北京市西城区高一年级数学必修1 模块测试题
(完整版)高一数学必修一测试题及答案
高中数学必修1检测题一、选择题： 1．已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U ）等于 （ ）A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C ．{2，4，5}D ．{2，5}2．已知集合}01|{2=-=x x A ，则下列式子表示正确的有（ ）①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ）（1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B .A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ）A 、3a -≤B 、3a -≥C 、a ≤5D 、a ≥5 5、下列各组函数是同一函数的是 （ ）①()f x =()g x =f(x)=x 与()g x ；③0()f x x =与01()g x x =；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
A 、①②B 、①③C 、③④D 、①④6．根据表格中的数据，可以断定方程02=--x e x的一个根所在的区间是（ ）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）7．若=-=-33)2lg()2lg(,lg lgyx a y x 则 （ ）A ．a 3B ．a 23 C ．aD ．2a 8、 若定义运算b a ba b aa b<⎧⊕=⎨≥⎩，则函数()212log log f x x x =⊕的值域是（ ） A[)0,+∞ B (]0,1 C [)1,+∞ D R9．函数]1,0[在x a y =上的最大值与最小值的和为3，则=a （ ）A ．21 B ．2 C ．4 D ．41 10. 下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）A 、12log (1)y x =+ B、2log y =C 、21log y x=D、2log (45)y x x =-+11．下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（ ）A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
2024-2025年北师大版数学必修第一册模块质量检测卷(带答案)
模块质量检测卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x∈Z ⎪⎪⎪－3<x <12 ，B ＝{－1，0，1，2}，能正确表示图中阴影部分的集合是( )A ．{－1，0，1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{2}2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A ．14B ．38C ．512D ．583．函数f (x )＝e x＋2x －3的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)4．某地甲、乙、丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为300，400，500，为了调查此次联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法从这三所学校中抽取一个容量为120的样本，那么应从乙学校中抽取的数学成绩的份数为( )A ．30B ．40C ．50D ．805．a ，b ∈R ，记m ax {a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥b ）b （a <b ） ，则函数f (x )＝m ax {|x ＋1|，x 2}(x ∈R )的最小值是( )A ．3－52B ．3＋52C ．1＋52D ．1－526．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p ，若存m 期，本利和为5.4万元，若存n 期，本利和为5.5万元，若存m ＋n 期，则利息为( )A ．5.94万元B ．1.18万元C ．6.18万元D ．0.94万元7．现有四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x的图象(部分)如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③ B．①④③② C ．④①②③ D．③④②①8．已知a 是方程x ＋lg x ＝3的解，b 是方程2x ＋100x＝3的解，则a ＋2b 为( ) A ．－32 B ．32C ．3D ．－3二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．下列命题是真命题的是( )A ．若幂函数f (x )＝x α过点(12 ，4)，则α＝－12B ．∃x ∈(0，1)，(12 )x>log 12 xC ．∀x ∈(0，＋∞)，log 12x >log 13xD ．命题“∃x ∈R ，sin x ＋cos x <1”的否定是“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≥1” 10．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：PM2.5日均值在35μg/m 3以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在35～75μg/m 3，空气质量为二级：PM2.5日均值超过75μg/m 3为超标．如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值(单位：μg/m 3)变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是( )A ．这10天的日均值的80%分位数为60B ．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C ．这10天的日均值的中位数为41D ．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 11．下列选项正确的是( ) A ．若a ≠0，则a ＋4a的最小值为4B ．若x ∈R ，则x 2＋3x 2＋2的最小值是2C ．若ab <0，则a b ＋b a的最大值为－2D ．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则2x ＋xy的最小值为612．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －x，x ≥12x －a ，x <1 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．a ＝1B ．a ＝－1C ．函数y ＝f (x ＋1)是偶函数D ．关于x 的不等式f (x )>12的解集为(0，2)第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知一组样本数据x 1，x 2，…，x 10，且x 21 ＋x 22 ＋…＋x 210 ＝2 022，平均数x －＝12，则该组数据的方差为________．14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2022年度的消费情况进行了统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________． 15．已知a >0，且a ≠1，log a 2＝x ，则a 2x＋a －2x＝________.16.三个元件a ，b ，c 独立正常工作的概率分别是13 ，12 ，23 ，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒T 1，T 2，T 3中(一盒接一个元件)，各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：8 6 7 8 6 5 9 10 4 7 乙：6 7 7 8 6 7 8 7 9 5 (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出以上两组数据的方差；(3)根据计算结果，评价这两名战士的射击情况．18．(本小题满分10分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在[16，18)和[18，20]内的该产品中抽取6件，再从这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品不是取自同一组的概率．20．(本小题满分12分)某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2 500万元，每生产x 百件，需另投入成本c (x )(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c (x )＝10x 2＋100x ；当年产量不小于30百件时，c (x )＝501x ＋10 000x－4 500；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．(1)求年利润y (万元)关于年产量x (百件)的函数关系式；(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？21．(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行摔跤比赛，比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，另一人当裁判，没有平局；②每场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；③累计负两场者被淘汰；④当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人累计负两场被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为23 ，乙胜丙的概率为12，各局比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲当裁判．(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； (2)求只需四场比赛就决出冠军的概率； (3)求甲最终获胜的概率．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝log 3(3x＋1)＋12 kx (x ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝12 x ＋a 有公共点，求a 的取值范围．模块质量检测卷1.答案：B解析：由题意，集合A ＝{x∈Z ⎪⎪⎪－3<x <12 }＝{－2，－1，0}， 根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素，即为{1，2}． 故选B. 2．答案：A解析：由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中，137，271，436这三组表示三次投篮恰有两次命中，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P ＝312 ＝14 ，故选A. 3．答案：C解析：f (x )＝e x＋2x －3，函数单调递增，计算得到f (0)＝－2<0，f (1)＝e －1>0，故函数在(0，1)有唯一零点．4．答案：B解析：由题意知，应从乙学校抽取120×400300＋400＋500 ＝40(份)数学成绩．5．答案：A解析：当|x ＋1|≥x 2，即x ＋1≥x 2或x ＋1≤－x 2，解得1－52 ≤x ≤1＋52时，f (x )＝max{|x ＋1|，x 2}＝|x ＋1|＝x ＋1，函数单调递增，所以f (x )min ＝1－52 ＋1＝3－52；当x <1－52 时，f (x )＝max{|x ＋1|，x 2}＝x 2，函数单调递减，f (x )>f (1－52 )＝3－52 ；当x >1＋52 时，f (x )＝max{|x ＋1|，x 2}＝x 2，函数单调递增，f (x )>f (1＋52 )＝3＋52 ；综上，f (x )min ＝3－52.故选A. 6．答案：D解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5（1＋p ）m＝5.45（1＋p ）n＝5.5，则5(1＋p )m ·5(1＋p )n＝5.4×5.5， 即存m ＋n 期，本利和为5(1＋p )m ＋n＝5.4×1.1＝5.94，则存m ＋n 期，则利息为5.94－5＝0.94万元．故选D. 7．答案：A解析：①y ＝x ·sin x 为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是；②y ＝x ·cosx 为奇函数，它的图象关于原点对称，它在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 上的值为正数，在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π 上的值为负数，故第三个图象满足；③y ＝x ·|cos x |为奇函数，当x >0时，f (x )≥0，故第四个图象满足；④y ＝x ·2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A.8．答案：C解析：因为a 是方程x ＋lg x ＝3的解，所以a ＋lg a ＝3,令t ＝lg a ，则有a ＝10t， 所以10t＋t ＝3， ①因为b 是方程2x ＋100x ＝3的解，所以2b ＋100b ＝3，即2b ＋102b＝3， ② 设f (x )＝10x＋x ，易知f (x )在R 上单调递增， 由①②得，t ＝2b ，所以lg a ＝2b ， 代入a ＋lg a ＝3得，a ＋2b ＝3.故选C. 9．答案：BD解析：f (12 )＝(12 )α＝4，∴α＝－2，A 错误；在同一平面直角坐标系上画出y ＝(12 )x与y ＝log 12x 两函数图象，如图1所示．图1 图2由图可知∃x ∈(0，1)，(12 )x>log 12 x ，故B 正确；在同一平面直角坐标系上画出y ＝log 13x 与y ＝log 12x 两函数图象，如图2所示．由图可知，当x ∈(0，1)时，log 12x >log 13x ，当x ＝1时，log 12x ＝log 13x ，当x ∈(1，＋∞)时，log 12x <log 13x ，故C 错误；根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知，命题“∃x∈R ，sin x ＋cos x <1”的否定是“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≥1”，故D 正确．故选BD.10．答案：BD解析：10个数据为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80， 10×0.8＝8，故80%分位数为60＋782＝69，A 选项错误．5天的日均值的极差为41－30＝11，后5天的日均值的极差为80－45＝35，B 选项正确． 中位数是41＋452＝43，C 选项错误．根据折线图可知，前5天数据波动性小于后5天数据波动性，所以D 选项正确． 故选BD.11．答案：CD解析：当a <0时，a ＋4a ＝－(－a －4a)≤－2－a ·（－4a） ＝－4，当且仅当－a ＝－4a，即a ＝－2时取等号，则a ＋4a 有最大值为－4，当a >0时，a ＋4a≥2a ·4a ＝4，当且仅当a ＝4a，即a ＝2时取等号，则a ＋4a的最小值为4，故A 错误；因为x 2＋2 ≥2 ，1x 2＋2>0，所以x 2＋2 ＋1x 2＋2≥2x 2＋2·1x 2＋2＝2， 等号成立的条件是x 2＋2 ＝1x 2＋2，即x 2＋2＝1，方程无解，即最小值不为2，B 错误；若ab <0，故b a <0，a b <0，则a b ＋b a ＝－[(－a b )＋(－b a)]≤－2－a b ·－ba＝－2，当且仅当－ba ＝－a b即a ＝－b 时取等号，此时取得最大值－2，C 正确； 正实数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则2x ＋x y ＝2x ＋4y x ＋x y ＝2＋4y x ＋xy ≥2＋24y x·x y＝6，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y ＝12 时取等号，则2x ＋xy 的最小值为6，D 正确．