基于马尔可夫决策法的企业市场占有率预测

基于马尔可夫决策法的企业市场占有率预测
内容摘要：马尔可夫决策法是一种对随机过程未来状况进行预测的有效方法。

本文简要介绍了马尔可夫过程和马尔可夫链，并举例说明了如何利用马尔可夫决策法对企业市场占有率进行预测。

关键词：马尔可夫决策法市场占有率转移概率矩阵
马尔可夫决策法概述
马尔可夫决策法是指决策者根据每个时刻观察到的状态，从可用的行动集合中选用一个行动作出决策，系统未来的状态是随机的，并且其状态转移概率具有马尔可夫性。

决策者根据新观察到的状态，再作出新的决策，依此反复地进行。

马尔可夫性是指一个随机过程未来发展的概率规律仅仅取决于前一时刻的状态，而与观察之前的历史无关的性质。

也就是说：过程在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t>t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。

马尔可夫决策法起源于俄国数学家安德烈·马尔可夫对成链的试验序列的研究。

1907年马尔可夫发现某些随机事件的第n次试验结果常决定于它的前一次（n-1次）试验结果，马尔可夫假定各次转移过程中的转移概率无后效性，用以对物理学中的布朗运动作出数学描述，此后又由一些数学家经过不断的研究后建立了马尔可夫过程的一般理论，并把时间序列转移概率的链式称为马尔可夫链。

如果用分布函数来表述马尔可夫性，假设随机过程{X(t),t∈T}的状态空间为，若对时间t的任意n个数值t1<t2<… <tn(n≥3,ti∈,i=1,2,…,n)，在条件X(ti)=xi(xi ∈,i=1,2,…,n-1)下，X(tn)的条件分布函数等于在条件X(tn-1)=xn-1下X(tn)的条件分布函数，即：p{X(tn)≤xnIX(t1)=x1,X(t2)=x2,…,X(tn-1)=xn-1}=p{X(tn)≤xnIX(tn-1)=xn-1}(xn∈R)
则称随机过程{X(t),t∈T}具有马尔可夫性，并称此随机过程为马尔可夫过程。

对于时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链，记为{Xn=X(n),n=0,1,2,…}这个可以看作是在时间集T=(0,1,2,…)上对离散状态的马尔可夫过程相继观察的结果。

马尔可夫链的转移变化分析，主要就是分析链内有限次马尔可夫过程的状态及相互关系，进而预测系统或过程的未来状况。

以马尔可夫决策法预测企业市场占有率实例分析
在企业的生产、销售、投资和技术创新等决策过程中，常常会遇到事情未来的发展和趋势只受目前现状的影响，而与企业过去的状态无关，也就是说事情的发展具有马尔可夫性。

企业要想在激烈的市场竞争中谋求生存和快速发展，就必须密切关注同行业竞争对手的实力和顾客的转移变化情况，同时要对未来的市场占有率进行尽可能准确的预测，以更好的为企业生产、销售和技术创新等决策提供有用的管理信息。

由于企业市场占有率的变化是一个随机过程，而且企业市场占有率的变化只与现在的企业产品状态有关而与过去无关，因此，这一变化具有随机性和无后效性两个特征，也即具有马尔可夫性。

利用马尔可夫决策法进行市场占有率预测是基于企业本期市场占有率仅仅取决于企业上期市场占有率和转移概率，而与企业历史的市场占有率无关。

本文将以实例详细说明利用马尔可夫决策法进行市场占有率预测的完整过程。

假设甲乙丙丁四家企业生产同样的产品，甲企业计划2011年进行技术创新，投入2000万元研究开发新技术以提高产品的竞争力。

2009年这四家企业市场销售额相差不多，基本上各占1/4。

甲企业有关市场调查人员统计出来的数据显示：2010年，甲企业有20%的顾客流失，其中5%的顾客转向购买乙企业产品，10%的顾客转向购买丙企业产品，5%的顾客转向购买丁企业产品；乙企业有30%的顾客流失，其中10%的顾客转向购买甲企业产品，10%的顾客转向购买丙企业产品，10%的顾客转向购买丁企业产品；丙企业有25%的顾客流失，其中12%的顾客转向购买甲企业产品，5%的顾客转向购买乙企业产品，8%的顾客转向购买丁企业产品；丁企业有15%的顾客流失，其中5%的顾客转向购买甲企业产品，5%的顾客转向购买乙企业产品，5%的顾客转向购买丙企业产品。

那么根据四家企业顾客的变化情况，甲企业该如何决策？
解：根据题目资料可以做出四家企业市场占有率初始矩阵：
编制2010年四家企业顾客转移概率表（见表1）。

将上述四家企业顾客转移情况用转移矩阵T表示：
T=
则2010年底四家企业市场占有率分布矩阵为：
V1=V0·T=
=
由此可知，甲企业的市场占有率比上年有所上升，乙企业的市场占有率比去
年有所下降，丙企业的市场占有率同上年持平，丁企业的市场占有率比上年也有所上升并且上升幅度略大于甲企业。

如果2011年整个市场保持不变，并且顾客流动性继续按照转移矩阵T发展下去，那么到2011年底四家企业市场占有率分布矩阵为：
V2=V0T2=V1T=
=
由此可以看出，到2011年底，甲企业的市场占有率比上年又有所上升，乙企业的市场占有率比上年又大幅下降，丙企业的市场占有率比上年略有下降，丁企业的市场占有率比上年又有所上升并且上升幅度略大于甲企业。

那么从长期来看，因为存在：
V3=V0T3=V2T
V4=V0T4=V3T
……
Vn=V0Tn=Vn-1T
根据马尔可夫决策法，只要存在四家企业顾客变化情况的转移矩阵T不变化，则长期的四家企业市场占有率的预测结果趋于稳定。

于是，当n→∞时，Vn→V=(m,n,q)，则由Vn=V0Tn=Vn-1T可得：
(m,n,q,t)=(m,n,q,t)
也即：
解此方程式可得：
也即
那么从长期来看，甲企业的市场占有率将从2009年的1/4上升到296/1001，乙企业的市场占有率将从2009年的1/4下降到143/1001，丙企业的市场占有率将从2009年的1/4下降到240/1001，丁企业的市场占有率将从2009年的1/4上升到322/1001。

因此对于甲企业来说，可以进行技术创新，投入大批经费研究开发新技术以提高产品的竞争力。

综上所述，利用马尔可夫决策法可以对企业未来市场占有率发展趋势进行预测，给企业决策提供有用信息。

当然马尔可夫决策法只是一种概率预测方法，得到的预测结果仅仅表示企业未来市场占有率处于某一水平的概率，而绝非市场占
有率一定处于某一水平。

市场占有率的变化还要受到很多因素的影响，马尔可夫决策法并不能准确的预测出企业未来的市场占有率变化情况。

当然对于企业来说要提高市场占有率就要想法设法留住原有顾客，还要尽量争取新顾客。

企业不仅可以进行技术创新，开发新产品，还可以通过做广告、提供个性化服务、开展各种促销活动和调整经营策略等各种方式来保持和扩大市场占有率。

参考文献：
1.贾俊平，何晓群，金勇进.统计学.中国人民大学出版社，2010
2.魏宗舒等.概率论与数理统计教程.高等教育出版社，1983
3.盛骤等.概率论与数理统计.高等教育出版社，2008。