Markov链预测法
Markov的各种预测模型的原理与优缺点介绍
Markov的各种预测模型的原理与优缺点介绍建立有效的用户浏览预测模型，对用户的浏览做出准确的预测，是导航工具实现对用户浏览提供有效帮助的关键。
在浏览预测模型方面，很多学者都进行了卓有成效的研究。
AZER提出了基于概率模型的预取方法，根据网页被连续访问的概率来预测用户的访问请求。
SARUKKAI运用马尔可夫链进行访问路径分析和链接预测，在此模型中，将用户访问的网页集作为状态集，根据用户访问记录，计算出网页间的转移概率，作为预测依据。
SCHECHTER构造用户访问路径树，采用最长匹配方法，寻找与当前用户访问路径匹配的历史路径，预测用户的访问请求。
XU Cheng Zhong等引入神经网络实现基于语义的网页预取。
徐宝文等利用客户端浏览器缓冲区数据，挖掘其中蕴含的兴趣关联规则，预测用户可能选择的链接。
朱培栋等人按语义对用户会话进行分类，根据会话所属类别的共同特征，预测用户可能访问的文档。
在众多的浏览模型中，Markov模型是一种简单而有效的模型。
Markov模型最早是ZUKERMAN等人于1999年提出的一种用途十分广泛的统计模型，它将用户的浏览过程抽象为一个特殊的随机过程——齐次离散Markov模型，用转移概率矩阵描述用户的浏览特征，并基于此对用户的浏览进行预测。
之后，BOERGES等采用了多阶转移矩阵，进一步提高了模型的预测准确率。
在此基础上，SARUKKAI建立了一个实验系统[9],实验表明，Markov预测模型很适合作为一个预测模型来预测用户在Web站点上的访问模式。
1 Markov模型1.1 Markov模型Markov预测模型对用户在Web上的浏览过程作了如下的假设。
假设1（用户浏览过程假设）：假设所有用户在Web上的浏览过程是一个特殊的随机过程——齐次的离散Markov模型。
即设离散随机变量的值域为Web空间中的所有网页构成的集合，则一个用户在Web中的浏览过程就构成一个随机变量的取值序列，并且该序列满足Markov性。
马尔科夫链蒙特卡罗模型的参数估计
马尔科夫链蒙特卡罗模型的参数估计随着大数据时代的到来，数据的分析和建模成为了各行各业所面临的重要任务。
马尔科夫链蒙特卡罗模型（Markov Chain Monte Carlo Model，简称MCMC）作为一种重要的概率计算方法，为我们提供了一种有效的数据建模和参数估计的工具。
MCMC模型的基础是马尔科夫链（Markov Chain），它是一种状态转移模型。
马尔科夫链的特点在于下一时刻的状态只与当前时刻的状态有关，与之前的状态无关。
换句话说，未来的状态仅由当前状态决定。
这种特性使得马尔科夫链在建模时非常适用。
参数估计是一种常见的统计学方法，它通过利用已知数据来估计未知参数的值。
MCMC模型的参数估计就是利用马尔科夫链的特性来估计模型中的参数。
MCMC模型通过蒙特卡罗方法随机生成一系列样本点，使得样本点的分布趋近于预期的参数分布。
通过对这些样本点的统计分析，就可以得到参数的估计值。
MCMC模型的参数估计有几个关键步骤。
首先，需要选取适当的初始状态。
这个初始状态是随机给定的，但是需要保证初始状态满足模型的约束条件。
然后，根据参数的先验分布选择相应的转移概率。
转移概率决定了从当前状态转移到下一状态的概率，通过合理的调整转移概率，可以提高模型的准确性和收敛速度。
接下来，需要进行多次迭代，每次迭代生成一个新的状态。
生成新状态的方法可以通过抽样或变换等方式进行。
最后，根据生成的样本点进行统计分析，得到参数的估计值。
MCMC模型的参数估计具有许多优点。
首先，它可以处理复杂的非线性模型。
传统的参数估计方法在处理非线性模型时往往受限于模型的数学形式，而MCMC模型可以通过随机生成样本点的方式来逼近模型，从而克服了这一问题。
其次，MCMC模型可以考虑参数的先验分布。
传统的参数估计方法通常只考虑数据的分布情况，而MCMC模型可以通过引入先验分布来进一步优化参数的估计结果。
此外，MCMC模型还可以估计模型的不确定性。
通过生成大量的样本点，可以得到参数估计的置信区间，从而量化模型的不确定性。
马尔科夫链预测方法
一、几个基本概念
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前 一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或 者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状 态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状 态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的 发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
9月
10月
0.1 0.2 0.7 p( 2) p(0) P 2 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88
2
11月
0.1 0.2 0.7 (0.2512 ,0.1816 ,0.5672) p( 3) p(0) P 3 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88 (0.2319 ,0.1698 ,0.5983 )
3
1 0.7 1 0.1 2 0.08 3 2 0.1 1 0.7 2 0.04 3 由 得 (0.219,0.156,0.625) 3 0.2 1 0.2 2 0.88 3 1 2 3 1
率及极限分布.
