Markov Chain(马尔科夫链)
马氏链方程 markov
马尔可夫链（Markov Chain）是一种数学模型，用来描述一系列事件，其中每个事件的发生只与前一个事件有关，而与之前的事件无关。
这种特性被称为“无后效性”或“马尔可夫性质”。
马尔可夫链常用于统计学、经济学、计算机科学和物理学等领域。
在统计学中，马尔可夫链被用来建模时间序列，如股票价格或天气模式。
在经济学中，马尔可夫链被用于预测经济趋势。
在计算机科学中，马尔可夫链被用于自然语言处理、图像处理和机器学习等领域。
在物理学中，马尔可夫链被用于描述粒子系统的行为。
马尔可夫链的数学表示通常是一个转移概率矩阵，该矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
对于给定的状态，转移概率矩阵提供了到达所有可能后续状态的概率分布。
马尔可夫链的一个关键特性是它是“齐次的”，这意味着转移概率不随时间变化。
也就是说，无论链在何时处于特定状态，从该状态转移到任何其他状态的概率都是相同的。
马尔可夫链的方程通常表示为：P(X(t+1) = j | X(t) = i) = p_ij其中，X(t)表示在时间t的链的状态，p_ij表示从状态i转移到状态j的概率。
这个方程描述了马尔可夫链的核心特性，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。
马尔可夫链的一个重要应用是在蒙特卡罗方法中，特别是在马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法中。
MCMC 方法通过构造一个满足特定条件的马尔可夫链来生成样本，从而估计难以直接计算的统计量。
这些样本可以用于估计函数的期望值、计算积分或进行模型选择等任务。
总之，马尔可夫链是一种强大的工具，用于建模和预测一系列相互关联的事件。
通过转移概率矩阵和马尔可夫链方程，可以描述和分析这些事件的行为和趋势。
马尔可夫链-2013
定理2.2 设{Xn,n∈T}为马尔可夫链,则对任意j∈I和n≥ 1,绝对概率pj(n)具有下列性质: (1) pj(n)=pipij(n); (2) pj(n)= pi(n-1)pij ;
iI
iI
(3) PT(n)=PT(0)P(n);
(4) PT(n)=PT(n-1)P. 证明:(1) pj(n)=P{Xn=j}= P{X0=i,Xn=j} =P{Xn=j|X0=i}P{X0=i}= pipij(n).
p0 (0) p
(1) 01
p
(1) 11
p
(1) 11
p
(1) 11
= 1 18 52 52 52 ≈0.28.
26 70 70 70
例2.5 设{Xn,n≥0}是具有3个状态0,1,2的齐次马氏链,一 步转移概率矩阵如右所示: 0 1 2 初始分布pi(0)=P{X0=i}=1/3,i=0,1,2. 0 ¾ ¼ 0 试求(1) P{X0=0,X2=1}; (2) P{X2=1}. 1 ¼ ½ ¼ 解: 先求出二步转移概率矩阵(如右下): 2 0 ¾ ¼ 于是有 0 1 2 (1) P{X0=0,X2=1} 5/16 1/16 0 5/8 =P{X0=0}P{X2=1|X0=0} P2= 1 5/16 1/2 3/16 =p0(0)p01(2)=(1/3)· (5/16)=5/48; 2 3/16 9/16 1/4 (2) p1(2)=P{X2=1} =p0(0)p01(2)+p1(0)p11(2)+p2(0)p21(2) =(1/3)(5/16+1/2+9/16)=11/24.
1,i=j .
