第02讲——基本概念
02-第2讲：顶点的度
相关概念
注意
称度为0的顶点为孤立点； 称度为1的顶点为悬挂点，与其关联的边称为 悬挂边。 称度为偶数的顶点称为偶点； 称度为奇数的顶点称为奇点。
相关概念
注意
若图G的所有顶点的度相等, 则G称 作正则图; 若进一步所有顶点的度都等于k,则 称G是k-正则图 。
基本性质
定理2.1
设 G=<V,E> 为任意无向图， V={v1，v2，...，vn }, |E|=m , 则
n
d(vi )=2m ，
i=1
即顶点度数之和等于边数的2倍。
基本性质
定理2.2
Байду номын сангаас
设D=<V,E>为任意有向图，
V={v ，v ，...，v }，|E|=m，则
12
n
n
n
d(vi)= d-(v i)=m 。
相关概念
在无向图G中，令 ⊿(G) = max{d(v)| v∈V(G) } (G) = min{d(v)| v∈V(G) }
称⊿(G) ，(G)分别为G的最大度和最小度。 简记做⊿，。
相关概念
在有向图D中，可类似定义 ⊿(D)、(D)。另外，令 ⊿+(D) = max{d+(v)| v∈V(D) } +(D) = min{d+(v)| v∈V(D) } ⊿- (D) = max{d-(v)| v∈V(D) } - (D) = min{d-(v)| v∈V(D) }
d(v)= iv(e) 。 e∈E
基本概念
定义2.2
设D=<V,E>为一有向图， v∈V , (1)称v作始点的边的条数为v的出度，记作dD+(v)，简 记作d+(v)； (2)称v作为终点的边的条数为v的入度，记作dD-(v)， 简记作d-(v)。 称dD+(v)+ dD -(v)为v的度数，记作d(v)。
(第二讲)数据库(第二章：关系数据库的基本概念)
类型 char(10) char(10) char(2) Int char(4) 学号，主码 姓名：字符类型
说明
性别：只能为男或女 年龄：整形 所在专业编号，外码，参照专业表
4. 选课表（XK_Tab）：记录学生的选课结果，对于任意一门课，每 个学生一年最多只能选一次，因此用课程编号、学号和年份联合作为 选课表的主码。选课表通过学号参照学生表，通过课程编号参照课程 表。
2. 课程表（KC_Tab）：存放多门课程，主码为课程编号。
表2-4 课程表（KC_Tab）
列名 KC_Id KC_Name KC_KC_Id KC_Point
类型 char(4) char(50) char(4) Float
说明 课程编号，主码 课程名称 先修课课程编号 课程的学分
3. 学生表（XS_Tab）：记录学生的基本信息，主码为学号，通过专业 编号参照专业表。
2.3 关系模型规范化
关系模型规范化的目的是为了消除存储异常，减少数据冗余， 保证数据的完整性和存储效率。 关系数据库中的关系是要满足一定的规范化要求的。对于不 同规范化程度，可以使用“范式”来衡量。满足最低要求的为I范 式。。在I范式的基础上，进一步满足一些要求的为II范式，以次 类推。一般情况下，在实践中关系模式满足3范式就基本可以。
元素的每一个值 di 叫作一个分量。关系模型中要求每一 个分量必须属于某种基本数据类型，如整形或字符串型。
关系：笛卡尔积的子集就是一个关系。
R( D1 , D2 ,, Dn )
这里R表示关系的名字，n是关系的目或度。
例: 我们给出如下三个域： D1 =导师集合。导师={王新，赵阳} D2=专业集合。专业={计算机，通信} D3=学生集合。学生={（张三，101），（李四，201）} 则笛卡尔积为： D1XD2XD3={（王新，计算机，张三，101）， （王新，计算机，李四，201），
第02讲：应力强度因子的基本概念.