故选CD.12．答案：ACD解析：由函数图象可知x ＝1为函数f (x )的对称轴，即函数满足f (2－x )＝f (x )， 则当x >1时，2－x <1，故22－x －a＝2a －x，∴2－x －a ＝a －x ，则a ＝1， 同理当x <1时，2－x >1，故2a －2＋x＝2x －a，∴a －2＋x ＝x －a ，则a ＝1，综合可知a ＝1，A 正确；B 错误．将f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －x，x ≥12x －a ，x <1 的图象向左平移1个单位，即得函数y ＝f (x ＋1)，x ∈R 的图象，则y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，故y ＝f (x ＋1)为偶函数，C 正确； 当x ≥1时，f (x )＝21－x，令21－x>12，解得x <2，故1≤x <2； 当x <1时，f (x )＝2x －1，令2x －1>12，解得x >0，故0<x <1，综合可得0<x <2，即不等式f (x )>12 的解集为(0，2)，D 正确．故选ACD. 13．答案：58.2解析：因为一组样本数据x 1，x 2，…，x 10，且x 21 ＋x 22 ＋…＋x 210 ＝2 022，平均数x －＝12，所以该组数据的方差为110[(x 1－12)2＋(x 2－12)2＋…＋(x 10－12)2]＝110 [(x 21 ＋x 22 ＋…＋x 210 )－24(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋10×122] ＝110 (2 022－24×10×12＋10×122) ＝58.2.14．答案：(1)3.0 (2)6 000解析：(1)0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1×a ＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3.0.(2)消费金额在区间[0.5，0.9]内的频率为1－0.1×1.5－0.1×2.5＝0.6， 则该区间内购物者的人数为10 000×0.6＝6 000. 15．答案：174解析：由指对数的互化，log a 2＝x ⇒a x＝2，∴a 2x＋a －2x＝(a x )2＋1（a x ）2 ＝22＋122 ＝174.16．答案：49解析：若T 1接入a ，T 2，T 3分别接入b ，c ，则该电路正常工作的概率为13 ×(1－12 ×13 )＝518； 若T 1接入b ，T 2，T 3分别接入a ，c ，则该电路正常工作的概率为12 ×(1－23 ×13 )＝718 ；若T 1接入c ，T 2，T 3分别接入a ，b ，则该电路正常工作的概率为23 ×(1－23 ×12 )＝49 ；∵49 >718 >518 ，∴此电路正常工作的最大概率为49. 17．解析：(1)x －甲＝110 ×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，x －乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)s 2甲 ＝110×[(8－7)2＋(6－7)2＋…＋(7－7)2]＝3，s 2乙 ＝110×[(6－7)2＋(7－7)2＋…＋(5－7)2]＝1.2.(3)x － 甲＝x －乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；s 2甲 ＞s 2乙 ，说明甲战士的射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．18．解析：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3. ∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]. 19．解析：(1)因为(0.025＋0.125)×2＝0.3<0.5，0.3＋0.200×2＝0.7>0.5， 所以该产品这一质量指数的中位数在[14，16)内，设该产品这一质量指数的中位数为m ，则(m －14)×0.2＋0.3＝0.5， 解得m ＝15.(2)由频率分布直方图可得100×0.100×2＝20，100×0.050×2＝10， 即在[16，18)和[18，20]的产品分别有20，10件，采用分层抽样的方法抽取的6件产品中这一质量指数在[16，18)内的有4件，记为a ，b ，c ，d ，这一质量指数在[18，20]内的有2件，记为e ，f ，从这6件产品中随机抽取2件的情况有ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15种；其中符合条件的情况有ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，共8种，故所求概率P ＝815.20．解析：(1)当0<x <30时，y ＝500x －10x 2－100x －2 500＝－10x 2＋400x －2 500； 当x ≥30时，y ＝500x －501x －10 000x＋4 500－2 500＝2 000－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋400x －2 500，0<x <30，2 000－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥30.(2)当0<x <30时，y ＝－10(x －20)2＋1 500，∴当x ＝20时，y max ＝1 500；当x ≥30时，y ＝2 000－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤2000－2 x ·10 000x＝2 000－200＝1 800，当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时，y max ＝1 800>1 500，∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1 800万元． 21．解析：(1)记事件A 为甲胜乙，则P (A )＝23 ，P (A －)＝13 ，事件B 为甲胜丙，则P (B )＝23 ，P (B －)＝13 ，事件C 为乙胜丙，则P (C )＝12 ，P (C －)＝12 ，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为P 1＝P (C A －C )＋P (CAB )＝12 ×13 ×12 ＋12 ×23 ×23 ＝1136.(2)只需四场比赛就决出冠军的概率为P 2＝P (C A － C A － )＋P (C － B － C － B － )＋P (CABA )＋P (C －BAB )＝12 ×13 ×12 ×13 ＋12 ×13 ×12 ×13 ＋12 ×23 ×23 ×23 ＋12 ×23 ×23 ×23 ＝1954 . (3)由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为23 ，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为12 ，第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件D ，甲当裁判为事件E ，P 3＝P (EDDD )＋P (EDD D － D )＋P (ED D － ED )＋P (E D －EDD )＝23 ×23 ×23 ＋23 ×23 ×13 ×23 ＋23 ×13 ×23 ＋13 ×23 ×23 ＝5681 . 22．解析：(1)∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴log 3(3－x ＋1)－12 kx ＝log 3(3x＋1)＋12kx ，化简得log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x＋13x ＋1 ＝kx ，即log 313x ＝kx ，∴log 33－x ＝kx ，∴－x ＝kx ，即(k ＋1)x ＝0对任意的x ∈R 都成立，∴k ＝－1； (2)由题意知，方程log 3(3x＋1)－12 x ＝12x ＋a 有解，亦即log 3(3x＋1)－x ＝a ，即log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3x＋13x ＝a 有解， ∴log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x ＝a 有解， 由13x >0，得1＋13x >1，∴log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x >0，故a >0，即a 的取值范围是(0，＋∞).。
1西城高一数学答案
北京市西城区 2019—2019学年度第一学期期末试卷高一数学参照答案及评分标准A 卷[必修模块4] 满分100分一、：本大共10小，每小 4分，共40分.1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5. D ；6. D ； ；8.A ；9.C ； 10.D.二、填空：本大共6小，每小 4分，共 24分.11.2； 12. 1(ba )；13.4 ；22314.； 15.；16.3.382三、解答：本大共 3小，共 36分.17.（本小分 12分）解：（Ⅰ）因( ,)，且sin3，2 5因此cos1 sin 24 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分5因此tansin3⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分cos.4因此tan() tan 17.⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分1tan4（Ⅱ）由（Ⅰ）知，sin22si ncos24⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分，251 cos22cos 232 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分25sin2cos 24 4 1因此25 5⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分1cos232.825（本小分12分）（Ⅰ）由意f ( )2sin(2 x)，x 3因0x，因此02x.因此2x4⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分3.233因此3sin(2x)1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分23因此3f(x) 2，函数f(x)的域[3,2] .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅱ）由已知(,) ， 13，( ,0) ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分A C( ,A) D12 312因此( , )， 3DBDC ( ,A).44因BDCD ，因此DB32A 20 ，解得A3 DC ，DBDC.164又A0，因此 A3⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分.419.（本小分 12分）解：（Ⅰ）ABBCAB (AC AB)AB AC21 13AB.22（Ⅱ）成立如所示的平面直角坐系，B(1,0)，C(1,3).2 2P(cos,sin )，[0,]，3由APxAB yAC ，得(cos ,sin )x(1,0)y(1 3).C,22因此cosxy,sin3y .22因此xcos3sin，y23sin ，33xy23sincos2sin 23sin211cos23333 32(3sin21cos2 ) 1 3 2 2 321sin(2).363 因[0,2]，2[6 , ].366因此，当 26 ，即，xy 的最大1.23⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分yPx AB⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分B 卷[学期综合]满分50分一、填空：本大共5小，每小4分，共20分.1. {x|0x1}；2. 1,6；3.1；4. {aa2}；5. .2注：2每空2分.二、解答：本大共 3小，共30分.6.（本小分 10分）解:（Ⅰ）因f(x)6x，因此f( x)x 6x f(x).⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分因此f(x)x212 1奇函数.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）由不等式f(2x)2x，得62x2x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分22x1整理得22x5，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此2xlog 25，即x1log 25.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2（本小分10分）解: （Ⅰ）当a1，f(x)x 22x .二次函数象的称x1，张口向上.因此在区[0,2]上，当x 1，f(x)的最小1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 当x0 或x2 ，f(x)的最大0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因此f(x)在区[0, 2]上的域[ 1,0].⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）注意到f(x)x 2 2ax 的零点是0和2a ，且抛物张口向上.当a0 ，在区[0,2]上g(x) f(x)x 22ax ，g(x)的最大t(a)g(2)4 4a .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分当0a1，需比g(2)与g(a)的大小，g(a)g(2)a 2 (44a)a 24a 4，因此，当0 a2 2 2 ，g(a) g(2) 0 ；当 2 22a1 ，g(a)g(2)0 .因此，当 0 a2 22 ，g(x)的最大 t(a) g(2) 44a .⋯⋯⋯5分当22 2 a 1，g(x)的最大t(a)g(a)a 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分当1 a 2，g(x)的最大t(a)g(a) a 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分当a2 ，g(x)的最大t(a) g(2)4a4 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分44a,a 2 2 2,因此，g(x)的最大值 t(a) a 2, 2 2 2 a 2,4a 4,a 2.因此，当a2 2 2时，t(a)的最小值为12 82.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由已知x 11，x 21 .42因此dmax{max{x 1,x 2x 1},max{x 2 x 1,1 x 2}}1 1 1 1max{ 1 11max{max{,},max{,}},}.44421 42 2（Ⅱ）取x 11，x 2，此时试验的估计偏差为.333以下证明，这是使试验估计偏差达到最小的试验设计.9分10分4分5分证明：分两种情况议论 x 1点的地点.①当x 11时，如下图，3假如1 x2 2d 1 x 21 ，那么；3 33 假如2x 2 1，那么 d x 2 x 113 .3当x 1 11 . ②，dx 133综上，当x 1113 时，d .3(同理可适当x 22时，d1 )33即x 11，x 2时，试验的估计偏差最小.33（Ⅲ）当x 11和x 12时估计偏差d 的最小值分别为45注：用平常语言表达证明过程也给分 .1x 1 12 3 3 4 5 67 89 10 11 12 13 14 15 1617和1.45x 217分8分10分。
2024-2025年北师大版数学必修第一册第一章单元质量评估卷(带答案)
