第五章马尔科夫预测法

合集下载

第五章 连续时间马尔可夫链

第五章  连续时间马尔可夫链
随机过程讲义
第五章 连续时间的马尔可夫链
P { i s t } P { i s } P { i t },
即有
G ( s t ) G ( s )G ( t ).
由此可推出G(t)为指数函数, G ( t ) e i t . 设 i的分布函数为F(x), (x 0), 则有
pij ( t s ) P { X ( t s ) j | X (0) i }
P { X ( t s ) j , X ( t ) k | X (0) i } P { X ( t s ) j | X ( t ) k , X (0) i }
P { i t };
(2) 设 G ( t ) P { i t }( t 0). 由于
P { i t } P{ i s t | i s }
可得
P { i s t , i s } P { i s t } , P { i s } P { i s }
分布律
(n) pij 0,
转移方程
( n) ( l ) ( nl ) pij pik pkj k I

j I
(n) pij 1
时间 连续
1 , i j lim pij ( t ) t 0 0 , i j
pij ( t ) 0
p (t ) 1
j I ij
ji
p ( t )
ij
t
qij .
ji
说明 对状态空间无限的齐次马尔可夫过程, 一般只有
qii qij .
ji
随机过程讲义
第五章 连续时间的马尔可夫链
二、柯尔莫哥洛夫方程

马尔科夫预测法简介

马尔科夫预测法简介

故可用矩阵式表达所有状态:
[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P[k]
即 S(k) = S(0) P [k] 当满足稳定性假设时,有
S(k) = S(0) Pk 这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有
率k步预测模型.
例:东南亚各国味精市场占有率预测, 初期工作: a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3. b)市场调查,求得目前状况,即初始分布 c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状 态转移概率. 1)初始向量: 设 上海味精状况为1;
0.5
P = 0.78
0.22
此式说明了:若本季度畅销,则下季度畅销和滞销的可能性 各占一半
若本季度滞销,则下季度滞销有78%的把握,滞销风 险22%
二步状态转移矩阵为:
[2] 2
P=P=
0.5 0.5
0.5 0.5
0.78 0.22 0.78 0.22
0.64
0.36
= 0.5616 0.4384
求T
0.6 0.1 0.3 解:设 U = [U1 U2 U3] = [U1 U2 1-U1-U2]
由 UP = U 有
0.4 0.3 0.3
[U1 U2 1-U1-U2] 0.6 0.3 0.1 = [U1 U2 U3]
0.6 0.1 0.3

-0.2U1 + 0.6 = U1
0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2
定理二:设X为任意概率向量,则XT = U 即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为 固定概率向量。
事实上: U1 U2 …… UN
XT = X• : :

马尔可夫预测方法

马尔可夫预测方法
Copyright 2007 Geocomputation Lab SNNU
状态转移概率。在事件的发展变化过程中, 状态转移概率。在事件的发展变化过程中, 从某一种状态出发, 从某一种状态出发,下一时刻转移到其它状 态的可能性,称为状态转移概率。由状态Ei 态的可能性,称为状态转移概率。由状态 转为状态E 转为状态 j的状态转移概率 P(E i → E j ) 是 P(Ei → E j ) = P(E j / Ei ) = Pij
Copyright 2007 Geocomputation Lab SNNU
主要内容: 主要内容:
几个基本概念 1、状态 、 2、状态转移过程 、 3、马尔可夫过程 、 4、状态转移概率 、 5、状态转移概率矩阵 、 马尔可夫预测法 1、状态转移概率 、 2、状态转移概率矩阵 、
Copyright 2007 Geocomputation Lab SNNU
二、马尔可夫预测法
表示事件在初始( = ) 状态概率 π j (k ):表示事件在初始(k=0)状 态为已知的条件下,经过k次状态转移后 次状态转移后, 态为已知的条件下,经过 次状态转移后,在 个时刻(时期) 的概率。 第k 个时刻(时期)处于状态 E j 的概率。 且:
j =1 根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概 条件概 根据马尔可夫过程的无后效性及 率公式, 率公式,有
(7.1) 7.1)
状态转移概率矩阵。 状态转移概率矩阵。假定某一个事件的发展 过程有n个可能的状态 个可能的状态, 过程有 个可能的状态,即E1,E2, …,En。 , 记为从状态E 转变为状态E 记为从状态 i转变为状态 j的状态转移概 率 P ( E i → E j ) ,则矩阵
Copyright 2007 Geocomputation Lab SNNU

