时间序列预测与马尔可夫链模型
马尔可夫链理论及其在经济管理领域的应用研究
马尔可夫链理论及其在经济管理领域的应用研究马尔可夫链理论及其在经济管理领域的应用研究一、绪论马尔可夫链是20世纪初由俄罗斯数学家马尔可夫提出的一种数学模型，它在经济管理领域的应用研究中起着重要的作用。
马尔可夫链理论可以用来预测未来状态的概率，并通过对现有状态和转移概率的分析，帮助决策者做出科学合理的决策。
本文将探讨马尔可夫链理论的基本原理及其在经济管理领域的应用研究。
二、马尔可夫链的基本原理马尔可夫链是一种随机过程，它具有“无记忆”的特点，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫链由状态空间、初始状态和转移概率矩阵组成。
1. 状态空间状态空间是指所有可能的状态的集合。
在经济管理领域的研究中，状态可以表示为市场行情、公司利润、经济指标等。
根据实际问题，选择合适的状态空间是影响马尔可夫链分析效果的关键。
2. 初始状态初始状态是指马尔可夫链开始的状态。
它通常由观察到的实际数据确定，可以是某个具体的状态，也可以是一组状态的概率分布。
初始状态的选取与经济管理问题的实际情况密切相关，需要根据具体问题进行合理选择。
3. 转移概率矩阵转移概率矩阵是马尔可夫链的核心内容，它描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
转移概率矩阵的元素分布在0和1之间，表示从一个状态到另一个状态的转移概率，且每行概率之和为1。
转移概率矩阵是根据历史数据进行建模得到的，可以通过最大似然估计等方法计算得到。
三、马尔可夫链在经济管理中的应用研究马尔可夫链理论在经济管理领域的应用研究涵盖了多个方面，包括市场预测、风险评估、经济政策制定等。
1. 市场预测马尔可夫链可以用来预测市场的未来走势。
通过分析历史市场数据，建立马尔可夫链模型，并根据当前市场状态和转移概率矩阵，可以计算出未来市场状态的概率。
这对投资者和决策者来说是有益的，可以帮助他们在投资和决策过程中做出更加准确的判断。
2. 风险评估马尔可夫链还可以用来评估风险。
通过构建风险状态空间和相应的转移概率矩阵，可以计算不同风险状态之间的转移概率。
马尔可夫链模型讲解
马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
马尔卡夫链的介绍
非线性时间序列与马尔可夫链第一章.非线性时间序列浅释 (2)1.从线性到非线性自回归模型的差异2.线性时间序列定义的多样性第二章. 非线性时间序列模型 (6)1. 概述2. 非线性自回归模型3. 带条件异方差的自回归模型第三章. 马尔可夫链---描述AR模型的特性 (12)1.马尔可夫链2. AR模型所确定的马尔可夫链3.若干例子第四章. 统计建模方法 (29)1. 概论2. 线性性检验3. AR模型参数估计4.AR模型阶数估计第五章. 实例和展望 (46)1. 实例2.展望参考文献 (50)第一章.非线性时间序列浅释1. 从线性到非线性自回归模型的差异时间序列{x t}是一串随机变量序列, 它有广泛的实际背景, 特别是在经济与金融领域中尤其显著. 关于它们的线性与非线性概念, 可用以下的例子作些简单的解释.考察一阶线性自回归模型---LAR(1):x t=αx t-1+e t, t=1,2,…(1.1) 其中{e t}为i.i.d.序列，且Ee t=0, Ee t=σ2<∞, e t与{x t-1,x t-2,…}独立. 使用(1.1)式, 递推可得x t=αx t-1+e t= e t + αx t-1= e t + α{ e t-1 + αx t-2}= e t + αe t-1 + α2 x t-2 =…=e t+αe t-1+α2e t-2+…+αn-1e t-n+1+αn x t-n. (1.2) 当|α|<1时, 不难论证αn x t-n→ 0, (1.3) {e t+αe t-1+α2e t-2+…+αn-1e t-n+1}→∑j=0∞αj e t-j. (1.4) 于是模型LAR(1)有平稳解, 且可表达为x t=∑j=0∞αj e t-j. (1.5) 可见, 求LAR(1)模型解的方法是很简便的. 而且, 还容易推广到p 阶LAR(p)模型. 为此考察如下的p阶线性自回归模型LAR(p):x t =α1x t-1+α2x t-2+...+αp x t-p +e t , t=1,2,… (1.6) 其中{e t }为i.i.d.序列，且Ee t =0, Ee t =σ2<∞, e t 与{x t-1, x t-2,…}独立. 虽然, 反复使用(1.6)式, 仍然可得到(1.2)式的类似结果, 但是, 用扩张后的多元AR(1)模型求解时, 则显示出与LAR(1)模型求解的步骤完全相似. 为此记X t =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--11p t t t x x x ,U=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 , A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000.........00121 p ααα, (1.7)于是(1.6)式可写成如下的等价形式:X t =A X t-1+ e t U. (1.8) 仿照(1.2)式, 反复使用此式, 递推可得X t =AX t-1+e t U= e t U+ e t-1AU+A 2x t-2=⋯=e t U+e t-1AU+e t-2A 2U+…+e t-n+1A n-1U+A n x t-n . (1.9) 如果矩阵A 的谱半径(A 的特征值的最大模)λ(A), 满足λ(A)<1, 上式启发我们, (1.8)式有如下的解:X t =∑k=0∞A k Ue t-k . (1.10) 其中向量X t 的第一分量x t 形成的序列{x t }, 就是模型(1.6)式的解. 由此不难看出, 它有以下表达方式x t =∑k=0∞ϕk e t-k . (1.11)其中系数ϕk 由(1.6)式的α1,α2, ... ,αp 确定, 细节从略,此外, (1.11)式给了人们一点启发, 即考虑形如x t=∑k=0∞ψk e t-k, ∑k=0∞ψk2<∞, (1.12)的时间序列, 其中系数ψk能保证(1.12)式中的x t有定义. 在文献中, 这样的{x t}被称为线性时间序列.虽然这里给出了线性时间序列的定义, 但是, 我们暂时不去定义非线性时间序列, 先讨论一阶非线性自回归模型---NLAR(1), 并与线性LAR(1)模型进行比较. 首先写出NLAR(1)模型如下x t=ϕ(x t-1)+e t,t=1,2,…(1.13)其中{e t}为i.i.d.序列，且Ee t=0, Ee t=σ2<∞, e t与{x t-1, x t-2,…}独立, 这些假定与LAR(1)模型相同, 但是, ϕ(x t-1)是x t-1非线性函数, 比如ϕ(x t-1)=x t-1/{a+bx t-12}. 