第五章时间序列预测_灰色预测模型
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21
灰色预测模型
四 GM(1,1)预测基本步骤
① 累加原数据列x(0)得到生成序列x(1) 均值生成x(1)得到z(1) (0) (1) X ( t ) aZ (t ) b ② 写出灰微分模型 ③ 回带数据利用最小二乘法求得参数a,b的估计值 ④ 代入a,b的估计值解出相应的白微分方程可得： ˆ a ˆ ˆt (1 ) (0) b b ˆ X (t 1) [ X (1) ]e ˆ ˆ a a ˆ ( 0 ) (t 1) X ˆ (1) (t 1) X ˆ (1) (t ) ⑤ 还原 X 模型检验 ⑥ 预测
18
灰色预测模型
例：计算关联度 X 1 45.8,43.4,42.3,41.9 X 3 3.4,3.3,3.5,3.5
三 模型检验
X 2 (39.1,41.6,43.9,44.9)
解： 第一步：初始化，即将该序列所有数据分别
除以第一个数据。得到：
X 1 1,0.9475,0.9235,0.9138
(0)
(2), X
(3), , X
(0)
(n)
1 1 1
T
1 [ X (1) (1) X (1 ) ( 2 )] 2 1 [ X (1) ( 2 ) X (1) ( 3 )] X 2 1 [ X (1) ( n 1) X (1 ) ( n )] 2
27
灰色预测模型
1 [ X (1 ) (1) X (1 ) ( 2 )] 2 1 (1 ) (1 ) [ ( 2 ) ( 3 )] X X X 2 1 [ X (1) ( 5 ) X (1) ( 6 )] 2
1 42 . 45 74 . 60 1 108 . 05 143 . 00 179 . 65 1
检验方法1：相对误差检验法
ˆ (0) ( k ) e( k ) x (0) ( k ) x 1 n e( k ) 100% , k 1, 2, , n (0) n k 1 x ( k )
15
灰色预测模型
三 模型检验
检验方法2：后验差检验法
n 1 S12 [ x (0) ( k ) x ]2 n k 1 n 1 2 S2 [e( k ) e ]2 n k 1
1
第四步：得出预测模型：
dX (1) 0 .04305 X (1) 29 .54547 dt
ˆ a ˆ ˆt (1) (0) b b ˆ X (t 1) [ X (1) ]e [ 26 .7 29 .54547 ]e 0.0431t 29 .54547 ˆ ˆ a a 0.04305 0.04305 713 .0059 e 0.0431t 686 .3059
i 1
t
累减生成
X (1) (t ) X (0) (t ) X (0) (t 1), t 1,2,, n 其中X (0) (0) 0
均值生成
1 Z (t ) [ X (0) (t ) X (0) (t 1)],t 2,3,, n. 2
12
灰色预测模型
设X
(0)
二 GM（1，1）模型定义
(1) (0)
为非负序列， X 为 X
的 1－AGO 序列，
Z (1) 为 X (1) 的邻均值生成序列
dX (1) aX (1) b dt
GM（1，1）
X ( 0 ) ( k ) aZ (1) ( k ) b
13
灰色预测模型
Y X
(0)
二 GM（1，1）模型定义
26.7
2
58.1024
3
90.8879
4
125.1173
5
160.8542
6
198.1651
⑵算得累减生成序列：
t值
ˆ ( 0 ) (t ) X
1
26.7
2
31.4024
3
32.2855
4
34.2294
5
35.7369
6
37.3109
26
灰色预测模型
五 GM(1,1)预测模型举例
