马尔科夫链模型及其应用
马尔可夫链理论及其在经济管理领域的应用研究
马尔可夫链理论及其在经济管理领域的应用研究马尔可夫链理论及其在经济管理领域的应用研究一、绪论马尔可夫链是20世纪初由俄罗斯数学家马尔可夫提出的一种数学模型，它在经济管理领域的应用研究中起着重要的作用。
马尔可夫链理论可以用来预测未来状态的概率，并通过对现有状态和转移概率的分析，帮助决策者做出科学合理的决策。
本文将探讨马尔可夫链理论的基本原理及其在经济管理领域的应用研究。
二、马尔可夫链的基本原理马尔可夫链是一种随机过程，它具有“无记忆”的特点，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫链由状态空间、初始状态和转移概率矩阵组成。
1. 状态空间状态空间是指所有可能的状态的集合。
在经济管理领域的研究中，状态可以表示为市场行情、公司利润、经济指标等。
根据实际问题，选择合适的状态空间是影响马尔可夫链分析效果的关键。
2. 初始状态初始状态是指马尔可夫链开始的状态。
它通常由观察到的实际数据确定，可以是某个具体的状态，也可以是一组状态的概率分布。
初始状态的选取与经济管理问题的实际情况密切相关，需要根据具体问题进行合理选择。
3. 转移概率矩阵转移概率矩阵是马尔可夫链的核心内容，它描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
转移概率矩阵的元素分布在0和1之间，表示从一个状态到另一个状态的转移概率，且每行概率之和为1。
转移概率矩阵是根据历史数据进行建模得到的，可以通过最大似然估计等方法计算得到。
三、马尔可夫链在经济管理中的应用研究马尔可夫链理论在经济管理领域的应用研究涵盖了多个方面，包括市场预测、风险评估、经济政策制定等。
1. 市场预测马尔可夫链可以用来预测市场的未来走势。
通过分析历史市场数据，建立马尔可夫链模型，并根据当前市场状态和转移概率矩阵，可以计算出未来市场状态的概率。
这对投资者和决策者来说是有益的，可以帮助他们在投资和决策过程中做出更加准确的判断。
2. 风险评估马尔可夫链还可以用来评估风险。
通过构建风险状态空间和相应的转移概率矩阵，可以计算不同风险状态之间的转移概率。
马尔可夫链的均匀化理论及应用
马尔可夫链的均匀化理论及应用马尔可夫链是一种随机过程模型，它具有“无记忆”的特点，即下一状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
由于其简洁的数学形式和广泛的应用领域，马尔可夫链吸引了众多研究者的关注。
本文将介绍马尔可夫链的均匀化理论以及其在各个领域的应用。
一、马尔可夫链的均匀化理论马尔可夫链的均匀化理论是对马尔可夫链进行状态平衡分析的方法。
均匀化理论旨在寻找马尔可夫链的平稳分布，即在长时间的演化后，链式系统中状态的分布趋于稳定。
在实际应用中，均匀化理论提供了对系统的稳定性、收敛速度等重要指标的分析手段。
1. 马尔可夫链的平稳分布马尔可夫链的平稳分布指的是在马尔可夫链的状态转移过程中，状态的分布呈现稳定的特征。
这种稳定性由平稳分布来描述，即当状态经过足够长的时间演化后，状态分布不再发生改变。
2. 马尔可夫链的细致平衡条件马尔可夫链的细致平衡条件是均匀化理论的基础，它表明链式系统中每对状态的转移概率与从目标状态返回到原状态的转移概率之比必须等于两个状态的平稳分布之比。
3. 马尔可夫链的时间平衡方程马尔可夫链的时间平衡方程描述了状态转移概率与平稳分布之间的关系。
通过求解时间平衡方程，可以得到马尔可夫链的平稳分布，并进一步分析系统的稳定性和性能指标。
二、马尔可夫链在实际应用中的应用马尔可夫链作为一种强大的数学工具，被广泛应用于多个领域。
以下是一些典型的应用案例：1. 自然语言处理马尔可夫链在自然语言处理中被用于语言模型的建立和文本生成。
通过分析语料库中的马尔可夫链特性，可以实现自动的文本生成和语言生成。
2. 金融风险管理马尔可夫链可以用于金融领域的风险管理和投资组合优化。
基于历史数据的马尔可夫链模型可以帮助分析市场趋势和资产价格的演化规律，提供决策支持。
3. 生物信息学马尔可夫链在生物信息学中应用广泛，例如用于DNA序列分析和蛋白质结构预测。
通过马尔可夫链模型，可以揭示基因序列和蛋白质结构之间的关联性和演化规律。
马尔可夫链及其应用
马尔可夫链及其应用马尔可夫链是一种描述状态间转移概率的随机过程，它具有很好的数学性质和广泛的应用。