第二讲s应力强度因子
礬蠶鵲勰鸚濾曇克推导I型裂
线弹性断裂力学为什么要引入应力强度因子(K)的 概念，简述K的物理意义。
应力强度（小范I韦1丿由服）
弋荐鑒瞬糊護用期劉錨製力学
弹塑性断裂力学(人尺寸屈服)
Elastic Plastic fracture mechanics (EPFM)
七年级同步第2讲：整式的基本概念教师-教师版
整式的基本概念及合并同类项是在学生学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上安排的．该章属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”部分，其主要内容包括整式、单项式、多项式；合并同类项；等．这些内容既是对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式加减运算的基础，还是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的工具．整式的基本概念知识结构模块一：整式的基本概念知识精讲内容分析1、 单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式212ab c -，它的指数为1214++=，是四次单项式．单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式223xy（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如：27319x x -+是多项式．（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面 的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列．3、整式：单项式和多项式统称整式．【例1】 在代数式2211253x x y b x -，，，221135()63x x y m n a +-+，，，0，269y y ++中，整式共有（ ）个A 、5B 、6C 、7D 、8【难度】★ 【答案】 B例题解析【解析】1()3x m n x a+和分母中含有字母，是分式的形式，不属于整式，单项式和多项式都是整式，故本题中的整式共6个．【总结】本题主要考查整式的概念．【例2】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．223xy ，a -，a bc ，32mn +，572t ，233a b c -，2，x π-． 【难度】★【答案】以上代数式是单项式的有：223xy ，a -，572t ，233a b c -，2，xπ-．223xy 的系数为23，次数为3； a -的系数为-1，次数为1；572t ，系数为52，次数为7；233a b c -，系数为-3，次数为6；2，系数为2，次数为0； xπ-，系数1π-，次数为1．【解析】此题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目．【例3】 写出下列多项式的次数及最高次项的系数．（1）323694x x -+；（2）413xyx y π+--． 【难度】★【答案】（1）此多项式的次数是3次，最高次项的系数为34；（2）此多项式的次数是2次，最高次项的系数是43π-．【解析】这是一道基础题目，考查的是多项式的系数和次数的概念．【例4】 解答题： （1）把多项式323562a a a -+-按a 的降幂排列；（2）把多项式2323453x y x xy y --+按y 的升幂排列；（3）求多项式223252x xy y --+的各项系数之和．【难度】★【答案】（1）325632a a a -++-；（2）3223543x x y xy y -+-+；（3）2-．【解析】（1）（2）升降幂的概念的考查，（3）多项式223252x xy y --+的各项系数分别为3，2-，5-，2，这四个数字之和为2-． 【总结】本题一方面考查多项式的排列，另一方面考查多项式中每一项的系数．【例5】 多项式44222315352y x x y xy x y -+--是几次几项式？【难度】★★ 【答案】五次五项式【解析】多项式中所包含的单项式的次数最高的项是235x y -，是五次单项式，故此多项式的次数为五次，共五项，所以是五次五项式．【总结】本题主要考查几次几项式的概念．【例6】 多项式2262n n x x +--+是三次三项式，求代数式221n n -+的值． 【难度】★★ 【答案】0或4．【解析】多项式2262n n x x +--+是二次三项式，则分两种情况： （1）当23n +=时，1n =，所以2211210n n -+=-+=；（2）当23n -=时，1n =-，所以2221(11)4n n -+=--=．【总结】本题一方面考查了几次几项式的概念，另外由于没有说最高次项是哪一项，因此要 分类讨论．【例7】 多项式21231365m x y xy x +-+--是六次四项式，单项式352n m x y z -的次数与这个多项式次数相同，求m n ，的值．【难度】★★【答案】31m n ==，．【解析】由题意知多项式是六次四项式，则可得：2163m m ++==，；又单项式的次数与多项式的次数相同，所以可得3516n m +-+=，所以1n =．【总结】本题主要考查多项式的次数与单项式的次数，注意两个概念的不同之处．【例8】 设自然数m n 、满足1m n ≤<，求多项式222n m m n m n x y xy ++-的次数？【难度】★★ 【答案】2或者是n ．【解析】（1）当n ≤2时，次数为2；（2）当n >2时，次数为n ．【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的指数无关．【例9】 请各写出一个符合条件的整式： （1）系数是1-，次数是3的单项式；（2）系数是3，次数是1的单项式； （3）常数项为2-的二次三项式． 