第一章 单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x|x 2－1＝0}，则下列结论错误．．的是( ) A ．1∈A B ．{－1} A C ．∅⊇A D ．{－1，1}＝A2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”(人在阵地在，人不在阵地在不在不知道)，由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3．已知集合M ＝{x|x(x －2)<0}，N ＝{x|x －1<0}，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{x|1≤x<2}的是( )4．已知命题p ：∃x ，y ∈Z ，2x ＋4y ＝3，则( ) A.p 是假命题，p 否定是∀x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 B.p 是假命题，p 否定是∃x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 C.p 是真命题，p 否定是∀x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 D.p 是真命题，p 否定是∃x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 5．已知a ＜0，－1＜b ＜0，则( ) A.－a ＜ab ＜0 B ．－a ＞ab ＞0C.a ＞ab ＞ab 2 D ．ab ＞a ＞ab 26．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0 ，则A ∩(∁R B )＝( ) A.(－1，2) B ．(－1，1) C.(－1，2] D ．(－1，1]7．“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”的一个必要不充分条件是( )A.0＜a ＜1 B ．0＜a ＜13C.0≤a ≤1 D．a ＜0或a ＞138．若正数a ，b 满足2a ＋1b ＝1，则2a＋b 的最小值为( )A.42 B ．82 C.8 D ．9二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．有下列命题中，真命题有( )A.∃x ∈N *，使x 为29的约数B.∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0C.存在锐角α，sin α＝1.5D.已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3m }，则对于任意的n ，m ∈N *，都有A ∩B ＝∅10．已知1a ＜1b＜0，下列结论中正确的是( )A.a ＜b B ．a ＋b ＜ab C.|a |＞|b | D ．ab ＜b 211．若对任意x ∈A ，1x∈A ，则称A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是( )A.{－1，1} B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2 C.{}x |x 2>1 D ．{x |x >0}12．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为(－1，0)，则下面结论中正确的是( )A.2a ＋b ＝0B.4a －2b ＋c ＜0C.b 2－4ac ＞0D.当y ＜0时，x ＜－1或x ＞4第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为________．14．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为________．15．若1a ＋1b ＝12(a ＞0，b ＞0)，则4a ＋b ＋1的最小值为________.16．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6，7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)若集合A 中只有1个元素，则A ＝________；(2)若两个集合A 和B 按顺序组成的集合对(A ，B )叫作有序集合对，则有序集合对(A ，B )的个数是________.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |m －2<x <2m }． (1)当m ＝2时，求A ∩B ；(2)若________，求实数m 的取值范围．请从①∀x ∈A 且x ∉B ；②“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件；这两个条件中选择一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答．(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)18．(本小题满分12分)已知p ：x 2－3x －4≤0；q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分条件，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，a ∈(0，1).(1)若f (1)＝2，求1a ＋4b的最小值；(2)若f (1)＝－1，求关于x 的不等式f (x )＋1>0的解集．20．(本小题满分12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y (单位：万元)与处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝x 2－40x ＋1 600，x ∈[30，50]，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？21．(本小题满分12分)若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}，B ＝{x ||x ＋2|＞3}，C ＝{x |x2－2mx ＋m 2－1＜0，m ∈R }．(1)若A ∩C ＝∅，求实数m 的取值范围． (2)若(A ∩B )⊆C ，求实数m 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知x >0，y >0，2xy ＝x ＋4y ＋a . (1)当a ＝16时，求xy 的最小值；(2)当a ＝0时，求x ＋y ＋2x ＋12y的最小值．第一章 单元质量评估卷1．答案：C解析：因为A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，所以选项A ，B ，D 均正确，C 不正确． 2．答案：A解析：因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件，结合选项，可得A 正确．3．答案：B解析：x (x －2)<0⇒0<x <2，x －1<0⇒x <1，选项A 中Venn 图中阴影部分表示M ∩N ＝(0，1)，不符合题意；选项B 中Venn 图中阴影部分表示∁M (M ∩N )＝[1，2)，符合题意；选项C 中Venn 图中阴影部分表示∁N (M ∩N )＝(－∞，0]，不符合题意；选项D 中Venn 图中阴影部分表示M ∪N ＝(－∞，2)，不符合题意．故选B.4．答案：A解析：由于x ，y 是整数，2x ＋4y 是偶数，所以p 是假命题．原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以p 的否定是“∀x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3”．故选A.5．答案：B解析：∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，a ＜ab 2＜0，故A ，C ，D 都不正确，正确答案为B.6．答案：D解析：由x 2＋x －2≤0，得－2≤x ≤1，∴A ＝[－2，1].由x ＋1x －2≥0，得x ≤－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1]∪(2，＋∞).则∁R B ＝(－1，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－1，1].故选D.7．答案：C解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，所以函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的图象始终落在x 轴的上方，即Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，因为要找其必要不充分条件，从而得到(0，1)是对应集合的真子集，故选C.8．答案：D解析：∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋1b ＝1，则2a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2ab＋2ab ≥5＋4＝9，当且仅当2ab ＝2ab 即a ＝13，b ＝3时取等号，故选D.9．答案：AB解析：A 中命题为真命题．当x ＝1时，x 为29的约数成立；B 中命题是真命题．x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2＋74 ＞0恒成立；C 中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有0＜sin α＜1；D 中命题为假命题．易知6∈A ，6∈B ，故A ∩B ≠∅.10．答案：BD解析：因为1a ＜1b＜0，所以b ＜a ＜0，故A 错误；因为b ＜a ＜0，所以a ＋b ＜0，ab ＞0，所以a ＋b ＜ab ，故B 正确；因为b ＜a ＜0，所以|a |＞|b |不成立，故C 错误；ab －b 2＝b (a －b )，因为b ＜a ＜0，所以a －b ＞0，即ab －b 2＝b (a －b )＜0，所以ab ＜b 2成立，故D正确．故选BD.11．答案：ABD解析：根据“影子关系”集合的定义，可知{－1，1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2 ，{x |x >0}为“影子关系”集合，由{x |x 2>1}，得{x |x <－1或x >1}，当x ＝2时，12 ∉{x |x 2>1}，故不是“影子关系”集合．故选ABD.12．答案：ABC解析：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的对称轴为x ＝1，∴－b2a ＝1，得2a ＋b＝0，故A 正确；当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＜0，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故C 正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1，0)，∴点A 的坐标为(3，0)，∴当y ＜0时，x ＜－1或x ＞3，故D 错误．故选ABC.13．答案：(2，4)(或写成{x |2＜x ＜4}) 解析：原不等式等价于x 2－6x ＋8＜0， 即(x －2)(x －4)＜0，得2＜x ＜4. 14．答案：20解析：把一月份至十月份的销售额相加求和，列出不等式，求解． 七月份：500(1＋x %)，八月份：500(1＋x %)2. 所以一月份至十月份的销售总额为：3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－2.2(舍)或1＋x %≥1.2，所以x min ＝20. 15．答案：19解析：由1a ＋1b ＝12 ，得2a ＋2b＝1，4a ＋b ＋1＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋1＝8＋2＋8a b ＋2b a＋1≥11＋28a b ·2ba＝19.当且仅当8a b ＝2ba，即a ＝3，b ＝6时，4a ＋b ＋1取得最小值19.16．答案：(1){6} (2)32解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，所以6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1，2，3，4，5，7}，此时有序集合对(A ，B )有1个；当集合A 中有2个元素时，5∉B ，2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A中有3个元素时，4∉B ，3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有4个元素时，3∉B ，4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有5个元素时，2∉B ，5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1，2，3，4，5，7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个．综上，可知有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.17．解析：(1)当m ＝2时，B ＝{x |0<x <4}, 所以A ∩B ＝{x |1<x <2}． (2)若选择条件①，由∀x ∈A 且x ∉B 得：A ∩B ＝∅， 当B ＝∅时，m －2≥2m ，即m ≤－2； 当B ≠∅时，m －2<2m ，即m >－2m －2≥2或2m ≤1，即m ≥4或m ≤12 ， 所以m ≥4或－2<m ≤12，综上所述：m 的取值范围为：m ≥4或m ≤12.若选择条件②，由“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件得：A ⊆B,即⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤12m ≥2 ，所以1≤m ≤3. 18．解析：由x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4， 由x 2－6x ＋9－m 2≤0，可得[x －(3＋m )][x －(3－m )]≤0，① 当m ＝0时，①式的解集为{x |x ＝3}；当m ＜0时，①式的解集为{x |3＋m ≤x ≤3－m }； 当m ＞0时，①式的解集为{x |3－m ≤x ≤3＋m }；若p 是q 的充分条件，则集合{x |－1≤x ≤4}是①式解集的子集．可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，3＋m ≤－1，3－m ≥4 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.故m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞). 19．解析：(1)由f (1)＝2可得：a ＋b ＝2， 因为a ∈(0，1)，所以2－b ∈(0，1)⇒1<b <2，所以1a ＋4b ＝12 ×(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋b a ＋4a b ≥12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92，当且仅当b a ＝4a b 时取等号，即当且仅当a ＝23 ，b ＝43 时取得最小值为92.(2)由f (1)＝－1可得：a ＋b ＝－1， 则f (x )＋1>0化为：ax 2－(a ＋1)x ＋1＝(ax －1)(x －1)>0，因为0<a <1，所以1a>1，则解不等式可得x >1a或x <1，则不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1a或x <1 .20．解析：(1)当x ∈[30，50]时，设该工厂获利为S 万元，则S ＝20x －(x 2－40x ＋1 600)＝－(x －30)2－700，所以当x ∈[30，50]时，S 的最大值为－700，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损．(2)由题知，二氧化碳的平均处理成本P ＝y x＝x ＋1 600x－40，x ∈[30，50]，当x ∈[30，50]时，P ＝x ＋1 600x－40≥2x ·1 600x－40＝40，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时等号成立，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．21．解析：(1)由已知可得A ＝{x |－4＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜－5或x ＞1}，C ＝{x |m －1＜x ＜m ＋1}．若A ∩C ＝∅，则m －1≥2或m ＋1≤－4， 解得m ≥3或m ≤－5.所以实数m 的取值范围为{m |m ≤－5或m ≥3}． (2)结合(1)可得A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．若(A ∩B )⊆C ，即{x |1＜x ＜2}⊆{x |m －1＜x ＜m ＋1}， 则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，解得1≤m ≤2.所以实数m 的取值范围为{m |1≤m ≤2}．22．解析：(1)当a ＝16时，2xy ＝x ＋4y ＋16≥2x ·4y ＋16＝4xy ＋16， 即2xy ≥4xy ＋16， 即(xy ＋2)(xy －4)≥0， 所以xy ≥4，即xy ≥16，当且仅当x ＝4y ＝8时等号成立， 所以xy 的最小值为16.(2)当a ＝0时，2xy ＝x ＋4y ，即12y ＋2x＝1，所以x＋y＋2x＋12y＝x＋y＋1＝(x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫2x＋12y＋1＝72＋2yx＋x2y≥72＋22yx·x2y＝112，当且仅当2yx＝x2y，即x＝3，y＝32时等号成立，所以x＋y＋2x＋12y的最小值为112.。