此时虽然仍可反复使用(1.13)式, 进行递推, 但是所得结果是x t=ϕ (x t-1) +e t= e t+ ϕ (x t-1)= e t+ ϕ ( e t-1+ ϕ (x t-2))= e t+ ϕ ( e t-1+ ϕ ( e t-2+ ϕ (x t-3)))=…=e t+ ϕ ( e t-1+ ϕ ( e t-2+ …+ϕ (x t-n))…). (1.14) 根据此式, 我们既不能轻易判断ϕ(x t-1)函数满足怎样的条件时, 上式会有极限, 也不能猜测其极限有怎样的形式.对于p阶非线性自回归模型x t =ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p )+e t , t=1,2,… (1.15) 仿照(1.6)至(1.9)式的扩张的方法, 引入记号 Φ( x t-1,x t-2,…,x t-p )≡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----1121),...,,(p t t p t t t x x x x x ϕ, (1.16)得到与(1.15)式等价的模型X t =Φ(X t-1) +e t U, t=1,2,… (1.17)但是, 却得不出(1.9)至(1.11)式的结果.至此可看出, 从线性到非线性自回归模型有实质性差异, 要说清楚它们, 并不太简单. 从数学理论而言, 讨论线性自回归模型可借用泛函分析方法, 讨论非线性自回归模型则要借用马尔可夫链的理论和方法. 这也正是本讲座要介绍的主要内容.2. 线性时间序列定义的多样性现在简单叙述一下非线性时间序列定义的复杂性, 它与线性时间序列的定义有关. 前一小节中(1.12)式的线性时间序列, 只是一种定义方式. 如果改变对系数ψk 的限制条件, 就会给出不同的定义. 在近代研究中, (1.12)式的序列{e t }又被放宽为平稳鞅差序列, 这又引出另一种线性时间序列. 这在预报理论中有重要背景.无论对哪种线性时间序列, 都要研究它们的概率特性. 这已有丰富的成果载入文献. 可是, 非线性时间序列与此情况不同, 几乎没有文章研究它们的一般特性. 我们将要介绍的马尔可夫链, 也只是用来讨论满足非线性自回归模型的时间序列的特性问题.第二章. 非线性时间序列模型1. 概论从(1.12)式可见，线性时间序列{x t}, 被{e t}的分布和全部系数ψi 所决定. 在此有无穷多个自由参数，这对统计不方便，因此人们关心依赖有限参数的线性时间序列，即满足有限参数模型. 常用的如ARMA模型. 同样, 讨论非线性时间序列, 参数模型也更普遍. 不过, 由于非线性函数的多样性, 使得非线性时序模型更复杂. 在介绍此类模型之前, 我们先对非线性时序模型的分类作一概述.通用假定: {εt}为i.i.d.序列，且Eεt=0, 而且εt与{x t-1, x t-2,…}独立. (这是受研究方法所限)可加噪声模型:x t=ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p)+εt,(2.1)其中ϕ(…)是p元函数. 当它仅依赖于有限个未知参数时, 记此参数向量为α, 其相应的(2.1)模型常写成x t=ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p;α)+εt,(2.2)否则, 称(2.1)式称为非参数模型.带条件异方差的模型:x t=ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p)+S(x t-1,x t-2,…,x t-q)εt,(2.3) 其中ϕ(…)是p元函数, S(…)是q元函数. 它们也有参数与非参数的区分. 显然(2.3)式不是可加噪声模型.一般非线性时序模型:x t=ψ(x t-1,x t-2,…,x t-p; εt,εt-1,…,εt-q),t=1,2,… (2.4) 其中ψ(…)是p+q元函数. 显然, (2.4)式是最广义的非线性ARMA模型, 但是, 无论理论研究, 还是统计建模, 都难于进行, 所以在文献中很少见此模型. 只有双线性模型作为它的一种特殊情况, 有些应用和研究结果出现. 现写出一般双线性模型x t=∑j=1pαj x t-j+∑j=0qβjεt-j+∑i=1P∑j=1Qθijεt-i x t-j. (2.5)其中β0=1. 一种简单情况如x t=αx t-1+ θεt-1x t-1+εt. (2.6) 2. 非线性自回归模型前面的(2.1)和(2.2)式是非线性自回归模型, 而且属于可加噪声模型类. 现介绍几种(2.2)式的常见形式.函数后的线性自回归模型:f(x t)=α1f(x t-1)+α2f(x t-2)+...+αp f(x t-p)+εt,(2.7)其中f(.)是一元函数, 它有已知和未知的不同情况, 不过总考虑单调增函数的情况, α=(α1,α2,…,αp)τ是未知参数. 在实际应用中, {x t}是可获得量测的序列.当f(.)是已知函数时, {f(x t)}也是可获得量测的序列, 于是只需考虑y t=f(x t)满足的线性AR模型y t=α1y t-1+α2y t-2+...+αp y t-p+εt,(2.8)这是线性自回归模型. 在宏观计量经济分析中, 常常对原始数据先取对数后, 再作线性自回归模型统计分析, 就属于此种情况. 这种先取对数的方法, 不仅简单, 而且有经济背景的合理解释,它反应了经济增长幅度的量化规律. 虽然在统计学中还有更多的变换可使用, 比如Box-Cox变换, 但是, 由于缺少经济背景的合理解释,很少被使用. 由此看来, 当f(.)有实际背景依据时, 可以考虑使用(2.7)式的模型.当f(.)是未知函数时, {f(x t)}不是可量测的序列, 于是只能考虑(2.7)模型. 注意f(.)是单调函数, 记它的逆变换函数为f-1(.), 由(2.7)式可得x t=f-1(α1f(x t-1)+α2f(x t-2)+...+αp f(x t-p)+εt),(2.9) 此式是(2.4)式的特殊情况, 此类模型很少被使用. 取而代之是考虑如下的模型x t=α1f(x t-1)+α2f(x t-2)+...+αp f(x t-p)+εt, (2.10) 其中f(.)是一元函数, 也有已知和未知之分, 可不限于单调增函数. 此式属于(2.2)式的特殊情况, 有一定的使用价值. 例如x t =α1I(x t-1<0)x t-1+α2I(x t-1≥0)x t-1+εt , (2.11) 其中I(.)是示性函数. 此模型是分段线性的, 是著名的TAR 模型的特殊情况(详见后文). 其分段形式如下:x t =⎩⎨⎧≥+<+----.0,,0,112111t t t t t t x x x x εαεα t=1,2,… (2.12)请注意, (2.10)和(2.11)式有一个共同的特征, 就是未知参数都以线性形式出现在模型中. 这一特点在统计建模时带来极大的方便. 此类模型便于实际应用. 但是, 对于{x t }而言不具有线性特性, 所以, 讨论它们的平稳解, 以及建模理论等问题, 都需要借助于马尔可夫链的工具.