【难度】★★ 【答案】（1）3x -；（2）3x ；（3）22x x +-．【解析】这是一道开放性的题目，主要考查的是整式、单项式和多项式的基础概念，答案不 唯一．1、同类项的概念：知识精讲模块二：合并同类项师生总结所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2、合并同类项：合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．【例10】 下列各组单项式中属于同类项的是： ①22m n 和22a b ；②312x y -和3yx ；③6xyz 和6xy ；④20.2x y 和20.2xy ； ⑤xy 和yx -；⑥12-和2．【难度】★ 【答案】②⑤⑥【解析】①③两个单项式所含字母不相同；④相同字母的次数不相同．【总结】本题主要考查同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式，注意同类项与字母的顺序无关．【例11】 合并下列同类项：（1）2215232x x x x -+-+-； （2）333332m n m n --+；（3）2141732733m m a a a a --+-+-．【难度】★例题解析【答案】（1）211232x x --+；（2）332m n -+；（3）25037a a m --． 【解析】（1）原式222111(3)(2)(5)2322x x x x x x =-+--++=--+；（2）原式333333(3)22m m n n m n =-+-+=+（）-；（3）原式22411503(2)(7)33377a a a a m m a a m =+-+-+--=--．【总结】本题主要考查合并同类项的概念，合并时只需要将同类项的系数相加减即可．【例12】 单项式449m x y -与223n x y 是同类项，求23m n +的值．【难度】★ 【答案】7【解析】由题意，可得：4242m n =⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以12323272m n +=⨯+⨯=．【总结】本题主要考查同类项的概念．【例13】 合并下列同类项（1）2222210.120.150.12x y x y y x yx +-+； （2）122121342n n n n n x y x y y x y x +++---；（3）2220.86 3.25a b ab a b ab a b --++．【难度】★★【答案】（1）22220.620.150.1x y x y y x +-； （2）4n n x y -； （3）21.4a b ab --．【解析】（1）原式2222222221(0.12)0.150.10.620.150.12x y yx x y y x x y x y xy =++-=+-；（2）原式121212(32)44n n n n n n n x y x y x y x y x y +++=---=-；（3）原式222(0.8 3.2)(65) 1.4a b a b ab ab a b ab =-++-+=--．【总结】本题主要考查的是合并同类项，若是同类项只需将相应的系数相加减即可．【例14】 单项式313a b a b x y +--与23x y 是同类项，求a b -的值．【难度】★★ 【答案】32【解析】由题意，可得：231a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：7414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以713442a b -=-=．【总结】本题主要考查同类项的概念．【例15】 如果322279m x y x y --+是五次多项式，求m 的值．【难度】★★ 【答案】6【解析】由题意得3256m m -+==，． 【总结】本题主要考查几次几项式的概念．【例16】 已知4x <-，化简：2344x x x -++--．【难度】★★ 【答案】416x --．【解析】因为4x <-，所以0x ->，40x +<，40x -<．所以2344x x x -++--=23124416x x x x ---+-=--．【总结】本题一方面考查绝对值的化简，另一方面考查合并同类项．【例17】 已知：3x =，1y =．求()22223223x xy x y xy ⎡⎤--+⎣⎦的值．【难度】★★ 【答案】81或-27．【解析】()2222222232233262x xy x y xy x xy x y xy⎡⎤--+=-++⎣⎦2236x x y =+． 因为3x =，1y =，所以可得291x y ==±，．当291x y ==，时， 2236x x y +=81；当29-1x y ==，时， 223627x x y +=-．【总结】本题主要考查合并同类项及多项式求值的问题．随堂检测【习题1】 讲下列代数式分别填入相应的括号内：222221112113232333a x ab x x m n mn n x b x y x-+-+-+-+，，，，，，， 单项式（ ）； 多项式（ ）； 二项式（）； 二次多项式（ ）；整式（）．【难度】★【答案】单项式：21123ab ，；多项式：22123223x x x m n mn n -+-+-，，；二项式：23x -，2x x +； 二次多项式：2x x +；整式：22211121322333x ab x x m n mn n x y-+-+-+，，，，，． 【解析】本题主要考查的是单项式、多项式以及整式的相关概念．【习题2】 下列代数式中那些是单项式？并指出这些单项式的系数和次数：2341523133x xya b x abc x --+，，，，， 【难度】★【答案】单项式有：23423xya b abc -，，； 2342a b 的系数是4，次数是7；3xy -的系数是13-，次数是2；abc 的系数是1，次数是3．【解析】本题主要考查的是单项式的次数和系数的概念，比较基础．