马尔科夫链详解
第三章 马尔可夫链
第三章 马尔可夫链 一、马尔可夫链的概念马尔可夫过程是一类有重要应用意义的随机过程，它具有如下特征：随机过程‘将来’所处的状态仅与‘现在’所处的状态有关，而与‘过去’曾处于什么状态无关。
马尔可夫过程按其状态和时间参数是离散还是连续的可以分成三类 （1） 时间和状态都是离散的马尔可夫过程，称为马尔可夫链。
（2） 时间连续、状态离散的马尔可夫过程，称为连续时间的马尔可夫链。
（3） 时间和状态都连续的马尔可夫过程。
本章介绍马尔可夫链定义1 设}0,{≥n X n 为随机序列，其状态空间为},,,{210 i i i I =，如果对任意正整数n 及任意n+2个状态I i i i i n ∈+1210,,,, ，有},,,{110011n n n n i X i X i X i X P ====++}{11n n n n i X i X P ===++则称此随机序列}0,{≥n X n 为马尔可夫链。
若将时刻n 称为‘现在’，将时刻n+1称为‘将来’，而把0，1，2，……，n-1称为‘过去’。
定义中的等式便可通俗解释为：在已知}0,{≥n X n ‘现在’所处的状态条件下，‘将来’所要达到的状态与‘过去’所经历的状态无关，这一特性常称为马尔可夫的无后效性。
例1．一个n 级数字传输系统，每一级的输入和输出信号只取0或1两个值，每一级的输出是下一级的输入；并假定当一级输入为0时，其输出为0和为1的概率分别为p 和1-p;当输入为1时，其输出为1和0的概率分别为p 和1-p （见图）令Xn 表示第n 级输出，则{ Xn,n ≥0}便为一个马尔可夫链。
例2．从1，2，……，N 数字中任取一个数，记为X0；再从1，2，……，X0数字中任取一个数，记为X1；再从1，2，……，X1中任取一个数，记为X2；依此类推，在1，2，……，Xn-1中任取一个数，记为Xn 。
可以证明{ Xn,n ≥0}为马尔可夫链。
事实上，{ Xn,n ≥0}的状态空间为I={1，2，……，N}，对任意正整数n ，取n+1个状态I i i i i n ,,,,210 ,由题意可知故{ Xn,n ≥0}为马尔可夫链。
随机过程报告——马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。
它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。
这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上改变它的状态。
随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ⋯其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。
定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足}i {},...,i X i {1n 10001n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。
实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。
如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。
或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。
这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。
假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。
定义1.2 条件概率}{P 1)(i X j X p n n n ij ===+称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转移概率。
一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。
当)(P n ij 不依赖于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。
若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫链Xn,n ∈T}的转移概率)(P n ij 与n 无关，则称马尔可夫链是齐次的。
第四章 马尔可夫链
股市预测
预测股票价格变化 基于历史数据建立模型 考虑股票之间的相关性 用于投资决策和风险管理
05
马尔可夫链的算法
状态转移矩阵算法
定义：状态转移 矩阵算法是马尔 可夫链中用于描 述状态转移概率 的算法
