甘肃省天水市第一中学2019届高三下学期最后一模考前练数学(文)试题 Word版含解析

天水市一中2019届高三考前练数学试题（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ＝{y ｜y ＝2x ，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －2x ）}，则M∩N 为（ ） A. （1，＋∞） B. （1，2）C. [2，＋∞）D. [1，＋∞）【答案】B 【解析】{}{}|2,0|1x M y y x y y ==>=>，{}{}22|lg(2)20N x y x x x x x ==-=- {}{}2|20|02x x x x x =-<=<<，∴(1,2)MN =．故选B ． 2.i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A. －15 B. －3C. 3D. 15【答案】B 【解析】17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ．3.已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A. −8 B. −6 C. 6 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥， ∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8． 故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A. 多1斤 B. 少1斤C. 多13斤 D. 少13斤 【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ，则123891043a a a a a a ++=++=，，由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ，故选C5.设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．【详解】因为m ，n 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=， 所以向量m ，n 共线且方向相反， 所以0m n ⋅<，即充分性成立；反之，当向量m ，n 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<，但此时m ，n 不共线且反向，所以必要性不成立．所以“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件．故选B．【点睛】判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．6.一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A. 26B. 4C. 23D. 22【答案】A【解析】【分析】作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且BC=，==，4AD AB2PA=，PA⊥平面ABCD，且2∴22CD=PD=+=22PB=+=222222222242026PC PA AC =+=+=，∴这个四棱锥中最长棱的长度是26． 故选A ．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．7.当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A.914B.514C.37D.928【答案】A 【解析】 【分析】根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x 的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次，输出的x 的范围是[]23247，， 所以输出的x 不小于103的概率为24710314492472322414-==-.故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ） A. ()()()f b f a f c >> B. ()()()f b f c f a >> C. ()()()f a f b f c >> D. ()()()f a f c f b >>【答案】A 【解析】因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1111253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+ 9.数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A.1021B. 2021C. 919D. 1819【答案】A【解析】分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可．详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n na a +-=， 又∵31a =5， ∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭，∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心；③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】C 【解析】分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式为()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，依次判断各选项的正确与否． 详解：因为5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以A=3，且254312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭由222T ππωπ=== 所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π⎛⎫-⎪⎝⎭带入得 6π=ϕ ，所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由此可得①错误，②正确，③当351212x ππ-≤≤时，0266x ππ≤+≤，所以与1y = 有6个交点，设各个交点坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1234567x x x x x x π+++++=，所以③正确 所以选C点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．11.12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，在双曲线的右支上存在一点P ，满足()220OP OF F P +=，12PF =，则双曲线的离心率为( )A.1B.1C.D.【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |判断出∠F 1PF 2＝90°，设出|PF 2|＝t ，则|F 1P |，进而利用双曲线定义可用t 表示出a ，根据勾股定理求得t 和c 的关系，最后可求得双曲线的离心率． 【详解】解：∵|OF 1|＝|OF 2|＝|OP | ∴∠F 1PF 2＝90°设出|PF 2|＝t ，则|F 1P |t, |F 1 F 2|＝2c=2t |F 1P |-|PF 2|=2a=)1t∴e ＝2 1.2c a ==故选A ．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用． 12.已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A. e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B. e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C. e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D. [)1,e -【答案】C 【解析】 分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵()21a f x x x +'== 2x ax+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11ea e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0上的点到直线x +y ﹣14＝0的最大距离是_____．【答案】【解析】 【分析】先写出圆的标准方程，得圆心和半径，由几何法即可求出圆上的点到直线的最大距离． 【详解】解：把圆的方程化为：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝18，∴圆心A 坐标为（2，2），半径r =，由几何知识知过A 与直线x +y ﹣14＝0垂直的直线与圆的交点到直线的距离最大或最小，∴最大距离d r ===故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题． 14.