高中数学 模块综合测评(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题
模块综合测评(时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}B [由题意知A ∪B ＝{1，2，4，6}，所以(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．] 2．函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增函数D.先递增再递减函数C [作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知图象开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.]3．函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg （x ＋1）的定义域为( )A ．(－1，0)∪(0，1]B ．(－1，1]C ．(－4，－1]D ．(－4，0)∪(0，1]A [由⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，lg （x ＋1）≠0，x ＋1>0，得－1<x <0或0<x ≤1，所以函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1]，故选A.]4．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧X 问题，已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )A ．40B ．30C ．20D ．36A [由题意，每个个体抽到的概率为90360＋270＋180＝19，其中甲社区有360户低收入家庭，所应从甲社区抽取低收入家庭的户数为360×19＝40户．]5．2019年10月1日在庆祝中华人民某某国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为13，14，16，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为( )A ．13 B ．512 C ．712D ．23C [由题知三名同学都没有被选上的概率为23×34×56＝512，所以这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为1－512＝712.]6．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的大致图象是( )A B C DB [当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.]7．“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [记集合A ＝{x |x >2}，由x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，记集合B ＝{x |x <－4，或x >2}．因为A B ，所以“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的充分不必要条件．故选B.]8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )>f (－2)，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，3)B ．(0，3)C ．(3，＋∞)D ．(1，3)B [因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，所以f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，所以f (2log 3a )>f (2).因为2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，所以0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a < 3.故选B.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应不同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差ABC [只有标准差不变，众数、平均数和中位数都加2.]10．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系不可能为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <bABD [由f (x )是奇函数可得，a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f (log 25)，因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a .]11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，0＜a ＜b ＜c ，f (a )f (b )f (c )＜0，实数d 是函数f (x )的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是( )A ．0＜d ＜aB ．c ＞d ＞bC ．d ＞cD ．b ＜d ＜cABD [由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x 在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，当0＜a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (b )＞f (c )，又因为f (a )f (b )f (c )＜0，f (d )＝0，所以①f (a )，f (b )，f (c )都为负值，则a ，b ，c 都大于d ，②f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，则a ，b 都小于d ，c 大于d .综合①②可得d ＞c 不可能成立．]12．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是( )A ．等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立B ．函数f (x )的值域为(－1，1)C ．若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)D ．函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点ABC [易知函数的定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )，故函数为奇函数，故A 正确；当x＞0时，f (x )＝x 1＋x ＝11＋1x，该函数在(0，＋∞)上递增，且当x →0时，f (x )→0；当x →＋∞时，f (x )→1.结合奇偶性，作出f (x )的图象如图所示：易知函数的值域是(－1，1)，故B 正确；结合函数f (x )为定义域内的增函数，所以C 正确；当x ≥0时，g (x )＝f (x )－x ＝x1＋x －x ＝－x 21＋x ，令g (x )＝0得x ＝0，故此时g (x )只有一个零点0，g (x )显然是奇函数，故该函数只有一个零点，所以D 错误．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．命题“∃x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是________． ∀x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 [特称命题的否定为全称命题．]14．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________．12 [依题意得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f (x )是奇函数，得f (2)＝－f (－2)＝12.]15．计算：(0.027)－13－log 32·log 83＝________．3 [ (0.027)－13－log 32·log 83＝(0.3)－13×3－log 32·1log 38＝103－log32·13log32＝103－13＝3.]16．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．0．1[这组数据的平均数x＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s2＝（4.7－5.1）2＋（4.8－5.1）2＋（5.1－5.1）2＋（5.4－5.1）2＋（5.5－5.1）25＝0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.165＝0.1.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？[解](1)因为x2 000＝0.19，所以x＝380.(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：482 000×500＝12(名).18．(本小题满分12分)某市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，实行奖惩制度．通过制定评分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等级，并根据等级给予相应的奖惩(如下表).某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等级的概率分别为12，13，18，124，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、－5万元．(1)在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格及其以上等级的概率是多少？ (2)求该企业当年因改造而增加的利润为0的概率．[解](1)设该企业能被抽到且被评为合格及其以上等级的概率为P ，则P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋18×12＝2348.(2)依题意，该企业当年因改造而增加的利润为0的概率为13×12＝16.19．(本小题满分12分)某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．[解] 设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P (A )＝716.(2)由(1)知两个小球相加之和等于3或4的取法有7种； 两个小球相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2). 两个小球相加之和等于6的取法有1种：(3，3). 则中奖概率为P (B )＝7＋2＋116＝58.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)某某数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，某某数a 的取值X 围． [解](1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示 )知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值X 围是(1，3].21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R . (1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值X 围．[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值X 围是(－∞，1).22．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．[解](1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2；当4≤x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，显然v ＝ax ＋b 在[4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．。
北京市2024-2025学年高一上学期第一次第一次阶段检测数学试卷含答案