【习题3】 写出下面式子的同类项（写出一个即可）：（1）256x y ；（2）11π2c a- ；（3）72xy z ； （4）π．【难度】★【答案】（1）23x y ；（2）113c a -；（3）723xy z -；（4）0．【解析】本题主要考查同类项的概念．【习题4】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式．（1）424215x x +-；（2）2a ab b +； （3）33332a ab b a b ++-； （4）x y x+． 【难度】★【答案】424215x x +-和33332a ab b a b ++-是多项式，其中424215x x +-是四次三项式，33332a a b b a b++-是四次四项式． 【解析】（2）和（3）分母中都含有字母，不是整式． 【总结】本题主要考查多项式的概念以及几次几项式的概念．【习题5】 若12223559m m n a b+--与2a b 是同类项，求m ，n 的值．【难度】★★【答案】0m =，52n =-．【解析】由同类项的概念，可得122322155m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：052m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩．【总结】本题主要考查同类项的概念．【习题6】 同时都含有a b c ，，，且系数为1的7次单项式共有（）个A ．4B ．12C ．15D ．25【难度】★★ 【答案】C【解析】a 、b 、c 的系数分别是1、1、5； 1、2、4； 1、3、3；1、4、2； 1、5、1；2、1、4； 2、2、3； 2、3、2； 2、4、1；3、1、3；3、2、2；3、3、1；4、1、2；4、2、1；5、1、1，共有15个．【总结】本题主要考查单项式的次数的概念． 【习题7】 填空：若单项式()122nn x y--是关于x y ，的三次单项式，则n =【难度】★★ 【答案】0【解析】由题意可得：1120n n ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得：0n =．【总结】本题主要考查与单项式有关的概念，解题时注意对题意的准确理解．【习题8】 将多项式223421x y xy x y -+-按x 的降幂排列，并指出是几次几项式，并指出系数最小的项．【难度】★★【答案】按x 的降幂排列为：322241x y x y xy +--；是四次四项式；系数最小的项是24xy -．【解析】本题考查的是与多项式有关的概念，注意对概念的理解．【习题9】 若多项式4332531x ax x x bx x -+----不含x 的奇次项，求a b +的值． 【难度】★★ 【答案】2-．【解析】由题意得：1030a b -+=⎧⎨--=⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩，所以132a b +=-=-．【总结】本题主要考查多项式的合并，另外要准确理解多项式中不含某一项的含义．【习题10】 多项式()22532mx y n y +--是关于x y ，的四次二项式，求222m mn n -+的值． 【难度】★★ 【答案】1或者25【解析】由题意得：||230m n =⎧⎨-=⎩，解得：23m n =⎧⎨=⎩或23m n =-⎧⎨=⎩．当23m n =⎧⎨=⎩时，2221m mn n -+=； 当23m n =-⎧⎨=⎩时，22225m mn n -+=． 【总结】本题一方面考查四次二项式的概念，另一方面要注意m 的值有两种情况注意讨论． 【习题11】 去括号，再合并同类项：()()322224310x x x x x -+--+-．【难度】★★【答案】32232x x x -++．【解析】原式=3222248310x x x x x -+---+=32232x x x -++．【总结】本题主要考查合并同类项的方法．【习题12】 化简：3223225115225363363a b a b ab a b ab ba --+-+++．【难度】★★ 【答案】3223511632a b a b ab +++ 【解析】原式=322521155((32)63336a b a b ab ++-+--+（）3223511632a b a b ab =+++．【总结】本题主要考查合并同类项，在计算的过程中注意符号．【作业1】 下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ab -， 2R π， 3x y +， 247a a -+， b a ，5-，13mn m -，3y ，3a b-．【难度】★【答案】单项式：ab -，2R π，5-， 3y ；多项式： 3x y +，247a a -+，3a b -；整式：ab -，2R π，5-， 3y ，3x y +，247a a -+，3a b-． 【解析】本题主要考查了单项式和多项式的概念．【作业2】 指出下列多项式是几次几项式，并指出系数最小的项：课后作业（1）322132187y xy x y x y ---； （2）2233521xy x y x y y ---+-．【难度】★【答案】（1）是四次四项式，系数最小的项是318x y -；（2）是四次五项式，系数最小的项是25x y -．【解析】多项式的次数是根据每一个单项式的最高次数定的．【作业3】 合并同类项： （1）33332x x x --；（2）2323456143a a a a a +--+-+；（3）22485362x x x x -+-+-．【难度】★【答案】（1）0；（2）3-34a a +-；（3）223x x -+ 【解析】（1）原式3(321)0x =--=；（2）原式323(63)(44)(51)34a a a a a =-++-+--=-+-；（3）原式22(43)(86)(52)23x x x x =---+-=-+．【总结】合并同类项的关键是将同类项的系数相加减．