多因素时间序列的灰色预测模型
灰色预测模型公式
灰色预测模型公式灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它可以用来预测未来某个事件或指标的发展趋势。
灰色预测模型的核心思想是利用系统自身的信息和规律，通过建立灰色微分方程来进行预测。
灰色预测模型的公式可以表示为：$$\hat{X}_{0}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$$$\hat{X}_{i}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$$$\hat{X}_{i+1}^{(1)} = aX_{i}^{(1)} + b$$$$\hat{X}_{i+1}^{(k+1)} = aX_{i}^{(k+1)} + b$$其中，$X_{0}^{(k)}$表示观测数据的累加生成序列，$\hat{X}_{i}^{(k)}$表示预测值，$a$和$b$为待确定的系数。
灰色预测模型的核心思想是将数据分为两个部分：系统的发展规律部分和随机波动部分。
系统的发展规律部分可以通过灰色微分方程进行建模和预测，而随机波动部分则通过随机项来表示。
灰色预测模型的建模步骤如下：1. 数据预处理：对原始数据进行平滑处理，消除随机波动的影响，得到累加生成序列。
2. 确定发展规律：根据累加生成序列，建立灰色微分方程，估计系统的发展规律。
3. 模型参数估计：通过最小二乘法估计模型的参数，确定$a$和$b$的值。
4. 模型检验和优化：对模型进行检验和优化，确保预测结果的准确性和可靠性。
5. 模型预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测。
灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
它可以用来预测各种经济指标、环境数据、自然灾害等，为决策提供科学依据。
同时，灰色预测模型还可以用于评估和分析系统的可持续发展能力，帮助企业和机构合理规划和管理资源。
灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它通过利用系统自身的信息和规律，建立灰色微分方程来进行预测。
灰色预测模型及其应用
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
4.2 灰色系统的模型
对数据累加
x(1) (1) x(0) (1) 6， x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2) 6 3 9， x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) 6 3+8 17， x(1) (4) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0) (5)
第四章 灰色预测模型及其应用
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过少量 的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的 一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决 实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题 的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是 根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于 科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述 和分析，并形成科学的假设和判断.
（5）系统预测. 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰 色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
数学建模-灰色预测模型(讲解
2 灰色系统的模型
在灰色系统理论中，把一切随机变量都看作灰色数，
即使在指定范围内变化的所有白色数的全体，对灰数处理 主要是利用数据处理的方法去寻求数据间的内在规律，通 过对已知数据列中的数据进行处理而产生新的数据列，以 此来研究寻求数据的规律性，这种方法称为数据的生成。
得到原始数据序列
7.3 销售额预测
注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我 们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常 微分方程。
7.2 灰色系统的模型
4.GM(1,1)的建模步骤 综上所述，GM(1,1)的建模步骤如下：
销售额预测
7.3 销售额预测
随着生产的发展、消费的扩大，市场需求通常总是 增加的，一个商店、一个地区的销售额常常呈增长趋 势. 因此，这些数据符合建立灰色预测模型的要求。
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
7.2 灰色系统的模型
x(1) (5) x(1) (5) x(1) (4) 34 27 7， x(1) (4) x(1) (4) x(1) (3) 27 17 10， x(1) (3) x(1) (3) x(1) (2) 17 9 8， x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) 9 6 3， x(1) (1) x(1) (1) x(1) (0) 6 0 6. 归纳上面的式子得到如下结果：一次后减
1 灰色系统的定义和特点 2 灰色系统的模型 3 Sars 疫情 4 销售额预测 5 城市道路交通事故次数的灰色预测 6 城市火灾发生次数的灰色预测 7灾变与异常值预测
多因素时间序列的灰色预测模型
（ （ ） （ 一 １ ２ … ， 表示 影 响事物 发展 的单 因素 时 间序列 ． ０ ｎ ）ｉ ） ， ， ）
１ １ 单 因素 时 间序 列 的 Ｄ Ｍ （ 。 ） 型 ． Ｇ １１ 模
对 于单 因素 原始 时间序 列 ｛ ０｝ Ｘ（ （ ） 一 １ ２ … ， ） 根据 灰 色系统 理论 建模 方 法 ， Ｄ ，， Ｐ ， 得 ＧＭ（ ， ） １ １ 模
Ｖｏ ． ９ ＮＯ ２ １３ ．
Ａ ｐｒ ２ ７ ． ００
多 因素 时间序列 的灰色预测模 型