2024-2025学年度第一学期第一次阶段检测试卷高一数学（答案在最后）一、选择题（1-9题每题4分，10题5分）1.已知集合{}0,1,2A =，{}2,N x x a a A ==∈，则集合A N 等于（）A .{}0； B.{}0,1； C.{}1,2； D.{}0,2．【答案】D【解析】【分析】求出集合N ，根据交集含义即可得到答案.【详解】当0a =时，20x a ==；当1a =时，22x a ==；当2a =时，24x a ==，故{}0,2,4N =，故{0,2}A N ⋂=，故选：D.2.已知集合{}12A x x =<<，302B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则下图阴影部分表示的集合是（）A.{}01x x ≤≤B.{}01x x <≤C.{}01x x ≤<D.{}01x x <<【答案】B【解析】【分析】由图可知阴影部分表示的集合是()R A B ⋂ð，计算出结果即可.【详解】由图可知阴影部分表示的集合是()R A B ⋂ð， {}12A x x =<<，{1R A x x ∴=≤ð或}2x ≥，(){}01R A B x x ∴⋂=<≤ð.故选：B.【点睛】本题考查由Venn 图求集合，属于基础题.3.下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，所以A 、B 、D 三个选项均不符合，只有选项C 符合题意.故选：C .4.下面四个不等式中解集为R 的是（）A.2230x x -+-≥ B.22340x x -+< C.26100x x ++> D.2210x x -+-<【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，逐个分析判断即可得解.【详解】A ：对应的方程为2230x x -+-=，41280∆=-=-<，所以方程无解，又函数223y x x =-+-图象开口向下，所以原不等式的解集为∅，故A 不符合题意；B ：对应的方程为22340x x -+=，932230∆=-=-<，所以方程无解，又函数2234y x x =-+图象开口向上，所以原不等式的解集为∅，故B 不符合题意；C ：对应的方程为26100x x ++=，364040∆=-=-<，所以方程无解，又函数2610y x x =++图象开口向上，所以原不等式的解集为R ，故C 符合题意；D ：对应的方程为2210x x -+-=，440∆=-=，所以方程有一个解1x =，又函数221y x x =-+-图象开口向下，所以原不等式的解集为{}1x x ≠，故D 不符合题意；故选：C.5.下列对应关系或关系式中是从A 到B 的函数的是（）A.A ⊆R ，B ⊆R ，221x y +=B.{}1,0,1A =-，{}1,2B =，:1f x y x →=+C.A =R ，B =R ，1:2→=-f x y xD.A =Z ，B =Z ，:→=f x y 【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义逐一判断选项即可.【详解】对于A ，221x y +=可化为y =x A ∈（1x =±除外），y 值不唯一，故不符合函数的定义；对于B ，符合函数的定义；对于C ，当2x =时，对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D ，当x 为非正整数时，对应关系无意义，故不符合函数的定义.故选：B6.已知集合(){}2220,A x x a x a a =-++≤∈R ，若集合A 中所有整数元素之和为14，则实数a 的取值范围是（）A.56a ≤< B.56a ≤≤ C.45a ≤≤ D.4a ≥【答案】A【解析】【分析】分2a <、2a =、2a >三种情况讨论，结合已知条件可求得实数a 的取值范围.【详解】若2a <，解不等式()2220x a x a -++≤，即()()20x x a --≤，解得2a x ≤≤，即[],2A a =，当(]1,1a ∈-时，集合A 中的所有整数之和取最大值为123+=，不合乎题意；若2a =，则{}2A =，不合乎题意；若2a >，则[]2,A a =，234514+++= ，且集合A 中所有整数元素之和为14，5A ∴∈且6A ∉，因此，56a ≤<.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合中整数元素和求参数，在解出集合后，关键就是确定集合中的整数元素有哪些，以便确定参数所满足的不等关系，进而求解.7.关于x 的不等式()()0()x a x b x c --≥-解集为{|1 2 3}x x x -≤<≥或，则点(,)P a b c +位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由分式不等式的解集可得,,a b c 的值，再判断点P 位于的象限即可.【详解】解：因为关于x 的不等式()()0()x a x b x c --≥-解集为{|1 2 3}x x x -≤<≥或，由分式不等式的解集可得：1,3,2a b c =-==，或3,1,2a b c ==-=，即2,a b +=即点(2,2)P 位于第一象限，故选A.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，属基础题.8.已知,a b 挝R R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则20242024a b +的值为（）A.2- B.1- C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用集合相等，求出b ，再求出a ，检验代入求值即可.【详解】根据题意0a ≠，故0b a=，则0b =，故{}{}2,0,1,,0a a a =，则21a =，即1a =±，当1a =时，与集合的互异性相矛盾，故舍去，当1a =-，0b =时，{}{}1,0,11,1,0-=-，符合题意，所以202420241a b +=，故选：C .9.如果两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则这两个函数为“同族函数”，那么函数{}2,1,2y x x =∈的“同族函数”有A.3个B.7个C.8个D.9个【答案】C【解析】【分析】利用同族函数的定义可知，只要其对应关系，值域相同，定义域不同即可，易得答案．【详解】解：∵函数{}21,2,y x x =∈的值域为{1，4}，所以对应关系是2y x =，值域为{1，4}的函数的定义域可以是：{﹣1，2}，{1，﹣2}，{﹣1，﹣2}，{﹣1，1，2}，{﹣1，1，﹣2}，{2，1，﹣2}，{2，﹣1，﹣2}，{2，1，﹣1，﹣2}，共8个．故选：C ．10.（多选题）已知*(,)f m n ∈N ，且对任何*,m n ∈N 都有：（1）(1,1)1f =，（2）(,1)(,)2f m n f m n +=+，（3）(1,1)2(,1)f m f m +=.则以下结论正确的有（）A.()1,59f = B.()5,116f = C.()5,626f = D.()3,513f =【答案】ABC【解析】【分析】A 选项，根据(1,1)1f =，(,1)(,)2f m n f m n +=+，求出()1,59f =；B 选项，根据(1,1)1f =，(1,1)2(,1)f m f m +=，求出()5,116f =；C 选项，在B 选项()5,116f =基础上，得到()5,626f =；D 选项，根据()3,14f =，(,1)(,)2f m n f m n +=+，得到()()3,53,4212f f =+=.【详解】A 选项，因为(1,1)1f =，(,1)(,)2f m n f m n +=+，所以(1,2)(1,1)2123f f =+=+=，同理可得(1,3)(1,2)2325f f =+=+=，(1,4)(1,3)2527f f =+=+=，(1,5)(1,4)2729f f =+=+=，A 正确；B 选项，因为(1,1)1f =，(1,1)2(,1)f m f m +=，所以()()2,121,12f f ==，()()3,122,14f f ==，()()4,123,18f f ==，()()5,124,116f f ==，B 正确；C 选项，由B 知，()5,116f =，故()()5,25,1218f f =+=，同理可得()()5,35,2220f f =+=，()()5,45,3222f f =+=，()()5,55,4224f f =+=，()()5,65,5226f f =+=，C 正确；D 选项，因为()3,14f =，(,1)(,)2f m n f m n +=+，所以()()3,23,126f f =+=，()()3,33,228f f =+=，()()3,43,3210f f =+=，()()3,53,4212f f =+=，D 错误.故选：ABC二、填空题（每题5分）11.已知函数()213f x x -=-，则()2f =_____.【答案】6【解析】【分析】赋值求出答案.【详解】令3x =得()231336f -=-=，故()26f =.故答案为：612.若集合{}2=10A x ax ax -+==∅,则实数a 的取值范围是__________.【答案】[)0,4【解析】【分析】本题首先要理解{}2=10A x ax ax -+==∅,即210ax ax -+=无实数解,即可求得答案.【详解】当0a =时,原不等式无实解,故符合题意.当0a ≠时,210ax ax -+=无实数解,故∆<0,可得:240a a -<解得:04a <<综上所述,实数a 的取值范围是:[)0,4.故答案为:[)0,4.【点睛】本题考查了根据集合为空集求参数,解题关键是掌握一元二次方程基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.13.若集合{2},{,R}A xx B x x b b =>=<∈∣∣，试写出A B =R 的一个必要不充分条件_____________.【答案】1b >（答案不唯一）【解析】【分析】由题意，结合充要条件与必要不充分条件，利用集合的交集，可得答案.【详解】由A B =R ，则2b >，所以A B =R 的一个必要不充分条件是1b >.故答案为：1b >（答案不唯一）.14.已知{}20(2)4,{1,2,3,4}A xx B =<-≤=∣，则A B _____________；A B ⋂_____________.【答案】①.{|04}x x ≤≤②.{1,3,4}【解析】【分析】先求出集合A,再用并集和交集概念计算即可.【详解】已知(){}2024{|04,2}A xx x x x =<-≤=≤≤≠∣且，则{|04}A B x x =≤≤ ，{1,3,4}A B = .故答案为：{|04}x x ≤≤;{1,3,4}.15.对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．【答案】{x |2≤x <8}【解析】【分析】求解不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0，得出32<[x ]<152，根据题意，进而得出x 的范围.【详解】由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x |2≤x <8}．故答案为：{x |2≤x <8}【点睛】本题考查了二次不等式求解问题，考查了阅读能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于一般题目.三、解答题16.已知全集R U =，集合{121},{25}P xa x a Q x x =+≤≤+=-≤≤∣∣.（1）若3a =，求(),U U Q P Q 痧；（2）若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{2U Q x x =<-ð或>5，(){|24}U P Q x x =-≤< ð（2）(]2-∞，【解析】【分析】（1）当3a =时，可得{|47}P x x =≤≤，进而根据补集和交集的定义求解即可；（2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ，然后考虑P =∅和P ≠∅两种情况分别求解即可．【小问1详解】当3a =时，{|47}P x x =≤≤，{|4U P x x =<ð或7}x >，因为{|25}Q x x =-≤≤，所以{2U Q x x =<-ð或}5x >，(){|24}U P Q x x ⋂=-≤<ð.【小问2详解】若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ，当121a a +>+时，即0a <，此时P =∅，满足PQ ，当P ≠∅时，则12215211a a a a +≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩，解得02a ≤≤，且12a +=-和215a +=不能同时成立，综上所述：实数a 的取值范围为(],2∞-.17.解关于x 的不等式211mx x -≥-.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据题意，化简不等式为(1)101m x x --≥-，分类讨论，结合分式不等式的解法，即可求解.【详解】由不等式211mx x -≥-，可得221(1)110111mx mx x m x x x x ---+---==≥---，（1）若10m -=，即1m =时，等价于101x ≤-，解得1x <，不等式的解集为(,1)-∞；（2）若10m ->，即1m >时，等价于1()101x m x --≥-，当111m >-时，即12m <<时，解得1x <或11x m ≥-，不等式的解集为1(,1)[,)1m -∞+∞- ；当111m =-时，即2m =时，10≥恒成立，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；当111m <-时，即2m >时，解得1x >或11x m ≤-，不等式的解集为1(,](1,)1m -∞+∞- .（3）若10m -<，即1m <时，等价于1()101x m x --≤-，解得111x m ≤<-，所以不等式的解集为1[,1)1m -.综上可得：当1m <时，不等式的解集为1[,1)1m -；当1m =时，不等式的解集为(,1)-∞；当12m <<时，不等式的解集为1(,1)[,)1m -∞+∞- ；当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；当2m >时，不等式的解集为1(,(1,)1m -∞+∞- .18.已知函数2()5f x ax bx =+-，对于任意x R ∈，有(2)(2),(2)7f x f x f -=+-=．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间[],3t t +上的最小值为8-，求t 的值；【答案】（1）2()45f x x x =--（2）2t =-或3t =【解析】【分析】（1）根据题意可得()f x 关于2x =对称，得出22b a-=，再由(2)7f -=即可求出,a b ；（2）讨论区间与对称轴的位置关系根据二次函数的性质可求出.【小问1详解】因为(2)(2)f x f x -=+，()f x \关于2x =对称，即22b a-=，又(2)4257f a b -=--=，则可解得1,4a b ==-，所以2()45f x x x =--；【小问2详解】当32t +≤，即1t ≤-时，()()()()2min 334358f x f t t t =+=+-+-=-，解得2t =-或0t =（舍去）；当23t t <<+，即12t -<<时，()()min 29f x f ==-，不符合题意；当2t ≥时，()()2min 458f x f t t t ==--=-，解得1t =（舍去）或3t =，综上，2t =-或3t =.19.已知集合{}12,,(2)k A a a a k =≥ ，其中(1,2,)i a i k ∈=Z .定义：若对任意的x A ∈，必有x A -∉，则称集合A 其有性质G .由A 中元素可构成两个点集P 和:{(,),,}Q P x y x A y A x y A =∈∈+∈∣，{(,),,}Q x y x A y A x y A =∈∈-∈∣，其中P 中有m 个元素，Q 中有n 个元素.（1）已知集合{0,1,2,3}J =与集合{1,2,3}K =-，判断它们是否具有性质G ；若有，则直接写出其对应的集合P ，Q ；若无，请说明理由；（2）若集合A 具有性质G ，证明：m n =.【答案】（1）{0,1,2,3}J =不具有性质G ，{1,2,3}K =-具有性质G ，()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,3,2,1Q =-；（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）0J ∈，则0J -∈，故J 不具有性质G ，{1,2,3}K =-具有性质G ，并求出()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,3,2,1Q =-；（2）分(),a b P ∈和(),a b Q ∈两种情况，若(),a b P ∈，推出P 的元素个数不多于Q 的元素个数，即m n ≤，若(),a b Q ∈，推出Q 的元素个数不多于P 的元素个数，即m n ≤，从而得到答案.【小问1详解】0J ∈，则0J -∈，故不满足定义，{0,1,2,3}J =不具有性质G ，{1,2,3}K =-，1K -∈，1K ∉，2K ∈，2K -∉，3K ∈，3K -∉，满足要求，故{1,2,3}K =-具有性质G ，由于132K -+=∈，其他均不合要求，故()(){}1,3,3,1P =--，由于231K -=-∈，()213K --=∈，其他不合要求，故()(){}2,3,2,1Q =-；【小问2详解】集合A 具有性质G ，对于(),a b P ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈+∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b a Q +∈，如果()(),,,a b c d 是P 中不同元素，那么,a c b d ==中至少有一个不成立，于是b d =，a c b d +=+中至少有一个不成立，故()(),,,a b b c d d ++也是Q 中不同的元素，可见P 的元素个数不多于Q 的元素个数，即m n ≤，对于(),a b Q ∈，根据定义可知，,,a A b A a b A ∈∈-∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b a P -∈，如果()(),,,a b c d 是Q 中不同元素，那么,a c b d ==中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d -=-中至少有一个不成立，故()(),,,a b b c d d --也是P 中不同的元素，可见Q 的元素个数不多于P 的元素个数，即m n ≤，综上，m n =.【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。
2023-2024学年北京市西城区高一上学期期末数学模拟试题(含解析)
A.
