天然肠衣搭配问题

天然肠衣搭配问题摘要本文针对天然肠衣原料搭配问题，根据给定的原材料供给量和相应成品规格，在对数据进行了初步处理和分析的基础上，经过详细的讨论，建立如下四个模型.为了装出最短长度最长的尽可能多的成品，建立模型一.结果获得总成品150捆，其中第一类成品（3米-6.5米）采用三种捆绑方式，获得14捆，第二类成品（7米-13.5米）采用三种捆绑方式，获得34捆，第三类成品（14-）也采用三种捆绑方式，获得102捆.满足模型一的前提下，为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根，建立模型二,则可多获得14捆，即获得总成品164捆.其中第一类成品（3米-6.5米）采用四种捆绑方式，获得14捆，第二类成品（7米-13.5米）采用四种捆绑方式获得35捆，第三类成品（14米-26米）采用五种捆绑方式，获得115捆.满足模型二的基础上，由于部分原料出现剩余，可以降级使用，故建立模型三，可多获得18捆，即获得总成品182捆.由模式二中第三类成品的原料剩余量降级到第二类成品，按第二类的最优捆绑方式求得.以此类推降级获得总增加成品数仍为18捆.在模型三的基础上，采用人工搭配的方法继续将原料进行降级使用，剩余原料可组装成1捆成品，即可得模型四.至此，最后剩余原料在不能裁剪的情况下无法继续利用，组装成品捆数达到最大183M .具体结果见下表：上述四个模型中采用的捆绑方式详见正文表3、表8、表10等.由于食品保鲜的要求，通过模型运算，如模型二中第三类成品捆绑方式由5种变为6种时，程序运行超过30分钟，但成品捆数未发生变化，因此，采用如上四种模型的捆绑方式可达到相应要求.本文认为采用如此捆绑方式，即可满足问题要求，又从工厂实际生产角度出发，给出了合理的生产方式，具有一定实际意义.关键字:最优解，搭配方案，非线性规划，lingo软件一、问题重述在工厂生产中，将不同规格产品进行合理搭配以获得最大生产利润是一种较为常见的优化问题.本题要求将天然肠衣按指定根数和总长度进行合理组装出成品（捆），以提高生产效率和节省原料.原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。

表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米.根据公司对搭配方案的具体要求：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。

如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案.需建立满足上述条件的数学模型，并给出求解方法和搭配方案.二、模型假设(1) 不考虑有不符合规格的原材料的出现；(2) 不考虑人为因素造成的原料不足问题.三、符号说明k ：每种模块选取的搭配方式数 e ：各原料总量L ：各原料单位长度i j X （，）：i 种方式中的第j 个料用的数目()N i :每种搭配方式用到的数量，1,2,,i k = M ：每种模块中的总捆数四、问题分析及模型一的建立本题要求在给定的原料中，组装的成品数越多越好.考虑给定的原料规格过多，若通过枚举法来确定可行的模式所需工作量较大.下面介绍采用整数非线性规划方法获得组装方案和最优值.首先可确定最优目标为捆扎出的数量最大，其限制条件有：每捆20根，每捆长度为89米，同时组装方式也受到原材料的长度范围限制。