【作业4】 将多项式5423532431176a a b a b b a b ab ---++（1） 按a 的降幂排列；（2）按b 的降幂排列．【难度】★★【答案】（1）5432234537116a a b a b a b ab b -+-+-；（2）542332356117b ab a b a b -+-+【解析】注意审题，看清楚题目的要求．【作业5】 若0.11a b a b x y +--与1359a x y -是同类项，求a ，b 的值．【难度】★★【答案】2a =，1b =-．【解析】由题意可得：13a b a a b +=-⎧⎨-=⎩，解得：21a b =⎧⎨=-⎩．【总结】本题主要考查同类项的概念．【作业6】 若4413a b x y z 和827a c x y -是同类项，求a b c ++的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由题意可得：48420a a c b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得：201a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以2011a b c ++=+-=．【总结】本题主要考查同类项的概念．【作业7】 合并同类项：（1）2215x y x y -；（2）2222432434a b ab a b ab ++---；（3）22222213232323x y xy yx xy x y y x --++-．【难度】★★【答案】（1）245x y ；（2）2ab -；（3）227223x y xy -．【解析】（1）原式214(155x y =-=；（2）原式22(44)(33)(24)2a b ab ab =-+-+-=-；（3）原式222231272(32)(1)23323x y xy x y xy =-++-+-=-． 【总结】合并同类项的关键是合并同类项的系数．【作业8】 边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积． 【难度】★★ 【答案】22a ．【解析】． 【总结】本题主要考查整式的运算在几何图形求面积中的运用．22221232214-a a a a a S S S S =⨯⨯-+=+=三角形正正阴aa2a2a。
(完整版)法律逻辑讲稿第二讲概念
开放教育法律专业（专升本）法律逻辑讲稿第二讲：概念教学目的与要求：1.明确什么是概念及其概念的两个基本逻辑特征；2.掌握概念和语词的关系；3.明确概念的种类和概念间的关系；4.掌握概念的限制和概括的方法；5.掌握下定义和划分的方法并能依据定义或划分的规则分析定义或划分是否正确。
第一节概念概述［重点掌握］㈠概念的定义●概念是反映思维对象的本质属性和分子范围的思维形式。
㈡概念和语词的关系：●概念和语词有密切联系概念通过语词(或词组)来表达，是语词的思想内容；语词是概念的语言表达形式。
●概念和语词有本质区别。
主要表现在：(一) 概念是对思维对象的反映，是思维形式；而语词是表达思维对象的声音、符号或笔划，是概念的物质外壳。
(二) 概念没有民族性；而语词具有民族性。
（不同的国家、地区、民族可以用不同的语言文字表达同一个概念，如果不是这样，就无法交流。
）(三) 概念和语词并非一一对应。
有四种情况：1.任何概念都要用语词表达，但并非任何语词都表达概念。
在现代汉语中，实词表达概念。
2.在实词中，同一个概念可以用不同的语词表达。
3.同一个语词在不同的语境中可以表达不同的概念。
这个问题要注意：例如"杜鹃"既可指一种叫"杜鹃"的鸟；也可以指一种叫"杜鹃"的花。
在三段论推理中有时出现"四词项错误"常常就是因为在同一条件下，同一语词表达了不同的概念。
4.同一个单词或词组，有时能独立地表达概念，有时不能独立地表达概念。
第二节概念的内涵和外延［重点掌握］概念的两个逻辑特征：内涵和外延。
●概念的内涵是概念对思维对象本质属性的反映。
●概念的外延是概念对思维对象分子范围的反映。
例如：法律是(体现统治阶级意志，由国家行使立法权的机关依照立法程序制定，由国家强制力保证执行的行为规则)，一般具有一定文字形式，如(宪法、刑法、民法等)。
其中，第一个括号中的文字揭示了"法律"这个语词所反映的概念的本质含义、本质属性，是"法律"的内涵；第二个括号中的文字列举了"法律"这个语词所反映的概念的一些对象，即分子范围，是"法律"的外延。
第2讲-电力系统的基本概念
Prof. J H Li
电力系统的额定电压
4. 电力网中的电压分布与线路、发电机、变压器的额 定电压
（4）发电机的额定电压 在有直配线的情况下，发电机接于线路首端，运行时电压比用 电设备的额定电压高5%，为使发电机在额定电压下运行，所以 发电机额定电压就取线路首端的电压，即用电设备额定电压的 1.05倍。 在没有直配线的情况下，发电机的额定电压根据发电机运行的 经济性确定。
电力系统基本概念（二）
主讲：黎静华
电能生产的基本要求
1.保证供电可靠性
即满足负荷对电能供应的要求。不同类型的负荷对供电可靠性 的要求不同。 （1）分类原则 按照供电中断或减少所造成的危害大小进行划分。 （2）负荷分类 一类负荷（重要负荷）：指电能供应的中断或减少将造成设备 损坏、人员伤亡、生产秩序混乱，人民生活在较长时间内得不 到恢复的用户的用电设备。
U I 0 A 3C0U L
全补偿：接地点电流为零 U U 3C0U I 0 A 3C0U L L
Prof. J H Li
电力系统中性点运行方式
（2）经消弧线圈接地运行方式 ④ 补偿方式选择
0
L
U 0 U 0 U
0
0
U 0
100-500 100-300 200-800 200-600
1000-1500 150-850 2000-2500 500 以上
02初等函数及数列极限的概念
通常所说的反双曲余弦函数即指此主支。
类似于上面的作法, 可以得到 arth x , arcth x , arsech x , arcsch x 的表达式.