参数型的非线性自回归模型: 即(2.2)式,x t =ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p ;α)+εt , (2.13)其中ϕ(…)是p 元已知函数, 但是其中含有未知参数α=(α1,α2,…,αp )τ. 一般说来, α在一定范围内取值.例如,x t =212111--+t t x x αα+εt , (2.14)其中α=(α1,α2)τ是未知参数, 它们的取值范围是: -∞<α1<∞, 0≤α2<∞.这里需要指出, 使用(2.13)式的模型, 不仅要借助马尔可夫链的工具, 而且在统计建模时遇到两种麻烦, 其一是参数估计的计算麻烦, 二是确定ϕ(…)函数的麻烦. 一般来说, 只有根据应用背景能确定ϕ(…)函数形式时, 才会考虑使用此类模型.除了以上两类模型外, 还有(2.1)式的非参数自回归模型, 以及从统计学中引入的半参数自回归模型. 对它们的统计建模更困难. 本讲座主旨在于介绍如何用马尔可夫链的工具, 描述非线性自回归模型的基本特性, 对这类模型不再仔细讨论.3. 带条件异方差的自回归模型前面的(2.3)式就是带条件异方差的自回归模型. 在这一小节里, 将介绍几种(2.3)式的常见形式.函数型条件异方差的自回归模型:x t=ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p)+S(x t-1,x t-2,…,x t-q)εt,(2.15)其中ϕ(…)是p元函数, S(…)是q元函数. 它们也有参数型和非参数型之分别, 这里不再赘述. 有两点必须指出: 为保证(2.15)式中S(…)被唯一确定, 还要限定Eεt2=1; 另外, 为(2.15)式建模时, 需要对ϕ(…)和S(…)都作估计.带ARCH模型的自回归模型:x t=ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p)+e t, (2.16)其中e t=S(e t-1,e t-2,…,e t-q)εt,S(e t-1,e t-2,…,e t-q)={α0+α1e t-12+…+αp e t-p2}1/2. (2.17)带ARCH 模型的自回归模型, 与函数型条件异方差的自回归模型, 都可借助马尔可夫链的工具加以研究. 研究带GARCH 模型的自回归模型, 仍有困难. 现在回顾(2.12)式的一般形式:x t =⎩⎨⎧≥++++<++++------,,...,,...22121201111110c x x x c x x x d t t q t q t d t t p t p t εαααεααα (2.18)其中{ε1t }和{ε2t }为相互独立的i.i.d.序列, 且ε1t ~N(0,σ12), ε2t ~N(0,σ22), 此外, 在(2.18)式中, d ≥1可能是未知的, c 被称为门限值, 一般也是未知的, 这些未知信息都会带来统计的麻烦. 现在我们讨论它的类型问题. 为此先改写它的形式如下:x t ={α10+α11x t-1+…+α1p x t-p +ε1t }I(x t-d <c)+{α20+α21x t-1+…+α2q x t-q +ε2t }I(x t-d ≥c)={α10+α11x t-1+…+α1p x t-p }I(x t-d <c)+{α20+α21x t-1+…+α2q x t-q }{I(x t-d ≥c)+{ε1t I(x t-d <c)+ε2t I(x t-d ≥c)}. (2.19) 由此可见, 当{ε1t }={ε2t }={εt }时, 上式变成x t ={α10+α11x t-1+…+α1p x t-p }I(x t-d <c)+{α20+α21x t-1+…+α2q x t-q }{I(x t-d ≥c) +εt , (2.20) 此式表明, 它属于(2.10)式的自回归模型. 由(2.20)式, 不难写出(2.10)式中的f k (.)函数(k=1,2,…,p+q+2), 注意它们都不是连续函数. 在实际应用中发现, (2.19)式中的两个残差项很少相同. 在此情况下, (2.19)式属于上述提到的哪一类呢? 易见, 它有条件异方差特性, 但是, 它又不像(2.15)或(2.16)式的任何一类. 它属于下面的多噪声驱动的自回归模型.两噪声驱动的自回归模型:x t=ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p)+S1(x t-1,x t-2,…,x t-q)ε1t,+ S2(x t-1,x t-2,…,x t-q)ε2t,(2.21) 其中{ε1t}和{ε2t}为相互独立的i.i.d.序列, Eε1t=Eε1t=0, Eε1t2=1 Eε2t2=1. 为了统计建模方便, 常假定它们有正态分布. 读者不难看出(2.19)式中的ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p), S1(x t-1,x t-2,…,x t-q)和S2(x t-1,x t-2,…,x t-q)的具体表达式.顺便指出, 称{ε1t}和{ε2t}为驱动噪声, 因为它们都是白噪声序列, 而且是不可观测的. 这样的模型可称为自激系统. 此类模型亦可借助于马尔可夫链的工具加以研究. 读者不难想到多噪声驱动的自回归模型, 这里从略.第三章. 马尔可夫链---描述AR模型的特性1.马尔可夫链时间序列{x t; t=1,2,…}, 是一个随机变量序列, 也简称随机序列. 与随机过程{x(t); t=∈(0,∞)}相比, 它只在离散时间取随机变量值的过程, 故此得名. 随机过程的类型很多, 研究的方法很多, 取得的成果也很多. 其中最重要的是马尔可夫过程, 当它是随机序列时, 称为马尔可夫链. 初次接触此类过程时, 先了解马尔可夫链为宜, 即{x t; t=1,2,…}为一马尔可夫链. 为易于理解概念的实质, 不妨考虑x t只取两个可能值的最简单情况. 以下就从一个示意性的例子说起.一个例子: 甲乙二人进行赌博, 每局分主(庄家)客方, 第一局的主客方由二人协商确定, 以后各局, 由前一局的取胜者担任(每局必分胜负)主方. 记x t=1表示在第t局时由甲任主方; x t=2表示在第t局时由乙任主方. 那么{x1, x2, …}是一个时间序列. 虽然它们只取1和2两个可能值, 但是不能预先知道它们的确切取值, 所以这它是随机序列.我们先用直观分析方法考察此例的特征. 如果此赌博含有技巧因素, 那么他们坐庄的多少与他们的水平有关. 以t表示当前局, 那末, x t的取值已定. 比如x t=1时, 意味着甲坐庄, 此时不能预知x t+1=1还是2. 如果x t+1=1意味着甲继续坐庄, 如果x t+1=2意味着甲丢掉庄家. 虽然不能预知x t+1的取值, 但是我们关心甲有多大把握继续坐庄. 重复上面的叙述, 当x t=2时, 我们关心甲有多大把握上庄. 