计算方法：根据 历史数据和当前 状态计算未来的 状态转移概率
应用场景：广泛 应用于自然语言 处理、语音识别、 机器翻译等领域
类问题等。
可扩展性强： 马尔可夫链可 以通过增加状 态和转移概率 来扩展模型， 以处理更复杂
的问题。
缺点
状态转移概率矩 阵必须已知
无法处理连续时 间或非齐次过程
无法处理多维或 多状态过程
无法处理非马尔 可夫过程
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特点：隐马尔可夫链的状态转移和观测概率是参数化的，需要通过训练数据来估计。
应用：隐马尔可夫链在语音识别、自然语言处理、机器翻译等领域有广泛应用。
算法：隐马尔可夫链的算法包括前向-后向算法、Viterbi算法和Baum-Welch算法等。
04
马尔可夫链的应用
自然语言处理
文本分类：利 用马尔可夫链 对文本进行分 类，如垃圾邮 件过滤、情感
01
添加章节标题
02
马尔可夫链的定义
状态转移
定义：马尔可夫链的状态转移概率是描述状态之间转移的规则
特性：状态转移具有无记忆性，即下一个状态只与当前状态有关，与过去状态无关
转移矩阵：描述状态转移概率的矩阵
稳态分布：在长期状态下，马尔可夫链将趋于一个稳态分布，该分布描述
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马尔可夫链
,a click to unlimited possibilities
马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫链（Markov chains ）是一类重要的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无限的。
经过一段时间系统从一个状态转到另一个状态这种进程只依赖于当前出发时的状态而与以前的历史无关。
马尔可夫链有着广泛的应用，也是研究排队系统的重要工具。
1) 离散时间参数的马尔可夫链 ①基本概念定义 5.7 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个随机过程，状态空间{0,1,2,}E =，如果对于任意的一组整数时间120k n n n ∙∙∙≤<<<，以及任意状态12,,,k i i i E ∈，都有条件概率11{()|()}k k k k P X n i X n i --=== （5-17）即过程{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，未来所处的状态只与当前的状态有关，而与以前曾处于什么状态无关，则称{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个离散时间参数的马尔可夫链。
当E 为可列无限集时称其为可列无限状态的马尔可夫链，否则称其为有限状态的马尔可夫链。
定义5.8 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E =上的马尔可夫链，条件概率(,){()|()}ij p m k P X m k j X m i i j E =+==∈，、 （5-18）称为马尔可夫链{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，在m 时刻的k 步转移概率。
k 步转移概率的直观意义是：质点在时刻m 处于状态i 的条件下，再经过k 步（k 个单位时间）转移到状态j 的条件概率。
特别地，当1k =时，(,1){(1)|()}ij p m P X m j X m i =+== （5-19）称为一步转移概率，简称转移概率。
如果k 步转移概率(,)ij p m k i j E ∈，、，只与k 有关，而与时间起点m 无关，则{()}X n 称为离散时间的齐次马尔可夫链。
定义5.9 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E ∙∙∙=上的马尔可夫链，矩阵000101011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n j j jn p m k p m k p m k p m k p m k p m k P m k p m k p m k p m k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5-20） 称为{()}X n 在m 时刻的k 步转移概率矩阵。
马尔可夫链的基本概念与应用
马尔可夫链的基本概念与应用随机过程是用来描述随机事件演变的数学模型。
在现实生活中，很多情况下的随机事件都有时间上的相关性，也就是说当前的随机事件决定于之前的一些随机事件，这就涉及到了马尔可夫链。
