天然肠衣搭配问题 2011年全国大学生数学建模竞赛 A题 优秀论文
2011数学建模国赛A题优秀获奖论文
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 西安电子科技大学 欧阳照玮 李娟 王小磊
A
r ( h)
符号解释 变异函数 块金常数 拱高
3
C0
C1
RMSPE
Pi Ci Si
P综
均方根预测误差 重金属 i 的污染指数 污染物 i 的实测含量 污染物二级参考标准值 内梅罗综合污染指数 重金属浓度标准化后的可观测指标 公共因子 因子载荷 污染物浓度随时间变化量 空间域内污染物通过的流量 空间域内污染物的增量 污染源释放的重金属总量 扩散影响半径
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
年 8 月 9日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
2011D题
天然肠衣搭配最优化方案摘要本文考虑了天然肠衣各种搭配方案，建立了以最短长度最长和捆数最多为目标函数的最优化模型。
本文主要运用LINGO软件来进行计算。
对于要求(1) ，由于成品规格要求不同，对原料在不同规格中的情况分别进行讨论，建立三个整数规划模型，用LINGO软件求解剩余原料的根数和给定的这批原料组装成捆的最大值，最后求解得到三种成品规格捆数最大值分别为14，34，129。
故这批原料可以组装出成品177捆。
对于要求（2），在成品捆数相同的方案中，选择各种成品规格中原料的最短长度最长和最多的方案为最佳方案，这就要对要求（1）中的模型再次运用LINGO运行得到最优解相同，但搭配方案不同。
再将其列在同一表中进行对比比较，很容易就能选出各种成品规格中原料的最短长度最长和最多的搭配方案。
对于要求（3），总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少一根，我们可以仿照要求（1）建立整数规划模型，再次运用LINGO软件求解出最大捆数。
改求解得到三种成品规格最大捆数分别是：14捆，50捆，131捆，共195捆。
对于要求（4），可以降级使用，通过要求（3）的运算结果可得出各种规格组装成最大成品捆数和原料的剩余根数，把原料的剩余根数进行降级使用，建立整数规划模型，同样运用LINGO软件计算求解，可得还可以在组装1捆成品规格二。
最后，我们针对此论文的实际情况，对论文的优缺点做了评价，文章还给出了其他的改进方向。
关键词：肠衣搭配；整数规划模型；迭代运算；1．问题的重述天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。
传统的生产方式靠人工边量边心算，将原料按指定根数和总长度组装出成品。
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3米-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。
几种常见成品的规格（见附表1），长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。
201x高教社杯全国大学生数学建模竞赛-天然肠衣搭配问题
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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于是，在分析了天然糖衣的搭配问题。
首先我们是将数据进行处理，利用四舍五入以0.5为一个等级划分并作图。
而后我们是对两表的数据信息进行分类，总共分为三类。
解本题的思路是，利用线性归回求最优解，将最优的搭配一一列好，将剩余的材料进行降级处理后再次搭配。
2011数学建模优秀论文A题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：04505所属学校（请填写完整的全名）：德州学院参赛队员(打印并签名) ：1. 翟明元2. 张小凤3. 邹菲指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：赵学杰高秀莲日期： 2011 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于系统综合评价的城市表层土壤重金属污染分析摘要本文针对城市表层土壤重金属污染问题，首先对各重金属元素进行分析，然后对各种重金属元素的基本数据进行统计分析及无量纲化处理，再对各金属元素进行相关性分析，最后针对各个问题建立模型并求解。
针对问题一，我们首先利用EXCEL 和 SPSS 统计软件对各金属元素的数据进行处理，再利用Matlab 软件绘制出该城区内8种重金属元素的空间分布图最后通过内梅罗污染模型：2/12max22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=P P P 平均综，其中平均P 为所有单项污染指数的平均值，max P 为土壤环境中针对问题二,我们首先利用EXCELL 软件画出8种元素在各个区内相对含量的柱状图，由图可以明显地看出各个区内各种元素的污染情况，然后再根据重金属元素污染来源及传播特征进行分析，可以得出工业区及生活区重金属的堆积和迁移是造成污染的主要原因，Cu 、Hg 、Zn 主要在工业区和交通区如公路、铁路等交通设施的两侧富集，随时间的推移，工业区、交通区的土壤重金属具有很强的叠加性，受人类活动的影响较大。
数学建模 天然肠衣问题(包含完整程序)
所有些模式用矩阵 B207320 表示。 bij 表示第 i 种模式中第 j 种
长度的肠衣的根数。 i 1, 2,..., 2783; j 1, 2,..., 20 。
所有模式向量由前面计算得到。
计算得到各 ci ( i 1, 2,..., 20 )的最大取值 Mi 为：
5,5, 5,5,5,5,5,5,4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 2,3,1。