解：频数转移矩阵为
得转移概率矩阵为
336 48 96 N 32 224 64 64 32 704
0.7 P 0.1 0.08
0.1 0.7 0.04
0.2 0.2 0.88
n个月的市场占有率为 p(n)= p(0) Pn
二、马尔可夫预测法
表2-19 某地区1990—2000年农业收成状态概率预测值
二、马ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可夫预测法
（二)终极状态概率预测
马尔科夫链模型
所研究的时间是无限的，是连续变量，其数值是连续不 断的，相邻两个值之间可作无限分割。马尔柯夫过程所 研究的状态也是无效的。而马尔柯夫链的时间参数取离 散数值如日、月、季、年，其状况是有限的只有可到个 状态
马尔柯夫链表明事物的状态由过去转变到现在，
由现在转变到将来，一环接一环，象一根链条。其
3
特点是“无后效应性”
犏 犏 P 11 P 11 P 11 (k ) (0) 犏 S = S 犏 犏 犏 P 犏 11 P 11 P 11 臌
此式即为马尔可夫预测模型。
2、市场占有率预测
例 设有甲乙丙三家企业，生产同一种产品， 共同供应1000家用户，各用户在各企业间自 由选购，但不超出这三家企业，也无新用户。 假定在10月末经过市场调查得知，甲乙丙三 家企业拥有的客户分别是250户，300户， 450户，而11月份用户可能的流动情况如下：
从 甲 到 甲 230 乙 10 丙 10 ∑ 250
乙
丙 ∑
20
30 280
250
10 270
30
410 450
300
450 1000
问题： 假定该产品用户的流动按上述方向继 续变化下去（转移矩阵不变），预测12月 份三家企业市场用户各自的拥有量，并计 算经过一段时间后，三家企业在稳定状态 下该种产品的市场占有率。
2
12月份三个企业市场用户拥有量分别为： 甲： 1000? 0.306 306 户 乙： 1000? 0.246 246 户 丙： 1000? 0.448 448 户
现在假定该产品用户的流动情况按上述 方向继续变化下去，我们来求三个企业的该 种产品市场占有的稳定状态概率。 易证 P 为正规矩阵，设t = ( x, y,1- x - y) 令 tP = t ，则
与马尔可夫链蒙特卡洛法类似的方法
与马尔可夫链蒙特卡洛法类似的方法马尔可夫链蒙特卡洛法（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）是一种用于估计复杂概率分布的方法，广泛应用于统计学、机器学习和计算机视觉等领域。
然而，除了MCMC之外，还存在一些与之类似的方法，本文将介绍其中的几种。
1. 重要性采样（Importance Sampling）重要性采样是一种基于蒙特卡洛方法的统计估计方法，用于计算一个概率分布的期望值。
其核心思想是通过从一个已知的简单分布中采样，来估计一个复杂的目标分布的期望值。
与MCMC类似，重要性采样也利用随机采样的方式来估计目标分布的特征。
然而，与MCMC不同的是，重要性采样不需要满足马尔可夫链的平稳性质，因此在某些情况下更加高效。
2. 随机优化方法（Stochastic Optimization）随机优化方法是一类基于随机采样的优化算法，用于解决无法直接求解的优化问题。
与MCMC类似，随机优化方法也利用随机采样的方式来估计优化目标函数的值。
不同的是，随机优化方法更加关注优化问题本身，通过随机采样来探索优化空间，并更新优化参数以寻找最优解。
在大规模数据和高维优化问题中，随机优化方法通常比传统的优化算法更加高效。
3. 变分贝叶斯方法（Variational Bayesian Methods）变分贝叶斯方法是一种基于变分推断的概率建模方法，用于近似推断复杂的概率分布。
与MCMC类似，变分贝叶斯方法也通过随机采样的方式来近似复杂的后验分布。
然而，变分贝叶斯方法更加注重推断过程的优化，通过引入一个近似分布来近似后验分布，并通过优化近似分布的参数来逼近真实后验分布。
相比于MCMC，变分贝叶斯方法通常具有更快的收敛速度和更好的可解释性。
4. 重要性抽样平均（Importance Sampling Average）重要性抽样平均是一种基于随机抽样的估计方法，用于计算概率分布的平均值。