第二章 极限
本章学习要求：
了解数列极限的概念， 会用《 N》语言描述数列的 极限。正确理解 和 N 的含义。
双曲余弦函数的 定义域为 (, )
双曲余弦函数 在(, 0)内单调减少 在[0, )内单调增加
双曲余弦函数是偶函数
y
y = cth x
1
O y = th x
x
1
双曲正切、双曲余切的图形
双曲正切函数 定义域为 (, )
双曲正切函数 是单调增加的且有界
| th x | 1
4
x1 x
1 2
1 2n
,
有界 (可取 M 1 ). 2
(2) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1,
x2n
–1
0
x 2 n 1
x
1
{(1)n1}不单调, 但有界 (可取 M 1 ).
(3)
1
(1)n n
:
x3
••
•
(••x•2n•-•1••(•••
*
•••)•
x2n
••• •••)•
•
x4
•
1 103
1 102n
1
0
1
1
102n
y y f (x) M
yM
I (
O
) x
M y M
数列的有界性的定义
若 M 0, 使得 | xn | M , n N 成立, 则称数列{xn} 有界. 否则称{xn} 是无界的.
线性代数 1-2 第1章2讲-行列式的基本概念(2)
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
01 n 阶行列式是由n!项组成的，结果是一个数.
02 定义式的右边每一项都是 n 个元素的乘积（称为一个乘积项）,这 n 个元素是
由行列式的不同行、不同列的元素构成的.
某一乘积项符号的确定：先把该项的 n个元素按行标排成标准顺序，然后由
03
列标所成排列的逆序数来决定这一项的符号.
当n 4k或n 4k 1时，n(n 1) 为偶数； 2
当n 4k 2或n 4k 3时，n(n 1) 为奇数. 2
6
n阶行列式
结论（3）
a11 a12 a22
a1n a2n a11a22 ann
ann
上三角行列式 对角线下方的元素全为零
解
D 中可能不为 0 的项只有 (1)N a11a22 ann ，
此项的符号为 (1)N (1)0 1 ，
所以 D a11a22 ann .
7
n阶行列式
结论（4） 结论（5）
a11 a21 a22
a11a22 ann
an1 an2
ann
a2 ( n 1)
a1n
a2n
n ( n 1)
(1) 2 a a 1n 2(n1)
an1
a a n(n1)
nn
下三角行列式 对角线上方的元素全为零
线性代数（慕课版）
第一章 行列式
第二讲 行列式的基本概念(2)
主讲教师 |
本讲内容
01 排列及其逆序数 02 二阶、三阶行列式
03 n阶行列式
n阶行列式
定义 用 n2个数aij i, j 1, 2, , n 排列成的一个 n 行 n 列的记号
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Bhattacharyya界
• 对成对差错概率进行一定的近似 • P(x1→x2)=Σy∈D2P(y|x1) ≤ Σy∈D2P(y|x1)( P(y|x2) /P(y|x1))1/2 ≤Σy ( P(y|x1) P(y|x2))1/2 • 其根本思想是在概率积分中当部分积分较难做 时，乘以某个不小于0的函数，该函数在积分 区间中的值大于等于1。从而将积分区间扩展 到全空间。该函数还可以有参数，通过优化参 数，可以使界尽量的紧。例如，这里用到的系 数函数为(P(y|x2) /P(y|x1))1/2，也可以推广为 [P(y|x2) /P(y|x1)]s，0≤s≤1。
d i d −i P(x1 →x2 ) = ∑ P (1− P ) B i B i=d / 2+1
d
– 可以近似认为P(x1→x2)∝PBd/2
非时变无记忆连续信道举例
• AWGN信道中的BPSK相干解调
– y=x+n，其中n为零均值，方差为σ2的高斯随 机矢量。 – 当x1、x2的汉明距为d时有 – P(x1→x2)= Q(d σ ) = Q( dHamA2 σ 2 ) ≤ e−d A / 2σ – 其中dEu为欧氏距离，A为BPSK幅度。