⑶算得绝对误差序列： Δ(0)＝｛0, 0.0976, 0.0145, 0.1294, 0.0631, 0.1891｝ 相对误差序列: Φ＝｛0, 0.310％, 0.044％, 0.379％, 0.176％, 0.504％｝ 绝对误差均小于0.20；相对误差均小于0.6％，说明模 型精度较高。
22
灰色预测模型
例: 序号t 产量X(0)(t)
五 GM(1,1)预测模型举例
1 2 3 4 5 6 26.7 31.5 32.8 34.1 35.8 37.5
预测第8期产量？ 解： 第一步：构造累加生成序列: X(1) ={26.7,58.2,91,125.1,160.9,198.4}
23
灰色预测模型
M max max i k 0.2335
m min min i k 0
20
灰色预测模型
三 模型检验
第四步：计算关联系数 取ρ=0.5，有：
0.11675 1i k , i 2,3 i k 0.11675
从而：
12 1 1
25
灰色预测模型
第五步：残差检验：
五 GM(1,1)预测模型举例
ˆ a ˆ ˆt (1) (0) b b ˆ ]e 713 .0059 e 0.0431t 686 .3059 ⑴由预测模型 X (t 1) [ X (1) a ˆ ˆ a
算得：
t值
ˆ (1) (t ) X
1
X (1) X (1) (1), X (1) (2), X (1) (3),, X (1) (n)
累加生成
X
(1)
(t ) X ( 0 ) (i ) X (1) (t 1) X ( 0 ) (t ), t 1,2, , n
i 1
t
X ( m ) (t ) X ( m 1) (i ), t 1,2, , n
1,1.063,1.1227,1.1483 X2
1,.097,1.0294,1.0294 X3
19
灰色预测模型
第二步：求序列差
三 模型检验
2 0,0.1155,0.1992,0.2335
3 0,0.0225,0.1059,0.1146
第三步：求两极差
ij
min X 0 ( j ) X i ( j ) max max X 0 ( j ) X i ( j )
j i j
X 0 ( j ) X i ( j ) max max X 0 ( j ) X i ( j )
i j
其中, j 1, 2, , n
1 n i ij n j 1
5
灰色预测模型的提出
灰色预测模型的首篇论文：
邓聚龙 《灰色动态模型(GM)及在粮食长期预测 中的应用》
6
灰色预测分类
（1）灰色时间序列预测：用观察到的反映预测对象 特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 （2）畸变预测：通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 （3）系统预测：通过对系统行为特征指标建立一组 相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间 的相互协调关系的变化。 （4）拓扑预测：将原始数据作曲线，在曲线上按定 值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架 构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的 时点。
7
灰色预测模型思想
8
灰色预测模块思想
模块: 在时间-数据二维平面上将连续曲线及其底部相连接的区域 数据 灰色模块
白色模块 时间
9
预测时点
灰色预测模块思想
数据 零增长率情形 数据 指数增长情形
灰色模块
白色模块 时间
பைடு நூலகம்
白色模块 时间 预测时点
预测时点
10
灰色预测模块思想
研究步骤: (1)典型模块(典型曲线) 的信息收集; (2)对原始白色信息进 行典型曲线建模; (3)对原始白色信息和 典型曲线拟合信息进 行精度检验和关联分 析; (4)选定典型拟合曲线; (5)确定上下界灰模块; (6)预测.