与MCMC类似，重要性抽样平均也利用随机采样的方式来估计目标分布的特征。
三种模糊Markov链状预测模型
Ｔ ｒ ｅｔ ｐ ｓｏ ｚ ｙ Ｍ ａ ｋ ｖ ｃ ａｎ ｐ ｅ ｉａ ｉｎ ｍ ｏ ｅｓ ｈ ｅ ｅ ｆ ｕ ｚ ｒ ｏ ｈ ｉ ｒ ｄ ｃ ｔ ｄ ｌ ｙ ｆ ｏ
Ｇ Ｕ Ｏ ｚ ｇ ， ＹＵ ｎ Ｓｉｏｎ Ｌａ
（ ｌ ｇ ｆ ｃｅ ｃ ， ｉｏ ｉｇＴ ｃ ｎｃｌ ｎｖ ｒｉ ， ｕ ｉ ２ ０ ０ Ｃｈｎ ） Ｃｏ ｅｅｏ ｉｎ ｅ Ｌ ａ ｎｎ ｅｈ ｉ ｉｅｓ ｙ Ｆ ｘｎ１ ３ ０ ， ｉａ ｌ Ｓ ａＵ ｔ
Ｊ ｎ． ｕ ２ １ ０ｌ
文章编 号 ：１０—５ ２２ １）３０５—５ ０ ８０６（０１０－４ ９０ ＤＯ ： ＮＫ ：１１７／ ．０ １６ ３ ０４０ １ ＩＣ Ｉ —３９Ｎ２ １０ ０ ． ０ ．０ ２ ０
三种模糊 Ｍ ｒ ｏ ａ ｋ ｖ链状预测模型
郭 嗣琮 ，余
摘
岚
（ 辽宁工程技术大学 理学院 ，辽宁 阜新 ，１ ３０ ） ２ ０ ０
Ｍａｋ ｖ链 是 时间与状 态都 离 散的 Ｍａ ｏ 过 ｒｏ ｒ ｖ ｋ
状 态 一模 糊观 测数据情 形 。 目前 ，第 二 、三类 过程 还 没有得 到较好 的研 究 。 在 系 统状 态 为 实数 域 上 正 规 模糊 划 分 以及 观 测数 据 为模糊 数条件下 ， 文给 出三种模 糊 Ｍａ ｏ 本 ｒ ｖ ｋ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｒ ｅ ｏ ｖ ａ ｋ ｖ ｃ ａｎ ｐ ｅ ｉｔ ｎ ｐ ｏ ｌ ｍ ｔ ｎ ｅ ｔ ｉ ｆ ｒ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ｒ ｓ ｎ ｓ ｈ ｅ ｓｒ ｃ ： ｎ ｏ ｄ ｒ ｏ ｓ ｌ ｅＭ ｒ ｏ ｈ ｉ ｒ ｄ ｃｉ ｒ ｂ ｅ ｗｉ ｕ ｃ ｒａｎ ｉ ｏ ｍａｉ ， ｓ ｐ ｒ ｅ ｅ ｔ ｔ ｒ ｅ ｔ ｏ ｈ ｎ ｏ ｈ ｐ ｐ
马尔可夫链法的研究与应用
马尔可夫链法的研究与应用【马尔可夫链法的研究与应用】【引言】马尔可夫链法是一种重要的随机过程分析方法，在概率论与统计学领域有着广泛的应用。
其基本思想是通过状态转移概率来描述随机事件之间的相互关系，从而用于建模和预测各种实际问题。
本文将围绕马尔可夫链法的研究和应用展开讨论，探讨其数学原理、相关应用和发展前景。
【正文】1. 马尔可夫链法的数学原理1.1 随机过程与状态空间马尔可夫链法基于随机过程的理论基础，即研究系统状态随机变化的数学模型。
状态空间是描述系统可能状态的集合，通过定义每个状态之间的转移概率，可以构建状态转移矩阵来描绘状态之间的相互关系。
1.2 马尔可夫性质马尔可夫链的核心是满足马尔可夫性质，即当前状态的转移只与其前一个状态有关，与其他历史状态无关。
这种性质可以用数学公式表示为P(Xn+1=xi| X0=x0, X1=x1, ..., Xn=xn) = P(Xn+1=xi|Xn=xn)，其中X是状态变量，xi是状态空间中的一个状态。
1.3 马尔可夫链的平稳分布在马尔可夫链中，存在一个平稳分布，即状态在长期下趋于稳定的概率分布。
平稳分布的计算可以通过解状态转移矩阵的特征向量得到，对于周期性的马尔可夫链需要特殊处理。
2. 马尔可夫链法的应用领域2.1 自然语言处理马尔可夫链法在自然语言处理领域有着广泛的应用。
通过建立基于观测文本的马尔可夫模型，可以实现文本的自动生成、词性标注、语言模型等任务。
利用马尔可夫链模型可以生成自动回复的对话机器人，实现智能客服等应用。
2.2 金融市场分析马尔可夫链方法在金融市场分析中也发挥着重要的作用。
通过分析股票市场的历史数据，建立马尔可夫链模型，可以预测未来的股票价格走势，提供决策参考。
马尔可夫链法还可以用于研究金融风险管理、投资组合优化等问题。
2.3 基因序列分析在生物信息学领域，马尔可夫链模型可以用于分析基因序列的相关性和统计特征。
通过构建基因组中的马尔可夫模型，可以帮助研究人员理解基因间的关联关系，预测蛋白质结构等。
马尔可夫链算法总结
马尔可夫链算法总结马尔可夫链算法（Markov Chain）是一种基于概率的算法，用于描述具有随机性的过程，如自然语言处理、图像处理和机器学习等领域。
