =17．【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题关键是熟练掌握解二元一次方程的常用方法．利用代入消元法解该方程即可．【详解】解：由①可得，③，将③代入②，可得，解得，将代入③，可得，∴原方程组的解为．18．不等式组的解集，整数解为，1，2．【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出各不等式的解集，利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则再求出其公共解集即可．【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，∴不等式组的解集是，∴不等式组的整数解为，1，2．19．见解析【分析】根据，可得，进而得到，结合已知条件，通过等量代换，得到，即可求解，本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质与判定定理．【详解】证明：（内错角相等，两直线平行），，（两直线平行，内错角相等），又，，（同位角相等，两直线平行）．12x y =⎧⎨=⎩4237x y x y -=⎧⎨+=⎩①②42y x =-3(42)7x x +-=1x =1x =422y =-=12x y =⎧⎨=⎩12x -<≤0x =724x x +>-1x >-()1213x +-≤2x ≤12x -<≤0x =1E ∠=∠AD BE ∥D DCE ∠=∠B D ∠=∠B DCE ∠=∠1E ∠=∠ AD BE ∴∥D DCE ∴∠=∠B D ∠=∠ B DCE ∴∠=∠AB CD ∴∥20．见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明．【详解】证明：∵与分别为，边上的中线，∴，，∵，∴，在和中，，∴．21．【分析】本题主要考查了坐标与图形、二元一次方程组的应用等知识，正确列出二元一次方程并求解是解题关键．设小长方形的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组并求解，然后确定点的坐标即可．【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意，得，解得，∴，，∴点的坐标为．22．(1)A(2)同位角相等，两直线平行(3)是，理由见解析【分析】（1）由作图可知，，可证，然后作答即可；（2）根据平行线的判定定理作答即可；2CB CD =2C B C D ''''=CD C D ''=CB C B ''=HL A ABC B C '''≌△△AD A D ''BC B C ''2CB CD =2C B C D ''''=CD C D ''=CB C B ''=Rt ABC △Rt A B C ''' AB A B BC B C ''''=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL ABC A B C ''' ≌(6,5)-x y B x y 127x y x y -=⎧⎨+=⎩32x y =⎧⎨=⎩26x =5x y +=B (6,5)-PM HE MN EF PN HF ===，，()SSS PMN HEF ≌（3）由平行线的性质，等边对等角可得，进而可证是外角的平分线．【详解】（1）解：由作图可知，，∴，故选：A ；（2）解：由题意知，，∴，∴判定的依据是同位角相等，两直线平行，故答案为：同位角相等，两直线平行；（3）解：是外角的平分线，理由如下；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是外角的平分线．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线是解题的关键．23．(1)；(2)(3)(4)他在投篮训练中每个球的平均分是分【分析】本题考查统计综合，涉及平均值、众数、极差、方差及解应用题，熟记相关统计量的定义及求解公式是解决问题的关键．（1）根据题中数据，由平均数即众数定义直接求解即可得到答案；（2）结合题中数据，由极差定义与求法代值求解即可得到答案；EAD DAC ∠=∠AD ABC EAC ∠PM HE MN EF PN HF ===，，()SSS PMN HEF ≌MPN EHF ∠=∠CD AB ∥CD AB ∥AD ABC EAC ∠EAD B ∠=∠AD BC ∥DAC C ∠=∠AB AC =B C ∠=∠EAD DAC ∠=∠AD ABC EAC ∠7.674>1.88)()(2297.68+-+-)()(2287.67+-+-∵点E 是线段的中点，∴直线是线段的垂直平分线，∴，在中，∴，解得AB EF AB AF BF =Rt AOF 22AO FO +=()2224=3FO FO ++FO∵点在直线∴，∵轴且点F 在x ∴．∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴∵，(),2E a y =3,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭FE x ⊥3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ACD AC CD ==90ACD ∠︒90ACO MCD ∠+∠=90ACO CAO ∠+∠=︒设点，则，，故点，，得，∴点D 在直线上运动，设直线与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ，连接并延长至点，使得，过点作轴交于点N ，连接和，如图，则点，，∵，∴，∵，∴，则线段垂直平分，∴，∵，，∴，∴，当、B 和D 共线时可以取到最小值，∵，，，∴，∴，，∵，，(),0C t 4OM OC CM t =+=+DM t =()4,D t t +4x t y t =+⎧⎨=⎩4y x =-4y x =-4y x =-AP AP P 'AP A P '=A 'A N x '⊥A D 'A B '()4,0P ()0,4Q -()0,4A 4OP OA OQ ===90AOP ︒=∠90APQ ∠=︒QD AA 'AD A D '=4AO =3OB =5AB =5ABD C AB BD AD BD A D '=++=++ A 'BD A D A B ''+=90A NP AOP '∠=∠=︒A P AP '=A PN APO '∠=∠()AAS A PN APO ' ≌A N AO '=PN PO =4OP =3OB =∵，∴∵，点D 为的中点∴，90BAC ∠=︒AB AC=45B C ∠=∠=︒AB AC =BC 1452EAD BAC ∠=∠=︒ADC ∠=∵，点D 为的中点，∴∵∴∴AB AC =BC 1452EAM MAN BAC ∠=∠=∠=︒MN AM⊥90AM N ∠=︒9045FNM MAN ∠=︒-∠=︒∴∵，∴∴∴在和中，180ECB ACD∠=︒-∠60BAC ∠=︒BDC ∠360B ACD ∠+∠=︒-180B ACD∠=︒-∠ECD B∠=∠ABD △ECD∴，∵∴∴∴∵∴．12AF EF AE ==30DAE ∠=︒1232DF AD ==226AF AD DF =-=212AE AF ==7CE AB ==5AC AE CE =-=。
2023-2024学年山东省济南市市中区八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）已知x＞y，则下列不等式成立的是（）A．x﹣1＜y﹣1B．3x＜3y C．﹣x＜﹣y D．2．（4分）若分式的值为0，则x的值为（）A．2B．﹣2C．D．﹣3．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．矩形C．直角三角形D．正五边形4．（4分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x+2＝x（1+）D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）5．（4分）如图，在▱ABCD中，CE⊥AB于点E，若∠D＝65°，则∠BCE＝（）A．65°B．35°C．30°D．25°6．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣27．（4分）下列判断中不正确的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形8．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k≤C．k＜且k≠0D．k≤且k≠09．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD 的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（）A．3B．2C．1D．1.510．（4分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值[A，B]如下：若O，A，B在．已知点A坐标为（4，0），点B坐一条直线上[A，B]＝0；若O，A，B不在一条直线上[A，B]＝S△OAB标为（0，6），有下列结论：①[A，B]＝12；②若[P，A]＝0，[P，B]＝2，则点P坐标为；③满足[P，A]＝[P，B]的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上；④若平面中任意一点P满足[P，A]+[P，B]≤2，则满足条件的点P的全体组成的图形面积为．