马尔可夫预测法

马尔可夫预测法

马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法。

马尔可夫过程是在给定当前状态下,下一个状态的概率只与当前状态有关的随机过程。

其本质是利用概率论中的马尔可夫性质,通过已知状态的条件概率预测未来的状态。

马尔可夫预测法广泛应用于各种领域中的预测问题。

马尔可夫预测法的基本思想是利用过去的信息预测未来的状态。

在马尔可夫模型中,当前状态只与前一状态有关,与更早的历史状态无关,这种性质称为“无记忆性”。

因此,在预测未来状态时,只需知道当前状态及其概率分布即可,而无需考虑过去的状态。

这种方法不仅大大降低了计算复杂度,而且在实际应用中也具有很高的准确性。

马尔可夫预测法的应用范围非常广泛,例如天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等。

其中,天气预报是一个典型的马尔可夫过程应用。

在天气预报中,当前的天气状态只与前一天的天气状态有关,而与更早的天气状态无关。

因此,可以利用马尔可夫预测法预测未来的天气状态。

马尔可夫预测法的实现方法有很多,其中比较常见的是利用马尔可夫链进行预测。

马尔可夫链是一种随机过程,其状态空间是有限的。

在马尔可夫链中,当前状态的转移概率只与前一状态有关。

因此,在利用马尔可夫链进行预测时,只需知道当前状态及其转移矩阵即可。

根据转移矩阵,可以预测未来的状态概率分布。

马尔可夫预测法的优点是计算简单,预测准确性高。

但其缺点也比较明显,即需要满足无记忆性的假设,而实际应用中,往往存在着各种各样的因素影响状态的转移。

因此,在实际应用中,需要对马尔可夫预测法进行适当的修正,以提高预测准确性。

马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法,具有计算简单、预测准确性高等优点。

其在天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等领域中得到了广泛应用。

在实际应用中,需要充分考虑各种因素的影响,对马尔可夫预测法进行适当的修正,以提高预测准确性。

马尔科夫预测

马尔科夫预测

第 6 章马尔可夫预测马尔可夫预测方法不需要大量历史资料,而只需对近期状况作详细分析。

它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等,还可用来分析系统的长期平衡条件,为决策提供有意义的参考。

6.1 马尔可夫预测的基本原理马尔可夫(A.A.Markov )是俄国数学家。

二十世纪初,他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关,而与事物的过去状态无关。

具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。

设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似,故其应用范围非常广泛。

6.1.1 马尔可夫链为了表征一个系统在变化过程中的特性(状态),可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。

如果系统在任何时刻上的状态是随机的,则变化过程就是一个随机过程。

设有参数集T ( , ),如果对任意的t T ,总有一随机变量X t 与之对应,则称{X t ,t T} 为一随机过程。

如若T 为离散集(不妨设T {t0,t1,t2,...,t n,...} ),同时X t的取值也是离散的,则称{X t ,t T} 为离散型随机过程。

设有一离散型随机过程,它所有可能处于的状态的集合为S {1,2,L ,N} ,称其为状态空间。

系统只能在时刻t0,t1,t2,...改变它的状态。

为简便计,以下将X t n等简记为X n。

一般地说,描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件,也就是说,系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。

在实际情况中,也有具有这样性质的随机系统:系统在每一时刻(或每一步)上的状态,仅仅取决于前一时刻(或前一步)的状态。

这个性质称为无后效性,即所谓马尔可夫假设。

具备这个性质的离散型随机过程,称为马尔可夫链。

用数学语言来描述就是:马尔可夫链如果对任一n 1,任意的i1,i2, ,i n 1, j S恒有P X n j X1 i1,X2 i2,L ,X n 1 i n 1 P X n j X n 1 i n 1 (6.1.1)则称离散型随机过程{X t ,t T} 为马尔可夫链。