若π1sin 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 【答案】79- 【解析】 【分析】利用角632πππαα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的关系，建立函数值的关系求解． 【详解】已知π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππ1cos sin 363αα⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22ππ7cos 22cos 1339αα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值．15.若实数,x y 满足不等式组40,2380,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数3z x y =-的最大值为__________．【答案】12 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由402380x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得()4,0A目标函数3y x z =-，当3y x z =-过点()4,0时，z 有最大值，且最大值为12． 故答案为12．【点睛】本题考查线性规划简单应用，属于基础题．16.已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.【答案】1015π【解析】 【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23SBA ∠=, ∴sin 53SBA ∠=，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得2221R r OF =+，计算得，28110112020R =+= ，所以210145S R ππ==. 故答案为101.5π 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos cos B C b c +=（1）求b 的值；（2）若cos 2B B +=,求a c +的取值范围.【答案】（1）b =（2）2a c ⎛+∈ ⎝ 【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b 的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos ,cos B C 分别用边表示，再根据正弦定理可以将sin sin AC转化为a c ，于是可以求出b 的值；（2）首先根据sin 2B B +=求出角B 的值，根据第（1）问得到的b 值，可以运用正弦定理求出ABC ∆外接圆半径R ，于是可以将a c +转化为2sin 2sin R A R C +，又因为角B 的值已经得到，所以将2sin 2sin R A R C +转化为关于A 的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角B 的值后，应用余弦定理及重要不等式222a c ac +≥，求出a c +的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由cos cos 3sin B C Ab c C+=， 应用余弦定理，可得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=化简得2b =b =（2）cos 2B B +=1cos 12B B ∴+=即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ()0,B π∈ 62B ππ∴+=所以3B π=法一.21sin bR B==, 则sin sin a c A C +=+ =2sin sin 3A A π⎛⎫+-⎪⎝⎭=3sin 2A A +6A π⎛⎫+⎪⎝⎭又20,3A π<<2a c <+≤法二因为b =由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得()2334a c ac =+-， 又因为22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时“=”成立.所以()2334a c ac =+- ()()222324a c a c a c ++⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭a c ∴+≤又由三边关系定理可知a cb +>=综上2a c ⎛+∈ ⎝18.如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,,2AB CD AB =∕∕ ,3CD = ,M 为PC 上一点,且2PM MC =．(1)求证：BM ∕∕平面PAD ； (2)若2,3AD PD ==,3πBAD ∠=,求三棱锥P ADM -的体积． 【答案】（1）见解析（23【解析】试题分析：（1）法一：过M 作//MN CD 交PD 于点N ，连接AN ，由2PM MC =，推出23MN CD =，结合23AB CD =与//AB CD ，即可推出四边形ABMN 为平行四边形，即可证明结论；法二：过点M 作MN CD ⊥于点N ，N 为垂足，连接BN ，由题意，2PM MC =，则2DN NC =，即可推出四边形ABND 为平行四边形，再由PD ⊥平面ABCD ，可推出//PD MN ，即可得证平面//MBN 平面PAD ，从而得证结论；（2）过B 作AD 的垂线，垂足为E ，结合PD ⊥平面ABCD ，可推出BE ⊥平面PAD ，由//BM 平面PAD ，可得M 到平面PAD 的距离等于B 到平面PAD 的距离，即BE ，再根据2AB AD ==，3BAD π∠=，即可求出三棱锥P ADM -的体积.试题解析：（1）法一：过M 作//MN CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵2PM MC =∴23MN CD =. 又∵23AB CD =，且//AB CD ，∴//AB MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴//BM AN .又∵BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， ∴//BM 平面PAD .法二：过点M 作MN CD ⊥于点N ，N 为垂足，连接BN . 由题意，2PM MC =，则2DN NC =， 又∵3DC =，2DN = ∴//AB DN ，∴四边形ABND 为平行四边形 ∴//BN AD .∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ∴PD DC ⊥. 又MN DC ⊥ ∴//PD MN .又∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面,MBN BN MN N ⋂=； ∵AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AD PD D ⋂=； ∴平面//MBN 平面PAD . ∵BM ⊂平面MBN ∴//BM 平面PAD .（2）过B 作AD 的垂线，垂足为E .∵PD ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ∴PD BE ⊥.又∵AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AD PD D ⋂=； ∴BE ⊥平面PAD由（1）知，//BM 平面PAD ，所以M 到平面PAD 的距离等于B 到平面PAD 的距离，即BE . 在ABC ∆中，2AB AD ==，3BAD π∠=∴3BE =.13P ADM M PAD PAD V V S --∆==⨯ 13333BE ⋅=⨯⨯=.19.某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在170175cm 的男生人数有16人.（1）试问在抽取的学生中，男，女生各有多少人？（2）根据频率分布直方图，完成下列的22⨯列联表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与性别有关”？170cm ≥170cm <总计 男生身高 女生身高 总计（3）在上述100名学生中，从身高在175185cm 之间的男生和身高在170175cm 之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2人中恰好有一名女生的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++参考数据：【答案】（1）40,60；（2）列联表见解析，有99.9%的把握认为身高与性别有关；（3）815. 【解析】 【分析】（1）根据直方图求出男生的人数为40，再求女生的人数；（2）完成列联表，再利用独立性检验求出有99.9%的把握认为身高与性别有关；（3）利用古典概型的概率公式求出2人中恰好有一名女生的概率.【详解】（1）直方图中，因为身高在170175cm 的男生的频率为0.4， 设男生数为m ，则1160.4n =，得140n =. 由男生的人数为40，得女生的人数为1004060-=.（2）男生身高170cm ≥的人数(0.080.040.020.01)54030=+++⨯⨯=， 女生身高170cm ≥的人数0.025606⨯⨯=， 所以可得到下列列联表：22100(3054106)42253664406096K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯44.01010.828≈>， 所以能有99.9%的把握认为身高与性别有关；（3）在175185cm 之间的男生有12人，在170175cm 之间的女生人数有6人. 