在以上分析中, 我们忽略了x1, x2, …, x t-1的已知取值信息, 在已知x1,x 2, …, x t-1 , x t 时, 回答前面的两个问题, 只与x t 的取值有关. 此特征是被马尔可夫首先注意到的(1906年).现在将以上问题给出概率描述如下:P(x t+1=1⎜x t =1)=? P(x t+1=1⎜x t =2)=?被马尔可夫注意到的特征的概率论描述如下:P(x t+1=k ⎜x t =j,x t-1=j t-1,…,x 1=j 1)=P(x t+1=k ⎜x t =j), (3.1)如果上式的P(x t+1=k ⎜x t =j)与t 无关(详见后文), 可记P(x t+1=k ⎜x t =j)=p jk , j, k=1,2. (3.2)称p jk 为从状态j 向状态k 的转移概率. 注意, 此时只有两个可能状态(对应于x t =1或2), 于是易见p j1+p j2=1, 即p j2=1- p j1, j=1,2. (3.3)再将这些记号概括到如下的矩阵中, 即P=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛q q p p p p p p 1122211211, (3.4)称P 为马尔可夫链{x t }的一步转移概率矩阵, 也简称为转移矩阵. 又因(3.3)式成立, 故可简化记为p 11= p, p 22=q. p 11恰好表示甲继续坐庄的概率(相当于把握的大小), p 22恰好表示甲继续不坐庄的概率. 经马尔可夫和后来人的不断研究表明, 在以上例子中, 转移矩阵P 能刻画出马尔可夫链{x t }的全部概率特征. 对更广泛的马尔可夫过程也有类似结论. 在随机过程中有关马尔可夫过程的内容非常丰富. 在本讲义中, 只介绍某些马尔可夫链的知识, 又尽可能少地涉及深层理论内容. 为此, 我们先将马尔可夫过程理论分为四大类, 概括在如下的一拦表中, 据此可明确我们将关心哪一类. 当然, 也只关心此类中的局部内容(见后文便知). 为列此表, 首先注意, 在马尔可夫过程{x t}中, 时间t 有连续和离散的区分; x t的取值(又称为状态)也有连续和离散的区分. 上述例子就是离散型, 而且是两状态的, 这是有限状态马尔可夫链的最简单的情况. 依此划分可列出下表:马尔可夫过程分类表有趣的是, 这四类的研究历程有如下的先后次序: 离散状态马尔可夫链, 20年代---马尔可夫过程, 50年代---马尔可夫跳过程, 60年代---连续状态马尔可夫链, 70年代---我们关心连续状态马尔可夫链, 这是较近代的内容(1975年以后). 此内容恰好是近代非线性时间序列分析盼望已久的理论基础. 以下的各节将介绍连续状态马尔可夫链的定义和特性.马尔可夫链的定义: 若随机序列{x t}具有以下性质, 则称它为马尔可夫链,P(x t+1<x⎜x t, x t-1, …, x1)=P(x t+1<x⎜x t). (3.5)上式表明: 在给定x t, x t-1, …, x1时, x t+1的条件分布, 与给定x t时x t+1的条件分布相等, 记它为F t(x|x t). 在给定x t时, F t(x|x t)是一个分布函数, 它会随着x t的取值不同而不同. 易见, 此定义对离散和连续状态的马尔可夫链都适用.在非线性时间序列模型讨论中, 还须要用到多元马尔可夫链, 即{X t}中的X t=( X t1, X t2,…, X tm)τ是随机向量. 以上定义不难推广到向量的情况.向量马尔可夫链的定义: 若随机序列{X t}具有以下性质, X t=( X t1, X t2,…, X tm)τ是随机向量, 而且P(X t+1∈A ⎜X t, X t-1, …,X1)=P(X t+1∈A ⎜X t). (3.6) 在(3.6)式中的A, 是m维欧氏空间的可测集合. 特别取A={Y: Y =(Y1, Y2,…, Y m)τ , Y i<x i, i=1,2,…,m}, 便得到X t+1的多元分布函数.其实, 向量马尔可夫链的定义蕴涵了马尔可夫链的定义. 在后文中不再区分向量与非向量, 一律用马尔可夫链称之, 或者简称马氏链. 它们的维数会不言自明. 有了上述定义, 我们的目的是介绍马尔可夫链的平稳性条件. 为此, 还有几个概念不可缺少. 严格地说, 这几个概念和上面的定义, 都要用到测度论的术语. 这里回避了它们, 因为我们只是为了使用这些概念, 而不是研究它们. 在后文中将看到, 这并不影响使用这些概念来解决非线性自回归模型的平稳性等问题.齐时马尔可夫链: 如果马尔可夫链{x t}(一元的或多元的)满足P(x, A)=P(x t+1∈A⎜x t=x), t=1,2,…(3.7)与时刻t无关, 称{x t}为齐时马尔可夫链. 再记P k(x, A)=P(x t+k∈A⎜x t=x), k=1,2,…(3.8) 表示在当前时刻t处在x t=x, 经过k步后的x t+k落入A 的概率, 简称为k步转移概率. 显然, 依(3.7)式知P1(x, A)=P(x t+1∈A⎜x t=x)= P(x, A).又易见P2(x, A)=P(x2∈A⎜x0=x)=⎰P(y, A)P(x, dy). (3.9)此式表明, 两步转移概率P2(x, A), 可写成从x0=x先用一步转移到y, 再从x1=y转移到A的概率的平均. 其平均是指按一步转移概率分布完成, 以一元为例, P1(x, (-∞,y))= P(x, (-∞,y)), P(x, dy)=dP(x, (-∞,y)). 重复上面的推理可得P k(x, A)=P(x k∈A⎜x0=x)=⎰P k-1(y, A)P(x, dy),k=2,3,…(3.10) 马尔可夫链的不可约性: 如果马尔可夫链{x t}满足∑k=1∞ P k(x, A)>0, (3.11)其中x是m(≥1)维欧氏空间R m的任意一点, A是m(≥1)维欧氏空间的任意一个有正测度的可测集合, 这里的测度不妨用Lebesgue测度, 在本讲义中已是够用了.现在对不可约概念作些直观解释. 先从(3.11)式的定义可看出, 从R m中的任何一点出发, 对任何指定的正测度集合A, 用有限步转移到A的概率是正的. 换句话说, 不存在那样的点x和正测度集合A, 从x出发永远不能到达A. 更直观解释可用类似于前边的例子. 考察甲对乙, 丙对丁同来赌博, 并争用同一赌具的例子. 因为只有一个台面可用, 于是, 要用抽签决定哪一对进行赌博. 我们记x t=1表示在第t局时由甲坐庄; x t=2表示由乙坐庄; x t=3表示由丙坐庄; x t=4表示由丁坐庄. 于是{x1, x2, …}是一个时间序列. 不难验证这是一个马尔可夫链. 但是, 当x1=1或2时, 此后的x t, 只能x t=1或2, 不可能取3或4; 反之, 如果x1=3或4时, 此后也只能x t=3或4, 不可能取1或2. 这就是说, 在(3.11)式中取x=1, A={3,4}时, (3.11)式等于0值. 所以此马尔可夫链不是不可约的. 此例显然是编撰的, 通过它可说明, 对于可约的马尔可夫链, 可以分解成子序列分别去研究. 也就是说, 我们应当对甲--乙和丙--丁的博弈分别进行考察, 没有必要放在一个马尔可夫链中来讨论.