苏变 萍 ， 曹艳 平 ， 王 婷
（ 安 建 筑 科 技 大学 理 学 院 ， 西 西 安 ７ ０ ５ ） 西 陕 １０ ５
摘
要 ： 于 传 统 的 单 因 素 时 间 序 列 预 测 法 在 实 际 应 用 中 的不 足 之 处 ， 出 采 用 灰 色 Ｄ 对 提 ＧＭ （ ， ） 型 和 多 元 １１模
维普资讯
２０ ９
西
安
建
筑
科
技
大
学
学
报（ 自然 科学 版 ）
第３ ９卷
Ｄ ＧＭ（ ， ） 型计 算 出 ｔ １１ 模 时刻 的预测值 ． Ｉ Ⅱ 为估 计参 数 （ 一 ０ １ ２ … ， ） ｉ ， ，， ｐ ．
参 数 ａ（ 一 ０ １ ２ … ， 的确 定 ： ｉ ， ， ， ） 在 获得历 史 观测数 据 ｙ ｔ １ 、 （ 一 ２ 、 （ 一 ）ｙ ｔ ） ……ｙ ｔ （ — ） 和 （ 一 １ 、 （ 一２ 、 … （一 ） ≤ ￡ ） ￡ ） … ￡ （
究 与 比较 后 ， 采用 多元 回归 的原理建 立 多 因素时 间序列 的灰 色预 测模 型 ：
灰色预测模型
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
灰色预测模型
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累加生成简介
累加生成
累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加以 得到新的数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后 的数列称为生成数列.累加生成是使灰色过程由灰变白 的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要地位,通 过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱 的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生 成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成 新的序列的一种手段.
由于
∆t
涉及到累加列 x(1)
的两个时刻的值，因此，x(1) (i)
取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将 x(i) (i) 替换为
1 [x(i) (i) + x(i) (i −1)], (i = 2, 3,..., N ). 2 x(=i) 1 [x(i) (i) + x(i) (i −1)],=(i 2, 3,..., N ).
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灰色系统理论简介
灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于 1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起了不 少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前， 在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领 域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与 建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统 计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独 特的功效，因此得到了广泛的应用.
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灰色系统理论简介
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、 预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统 所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分 析等），需要较大的样本.若样本较小，常造成较 大误差，使预测目标失效.灰色预测模型所需建模 信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领 域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的 有效工具.
灰色预测模型理论及其应用
灰色预测模型理论及其应用灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。
一、灰色系统及灰色预测的概念1.1灰色系统灰色系统产生于控制理论的研究中。
若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。
若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。
灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。
区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。
特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。
1.2灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。
生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。
灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：(1) 灰色时间序列预测。
用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。
(2) 畸变预测（灾变预测）。
通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。
灰色模型原理
灰色系统理论是由我国学者邓聚龙教授于1982年创立的一门横断面大、渗透性强、应用面极广的边缘学科。
它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行规律的正确认识和有效控制。
