天然肠衣搭配问题

天然肠衣搭配问题摘要本文以天然肠衣制作加工产业的组装工序为背景，根据给定的成品规格和原料描述，在一定的限定条件下，设计合理的原料搭配方案，则工人可以根据这个方案“照方抓药”进行生产。

本文的主要工作如下：首先对题目给出的限定条件逐条进行分析，将问题分解成两个线性规划问题：（1）求出每种单成品的最大捆数k H ；（2）在捆数为k H 的所有方案中，求出满足限定条件的最优搭配方案。

对单成品分配后的剩余原料，本文同样建立了一个线性规划模型求出剩余原料最优搭配方案。

其次对模型进行求解。

由于限定条件有时间因素，因此模型的求解是本文的难点。

在利用LINGO 软件求解上述模型时，当原料种类增多、单成品最大捆数增大时，求解时间远远超出30分钟的限定条件，因此本文提出了两种提高求解速度的方法：（1） 通过增加约束条件对模型进行改进； （2） 通过分步求解的方法降低求解时间。

通过这两种方法，极大的改进了成品2和成品3以及剩余原料的求解时间。

最后，本文将模型进行了推广和扩展。

在实际的生产中，各原料的数量并不一定与给出的原料描述一致，考虑到模型的通用性和一般性，本文使用Visual Studio2005设计了图形用户界面，并实现了用C#语言调用LINGO 程序进行求解，最终将模型的计算结果即最优搭配方案返回到图形用户界面上。

该软件操作简单、使用方便，该软件的建立不仅达到了模型的推广，而且在实际生产中若遇到原料数量发生改变，不需要再重新建立模型，应用软件即可自动得出结果，具有一定的实用性和一般性。

关键词：天然肠衣，线性规划，LINGO ，求解速度，图形用户界面目录一、问题重述 (3)二、模型假设与符号分析 (4)2.1 模型假设 (4)2.2 符号说明 (4)三、模型建立与求解 (4)3.1 问题分析 (4)3.1.1 建模的整体思路 (4)3.1.2 模型的扩展——VS+LINGO的图形用户界面 (5)3.2 模型的建立 (5)3.2.1 单成品最大捆数的数学模型 (5)3.2.2 单成品搭配方案的数学模型 (6)3.2.3 剩余原料搭配方案的数学模型 (7)3.3模型的求解 (7)3.3.1 数学模型的改进 (8)3.3.2 求解方法的改进 (9)3.4 结果分析 (9)四、模型的改进与推广 (10)4.1 模型的推广 (10)4.2 软件的设计思想 (10)五、模型评价 (11)六、参考文献 (11)附录1 Lingo程序清单 (12)附录2 模型计算时间 (14)附录3 最优方案 (15)附录4 C#程序用户图形界面 (19)附录5 C#程序清单 (20)一、问题重述天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。

肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。

传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。

表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。

表2为某批次原料描述。

根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。

如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

为了求解上述问题，本文通过建立数学模型，给出合适的求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，生成最终的优化搭配方案。

二、模型假设与符号分析2.1 模型假设（1）天然肠衣加工过程中，成品规格均按照表1所示； （2）总长度± 0.5米的误差不影响实际操作； （3）丈量数据与实际数据完全相符； （4）生产中原料没有破损情况；（5）当某种规格出现剩余时，长度降级处理时可以降1~2级； （6）工人完全按照方案“照方抓药”； 2.2 符号说明 （1）设,,,k k k kN L Y H 分别表示单成品k 的根数、总长度、原料个数、最大捆数； ,+-k k N N 分别表示总根数的上限和下限，,+-k k L L 分别表示总长度的上限和下限，其中1,2,3=k 。

（2）ij x 表示生成的搭配方案中，第i 捆中第j 个原料的根数，其中1,2,3...=k i H ，1,2,3...=k j Y 。

（3）kj l 、kj n 分别表示成品k 所使用的原料j 的长度和总根数，1,2,3...=k j Y 。

（4）kj a 表示单成品k 中每捆成品所需原料j 的个数，其中1,2,3=k ，1,2,3...=k j Y 。

（5）ij len 表示第i 捆成品中原料j 的长度，其中1,2,3...=k i H ，1,2,3...=k j Y 。

三、模型建立与求解3.1 问题分析3.1.1 建模的整体思路表1给出的肠衣制作加工的三种规格，是将所有原料按长度在区间[3,6.5]，[7,13.5]，[14 ,+∞]进行的划分。

我们将每一种成品规格简称为成品k ，每种单成品的根数、总长度、最大捆数分别用,,k k k N L Y 表示，它们的取值如表3所示。

表3 单成品规格表 成品k总根数k N 总长度k L原料个数k Y1 20 89 82 8 89 143 5 89 24根据问题的描述，我们将要求（1）~（5）称为限制条件，模型的建立和求解应该基于对限制条件的分析。

条件（1）和（2）分别要求“成品捆数越多越好”、“最短长度最长的成品越多越好”，如果同时考虑这两个条件，这是一个多目标规划问题[1]，模型的建立和求解的复杂度较高，因此我们将问题分解成两个线性规划问题[2-4]：首先，利用线性规划的方法求出每种单成品的最大捆数k H （详见3.2.1节）；其次，在捆数为k H 的所有方案中，找出满足条件（2）的最优方案（详见3.2.2节）。