马尔可夫链的周期性: 如果存在互不相交的正测度可测集合A1,A2,…,A d, 使得马尔可夫链{x t}满足P(x, A k)=1, 当x∈A k-1, k=2,3,…,d,P(x, A1)=1, 当x∈A d.则称{x t}为具有周期长度为d的周期马尔可夫链.此定义表明, 周期马尔可夫链, 必然从A1转移到A2, 再从A2转移到A3,…, 最后, 又从A d转移到A1, 形成周期性的转移规律. 须注意, 从A k-1转移到A k时, 具体转移到A k中哪一点, 仍然是随机的, 否则不是随机序列了. 虽然如此, 对周期马尔可夫链, 只需要研究其等间隔的子链{x td}即可, 因为其它子链{x td+k}(k=1,2,…,d-1)与{x td}的概率结构相同. 所以, 我们也只需考察非周期马尔可夫链, 即d=1的情况. 对此概念不在作直观解释了.马尔可夫链的小集合: 对于马尔可夫链{x t}, 如果存在非空的可测集合C∈R m, 一个正整数q, 一个正常数λ, 和某个概率测度ν, 使得P q(x, A) ≥λν(A), 对于任何x∈C, A∈R m, (3.12)则称C是马尔可夫链{x t}的小集合.以上小集合是一个重要的概念, 它是从一般离散状态马尔可夫链中的相应概念演化而来的. 对它要作直观解释比较困难, 将涉及太多的其它相关知识, 这里只得放弃了. 好在, 在下一节的应用时只用此定义而已, 在很宽松的条件下, 又是通过很容易的论证, 即可得知怎样的马尔可夫链会有怎样的小集合.以上叙述了马尔可夫链的转移概率. 现在考虑它的分布. 首先考察x0的分布, 它是初始的随机变量, 可以有其自己的分布, 也称为此马尔可夫链的初始分布, 不妨记为F0. 欲考察x1的分布F1, 根据齐时马尔可夫链的性质, 利用条件分布公式可得(当m=1时) F1(x)=P(x1<x)=⎰P(y, (-∞,x))dF0(y).当x1的维数m>1时, 将上面的分布F0和分布F1, 改用概率测度记号P0和P1更方便, 即有P1(A)=P(x1∈A)=⎰P(y, A)P0(dy). (3.13)仿此式可得P t(A)=P(x t∈A)=⎰P(y, A)P t-1(dy), t=1,2,… (3.14) 依此式和x0的概率测度P0, 就能确定马尔可夫链的全部概率分布. 在初始概率测度中, 如果存在这样的P, 能保证(3.13)式成为P1(A)=P(x1∈A)=⎰P(y,A)P(dy)=P(A)=P(x0∈A), (3.15) 此式意味着, 初始概率测度P经过一步转移后得到x1的概率测度P1, 与P相同, 或者说, 此概率测度P经过一步转移后不变, 称这样的P为不变概率测度. 将(3.15)式代入(3.14)式, 并反复迭代可得P t(A)=P(x t∈A)=⎰P(y, A)P t-1(dy)=⎰P(y, A)P(dy). t=1,2,…(3.16) 可见, 若以不变概率测度作为初始概率测度时, 则x t 都有相同的分布.马尔可夫链的平稳性: 考察齐时马尔可夫链{x t; t=0,1,2,…}, 若它有不变概率分布, 则称它为马尔可夫链的平稳分布, 当以此作为初始概率测度时, 则称这样的马尔可夫链为平稳的, 或者说它具有平稳性.须注意, 不是任何马尔可夫链都有平稳分布. 人们自然关心怎样的马尔可夫链有平稳分布, 如何获得其平稳分布的问题. 稍后将讨论此类问题.马尔可夫链的遍历性: 如果马尔可夫链{x t}有不变概率测度P, 对任意x∈R m, 取(3.13)式中的P0(x0=x)=1, 即取初始概率测度为在点x处的点分布, 记P n x为由(3.14)式确定的x n的概率测度, 如果有lim n→∞||P n x-P||=0, (3.17)称此马尔可夫链{x t}为遍历的; 如果存在ν>1使得lim n→∞νn||P n x-P||=0, (3.18)称此马尔可夫链{x t}为几何速度遍历, 又简称几何遍历性. 在(3.18)式中的||P n x-P||表示(P n x-P)的模数, 即两个概率测度P n x和P之差的距离的度量. 我们这里采用(P n x-P)的全变差作为度量模数. 粗略地说, 就是||P n x-P||=⎰|P n x(dy)-P(dy)|.注意, 上式右边的积分, 如果放弃取绝对值的记号, 上式=1-1=0; 加上绝对值记号, 称为全变差. 显然, 上式>0, 除非P n x=P.根据上述定义, 如果一个马尔可夫链有遍历性, 那么, 从任何一点x出发, 经过n步转移后得到x n的概率测度P n x, 都会收敛到它的不变概率测度P, 甚至于会有几何速度收敛. 具有遍历本必有不变概率测度, 可见这是重要的性质. 至于如何判断马尔可夫链是否有遍历性, 请看以下的定理.飘移定理: 如果马尔可夫链{x t}是齐时的, 不可约的, 非周期的, 还存在小集合C, 此外还有一非负(m 元)可测函数g, 和常数c 1>0, c 2>0, 使得(i) E{g(x n )| x n-1 =x}≤g(x)-c 1, 当x ∉C,(ii) E{g(x n )| x n-1 =x}≤c 2, 当x ∈C,那么, 此马尔可夫链为遍历的. 如果还存在0<ρ<1, 使得以上(i)被如下的(i)’代替, (ii)仍保持, 即(i)’ E{g(x n )| x n-1 =x}≤ρg(x)-c 1, 当x ∉C,那么, 此马尔可夫链为几何遍历的.此定理是下一节定理的基基础. 在实际应用时, 既可直接使用此定理, 也可以使用下一节的定理. 而且, 下一节的定理是针对NLAR(p)模型的, 更实用.2. AR 模型所确定的马尔可夫链对于p 阶非线性自回归模型x t =ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p )+εt , t=1,2,… (3.19)仿照(1.6)至(1.9)式的扩张的方法, 引入记号 Φ(x t-1,x t-2,…,x t-p )≡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----1121),...,,(p t t p t t t x x x x x ϕ, U=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 , (3.20)得到与(3.19)式等价的模型X t =Φ(X t-1) +εt U, t=1,2,… (3.21)当p=1时, (3.19)式为x t =ϕ(x t-1)+εt , t=1,2,…于是P(x t <x|x t-1,x t-2,…,x 1)=P(ϕ(x t-1)+εt <x|x t-1,x t-2,…,x 1)=P(ϕ(x t-1)+εt<x|x t-1)=P(x t<x| x t-1),由此可知, 满足NLAR(1)模型的序列{x t}是马尔可夫链. 但是, 满足NLAR(p)模型(3.19)式的序列{x t}不是马尔可夫链. 幸运的是, 仿照推论NLAR(1)序列{x t}是马氏链的步骤, 容易得知, 满足p元NLAR(1)模型(3.21)式的多元序列{x t}是多元马氏链, 因为P( X t∈A| X t-1,X t-2,…,X1)= P( X t∈A| X t-1).