信道特性的描述
• 幅度连续信道
– 可用转移概率密度函数描述：p(y=b|x=a), a=(a1,a2,...an)∈X, b=(b1,b2,...bm)∈Y, 均为矢量 （或n(m)重符号） – 可用转移概率密度函数描述：p(y=b|x=a), a=(a1,a2,...an)∈X, b=(b1,b2,...bm)∈Y, 均为矢量 （或n(m)重符号）
第二讲
信道编码中的有关基本概念
信道概述
• 回顾：编码是消息到信道波形或矢量的 一种映射关系 • 从数学上看，信道实际上也是从发空间X 到收空间Y一个概率映射函数
发 送 波 形 集 合 A
PA3 PA5 PA4 PA1 PA2
1 3 4 2 5
B C
接 收 波 形 集 合
信道概述（续）
• 收发集合可以以符号集的多重形式表示，相当 于多维空间。 • 发空间的维数n与收空间的维数m可以不等
– 例如当发送波形x(t)通过一个滤波器h(t)时，输出 y(t)=x(t)*h(t)，如果x(t)只在[0,T]内有值，而当h(t)有 一定的宽度τ时，输出的非零长度变成了T+τ，也就 是说当接收采样率等于或高于发送采样率时，接收 的维数增加了。而如果接收时采用了较低的采样率， 则有效维数就减低了。
二进制对称DMC的成对差错概率
• 当x1、x2的汉明距为d时，长度为n时
d d d /2 d i d −i d /2 P (1− P ) P(x1 →x2 ) = 2 + ∑ P (1− P ) B B d / 2 B i B i=d / 2+1 Biblioteka d为偶数 d为奇数2
2
Eu
Ham
– 当BSC中采用BPSK硬判决时，有PB= e −dHamA2 / 4σ 2 因此近似有：P(x1→ x2)∝ e
− A2 / 2σ 2
，
距离在编码中的作用
• 从上面的例子中可以看出，BSC和AWGM信道 中成对错误概率只和编码参数中的码距（分别 为汉明距离和欧氏距离）有关，且成单调关系。 因此在这些信道中的码设计就是要对码距离进 行优化。 • 具体地说，不同信道的优化目标不同
• 对离散信道而言，误码曲线的横坐标一 般为信道误符号率的倒数，因此经过信 道编码后的误码性能一般都能有所改善， 即误码曲线向左下方移动，但这是以效 率降低为代价的。
编码曲线的横坐标（续一）
• 对连续信道而言，也可用信道符号信噪 比作横坐标，因此经过信道编码后的误 码性能一般都能有所改善，即误码曲线 向左下方移动，但这是以效率降低为代 价的。
编码曲线的横坐标（续二）
• 但对连续信道，用Eb/N0为横坐标更具有 可比性，因为它是用原信息的能量与信 道噪声能量进行的比较，从而避免了因 冗余的引入使总传输能量增加而造成的 不可比性。
编码增益
• 采用逐符号译码的误比特性能要优于序列译码 • 采用逐符号译码的误帧性能要劣于序列译码 • 编码后的误帧率总会有所改善 • 编码后序列译码的误比特率在高信噪比时总要优于无编 码而信噪比很低时要劣于无编码，即编码增益在高SNR 时大于0，而SNR很低时小于0。 • 系统编码后逐符号译码的误比特率总要优于无编码，即 至少存在一种编码，它的误比特率编码增益总大于0。
信道概述（续）
• 根据收发空间中每一维所取的数域有限 或无限可分为离散信道和连续信道 • 这里借用了空间的名称，但只用到了它 的集合概念而没有用到空间中的运算， 只有线性信道才可以直接用线性运算构 成一个线性空间。
信道特性的描述
• 离散信道
– 可用转移概率律描述：P(y=b|x=a), a=(a1,a2,...an)∈X（发空间）, （发空间） b=(b1,b2,...bm)∈Y（收空间）, （收空间） 均为矢量（或n(m)重符号）
时间及幅度连续信道
• 根据奈奎斯特采样定理，带限的时域连续波形 可以用采样序列描述。 • 当发送信号波形的双边谱严格限制在带宽为B 的区间内的时候，只需要以B为采样率进行采 样，即可得到包含该波形所有信息的时间离散 序列。 • 如果发送波形限制在时间T以内，则表示该波 形的序列点数为BT个，也就是说发送波形可以 表示成一个BT维复矢量。
• 当信道是一个线性信道时，接收信号波 形也必然限制在带宽B以内
无记忆信道
• 离散信道
