一元微积分的应用

第九讲 一元微积分的应用§1 函数单调增减性的判别定理：设函数()f x 在(),a b 内恒有()'0f x >（()'0f x <），则()f x 在(),a b 内是单调增的（或单调减的），记为： （或 ）。

注意：个别点处()'0f x =不影响()f x 的单调性。

例：3'2,3,0y x y x x ===时'0y =，但是3y x = 应用：一．判别单调性：例1：设函数()f x 在[]0,a 0a ≥连续，()0f x =。

在()0,a 内可导，()'f x 单调增，令()()f x F x x=。

证明：在()F x 在()0,a 内单增。

证明：()()()()'00f x f x f xf x ξξ=- <<=拉氏定理()()()()()()()()'''''''22f x xf x f x xf x xf fx f F x x x x xξξ---⎡⎤====≥⎢⎥⎣⎦（ ()'fx 单调增，0x >）； 故在()F x 在()0,a 内单增。

二．求单调区间 例2：设()()110xf x dt x ⎛=> ⎝⎰，求()f x 的单减区间。

解：()'1fx=()'0f x =1x ⇒=； ∴当()0,1x ∈时，()'0f x <，所以()f x 单调减；当()1,x ∈∞时，()'0fx >，所以()f x 单调增；∴()f x 的单减区间为：()0,1或者(]0,1。

三．证明不等式例3：证明：1x >时，()()221ln 1x x x ->-证明：令：()()()221ln 1F x x x x =---，则：()()()'2112ln 1212ln 2F x x x x x x x x x x =+---=--+；()''2112ln 210F x x x x x=+-+>∴()'F x ，()()''1lim 00x F x F x +→=⇒>； ∴()F x ，()10F +=；故()()10F x F +>=； 即：()()221ln 10x x x --->。

§2 函数的极值与最值定义：设函数()y f x =在0x x =的临域内有定义，x 为该临域内异于0x 的任一点，若恒有()()0f x f x >（或()0f x <），则()0f x 称为()f x 的极小值（极大值）。

极大值与极小值统称为极值。

使函数取极值的点为极值点。

注意：极值的概念是局部性概念，极大值不一定是区间内的最大值；极大值不一定比极小值大。

定义：使()'0fx =的解，称为()f x 得驻点。

0x 为()f x 的驻点，不能⇒ 0x 为()f x 的极值点； 同样，0x 为()f x 的极值点，不能⇒0x 为()f x 的驻点。

例如：0x =为3y x =的驻点，不能⇒ 0x =为3y x =的极值点；0x =为y x =的极小值点，不能⇒0x =为y x =的驻点。

1Th ：（取极值的必要条件）设()0f x 为()f x 的极值，又()f x 在0x x =处可导，则()'00fx =。

2Th ：（取极值的充分条件）设()f x 在0x x =的邻域内可导（在0x x =处()'f x 可以不存在，但必须()f x 在0x x =处连续），若： ①x ：0x →→；()'fx ：-→()'00f x =或()'0f x 不存在+→⇒()0f x 为()f x 的极小值；②x ：0x →→；()'fx ：+→()'00f x =或()'0f x 不存在-→()0f x⇒()0f x 为()f x 的极大值；③ 若()'f x 在0x x =的两侧不变号，则 ()0f x 不是()f x 的极值。

3Th ：设()f x 在0x x =的邻域内二阶可导，且()'00f x =，()''00f x ≠。

当()''00f x >时，()0f x 为()f x 的极小值； 当()''00f x <时，()0f x 为()f x 的极大值。

极值的求法：① 求()'f x ：求出驻点及使()'f x 不存在的点，设为i x ； ② 利用定理2或定理3判别i x 是否为极值点，并判别类型； ③ 求出极值。

最值的求法：① 求()'f x ：求出驻点及使()'f x 不存在的点，设为i x ； ② 求出()i f x ：若()f x 在[],a b 连续，也求出()(),f a f b ； ③ 比较以上所得函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。