在马尔可夫链中，每个状态依赖于前一个状态，而与之前的状态无关。
从一个状态到另一个状态的概率只取决于它们之间的距离，而不受过去的历史状态的影响。
这种性质使得马尔可夫链在许多领域中都有广泛的应用。
随机游走马尔可夫链常常被用来模拟随机游走。
随机游走是一种随机性非常强的运动，每一步都以一定概率向前或向后进行。
马尔可夫链的状态可以表示一个随机游走的位置，而状态间的转移概率可以表示每一步前进的概率。
这种模型可以用来研究股票价格、气温变化等随机过程。
谷歌的页面排名算法谷歌使用的页面排名算法PageRank就是基于马尔可夫链的模型。
假设网页之间存在链接，每个网页可以看做是一个状态，而链接可以看做是状态间的转移概率。
从一个网页到另一个网页的概率取决于两个网页之间的链接数量和其它网页的质量。
通过计算每个网页的PageRank值，可以得到一个基于链接结构的网页排名结果。
蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法也是基于马尔可夫链的。
在蒙特卡罗方法中，随机样本被用来近似数学问题的解。
通过生成大量的随机样本，并对它们进行一系列的操作，在统计学意义下得到问题的解。
马尔可夫链的链式结构和各个状态间的转移概率为蒙特卡罗方法提供了一种随机抽样的方式，从而使得蒙特卡罗方法能够在各种复杂问题中得到广泛的应用。
总结马尔可夫链是一种简单而强大的随机过程，它具有很好的数学性质和广泛的应用。
马尔可夫链可以用来模拟随机游走、谷歌的页面排名算法、蒙特卡罗方法等。
通过运用马尔可夫链，我们可以更好地理解和解决各种复杂的随机过程。
马尔可夫链理论及其在经济管理领域的应用研究
马尔可夫链理论及其在经济管理领域的应用研究一、本文概述本文旨在深入探索马尔可夫链理论及其在经济管理领域的应用研究。
马尔可夫链，作为一种重要的随机过程，具有描述事物状态转移特性的独特优势，广泛应用于众多领域。
本文首先将对马尔可夫链的基本理论进行系统的梳理和阐述，包括马尔可夫链的定义、性质、分类以及常见的求解方法。
在此基础上，本文将重点分析马尔可夫链在经济管理领域的应用，包括但不限于风险管理、市场预测、库存管理、决策优化等方面。
通过实例分析和实证研究，本文将展示马尔可夫链理论在经济管理实践中的有效性，为相关领域的研究和实践提供新的视角和思路。
本文还将对马尔可夫链理论的应用前景进行展望，以期推动该理论在经济管理领域的进一步发展和应用。
二、马尔可夫链理论基础马尔可夫链（Markov Chn）是一种数学统计模型，它描述了一个随机过程在给定现在状态的情况下，其未来状态的演变不依赖于过去状态。
这种特性使得马尔可夫链在多个领域，包括经济管理领域，具有广泛的应用。
马尔可夫链的基本假设是“未来只与现在有关”，也就是说，给定现在的状态，过去的状态对未来的影响就可以忽略不计。
这个假设大大简化了复杂系统的分析，使得我们能够通过研究当前状态来预测未来的可能变化。
马尔可夫链由一系列状态和转移概率组成。
状态是随机过程所处的位置或条件，而转移概率则是从一个状态转移到另一个状态的可能性。
这些转移概率通常表示为状态转移矩阵，它反映了随机过程在任意两个状态之间的转移规律。
马尔可夫链的一个重要性质是它具有平稳性，也就是说，无论初始状态是什么，经过足够长的时间后，状态转移的概率分布将趋于稳定，这个稳定的分布被称为平稳分布。
这个性质使得我们可以通过分析平稳分布来预测马尔可夫链的长期行为。
马尔可夫链的另一重要性质是可遍历性，它表示从任意一个状态出发，经过有限步的转移，都有可能到达其他任何一个状态。
这个性质保证了马尔可夫链的遍历性，使得我们可以通过观察和分析马尔可夫链的行为来推断其整体特性。
马尔可夫链模型与天气
马尔可夫链模型与天气马尔可夫链是一种数学模型，用于描述在随机过程中状态之间的转移规律。
而天气是我们日常生活中广泛关注的话题之一。
本文将探讨马尔可夫链模型在天气预测中的应用。
一、马尔可夫链模型简介马尔可夫链模型是以数学家安德烈·马尔可夫的名字命名的概率模型。
该模型基于马尔可夫性质，即未来的状态仅与当前状态有关，与之前的状态无关。
马尔可夫链模型可以用一个状态转移矩阵表示，其中矩阵的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、天气预测与马尔可夫链模型天气预测一直是人们关注的热门话题。