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案．）11．（4分）因式分解：6m2﹣3mn＝．12．（4分）如图所示的地面由正六边形和菱形（所有菱形地砖都全等）两种地砖镶嵌而成，则∠BCD的度数为°．13．（4分）一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一根是3，则另外一根是．14．（4分）如图，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+6的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式﹣x+6＞kx的解集是．15．（4分）如图，在一块长为40米，宽为30米的矩形荒地上，要建造一个花园（阴影部分），使得花园的面积为荒地面积的，小明设计出如图所示的方案，则图中x的值为．16．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在线段AD上，点F在线段BC上，将四边形ABFE沿直线EF 翻折，点A的对应点A′恰好落在线段CD上，点B的对应点为点B′，AA′交EF于点M，BD交EF 于点N．若正方形边长为4，A′D长为1，则线段MN的长为．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．18．（8分）解方程：（1）；（2）x2+4x﹣5＝0．19．（6分）如图，点O为▱ABCD的对角线BD的中点，经过点O的直线分别交BA的延长线，DC的延长线于点E，F，求证：AE＝CF．20．（6分）先化简，再求值：，其中．21．（8分）计算：（1）已知一个多边形的内角和是1260°，求这个多边形的边数；（2）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形，求小明一共走了多少米．22．（8分）如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC，PQ∥AC，分别交AC，BC于R，Q．（1）四边形PQCR的形状是；若设AP＝x cm，则四边形PQCR的面积可表示为cm2．（2）四边形PQCR的面积能为16cm2吗？如果能，请求出P点与A点之间的距离；如果不能，请说明理由．23．（10分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．已知篮球的单价比足球单价多40元，用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍．（1）求足球和篮球的单价；（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过17500元，学校需要最少购买多少个足球？24．（10分）阅读理解【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．①因式分解法求解特殊的三次方程：将x3﹣5x+2＝0变形为x3﹣（4+1）x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0．∴（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝0．∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0．∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0．∴原方程有三个根：x1＝2，，．②换元法求解特殊的四次方程：x4﹣5x2+4＝0设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4，当y＝1，x2＝1时，∴x＝±1；当y＝4，x2＝4时，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．【应用新知】（1）仿照以上方法，按照要求解方程：①（因式分解法）x3﹣10x+3＝0；②（换元法）x4+3x2﹣4＝0；【拓展延伸】（2）已知：x2﹣2x﹣1＝0，且x＞0，请综合运用以上方法，通过“降次”求x4﹣2x3﹣3x 的值．25．（12分）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BE、CD，点O是BE的中点，连接AO．（1）特例探究如图①，当点D、E分别在AB、AC上时，线段AO与CD的数量关系是，位置关系是；（2）深入探究如图②，当点D、E不在AB、AC上时，试判断（1）中的两个结论是否成立，若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由（仅就图②的情形）；（3）问题解决将△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AB＝2AD，BC＝4，请直接写出OA的取值范围．26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D对应）．（1）直接写出直线CD的解析式；（2）点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG＝AD时，求点E的坐标；（3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点．且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．2023-2024学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．【解答】解：A、根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故本选项错误；B、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故本选项错误；C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，正确；D、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变．故本选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．2．【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣2＝0，x+1≠0，解得：x＝2．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C、直角三角形，不是轴对称图形．不是中心对称图形，不符合题意；D、正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合是解题的关键．4．【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．5．【分析】由▱ABCD中，∠D＝65°，根据平行四边形的对角相等，∠B的度数，又由CE⊥AB，即可求得∠BCE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝65°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝25°．故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．【分析】根据增根的定义可得出x＝1，然后去分母得出：m+3x﹣3＝x，把x＝1代入得，即可得出m的值．【解答】解：∵分式方程有增根，∴x＝1，原方程去分母可得：m+3x﹣3＝x，把x＝1代入可得：m+3﹣3＝1，解得：m＝1．故选：A．【点评】本题考查的主要是分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7．【分析】跟进平行四边形和特殊的平行四边形的判定定理进行判断即可．【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，故A选项不符合题意；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故B选项符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项不符合题意；D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故D选项不符合题意，故选：B．【点评】本题考查了特殊的平行四边形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握这些判定定理是解题的关键．8．【分析】根据一元二次方程的定义，得k≠0，根据方程有两个实数根，得出Δ≥0，求出k的取值范围即可得出答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，∴k≠0，∵方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，解得k≤，∴k的取值范围是k≤且k≠0，故选：D．【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．