例2.1 (一维随机游动) 3 5 1 2 4 设一随机游动的质点, 在如右上图所示的 直线点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,并且仅仅在1秒,2秒 …等时刻发生游动.游动的概率规则是:如果Q现在位于点 i(1＜i＜5), 则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动 一格,或以1/3的概率留在原处; 如果Q现在位于点1(或5) 上,则下一时刻就以概率1移动到点2(或4)上.点1与5称为 反射壁.并称上述这种游动为带有两个反射壁的随机游动. 若以Xn表示时刻n时Q的位置, 不同的位置就是Xn的不同
马尔可夫链蒙特卡洛方法在生态学建模中的应用案例分析(八)
马尔可夫链蒙特卡洛方法在生态学建模中的应用案例分析引言生态学是研究生物与环境相互作用的学科，它涉及到多种不确定性因素，例如气候变化、生物种群的迁徙和扩散等。
为了更好地理解这些复杂的生态系统，科学家们需要依靠数学模型来进行建模和预测。
近年来，马尔可夫链蒙特卡洛方法在生态学建模中的应用越来越广泛，这种方法能够有效地模拟出生态系统中复杂的动态过程，为科学家们提供了一种强大的工具来研究生态系统的变化和演化。
马尔可夫链蒙特卡洛方法简介马尔可夫链蒙特卡洛方法（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）是一种基于马尔可夫链的随机模拟算法。
它通过在状态空间中进行随机抽样，来模拟出系统的演化过程。
MCMC方法最早是由Stanislaw Ulam和John von Neumann在上世纪40年代提出的，后来由Metropolis等人在上世纪50年代发展完善。
MCMC方法的核心思想是通过马尔可夫链的转移矩阵来实现状态的转移和抽样，最终达到对系统进行模拟的目的。
马尔可夫链蒙特卡洛方法在生态学建模中的应用马尔可夫链蒙特卡洛方法在生态学建模中的应用非常广泛，它能够帮助科学家们对生态系统中的种群动态、演化过程和生态系统的稳定性进行深入研究。
例如，在研究生态系统中的食物链结构和物种迁徙过程时，科学家们可以利用MCMC方法来模拟出不同物种之间的相互作用和迁徙规律，从而更好地理解生态系统中的复杂动态过程。
另外，MCMC方法还可以在生态系统中的资源分配和能量流动方面发挥重要作用。
通过模拟不同环境条件下的资源分配和能量流动过程，科学家们可以更好地预测生态系统的稳定性和可持续性，为生态保护和资源管理提供科学依据。
案例分析：MCMC方法在森林生态系统建模中的应用为了更具体地展示马尔可夫链蒙特卡洛方法在生态学建模中的应用，下面将以森林生态系统为例进行案例分析。
森林生态系统是地球上最重要的生态系统之一，它不仅是生物多样性的重要栖息地，也是全球碳循环和气候调节的重要组成部分。
马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫链（Markov chains ）是一类重要的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无限的。
经过一段时间系统从一个状态转到另一个状态这种进程只依赖于当前出发时的状态而与以前的历史无关。
马尔可夫链有着广泛的应用，也是研究排队系统的重要工具。
1) 离散时间参数的马尔可夫链 ①基本概念定义 5.7 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个随机过程，状态空间{0,1,2,}E =，如果对于任意的一组整数时间120k n n n ∙∙∙≤<<<，以及任意状态12,,,k i i i E ∈，都有条件概率11{()|()}k k k k P X n i X n i --=== （5-17）即过程{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，未来所处的状态只与当前的状态有关，而与以前曾处于什么状态无关，则称{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个离散时间参数的马尔可夫链。
当E 为可列无限集时称其为可列无限状态的马尔可夫链，否则称其为有限状态的马尔可夫链。
定义5.8 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E =上的马尔可夫链，条件概率(,){()|()}ij p m k P X m k j X m i i j E =+==∈，、 （5-18）称为马尔可夫链{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，在m 时刻的k 步转移概率。
k 步转移概率的直观意义是：质点在时刻m 处于状态i 的条件下，再经过k 步（k 个单位时间）转移到状态j 的条件概率。