第五章马尔科夫预测法

第五章马尔科夫预测法
产品可能由畅销变为滞销。
3、状态转移概率
• 客观事物可能有 E1 , E2 ,, E N 共 n 种状态,其中每次只能处
于一种状态,则每一状态都具有 n 个转向(包括转向自身), 即
Ei E1 , Ei E2 , , Ei EN 。
• 由于状态转移是随机的,因此,必须用概率来描述状态转移可能性 的大小,将这种转移的可能性用概率描述,就是状态转移概率。
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
用“1”表示畅销 用“2”表示滞销
季度
率矩阵。
P11 P21 P P N1 P12 P22 PN 2 P1 N P2 N PNN
基本概念
通常称矩阵 P 为 状态转移概率矩阵,没有特别说明步数时,一 般均为一步转移概率矩阵。矩阵中的每一行称之为概率向量。 转移概率矩阵的特征??
状态转移概率矩阵及其基本特征 状态转移概率矩阵具有如下特征: (1) 0 Pij 1 i , j 1, 2, ( 2)
P(k ) P(0) P( k ) P(0) Pk
由此可得
P(k ) P(k 1) P
例:预计未来两个季度药品市场销售情况。
季度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
销售 状态
季度 销售 状态
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1

如何利用马尔可夫决策过程进行预测

如何利用马尔可夫决策过程进行预测

马尔可夫决策过程(Markov Decision Process,MDP)是一种基于随机过程的数学模型,用于描述随机系统的状态转移和决策过程。

它被广泛应用于人工智能、运筹学、控制理论等领域。

在预测模型中,利用马尔可夫决策过程进行预测可以帮助我们更准确地预测未来的状态和行为,从而提高决策的准确性和效率。

马尔可夫决策过程的基本原理是,系统的状态会在不同的状态之间转移,并且每个状态下都存在一定的概率,这种转移过程是随机的。

而在每个状态下,我们可以采取不同的决策,即采取不同的动作。

每个动作都会产生不同的奖励,奖励的大小和方向会受到环境的影响。

基于这些条件,我们希望通过马尔可夫决策过程来找到一个最优的策略,使得系统在不同状态下采取不同的动作,从而最大化长期的累积奖励。

在利用马尔可夫决策过程进行预测时,我们首先需要定义系统的状态空间、动作空间、转移概率以及奖励函数。

通过这些定义,我们可以建立系统的状态转移模型和奖励模型,从而可以利用动态规划、强化学习等方法来求解最优策略。

在实际应用中,马尔可夫决策过程可以用于各种预测问题,如股票交易、网络流量控制、机器人路径规划等。

下面将以股票交易预测为例,介绍如何利用马尔可夫决策过程进行预测。

首先,我们需要定义股票交易系统的状态空间。

状态空间可以包括股票价格、成交量、技术指标等多个维度的变量。

然后,我们需要定义动作空间,即可以采取的交易策略,如买入、卖出、持有等。

接下来,我们需要确定状态转移概率和奖励函数。

状态转移概率可以通过历史数据分析得到,奖励函数可以根据交易的盈亏情况来定义。

在建立了马尔可夫决策过程模型后,我们可以利用动态规划算法来求解最优策略。

动态规划算法可以通过迭代的方式来逐步求解最优值函数和最优策略。

在实际应用中,我们还可以采用强化学习算法,如Q学习、深度强化学习等,来求解最优策略。

通过利用马尔可夫决策过程进行预测,我们可以得到一个最优的交易策略,从而在股票交易中获得更高的收益。

第五章连续时间马尔可夫链随机过程

第五章连续时间马尔可夫链随机过程

三、生灭过程 定义:具有状态 0,1,2, 的连续时间马尔可夫链若 | i j | 1 时
qij 0,则称为生灭过程。一个生灭过程从状态 i 只能转移到状
态 i-1 或 i+1,当状态增长 l 时,就说生了一个;而当它减少 1 分别称为生长率与死亡率。因为
vi i i , Pi ,i 1
对一切 i j , qij 定义为 qij vi Pij 因为 v i 是过程离开状态 i 的速率而 Pij 是它转移到 j 的概率,所以
qij 是过程从状态 i 转移到状态 j 的速率;称 qij 是从 i 到 j 的转移
率。显然 vi qij
ji
因此,可以这样设想马尔可夫过程,每当过程处于状态 i 时, 直 到 转 移 到 状 态 j 的 时 间 服 从 参 数 为 qij 的 指 数 分 布 ,
j 0,1,
则在 i 逗留时间为 , i 1, i 1, பைடு நூலகம்这些时间互相独立,
直到转移到各状态的时间中的最短的时间,服从参数为
v i qij 的指数分布。
ji
以 Pij ( t ) 记马尔可夫链现在处于状态 i,再经过一段时间 t 后处于状态 j 的概率,即 Pij (t ) P{ X (t s ) j | X ( s ) i }
0
0 1
1
2 …
2
3
n 1