B.
C.
D.
【正确答案】B
【分析】
根据函数的单调性排除 A D；根据 f (1) f (1) 排除 C.
【详解】因为
f
(x)
|
x x
|
ln
x2
1 2 ln x, x 0
1 2 ln x, x
Байду номын сангаас
，
0
所以函数 f (x) x ln x 2 在 (, 0) 上递减，在 (0, ) 上递增，故排除 A D； |x|
sin
2
sin( )
cos(
)
sin cos cos
1 2
tan
1 (2) 2
1
.
故 2 ； 1
关键点点睛：利用三角函数的定义和诱导公式求解是解题关键.
12.
设函数
f
(
x)
log 2x (
a
x
x(
x 0)
0)
，若
f
1 2
1 ，则实数 a 2
________，
f ( f (2)) ________．
作出直线 y k 与函数 f x 的图象如下图所示：
由图象可知，当 k 4 或 k 3 时，直线 y k 与函数 f x 的图象有两个交点.
因此，实数 k 的取值范围是4 3, .
故答案为.4 3,
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
三、填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分）
9.
函数
f (x) lg(x 2)
北京市2024-2025学年高一上学期第一学段考试数学试卷含答案
北京2024—2025学年度第一学段高一年级学段考试试卷数学必修第一册（答案在最后）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）1.已知集合A ={}2x x <,B ={−2,0,1,2},则A B = ()A.{0,1}B.{−1,0,1}C.{−2,0,1,2}D.{−1,0,1,2}【答案】A【解析】【详解】分析：先解含绝对值不等式得集合A ，再根据数轴求集合交集.详解：222,x x ，<∴-<<因此A ⋂B ={}{}2,0,1,2(2,2)0,1-⋂-=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2.设a ，b ，c ∈R ，且a b >，则（）A.ac bc> B.11a b< C.22a b > D.33a b >【答案】D【解析】【详解】当0c =时，选项A 错误；当1,2a b ==-时，选项B 错误；当2,2a b ==-时，选项C 错误；∵函数3y x =在R 上单调递增，∴当a b >时，33a b >．本题选择D 选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．3.函数()12f x x =-的定义域为（）A.[)0,2B.()2,∞+C.()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭ D.()(),22,-∞+∞ 【答案】C【解析】【分析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果.【详解】由21020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥12且x ≠2．∴函数()12f x x =+-的定义域为()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭．故选：C .【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，属简单题.4.设全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}10B x x =-≥，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{1x x ≤-或}3x ≥B.{1x x <-或}3x ≥C.{}1x x ≤ D.{}1x x ≤-【答案】D【解析】【分析】根据图可知，阴影表示A B 的补集，即可根据集合交并补的定义求解.【详解】由{}2230A x x x =--<可得=−1<<3，{}{}101B x x x x =-≥=≥，故∪=>−1，进而(){}1A B x x ⋃=≤-R ð.故选：D5.已知0x >，则12x x +-有（）A.最大值0B.最小值0C.最大值-2D.最小值-2【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】0x >，1220x x ∴+-≥-=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，即12x x+-有最小值为0.故选：B .6.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．7.若集合2{|60}A x x x =+-<，2{|0}3x B x x +=≤-，则A B ⋂等于A.(3,3)- B.(2,2)- C.[2,2)- D.[2,3)-【答案】C【解析】【分析】解不等式,可得集合A 与集合B,根据交集运算即可得解.【详解】集合2{|60}A x x x =+-<，2{|0}3x B x x +=≤-解不等式,可得{|32}A x x =-<<，{|23}B x x =-≤<所以[){|32}{|23}2,2A B x x x x =-<<⋂-≤<=- 所以选C【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题.8.已知p ：210x -≤≤，q ：110m x m m -≤≤+>（），若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A.03m <≤ B.03m ≤≤C.3m < D.3m ≤【答案】A【解析】【分析】将p 是q 的必要不充分条件转化为B A ，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.【详解】设{}210A x x =-≤≤，=1−≤≤1+，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以012110m m m >⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得03m <≤，当3m =时，=−2≤≤4，成立，所以03m <≤.故选：A.9.已知0,0x y >>，且141x y+=，则x y +的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】由题意得14()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式可求出其最小值.【详解】因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y=，即3,6x y ==时取等号，所以x y +的最小值为9，故选：D10.若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是()2,3-，则关于x 的不等式250bx ax c ++>的解集是（）A.()2,3 B.()(),23,-∞⋃+∞C.()1,6- D.()(),16,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】【分析】由题意可得0a <，且方程20ax bx c ++=的根为2,3-，利用韦达定理求出,b c ，再根据一元二次不等式的解法即可得解.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是()2,3-，所以0a <，且方程20ax bx c ++=的根为2,3-，故23,23b c a a-+=--⨯=，则0b a =->，60c a =->，故不等式250bx ax c ++>等价于2560ax ax a -+->，即2560x x -+>，解得2x <或3x >，所以关于x 的不等式250bx ax c ++>的解集是()(),23,-∞⋃+∞.故选：B.11.若“x ∃∈R ，使得不等式23208kx kx ++≤成立”是假命题，则实数k 的取值范围为（）A.0k ≤<3B.03k <<C.30k -<≤D.30k -<<【答案】A【解析】【分析】由“x ∃∈R ，使得不等式23208kx kx ++≤成立”是假命题，则其否命题为真命题，再根据不等式恒成立进行求解即可.【详解】由“x ∃∈R ，使得不等式23208kx kx ++≤成立”是假命题，则其否命题为真命题，即“x ∀∈R ，使得不等式23208kx kx ++>成立”是真命题，即x ∀∈R ，使得不等式23208kx kx ++>恒成立，当0k =时，308>恒成立，当0k ≠时，要使x ∀∈R ，不等式23208kx kx ++>恒成立，则>0Δ=2−4×2×38<0，解得03k <<，综上知0k ≤<3，故选：A 12.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转(1,2,3,4)i i =次，每次转动90︒，记(1,2,3,4)i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++.若1234++0x x x x +<，1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A.1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B.1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C.1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D.1234,,,T T T T 中至多有一个为负数【答案】A【解析】【详解】根据题意可知：（1234 1234+++++x x x x y y y y +）（）>0,又（1234 1234+++++x x x x y y y y +）（）去掉括号即得：22121314x y x y x y x y +++22222324+x y x y x y x y +++22333334+x y x y x y x y +++22444344+x y x y x y x y +++=1234T T T T +++>0,所以可知1234,,,T T T T 中至少有一个为正数，故选A点睛：借此题关键是要根据题意明白1234,,,T T T T 所表达的意思，然后容易发现（1234 1234+++++x x x x y y y y +）（）=1234T T T T +++>0从而得出结论二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上）13.命题“230x ,x x ∀∈-+>R ”的否定是___________【答案】2000,30x R x x ∃∈-+≤【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题.【详解】2x R,x x 30∀∈-+>否定是：2000x R,x x 30∃∈-+≤【点睛】全称命题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定.14.若函数,0()31,0x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，则15f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.【答案】25-##0.4-.【解析】【分析】本题考查了分段函数的函数值的求法，解题过程中要注意定义域，属于基础题.根据定义域首先求出1255f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后求25f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即为结果.【详解】∵函数,0()31,0x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，∴1255f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴122555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故填：25-.15.已知集合{}2,1A =-，{}2B x ax ==，若A B B = ，则实数a 值集合为______．【答案】{}0,1,2-【解析】【分析】由A B B = 得到B A ⊆，则{}2,1A =-的子集有∅，{}2-，{}1，{}2,1-，分别求解即可.【详解】因为A B B = ，故B A ⊆；则{}2,1A =-的子集有∅，{}2-，{}1，{}2,1-，当B =∅时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=⇒=-；当{}1B =，122a a ⋅=⇒=；当{}2,1B =-，a 不存在，所以实数a 的集合为{}0,1,2-；故答案为{}0,1,2-．16.若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．【答案】3+【解析】【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：x 1> ，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++--33≥+=，（当且仅当13x =+取等号）故答案为3+．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．17.一般地，把b a -称为区间(),a b 的“长度”已知关于x 的不等式220x kx k -+<有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k 的取值范围为___________．【答案】[)(]1,08,9- 【解析】【分析】不等式220x kx k -+<有实数解等价于220x kx k -+=有两个不相等的实数根，结合根的判别式，韦达定理进行求解.【详解】不等式220x kx k -+<有实数解等价于220x kx k -+=有两个不相等的实数根，则()280k k ∆=-->，解得：8k >或0k <设220x kx k -+=的两根为1x ，2x ，不妨令12x x <，则12x x k +=，122x x k=由题意得：213x x -==≤，解得：19k -≤≤，结合8k >或0k <，所以实数k 的取值范围为[)(]1,08,9- 故答案为：[)(]1,08,9- 18.