准确地预测未来的天气对农业、旅游和交通等行业有着重要的意义。
而马尔可夫链模型可以用来预测天气的变化。
为了简化问题，我们将天气分为三种状态：晴天、多云和雨天。
假设我们已经根据历史数据建立了一个马尔可夫链模型。
现在我们想要预测未来五天的天气情况。
根据马尔可夫链模型，我们可以根据当前天气状态转移到下一个天气状态的概率来进行预测。
例如，如果当前是晴天，我们可以查找状态转移矩阵中对应的行，然后根据概率分布来确定下一个天气状态。
通过迭代这个过程，我们可以预测出未来五天的天气情况。
三、马尔可夫链模型的应用案例为了更好地理解马尔可夫链模型在天气预测中的应用，下面将介绍一个实际案例。
假设某地区的天气仅有晴天、多云和雨天三种状态。
我们根据历史天气数据得到了如下的状态转移矩阵：晴天多云雨天晴天 0.7 0.2 0.1多云 0.3 0.4 0.3雨天 0.2 0.3 0.5现在我们要通过这个马尔可夫链模型来预测未来五天的天气。
假设当前天气是晴天，根据状态转移矩阵可知，下一个天气为晴天的概率为0.7，多云的概率为0.2，雨天的概率为0.1。
根据这些概率，我们可以随机选择一个状态作为下一个天气。
假设我们选择到了多云。
接下来，我们根据多云状态对应的行来确定下一个天气。
根据状态转移矩阵可知，下一个天气为晴天的概率为0.3，多云的概率为0.4，雨天的概率为0.3。
马尔可夫链模型在金融市场中的应用
马尔可夫链模型在金融市场中的应用马尔可夫链模型是一种重要的概率模型，在许多领域都有广泛的应用。
在金融市场中，马尔可夫链模型也被广泛运用，它能够帮助分析市场的走势和预测未来的发展。
本文将探讨马尔可夫链模型在金融市场中的应用，并介绍其原理和实际操作。
一、马尔可夫链模型的原理马尔可夫链模型是一种基于状态转移的概率模型。
它假设未来的状态只与当前的状态有关，与过去的状态无关。
在金融市场中，我们可以将各种不同的市场状态看作是一种状态，通过观察历史数据来判断未来市场状态的转移概率，从而进行预测和分析。
二、马尔可夫链模型在金融市场中的应用1. 股票市场预测马尔可夫链模型可以帮助分析股票市场的走势。
通过建立股票市场不同状态之间的转移矩阵，我们可以预测出未来市场状态的概率分布。
这有助于投资者制定投资策略和决策，提高投资收益。
2. 期货市场分析在期货市场中，马尔可夫链模型可以帮助分析不同合约之间的关系。
通过观察历史数据，我们可以建立各个期货合约状态之间的转移矩阵，从而预测未来合约之间的关系和价格走势。
这对期货交易者来说非常重要，可以帮助他们做出更加明智的交易决策。
3. 外汇市场预测外汇市场的波动性较大，马尔可夫链模型可以帮助我们预测汇率的走势。
通过建立不同汇率状态之间的转移矩阵，我们可以分析未来汇率变动的可能性，指导外汇交易决策。
4. 信用评级在金融市场中，信用评级是非常重要的一项工作。
马尔可夫链模型可以用于信用评级的建模和分析。
通过观察不同借款人状态之间的转移矩阵，我们可以预测借款人信用等级的转移情况，并评估其信用违约的可能性。
三、使用马尔可夫链模型的注意事项在应用马尔可夫链模型时，有一些注意事项需要注意：1. 数据选择：选择合适的历史数据进行分析是非常关键的。
数据的准确性和全面性对模型的预测效果有着重要的影响。
同时，还需要注意数据的时间序列性，确保数据的连续性和可靠性。
2. 模型选择：马尔可夫链模型有多种变种，如一阶、高阶、隐马尔可夫模型等。
马尔可夫链模型及其应用领域
马尔可夫链模型及其应用领域马尔可夫链模型是一种描述随机过程的数学工具，它以马尔可夫性质为基础，描述了一个系统在不同状态之间转移的概率。
马尔可夫链模型在各个领域都有广泛的应用，包括自然科学、金融、计算机科学等。
本文将介绍马尔可夫链模型的基本原理，并探讨其在不同应用领域中的具体应用。
马尔可夫链模型的基本原理是基于马尔可夫性质。
马尔可夫性质指的是一个系统在给定当前状态下，其下一个状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这种性质使得马尔可夫链模型成为处理许多问题的理想模型。
首先，我们来了解一下马尔可夫链模型的基本概念。
一个马尔可夫链由一组状态和状态转移矩阵组成。
状态表示系统可能处于的情况，状态转移矩阵描述了状态之间的转移概率。
状态转移矩阵是一个方阵，其元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