dX dt
(1)
(1) ˆ ˆ aX b
Y XB
ˆ a ˆ ˆt (1 ) (0) b b ˆ X (t 1) [ X (1) ]e ˆ ˆ a a ˆ ( 0 ) (t 1) X ˆ (1) (t 1) X ˆ (1) (t ) X
14
灰色预测模型
三 模型检验
1 1 1 1 1
24
灰色预测模型
五 GM(1,1)预测模型举例
第三步：估计参数向量B:
ˆ a 1 71765.09 T T ˆ B b X X X Y 547.75 ˆ 0.04305 29.54547 547.75 19324.8 5 171.7
C S 2 / S1
p P e( k ) e 0.6745 S1
16
灰色预测模型
三 模型检验
精度检验等级参照表
模型精度等级 均方差比值C 1级（好） 2级（合格） 3级（勉强） C<=0.35 0.35<C<=0.5 0.5<C<=0.65 小误差概率p 0.95<=p 0.80<=p<0.95 0.70<=p<0.80 P<0.70
xmax (n t ) x(n) max t
数据
x ( n t ) x ( n) t
xmin ( n t ) x ( n) min t
白色模块 时间 预测时点
11
灰色预测模型
一 灰色系统生成方式
X (0) X (0) (1), X (0) (2), X (0) (3),, X (0) (n)
五 GM(1,1)预测模型举例
第二步：构造数据矩阵X和Y:
X (0) (2) (0) 31 .5 X (3) 32 .8 Y X ( 0 ) ( 4 ) 34 .1 X ( 0 ) (5 ) 35 .8 (0) 37 .5 X ( 6 )
4级（不合格） 0.65<C
模型的精度级别 Max p的级别, C的级别
17
灰色预测模型
三 模型检验
检验方法3：关联度检验
设X 0 X 0 (1), X 0 (2), , X 0 ( n) 为参考序列, X i X i (1), X i (2), , X i ( n) , i 1, 2, , m为 其它序列, 则X 0与X i的关联系数为 :
13 1 1
12 2 0.503
12 3 0.3695
12 4 0.3333
13 2 0.8384 13 3 0.5244 13 4 0.504
第五步：求关联度
12
1 4 1 4 12 k 0.551 13 13 k 0.717 4 k 1 4 k 1
部分信息已知 部分信息未知
信息未知
信息完全 已知
3
灰色预测模型的提出
控制论:只考虑输入与输出
Input
Output
灰色系统理论:着重于系统内部结构、参数与总体特征 的研究，尽可能发挥已知信息的作用。
4
灰色预测模型的提出
定义：灰色系统是指“部分信息已知,部分 信息未知”的小样本,贫信息的不确定性系 统,它通过对部分已知信息的生成、开发去 了解、认识现实世界，实现对系统运行行 为和演化规律的正确把握和描述.
第五章 时间序列预测
灰色预测模型
1
灰色预测模型的提出
灰色系统理论：著名学者邓聚龙教授于1982年提出
诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文 “The Control Problems of Grey Systems”，发表于 北荷兰期刊System & Control Letter，1982。
2
灰色预测模型的提出
灰色预测模型
四 GM(1,1)预测基本步骤
① 累加原数据列x(0)得到生成序列x(1) 均值生成x(1)得到z(1) (0) (1) X ( t ) aZ (t ) b ② 写出灰微分模型 ③ 回带数据利用最小二乘法求得参数a,b的估计值 ④ 代入a,b的估计值解出相应的白微分方程可得： ˆ a ˆ ˆt (1 ) (0) b b ˆ X (t 1) [ X (1) ]e ˆ ˆ a a ˆ ( 0 ) (t 1) X ˆ (1) (t 1) X ˆ (1) (t ) ⑤ 还原 X 模型检验 ⑥ 预测
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灰色预测模型
例：计算关联度 X 1 45.8,43.4,42.3,41.9 X 3 3.4,3.3,3.5,3.5
三 模型检验
X 2 (39.1,41.6,43.9,44.9)
解： 第一步：初始化，即将该序列所有数据分别
除以第一个数据。得到：
X 1 1,0.9475,0.9235,0.9138
(0)
(2), X
(3), , X
(0)
(n)
1 1 1
T
1 [ X (1) (1) X (1 ) ( 2 )] 2 1 [ X (1) ( 2 ) X (1) ( 3 )] X 2 1 [ X (1) ( n 1) X (1 ) ( n )] 2
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灰色预测模型
1 [ X (1 ) (1) X (1 ) ( 2 )] 2 1 (1 ) (1 ) [ ( 2 ) ( 3 )] X X X 2 1 [ X (1) ( 5 ) X (1) ( 6 )] 2
1 42 . 45 74 . 60 1 108 . 05 143 . 00 179 . 65 1
检验方法1：相对误差检验法
ˆ (0) ( k ) e( k ) x (0) ( k ) x 1 n e( k ) 100% , k 1, 2, , n (0) n k 1 x ( k )
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灰色预测模型
三 模型检验
检验方法2：后验差检验法
n 1 S12 [ x (0) ( k ) x ]2 n k 1 n 1 2 S2 [e( k ) e ]2 n k 1