– 当m=n，且P(y=b|x=a)=P(y1|x1)P(y2|x2)...P(yn|xn) 时， 各维的收符号只与相应的发符号有关，称为无记忆 离散信道，简写为DMC
• 连续信道
– 当m=n，且p(y=b|x=a)= p(y1|x1)p(y2|x2)...p(yn|xn) 时， 各维的收符号只与相应的发符号有关（无符号间串 扰），称为无记忆连续信道
• 非时变信道
– 当各因子具有相同的转移概率形式时
有记忆信道
• 实际的连续信道通常会有符号间串扰 （ISI），因此是有记忆的，但在一种较 常见的特殊情况下，即在加性平稳白高 斯噪声下的线性信道（y=Ax+n）时，可 以等效于一个无记忆信道。
有记忆信道的无记忆化
• 对A作线性变换使正交化得：A=UTΛU，其中Λ Λ Λ 为A的特征值对矩阵。代入得 y= UTΛUx+n，令 Λ x=UTx’，y’=UTy，n=UTn’，则有y’=Λx’+n’。 Λ 于是对x’和y’而言就形成了一个无记忆信道。由 于U为正交变换，不会产生信息量丢失，因此可 以认为X’-Y’信道与X-Y信道是等价的。于是我 们就可以直接利用有关无记忆信道的编码了。
平均编码界（续）
• 在证明最优编码的存在性时，常用到这 个方法。即我们不要求找到这种编码， 但如果在某一类编码集合中的所有编码 其误码性能的平均值能达到我们的要求， 则必存在至少一种编码，其误码性能能 达到要求。
平均编码界
• 即至少存在一种编码C，有Pe(C)≤ Ec(Pe(C)) • Ec(Pe(C))= Σx1P(x1)P(e|x1) = Σx1P(x1) ΣC’ P(C’)P(e|C’,x1) ≤ Σx1P(x1) ΣC’ P(C’)Σx2P(x2|C’)P(x1→x2) = Σx1P(x1) ΣC’ Σx2P(x2)P(x1→x2) =|C’|Σx1Σx2 P(x1) P(x2)P(x1→x2) • 注意这里的x1和x2均取自于全空间。
码字集的误码率
• 码字集的误码率描述的是一种编码方案的总 体误码性能，是评价编码好坏的标准。但一 般较难得到准确的结果，需要用一些近似， 得到性能界。 • 联合界：落在并集中的概率不大于落在各集 合中的概率之和。可以用成对差错概率描述 误码性能界 Pe=Σx1P(x1)P(e|x1) ≤ Σx1P(x1) Σx2P(x2)P(x1→x2) = Σx1Σx2P(x1) P(x2)P(x1→x2)
– 离散信道：汉明距离 – AWGN信道：欧氏距离 – 衰落信道：汉明距离和欧氏距离要同时考虑。
误码曲线
未编码的 误帧率 误码率 编码后用逐 符号译码的 误比特率 编码后逐 符号译码 的误帧率 编码后序 列译码的 误帧率
编码后用序 列译码的误 比特率
未编码的 误比特率
Eb/N0
编码增益
误码曲线的横坐标
非时变无记忆离散信道举例
• 硬判决的MFSK信道
– x与y取自同一符号集合，当y=x时我们说传 输正确，当y≠x时说发生了一次误码。Pe=1y≠x P P(y=x)称为误符号率，通常，当b≠a时有 P(y=b|x=a)≡Pe/(M-1)，即错成其它任一符号 的概率相等。
成对差错序列概率
• 发端编码集合中有两个码字x1、x2，当发 码字序列x1，错译成码字的x2概率，记为 P(x1→x2)。
距离谱
• 对BSC信道中误码率联合界进一步分析： • P(e|x1)≤ Σx2P(x2)P(x1→x2)=ΣdhN(dh)F(dh)≅ ΣdhN(dh) Ddh • 其中N(dh)是到一个合法码字x1距离为的 dh合法码字的平均个数。F(dh)为汉明距 离为dh的一对码字间的成对差错概率。 • N(dh)作为一个距离的函数来看时就称作 该编码相对码字x1的距离谱 距离谱
截止速率R0
• 在平均码性能界中，令P(x1)=ΠkP(x1k), P(x2)=ΠkP(x2k), 同时假设信道为DMC，则 可推出：Ec(Pe(C))≤ |C’|{Σy[ΣyP(x)P(y|x)1/2]}n • 其中P(x)为编码输出符号概率律，P(y|x) 为信道的符号转移概率，n为编码长度。 令 R0(P)=-log2{Σy[ΣyP(x)P(y|x)1/2]} ， 而 k=log2(|C’|+1) 为 编 码 前 的 比 特 数 。 则 Ec(Pe(C))≤ 2k-nR0(P)