在实际应用中，马尔可夫链模型可以用于解决许多问题。
其中一个常见的应用是预测未来状态。
根据当前的状态和状态转移矩阵，我们可以计算下一步系统处于不同状态的概率。
通过不断迭代计算，我们可以预测未来系统状态的分布。
另一个常见的应用是基于马尔可夫链模型的推荐系统。
推荐系统通过分析用户的历史行为，预测用户未来的喜好，并向其推荐相关的内容。
马尔可夫链模型可以用于建模用户的行为转移过程，推断用户下一步的行为。
在金融领域，马尔可夫链模型被广泛应用于股票市场的预测和风险评估。
通过分析历史股票价格的变化，我们可以建立一个马尔可夫链模型，来预测股票未来的涨跌趋势。
此外，马尔可夫链模型还被用于计算资产组合的风险价值，帮助投资者制定合理的投资策略。
在自然科学领域，马尔可夫链模型可以用于模拟复杂系统的行为。
例如，生态学家可以使用马尔可夫链模型来模拟生物群落的动态变化，预测不同物种的数量和分布。
此外，马尔可夫链模型还可以用于研究气象系统、生物化学反应等的动态特性。
另一个马尔可夫链模型的应用领域是自然语言处理。
马尔可夫链模型可以用于根据已有的语料库生成新的文本。
马尔可夫链基础及应用
马尔可夫链基础及应用马尔可夫链是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
马尔可夫链可以用于建模和分析许多实际问题，如天气预测、金融市场分析、自然语言处理等。
一、马尔可夫链的基本概念马尔可夫链由状态空间、初始状态分布和状态转移概率矩阵组成。
1. 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的所有状态的集合。
状态可以是离散的，也可以是连续的。
2. 初始状态分布：初始状态分布是指系统在初始时刻各个状态的概率分布。
通常用向量表示，向量的每个元素表示对应状态的概率。
3. 状态转移概率矩阵：状态转移概率矩阵描述了系统从一个状态转移到另一个状态的概率。
矩阵的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有以下性质：1. 马尔可夫性：在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，经过有限步骤后可以到达任意一个状态。
3. 不可约性：任意两个状态之间存在一条路径，使得在有限步骤内可以从一个状态转移到另一个状态。
4. 非周期性：不存在一个状态，使得从该状态出发，经过若干步骤后又回到该状态的路径。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域有广泛的应用，下面以天气预测和自然语言处理为例进行说明。
1. 天气预测：天气是一个具有马尔可夫性质的随机过程。
我们可以通过观察历史天气数据，建立一个天气状态的马尔可夫链模型。
根据当前天气状态，可以预测未来几天的天气情况。
2. 自然语言处理：自然语言是一个具有马尔可夫性质的随机过程。
我们可以通过观察大量的文本数据，建立一个词语的马尔可夫链模型。
根据当前词语，可以预测下一个可能出现的词语。
马尔可夫链还可以应用于金融市场分析、生物信息学、信号处理等领域。
通过建立合适的状态空间和状态转移概率矩阵，可以对复杂的系统进行建模和分析，从而提供决策支持和预测能力。
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隐马尔科夫模型
例如：一个隐居的人可能不能直观的观察到天气的情况，但是民间传说告诉我 们海藻的状态在某种概率上是和天气的情况相关的。在这种情况下我们有两个 状态集合，一个可以观察到的状态集合（海藻的状态）和一个隐藏的状态（天 气状况）。我们希望能找到一个算法可以根据海藻的状况和马尔科夫假设来预 测天气的状况。
pi (t ) p j (t 1)Pj,i
j0
p(t) p(t 1)P
我们将概率分布表示成一个行向量
m m 1 在从i出发经1次转移的条件下，我们有 Pi, j Pi,k Pk , j k 0
Xt m j | Xt i) 对任意m≥0,我们将m步转移概率 Pi , j Pr( 定义为链从状态i经恰好m步到达状态j的概率。
j:( i , j)E
一个由过程逗留过的状态序列表示为图上的一条有向路径。过程沿着这条路径 的概率是路径表的权的乘积。 P0,1 0 P1,0 1 P3,1 3 P3,3 P1,3 P1,2 P2,2 2
P0,3