设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ⋂≠∅，则12A A ⋂具有性质P ；③若12,A A 具有性质P ，则12A A ⋃具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则R A ð不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【解析】【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法判断④，元素0是关键.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈⋂，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈⋂⋂，所以12A A ⋂具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉⋃，故③错误；对于④，若A 具有性质P ，且A ≠R ，假设R A ð也具有性质P ，设0A ∈，在R A ð中任取一个,0x x ≠，此时可证得x A -∈，否则若R x A -∈ð，由于R A ð也具有性质P ，则()0R x x A +-=∈ð，与0A ∈矛盾，故x A -∈，由于A 具有性质P ，R A ð也具有性质P ，所以()22,R x A x A -∈∈ð，而()22x x -=，这与R A A ⋂=∅ð矛盾，故当0A ∈且A 具有性质P 时，则R A ð不具有性质P ，同理当0R A ∈ð时，也可以类似推出矛盾，故④正确.故答案为：①②④【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于难题.三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上）19.已知函数()2f x x ax b =-+的图象过点()1,0A 和()2,0B .（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()2f xg x x+=，当0x >时，求()g x 的最小值.【答案】（1）()232f x x x =-+（2）1【解析】【分析】（1）代入()1,0A 和()2,0B 即可求解；（2）由（1）得到()g x ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由题意可得：10420a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得：32a b =⎧⎨=⎩，所以函数()f x 的解析式为()232f x x x =-+.【小问2详解】由（1）可得()()243f x g x x x x+==+-因为0x >，所以4331x x +-≥=，当且仅当2x =时，取到等号，所以()g x 的最小值为1.20.已知函数()()224g x x kx k k =-+-∈R .（1）当5k =时，求不等式()0g x ≥的解集；（2）当2x >时，关于x 的不等式()9g x ≥-恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）(][),23,-∞⋃+∞（2）(],10-∞【解析】【分析】（1）把5k =代入()()224g x x kx k k =-+-∈R ，解不等式2560x x -+≥即可；（2）把恒成立的问题转化为分离参数求值的问题，再利用基本不等式求ℎ=>2的最小值即可.【小问1详解】当5k =时，()256g x x x =-+，则不等式()0g x ≥，即()()2560230x x x x -+≥⇔--≥，解得2x ≤，或3x ≥，因此当5k =时，不等式()0g x ≥的解集为(][),23,∞∞-⋃+.【小问2详解】当2x >时，关于x 的不等式()9g x ≥-恒成立，即当2x >时，关于x 的不等式()2249g x x kx k =-+-≥-恒成立，⇔在2x >时，252x k x +≤-恒成立，令ℎ=>2，令2,0t x t =->，则2x t =+，故ℎ=>2⇔=>0，又()22254994410t t t y t tt t ++++===++≥+=，当且仅当9t t=，即3t =时等号成立，故当3t =，即5x =时，()()min 510h x h ==，因此可得10k ≤，即当2x >时，关于x 的不等式()9g x ≥-恒成立，k 的取值范围为(],10∞-.21.已知p ：232x -≤，q ：()224400x x a a -+-≤>，q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】[)8,+∞【解析】【分析】分别求出条件p ，q ，由题意可得出[]2,10-⫋[]2,2a a -+，解不等式即可得出答案.【详解】由232x -≤可得：3232x -≤-≤，则210x -≤≤，由2−4+4−2≤0>0可得：()()220x a x a ⎡⎤⎡⎤---+≤⎣⎦⎣⎦，因为0a >，所以22a a +>-，解得：22a x a -≤≤+，因为q 是p 的必要不充分条件，所以[]2,10-⫋[]2,2a a -+，所以2−≤−22+≥10>0且不能同时取等，解得：8a ≥.所以实数a 的取值范围为：[)8,+∞22.已知关于x 的不等式()2330ax a x -++>的解集为A .（1）若3A ∉，求实数a 的取值范围；（2）当0a <时，集合A 中有且仅有两个整数，求实数a 的取值范围；（3）若集合{}112B x x x =或，满足A B =，求实数a 的值.【答案】（1）1a ≤（2）32a -3<≤-（3）14a =【解析】【分析】（1）因为3A ∉，所以将3x =代入不等式不成立；（2）当0a <时，二次函数2(3)3y ax a x =-++开口向下，要使集合A 中有且仅有两个整数，需要分析函数的零点和取值情况；（3）A B =意味着两个集合中的不等式等价.解集一样，构造方程即可.【小问1详解】因为3A ∉，所以当3x =时，2(3)30ax a x -++≤.将3x =代入得93(3)30a a -++≤，即93930a a --+≤，解得1a ≤.【小问2详解】由2(3)30ax a x -++>，因式分解得(3)(1)0ax x -->，因为0a <，所以31a <，不等式的解为31x a<<.因为集合A 中有且仅有两个整数，这两个整数只能是1-，0.所以321a -≤<-，当32a -≤时，23a -≥，解得32a ≤-；当31a <-时，3a >-，解得3a >-.所以32a -3<≤-.【小问3详解】因为{|1B x x =<或12}x >，A B =，由2(3)30ax a x -++>，因式分解得(3)(1)0ax x -->.因为A B =，所以方程2(3)30ax a x -++=的两个根为1和12.将12x =代入方程2(3)30ax a x -++=得14412(3)30a a -++=，144123630a a --+=，即132330a -=，13233a =，解得14a =.23.设k 是正整数，A 是*N 的非空子集（至少有两个元素），如果对于A 中的任意两个元素x ，y ，都有||x y k -≠，则称A 具有性质()P k ．（1）试判断集合{1,2,3,4}B =和{1,4,7,10}C =是否具有性质(2)P ？并说明理由．（2）若{}1212,,,{1,2,,20}A a a a =⋯⊆⋯．证明：A 不可能具有性质(3)P ．（3）若{1,2,,2023}A ⊆⋯且A 具有性质(4)P 和(7)P ．求A 中元素个数的最大值．【答案】（1）B 不具有性质(2)P ，C 具有性质(2)P ，理由见解析（2）证明见解析（3）920【解析】【分析】（1）根据定义判断,B C 是否具有性质()2P 即可；（2）将{}1,2,,20 分为11个子集，结合抽屉原理证明结论；（3）先证明连续11个自然数中至多有5个元素属于A ，由此可得集合A 中元素个数不超过920个，再举例说明存在含有920个元素的满足要求的集合A .【小问1详解】因为{}1,2,3,4B =，又1N ,2N ,3N ,4N ****∈∈∈∈，但422-=，所以集合B 不具有性质()2P ，因为{}1,4,7,10C =，又1N ,4N ,7N ,10N ****∈∈∈∈，但413,716,1019,743,1046,1073-=-=-=-=-=-=，所以集合C 具有性质()2P .【小问2详解】将集合{}1,2,,20 中的元素分为如下11个集合，{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,4,2,5,3,6,7,10,8,11,9,12,13,16,14,17,15,18,19,20，所以从集合{}1,2,,20 中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P .【小问3详解】先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1,2,3,11⋅⋅⋅为例.构造抽屉{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}，{5}，{6}，{7}.①5,6,7同时选，因为具有性质(4)P 和(7)P ，所以选5则不选1,9；选6则不选2,10；选7则不选3,11；则只剩4,8.故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5,6,7选2个，若只选5,6，则1,2,9,10,7不可选，又{4,11}只能选一个元素，3,8可以选，故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5,7，则只能从2,4,8,10中选，但4,8不能同时选，故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6,7，则2,3,10,11,5不可选，又{1,8}只能选一个元素，4,9可以选，故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5,6,7中只选1个，又四个集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}每个集合至多选1个元素，故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1,4,6,7,9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有1845920⨯=个.给出如下选取方法：从1,2,3,11⋅⋅⋅中选取1,4,6,7,9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A 的元素为：1,4,6,7,9；12,15,17,18,20；23,26,28,29,31；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；2014,2017,2019,2020,2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.。
北京市西城区2022-2023学年高一上册期末考试数学试卷(含答案)
北京市西城区2022-2023学年高一上册期末考试数学试卷（含答案）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|51}A x x =-<≤<，2{|9}B x x =≤9，则A B =（A ）[5,3]-（B ）(3,1]-（C ）[3,1)-（D ）[3,3]-（2）已知命题:p 1x ∃<，21x ≤，则p⌝为（A ）1x ∀≥,21x >（B ）1x ∃<,21x >（C ）1x ∀<,21x >（D ）1x ∃≥,21x >（3）如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（A ）CB（B ）AD（C ）BD （D ）CD （4）若a b >，则下列不等式一定成立的是（A ）11a b<（B ）22a b >（C ）e e a b--<（D ）ln ln a b>（5）不等式2112x x +-≤的解集为（A ）[3,2]-（B ）(,3]-∞-（C ）[3,2)-（D ）(,3](2,)-∞-+∞ （6）正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB AD +=uu u r uuu r（A ）1（B ）3（C （D （7）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C （单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位：km ）之间满足的关系为80022000C s s=++，则当C 最小时，的值为（A ）20（B ）（C ）40（D ）400（8）设2log 3a =，则122a +=（A ）8（B ）11（C ）12（D ）18（9）已知为单位向量，则“||||1+-=a b b ”是“存在0λ>，使得λb =a ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失.在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度（单位：米）是影响疏散的重要因素.在特定条件下，疏散的影响程度与能见度满足函数关系：0.20.1,1.4,0.110,110,b x k ax x x ⎧<⎪⎪=+⎨⎪⎪>⎩≤≤，，（,a b 是常数）.如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，的值是（参考数据：lg30.48≈）（A ）0.24-（B ）0.48-（C ）0.24（D ）0.48第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023届北京市西城区高一上数学期末监测试题含解析
由零点存在性定理知 ，即 ，解得
所以实数 的取值范围是
故选：B
6、A
【解析】由题意利用函数 的图象变换法则，即可得出结论
【详解】将函数 的图象向右平移 个的单位长度，可得 的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为 ，故选
当 时， ，符合要求；
当 时， ，符合要求，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2）若 是 的充分不必要条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3）若 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4）若 是 的既不充分又不必要条件，则 对应的集合与 对应集合互不包含
21、（1）
（2）
【解析】（1）函数 的图象关于原点对称，所以 为奇函数，有 ，代入即可得出 的值；
（2） 时， 恒成立转化为即 ，令 ，求 在 的最大值即可.