9．【分析】由平行四边形的性质推出CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB，由平行线的性质推出∠APD＝∠CDP，由角平分线定义得到∠ADP＝∠CDP，因此∠ADP＝∠APD，推出AP＝AD＝4，求出PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3，由三角形中位线定理得到OE＝PB＝1.5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB，∴∠APD＝∠CDP，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP，∴∠ADP＝∠APD，∴AP＝AD＝4，∴PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3，∵O是BD中点，E是PD中点，∴OE是△DPB的中位线，∴OE＝PB＝1.5．故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出AD＝AP，由三角形中位线定理推出OE＝PB．10．【分析】根据题中的定义计算即可判断①；由[P，A]＝0可得点P在x轴上，由[P，B]＝2可得S△POB ＝2，据此求出点P的坐标即可判断②；根据[P，A]＝[P，B]可得y＝x，即可判断③；由题意得出3|x|+2|y|≤2，满足条件的点的全体是一个菱形，据此解答即可判断④．【解答】解：∵点A坐标为（4，0）点B坐标为（0，6），∴OA＝4，OB＝6，＝＝12，故①正确；∴[A，B]＝S△P AB∵[P，A]＝0，∴点P在x轴上，∵[P，B]＝2，＝，∴S△POB∴OP＝，∴点P坐标为（，0）或（﹣，0），故②错误；＝S△OPB，若[P，A]＝[P，B]，则S△OP A所以|x|＝|y|．因此y＝x，即点P到坐标轴的距离不等，故满足[P，A]＝[P，B]的点P不在一三象限角平分线和二四象限角平分线上，故③错误；（4）设点P坐标为（x，y），∵[P，A]+[P，B]≤2，∴|x|+|y|≤2，∴3|x|+2|y|≤2，对于3|x|+2|y|≤2，当x≥0，y≥0时，y＝﹣x+1，与x轴的交点为（，0，与y轴的交点为（0，1）；当x≤0，y≥0时，y＝x+1，与x轴的交点为（﹣，0，与y轴的交点为（0，1）；当x≤0，y≤0时，y＝﹣x﹣1，与x轴的交点为（﹣，0，与y轴的交点为（0，﹣1）；当x≥0，y≤0时，y＝x﹣1，与x轴的交点为（，0，与y轴的交点为（0，﹣1）；在同一坐标系中画出它们的图象如图：∴满足条件的点P的全体组成的图形面积为＝，故④正确．故选：B．【点评】本题考查坐标与图形及坐标系中三角形面积问题，解题的关键是读懂“关联值[A，B]”的定义，数形结合解决问题．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案．）11．【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：6m2﹣3mn＝3m（2m﹣n），故答案为：3m（2m﹣n）．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键．12．【分析】根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数，然后根据邻补角求出答案．【解答】解：正六边形内角和（6﹣2）×180°＝720°，所以每个内角度数720°÷6＝120°，∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°．故答案为：60．【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．13．【分析】设另一个根为x，根据根与系数的关系列方程即可求解．【解答】解：设另一个根为x，∵一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根是3，∴3+x＝﹣（﹣2），解得：x＝﹣1，∴另一个根为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．14．【分析】先求得点P的横坐标，再写出直线y＝kx在直线y＝﹣x+6下方时所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+6的图象经过点P，点P的纵坐标是4，∴4＝﹣x+6，∴x＝2，即P（2，4），由图可得，不等式﹣x+6＞kx的解集是x＜2．故答案为：x＜2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求得点P的坐标是解决问题的关键．15．【分析】图中四块空白的部分可合成长为（40﹣x）米，宽为（30﹣2x）米的矩形，根据花园的面积为荒地面积的（即其余部分占荒地面积的），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：图中四块空白的部分可合成长为（40﹣x）米，宽为（30﹣2x）米的矩形，依题意得：（40﹣x）（30﹣2x）＝40×30×（1﹣），整理得：x2﹣55x+450＝0，解得：x1＝10，x2＝45（不合题意，舍去）．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．【分析】由勾股定理求得AA′＝＝，连接AN，CN，A′N，设∠BCN＝α，则∠NCA′＝∠BCA﹣∠BCN＝90°﹣α；证得△ABN≌△CBN（SSS），推导出∠ANA′＝90°，△ANA′是等腰直角三角形，进而得到MN＝AA′＝．【解答】解：∵正方形边长为4，AD长为1，∴AA′＝＝，如图所示，连接AN，CN，A′N，由折叠的性质得NA＝NA′，∵N在正方形ABCD的对角线BD上，∴AN＝NC，∴NC＝NA′，∴∠NCA′＝∠NA′C；设∠BCN＝α，则∠NCA′＝∠BCA﹣∠BCN＝90°﹣α；∵AN＝NC，BN＝BN，AB＝BC，∴△ABN≌△CBN（SSS），∴∠BAN＝∠BCN＝α，∴∠CND＝∠AND＝∠ABN+∠BAN＝45°+α，∠A′NC＝180°﹣2∠NCA′＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，∴∠A′ND＝∠CND﹣∠CNA′＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，∴∠ANA′＝∠AND+∠A′ND＝90°，∴△ANA′是等腰直角三角形，∴MN＝AA′＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的性质，正方形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形解决问题．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【分析】求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可．【解答】解：，解不等式①得，x≤1，解不等式②得，x＞﹣2，所以，不等式组的解集是﹣2＜x≤1，所以，不等式组的所有整数解是﹣1，0，1．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解元一次不等式组，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．【分析】（1）根据解分式方程的步骤解方程组即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）；去分母得：x+2（x﹣3）+3，去括号合并得：3x＝3，解得：x＝1检验，x＝1是原分式方程的解．∴x＝1．（2）x2+4x﹣5＝0，（x﹣1）（x+5）＝0，x﹣1＝0，x+5＝0，x1＝1，x2＝﹣5．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能选择适当的方法解一元二次方程．19．【分析】由平行四边形和性质知，AB∥CD⇒∠E＝∠F，∠EBO＝∠FDO，OB＝OD⇒△EBPFDO⇒BE ＝DF，AB＝CD⇒BE﹣AB＝DF﹣CD即AE＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠E＝∠F，∠EBO＝∠FDO．又∵OB＝OD，∴△EBO≌△FDO．∴BE＝DF．又∵AB＝CD，∴BE﹣AB＝DF﹣CD．即AE＝CF．【点评】本题利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质求解，属于基础证明，难度不大．20．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：＝•＝•＝，当时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．21．【分析】（1）根据多边形的内角和公式即可得到结论．（2）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解．【解答】解：（1）根据题意得：设这个多边形的边数为n，（n﹣2）×180°＝1260°，解得n＝9答：这个多边形的边数为9．（2）∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，∴360÷30＝12，12×10＝120（米），答：小明一共走了120米．