n
n
1
2
3
n
n1
图中的圆圈表示状态,圆圈中的标号是状态符号。图中的箭头表 示从一个状态到另一个状态的转移。
例 5.3(a) 两个生灭过程。 (1) M/M/s 排队系统.顾客按照参数为 的泊松过程来到一个 有 s 个服务员的服务站,每个顾客一来到,如果有服务员空闲,则 直接进入服务 ,否则顾客排队等待 .当一个服务员结束对一位顾 客的服务时,顾客便离开服务系统,排队中的下一个顾客 (若有顾 客在等待)进入服务.相继的服务时间是独立的指数随机变量 ,均 值为 1/.以 X(t)记时刻 t 系统中的人数,则{X(t),t0}是生灭过程.
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2 p22 22% 9 分子 2 是表中连续出现滞销的次数。 综上所述,得销售状态转移概率矩阵为:
p11 P p21 p12 0.5 0.5 p22 0.78 0.22
4、多步状态转移概率矩阵
状态转移概率矩阵完全描述了所研究对象的变化过程。 正如前面所指出的,上述矩阵为一步转移概率矩阵。对于 多步转移概率矩阵,可按如下定义解释。
第五章马尔可夫预测与决策
• 基本概念
– 马尔可夫链 – 状态转移矩阵(转移概率矩阵) – 平稳分布和稳态分布
• 马尔可夫预测与决策应用实例
– 流行病监测 – 设备维修决策 – **基因遗传
马尔可夫预测
• 马尔可夫(A.A Markov)预测法是应用概率论中马 尔可夫链的理论和方法来研究随机事件变化并借此 分析预测未来变化趋势的一种方法。
1. 马氏链严格数学定义
设随机过程 X n (n T ) 的时间集合 T {1,2,3,} ,状态 空间 E {1,2,3 N } ,
状态离散的随机过程。 若对任意 X n (n T ) 是时间离散、 的整数 n T ,满足 即
P{X n1 xn1 X n xn ,, X 0 x0 } P{X n1 xn1 X n xn }
-------------
概率论中的条件概率:P(AB)就表达了由状态 B 向状态 A 转 移的概率,简称为状态转移概率。 对于由状态 Ei 转移到状态Ej 的概率,称它为从 i 到 j 的转移概率。 记为:
Pij P( E j Ei ) P( Ei E j ) P( xn1 j xn i )
也就确定了:
对 k1 ,记 pi (k ) P{ X k i}
有:
则由全概率公式
pi (k ) p j (0) p (jik ) ,
j 1
N
i 1, 2,
, N; k 1
若记向量 P(k ) ( p1 (k ), p2 (k ), 则上式可写为:
, pN (k )) ,
用状态变量来表示状态: i 1,2, , N Xt i t 1,2, 它表示随机运动系统,在时刻 t (t 1,2,) 所处的状态为 i (i 1,2, N ) • 状态转移:客观事物由一种状态到另一种状态的 变化。
如:由于产品质量或替代产品的变化,市场上
则称
X n (n T ) 为马尔可夫链,简称马氏链。上式称为过程
的马尔可夫性或无后效性。
马氏链模型说明:
时间、状态均为离散的随机转移过程
系统在每个时期所处的状态是随机的
从一时期到下时期的状态按一定概率转移
下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在,将来与过去无关(无后效性) 概念:状态??
1,矩阵2)
(2)按下F2,同时按下Ctrl+Shift+Enter
演示结果
5、初始状态概率向量
P 记t 0 为过程的开始时刻, i (0) {( X0 X (t0) i)} 则称: P(0) ( p1 (0), p2 (0), , pN (0)) 为初始状态概
率向量。
(k ) (k ) P ( p 已知马尔科夫链的转移矩阵 ij ) 以及初 始状态概率向量 P(0) ,则任一时刻的状态概率分布
96 P =0.2 13 = 480 64 P23 = =0.2 320 704 P33 = =0.88 800
P11 P12 P13 0.7 0.1 0.2 三、状态转移概率矩阵 P P21 P22 P23 0.1 0.7 0.2 将事件 n 个状态的转移概率依次排列起来,就构 0.08 0.04 0.88 成一个 N 行× N 列的矩阵,这种矩阵就是状态转移概 P P P 31 32 33
销售 状态
季度 销售 状态
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
以 p22 表示连续滞销的可能性:
销售 状态 季度
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
销售 状态
畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
计算其状态转移概率。
例:

解:由题意得 6 月份顾客转移表 :

甲 乙 丙 合计
甲 336 32 64
乙 48 224 32
丙 96 64 704
合计 480 320 800
430
360
210
1600
336 48 P =0.7 P =0.1 11 = 12 = 480 480 32 224 P21 = =0.1 P22 = =0.7 320 320 64 32 P31 = =0.08 P32 = =0.04 800 800
以 p12 表示由畅销转入滞销的可能性: 7 p12 50% 15 1 分子 7 是表中由畅销转入滞销的次数。 以 p21 表示由滞销转入畅销的可能性:
7 p21 78% 9 分子 7 是表中由滞销转入畅销的次数,分母数 9 是表中出 现滞销的次数。
季度
1
2
3
4
5
678Fra bibliotek910 11 12
N
P
j 1
N
ij
1 i 1, 2
,N
状态转移概率的估算
主观概率法(一般缺乏历史统计资料或资料不全情况下使用) 统计估算法。
例 设药品市场的销售记录共有 6 年 24 个季度的数据,见表。 求药品销售转移概率矩阵。
季度 销售 状态 季度 销售 状态
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
2、状态与状态变量 • 状态:客观事物可能出现或存在的状况。
如:商品可能畅销也可能滞销;机器运转可能正常也 可能故障等。
• 同一事物不同状态之间必须相互独立:不能同时存在 两种状态。 • 客观事物的状态不是固定不变的,它可能处于这种状 态,也可能处于那种状态,往往条件变化,状态也会 发生变化。如某种产品在市场上本来是滞销的,但是 由于销售渠道变化了,或者消费心理发生了变化等, 它便可能变为畅销产品。
P xn j x0 i Pij
并令
定义 . 若系统在时刻 t 0处于状态 i ,经过 n步转 移,在时刻 t n 处于状态 j 。那么,对这种转移的 可能性的数量描述称为 n 步转移概率。记为:
n
P11 n n n P21 P P n N1
随机过程是研究随机动态系统演变过程规律性的学 科,它的研究对象是随时间演变的随机现象;广泛 地应用于通信、控制、生物、地质、经济、管理、 能源、气象等许多领域; 马氏链模型(Markov Chain Model)是时间、状态均为 离散的随机过程。
一、基本概念
• 马尔可夫(A.A Markov 俄国数学家)。 • 20世纪初,他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程 仅与事物的近期状况有关,而与事物的过去状态无关。 例:未来第 t 个交易日上证指数的涨跌情况,醉汉在酒醒之 前的运动,青蛙在荷塘中下一步跳向哪片荷叶…… • 所谓马尔可夫链,就是一种随机时间序列,它在将来取什么 值只与它现在的取值有关,而与它过去取什么值无关,即无 后效性。具备这个性质的离散型随机过程,称为马尔可夫链。
它表示由状态Ei 经过一步转移到状态Ej 的概率。
例:
某地区有甲、乙、丙三家药厂生产板蓝根,有1600 个用户,假定在研究期间无新用户加入也无老用户退 出,只有用户的转移。已知 8月份有 480 户是甲厂 的顾客;320 户是乙厂的顾客;800 户是丙厂的顾客。 9 月份,甲厂的顾客有 48 户转乙厂,96户转丙厂; 乙厂的顾客有32户转甲厂,64户转丙厂;丙厂有的顾 客有 64户转甲厂,32户转乙厂。
多步转移概率矩阵,除具有一步转移概率矩阵的性质 外,还具有以下的性质:
(1) P ( n) P ( n1) P (2) P ( n) P n
例:试求前一药品市场的二步状态转移概率矩阵。 二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵通过公式 P(2) =P2计算求出: Excel中矩阵相乘的步骤: (1)选中存放计算结果的区域,输入=MMULT(矩阵
率矩阵。
P11 P21 P P N1 P12 P22 PN 2 P1 N P2 N PNN
基本概念
通常称矩阵 P 为 状态转移概率矩阵,没有特别说明步数时,一 般均为一步转移概率矩阵。矩阵中的每一行称之为概率向量。 转移概率矩阵的特征??
状态转移概率矩阵及其基本特征 状态转移概率矩阵具有如下特征: (1) 0 Pij 1 i , j 1, 2, ( 2)
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
用“1”表示畅销 用“2”表示滞销
季度
P12 n P22 n PN 2
n
P1 N n P2 N n PNN
相关文档
最新文档