马尔可夫链是序列上的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只由当前状态决定，而与之前的状态无关。
马尔可夫链的概念和应用在各个领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念和应用两个方面介绍马尔可夫链。
一、基本概念马尔可夫链是一个由若干个状态及其转移概率组成的随机过程。
若状态空间为S={s1,s2,...,sn}，则一个马尔可夫链可以表示为一个n×n的矩阵P={pij}，其中pij表示转移从状态si到状态sj的概率。
一般来说，一个马尔可夫链从某一个状态开始，每一次转移是根据概率分布进行的，而且每次的转移只依赖于当前状态，而不依赖于之前的状态。
这也就是说，如果我们知道当前状态，就可以确定下一步的状态。
马尔可夫链的一个重要概念是状态转移矩阵。
状态转移矩阵是指某一时刻处于一个状态，下一时刻转移到另一个状态的所有可能性的概率矩阵。
在状态转移矩阵中，每一个元素pij表示从状态i 转移到状态 j 的概率。
状态转移矩阵是唯一的，因为每个状态只有一种可能的下一个状态。
马尔可夫链是一种随机过程，因此它的演化具有随机性。
由于其状态转移矩阵具有随机性，所以我们可以通过模拟来预测其未来的状态。
在模拟马尔可夫链时，我们需要一个状态转移矩阵和一个初始状态。
然后，根据初始状态和状态转移矩阵，我们可以生成整个马尔可夫链的状态序列。
二、应用马尔可夫链在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用。
1.自然语言处理在自然语言处理中，马尔可夫链被广泛用于以下场景：文本生成、词性标注、语音识别、机器翻译等等。
其中，最常见的应用是文本生成。
文本生成是指通过某种方式生成一段看似自然的、有意义的文本，而马尔可夫链是一种被广泛应用于文本生成的方法。
马尔可夫链生成文本的基本思路是：通过一个有限的语料库训练出一个马尔可夫模型，然后随机生成一些文本，最后通过概率分布进行筛选，从而得到一些看似自然的、有意义的文本。
《马尔可夫链分析法》课件
马尔可夫链分析法具有无后效性 、离散性和随机性，适用于描述 大量随机现象，如股票价格、人 口迁移等。
马尔可夫链分析法的应用领域
金融领域
马尔可夫链分析法用于描述股票价格、汇率等金融市场的随机波 动，以及风险评估和投资组合优化。
自然领域
在生态学、气象学、地质学等领域，马尔可夫链分析法用于描述物 种分布、气候变化、地震等自然现象。
ABCD
云计算应用
利用云计算资源，实现大规模数据的快速处理和 分析。
跨学科合作
加强与其他学科领域的合作，共同推动马尔可夫 链分析法的技术创新和应用拓展。
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CHAPTER 03
马尔可夫链分析法的基本步 骤
建立状态转移矩阵
确定系统的状态空间
首先需要确定系统可能的状态，并为其编号。
计算状态转移概率
根据历史数据或实验结果，计算从一个状态转移到另一个状态的 概率。
构建状态转移矩阵
将状态转移概率按照矩阵的形式排列，形成状态转移矩阵。
计算稳态概率
初始化概率向量
系统的长期行为
02
通过分析稳态概率，可以了解系统的长期行为和趋势，例如系
统的最终状态分布、系统的平衡点等。
预测未来状态
03
基于稳态概率，可以对系统未来的状态进行预测，从而为决策
提供依据。
CHAPTER 04
马尔可夫链分析法的应用实 例
人口迁移模型
描述人口迁移的动态过程
马尔可夫链分析法用于描述人口迁移的动态过程，通过分析人口在各个地区之间 的转移概率，预测未来人口分布情况。这种方法可以帮助政府和企业了解人口流 动趋势，制定相应的政策和计划。
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种特殊的随机过程，广泛应用于统计学、机器学习、经济学、计算机科学等多个领域。
为了深入理解马尔可夫链的概念，我们先从基本定义开始，再逐步探讨其性质、分类、应用及实例分析。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种具有“无记忆”特性的随机过程，即在给定当前状态的前提下，未来状态与过去状态无关。
换句话说，系统的未来发展只依赖于当前的状态，而不依赖于以前的状态。
这一特性通常被称为“马尔可夫性”，是马尔可夫链最大的特点。
在形式上，我们可以定义一个离散时间的马尔可夫链为一个由状态集合 ( S ) 组成的序列，其中 ( S ) 可能是有限的也可能是无限的。
设 ( X_n ) 为在时间 ( n ) 时刻该过程所处的状态，若满足条件：[ P(X_{n+1} = j | X_n = i, X_{n-1} = k, , X_0 = m) =P(X_{n+1} = j | X_n = i) ]其中，( P ) 是条件概率，这就表明该过程符合马尔可夫性质。