在后文中, 常用多元马氏链, 为了节省符号, 一般不用大小写字母来区分一元与多元x t, 在讨论中, 它的维数是不言自明的.引理3.1. 在模型(3.19)式中, 如果εt和ϕ(…)满足(i) i.i.d.序列{εt}中的εt有处处为正的密度函数,(ii) 对任何K<∞, 可测函数ϕ满足sup||x||<K|ϕ(x)| <∞那么, 满足(3.21)式的{X t}是一马尔科夫链, 而且它是: 齐时性的; 不可约性的; 非周期性的;而且任何有界可测集是小集.此结果的证明并不难, 不过, 还是有太多的数学推演内容, 这里从略. 有兴趣者可参见安和陈的书(第4章，1998). 由此引理可见, 尽管在前一小节中叙述了较多的概念, 有的还难于理解, 但是, 当讨论在时序模型中的应用时, 竟如此简单, 并不涉及对诸多概念的太深理解. 由此引理和飘移定理又可得如下定理.定理3.2. 在模型(3.19)式中, 如果εt和ϕ(…)满足(i) εt有处处为正的密度函数, Eεt=0, Eεt2<∞,(ii) 存在0≤ρ<1, c≥0, 和加权模数||.||w , 使得||ϕ(x)||w≤ρ||x||w +c, (3.22) 或者|ϕ(x)|=|ϕ(x1, x2,…, x p)|≤ρmax{|x1|, |x2|,…, |x p|}+c, (3.23)那么, 满足(3.21)式的{X t; t≥1}是几何遍历的马尔科夫链. 其中加权模数是指:||x||w2=∑k=1m w jk x j x k=xτWx, W=(w jk)>0.这里使用加权模数, 是为了放宽(3.22)式的约束性.由此可知, 在时序模型中应用马氏链, 主要归于验证前一引理和此定理的条件.此定理的证明有太多数学推演, 这里从略. 此定理是比较重要的一个. 还有其它的定理讨论自回归模型有遍历性条件, 在此不逐一介绍, 有兴趣者可参见安和陈的书(第4章，1998). 以下再叙述一个有关带条件异方差自回归模型的遍历性定理.定理3.3. 考察带条件异方差的模型:x t=ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p)+S(x t-1,x t-2,…,x t-q)εt,(3.24) 如果εt,ϕ(…)和S(…)满足(i) εt 有处处为正的密度函数, E εt =0, E εt 2=1,(ii) 存在一种加权模数||.||w 和0<ρ<1, c ≥0, 使得(3.22)式成立,(iii) S(…)是正的连续函数, 而且lim ||x||→∞ S(x)/||x||=0, (3.25) 那么, 满足(3.24)式的{X t }是几何遍历的马尔科夫链.3.若干例子以下总假定{εt }满足定理3.2中的条件(i).例3.1. 有界自回归模型. 若非线性AR(p)模型 x t =ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p )+εt , 中的ϕ(…)是有界函数, 即存在K<∞, 使得|ϕ(x)| <K.取ρ=0, c=K, W=I(单位方阵), 则(3.22)式成立, 模型有几何遍历性. 如(2.14)式, ϕ(x t-1)=212111--+t t x x αα是有界函数.例3.2. 衰减型自回归模型. 若非线性AR(p)模型 x t =ϕ(x t-1,x t-2,…,x t-p )+εt , 中的ϕ(…)有以下的衰减性质, 即lim ||x||→∞||ϕ(x)||/||x||=0, (3.26) 任取0<ρ<1, c>0, W=I, 易见(3.22)式成立, 模型有几何遍历性.例3.3. 线性自回归模型. 若线性AR(p)模型 x t =α1x t-1+α2x t-2+…+αp x t-p +εt ,其中系数满足平稳性条件, 即1-α1u-α2u 2-…-αp u p ≠0, |u|≤1. (3.27)回顾(1.6)(1.7)和(1.8)式, 上式可写成等价模型X t =A X t-1+ e t U.依(1.7)式关于A 的定义, 以及(3.27)式, 必存在加权模数 ||.||w 使得(3.22)式成立, 其中0<λ(A)<ρ<1, 这里λ(A)是A 的谱半径. 所以此模型有几何遍历性.例3.4. 半参数自回归模型.x t =α1x t-1+α2x t-2+…+αp x t-p +f(x t-1,x t-2,…,x t-q )+εt , 其中系数满足平稳性条件(3.27)式, 连续函数f(…)满足(3.26)式, 所以此模型有几何遍历性. 论证从略.例3.5. 门限自回归模型.(Threshold AR---TAR) 考察(2.12)和(2.18)式的一般形式, 即x t =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<++++≤<++++≤<∞-++++----------,,...,,...,,...1110212121201111110d t s t p t sp t s s d t t p t p t d t t p t p t x c if x x c x c if x x c x if x x εαααεαααεααα (3.28)其中在各段的{εt }亦可互不相同, 且互相独立, 这里讨论相同情况. 如果(3.28)式的系数满足ρ=max 1≤k ≤s ∑j=1p |αkj |<1, (3.29)不难验证(3.23)式成立, 于是此模型有几何遍历性. 例3.6. β-ARCH 模型:x t =h t 1/2εt , t=1,2,… (3.30)。
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。
马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。
这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。
马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。
状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。
随机漫步就是马尔可夫链的例子。
随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。
2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。
举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。
这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为由马尔科夫链定义可知，时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。
看一个具体的例子。
这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