本文将对马尔可夫链算法进行一些总结和介绍。
一、什么是马尔可夫链马尔可夫链是一种数学模型，可以在离散时间内表示随机事件的演化过程。
其特点是未来状态只与当前状态相关，而与过去状态无关。
因此，马尔可夫链可以用一个状态转移矩阵来描述状态之间的转移。
具体来说，设状态集合为S={S1，S2，...，Sn}，转移概率矩阵为P={p(i,j)，i,j=1,2,...,n}，其中p(i,j)表示从状态Si到状态Sj的概率。
二、马尔可夫链的应用马尔可夫链广泛应用于自然语言处理和机器学习等领域。
例如，文本生成可以使用马尔可夫链来预测下一个单词可能出现的概率，从而生成一篇新的文章；图像处理可以使用马尔可夫链来处理分割和分析，提高图像处理的精度；机器学习可以使用马尔可夫链来进行决策，从而提高计算机自动化决策的能力。
三、马尔可夫链算法的工作原理马尔可夫链算法的工作原理是通过给定的状态集合和转移概率矩阵，计算从起始状态到结束状态的概率。
具体来说，假设给定状态序列S={S1，S2，...，Sn}，则S的概率为P(S)=p(1,2)p(2,3)...p(n-1,n)，即从S1到Sn的转移概率。
从而，马尔可夫链算法可以用于计算任意状态的概率，并进一步预测未来状态。
四、马尔可夫链算法的优势马尔可夫链算法具有很多优势。
首先，它可以处理大规模、复杂的随机事件，如文字、数字或图像。
其次，它可以根据已知的状态序列预测未来状态。
最后，它可以处理概率模型，并进行精确的计算。
因此，马尔可夫链算法在自然语言处理、机器学习和图像处理等领域具有广泛应用前景。
总之，马尔可夫链算法是一种基于概率的重要算法，广泛应用于自然语言处理、机器学习和图像处理等领域。
本文对其进行了一些总结和介绍，希望能够对读者了解马尔可夫链算法有所帮助。
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我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：贵州民族学院参赛队员(打印并签名) ：1. 龚道杰2. 张凤3. 姚肖伟指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2009 年 7 月 25 日年凝冻日数的Markov链预测法4#【摘要】本文根据所给数据，利用Markov链建立了预测年凝冻日数的模型，分别从整体和局部两个角度进行分析。
首先，我们直接以年凝冻日数为依据，对其进行K-均值聚类分析，划分状态。
用频率估计概率的方法，估算出一步转移概率矩阵，1/65/65/3328/33P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，然后建立Markov 链模型()1/65/6()(0)(0)5/3328/33nn P n P P P ⎡⎤=⋅=⋅⎢⎥⎣⎦。
以2008年作为初始状态，估计出2009年凝冻日数所处状态为(1)(0)P P P =⋅()0.1520.848=。
按K-均值标准可知，即2009年凝冻的天数在15天以内的可能性为84.8%，在15天以上的可能性为15.2%。
由于上述模型选取的是以年为单位的数据，只能估计出2009年的凝冻日数所处区间。
为提高精度，我们选取2000-2008年的具体凝冻天数和日期，记每一天只存在两种状态，出现雨凇为状态1，否则为状态0。
然后由相邻两年间的状态转移变化，得出一步转移概率矩阵i P ，1,2,...,8i =。
由这8个一步转移概率矩阵，根据一步转移矩阵P 的n 次方与n 步转移概率矩阵()n P 之差的范数和达到最小的准则，选出优化后的一步转移概率矩阵0.95000.0500*0.78890.2111P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ,再次建立Markov 链模型。
以2008年为初始状态，预测2009年的概率分布为[]*(2009)(2008)0.91060.0894P P P =⋅= ，由频率稳定于概率，知2009年凝冻天数的估计值为14天。
关键词： Markov 链 转移概率矩阵 频率估计概率1. 问题提出1.1背景知识凝冻是指冬季出现的温度低于0℃有过冷却降水或固体降水和结冰现象发生的天气现象，即气象台所说的出现雨凇的天气。