特别地，当1k =时，(,1){(1)|()}ij p m P X m j X m i =+== （5-19）称为一步转移概率，简称转移概率。
如果k 步转移概率(,)ij p m k i j E ∈，、，只与k 有关，而与时间起点m 无关，则{()}X n 称为离散时间的齐次马尔可夫链。
定义5.9 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E ∙∙∙=上的马尔可夫链，矩阵000101011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n j j jn p m k p m k p m k p m k p m k p m k P m k p m k p m k p m k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5-20） 称为{()}X n 在m 时刻的k 步转移概率矩阵。
马尔科夫链蒙特卡罗算法研究
马尔科夫链蒙特卡罗算法研究I. 算法简介马尔科夫链蒙特卡罗算法（Markov Chain Monte Carlo，简称MCMC）是一种用于估计复杂概率分布的统计方法。
它将概率问题转化为随机问题，并通过大量的随机样本来模拟目标概率分布。
在MCMC算法中，马尔科夫链（Markov Chain）的状态转移矩阵被用来控制样本生成的路径，从而保证样本能够充分覆盖概率空间。
蒙特卡罗方法（Monte Carlo）则用于对估计值进行采样和计算，通过多次采样和计算得到的平均值来逼近真实值。
II. 算法原理MCMC算法基于马尔科夫链原理，即当前状态只与之前的状态有关，并不受之后状态的影响。
状态转移矩阵则是用来定义状态的转移概率，从而控制样本的生成过程。
在MCMC算法中，我们首先要选择一个初始状态，然后根据状态转移矩阵进行状态转移，得到下一个状态。
状态转移矩阵中的每个元素均为概率（或称转移概率），表示状态从当前转移到下一个的概率。
为了保证算法收敛，马尔科夫链必须是正常态、不可约和遍历的。
正常态：任何状态都有可能到达任何状态；不可约：任何状态都能够到达另外任何状态；遍历：从任意状态开始，有一条无限长的路径可以经过所有状态。
理论上，通过MCMC算法可以生成服从目标概率分布的样本集合，从而得到对目标概率分布的估计值。
III. 算法优缺点优点：1. MCMC算法能够估计复杂的概率分布，如多维分布、非标准分布等；2. MCMC算法对于计算复杂度高的问题具有高效性；3. 采样过程中的细节信息都能够得到有效的利用。
缺点：1. MCMC算法需要人为地定义状态转移矩阵，较难找到合适的概率转移矩阵；2. 实现难度较高，需要对统计学和计算机科学有一定的掌握；3. 采样的效率较低，需要生成大量的样本才能得到准确的结果。
IV. 算法在实际问题中的应用MCMC算法广泛应用于求解各种概率分布问题。
其中，最有代表性的包括以下几个方面：1. 索引问题：对于大规模的概率分布问题，MCMC算法具有天然的优势，特别是在对多维参数的估计中；2. 机器学习问题：MCMC算法在机器学习中有广泛的应用，如贝叶斯网络、聚类算法等；3. 物理模拟问题：MCMC算法在物理模拟领域中具有广泛的应用，如用于求解了分子、晶格等问题。
mcmc原理
MCMC原理什么是MCMCMCMC（Markov Chain Monte Carlo）是一种用于从概率分布中抽样的算法。
它结合了马尔可夫链和蒙特卡洛方法，能够通过迭代的方式逼近目标分布。
MCMC在统计学和机器学习领域被广泛应用，特别是在贝叶斯推断中。
马尔可夫链为了理解MCMC的原理，首先需要了解马尔可夫链。
马尔可夫链是一个随机过程，具有马尔可夫性质，即当前状态的转移概率只依赖于前一个状态，与其他状态无关。
马尔可夫链可以用状态空间和转移概率矩阵来描述。
假设有一个状态空间S，包含所有可能的状态。
每个状态之间的转移由转移概率矩阵P决定，其中P(i,j)表示从状态i转移到状态j的概率。
马尔可夫链的特性是，经过足够多的转移后，状态会收敛到一个稳定的分布。
这个稳定的分布称为平稳分布，也被称为马尔可夫链的平稳分布。
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于概率的数值计算方法，通过随机抽样来近似计算。
它的基本思想是，通过生成大量的随机样本，利用样本的统计特性来估计未知的数值。
蒙特卡洛方法的一个重要应用是计算积分。
假设要计算一个函数f(x)在区间[a,b]上的积分∫f(x)dx，可以通过在[a,b]上生成大量的随机样本x，然后计算这些样本对应的函数值f(x)，最后取这些函数值的平均值乘以区间长度(b-a)来近似计算积分的值。
MCMC的基本原理MCMC的基本原理是利用马尔可夫链来生成服从目标分布的样本。
具体来说，MCMC通过构建一个马尔可夫链，使得平稳分布就是目标分布。
然后，通过从初始状态开始，通过一系列的转移来逼近平稳分布。
MCMC的核心思想是通过状态转移概率来探索状态空间。