根据以上分析，本文先依据规格限度将目标函数分为三个模块进行求解.在不同的模块中，通过确定不同的搭配模式，由此确定选取哪几种搭配方式会更加合理.下面对三种长度范围的组装方式进行分别建模，为模块一、模块二和模块三. 1、模块一成品规格限制在3到6.5之间，共有8种规格,建立模型如下：目标函数为：在规格限制内成品总数(1)M 的值.约束条件： (a) 方案数k ：若用枚举法很难做到，故先选择几种规格的原材料进行搭配，分析达到的捆数是否趋于不变即可.此时先确定k 在1，2，3，4，5，6种不同方案时的组装成品数，即此时k 小于等于6(以下k 的值由选取方案数确定).(b)选取不同方案数时用到各个方式的捆数为()N k ，各方式捆数相加即得在此方案数下的总成品数，故(1)()M N k =∑ (1) (c) 各方案用到的各档次原材料的总和应等于20，即81kj j X ==20 ∑ (2)(d) 由于限定原长度为89 ，故各捆数得出的长度总和都应保证为原长不变即得：81*1,2,3,4,5,6kjj j XL k ==89 =∑ (3)(e) 当满足以上要求时还必须保证每种规格用到的总数不可以超过给定的原材料数即：1*1,2,8ki ij j i N X e j =< =∑ (4)综上所述，建立搭配方案的目标规划模型(1)M =N ∑(k ） (5)81811..**1,2,8kj j kj j j ki ij j i X s t X L N X e j = ==⎧=20 ⎪⎪⎪=89 ⎨⎪⎪< =⎪⎩∑∑∑ , k 由选取方式数确定.(6)根据以上目标函数及约束条件利用lingo 程序编程，改变搭配模式数时具体选材和运算结果如下：表2 搭配方式选择2种时用料情况足最短长度最长的成品多.故在模块一中选择此搭配搭配方式更为合理(lingo 编程和运行结果见附录1). 2、模块二成品规格限制在7到13.5之间，故在选材时先强制限定在此区间.由此建立与模块一类似的模型：建立搭配方案的目标规划模型(2)()M N k =∑ (7) 1411411..**1,2,14j kj j k j j ki i j j j i X s t X L N X e = ==⎧=8 ⎪⎪⎪=89 ⎨⎪⎪< =⎪⎩∑∑∑ k 由选取方式数确定.(8) 因为模块二的规格范围较大，且选择的搭配方式k 过多，会使得程序运行很久而不能停止.此外如果选择的搭配方式过多，工人也很难记清各配料搭配情况，故而只考虑k 取2和3两种情况.根据以上目标函数及约束条件利用lingo 程序编程，改变搭配模式数时具体选材和运算结果见表7、表8.足捆绑的最短长度最长的成品较多.故在模块一中选择此搭配搭配方式更为合理.因其在运行了十几分钟后全局最优解和目标函数值都趋于不变，此时人为终止了程序，故结论比较合理，此时达到的总捆数为34捆(lingo编程和运行结果见附录2）.3、模块三成品规格限制在14到26之间，故在选材时限制在这个区间并建立相应模型. 建立搭配方案的目标规划模型如下(3)()M N k =∑ (9) 1411411..**1,24j kj j k j j ki i j j j i X s t X L N X e = ==⎧=8 ⎪⎪⎪=89 ⎨⎪⎪< =⎪⎩∑∑∑ ，k 由选取方式数确定 (10) 同理，k 只取2和3两种情况.根据以上目标函数及约束条件利用lingo 程序编程，改变搭配模式数时具体选材和运算结果如下见表9、10：由上表综合分析出选取搭配方式为三种时既能满足每捆20根、89米长又能满足最短长度最长的成品多.故在模块三中选择此搭配方式更合理.程序在运行了十几分钟后全局最优解和目标函数值都趋于不变，考虑到时间有限，故人为终止了程序，此时达到的总捆数为104捆（lingo编程和运行结果见附录3）.4、数据分析综合三模块可以总结出：对于规格在3到6.5米的范围内综合对比六个模式需选择三种方式进行捆绑，此时既满足装出的成品捆数多又能使最短长度最长的成品越多.方式一只给定了11捆数量，同比其它五种的14种捆数，方式一不可取；方式六虽满足14捆但其方案数较多故也不可取；由于给出要求最短长度最长的成品越多要好，发现三种或四种时都可以满足条件.同理，对比模块二、三中的数据发现选择三种搭配方式较好的满足条件.此时()()()1231434102150()M M M M =++=++=捆即达到的总捆数为150捆.五、模型二的建立综合分析此模型可知，在三种模块中原材料都存在剩余问题，这对于一个公司来说会存在很大的浪费，同时模块一中无法确定三种还是四种方式更加满足条件而且此程序严格限定了选材范围，这就失去了程序的灵活性.若考虑到误差存在那么选材就会更广泛，材料的利用率也就越高.现在为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根的条件下对各模块进行优化建模，此时只需改进约束条件即可.1、模块一的优化目标函数(1)()M N k =∑ (11)818111920..88.5*89.5*1,...,8kj j k j j j ki i j j j i X s t X L N X e ===⎧<=<=⎪⎪⎪<=<= ⎨⎪⎪< =⎪⎩∑∑∑k 由选取方式数确定 (12)此时的K 由上个模型得出在选择3种或4种都满足故此时只针对这两种情况优化，根据以上目标函数及约束条件利用LINGO 程序编程，改变搭配模式数时具体选材和运算结果见表11、12.图表分析：对比两个表格可以发现在剩余量相同的情况下，两者产生的捆数相同，在这时选择所用最短长度最长的成品多的方案，从而得出选择四种搭配方式时更加合理（lingo编程和运行结果见附录4）.2、模块二的优化目标函数 (2)()M N k =∑ (13) 14114118..88.5*89.5*1,...,14kj j k j j j ki i j j j i X s t X L N X e ===⎧7<=<= ⎪⎪⎪<=<= ⎨⎪⎪< =⎪⎩∑∑∑k 由选取方式数确定 (14)当搭配方式数k 的值分别取3和4时，根据以上目标函数及约束条件利用lingo 程序编程，具体选材和运算结果见下表13、14.图表分析:对比两个表格可以发现在剩余量相同的情况下，两者产生的捆数相同都为35捆，在这时选择所用最短长度最长的成品多的方案，从而择四种搭配方式时更加合理（lingo编程和运行结果见附录5）.3、模块三的优化目标函数 (3)()M N k =∑ (15) 24124115..88.5*89.5*1,...,24kj j k j j j ki i j j j i X s t X L N X e ===⎧4<=<= ⎪⎪⎪<=<= ⎨⎪⎪< =⎪⎩∑∑∑k 由选取方式数确定.(16)在此种情况下，由于原材料规格较多故此时扩大搭配方式数k 的值，根据以上目标函数及约束条件利用lingo 程序编程，具体选材和运算结果见表15、表16、表17.图表分析:6种搭配方式下运行时间加长后结果趋于定值，故不再使用6种及以上的搭配方式。