雨凇的形成与气温，降水量，湿度等因素有关，超冷却的降水碰到温度等于或低于零摄氏度的物体表面使所形成玻璃状的透明或无光泽的表面粗糙并覆盖层，就叫做雨凇。
其造成的危害巨大，高压线塔的倒塌，电力瘫痪，交通瘫痪，农作物的冻亡等。
因而对出现雨凇天气的预测显得尤为重要。
1.2问题分析根据所给1969-2008年的数据，建立一个年凝冻日数的预测模型，预测2009年的凝冻日数，并作出误差分析。
数据给出了是否出现雨凇与气温、降水量、湿度、气压和风速的关系，而雨凇的出现是一个随机过程，与多个因素有关，且受干预变量的影响，因而传统的回归分析方法，效果不好，而Markov 链构造模型不需要从复杂的预测因子中寻找各因素之间的相互规律，只需要考虑事件本身的演变特点，通过计算转移概率矩阵来预测内部状态的变化。
2. 建模准备 2.1数据分析与处理以年为单位，统计出现雨凇的天数，见表1：2.2 Markov 链预测的理论基础 2.2.1 Markov 链定义（Markov 链）[1] 随机过程{Xn ，0,1,2...n =｝称为Markov 链，若它只取有限或可列个值012,,,...E E E （我们以｛0,1,2,...｝来标记01,,...,E E 并称它们是过程的状态，｛0,1,2...｝或者其子集记为S ，称为过程的状态空间）.对任意的0n ≥及状态011,,,...,,n i j i i i -有1{n P X j +=︱00112211,,,...,,n n n X i X i X i X i X i --=====｝ =1{n P X j +=︱}.n X i = （5.1.1） 式（5.1.1）刻画了Markov 链的特性，称为Markov 性。
2.2.2 转移概率矩阵由转移概率组成的矩阵，形如000102101112202122......()...ij p p p pp p P p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦称P 为转移概率矩阵。
且ij p (,)i j S ∈有性质： (1)0,,;ij p i j S ≥∈(2)1,.ij j sp i S ∈=∀∈∑ 【2】2.2.3（C-K 方程） 对一切,0,,n m i j S ≥∈有()(1);m n m nij ik kj k sp p p +∈=∑(1)(2)(2).n n n P P P P P P P --=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=(n) 其证明如下：{}()0|m n ij m n p p X j X i ++===={}{}00,m n p X j X i p X i +===={}{}00,,m n m k sp X j X k X i p X i +∈====∑（全概率公式）={}{}{}{}0000,,,,m n m m k sm p X j X k X i p X k X i p X i p X k X i +∈========∑={}{}00|,|m n m m k sp X j X k X i p X k X i +∈=====∑=()()n m kj ikk sp p ∈∑ =()()m n ik kj k sp p ∈∑ 【3】2.3.4 传统的频率估计概率估算一步转移概率矩阵的方法为：已知系统存在n 种状态，状态空间为S ={0,1,2,…n}.假设在Ｎ次观测中，系统处于第i 种状态共有i n 次，显然1nj j N n ==∑．用ij n 表示系统从状态i经过一步转移到状态j 的频数，显然有1,(,),ni ij ij j n n i j S n ==∈∑组成的矩阵()ij n 称为转移频数矩阵。
将转移频数矩阵的第i 行第j 列元素ij n 除以i 行各元素总和所得的值称为转移概率，记为,,ij p i j I ∈。
即有/ij ij i p n n =，于是我们得到用频率估计出一步转移概率矩阵P ．【４】3.符号说明符号 说明i t 第j 期的概率分布ij P 从状态i 到状态j 的转移概率I 状态空间且{0,1}I = i t 频率4．模型的建立4.1 模型假设1）雨凇的年出现次数是一簇依赖于时间的随机变量，其变化过程是一个随机过程；2）该随机过程具有无后效性；3）雨凇年出现次数状态的一步转移概率矩阵只与时间差有关，与时间起点无关。