如果直接对各 ci 从 0 到 Mi 完全枚举所有模式，计算量为：
20
T (Mi 1) (5 1)8 (4 1)9 (2 1)(3 1)(11) 7.871013
a1 a2 a3 a17 a18 a19 a20 x1 x2 x3 x4 xn2 xn1 xn
决策变量为第 i 种模式 xi 捆，则成品捆数最多的目标函数为：
2783
max Z1 xi i 1
现设法找到所有模式中最短长度最长的模式。在 Matlab 中通过编程，进行剪枝计算， 得到在所有的 2783 种模式中，
20 种原材料中长度为 L ai.li =12159.5 米 i 1
每捆长度最少为 88.5 米，因此捆数最多为：
K 12195.5 / 88.5 137.4 137 其中[.] 表示取整。
20
20 种原材料的总根数为T ai =677 根 i 1
每捆最少为 4 根，因此捆数最多为 K 677 / 4 169.25 169 根。
89
4
1
2
22.0 米 3 根, 23.5 米 1 根
89.5
4
数学建模天然肠衣搭配问题
为了提高生产效率，提高产品的市场竞争力，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。并按照公司对原料搭配的具体要求，设计一个原料搭配方案，使工人按其“照方抓药”进行生产，以提高生产效率。
关键词：搭配问题、LINGO软件、整数规划、全局最优、加权
二、问题重述
天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工就是我国的一个传统产业，已有百余年的历史，出口量占世界首位，为我国创造了可观的经济价值。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最多的成品越多，方案越好；这里涉及到一个最优化问题，即在成品中原材料最短长度最多。因此使用LINGO编程求其全局最优方案。
（3）为提高原料使用率，总长度允许 米的误差，总根数允许比标准少1根；对于这个要求来看，误差为 ，即成品的合格范围是 米之间，在误差范围内，比原定根数少一根也算是合格成品。
(5)为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。
三、模型假设及符号说明
1、模型的假设
(1)假设所有选定的肠衣原料都能组装为成品；
(2)假设所生产的成品肠衣都为合格产品；
(3)假设该公司提供的原材料均能符合国家标准，为合格的新鲜肠衣原料；
(4)假设肠衣在搭配过程中除去无法组成整捆的原料，均无浪费现象；
2、符号说明
在本问题中，给出了2组数据，我们需要根据这2组数据设计搭配的方案。显然，肠衣分配问题是一个整数规划问题。所以本文都采用Lingo软件进行编程求解，求解这个整数规划问题本文都选择单纯形法。
天然肠衣搭配问题 2011年全国大学生数学建模竞赛 A题 优秀论文设计
天然肠衣搭配问题摘要本文针对天然肠衣原料的搭配方案进展设计，充分考虑最优化原如此，在满足搭配方案具体要求同时兼顾效率的情况下，设计线性规划模型，并借助软件Lingo求解出最理想的捆数与搭配方案。
对于题目给出的五个具体要求，我们经过分析之后将其划分优先级，逐层递进地找出答案。
首先我们将条件〔1〕设为最优先条件即对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好。
在此根底上，条件〔2〕的优先级次之。
对于条件〔3〕和〔4〕，我们经过讨论后认为其意在于放宽较为苛刻的长度与每捆根数要求以符合实际生产。
因而理想情况应是所有捆的根数与长度都恰好满足规格。
当由于给定数据原因使得理想情况不能实现时，再考虑放宽剩余原料的组装长度与根数要求，条件〔3〕与〔4〕的优先级最次。
在建模过程中，我们先对各规格在不考虑〔3〕与〔4〕的情况下进展线性规划，求每种每捆可行搭配方案所能组装出的最大捆数，再将其加和得出各规格的最大捆数。
这种方法在数据量较大的情况下兼顾了准确度与效率。
对上述不能组合的剩余材料我们如此放宽条件。
因条件〔2〕要求最短长度最长的成品数量尽可能多，再结合条件〔4〕中原料可以降级使用的规如此，故我们采用先从规格三的剩余原料考虑，再依次降级并入次级的原料使用考虑搭配。
由于剩余材料数量较少，故可以不必考虑效率问题。
最后满足条件〔5〕将结果求解。
利用上述模型和Lingo软件最后求解出了最大捆数183。
并可以根据原料数量求出具体的搭配方案。
关键词：搭配方案线性规划 Lingo1.问题重述天然肠衣〔以下简称肠衣〕制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段〔原料〕，进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品〔捆〕。
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。
原料按长度分档，通常以为一档，如：3按3米计算，按计算，其余的依此类推。
2011全国大学生数学建模竞赛A题获奖论文——一篇
城市表层土壤重金属污染分析的数学模型摘要为研究城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式。
本文通过处理和分析已给数据，给出金属的空间分布说明污染程度和主要原因；建立数学模型确定污染源位置；最后收集其他信息讨论城市地质环境的演变模式。
问题一，利用matlab软件作出位置坐标x、y与八种总金属元素浓度的空间分布图；分析采集的重金属元素浓度所在区域的大致情形。
对采集的重金属元素浓度的数据进行分析，并计算单因子和多因子污染指数，根据土壤污染分级标准判断出不同重金属元素在各功能区的污染程度和各功能区的综合污染程度，其中工业区中铜是所有元素在不同功能区中污染程度最严重的，而工业区和交通区的综合污染程度是最严重的。
问题二，首先利用SAS软件对八种重金属元素在五个城区的含量进行主成分分析，得到八种重金属对各功能区的贡献率，可初步推断出工业生产、交通设施和生活垃圾造成重金属污染。