【点评】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．22．【分析】（1）由“PR∥BC，PQ∥AC”，可得出四边形PQCR的形状是平行四边形，设AP＝x cm，则PR＝x cm，BP＝BQ＝（8﹣x）cm，利用四边形PQCR的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形APR的面积﹣三角形PBQ的面积，即可找出四边形PQCR的面积；（2）四边形PQCR的面积能为16cm2，由（1）的结论结合四边形PQCR的面积为16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；四边形PQCR的面积不能为20cm2，由（1）的结论结合四边形PQCR的面积为20cm2，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，可得出该方程无实数根，即四边形PQCR的面积不能为20cm2．【解答】解：（1）∵PR∥BC，PQ∥AC，∴四边形PQCR的形状是平行四边形．设AP＝x cm，则PR＝x cm，BP＝BQ＝（8﹣x）cm，∴四边形PQCR的面积＝AB•BC﹣AP•PR﹣BP•BQ＝×8×8﹣•x•x﹣•（8﹣x）•（8﹣x）＝﹣x2+8x．故答案为：平行四边形；（﹣x2+8x）；（2）四边形PQCR的面积能为16cm2，依题意得：﹣x2+8x＝16，整理得：x2﹣8x+16＝0，解得：x1＝x2＝4，∴P点与A点之间的距离为4cm时，四边形PQCR的面积为16cm2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式、平行四边形的判定、等腰直角三角形以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用分割图形求面积法，找出四边形PQCR的面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+40）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入（x+40）中，即可求出篮球的单价；（2）设购买m个足球，则购买（200﹣m）个篮球，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过17500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+40）元，根据题意得：×2，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，∴x+40＝80+40＝120．答：足球的单价是80元，篮球的单价是120元；（2）设购买m个足球，则购买（200﹣m）个篮球，根据题意得：80m+120（200﹣m）≤17500，解得：m≥162.5，又∵m为正整数，∴m的最小值为163．答：最少购买163个足球．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24．【分析】（1）仿照题中所给方法，分别用因式分解法及换元法解方程即可．（2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题．【解答】解：（1）①将x3﹣10x+3＝0变形为x3﹣（9+1）x+3＝0，∴x3﹣9x﹣x+3＝0，∴x（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x2+3x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x2+3x﹣1＝0，∴原方程有三个根：x1＝3，．②设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2+3y﹣4＝0，解得y1＝1，y2＝﹣4；因为x2≥0，所以y＝﹣4舍去．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1，∴原方程有两个根：x1＝1，x2＝﹣1．（2）∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1．∴x4﹣2x3﹣3x＝x2（x2﹣2x）﹣3x＝x2﹣3x＝x2﹣2x﹣x＝1﹣x．解方程x2﹣2x﹣1＝0得，，∵x＞0，∴x＝1+，∴x4﹣2x3﹣3x＝1﹣（1+）＝﹣．【点评】本题主要考查了根的判别式、解一元二次方程﹣配方法、解一元二次方程﹣因式分解法及换元法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的步骤及巧用整体思想是解题的关键．25．【分析】（1）根据SAS证明△DAC与△EAB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）延长AO到点F，使OF＝AO，连接BF，EF，根据SAS证明△DAC与△EAB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）分两种情况得出OA的取值范围即可．【解答】解：（1）在△DAC与△EAB中，，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，∵∠ABE＝90°，BO＝OE，∴AO＝BE，∴AO＝BO＝OE＝CD，∴∠ABO＝∠OAB＝∠ACD，∵∠OAB+∠OAC＝90°，∴∠ACD+∠CAO＝90°，∴AO⊥CD；故答案为：AO＝CD；AO⊥CD；（2）成立，证明：延长AO到点F，使OF＝AO，连接BF，EF，如图②，∵AO＝OF，BO＝OE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴BF＝AE，BF∥AE，∴∠FBA+∠BAE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAE＝∠DAC+∠BAE＝180°，∴∠DAC＝∠FBA，∵AC＝BA，BF＝AE＝AD，∴△DAC≌△FBA（SAS），∴CD＝AF，∠ACD＝∠BAF，∴AO＝CD，∵∠BAF+∠CAF＝90°，∴∠ACD+∠CAF＝90°，∴AO⊥CD；（3）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝BC＝4，∴AB＝2AD，∴AD＝2，如图1，当D在CA延长线上时，CD的长最长，此时CD＝AC+AD＝4+2＝6，由（2）可知，OA＝CD，∴OA的长的最大为3，如图2，当D在线段AC上时，CD最短，此时，CD＝AC﹣AD＝4﹣2＝2，由（2）可知，OA＝CD，∴OA最小为1，∴1≤OA≤3．【点评】此题考查几何变换的综合题，关键是根据SAS证明全等三角形的判定和性质解答．26．【分析】（1）依题意求出点A，B坐标，求出OA＝2，OB＝4，求出点C，D的坐标，用待定系数法求解析式；（2）设E（a，﹣a+2），则F（a，2a+4），由EG∥x轴可得点G的纵坐标为﹣a+2，代入一次函数y＝2x+4可得点G的横坐标为﹣a﹣1，表示出EF、EG，求出AD，根据EF+EG＝AD，可得a的值，即可得点E的坐标；（3）分两种情况：①OM为矩形的边时，②OM为矩形的对角线时，根据矩形的判定和性质即可求解．【解答】解：（1）一次函数y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，4），即OA＝2，OB＝4，∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD，∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4，∴C（0，2），D（4，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+2；（2）设E（a，﹣a+2），则F（a，2a+4），∵EG∥x轴，∴点G的纵坐标为﹣a+2，将y＝﹣a+2代入一次函数y＝2x+4得：2x+4＝﹣a+2，∴x＝﹣a﹣1，即点G的横坐标为﹣a﹣1，∴EF＝2a+4﹣（﹣a+2）＝a+2，EG＝a﹣（﹣a﹣1）＝a+1，∵A（﹣2，0），D（4，0），∴AD＝6，∵EF+EG＝AD，∴a+2+a+1＝6，∴a＝，∴点E的坐标为（，）；（3）①OM为矩形的边时，如图，分别过点O、M作ON⊥OM交直线CD于N，作MN′⊥OM交直线CD于N′，在分别过点N、N′作NP⊥ON交直线MN′于P，作N′P′⊥MN′交直线ON于P′，则四边形MONP、四边形MN′P′O均为矩形，∵A（﹣2，0），B（0，4），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，2），OM＝AM＝BM＝AB，∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD，∴△AOB≌△COD，∴OA＝OC＝2，∠OAB＝∠OCD，AB＝CD，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠CON，∴△AOM≌△CON（ASA），∴ON＝OM，CN＝AM，∴ON＝CN＝CD，∴点N为线段CD的中点，∵C（0，2），D（4，0），∴N（2，1）；设直线ON的解析式为y＝mx，则2m＝1，∴m＝，∴直线ON的解析式为y＝x，∵MN′⊥OM，ON⊥OM，∴MN′∥ON，∴可设直线MN′的解析式为y＝x+n，将M（﹣1，2）代入得，﹣+n＝2，∴n＝，∴直线MN′的解析式为y＝x+，联立直线CDy＝﹣x+2得，解得，∴N′（﹣，）；综上，OM为矩形的边时，点N的坐标为（2，1）或（﹣，）；②OM为矩形的对角线时，如图，∵M（﹣1，2），C（0，2），∴MC⊥y轴，∵四边形MNOP为矩形，∴MN⊥y轴，∴点N与点C重合，∴N（0，2）．综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为（2，1）或（﹣，）或（0，2）．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，中点坐标公式的运用，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，矩形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键。