P3,2
马尔科夫链：例子
计算恰好经过三步从状态0到状态3的概率。 1 1/4 1/3 0 1 2 1/2 3/4 1/2 1/6 1/4 3 1/4 马尔科夫链 路径： 概率 0-1-0-3 3/32 0-1-3-3 1/96 0-3-1-3 1/16 0-3-3-3 3/64 总概率：41/192
H 0.3
*0.7*0.4=0.084
H
*0.7*0.1=0.00588
H
Star t
0.4*0.1
*0.3*0.3=0.027 *0.4*0.4=0.0064
U 0.04 U
*0.3*0.6=0.01512
隐马尔科夫模型
在HMM中有三个典型问题： （一）已知模型参数，计算某一给定可观察状态序列的概率 （二）根据可观察状态的序列找到一个最可能的隐藏状态序列 （三）根据观察到的序列集来找到一个最有可能的HMM
Star t
隐藏状态=（Happy，Unhappy） 0.4 0.6 可观察状态=（Do Nothing，Beat，Kiss） 0.6 开始概率={Happy：0.6，Unhappy：0.4} 0.7 0.3 Happy Unhappy 转移概率={ 0.4 Happy：{Happy：0.7，Unhappy：0.3}， 0.6 Unhappy：{Happy：0.4，Unhappy：0.6} 0.3 0.1 0.1 0.4 } 0.5 发射概率={ Do Beat Kiss Happy：{Do nothing：0.1，Beat：0.4，Kiss：0.5}， nothing Unhappy：{Do nothing：0.6，Beat：0.3，Kiss：0.1} }
隐马尔科夫模型
一个隐马尔可夫模型 HMM 可用一个5元组描述：λ= { N, M,π, A,B } N = {H1，…，Hn} 隐藏状态的有限集合 M = {O1，…，Om} 可观测状态的有限集合，可以通过训练集获得 π={πi} 为初始状态概率， A={aij} 为隐藏状态的转移矩阵 B={bik} 表示某个时刻因隐藏状态而可观察的状态的概率，即混淆矩阵 在状态转移矩阵和混淆矩阵中的每个概率都是时间无关的，即当系统演化时， 这些矩阵并不随时间改变。 对于一个 N 和 M 固定的 HMM 来说，用 λ={ π, A, B } 表示 HMM 参数。 模型的演化 绿色的圆圈表示隐藏状态 紫色的圆圈表示可观察到的状态 箭头表示状态之间的依存概率
隐马尔科夫模型
Day 1 Kiss Day 2 Beat Day 3 Do nothing
0.7
Sta rt
0.6
0.4
0.3
Happy
0.6
Unhappy
推断这三天她的状态，Happy还是Unhappy？
0.1
Do nothing
0.4
0.6 0.4 0.3 0.1 0.5
Beat
Kiss
0.6*0.5
7/9 2/9
7/9 2/9
时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关
马尔科夫链：应用 保险公司
Xn=3为第三种状态 死亡
a1(n+1)=a1(n)p11+a2(n)p21+a3(n)p31 a2(n+1)=a1(n)p12+a2(n)p22+a3(n)p32
a3(n+1)=a1(n)p13+a2(n)p23+a3(n)p33
马尔科夫链：应用 保险公司
状态转移具有无后效性 a1(n+1)=a1(n)p11+a2(n)p21 a2(n+1)=a1(n)p12+a2(n)p22 给定a(0),预测a(n), n=1,2… n 设投保 时健康 a1(n) a2(n) n 设投保 时疾病 a1(n) a2(n) n 0 1 0 0 1 0 1 0.8 0.2 1 0.7 0.3 2 0.78 0.22 2 0.77 0.33 3 0.778 0.222 3 0.777 0.333 …… …… …… …… …… ……
马尔科夫链：应用 保险公司
保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计，以制订保险金和理赔金的数额 例：人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、 明年保持健康状态的概率为0.8，而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7， 若某人投保时健康，问10年后他仍处于健康状态的概率是多少？ 1，第n年健康 状态Xn= 2，第n年疾病
