首届数模优秀论文—华中科技大学2

多基雷达定位的分析　选做的题号：Ａ　编号　０４００３　组长：郑朝栋　组员：郑聪　组员：翟明春　多基雷达定位的分析1. 摘要在电子对抗领域中，对辐射源位置进行精确定位存在巨大意义。

本文针对题中四个问题展开全面分析，在给出结果的同时对精确定位目标提出数点积极有效的建议。

首先，在问题一中，我们通过立体几何相关理论分析得知，如果雷达站处于同一高度并且不在同一条直线上时，至少用三个雷达站就可以定位目标物。

其次，对于问题二，我们利用斜距离定位系统以及微积分、概率论中的相关知识对定位误差进行分析，得出了定位误差与测距误差和坐标误差的关系的模型。

具体而言，三个雷达定位时，定位误差的期望为0，方差与雷达的测距误差r σ和坐标误差s σ成线性关系。

接下来的问题三，我们根据第二问及第四问的分析结果，生成多基雷达测斜距定位算法。

在此基础上利用Matlab 在每组中对雷达进行随机组合，生成多个不在同一直线上的雷达系，求出多组目标坐标，然后用包括最小二乘法在内的多种方法对数据进行分析处理，可推算出目标的方位为()25289.046292.0924007.08−。

最后的第四问，我们针对测量误差以及雷达数目、位置等非测量误差对精度的影响展开分析，得到了诸如在一定条件下多个雷达一次测量是等价于多个雷达一次测量等具有重大意义的结论，并就这些结论对雷达分布、误差控制给出数条建议。

关键词：斜距离定位系统，精度分析，最小二乘法2. 问题重述在电子对抗领域，对辐射源位置信息侦察越精确，就越有助于对辐射源进行有效的战场情报信息获取和电子干扰，并为最终摧毁目标提供有力的保障。

在某地上空发现有一可疑的飞行物，需要对其进行精确定位。

常用的定位方法是基于多基雷达的测量方法。

每个雷达都可以测量自身的坐标(,,)i i i x y z 以及它到飞行物距离(1,)i r i n =L ，其中n 为雷达的总数。

通过一组雷达位置坐标和飞行物到各雷达的距离测量，我们可以确定目标的坐标(,,)s x y z 。

由于每个雷达在测量自身坐标和飞行物到各雷达的距离都存在测量误差，这给精确定位带来了困难。

如何选取合适的方法进行精确定位是目前对飞行物进行精确定位一个难点。

设距离误差服从正态分布(0,)r N σ，坐标误差服从正态分布(0,)s N σ。

在这个假定下完成以下工作。

一、至少需要几个雷达才能定位飞行物？ 二、在最少雷达的条件下，分析并比较距离误差(0,)r N σ和坐标误差(0,)s N σ对定位精度Q 影响。

三、在实际情况中，往往使用更多雷达进行精确定位，请设计一种定位算法。

对附件中三组雷达得到的测量数据，计算飞行物的坐标。

四、试给出控制雷达定位精度的建议。

3. 模型假设针对本问题，本文建立如下合理的假设： 1. 所有雷达都在同一海拔高度上。

2. 题中雷达所测的数据均是真实可靠的。

3. 飞行物可抽象为一个质点，即其外形并不会对测量结果产生影响。

4. 题中雷达所测的数据均是对针对在同一位置的飞行物。

4. 符号说明本文中将经常使用以下符号，故在此先行说明[ ]T x y z =x目标物实际位置的矢量 [ ]T i i i x y z =i x各雷达站的实际位置 [ ]T x y z δδδδ=x测得的目标的定位误差 [ ]T i i i i x y z δδδδ=x 各雷达自身坐标的误差 123[ ]T r r r δδδδ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅r各雷达的测距误差5. 模型的建立与求解问题一5.1.1 问题的分析与模型建立：需要讨论的是至少需要几个雷达才能进行定位。

在此我们采用立体几何中的相关方法，讨论定位所需的雷达数目。

题中所用雷达采用的是测斜距的方法，由于飞行物在海拔高度0以上，雷达i 只能确定飞行物在一个以()i i i x y z 为球心，i r 为半径的半球面上。

所以，要找出飞行物的位置即是要找出至少需要几个相应的半球面相交于一点。

5.1.2 模型求解：因为一个雷达只能确定飞行物在半球面上，所以一个雷达是不可能确定飞行物的位置的。

而两个雷达所确定是一个半圆，只能确定飞行物应在半圆上，所以两个雷达也不可能确定飞行物的位置。

在有三个雷达的情况下，将此半圆与第三个半球面相交得到一个点，此点即为飞行物的位置。

所以，定位飞行物至少需要三个雷达站。

5.1.3 结果分析与讨论：三个雷达站是定位飞行物所需的最少雷达数量。

但值得注意的是，不是任意三个雷达站都能够定位一个飞行物的，这与雷达站的分布和测距误差有关。

当三个雷达站不在一条直线上而且定位误差为0时，是能够定位飞行物的准确位置的。

而当三个雷达站在一条直线上时，如下图5-1所示，易知蓝色半圆弧上的任意一点都满足条件22212[()()()] 1,2,3i i i i r x x y y z z i =−+−+−=，此时我们并没有办法确定目标的准确位置。