【小问1详解】
函数 的图象关于原点对称，则函数 为奇函数，有 ，
即 ，解得 ，当 时，不满足题意，所以 ；
A. B.
C. D.
6．将函数 的图象向右平移 个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
7．将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，则正数 的最小值是（）
A. B.
C. D.
8．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 （ 表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 至 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约（）年到5730年之间？（参考数据： ， ）
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北京市西城区高一年级数学必修1 模块测试题一、选择题1. 已知集合}2,1{},0,{==N a M ，有}1{=N M ，那么N M 等于（ ） A. }2,1,0,{aB. }2,1,0,1{C. }2,1,0{D. 不能确定2. 若43=a，则2log 3的值等于（ ） A. 2aB. aC.2a D.4a 3. 下列函数中，在区间)1,0(上为增函数的是（ ） A. 322+-=x x y B. xy )31(=C. 32x y =D. x y 21log =4. 为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ） A. 向左平移3个单位长度 B. 向右平移3个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度5. 用二分法求方程0523=--x x 在区间]3,2[上的实根，取区间中点5.20=x ，则下一个有根区间是（ ）A.]5.2,2[B. ]3,5.2[C. ]411,25[ D. 以上都不对6. 函数x x f 4log )(=与x x f 4)(=的图象（ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称D. 关于直线y ＝x 对称7. 已知A ，B 两地相距150km ，某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1h 后再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地行驶的路程x （km ）表示为时间t （h ）的函数表达式是（ ）A. t x 60=B. t t x 5060+=C. )5.3()5.20(,255060>≤≤⎩⎨⎧-=t t t txD. )5.65.3()5.35.2()5.20(,2550,150,60≤<≤<≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-=t t t t t x 8. 定义域为R 的奇函数)(x f 是减函数，当不等式0)()(2<+a f a f 成立时，实数a 的取值范围是（ ）A ．01>-<a a 或 B. 01<<-aC. 10><a a 或D. 11>-<a a 或二、填空题9. 函数x x y --+=1)1(0的定义域是 。
10. 25.0log 10log 255+＝ 。
11. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=)0(,)21()0(,)(21x x x x f x，若2)(=a f ，则实数a ＝ 。
12. 定义域为R 的函数)(x f 对于任意实数21,x x 满足)()()(2121x f x f x x f ⋅=+，则)(x f 的解析式可以是 。
（写出一个符合条件的函数即可） 13. 偶函数)(x f 在)0,(-∞内是减函数，试比较)2(f 与)3(-f 的大小关系 。
14. 已知集合}2log |{2≤=x x A ，),(a B -∞=，若B A ⊆则实数a 的取值范围是),(+∞c ，那么，其中c ＝ 。
三、解答题15. 已知全集R U =，集合}31|{<<-=x x A ，}023|{2>+-=x x x B 。
（1） 求B A ； （2） 求B A C U )(。
16. 已知函数x x x f 2)(2-=，设)1(1)(+⋅=x f xx g 。
（1） 求函数)(x g 的表达式及定义域。
（2） 判断函数)(x g 的奇偶性，并证明。
17. 已知函数xx x f 14)(+=。
（1） 求函数4)(-=x f y 的零点；（2） 证明函数)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21上为增函数。
18. 已知函数)34(log )(2)3(+-=+x x x f x 。
（1） 求)(x f 的定义域。
（2） 解不等式1)(<x f 。
19. 已知函数32)(2+-=ax x x f 在区间]1,0[上的最大值是)(a g ，最小值是)(a p 。
（1） 写出)(a g 和)(a p 的解析式。
（2） 当函数)(x f 的最大值为3、最小值为2时，求实数a 的取值范围。
【试题答案】一、选择题 1. C2. C3.C4.D5. A6. D7.D8.A提示：5. 令52)(3--=x x x f ，∴01)2(<-=f ，016)3(>=f ，0625.5)5.2(>=f ，故下一个有根区间是]5.2,2[。
8. 由0)()(2<+a f a f ，得)()(2a f a f -<，因为)(x f 为奇函数，所以)()(2a f a f -<，又因为)(x f 在R 上是减函数，所以a a ->2，解得1-<a 或0>a 。
二、填空题9. }11|{-≠≤x x x 且 10. 2 11. 4或－112. 答案不唯一，如x x f x f 2)(.0)(==等13. )3()2(-<f f 14. 4 提示：13. 因为)(x f 为偶函数，所以)2()2(f f =-，又因为函数)(x f 在)0,(-∞内是减函数，所以)2()3(->-f f 。
故)2()3(f f >-。
14. 4,2log 2≤∴≤x x ，故集合}4|{≤=x x A ，又),(a B -∞= ，且B A ⊆，4>∴a ，又a 的取值范围为),(+∞c ，4=∴c 。
三、解答题 15. 解：（1）由0232>+-x x ，得0)1)(2(>--x x ，解得2>x ，或1<x 。
}3211|{}1,2|{}31|{<<<<-=<><<-=x x x x x x x x B A 或或 。
（2）}3,1|{≥-≤=x x x A C U 或 ，}1,2|{}3,1|{)(<>≥-≤=∴x x x x x x B A C U 或或}1,2|{<>=x x x 或。
16.（1）解：由x x x f 2)(2-=，得1)1(2-=+x x f 。
所以xx x f x x g 1)1(1)(2-=+⋅=。
定义域为}0|{≠∈x R x x 且。
（2）结论：函数)(x g 为奇函数。
证明：)(1)()(2x g xx x g -=---=- ，∴函数)(x g 为奇函数。
17.（1）解：因为4144)(-+=-x x x f ，令04)(=-x f ，得0414=-+xx ， 即01442=+-x x ，解得21=x 。
所以函数4)(-=x f y 的零点是21。
（2）证明：设x 1，x 2是区间),21(+∞上的任意两个实数，且21x x >，则()21212122112141)(4)14(14)(x x x x x x x x x x x f x f --=+-+=-，由2121>>x x ，得4121>x x ，又由21x x >，得021>-x x ，所以041)(4212121>--x x x x x x ， 于是()21)(x f x f >，所以函数)(x f 在区间),21(+∞上为增函数。
18. 解：（1）根据对数定义，知⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>+-,13,03,0342x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧-≠-><>,2,3,13x x x x 或所以函数定义域为}3,213|{>-≠<<-x x x x 或且。
（2）不等式)3(log )34(log 1)34(log )3(2)3(2)3(+<+-⇔<+-+++x x x x x x x x⎪⎩⎪⎨⎧>+-+<+->+⇒,034334,1322x x x x x x 或⎩⎨⎧+>+-<+<,334,1302x x x x23-<<-⇒x ，或10<<x ，或53<<x所以不等式的解集为}53,10,23|{<<<<-<<-x x x x 或或。
19. 解：（1）223)()(a a x x f -+-=。
当21<a 时，a f x f a g 24)1()()(max -===； 当21≥a 时，3)0()()(max ===f x f a g ；所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=)21(,3),21(,24)(a a a a g当0<a 时，3)0()()(min ===f x f a p ；当10<≤a 时，2min 3)()(a x f a p -==；当1≥a 时，a f x f a p 24)1()()(min -===；所以⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<--=).1(),10(,),0(,2433)(2a a a a a a p （2）当121≤≤a 时，3)0()()(max ===f x f a g ，23)()(2min =-==a x f a p ， 解得1=a ；当1>a 时，3)0()()(max ===f x f a g ，224)()(min =-==a x f a p ，解得1=a （舍）。
当21<a 时，验证知不符合题意。
所以1=a 就是所求值。