二、马尔可夫链的基本组成要素状态空间：状态空间是指系统所有可能的状态集合，通常用集合 ( S ) 表示。
例如，一个简单天气模型可以将状态空间定义为 ( S = {晴天, 雨天} )。
转移概率：马尔可夫链中的转移概率是指从一个状态转移到另一个状态的概率。
对于有限状态空间，转移概率通常用转移矩阵表示，其元素 ( P_{ij} ) 表示从状态 ( i ) 转移到状态 ( j ) 的概率。
初始分布：初始分布描述了系统在时间 ( t=0 ) 时，各个状态出现的概率。
通常用一个向量表示，如 ( _0(i) ) 代表在初始时刻处于状态 ( i ) 的概率。
三、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有许多重要的性质，其中最为关键的是遍历性和极限性。
遍历性：如果一个马尔可夫链在长期运行后，将以一种稳定的方式达到各个状态，并且这个稳态与初始选择无关，那么我们称它为遍历。
换句话说，一个遍历性的马尔可夫链在达到平稳分布后，各个状态出现的概率将保持不变。
利用马尔可夫链预测用户行为
利用马尔可夫链预测用户行为马尔可夫链是一种随机过程，被广泛应用于许多领域，包括自然语言处理、金融市场分析和预测等。
在个性化推荐系统中，利用马尔可夫链可以预测用户行为，提高推荐算法的准确性和效果。
本文将介绍利用马尔可夫链预测用户行为的原理和应用。
一、马尔可夫链基础概念及原理解释马尔可夫链是一种随机过程，具备"马尔可夫性"。
所谓"马尔可夫性"指的是，某一时刻状态的转移只依赖于前一时刻的状态，而与过去的状态序列无关。
如下所示：P(Xn+1 = x | X0, X1, ..., Xn) = P(Xn+1 = x | Xn)其中，Xn表示第n个时刻的状态，P(Xn+1 = x | X0, X1, ..., Xn)表示在X0, X1, ..., Xn的条件下，第n+1个时刻的状态为x的概率。
利用马尔可夫链预测用户行为的基本假设是用户的行为具备马尔可夫性，即用户在当前时刻的行为只依赖于前一时刻的行为。
例如，用户在某个电商平台上的购买行为可能与其之前的点击、加购物车等行为有关，而与更久远的历史行为无关。
二、基于马尔可夫链的用户行为预测方法1. 数据预处理在利用马尔可夫链预测用户行为之前，需要对原始数据进行预处理。
预处理包括数据清洗、特征提取等步骤。
具体来说，可以根据用户行为数据构建状态空间和状态转移矩阵。
2. 构建状态空间状态空间是指用户行为的所有可能状态的集合。
例如，在一个电商平台上，用户的行为可以包括浏览商品、加购物车、下订单、支付等。
因此，状态空间可以包括"浏览商品"、"加购物车"、"下订单"、"支付"等状态。
3. 构建状态转移矩阵状态转移矩阵描述了用户行为在不同状态之间的转移概率。
具体来说，对于状态空间中的每一个状态，计算用户从该状态转移到其他状态的概率。
例如，对于状态"浏览商品"，可以统计用户在浏览商品后转移到"加购物车"、"下订单"或其他状态的概率。
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4
定义 1 设{ Xn , n 1,2, }是一个随机序列，状态 空间 E为有限或可列集，对于任意的正整数m,n，若
i, j,ik E(k 1, ,n 1)，有
15
解 设 Xn(n 1, ,97) 为第 n 个时段的计算机状 态，可以认为它是一个时齐马氏链，状态空间
E {0,1}。要分别统计各状态一步转移的次数，即
0→0，0→1，1→0，1→1 的次数，也就是要统计数据
字符串中‘00’，‘01’，‘10’，‘11’四个子串的个数。
利用 Matlab 软件，求得 96 次状态转移的情况是
马尔科夫Markov链
Markov原名A.A. Markov（俄，1856－1922） 于1906年开始研究此类问题.
1
1 马尔可夫链的定义 现实世界中有很多这样的现象，某一系统在已知 现在情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有 关，而与过去的历史无直接关系。比如，研究一个商 店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知， 则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一 时刻累计销售额无关。描述这类随机现象的数学模型 称为马尔科夫模型，简称马氏模型。
0→0，8 次；
10
（1）对一切i, j E ，0 pij (m) 1；
（2）对一切i E ， pij (m) 1； jE
（3）对一切i,
j
E ， pij (0)
ij
1, 当i 0， 当i
j时, j时 .