在MCMC算法中，每个状态的转移概率与其在目标分布中的概率成比例。
这样，经过足够多的转移后，马尔可夫链的状态会收敛到目标分布。
MCMC算法的基本步骤如下：1.选择一个初始状态作为马尔可夫链的起点。
2.根据当前状态，通过转移概率进行状态转移。
转移概率可以根据目标分布来确定。
第四章-马尔可夫链-随机过程
计算 n 步转移概率的方法。
切普曼一柯尔莫哥格夫方程：对一切n,m 0，一切 i，j，有(4.2.1)
P nm ij
Pikn Pkmj
k0
证明：
P nm ij
P{ X nm
j|
X0
i}
P{Xn k | X0 i}P{Xnm j | Xn k, X0 i}
顾客数构成一个泊松过程。所以，
Pi, j
e t (t )i1 j dG(t ), j 1,
0
(i 1 j)!
i 1
这是因为若一个来客发现有 i 个人在系统中，那么下一个来客将
发现人数为 i+1 减去已服务完毕的人数，易知有 i+1-j 个人被服
务完毕的概率(对相继来到之间的时间取条件)等于上式的右端。
0
0
0 P43
例 4．1(b) G/M/1 排队系统。假设顾客 依照一个任意的更新过
程来到一个单服务台的服务中心，来到间隔分布为 G。进一步
假设服务分布是指数分布，参数为。若以 Xn 记第 n 个顾客来
到时见到系统中的顾客数，以 Yn 记第 n 个顾客与第(n+1)个顾客
不可被 d 整除的 n 有 Piin 0，且 d 是具有此性质的最大整数(d 是
{n : Piin 0}的最大公约数)。(若对一切 n>0， Piin 0，则定义 i 的周 期是无穷大。)具有周期 1 的状态称为非周期的(aperiodic)。以 d(i)记 i 的周期。
例设马尔可夫链的状态空间I={1,2,,9}， 转移概率如下图
P nm ij
马尔可夫链蒙特卡洛采样中的收敛诊断技巧(十)
马尔可夫链蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo, MCMC)采样是一种常用的统计学习方法，用于从复杂的概率分布中抽取样本。
MCMC 方法的核心是构建一个满足细致平衡条件的马尔可夫链，通过该链进行随机抽样，从而获得目标分布的样本。
然而，在实际应用中，我们往往面临着如何判断采样过程是否收敛的问题。
本文将介绍马尔可夫链蒙特卡洛采样中的收敛诊断技巧。
一、Gelman-Rubin 统计量Gelman-Rubin 统计量是一种常用的 MCMC 收敛诊断方法，其基本思想是通过比较不同马尔可夫链的变异性来判断是否收敛。
具体而言，假设有 m 条独立的马尔可夫链对同一目标分布进行采样，分别记为 $X^{(1)}, X^{(2)}, ...,X^{(m)}$。
定义第 j 条链在时刻 t 的平均值为 $\mu_j(t) = \frac{1}{t}\sum_{i=1}^t X_j^{(i)}$，总体平均值为 $\mu(t) = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^m \mu_j(t)$。
对每条链 j，定义其方差为 $B_j(t) = \frac{1}{t-1} \sum_{i=1}^t (X_j^{(i)} - \mu_j(t))^2$，所有链的方差的均值为 $W(t) = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^m B_j(t)$。
Gelman-Rubin 统计量 $\hat{R}(t)$ 定义为\[\hat{R}(t) = \frac{\sqrt{\frac{t-1}{t} + \frac{m+1}{mt}W(t)}}{B(t)} \]其中 $B(t) = \frac{t}{m-1}\sum_{j=1}^m (\mu_j(t) - \mu(t))^2$。
若$\hat{R}(t)$ 达到某个预先设定的阈值，则表示 MCMC 采样已经收敛。
二、自相关函数MCMC 采样的一个关键问题是样本间的相关性。
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状态转换矩阵：
1 0 0 1 − ������ 0 ������ 0 1 − ������ 0 0 0 1 − ������ 0 0 0
0 0 ������ 0 0
0 0 0 ������ 1
0
赌徒问题（续）
• ������ =
0 ������ 1 − ������ 0 0 1 − ������ 0 0 0 0 0 ������ 0 0 0 0 1 − ������ 0 0 ������ 0 1 阵������的元素������������������ 等于从状态������������ 出发到达稳定时经过������������ 的次数的期望值。 推论：马尔可夫过程中，从非稳定状态������������ 出发，到达稳定状态时的步数期望值 等于矩阵������的������行元素的和。
赌徒问题