基于综合成绩的学生学习状况评价体系
基于综合成绩的学生学习状况评价体系摘要众所周知,评价学生的学习效果是教学评价的重要环节。
随着素质教育的逐步深入，如何评价学生的学习状况成为我们在学生素质培养方面取得突破的当务之急。
针对问题一，本文对612名学生四个学期的综合成绩进行整体分析。
首先我们建立统计分析模型，从测验的及格率，各个分数段人数，离散程度三个方面定性的评价了学生的总体情况，然后采用马尔可夫链评估模型定量的分析了三个学期的学习状况，从而发现这些学生四个学期的学习状况是稳步上升的。
针对问题二，我们对每个学生四个学期的综合成绩进行对比评价，建立了三种评价模型：●标准分模型：考虑到原始分的不可加性等局限性，我们引入标准分，建立标准分模型,得到一个综合成绩的排名。
●进步度评价模型：为了排除不同学生基础不同的影响，引入进步度进行评价，建立进步度评价模型，得到学生进步度得分的相应排名。
●综合评价模型: 结合综合成绩和进步度评价，建立综合评价模型，得到较全面、公平的学习状况排名。
最后综合比较这三个模型，得到一个定性与定量相结合的评价结果。
我们发现综合评价模型是最全面、最科学的评价模型，这个模型得到的结果可以作为我们最终评价的定量结果。
同时标准分模型可以反映评价对象的平均水平，进步度模型可以反映评价对象的进步水平，结合这两个方面利用诊断描述解释法，将评价结果以语言描述的形式作出定性的结论。
针对问题三，本文基于不同的评价方法，用了两种方法对学生的成绩进行预测。
由于学生的成绩是一个随时间变化的变量，任何两个学期的学习成绩是存在一定的相关性的，因此我们算出不同学期之间的相关系数作为时间序列的权值，采用时间序列预测模型得到了第五、六学期的预测结果。
另外我们还采用了BP 神经网络模型，首先我们将1，2，3，4学期的标准分、每个学生四学期标准分的方差作以及评价对学生的影响为神经网络预测的评价指标，然后选取样本对神经网络进行训练，最后将训练好的网络实现第5学期的预测。
【彩票】彩票预测算法（一）：离散型马尔可夫链模型C#实现
【彩票】彩票预测算法（⼀）：离散型马尔可夫链模型C#实现前⾔：彩票是⼀个坑，千万不要往⾥⾯跳。
任何预测彩票的⽅法都不可能100%，都只能说⽐你盲⽬去买要多那么⼀些机会⽽已。
已经3个⽉没写博客了，因为业余时间⼀直在研究彩票，发现还是有很多乐趣，偶尔买买，娱乐⼀下。
本⽂的⽬的是向⼤家分享⼀个经典的数学预测算法的思路以及代码。
对于这个马尔可夫链模型，我本⼈以前也只是听说过，研究不深，如有错误，还请赐教，互相学习。
1.马尔可夫链预测模型介绍 马尔可夫链是⼀个能够⽤数学⽅法就能解释⾃然变化的⼀般规律模型，它是由著名的俄国数学家马尔科夫在1910年左右提出的。
马尔科夫过程已经是现在概率论中随机过程理论的⼀个重要⽅⾯。
经过了⼀百年左右的发展，马尔可夫过程已经渗透到各个领域并发挥了重要的作⽤，如在我们熟知的经济、通信领域，除此之外在地质灾害、医疗卫⽣事业、⽣物学等⾃然科学领域也发挥了⾮常重要的作⽤。
⼈们在对实际问题的研究中会发现随着时间的持续发展变化会产⽣很多现象。
还有⼀些现象或过程可以表述如下：在“现在”是已知的情况下，这种变化过程的“未来”与“过去”是毫⽆联系的。
也就是说这种过程的未来所出现的情况不依赖于过去的发展变化，我们就把具有上述性质的过程称之为马尔可夫过程。
马尔可夫过程可以描述现实⽣活中的很多现象。
例如，我们熟知的液体中的颗粒所做的布朗运动、在商业活动中所要研究的每天销售情况、在数字通信中的语⾳信号、视频信号等。
马尔可夫链在其他领域的应⽤还有很多，如在银⾏的不良资产的管理、机车管理、企业管理、⽣态环境演变、城市⽤⽔量仿真、信息处理等科学研究和⽣产⽣活中都有⼴泛应⽤。
2.马尔可夫链的数学概念和性质定义1：定义2：上⾯是2个最简单的马尔可夫链的数学定义，看不懂没关系，简单解释⼀下：1.从状态k到k+1与时间k⽆关，也就是说这个随机过程与时间k⽆关，⽽从k到k+1状态，有⼀个转移概率，马尔可夫链的核⼼其实也就是这个转移概率；2.根据马尔可夫链的思想，⼀步转移概率Pij很容易得到，但是预测的时候，往往要根据最近K期的数据来进⾏，所以要计算K步转移概率；3.任意步的转移概率可以根据C-K⽅程来计算，CK⽅程是⼀种计算转移概率的基本⽅法，简单的算法就是：通过⼀步转移概率矩阵P独⾃相乘m次，就可以得到m步转移概率。
学生学习状况评价体系[1]
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基于综合成绩的学生学习状况评价体系摘要众所周知,评价学生的学习效果是教学评价的重要环节。
随着素质教育的逐步深入，如何评价学生的学习状况成为我们在学生素质培养方面取得突破的当务之急。
针对问题一，本文对612名学生四个学期的综合成绩进行整体分析。
首先我们建立统计分析模型，从测验的及格率，各个分数段人数，离散程度三个方面定性的评价了学生的总体情况，然后采用马尔可夫链评估模型定量的分析了三个学期的学习状况，从而发现这些学生四个学期的学习状况是稳步上升的。
针对问题二，我们对每个学生四个学期的综合成绩进行对比评价，建立了三种评价模型：●标准分模型：考虑到原始分的不可加性等局限性，我们引入标准分，建立标准分模型,得到一个综合成绩的排名。
●进步度评价模型：为了排除不同学生基础不同的影响，引入进步度进行评价，建立进步度评价模型，得到学生进步度得分的相应排名。
●综合评价模型: 结合综合成绩和进步度评价，建立综合评价模型，得到较全面、公平的学习状况排名。
最后综合比较这三个模型，得到一个定性与定量相结合的评价结果。
我们发现综合评价模型是最全面、最科学的评价模型，这个模型得到的结果可以作为我们最终评价的定量结果。
同时标准分模型可以反映评价对象的平均水平，进步度模型可以反映评价对象的进步水平，结合这两个方面利用诊断描述解释法，将评价结果以语言描述的形式作出定性的结论。
针对问题三，本文基于不同的评价方法，用了两种方法对学生的成绩进行预测。
由于学生的成绩是一个随时间变化的变量，任何两个学期的学习成绩是存在一定的相关性的，因此我们算出不同学期之间的相关系数作为时间序列的权值，采用时间序列预测模型得到了第五、六学期的预测结果。
另外我们还采用了BP 神经网络模型，首先我们将1，2，3，4学期的标准分、每个学生四学期标准分的方差作以及评价对学生的影响为神经网络预测的评价指标，然后选取样本对神经网络进行训练，最后将训练好的网络实现第5学期的预测。
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平均数预测 移动平均数预测 指数平滑法预测 趋势法预测 季节变动法预测
平均数预测是最简单的定量预测方法。平均数预测法的 运算过程简单，常在市场的近期、短期预测中使用。
最常用的平均数预测法有： 简单算术平均数法 加权算术平均数法 几何平均数法
a = x1 bt1
例
观察年份 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
时序
1
2
3
4
观察值
