反常积分判敛法
反常积分的敛散性判定方法
XX财经大学本科学年堆文反常积分敛散牲的判定方法作者陈志强学院统廿与数学学院专世数学与应用数学年级2012级学号122094102 指导教师魏运导师职称蟄授最终成绩摘要 (1)关鍵词 (1)弓I 言一、预备知识......1•无穷限反常枳分2.暇枳分3•反常枳分的性质二、反常积分的收敛判别法1无穷枳分的收敛判别⑴•定义判别法(2)•比较判别法⑶嗣西圳别法⑷阿贝尔判别法.⑸•放利克雷判别法2瑕枳分的收敛判别⑴•定义列别法(2)•定理判别法(3)・比较判别法⑷•柯西判别法• ••••••...4卑屿01参考文献......在很多实际间题中，要突破枳分区同的有穷11和被枳函数的有界性，由此得到了定枳分的两种形式的推广：无穷限反常枳分和瑕枳分。
我们将这两种枳分貌称为反常枳分。
因为反常枳分涉及到一个收敛问题，所以反常枳分的敛散性判定就显得非常重要了。
本文将对反常枳分的敛散性判定进行I月纳总结，并给出了相关定理的込明，举例说明其应用，这样将有MTKffl灵活的运用各种等价定理利Bi反常枳分的敛散性。
关键词：反常枳分陨枳分极限敛散性引言近些年以来，一些数学工作者对反常枳分敛散性的判别方法做了研究并取得了许名重要的进展。
如华东IMX大学数学系编，数学分析（上IB ）,对反常枳分枳分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。
华中科枝大学出版的数学分折理论方法与技H,也对反常枳分敛散性判别做了库细的讲解，连用图形的方法说明其直义。
引申岀反常枳分敛散II的等价定义，并通ii例题说明其应用。
众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，逆对我现所研究的论文题目提fftTt量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文冷对其8H亍归纳总给,举例说明其应用。
一、预备知识1.无穷限反常秋分定义1.1设函数于（X ）在［a, +00）有定义，若/（X）在［a, A］上可枳（A>a ）rA 『8目当A-+OO时，［im［fZx存在，称反常枳分［fZx收敛，否则4—>oo Ja J a称反常枳分£/U^^£/（A>/X发散。
§6.2反常积分判敛法1
1 x 1 x2
1 1 ， p 2, l 1, 1 1 x2
3
（2） x 2 dx
1 1 x 2 3
解：∵ lim x x 2 lim x2 x ， p 1, l ,
x 1 x 2 x 1 x 2
3
∴ x 2 dx 发散。
1 1 x 2
（3） x arctan xdx
0 (1 x 2 )(1k 2 x 2 )
解：x1 是瑕点。
1
∵ lim (1 x) 2
1
x1
(1 x2 )(1k 2 x2 )
lim
1
1 , (q 1, l
x1 (1 x)(1k 2x2 ) 2(1k 2 )
2
1) 2(1k 2 )
∴ 1
dx
收敛。
0 (1 x2 )(1k 2 x2 )
（2）
定理 4（比较判别法）
设 f (x),g(x)C[a, b) ， x b 为无穷型间断点，
且 x[a,b) 时，0 f (x) g(x) ，
则（1）当
b
ag
(x)dx
收敛时，
b a
f
(x)dx
也收敛；
b
b
（2）当 a f (x)dx 发散时，a g(x)dx 也发散。
定理 5（极限判别法）
设 f (x)C[a, b) ， f (x) 0 ，x b 为无穷型间断点，
0
当 x 为正整数n 时，有
(n1)n(n)n(n1)(n1) n(n1)(n2)21(1)n!(1)
而(1) etdt 1 ，故 (n1) n !。 0
3． 函数的定义域的扩充
当 1 x 0 ，即x1 0 时，(x1) 有定义， 从而定义(x) (x1) ，1 x 0 ，
55反常积分审敛法
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t a
f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数,
因此
《高 等 数 学》
t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(x)
M xp
p 1,
*第五节
《高 等 数 学》 第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
《高 等 数 学》
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分
a
f
(x) d x收敛 .
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在,
即反常积分
a
f (x) d x收敛 .
《高 等 数 学》
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C [a , ), 且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x), 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性,
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理7. (极限审敛法2)
5.5 反常积分的审敛法 Γ函数
0
e− d = 1.
0
Γ( + 1) = Γ() = ( − 1)Γ( − 1)
= ⋯ = ! Γ(1) = !.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
定积分
第五章
(2) 当 → 0+ 时, Γ() → +∞.
证
Γ( + 1)
∵ Γ() =
, Γ(1) = 1
且可证明Γ()在 > 0连续,
+∞
+1
0≤()≤ , 于是 න d收敛;
（2）当 ≤1时, 可取 > 0, 使 − = > 0, ( = +∞时, ∀ > 0)
当充分大时, 由①式或②式都可得
+∞
() > , 于是 න d发散.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
+∞
因 e− sin ≤e− , 而 න
+∞
න
e− d 收敛, 根据比较审敛原理知
0
e− sin d 收敛, 故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛) .
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五章
定积分
二、无界函数的反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如
不失一般性, 设 ∈ [, +∞)时, 0≤ ≤g ().
+∞
(1)若 න
g ()d收敛, 则对 > 有
න ()d ≤ න g ()d ≤ න
反常积分的审敛法
反常积分的审敛法反常积分是数学中的一个重要概念，它在计算学科中有着广泛的应用。
本文将介绍反常积分的审敛法，包括其定义、性质以及常用的审敛法。
一、反常积分的定义反常积分是对于某些函数在某个区间上积分不存在或者无穷大的情况下的一种积分方法。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的反常积分定义如下：∫[a, b] f(x)dx = lim┬(n→∞)〖∫[a, b] f(x)dx〗其中，lim表示极限，n表示一个趋向于无穷大的数列。
二、反常积分的性质1. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)，以及常数k，有如下性质：∫[a, b] (f(x)+g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx ∫[a, b] k·f(x)dx = k·∫[a, b] f(x)dx2. 区间可加性：对于函数f(x)，在区间[a, b]和[b, c]上的反常积分分别存在，则有：∫[a, c] f(x)dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx3. 非负性：对于函数f(x)，如果在区间[a, b]上f(x)≥0，则有：∫[a, b] f(x)dx ≥ 0反常积分的审敛法是判断反常积分是否收敛的一种方法。
常用的审敛法有以下几种：1. 比较审敛法：对于函数f(x)和g(x)，如果在某个区间[a, b]上f(x)≤g(x)，且∫[a, b] g(x)dx收敛，则有∫[a, b] f(x)dx也收敛；反之，如果∫[a, b] f(x)dx发散，则有∫[a, b] g(x)dx也发散。
2. 极限审敛法：对于函数f(x)，如果存在极限lim┬(x→a)(x-a)·f(x)=L，则有∫[a, b] f(x)dx收敛，其中a为积分区间的一个端点，b为另一个端点。
3. 部分和审敛法：对于函数f(x)，如果存在数列{S_n}，使得lim┬(n→∞)S_n=L，则有∫[a, b] f(x)dx收敛，其中S_n表示函数f(x)在区间[a, b]上的部分和。
反常积分判敛的方法
反常积分判敛的方法在数学中，积分是一种非常重要的概念，而对于一些特殊的积分，我们需要进行判敛来确定其是否收敛。
在处理反常积分时，有一些特殊的方法可以帮助我们进行判敛，本文将介绍一些常用的反常积分判敛方法。
一、无穷积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$的无穷积分，我们可以通过比较判别法来确定其是否收敛。
比较判别法主要包括以下几种情况： 1. 若存在常数$M>0$和$a$，使得对充分大的$x$有$|f(x)|\leqM\cdot g(x)$，其中$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$收敛，则$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也收敛。
2. 若存在常数$a$，使得对充分大的$x$有$0\leq f(x)\leqg(x)$，其中$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$发散，则$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也发散。
通过比较判别法，我们可以对无穷积分的收敛性进行初步的判断。
二、无界函数积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的积分，如果被积函数在区间$(a,b)$上无界，我们可以通过以下方法进行判敛：1. 若在$(a,b)$上，$f(x)$有无穷间断点，我们可以将积分区间分割成多个小区间，分别处理每个小区间上的积分。
2. 若在$(a,b)$上，$f(x)$有无穷间断点，我们可以通过换元积分的方法将无界函数转化为有界函数，然后再进行积分计算。
通过以上方法，我们可以处理一些在有界区间上无界的函数积分，从而判断其收敛性。
三、奇异点附近积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的积分，在奇异点附近积分时，我们可以通过留数定理来判断其收敛性。
留数定理是一种处理奇异点的有效方法，可以帮助我们求解一些复杂的积分。
在处理奇异点附近积分时，我们需要注意以下几点：1. 确定奇异点的类型，包括可去奇点、极点和本性奇点。
反常积分比较审敛法的极限形式
反常积分比较审敛法的极限形式反常积分比较审敛法的极限形式，这个话题一听就有点深奥，但咱们可以把它变得轻松些。
想象一下，你在一条河边钓鱼，水流得飞快，鱼也在水中自由自在地游来游去。
你得想办法才能捕到那些鱼儿。