如人口系统涉及因素太多，具有明显的灰色性，适宜采用灰色模型去发掘和认识其原始时间序列综合灰色量所包涵的内在规律。
下面以灰色模型中应用广泛的GM(l ，l)模型为例，介绍灰色建模方法设)0(X = [)0(x (1), )0(x (2), …, )0(x (n)]为系统输出的非负原始数据序列，对序列)0(X 进行一阶累加生成，得生成序列)1(X ，即)()1(k x =)(1)0(i x ki ∑= (k = 1, 2, …, n)GM(1, 1)预测模型是一阶单变量的灰色微分方程动态模型)()0(k x + )()1(k az = b (k = 1, 2, …, n) (1)其中)()1(k z 为)()1(k x 的紧邻均值生成，即)()1(k z = 0.5[)()1(k x +)1()1(-k x ]，式(1)白化方程形式为:b ax dtdx =+)1()1( 其中a ,b 为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作用量,a 的有效区间是(-2, 2)。
应用最小二乘法可经下式求得：aˆ = T b a ),(= n T T Y B B B ⋅⋅-1)( 其中 B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-111)),()1((2/1)),3()2((2/1 )),2()1((2/1)1()1()1()1()1()1( n x n x x x x x n Y = [)0(x (2), )0(x (3), …, )0(x (n)] 方程的解即时间响应函数为⎪⎩⎪⎨⎧-+=++⋅-=+-)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ))1(()1(ˆ)1()1()0()0()1(k x k x k xa b e a b x k x ak模型检验为确保所建灰色模型有较高的精度应用于预测实践，可用残差进行检验：(1) 求出)()0(k x 与)(ˆ)0(k x之残差)(k e 、相对误差k ∆和平均相对误差∆： )(ˆ)()()0()0(k x k x k e -=， %100)()()0(⨯=∆k x k e k ， ∑=∆=∆n k k n 11 (2) 求出原始数据平均值x ，残差平均值e ：x = ∑=n k x n 1)0(1(k), e = )(112)0(∑=-n k k e n (3) 求出原始数据方差21s 与残差方差22s 的均方差比值C 和小误差概率P ：21s = ∑=-n k x k x n 12)0(])([1， 22)0(22])([11e k e n s n k --=∑= C =2s /1s , p = P{e k e -)()0( < 0.67451s }通常)(k e 、k ∆、C 值越小，p 值越大，则模型精度越好。
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表中的回归系数得如下多因素预测模型 :
2
^
^
^
^
y= 1333. 8 + 0. 7804 ×x 1 (t) + 0. 1491 ×x2 (t) + 0. 1845 ×x3 (t)
(6 )
^ () ^ () ^ ()
()
最后 ,将表 1 中 2003 ———2005 年的预测值 x1 t 、x2 t 、x3 t 分别代入上述模型 6 ,即可得到
参数 ai (i = 0 ,1 ,2 , …, p) 的确定:
( )( )
(
)
( )( )
( )(
在获得历史观测数据 y t - 1 、y t - 2 、……y t - m 和 xi t - 1 、xi t - 2 、……xi t - m m ≤
n,i = 1 ,2 , …,p) 后,将 y(t -
(
)
29 2
西 安 建 筑 科 技 大 学 学 报 自然科学版
第 39 卷
者的优点 ,既克服了时间序列的随机因素影响 ,又综合考虑了影响事物发展的多种因素 ,从而达到提高 预测精度和增加预测结果可靠性的效果. 同时也为研究多因素时间序列提供了一种新的方法.
参考文献 References
[1] 徐国祥 . 统计预测和决策[ M]. 上海 :上海财经大学出版社 ,1998.
(西安建筑科 技大学理学院 ,陕西 西安 710055)
摘 要 :对于传统的单因素时间序列预测法在实际应 用中的不足之处 ,提出采 用灰色 DGM(1 ,1) 模型和 多元 线性回归原理相结合的方法 ,综合各种因素 建立多因素时间序列的灰色预测模型 。它首先利用 DGM(1 ,1) 模 型对影响事物发展趋势的各项因素进行预测 ;然后利用多元线性回 归法将各 种因素综合 起来 ,以预测事 物的 发展趋势 。最后将该模型应用于预测分析陕西省的就业状 况 ,取得 了较好的 预测效果 ,同时也 验证了此模 型 的可行性 。
Primary industry GDP/ 100million yuan
314. 97 328. 23 342. 06 1. 04211 255. 129 0. 003872 0. 944851 0. 125724
1
Secondary industry GDP/ 100million yuan
1043. 52 1177. 24 1328. 09 1. 12814
本文将以陕西省的就业状况预测分析为例 ,对上述所建立的多因素时间序列的灰色预测模型进行 可行性与实用性验证 ,在此以就业人数 (Y) 作为因变量 ,以 X1 、X2 、X3 分别表示第一、二、三产业 GDP , 作为多因素变量,特收集了 1988 ～ 2002 年这四个变量的数据 (见[9] ) 通过建模进行预测分析.
关键词 : 时间序列 ;单因素 ;多因素 ;预测模型
3
中图分类号 :TB114
文献标识 码 :A
文章编号 :100627930 2007 0220289204 ( )
.
多年以来 ,对时间序列的预测研究 ,大多是停留在对单因素时间序列上 ,对其预测通常采用的是趋 势外推法[122] ,而且该方法适合于原始时间序列规律性较好的情况 ,若时间序列中包含了随机因素的影 响 ,再采用这种方法得出的预测结果可能会失真. 同时 ,客观世界又是复杂多变的 ,事物的发展通常不 是由某个单个因素决定 ,往往是许多错综复杂的因素综合作用的结果 ,为了对某项事物的发展做出更加 符合实际的预测 ,这就需要来探讨多因素时间序列的预测问题 ,正是基于这些 ,本文在应用灰色 DGM (1 ,1)模型对单因素时间序列预测的基础上 ,结合多元回归原理 ,提出建立多因素时间序列的灰色预测 模型 ,这样就充分发挥了二者的优点 ,既克服了时间序列的随机因素影响 ,又综合考虑了影响事物发展 的多种因素 ,从而达到提高预测精度和增加预测结果可靠性的效果.