图 1另一个方面，当三个雷达站的测距误差或坐标误差很大时，我们也无法确定目标的实际位置。

一种情况是三个测量站得到的三个半球完全没有交点，导致无法得到目标的位置，如下图5-2所示。

另一种情况是测量站一与测量站二的测距误差大到导致两半球面无法相交，从而使测量站三得出的半球面分别与测量站一和测量站二得到的两个半球面交出一个或多个半圆，而得出无穷多组解来，如下图5-3所示。

图 2图 3问题二5.2.1 问题的分析与模型建立：在使用最少雷达（也即三部雷达）的条件下，为了分析并比较距离误差(0,)t N σ和坐标误差(0,)r N σ对定位精度Q 的影响，我们必须首先找到距离误差和坐标误差与最终的定位误差δx 之间的关系。

为此，在假设由每组测量数据可以得到目标的一个存在误差的方位的前提下，我们首先进行以下推倒：易知各测量站测得的目标距离22212[()()()] 1,2,3i i i i r x x y y z z i =−+−+−=（式2.1）而且可设(,)(,,,,,) 1,2,3i i i i i i r f f x y z x y z i ===i x x （式2.2）对式2.1进行全微分可得1,2,3i i i i i i i i i i i i if f f f f fr x y z x y z i x y z x y z δδδδδδδ∂∂∂∂∂∂=+++++=∂∂∂∂∂∂ （式2.3） 求偏导数可得123 1,2,3 1,2,3 1,2,3i i ii i i i i ii i i i i ii i if f x x c i x x r f f y y c i y y r f f z z c i z z r ∂∂−=−===∂∂∂∂−=−===∂∂∂∂−=−===∂∂ （式2.4）因此有s C δδδ=−r x x （式2.5）式中111111213222212223313233333f f f xy z c c c f f f C c c c x yz c c c f f f xy z ∂∂∂ ∂∂∂∂∂∂ == ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ （式2.6） 而111111121131212222232222313323333333i i i i i i s i i if f f x y z x y z c x c y c z ff f c x c y c z x y z x y z c x c y c z f f f x y z x y z δδδδδδδδδδδδδδδδ∂∂∂++ ∂∂∂++ ∂∂∂ =++=++ ∂∂∂ ++ ∂∂∂++∂∂∂x （式2.7）将式2.5移项后有s C δδδ=+x r x （式2.8）可解得1[]s C δδδ−=+x r x （式2.9）其中1231123123a a a C b b b c c c − =（式2.10） 将式2.4与式2.7带入式2.9以后可得11111111122222222333333331[()()()]1[()()()]1[()()()]x x x y y y z z z r x r y C r x x x y y y z z z r z r x x x y y y z z z r δδδδδδδδδδδδδδδ−−+−+−=+−+−+− −+−+− （式2.11）故可得{}{}{}313131[()()()][()()()][()()()]ii i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia x r r x x x y y y z z z r by r r x x x y y y z z z r c z r r x x x y y y z z z r δδδδδδδδδδδδδδδ====+−+−+−=+−+−+−=+−+−+−∑∑∑g （式2.12） 至此，距离误差和坐标误差与最终的定位误差δx 之间的关系已经被找到，模型建立完毕。

5.2.2 模型求解与分析：首先从数学期望的角度进行分析。

由于式2.12中的i i a r 、i i b r 、iic r (1,2,3)i =在飞行物与雷达站的实际位置确定后即为常数，故误差的影响只体现在[()()()]i i i i i i i i r r x x x y y y z z z δδδδ+−+−+−这一部分上。

然而由于距离误差和坐标误差均服从均值为0的正态分布，故[[()()()]]0i i i i i i i i E r r x x x y y y z z z δδδδ+−+−+−=也即[][][]0E x E y E z δδδ=== （式2.13）因此，从误差对准确结果的测得的平均影响程度来说，距离误差和坐标误差两者对结果的影响程度是一样的，而且均为0，即没有影响。

换句话说，三个雷达站中的每一个对处在同一位置的物体以及自身的坐标进行足够多次的测量以后，其自身坐标与测得的飞行物的距离已十分接近准确值。

再用这三组准确值代入式2.1进行计算，所得的目标物的位置[ ]T x y z =x 也即为准确值。

事实上，由于距离误差和坐标误差均服从均值为0的正态分布，每一次测量的距离误差落在[]3,3r r σσ−的概率可以达到99.7%，而落在[]2,2r r σσ−的概率也可达到95.4%[1]，而且坐标误差也有类似的规律。

因此，只要r σ与s σ足够小，我们并不需要测量很多次就可使结果的均值的误差相当的小。

但在实际当中，由于所测物体是在不断移动的，这就造成单个雷达对处在同一位置的物体进行多次测量是完全不现实，甚至是不可能的。

因此，对单个雷达从期望的角度对其测量误差进行考量并没有很大意义。

下面，我们继续从方差的角度进行考虑。

由于x y z δδδ、、的表达形式具有相似性，在此仅以x δ为例进行考察。