再利用SAS软件对各城区的重金属进行因子分析，进一步判断八种不同重金属污染的原因，如汞污染的原因为工业生产中三废的排放、交通运输业中汽油的燃烧和汽车轮胎磨损产生的粉尘等。
问题三，根据所给数据，分析重金属污染传播特征，即分别是介质的迁移运动、污染物的分散运动、污染物的累积与转化、污染物被环境介质吸收或吸附、污染物的沉淀，然后利用Matlab软件，采用多元纯二次二项式回归分析方法，分别得到每种重金属元素浓度与坐标的回归方程，并根据该方程利用多元函数求极值的方法确定出污染源的可能位置分别为：As（1878.2634，6003.7263，4.5846），Cd(970.5835，3946.7518，6.5891)，Cr（1235.1956，2658.3427，8.5402），Cu（138.4682，6223.4521，3.2461），Hg （1231.5782，2561.5483，5.2478），Ni（12234.2587，5865.1656，23.2461），Pb （2310.68914145.2674，3.2651），Zn（3015.43418642.2365 5.0543）；问题四，基于前三问，分析所建模型的优缺点。
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天然肠衣搭配问题摘要本文针对天然肠衣原料的搭配方案进行设计，充分考虑最优化原则，在满足搭配方案具体要求同时兼顾效率的情况下，设计线性规划模型，并借助软件Lingo求解出最理想的捆数与搭配方案。
对于题目给出的五个具体要求，我们经过分析之后将其划分优先级，逐层递进地找出答案。
首先我们将条件（1）设为最优先条件即对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好。
在此基础上，条件（2）的优先级次之。
对于条件（3）和（4），我们经过讨论后认为其意在于放宽较为苛刻的长度与每捆根数要求以符合实际生产。
因而理想情况应是所有捆的根数与长度都恰好满足规格。
当由于给定数据原因使得理想情况不能实现时，再考虑放宽剩余原料的组装长度与根数要求，条件（3）与（4）的优先级最次。
在建模过程中，我们先对各规格在不考虑（3）与（4）的情况下进行线性规划，求每种每捆可行搭配方案所能组装出的最大捆数，再将其加和得出各规格的最大捆数。
这种方法在数据量较大的情况下兼顾了精确度与效率。
对上述不能组合的剩余材料我们则放宽条件。
因条件（2）要求最短长度最长的成品数量尽可能多，再结合条件（4）中原料可以降级使用的规则，故我们采用先从规格三的剩余原料考虑，再依次降级并入次级的原料使用考虑搭配。
由于剩余材料数量较少，故可以不必考虑效率问题。
最后满足条件（5）将结果求解。
利用上述模型和Lingo软件最后求解出了最大捆数183。
并可以根据已知原料数量求出具体的搭配方案。
关键词：搭配方案线性规划 Lingo1.问题重述天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。
表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。
表2为某批次原料描述。
要求根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。
公司对搭配方案有以下具体要求：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。
如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。
要求对上述问题建立数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。
2.模型假设1)原料丈量无错误，设备无故障。
2)原料不被破坏或截断使用。
3)原料等级仅有长度决定，且可以降多级使用。
4)方案产生时间仅包括数据运算处理时间，不包括丈量及其它工序的时间5)问题中±0.5米的误差不属于装配时的粗大误差6)原料长度不会超过或达到26米3.符号说明x1···x46 每一捆在不同长度区间内所用根数y1···每一规格计算时逐次筛选得到的不同组合的捆数Y 每一规格总捆数f1···理想最大捆数4.问题分析本题提出一个肠衣搭配的问题，旨在寻找简便快捷的方法找出优秀的肠衣搭配方案以实现最大效益。
题中给了五个要求，经过分析，我们确定要求一最大捆数和要求二最短长度最长的成品最多为实现最大效益的最关键因素，而题中所给的要求三四则是为了最大程度利用原料而作出的妥协。
至于要求五则对方案产生时间提出要求，也是为了效益考虑，在建模时则体现为模型的简单性与程序的求解速度。
以下将会对五个要求进行逐一分析.4.1要求一：对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；实际上这是一个拥有多个约束条件求最大值的问题。
在初步思考中，我们打算利用lingo进行非整数线性规划，逐一将约束条件列出，利用矩阵乘法进行简化，求出捆数的最大值以及方案。
实际操作过程中却发现在规格三时变量数量过于庞大，求解过程过于繁杂，不满足要求五，故作出调整。
简化的方案首先考虑一捆的情况，分析每一捆所用不同长度肠衣的根数，再辅以诸多约束条件结合lingo即可求出一组相同的捆绑组合的情况，在应用此方法不断重复即可得到一批不同组合的捆绑组，最后无法再捆绑的肠衣作为剩余原料处理。
4.2要求二：对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；成品捆数中的最短长度最长的显然是由第三组，也就是长度最长的规格三捆绑组合所决定的，但在采用简化后方法之后，这一条件已经被自动满足。
4.3要求三：为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；此条件在处理剩余材料时有重要意义，由于剩余材料数量比较小，可以采用利用矩阵乘法结合lingo进行非整数线性规划并且考虑± 0.5米的误差和根数少一的情况。