条件(3)是为了提高原料使用率，单成品的总长度k L 允许有± 0.5米的误差，单成品的总根数k N 允许比标准少1根。

设,+-k k N N 、,+-k k L L 分别表示k N 和k L 的上、下限，则：1+-==-k k k k N N N N (1) 0.50.5+-=+=-k k k k L L L L(2)条件(4)提出了对于剩余原料的降级处理规则，因此可以在单成品生成最优方案后，将所有的剩余材料进行集中处理，以提高材料的使用率（详见3.2.3节）。

条件(5)要求在30分钟内产生最优方案。

由于本文所建立的数学模型都是线性规划模型，因而使用LINGO 软件进行求解[5-6]。

为了确保在30分钟内可以得出所需要的最优搭配方案，必要时还要对模型以及求解方法进行改进（详见3.3节）。

3.1.2 模型的扩展——VS+LINGO 的图形用户界面通过分析可以得出，在实际的肠衣加工制作过程中，原料的长度区间一般不变，但是每种长度的原料个数可以不同。

因此，只考虑表2给定的原料数量是不合理的，本文用Visual Studio2005软件设计图形用户界面[7]，用户只需根据实际的原料数量，即可生成每种单成品的最优搭配方案以及剩余原料的搭配方案（详见4.1节）。

3.2 模型的建立3.2.1 单成品最大捆数的数学模型设对于单成品k ，生成的搭配方案所包含的原料捆数用k h (1,2,3)=k 表示，则目标函数为：31max ==∑k k z h设kj a 为单成品k 中每捆成品所需原料j 的个数，生成的搭配方案中单成品k 所包含的捆数用k h 表示，则根据表3，成品k 中每捆成品所包含的原料根数和长度满足如下约束条件：1-+=⨯≤≤⨯∑kY k k kj k k j N h a N h （成品所含原料根数）1-+=⨯≤≤⨯∑kY k k kj kj k k j L h a l L h （成品所含原料长度）其中，成品k 中每捆成品的原料总根数和总长度的上、下限,+-k k N N 、,+-k k L L 由公式（1）、（2）给出，原料个数k Y 见表3。

综上所述，单成品最大捆数的数学模型由公式（3）表示，模型命名为Model1，程序清单见附录1。

31max ==∑k k z h11..0,1,2,30,1,2...-+=-+=⎧⨯≤≤⨯⎪⎪⎪⎪⨯≤≤⨯⎨⎪⎪≥=⎪≤≤=⎪⎩∑∑kk Y kk kj k k j Y k k kj kj k k j k kj kj kN h a N h L h a l L h s t h k a n j Y（3）其中，成品k 所需原料的长度kj l 、根数kj n 的值见表4~表6。

表4 成品1的l 、n 值表5 成品2的l 、n 值表6 成品3的l 、n 值3.2.2 单成品搭配方案的数学模型在问题的描述中，条件（2）要求对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好。

设ij len 表示第i 捆成品中原料j 的长度，则第i 捆成品的最短长度为min ij ilen ，则所求问题为最短长度和1min =∑kH ij ii len 的极大化问题，因此目标函数为：1max min ==∑kH ij ii z len除了成品k 的每捆根数和长度满足表3所示的约束条件外，还需增加原料使用数量的约束条件，设ij x 表示生成的搭配方案中，第i 捆中第j 个原料的根数，其中1,2,3...=k i H ，1,2,3...=k j Y ，则：1=≤∑kH ijkj i xn因此，单成品搭配方案的数学模型由公式（4）表示，模型命名为Model2-k （1,2,3=k ），程序清单见附录1。

1max min ==∑kH ij ii z len111..1,2,3,1,2...,1,2...-+=-+==⎧⨯≤≤⨯⎪⎪⎪⨯≤≤⨯⎪⎨⎪⎪≤⎪⎪===⎩∑∑∑kk k Y k k ij k kj Y k k ij kj k kj H ij kj i k kN h x N h L h x l L h s t x n k j Y i H （4）3.2.3 剩余原料搭配方案的数学模型当成品k 分配完成之后，剩余的原料剩余可降级使用。

设第i 种规格产品对应原料剩余kj S ，第i 种规格的剩余原料降为j 级的原料根数为(,)i j T ,则经降级处理后生产某种规格产品的原料根数为自身剩余的根数以及从上一级增加的原料量的和减去将为下级的根数，该数学模型用公式（5）表示w kk ∑==21z Max..st 1111(2,1)(3,1)22(3,2)(2,1)(3,1)(3,2)30,1,201,2;1,2...;1,2...kkY K K kj k kj Y KK kj kj k j k kj kj jj j j j K k N W a N W L W a l L W W k a CC S T T C S T T T T S k j Y i W -+=-+=⎧⨯≤≤⨯⎪⎪⎪⎪⨯≤≤⨯⎪⎪≥=⎪⎪⎨≤≤⎪⎪=++⎪⎪=+-⎪⎪+=⎪⎪===⎩∑∑ （5）3.3模型的求解本文所建立的模型均为线性规划模型，而LINGO 软件其特色在于内置建模语言、提供十几个内部函数、可以允许决策变量是整数(即整数规划，包括 0-1 整数规划)、方便灵活、而且执行速度非常快、能方便与EXCEL 、数据库等其他软件交换数据，是求解优化问题的最佳选择，因此本文选择LINGO11，根据表2给出的一组原料数据对模型进行编程、求解。