隐藏状态的数目和可以观察到的状态的数目可能是不一样的。 在一个有3种状态的天气系统（sunny、cloudy、rainy）中，也许可以观察到4 种潮湿程度的海藻（dry、dryish、damp、soggy）。
可以观察到的状态序列和隐藏的状态序列是概率相关的。于是我们可以将这种 类型的过程建模为有一个隐藏的马尔科夫过程和一个与这个隐藏马尔科夫过程 概率相关的并且可以观察到的状态集合。
设投保时处于健康状态，预测a(n),n=1,2… n a1(n) a2(n) a3(n) 0 1 0 0 1 0.8 0.18 0.02 2 0.757 0.189 0.054 3 0.7285 0.1835 0.0880 …… …… …… …… 50 0.1293 0.0326 0.8381 …… …… …… ……
P03,3 41/ 192
3 / 16 7 / 48 29 / 64 41/ 192 5 / 48 5 / 24 79 / 144 5 / 36 3 P 0 0 1 0 1 / 16 13 / 96 107 / 192 47 / 192
转移矩阵
0 1 / 4 0 3 / 4 1 / 2 0 1 / 3 1 / 6 P 0 0 1 0 0 1 / 2 1 / 4 1 / 4
马尔可夫模型及其应用
汇报人：吕昌伟 20157167
2015年12月1日
目录
1 马尔可夫链
2
隐马尔可夫模型
3
马尔可夫随机场
马尔科夫链：介绍
马尔可夫链，因安德烈· 马尔可夫（A.A.Markov，1856－1922）得名， 是数学领域中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。 马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态 空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。 安德烈· 马尔可夫，俄罗斯人，物理-数学博 士，圣彼得堡科学院院士，彼得堡数学学派 的代表人物，以数论和概率论方面的工作著 称，他的主要著作有《概率演算》等。1878 年，荣获金质奖章，1905年被授予功勋教授 称号。
马尔科夫链：定义及表示
随机过程 X {X(t):t Τ }是随机变量的集合，指标t通常表示时间， 此时，过程X是随时间而变化的随机变量X的取值模型。 X(t)是过程在时刻t的状态，用Xt代替X(t)。 这里我们着重于特殊类型的离散时间、离散空间随机过程X0,X1,X2,…， 其中Xt的值依赖于Xt-1的值，但不依赖于导致系统取那个值得状态序列。 定义：一个离散时间随机过程X0，X1，X2，…是马尔可夫链，如果
P0,0 P1,0 P [ Pi ,0
归一化：对所有i, Pi, j 1
j0
P0,1 P0, j P1,1 P1, j ] Pi ,1 Pi , j
马尔科夫链：m步转移概率
设pi(t)表示过程在t时刻处于状态i的概率
p(t) (p0 (t), p1 (t), p2 (t),) 是在t时刻给出链的状态分布的向量
隐马尔科夫模型
下图显示了天气的例子中隐藏的状态和可以观察到的状态之间的关系。我们假 设隐藏的状态是一个简单的一阶马尔科夫过程，并且他们两两之间都可以相互 转换。
MM vs HMM 1、在MM中，每一个状态代表一个可观察的事件 2、在HMM中观察到的事件是状态的随机函数，因此该模型是一双重随机过程， 其中状态转移过程是不可观察（隐藏）的马尔可夫链，而可观察的事件的随机 过程是隐藏的状态转换过程的随机函数（一般随机过程）。
隐马尔科夫模型
对HMM来说，有如下三个重要假设。 假设1：马尔可夫假设（状态构成一阶马尔可夫链）
P(Xi | Xi1 X1 ) P(Xi | Xi1 )
假设2：不动性假设（状态与具体时间无关）
P(Xi1 | Xi ) P(X j1 | X j ),i, j
假设3：输出独立性假设（输出仅与当前状态有关）
隐马尔可夫模型 (Hidden Markov Model) 是一种统计模型，用来描述一个含有 隐含未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的参数中确定该过程的隐含 参数，然后利用这些参数来作进一步的分析。
隐马尔科夫模型
下图是一个三个状态的隐马尔可夫模型状态转移图。