第 39 卷 第 2 期 2007 年 4 月
西 安 建 筑 科 技 大 学 学 报 (自然科学版)
(
)
J1Xi’an Univ. of Arch. & Tech. Natural Science Edition
Vol.39 No.2 Apr. 2007
多因素时间序列的灰色预测模型
苏变萍 ,曹艳平 ,王 婷
表 2 多元线性回 归模型概述 Tab.2 Summary on multi2element linear regression model
a0 1333. 8
Regression coefficient
a1
a2
0. 7804
0. 1491
a3 0. 1845
R 0. 9091
Verifiable value
R
F
0. 8263
21. 47
Sig 0. 000
表 2 中的相关系数 R=0.9091 ,可决系数 R 2 =0.8263 都比较接近于 1 ,且 F= 21.47 ,显著性概率
Sig =0.000 <0.05 ,这些表明因变量 Y与多因素变量 X1 , X 2 , X 3 之间存在高度显著的线性关系. 根据
2003 1911 1903 0. 004
year 2004 1884. 1 1953. 1 0. 037
2005 1882. 9 1986. 3 0. 055
Mean relative error
——— ——— 0. 032
() 从表 3 中看到 2003 - 2005 年的陕西省就业人数预测值分别为 1903、1953.1 、1986.3 万人 ,相对 于实际值的误差分别为 0.004 、0.037、0.055 ,并且对这三年预测的平均相对误差为 0.032,可见这一结 果是比较理想 ,同时也说明所建立的多因素时间序列灰色预测模型是可行的.
1 模型的建立
设 Y = (y(1) , y (2) , …, y(n)) 表示事物发展的特征因素时间序列, Xi
()
xi
(n)) (i = 1 ,2 ,…,p) 表示影响事物发展的单因素时间序列.
(0)
( 0)
(0)
= (xi (1) , xi (2) , …,
1.1 单因素时间序列的 DGM(1,1) 模型
Accuracy test p:
表 1 第一 、二 、三产业 GDP 的预测值及检验 Tab. 1 Prediction and check on the value of Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ
Item
2003 ( Year ) 2004 ( Year ) 2005 ( Year)
a b α: ε: C: 1
()
对于单因素原始时间序列{ Xi } (i = 1 ,2 , …,p) ,根据灰色系统理论建模方法 型[4] :
,得 DGM (1 ,1) 模
^x (t) = x (1) = x (0()1)
(1 )
()
xi (1)a (1 - a) + a b,t > 1
1.2 多因素时间序列的预测模型
为了能将影响事物发展的众多因素结合起来进行综合预测和相关因素的预测分析 ,在经过多次研
2003 年 ———2005 年陕西省就业人数的预测值 ,并且与该时期的实际值进行比较见表 3.
表 3 陕西省就业人数预测比较
Tab. 3 Prediction and comparison on employment of Shaanxi province
Item
Actual value Predicted value Predicted relative error
DGM (1 ,1) 模型进行修正 [3] .
对于所建立的多因素预测模型主要有以下两种检验方法 :
()
2
m
2
( ∑( (
)
) )2
m
∑ 1 ( (
)(
h=1
m
)
∑( (
)
(
)) 2(
h=1
Hale Waihona Puke h=12 F 检验 : F =
H/ p
m
∑ ; 其中 H =
y ^t - h - Y 回归离差
S/ m - p - 1
h=1
在模型检验中 ,可决系数 R2 越接近于 1 越好,而对于 F检验, F服从 F(p ,m -
)
p - 1) 分布 ,给定显
著水平 α,如果 F ≥F(p,m - p - 1) 则表明该线性回归模型显著;如果 F < F(p,m - p - 1) 则表明该
线性回归模型不显著 ,不能用于预测.
3 模型的应用
571. 51 0. 003174 0. 999665 0. 023773
1
Tertia ry industry GDP/100million yuan
909. 52 1016. 63 1136. 36 1. 11777 520. 189 0. 007208 0. 996845 0. 067809
() 通过表 1 的几项检验 ,我们发现对 X1 、X2 、X3 所建立的 DGM 1 ,1 预测模型是合格的 ,因此可用 它们的预测值对 Y(就业人数)进行预测. 其次 ,对于 1.2 中所建的多因素预测模型 (2 ) ,借助于统计软件 SPSS11.5 进行多元线性回归分析 得如下主要结果 ,见表 2.
2 模型的检验
对于单因素 DGM (1,1) 模型的检验也可借助于平均相对误差 α、关联度 ε、均方差比值 C及小误差
概率 p 四种检验方法[3] . 一个好的预测要求 α、C 越小越好 ,而 ε、p 越大越好 ,按照 α、C、、p 的大小可将其 ε
精度检验分为四个等级见[3,8] , 如果经检验不合格 , 可在此基础上建立残差 GM(1 ,1) 模型或残差