2022-2023学年山东省济南市历下区八年级(下)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.泉城济南，泉甲天下，将如图所示的泉城图标平移后可以得到( )A.B.C.D.2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是( )A. x−1+2=0 B. x2+2x+y=0 C. ax2+bx+c=0D. x2−x+1=0x3. 近年来，我国新能源汽车产业快速发展，生产和销售稳定增长，下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.4. 已知x=−1是关于x的一元二次方程x2+3x+k=0的一个根，则k的值为( )A. k=1B. k=2C. k=−4D. k=−25. 若分式a+12a−1在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )A. a≠−12B. a≠0 C. a≠12D. a=126. 如图，在平面直角坐标系中，将“房子”平移，使顶点A(4,4)落在点A′(2,5)的位置，则顶点B平移后的对应点B′的坐标是( )A. (−1,3)B. (−1,1)C. (3,3)D. (3,1)7. 剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩余多边形纸片的内角和不可能是( )A. 540°B. 360°C. 270°D. 180°8. 若关于x的分式方程1−xx−2=m2−x−2有增根，则m的值是( )A. −7B. −1C. 1D. 29. 如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，连接DE、AF，相交于点O，则AO的长是( )A. 32B. 1C. 3D. 210. 如图，在平面直角坐标系中，A(1,3)，B(1,1)，C(2,1)，将△ABC向左平移2个单位长度，得到△A1B1C1；将△A1B1C1关于原点中心对称，得到△A2B2C2；将△A2B2C2向右平移2个单位长度，得到△A3B3C3；将△A3B3C3关于原点中心对称，得到△A4B4C4；将△A4B4C4向左平移2个单位长度，得到△A5B5C5….若按照此规律作图形的变换，则A2023的坐标为( )A. (2023,3)B. (2023,−3)C. (−2023,3)D. (−2023,−3)第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 分解因式：x2−2x+1=______．12. 关于x的一元二次方程x2=3x+1化为一般形式是______ ．13. 一个凸多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是______边形．14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长为8，边AD长为5，边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把长方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为______ ．15. “方胜纹”是由两个正方形互相压角穿插、相叠而成的纹样，寓意同心同德、同舟共济.如图，将正方形ABCD沿对角线BD方向平移得到正方形A′B′C′D ′，形成一个“方胜纹”图案，若BB′=AB，B′D=2，则正方形ABCD的边长为______ ．16. 如图，四边形ABCD 是正方形，四边形EDFC 是菱形，四边形HGNM 是矩形，其中点E 在边AB 上，MN 在边EC 上，点G 是菱形对角线的交点，若AE =2，则HM = ______ ．三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。
2023-2024学年山东省济南市市中区八年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年山东省济南市市中区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，1．实数4的平方根是（ ）A．2B．﹣2C．D．±22．如图，在平面直角坐标系xOy中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（ ）A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）3．在△ABC中a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）A．a：b：c＝5：12：13B．C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A+∠B＝∠C4．下列数中﹣4，，3.1415，﹣3π，3.030030003…中，无理数的个数是（ ）A．1B．2C．3D．45．下列计算中，结果错误的是（ ）A．B．C．D．6．已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x+1上，则y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定7．一次函数y1＝ax+b与正比例函数y2＝﹣bx在同一坐标系中的图象大致是（ ）A．B．C．D．8．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为（ ）A．10B．11C．12D．139．在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）和所悬挂物体的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有（ ）①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力G＝7N时，拉力F＝2.2N；③拉力F与重力G成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N．A．①②B．②④C．①④D．③④10．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段AB（点B在点A上面）在y轴上移动，C （1，0），D（4，0），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）A．5B．C．2D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）11．若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置可以表示为 ．12．已知点P（2﹣a，a﹣3）在y轴上，则a＝ ．13．如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，4），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ．14．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y 值是 ．15．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要 小时．16．如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中∠MA1A2＝∠MA2A3⋯＝∠MA n A n+1＝90°，（n为正整数），若M点的坐标是（﹣1，2），A1的坐标是（0，2），则A2023的坐标为 ．三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步17．计算：（1）；（2）．18．解方程：（1）（x﹣4）2﹣9＝0；（2）（x+1）3＝﹣27．19．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．20．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）．（1）点B的坐标为（ ， ），点C的坐标为（ ， ）．（2）△ABC的面积是 ．