1
第四步：得出预测模型：
dX (1) 0 .04305 X (1) 29 .54547 dt
ˆ a ˆ ˆt (1) (0) b b ˆ X (t 1) [ X (1) ]e [ 26 .7 29 .54547 ]e 0.0431t 29 .54547 ˆ ˆ a a 0.04305 0.04305 713 .0059 e 0.0431t 686 .3059
i 1
t
累减生成
X (1) (t ) X (0) (t ) X (0) (t 1), t 1,2,, n 其中X (0) (0) 0
均值生成
1 Z (t ) [ X (0) (t ) X (0) (t 1)],t 2,3,, n. 2
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灰色预测模型
设X
(0)
二 GM（1，1）模型定义
(1) (0)
为非负序列， X 为 X
的 1－AGO 序列，
Z (1) 为 X (1) 的邻均值生成序列
dX (1) aX (1) b dt
GM（1，1）
X ( 0 ) ( k ) aZ (1) ( k ) b
13
灰色预测模型
Y X
(0)
二 GM（1，1）模型定义
26.7
2
58.1024
3
90.8879
4
125.1173
5
160.8542
6
198.1651
⑵算得累减生成序列：
t值
ˆ ( 0 ) (t ) X
1
26.7
2
31.4024
3
32.2855
4
34.2294
5
35.7369
6
37.3109
26
灰色预测模型
五 GM(1,1)预测模型举例
⑶算得绝对误差序列： Δ(0)＝｛0, 0.0976, 0.0145, 0.1294, 0.0631, 0.1891｝ 相对误差序列: Φ＝｛0, 0.310％, 0.044％, 0.379％, 0.176％, 0.504％｝ 绝对误差均小于0.20；相对误差均小于0.6％，说明模 型精度较高。
22
灰色预测模型
例: 序号t 产量X(0)(t)
五 GM(1,1)预测模型举例
1 2 3 4 5 6 26.7 31.5 32.8 34.1 35.8 37.5
预测第8期产量？ 解： 第一步：构造累加生成序列: X(1) ={26.7,58.2,91,125.1,160.9,198.4}
23
灰色预测模型
M max max i k 0.2335
m min min i k 0
20
灰色预测模型
三 模型检验
第四步：计算关联系数 取ρ=0.5，有：
0.11675 1i k , i 2,3 i k 0.11675
从而：
12 1 1
25
灰色预测模型
第五步：残差检验：
五 GM(1,1)预测模型举例
ˆ a ˆ ˆt (1) (0) b b ˆ ]e 713 .0059 e 0.0431t 686 .3059 ⑴由预测模型 X (t 1) [ X (1) a ˆ ˆ a
算得：
t值
ˆ (1) (t ) X
1
X (1) X (1) (1), X (1) (2), X (1) (3),, X (1) (n)
累加生成
X
(1)
(t ) X ( 0 ) (i ) X (1) (t 1) X ( 0 ) (t ), t 1,2, , n
i 1
t
X ( m ) (t ) X ( m 1) (i ), t 1,2, , n
1,1.063,1.1227,1.1483 X2
1,.097,1.0294,1.0294 X3
19
灰色预测模型
第二步：求序列差
三 模型检验
2 0,0.1155,0.1992,0.2335
3 0,0.0225,0.1059,0.1146
第三步：求两极差
ij
min X 0 ( j ) X i ( j ) max max X 0 ( j ) X i ( j )
j i j
X 0 ( j ) X i ( j ) max max X 0 ( j ) X i ( j )
i j
其中, j 1, 2, , n
1 n i ij n j 1
5
灰色预测模型的提出
灰色预测模型的首篇论文：
邓聚龙 《灰色动态模型(GM)及在粮食长期预测 中的应用》
6
灰色预测分类
（1）灰色时间序列预测：用观察到的反映预测对象 特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 （2）畸变预测：通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 （3）系统预测：通过对系统行为特征指标建立一组 相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间 的相互协调关系的变化。 （4）拓扑预测：将原始数据作曲线，在曲线上按定 值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架 构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的 时点。
7
灰色预测模型思想
8
灰色预测模块思想
模块: 在时间-数据二维平面上将连续曲线及其底部相连接的区域 数据 灰色模块
白色模块 时间
9
预测时点
灰色预测模块思想
数据 零增长率情形 数据 指数增长情形
灰色模块
白色模块 时间
பைடு நூலகம்
白色模块 时间 预测时点
预测时点
10
灰色预测模块思想
研究步骤: (1)典型模块(典型曲线) 的信息收集; (2)对原始白色信息进 行典型曲线建模; (3)对原始白色信息和 典型曲线拟合信息进 行精度检验和关联分 析; (4)选定典型拟合曲线; (5)确定上下界灰模块; (6)预测.