11
当实际问题可以用马尔可夫链来描述时，首先要 确定它的状态空间及参数集合，然后确定它的一步转 移概率。关于这一概率的确定，可以由问题的内在规 律得到，也可以由过去经验给出，还可以根据观测数 据来估计。
13
转移概率矩阵决策的应用步骤 1）建立转移概率矩阵。 2）利用转移概率矩阵进行模拟预测。 3）求出转移概率矩阵的平衡状态，即稳定状态。 4）应用转移概率矩阵进行决策。
14
1）建立转移概率矩阵 例1 某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究 者每隔15min观察一次计算机的运行状态，收集了 24h的数据（共作97次观察）。用1表示正常状态 ，用0表示不正常状态，所得的数据序列如下： 111001001111111001111011111100111111111000 1101101 111011011010111101110111101111110011011111 100111
2
引例
假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只
使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本
月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使
用中华牙膏。又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有
60％的人下月将继续使用黑妹牙膏， 40％的人将改
用中华牙膏； 使用中华牙膏的7000人中， 有70％的
P{ X nm j | X n i, X n1 in1, , X1 i1} P{Xnm j | Xn i}
（1）
则称{n , n 1,2, }为一个马尔可夫链（简称马氏链），
（1）式称为马氏性。
5
事实上，可以证明若等式（1）对于m 1成立， 则它对于任意的正整数m 也成立。因此，只要当m 1 时（1）式成立，就可以称随机序列{ Xn , n 1,2, }具 有马氏性，即{ Xn , n 1,2, }是一个马尔可夫链。
现用
拟用
黑妹牙膏
中华牙膏
黑妹牙膏
60％
40％
8
中华牙膏
30％
70％
上表中的4个概率就称为状态的转移概率，而这四个 转移概率组成的矩阵
B＝ 称为转移概率矩阵。可以看出， 转移概率矩阵的 一个特点是其各行元素之和为１
9
2 转移概率矩阵及柯尔莫哥洛夫定理
对于一个马尔可夫链{ Xn , n 1,2, }，称以m 步转 移概率 pij (m)为元素的矩阵 P(m) ( pij (m)) 为马尔可 夫链的m 步转移矩阵。当m 1时，记P(1) P 称为马 尔可夫链的一步转移矩阵，或简称转移矩阵。它们具有,2, }是一个马氏链。如果等 式（1）右边的条件概率与n无关，即
P{ Xnm j | Xn i} pij (m)
（2）
则称{n , n 1, 2, }为时齐的马氏链。称 pij (m)为系统
由状态i 经过m 个时间间隔（或m 步）转移到状态 j 的
转移概率。（2）式称为时齐性，它的含义是系统由状
态i 到状态 j 的转移概率只依赖于时间间隔的长短，与
起始的时刻无关。本章介绍的马氏链假定都是时齐
的，因此省略“时齐”二字。
7
转移概率与转移概率矩阵
假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只 使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本 月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使 用中华牙膏。又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有 60％的人下月将继续使用黑妹牙膏， 40％的人将改 用中华牙膏； 使用中华牙膏的7000人中， 有70％的 人下月将继续使用中华牙膏， 30％的人将改用黑妹 牙膏。据此，可以得到如表所示的统计表
12
用马尔科夫链方法进行决策的特点：
主要用于企业产品的市场占有率预测
（1）转移概率矩阵中的元素是根据近期市场 或顾客的保留与得失流向资料确定的。
（2）下一期的概率只与上一期的预测结果有 关，不取决于更早期的概率。
（3）利用转移概率矩阵进行决策，其最后结 果取决于转移矩阵的组成，不取决于原 始条件，即最初占有率。
人下月将继续使用中华牙膏， 30％的人将改用黑妹
牙膏。据此，可以得到如表所示的统计表
现用
拟用
黑妹牙膏
中华牙膏
黑妹牙膏
60％
40％
中华牙膏
30％
70％
3
基本概念
状态和状态转移
状态是指客观事物可能出现或存在的状况。
如企业的产品在市场上可能畅销，也可能滞销。
状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变化。 客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状