例1：设函数()f x 在0x =的邻域内连续，且()00f =，()0lim21cos x f x x→=--，则在0x =处，()f x [ ]：（A ）不可导 （B ）可导但()'00f≠（C ）取极大值 （D ）取极小值 解： ()()()000limlim 21cos 1cos x x f x f x f x x→→-==---()()()021cos f x f x xα-⇔=-+-， 其中()0lim 0x x α→=()()()()()()021c o s 00fx f x x f x f α⇒-=-+-≤⇒≤⎡⎤⎣⎦，故答案为C 。

例2：设()y f x =为微分方程'''sin 0x y y e +-=的解，()'00f x =，则在0x x = 处()f x [ ]： （A ）0x x =的邻域内单增 （B ）0x x =的邻域内单减（C ）取极大值 （D ）取极小值 解： ()()()()0sin '''sin '''0000xx fx f x e f x f x e +-=⇒+-=()()'000sin ''00f x x f x e ==>⇒。

故()0f x 为()f x 的极小值。

故选C 。

例3：()''f x 连续，且()'00f =，()''0lim1x f x x→=，则在0x =处，()f x [ ]： （A ）取极大值 （B ）取极小值（C ）()()0,0f 为拐点 （D ）()f x 不取极值也在()()0,0f 处不是拐点解： ()''0lim1x f x x→= ∴当0x →时，()''f x x 0x >， ∴在0x =的邻域内，()''0f x > ∴()0f 为()f x 的极小值。

故选B 。

例4：设()()()000limnx x f x f x k x x →-=-，讨论()f x 在0x x =处的极值。

解：()()()()()()()00000limnnx x f x f x f x f x k k x x x x x α→--=⇔=+--()()()()00nf x f x k x x x α⇔-=+-⎡⎤⎣⎦，其中()0lim 0x x x α→=。

① 当0k >时，n 为偶数时，()()00f x f x -≥，∴()0f x 为()f x 的极小值； ② 当0k<时，n 为偶数时，()()00f x f x -≤，∴()0f x 为()f x 的极大值；③ 当n 为奇数时，()()0f x f x -不保号， ∴()0f x 不是()f x 的极值； 例5：求抛物线24x y =到y 轴上的定点()0,P b 的最短距离。

解：d ==令：()()()()()'02'4422f y f y y y b fy y b y b ==+-⇒=+-=-⇒令① 当2b ≥时，()()''''2,220fy f b = -=>2y b =-为()f y 的最小值点，也即d 的最小值点。

∴min d ==② 当2b <时，()()2''0,0,.y x fy f y ≤=≤+∞ ≥0y =为()f y 的最小值点，也即d 的最小值点。

∴min d b =。

§3 函数图形的凹凸性及拐点定义：设函数()y f x =在[],a b 上有定义，[]12,,x x a b ∈，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭（或()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭）， 则()f x 在[],a b 上为凸的（或凹的）。

1Th ：设函数()y f x =在[],a b 上二阶可导，若()''0f x >（或()''0f x <）。

则()f x 的图形在[],a b 上为凹的（或凸的）。

例：设()x ϕ为连续函数的正函数，令()()()0aaf x x t t dt a ϕ-=- >⎰。

判别()f x 在[],a a -上的凹凸性。

解：()()()()()()ax aa ax f x x t t dt x t t dt t x t dt ϕϕϕ--=- =- +- ⎰⎰⎰()()()()xx aaa axx x t dt t t dt t t dt x t t dt ϕϕϕϕ--=- +-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()'xaa x fx t dt x x x x x x t dt x x ϕϕϕϕϕϕ--=+---+⎰⎰()()xaaxt dt t dt ϕϕ-=-⎰⎰()()()()'20fx x x x ϕϕϕ=+=>（ ()x ϕ为正函数）故：()f x 的图形在[],a b 上为凹的。

定义：函数()y f x =的图形凹凸的分界点称为()y f x =的拐点。

2Th ：设函数()y f x =在0x x =的邻域内二阶可导，在0x x =处()''f x 可不存在，但必须()f x 连续。

若()''f x 在0x x =处的邻域内变号，则()()00,x f x 为拐点；若()''f x 在0x x =处的邻域内不变号，则()()00,x f x 不是拐点。