13 15 16 18 19 21 23 24 26
预测值
2003（25.5）
计算过程
13 +15 +16 +18
x1 =
4
= 15.5
21+ 23 + 24 + 26
=
xt
+ xt
1 + xt
2 + ...+ xt n
(n
1)
M (2) t
=
M (1) t
+
M (1) t1
+
M (1) t2
n
+
...+
M
(1) t (n
1)
xt +T = at + btT
其中
at
=
2
M
(1) t
M (2) t
bt
=
n
2
1
(M
(1) t
M
( t
2
)
)
例
观察年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
例
观察年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 合计
时 序(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
观察值(x) 13 15 18 20 24 27 30 32 35 36 250
tx 13 30 54 80 120 162 210 256 315 360 1600
当以时设间定=S序t(为α1)列xx=t 1数+；ααx据当t(1大+时(于1间α5)序0xα时t列)1S，数+t(1初1)α据(始1小值于-Sα50)0(12时)对xt，S2t初(+1)计始...算值+ α结S0((1果1)对影αS响)t(t1)极1计x小t算(，t结1可)果 影响较大，应取前几项的平均值。
三次指数平滑的计算公式是：
S
(1) t
= αxt
+ (1
α
)
S
(1) t1
S
( t
2
)
=
αS
(1) t
+ (1
α
)
S
( t
2) 1
S
( t
3)
=
αS
( t
2
)
+ (1
α
)
S
( t
3) 1
三次指数平滑法的数学预测模型：
xt +T
= at
+ btT + ctT 2
其中
at = 3St(1)
3S t( 2 )
标
。
直线趋势预测模型为：
将坐标点M1的(t1值, R代) 和 入M预3测(t3模,T型) 有 x = a + bt
距离的三段。若数列不能被3整除，当余数为1时去掉数 列首项；当余数为2时，去掉三段中间所夹两项。抛物线 趋势的分割平均法的预测模型为：
a、b、c可以由下列方程组求得
xˆ = a + bt + ct2
x1 = a + bt1 + ct12
x2
=
a + bt2
+
ct
2 2
x3 = a + bt3 + ct32
b7
=
1
α α
(S7(1)
S 7( 2 )
)
=
1
0.8 0.8
(80.342
x7+T = a7 + b7T = 81.937 + 6.38T
78.747) = 6.38
观察年份 1996
时序 1
观察值 40
St(1)
41.534
St(2)
42.655
1997
2
47
45.906
45.256
1998
3
56
53.981
52.236
1999
4
65
62.796
60.684
2000
5
70
68.559
66.984
2001
6
75
73.712
72.366
2002
7
82
80.342
78.747
当时间序列为非线性增长时，一次指数平滑与二次指数 平滑都将失去有效性；此时需要使用三次指数平滑法。
三次指数平滑法建立的模型是抛物线模型。
加权算术平均数法是简单算术平均数法的改进。它根据 观察期各个时间序列数据的重要程度，分别对各个数据 进行加权，以加权平均数作为下期的预测值。
对于离预测期越近的数据，可以赋予越大的权重。
加权算术平均数法的预测模型是：
∑
n
x = x = w1x1 + w2 x2 + w3 x3 + ... + wn xn = wi xi
移动平均可以消除或减少时间序列数据受偶然性因素干 扰而产生的随机变动影响。
移动平均法在短期预测中较准确，长期预测中效果较差。 移动平均法可以分为：
一次移动平均法 二次移动平均法
一次移动平均法适用于具有明显线性趋势的时间 序列数据的预测。
一次移动平均法只能用来对下一期进行预测，不 能用于长期预测。
3+4
x2 =
2
= 1741 t2 = 2 = 3.5
2127 + 2413
5+6
x3 =
2
= 2270 t3 = 2 = 5.5
待定参数的联立方程组为：
1300 = a +1.5b +1.52 c
1741= a + 3.5b + 3.52 c
2270 = a + 5.5b + 5.52 c 求解得
几何平均数法一般用于观察期有显著长期变动趋势的预 测。
几何平均数法的预测模型是：
x = x = n x1 ×x2 ×x3 ×...×xn 或
x=x=n
a1 ×a2 ×a3 ×...× an
= n an
a0 a1 a2
an 1
a0
移动平均法根据时间序列逐项移动，依次计算包含一定 项数的平均数，形成平均数时间序列，并据此对预测对 象进行预测。
i =1
其中
w1 + w2 + w3 + ... + wn = 1
例
观察期 1
2
3
4
5
6 预测值
观察值 1050 1080 1030 1070 1050 1060 1056
权重(w) 0.1 0.1 0.15 0.15 0.2 0.3
几何平均数法是以一定观察期内预测目标的时间序列的 几何平均数作为某个未来时期的预测值的预测方法。
例
观察年份 1997 1998 1999 2000 2001 2002
将上表数据时分序为等距的1三段，每2段两个数3 据。分别4 计算三5点坐标得6到：
观察值
1200 1400 1620 1862 2127 2413
1200 +1400
1+ 2
x1 =
2
= 1300 t1 = 2 = 1.5
1620 +1862
+
S (3) t
α
bt = 2(1
[(6 α)
5α
)
S (1) t
2(5
4α)St(2) + (4
ct
=
α2 2(1 α)2
(St(1)
2St(2) + St(3) )
3α
)
S (3) t
]
分割平均法 直线趋势的分割平均法 抛物线趋势的分割平均法
最小二乘法 三点法
直线趋势预测模型 抛物线趋势预测模型
例（
, S0(1) 取为前三项的平均值）
α = 0.5
时序 销售量
St(1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
10 15 8 20 10 16 18 20 22 24 20 26
11 10.5 12.8 10.4 15.2 12.6 14.3 16.2 18.1 20.1 22.0 21.0 23.5
1、时间序列预测的基本概念 2、时间序列预测的常用方法
时间序列预测法是一种定量分析方法，它是在时间序列变量分析的 基础上，运用一定的数学方法建立预测模型，使时间趋势向外延伸， 从而预测未来市场的发展变化趋势，确定变量预测值。
时间序列——同一变量按事件发生的先后顺序排列起来的一组观 察值或记录值（能反应事物发展规律）
x2 =
4
= 23.5
1+ 2 +3+ 4
t1 =
4
= 2.5
6+7+8+9