4.4要求四：某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。
如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；在本文解法中，此要求同样会在剩余材料处理时体现，由于规格三的剩余材料数量还比较客观，故在规格三内部采用矩阵乘法并考虑± 0.5米的误差和根数少一的情况处理一遍。
然后再将剩余材料降级与规格二的剩余材料组合采用上述方法操作，剩余材料再与规格一的剩余材料混合操作。
4.5要求五：为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。
此要求主要针对模型求解速度提出要求，而简化模型并有机结合复杂和简单两种处理方法的手段有效保证了时间上的高效性。
由于简化后的模型虽然操作步骤多，但是程序运行时间很短；并且在运用矩阵乘法结合lingo 考虑多种误差的方法只针对数量较少的剩余材料使用，使程序效率大大提高。
因此此要求能够顺利满足。
5. 模型建立5.1. 求最大捆数和捆绑方案的逐次筛选模型一建立。
规格一：规格一要求20根组成89米，且共有8个不同区间。
现对每一捆设其在每个区间里分别用了x1,x2···x8,可以得到：1234567812345678203 3.54 4.55 5.56 6.589x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++=+++++++=而x1,x2···x8 满足的限制条件为123443594941x x x x ≤≤≤≤ 567827283421x x x x ≤≤≤≤在lingo 第一遍计算得出结果后（lingo 程序代码见附录），假设第一遍得到y1捆，对应的不同区间根数分别为x11,x21···x81，在第二次计算时则将限制条件改为：111122113311441155116611771188114359394127283421x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y ≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤-记录所得数据并且继续进行操作直至无法再产生合理的捆绑组合。
最终这一环节所得捆数即为 123···Y y y y =+++规格二：规格二要求8根组成89米，且共有14个不同区间。
现对每一捆设其在每个区间里分别用了x9,x10···x22,可以得到：2299101112131422877.588.599.5...13.589ii xx x x x x x x ==++++++=∑910111213141524242025212321x x x x x x x ≤≤≤≤≤≤≤ 1617181920212218312322591825x x x x x x x≤≤≤≤≤≤≤ 同规格一在第二次计算时，将限制条件改为：911110211113111241113511146111571124242025212321x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y ≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤- 168111791118101119111120121121131122141118312322591825x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y ≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤-记录所得数据并且继续进行操作直至无法再产生合理的捆绑组合。
最终这一环节所得捆数即为 123···Y y y y =+++规格三：规格三要求8根组成89米，且共有14个不同区间。
现对每一捆设其在每个区间里分别用了x23,x24···x44,可以得到：46232324252627284651414.51515.51616.5 (2689)ii xx x x x x x x ==++++++=∑232425262728293031323334352930422842454950645263x x x x x x x x x x x x ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ 35363738394041424344454649352716122060001x x x x x x x x x x x x ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤同规格一在第二次计算时，将限制条件改为：231112421125311264112751128611297113081131911321011331111341211352930422842454950645263x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y ≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤- 351311361413715138161391714018141191422014344454621149352716122060001x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x x x x y≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤-≤≤≤≤-记录所得数据并且继续进行操作直至无法再产生合理的捆绑组合。
最终这一环节所得捆数即为 123···Y y y y =+++5.2. 矩阵乘法结合lingo 考虑各种误差的模型二建立由于此模型要求数据量较小，故只在处理剩余原料时选择性使用，因此此处以规格三为例介绍模型建立方法。