dX dt
(1)
(1) ˆ ˆ aX b
Y XB
ˆ a ˆ ˆt (1 ) (0) b b ˆ X (t 1) [ X (1) ]e ˆ ˆ a a ˆ ( 0 ) (t 1) X ˆ (1) (t 1) X ˆ (1) (t ) X
14
灰色预测模型
三 模型检验
1 1 1 1 1
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灰色预测模型
五 GM(1,1)预测模型举例
第三步：估计参数向量B:
ˆ a 1 71765.09 T T ˆ B b X X X Y 547.75 ˆ 0.04305 29.54547 547.75 19324.8 5 171.7
C S 2 / S1
p P e( k ) e 0.6745 S1
16
灰色预测模型
三 模型检验
精度检验等级参照表
模型精度等级 均方差比值C 1级（好） 2级（合格） 3级（勉强） C<=0.35 0.35<C<=0.5 0.5<C<=0.65 小误差概率p 0.95<=p 0.80<=p<0.95 0.70<=p<0.80 P<0.70
xmax (n t ) x(n) max t
数据
x ( n t ) x ( n) t
xmin ( n t ) x ( n) min t
白色模块 时间 预测时点
11
灰色预测模型
一 灰色系统生成方式
X (0) X (0) (1), X (0) (2), X (0) (3),, X (0) (n)
五 GM(1,1)预测模型举例
第二步：构造数据矩阵X和Y:
X (0) (2) (0) 31 .5 X (3) 32 .8 Y X ( 0 ) ( 4 ) 34 .1 X ( 0 ) (5 ) 35 .8 (0) 37 .5 X ( 6 )
4级（不合格） 0.65<C
模型的精度级别 Max p的级别, C的级别
17
灰色预测模型
三 模型检验
检验方法3：关联度检验
设X 0 X 0 (1), X 0 (2), , X 0 ( n) 为参考序列, X i X i (1), X i (2), , X i ( n) , i 1, 2, , m为 其它序列, 则X 0与X i的关联系数为 :
13 1 1
12 2 0.503
12 3 0.3695
12 4 0.3333
13 2 0.8384 13 3 0.5244 13 4 0.504
第五步：求关联度
12
1 4 1 4 12 k 0.551 13 13 k 0.717 4 k 1 4 k 1
部分信息已知 部分信息未知
信息未知
信息完全 已知
3
灰色预测模型的提出
控制论:只考虑输入与输出
Input
Output
灰色系统理论:着重于系统内部结构、参数与总体特征 的研究，尽可能发挥已知信息的作用。
4
灰色预测模型的提出
定义：灰色系统是指“部分信息已知,部分 信息未知”的小样本,贫信息的不确定性系 统,它通过对部分已知信息的生成、开发去 了解、认识现实世界，实现对系统运行行 为和演化规律的正确把握和描述.
第五章 时间序列预测
灰色预测模型
1
灰色预测模型的提出
灰色系统理论：著名学者邓聚龙教授于1982年提出
诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文 “The Control Problems of Grey Systems”，发表于 北荷兰期刊System & Control Letter，1982。
2
灰色预测模型的提出