4.2模型建立4.2.1以表1为基础，建立Markov 链预测模型 ：1）利用SPSS 软件，以K 均值聚类法将过去的年凝冻日数分为2个区间，确定每年凝冻日数的状态,见表2：2）根据表2，以频率估计概率的方法，计算一步转移概率矩阵。
出现状态1的次数为716-=，出现状态2的次数为33。
由1转为1的次数为1，故转移概率111/6P =；由1转为2的次数为5，故转移概率125/6P=；由2转为1的次数为5，故转移概率215/33P =；由2转为2的次数为28，故转移概率22=28/33P 。
由此可得雨凇年出现次数状态的一步转移概率矩阵为：1/65/65/3328/33P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； Markov 链的基本原理就是利用初始状态概率向量和状态转移概率矩阵来推知预测对象将来一个时期所处的状态。
记0(0){},j P P X j j S ==∈，则有12(0)((0),(0),...,(0),...)j P P P P =，称它为Markov 链的初始分布，显然有(0)1j j SP ∈=∑。
由上述 C-K 方程 可知Markov 链在任一时刻n 的一维分布由初始分布(0)P 和n 步转移概率矩阵所确定。
即Markov 链的预测模型为 ()1/65/6()(0)(0)5/3328/33nn P n P P P ⎡⎤=⋅=⋅⎢⎥⎣⎦。
（1）4.2.2 根据所建Markov 链模型，进行预测用2008年凝冻天数作为初始状态，即()(0)01P =.利用模型（1）式，计算可得2009年凝冻天数的一维分布为：()1/65/6(1)(0)015/3328/33P P P ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭()0.1520.848=这表明2009年的凝冻天数所处的状态为1的概率为0.152，状态为2的概率为0.848.由之前SPSS 软件的K-均值聚类可知，凝冻的天数在15天以内的可能性为84.8%，在15天以上的可能性为15.2%。
4.3 模型检验和结果分析该模型虽然预测出了2009年凝冻日数的范围，并计算出其以84.8%的概率稳定于该状态，却无法的估计出2009年凝冻的具体天数。
由于凝冻基本发生在1月、2月、3月、11月、12月，而2009年前三个月的历史天气数据可以查得，见数据1 【5】2009年贵阳雨淞出现的次数日期 雨淞出现 日期 雨淞出现 日期 雨淞出现 1-1 1 2-1 0 3-1 0 1-2 0 2-2 0 3-2 0 1-3 0 2-3 0 3-3 0 1-4 1 2-4 0 3-4 0 1-5 0 2-5 0 3-5 0 1-6 1 2-6 0 3-6 0 1-7 1 2-7 0 3-7 0 1-8 0 2-8 0 3-8 0 1-9 0 2-9 0 3-9 0 1-10 0 2-10 0 3-10 0 1-11 0 2-11 0 3-11 0 1-12 0 2-12 0 3-12 0 1-13 0 2-13 0 3-13 0 1-14 0 2-14 0 3-14 0 1-15 0 2-15 0 3-15 0 1-16 0 2-16 0 3-16 0 1-17 0 2-17 0 3-17 0 1-18 0 2-18 0 3-18 0 1-19 0 2-19 0 3-19 0 1-20 0 2-20 0 3-20 0 1-21 0 2-21 0 3-21 0 1-22 0 2-22 0 3-22 0 1-23 0 2-23 0 3-23 0 1-24 1 2-24 0 3-24 0 1-25 1 2-25 0 3-25 0 1-26 1 2-26 0 3-26 0 1-27 1 2-27 0 3-27 01-28 0 2-28 0 3-28 01-29 0 3-29 01-30 0 3-30 01-31 0 3-31 0由数据1可得，2009年发生凝冻1月天数为8天，2月天数为0天，3月天数为0天。