• 一个赌徒，假设拿两元钱，一次赌一美元，赢的概率是������，输的概率是1 − ������，当赢够4元，或者全部输光就不赌了。 • 状态转换图：
1 − ������ 1 1 − ������ 1 ������ 2 ������ 3 ������ 1 − ������ 1 4 ������ =
������
������������
.此矩阵
������������������ = 1, ������ = 1,2, … , ������.
������=1
重新标记这些状态的序号，把对角线是1的元素调整到右下角，也就是变成 ������������×������ ������������× ������−������ ������������×������ → ������ ������−������ × ������ ������(������−������)×(������−������) 矩阵������ = ������ − ������������×������
������2
������1
������3
������4
转移概率矩阵（transition matrix）
• 状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的概率。 • 例如对应于一个天气预报的问题，若天气状态转移概率表如下： （其中列表示今天的状态，行表示明天的状态。） • ������ =
3 4 1 8 1 8 1 2 1 4 1 4 1 4 1 2 1 4
Markov Chain
Haitao Li
马尔可夫链（Markov Chain)概念
• 马尔可夫链是指数学上具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。 • ������1 , ������2 , ������3 …马尔可夫链描述了一种状态序列，其每个状态值取决于前面有限 个状态。 ������1 , ������2 , ������3 …它们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而������������ 的值则是在时间n的状态。如果������������+1 对于过去状态的条件概率分布仅是������������ 的 一个函数，则 P X������+1 = ������|X1 = ������1 , X2 = ������2 , … , X������ = ������������ = P X������+1 = ������|X������ = ������������ 这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔科夫性质。
隐马尔可夫链（HMM）
• 假设我们开始掷骰子，我们先从三个骰子里挑一个，我们可能得 到这么一串数字（掷骰子10次）： •1635273524 • 隐含状态链有可能是：D6 D8 D8 D6 D4 D8 D6 D6 D矩阵 • 3.豆丁文档 .知乎 如何用简单易懂的例子解释隐马尔可夫模型？
11 5 18 5 17 5
N步转移概率
• 称条件概率 (������) ������������������ = ������ ������
������+������
= ������|������������ = ������ ,
������, ������ ∈ ������, ������ ≥ 0, ������ ≥ 1
今/明（概率） 晴 阴 雨 晴 3/4 1/8 1/8 阴 1/2 1/4 1/4 雨 1/4 1/2 1/4
• 设������������������ 表示从状态������������ 转换到������������ 的概率，由此得转换矩阵������������×������ = ������������������ 的任一行的元素之和为1，即
分离出Q矩阵：
若������ = ，于是，������ = ������ − ������������×������
1 3
−1
0 ������ • ������ = 1 − ������ 0 0 1 − ������
0 ������ 0
=
7 5 6 5 4 5
3 5 9 5 6 5
1 5 3 5 7 5
为马尔可夫链 ������������ , ������ ∈ ������ 的������步转移概率 性质：齐次马尔可夫链的n步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵的n次乘方。
即：
������
������
= ������������
多步马尔科夫链例子
隐马尔可夫链（HMM）
隐马尔可夫模型是关于时序的概率模型，描述由一个隐藏的马尔可夫链 随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观测而产生 观测随机序列的过程。