（3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是 ．21．如图，学校准备在阴影部分修建草坪，经施工人员测量，∠ADC＝90°，AD＝8米，CD ＝6米，AB＝26米，BC＝24米．（1）判断△ABC的形状并证明．（2）求草坪（阴影部分）的面积．22．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2）．已知点C（﹣1，3）在该图象上，连接OC．（1）求函数y＝kx+b的关系式；（2）求△AOB的面积；（3）点P为x轴上一动点，若S△ACP＝3S△AOB，求点P的坐标．23．某校八年级开展了《为家人选择合适的手机套餐》项目学习．小露收集并整理奶奶近六个月的话费账单，根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机套餐．甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计；乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计．（1）每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为：y甲＝，y乙＝ （x≥0）．（填写最简结果）（2）为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．①写出图中A点表示的实际意义．②如果从节省费用的角度考虑，应如何选择套餐？24．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）＝ ，＝ ．（2）化简：．（3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值．25．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥I交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝kx+2分别与y轴，x轴交于点A、B（﹣1，0）．（1）求k的值和点A的坐标；（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，求点E的坐标；（3）将直线l1绕点A旋转45°得到l2，求l2的函数表达式．26．△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点．【探究发现】（1）如图1，点D在边AB下方，∠ADB＝90°．学校的数学兴趣小组的同学们尝试探究此时线段AD、BD、CD之间的数量关系．他们的思路是这样的，作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE．易证△ADC≌△BEC．通过等量代换得到线段之间的数量关系．请根据同学们的思路，写出△ADC≌△BEC的证明过程．【迁移运用】（2）如图2，点D在边AB上方，∠ADB＝90°．猜想线段AD、BD、CD 之间的数量关系，并证明你的结论．【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAC＝∠ADC＝45°，若AD ＝2，CD＝4，请直接写出BD的值．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，1．实数4的平方根是（ ）A．2B．﹣2C．D．±2【分析】根据算术平方根的定义解答即可．解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，即±＝±2．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（ ）A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）【分析】根据各象限点的坐标规律进行判断即可．解：第四象限点的坐标特征是：横坐标大于零，纵坐标小于零．故选：A．【点评】本题考查了各象限内点的坐标特征，若P（x，y）在第四象限，则x＞0，y＜0．3．在△ABC中a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）A．a：b：c＝5：12：13B．C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A+∠B＝∠C【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．解：A．设a＝5k，b＝12k，c＝13k，∵（5k）2+（12k）2＝（13k）2，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；B．设a＝k，b＝k，c＝k，∵k2+（k）2＝（k）2，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形；B．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．4．下列数中﹣4，，3.1415，﹣3π，3.030030003…中，无理数的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：﹣4，，3.1415是有理数，无理数有：﹣3π，3.030303……共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数．5．下列计算中，结果错误的是（ ）A．B．C．D．【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法和乘方法则对各项进行运算即可．解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；B、5﹣2＝3，故B不符合题意；C、÷＝，故C不符合题意；D、（﹣）2＝2，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．6．已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x+1上，则y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜3，即可得出y1＞y2．解：∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x+1上，且﹣2＜3，∴y1＞y2．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x 的增大而减小”是解题的关键．7．一次函数y1＝ax+b与正比例函数y2＝﹣bx在同一坐标系中的图象大致是（ ）A．B．C．D．【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．解：A、若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，y＝﹣bx经过二、四象限，B、a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，y＝﹣bx经过一、三象限，C、若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，y＝﹣bx经过二、四象限，D、若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，y＝﹣bx经过一、三象限，故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．8．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为（ ）A．10B．11C．12D．13【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解：如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为（3+1）×3＝12，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，由勾股定理得，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是13．故选：D．【点评】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．9．在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）和所悬挂物体的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有（ ）①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力G＝7N时，拉力F＝2.2N；③拉力F与重力G成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N．A．①②B．②④C．①④D．③④【分析】由函数图象直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把G＝7代入函数解析式求值即可判断②．