这就像我们在数学中面对积分问题，尤其是那些反常积分，它们有时候就像那条难抓的鱼，藏得很深。
说到反常积分，嘿，那可不是普通的积分，简单来说就是积分的上下限可能是无穷大，或者被积函数在某些点上不太好处理。
别担心，咱们可以用比较审敛法来帮忙，听起来很复杂，但其实就像在菜市场挑菜一样。
你得有个标准，看看这些菜是不是新鲜。
反常积分也一样，咱们需要找一个好朋友来比较一下，看看它们的行为是否靠谱。
比较审敛法是怎么回事呢？想象你有两条鱼，一条是鲤鱼，另一条是金鱼。
你想知道鲤鱼的体重，如果金鱼比你想象的重，那么鲤鱼也可能重。
简单吧？在数学里，如果一个反常积分比另一个已知收敛的积分小，那么我们就可以大胆地推测，这个反常积分也是收敛的，哈哈，这就是比较审敛法的精髓了。
说到极限形式，那就更有趣了。
当我们讨论极限的时候，就像是看到了一种可能性。
反常积分的极限形式让我们看到了积分的深层性质。
这就像是透过水面，看到水下的世界。
虽然水面平静，但水下却可能暗流涌动。
极限形式帮助我们更清楚地理解这些暗流，让我们能在复杂的数学中找到一条明路。
数学和生活是有很多相似之处的。
我们总是在追求某种“极限”，无论是工作、学习，还是生活中的点滴。
每个人都在努力，拼尽全力去实现自己的目标。
说到这里，有个成语“事半功倍”，正好适用在这里。
反常积分的比较审敛法，就像是找到了一条捷径，让我们在处理积分的时候，少走了不少弯路。
不能忽视的还有一些小细节。
就像我们在挑选新鲜的鱼时，得仔细看看鱼的颜色和气味，积分中也有一些需要我们留意的地方。
积分的某些部分可能会让你感到意外，像是个潜伏的危险。
对此，我们必须得有一定的判断能力，才能确保我们的结论是准确的。
这也是为什么我们需要通过反常积分比较审敛法来确保我们的选择是明智的。
§6.2反常积分判敛法
f ( x)dx 发散时， ∫
证明： 证明 （1）设 ∫
+∞ a
g ( x)dx 收敛于 A ，∵ 0 ≤ f ( x) ≤ g ( x) ，
b b +∞ a
∴ ∀b ≥ a ，有 I (b) = ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx ≤ ∫
a a
g ( x)dx = A ,
∵ I ′(b) = f (b) ≥ 0 ，
1
e
−( x −1)2
−
dx
1 令 t = ( x −1) 2 ，则 x =1+ t 2
I = e∫
+∞ 0
e = ∫ 2
1 −1 + ∞ −t e ⋅ t 2 dt 0
1 e ⋅ t 2
−t
−
1 2 dt
1 ， dx = t 2
1 2 dt ，
e 1 e = Γ( ) = π. 2 2 2
1 Γ( ) = π 2
（1）当 q < 1 ， 0 ≤ l < +∞ 时， ∫ f ( x)dx 收敛； （2）当 q ≥ 1 ， 0 < l ≤ +∞ 时， ∫ f ( x)dx 发散。
a a b
b
若 x = a 为无穷型间断点，相应的极限式为
x→a
lim ( x − a) f ( x) = l 。
+
q
例 4．判别下列反常积分的敛散性： （1） ∫
当反常积分的被积函数在所讨论的区间上可取正值 也可取负值时，可引入绝对收敛的概念.
1 sin 1 x dx （3） ∫ 0 x
1 sin x ≤ 1 ，而 1 1 dx （ q = 1 的 q 积分 ）收敛， 解：∵ ∫0 x 2 x x
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f ( x )dx发散。源自界函数的反常积分判敛法比较判别法
设f ( x ), g( x )在[a, b)上连续,
x b
x b
lim f ( x ) ,
lim g ( x ) (b为f , g的无穷型间断点），
且x [a, b)时， f ( x ) g( x ), 则 0
反常积分判敛法 无穷区间反常积分判敛法 比较判别法
设f ( x ), g( x )在[a,)上连续,
0 f ( x ) g( x ) ( x [a, ))
则 (1) 当
a
g( x )dx收敛时 ,
a
f ( x )dx也收敛； g( x )dx也发散。
( 2) 当
a
则(1) p 1,0 l 时,
(2) p 1,0 l 时,
a
f ( x )dx收敛;
f ( x )dx发散。
注：若a为无穷型间断点，结论类似成立，
但极限判别法中的极限式应改为
x a
lim ( x a ) f ( x ) l
p
例1 讨论下列反常积分的敛散性
则 (1) 当
a
g( x )dx收敛时 ,
a
f ( x )dx也收敛； g( x )dx也发散。
( 2) 当
a
f ( x )dx发散时 ,
a
极限判别法
设f ( x )在[a, b)上非负连续，为f的无穷型间断点 b ,且
xb
lim (b x ) p f ( x ) l , 则
a
f ( x )dx发散时 ,
a
极限判别法
设f ( x )在[a,)上连续 f ( x ) 0, ,
若 lim x f ( x ) l ,
p x
则(1) p 1,0 l 时,
(2) p 1,0 l 时,
a
a
f ( x )dx收敛;
1
dx 1 x sinx
x2
2
x2 x5 1
dx
1
( x 1)e
3
dx
1
x arctanx dx 3 1 x
1 0
0
x4 1 x
4
dx
1 0
ln x (1 x )
3 2
dx x
cos x dx 2 1 x