按分层抽样的方法抽出6人，则男生占4人，女生占2人. 设男生为1A ，2A ，3A ，4A ，女生为1B ，2B .从6人任选2名有：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，24(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，34(,)A A ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共15种可能，2人中恰好有一名女生：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B 共8种可能，故所求概率为815P =. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算，考查独立性检验解决实际问题，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为120y -=过椭圆C 的右焦点F ,过F 的直线m 交椭圆C 于,M N 两点(均异于左、右顶点). （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:4l x =,A 为椭圆C 的右顶点. 若直线AM 交l 于点P ，直线AN 交l 于点Q ，试判断()FP FQ MN +⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）定值为0.【解析】【分析】（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c ，再根据离心率得a b ，，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简()FP FQ MN +⋅，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果. 【详解】（10y -=过椭圆C 的右焦点F ,所以(1,0)1F c ∴=，因为离心率为12，所以2212,1243c x y a b a =∴==+=，（2）(2,0)A ，设直线:1m x ty ，1122(,)(,)M x y N x y则11112:(2)(4,)22y y AM y x P x x =-∴-- 22222:(2)(4,)22y y AN y x Q x x =-∴-- 因此1221211222()(33,)(,)22y y FP FQ MN x x y y x x +⋅=++⋅---- 12212112226()()()22y y x x y y x x =-+-+-- 121221212121212212242()()6()]()6]11()1y y ty y y y y y t y y t ty ty t y y t y y -+=-++=-+---++[[ 由221431xx y ty ，得22(34)690t y ty ++-=，所以12122269,3434t y y y y t t --+==++， 因此2221221222122122236122442()3434346496()11343434t t tty y y y t t t t t t t y y t y y t t t --+-++++===---+++++++ 即()0.FP FQ MN +⋅=【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 21.已知函数221()22xx f x e ae a x =--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增；（2）341,2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）对a 分三种情况0,0,0a a a =<>讨论求出函数()f x 的单调性；（2）对a 分三种情况0,0,0a a a =<>，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1）()()22'()22xx x x f x e ae a e a e a =--=+-， 当0a =时，2'()0xf x e=>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，'()0f x <，ln(2)x a <，'()0f x >，ln(2)x a >， ∴()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增； 当0a <时，'()0f x <，ln()x a <-，'()0f x >，ln()x a >-， ∴()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增. 综上：当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增； 当0a <时，()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增. （2）由（1）可知： 当0a =时，2()0xf x e=>，∴0a =成立.当0a >时，2ln(2)ln(2)2min 1()(ln(2))2ln(2)2a a f x f a e ae a a ==--22ln(2)0a a =-≥， ln(2)0a ≤，∴102a <≤.当0a <时，2ln()ln()2min 1()(ln())2ln()2a a f x f a e ae a a --=-=--- 2232ln()02a a a =--≥，3ln()4a -≤，∴34a e ≥-，即340e a -≤<. 综上341,2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.22.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为1x t y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin （θ+3π）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积.【答案】(1) 直线l＋y －4＝0. 曲线C 的直角坐标方程是圆：(x2＋(y －1)2＝4. (2)4【解析】【分析】（1）将直线l 参数方程中的t 消去，即可得直线l 的普通方程，对曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用222sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）求出点O 到直线的距离，再求出MN 的弦长，从而得出△MON 的面积．【详解】解：(1)由题意有(1)1(2)x t y ⎧=----⎪⎨=+---⎪⎩，()()12⨯+得，＋y ＝4，直线lx ＋y －4＝0.因为ρ＝4sin +3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以ρ＝2sin θ＋θ，两边同时乘以ρ得，ρ2＝2ρsin θ＋cos θ，因为222sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，所以x 2＋y 2＝2y ＋x ，即(x2＋(y －1)2＝4，∴曲线C 的直角坐标方程是圆：(x2＋(y －1)2＝4. (2)∵原点O 到直线l 的距离2d ==直线l过圆C 的圆心1)，∴|MN |＝2r ＝4，所以△MON 的面积S ＝12|MN |×d ＝4. 【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，解题的关键是正确使用222cos x y x y sin ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩这一转化公式，还考查了直线与圆的位置关系等知识.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2f x x =++x a -.（1）设1a =，求不等式()7f x ≤的解集；（2）已知1a >-，且()f x 的最小值等于3，求实数a 的值.【答案】(1) 82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2) 2a = 【解析】【分析】（1）把f （x ）去绝对值写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得解集，综合可得结论．（2）把f （x ）去绝对值写成分段函数，画出f （x ）的图像，找出()min f x ，利用条件求得a 的值．【详解】（1）1a =时，()121fx x x =++-.当1x <-时，()7f x ≤即为317x -+≤，解得21x -≤<-.当11x -≤≤时，37x -+≤ ，解得11x -≤≤.当1x >时，317x -≤ ，解得813x <≤. 综上，()7f x ≤的解集为82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）1a >-.()()321(1)21(1)321x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-<-⎪∴=-++-≤<⎨⎪-+≥⎩，由()y f x =的图象知，()()min 13f x f a a ==+=，2a ∴=.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。