解：由图象可知，拉力F随着重力的增加而增大，故①正确；∵拉力F是重力G的一次函数，∴设拉力F与重力G的函数解析式为F＝kG+b（k≠0），则，解得：，∴拉力F与重力G的函数解析式为F＝0.2G+0.5，当G＝7时，F＝0.2×7+0.5＝1.9，故②错误；由图象知，拉力F是重力G的一次函数，故③错误；∵G＝0时，F＝0.5，故④正确．故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用．10．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段AB（点B在点A上面）在y轴上移动，C （1，0），D（4，0），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）A．5B．C．2D．【分析】将线段BD向下平移到AE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．再作点C关于y轴的对称点C'，则C'（﹣1，0），进而得出AC+BD的最小值为EC'，即可求解答案．解：如图，将线段BD向下平移到AE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA ′，EA′，则E（4，﹣2），C′（﹣1，0），AC+BD＝C′A+AE≥EC′，EC′＝＝，∴AC+BD的最小值为．故选：D．【点评】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，坐标与图形性质，将AC+BD的最小值转化为EC'是解本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）11．若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置可以表示为 （4，3） ．【分析】由（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，可得教室里第4列第3排的位置的表示方法，从而可得答案．解：∵（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，∴教室里第4列第3排的位置可以表示为（4，3）．故答案为：（4，3）．【点评】本题考查的是利用有序实数对表示位置，理解题意，理解有序实数对的含义是解本题的关键．12．已知点P（2﹣a，a﹣3）在y轴上，则a＝ 2 ．【分析】根据y轴上的点横坐标为0可得2﹣a＝0，然后进行计算即可解答．解：∵点P（2﹣a，a﹣3）在y轴上，∴2﹣a＝0，解得：a＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．13．如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，4），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 x＝﹣2 ．【分析】根据交点坐标直接写出方程的解即可．解：函数y＝﹣2x与y＝kx+b的图象交于点A（﹣2，4），∴关于x的方程kx+b+2x＝0的解为x＝﹣2．故答案为x＝﹣2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合的方法确定方程的解．14．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y 值是 ．【分析】按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为．故答案为：．【点评】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解．15．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要 1.5 小时．【分析】利用待定系数法求出乙离开A城的距离y与x的关系式，再根据题意列出方程，解方程得到答案．解：设乙离开A城的距离y与x的关系式为：y＝kx+b，把（1，0）和（4，300）代入解析式，得，解得：，所以乙离开A城的距离y与x的关系式为：y＝100x﹣100；当乙追上甲车时，60x＝100x﹣100，解得：x＝2.5，2.5﹣1＝1.5（小时），答：乙出发后1.5小时追上甲车．故答案为：1.5．【点评】本题考查的是一次函数的应用，灵活运用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．16．如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中∠MA1A2＝∠MA2A3⋯＝∠MA n A n+1＝90°，（n为正整数），若M点的坐标是（﹣1，2），A1的坐标是（0，2），则A2023的坐标为 （﹣1，2﹣21011） ．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．解：观察图象可知，点的位置是8个点一个循环，∴A2023与A7，A15的位置都在第三象限，且在直线x＝﹣1上，∵第一个等腰直角三角形的直角边为1，第二个等腰直角三角形的边长为，…，第n 个等腰直角三角形的边长为（）n﹣1，∴第2023个等腰直角三角形的边长为（）2022，可得A2022M＝（）2022，∴A2023（﹣1，2﹣21011），故答案为：（﹣1，2﹣21011）．【点评】本题考查勾股定理，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步17．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先进行二次根式的除法运算，然后进行二次根式的乘法运算，最后合并即可．解：（1）原式＝2﹣+＝；（2）原式＝+﹣×＝2+﹣＝2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．18．解方程：（1）（x﹣4）2﹣9＝0；（2）（x+1）3＝﹣27．【分析】根据平方根与立方根的定义进行解题即可．解：（1）（x﹣4）2﹣9＝0，（x﹣4）2＝9，x﹣4＝±3，x＝7或1．（2）（x+1）3＝﹣27，x+1＝﹣3，x＝﹣4．【点评】本题考查立方根与平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．19．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【分析】设AB＝x，在Rt△ACE中根据勾股定理列方程求解即可．解：设AB＝x，则AE＝x﹣1，AC＝x+2，根据题意得：在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AC2＝AE2+CE2，∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92，∴x＝13．答：旗杆AB的高度为13米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．20．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）．（1）点B的坐标为（ 3 ， 0 ），点C的坐标为（ ﹣2 ， 5 ）．（2）△ABC的面积是 10 ．（3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是 2 ．【分析】（1）根据坐标系写出答案即可；（2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积可得△ABC的面积；（3）首先确定C'位置，然后再利用勾股定理计算即可．解：（1）点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（﹣2，5），故答案为：3；0；﹣2；5；（2））△ABC的面积是：7×5﹣3×7﹣2×2﹣×5×5＝35﹣10.5﹣2﹣12.5＝10，故答案为：10；（3）A、C'两点之间的距离是：＝＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了关于y轴对称、三角形面积，以及勾股定理的应用，关键是正确确定C′点位置．21．如图，学校准备在阴影部分修建草坪，经施工人员测量，∠ADC＝90°，AD＝8米，CD ＝6米，AB＝26米，BC＝24米．（1）判断△ABC的形状并证明．（2）求草坪（阴影部分）的面积．【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC＝10米，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABC 为直角三角形；（2）根据直角三角形的面积公式，利用草坪（阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S△ACD进行计算．解：（1）△ABC为直角三角形．理由如下：∵∠ADC＝90°，AD＝8米，CD＝6米，∴AC＝＝10（米），在△ABC中，∵AC＝10米，AB＝26米，BC＝24米，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°；（2）草坪（阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S△ACD＝×10×24﹣×6×8＝96（米2）．答：草坪（阴影部分）的面积为96米2．【点评】本题考查了勾股定理的应用：会应用勾股定理进行几何计算，利用勾股定理的逆定理证明直角三角形．22．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2）．已知点C（﹣1，3）在该图象上，连接OC．（1）求函数y＝kx+b的关系式；（2）求△AOB的面积；（3）点P为x轴上一动点，若S△ACP＝3S△AOB，求点P的坐标．【分析】（1）把B（0，2）、C（﹣1，3）代入到y＝kx+b中进行求解即可；（2）先求解A的坐标，再结合B的坐标，直接利用三角形的面积公式进行计算即可；（3）设点P的坐标为（m，0），根据S△ACP＝6得到，由此求解即可．解：（1）把B（0，2）、C（﹣1，3）代入到y＝kx+b中得：，∴，∴函数y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+2；（2）把y＝0代入y＝﹣x+2，∴x＝2，即A（2，0），∵B（0，2），∴．（3）设点P的坐标为（m，0），A（2，0），C（﹣1，3），∴AP＝|m﹣2|，∵S△ACP＝3S△AOB＝6，∴，∴，∴m＝6或m＝﹣2，∴点P的坐标为（6，0）或（﹣2，0）．【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形的面积，求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．23．某校八年级开展了《为家人选择合适的手机套餐》项目学习．小露收集并整理奶奶近六个月的话费账单，根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机套餐．甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计；乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计．（1）每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为：y甲＝，y乙＝ 0.1x+29 （x≥0）．（填写最简结果）（2）为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．①写出图中A点表示的实际意义．②如果从节省费用的角度考虑，应如何选择套餐？【分析】（1）根据两种套餐的收费标准，列出函数关系式即可；（2）①由自变量，因变量的意义可得A的实际意义；②观察图象可得答案．解：（1）当0≤x≤30时，y甲＝8，当x＞30时，y甲＝8+0.25（x﹣30）＝0.25x+0.5；∴y甲＝；y乙＝0.1x+29；故答案为：0.1x+29；（2）①A点表示的实际意义是通话时间为190分钟时，甲，乙套餐的资费都是48元；②由图形可知，当0≤x＜190时，选甲套餐费用少，当x＝190时，两种套餐费用相同；当x＞190时，选乙套餐费用少．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．24．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）＝ ，＝ （﹣） ．（2）化简：．（3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值．【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；（2）根据小明的分析过程，a﹣1＝得a2﹣2a＝1，可求出代数式的值．解：（1）原式＝＝，原式＝＝（﹣），故答案为：，（﹣），（2）原式＝（﹣+﹣+...+﹣）＝（﹣3+11）＝4；（2）a＝＝+1，∴a﹣1＝，∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴原式＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键．25．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥I交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝kx+2分别与y轴，x轴交于点A、B（﹣1，0）．（1）求k的值和点A的坐标；（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，求点E的坐标；（3）将直线l1绕点A旋转45°得到l2，求l2的函数表达式．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）过点C作EF⊥y轴交于点F，证明△EAF≌△ABO，据此即可求解；（3）当直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2时，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，证明△BCD≌△ABO，求得C（﹣3，1），利用待定系数法即可求解；当直线l1绕点A逆时针旋转45°得到l2时，同理可求．解：（1）将点B的坐标代入y＝kx+2得：0＝﹣k+2，解得：k＝2，则该函数的表达式为：y＝2x+2，令x＝0，则y＝2；∴A（0，2），即k＝2，点A（0，2）；（2）过点E作EF⊥y轴交于点F，∵∠BAE＝90°，AE＝AB，∴由K型全等模型可得△EAF≌△ABO，∴EF＝OA＝2，AF＝OB＝1，则OF＝2+1＝3，∴点E的坐标为（﹣2，3）；（3）当直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2时，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，∵∠CAB＝45°，BC⊥AB，∴BC＝AB，∴由K型全等模型可得△BCD≌△ABO，∵y＝2x+2与x轴的交点B（﹣1，0），A（0，2），∴CD＝1，BD＝2，∴C（﹣3，1），设直线l2的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴y＝x+2；当直线l1绕点A逆时针旋转45°得到l2时，同理可得y＝﹣3x+2；综上所述：直线l2的解析式为y＝x+2或y＝﹣3x+2．【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，正确利用模型是解题的关键．26．△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点．【探究发现】（1）如图1，点D在边AB下方，∠ADB＝90°．学校的数学兴趣小组的同学们尝试探究此时线段AD、BD、CD之间的数量关系．他们的思路是这样的，作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE．易证△ADC≌△BEC．通过等量代换得到线段之间的数量关系．请根据同学们的思路，写出△ADC≌△BEC的证明过程．【迁移运用】（2）如图2，点D在边AB上方，∠ADB＝90°．猜想线段AD、BD、CD之间的数量关系，并证明你的结论．【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAC＝∠ADC＝45°，若AD ＝2，CD＝4，请直接写出BD的值．【分析】（1）作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE，因为∠ACD＝∠ECB，又AC＝BC，即可证明∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）由（1）知∴△ADC≌△BEC，则BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，勾股定理可得CE2+CD2＝DE2，又DE2＝2AD2，CE＝BD，即可得出结论；（3）如图，过点C作CE⊥CD，使CE＝CD，连接DE，AE，证明△BAD≌△CAE （SAS），可得AE＝BD，然后在Rt△ADE中根据勾股定理，即可求解．【解答】（1）证明：作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE．∵∠ACD+∠DCB＝∠ECB+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠ECB，∵AC＝BC，∴△ADC≌△BEC（SAS）．（2）BD2+CD2＝2AD2．证明：由（1）知△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CE2+CD2＝DE2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2，∴CE2+CD2＝2AD2．∵CE＝BD，∴BD2+CD2＝2AD2．（3）解：如图，过点C作CE⊥CD，使CE＝CD，连接DE，AE∴DE＝∵∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠ACB＝90°，在△BCD和△CAE中，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD．∵∠ADC＝45°，∠EDC＝45°，∴∠EDA＝90°．∴AE2＝AD2+DE2＝＝36，∴AE＝6∴BD＝6．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．。