应用随机过程 马尔科夫链上
马尔可夫链的基本概念与应用
马尔可夫链的基本概念与应用随机过程是用来描述随机事件演变的数学模型。
在现实生活中，很多情况下的随机事件都有时间上的相关性，也就是说当前的随机事件决定于之前的一些随机事件，这就涉及到了马尔可夫链。
马尔可夫链是序列上的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只由当前状态决定，而与之前的状态无关。
马尔可夫链的概念和应用在各个领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念和应用两个方面介绍马尔可夫链。
一、基本概念马尔可夫链是一个由若干个状态及其转移概率组成的随机过程。
若状态空间为S={s1,s2,...,sn}，则一个马尔可夫链可以表示为一个n×n的矩阵P={pij}，其中pij表示转移从状态si到状态sj的概率。
一般来说，一个马尔可夫链从某一个状态开始，每一次转移是根据概率分布进行的，而且每次的转移只依赖于当前状态，而不依赖于之前的状态。
这也就是说，如果我们知道当前状态，就可以确定下一步的状态。
马尔可夫链的一个重要概念是状态转移矩阵。
状态转移矩阵是指某一时刻处于一个状态，下一时刻转移到另一个状态的所有可能性的概率矩阵。
在状态转移矩阵中，每一个元素pij表示从状态i 转移到状态 j 的概率。
状态转移矩阵是唯一的，因为每个状态只有一种可能的下一个状态。
马尔可夫链是一种随机过程，因此它的演化具有随机性。
由于其状态转移矩阵具有随机性，所以我们可以通过模拟来预测其未来的状态。
在模拟马尔可夫链时，我们需要一个状态转移矩阵和一个初始状态。
然后，根据初始状态和状态转移矩阵，我们可以生成整个马尔可夫链的状态序列。
二、应用马尔可夫链在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用。
1.自然语言处理在自然语言处理中，马尔可夫链被广泛用于以下场景：文本生成、词性标注、语音识别、机器翻译等等。
其中，最常见的应用是文本生成。
文本生成是指通过某种方式生成一段看似自然的、有意义的文本，而马尔可夫链是一种被广泛应用于文本生成的方法。
马尔可夫链生成文本的基本思路是：通过一个有限的语料库训练出一个马尔可夫模型，然后随机生成一些文本，最后通过概率分布进行筛选，从而得到一些看似自然的、有意义的文本。
随机过程 第三章 马尔科夫链
p p
iI
i ii1 pin1in
14
例：某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔15分钟观察一次计 算机的运行状态，收集了24个小时的数(共作97次观察)，用1表示正常状态， 用0表示不正常状态，所得的数据序列如下： 11100100111111100111101111110011111111100011 01101111011011010111101110111101111110011011 111100111
1
2
3
4
5
6
例：排队模型 设服务系统由一个服务员和只可以容纳两个人的等候室组 成。服务规则为：先到先服务，后来者需在等候室依次排队， 假设一个需要服务的顾客到达系统时发现系统内已有3个顾客， 则该顾客立即离去。 设时间间隔⊿t内有一个顾客进入系统的概率为q，有一接 受服务的顾客离开系统(即服务完毕)的概率为p,又设当⊿t充分 小时，在这时间间隔内多于一个顾客进入或离开系统实际上是 不可能的，再设有无顾客来到与服务是否完毕是相互独立的。
2
马尔可夫链定义
时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链
定义：设有随机过程{Xn,n∈T}，若对于任意的整数n∈T和任意的 i0,i1, …,in+1∈I，条件概率满足
P{ X n 1 in 1 | X 0 i0 , X 1 i1 ,, X n in } P{ X n 1 in 1 | X n in }
i
n 1
nfii( n )
表示由i出发再返回i的平均返回时间。
24
定义 如ui<∞，则称常返态i为正常返的；如ui= ∞，则称常返态i为零常返的。
非周期的正常返态称为遍历状态。 常返性的判别
随机过程 马尔可夫链
随机过程马尔可夫链随机过程是研究随机事件在时间和空间上的变化规律的数学模型。
而马尔可夫链是随机过程的一种，它的特别之处在于，当前时刻的状态只与前一时刻的状态有关，而与其它时间的状态无关。
现在，让我们来详细了解一下随机过程与马尔可夫链。
一、随机过程随机过程实际上就是由一系列随机变量组成的，这些随机变量的取值是在某些规定的时间或空间上进行的。
它是一个随机事件的序列或集合，因此其本质是一种时间或空间上的随机演化。
二、马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，其特征在于它只与其前一状态有关。
其实，马尔可夫链是一种转移概率的数学模型，它描绘了系统从一个状态到另一个状态的转移概率，而这些概率只与前一时刻的状态有关。
马尔可夫链的形式化描述就是一个状态空间和一个转移矩阵。
这里，状态空间可以是任意形式的集合，而转移矩阵则是一个矩阵，其每个元素表示从一个状态到另一个状态的概率。
三、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有多种性质：1、马尔可夫性质：当前时刻的状态只与前一时刻的状态有关。
2、无记忆性质：其将来的状态与过去的状态无关。
3、多步转移概率：马尔可夫链具有的多步转移概率与初始状态无关。
4、周期性：若马尔可夫链从一个状态出发始终无法到达其它状态，可以说其为周期性的。
四、应用1、生物统计：马尔科夫链应用到多态遗传研究。
2、分子动力学：马尔可夫链应用到高分子链的构象和动力学研究。
3、自然语言处理：将一个英文句子转化为标签序列可以看做是一个马尔可夫链。
总之，随机过程和马尔可夫链是最基础的统计学习模型。
它们在多个领域都有广泛的应用，如金融、医学、工业等。
深刻了解它们的特性和应用将有助于我们更好地理解大量数据背后的规律。
马尔可夫链模型及其应用领域
马尔可夫链模型及其应用领域马尔可夫链模型是一种描述随机过程的数学工具，它以马尔可夫性质为基础，描述了一个系统在不同状态之间转移的概率。
马尔可夫链模型在各个领域都有广泛的应用，包括自然科学、金融、计算机科学等。
本文将介绍马尔可夫链模型的基本原理，并探讨其在不同应用领域中的具体应用。
马尔可夫链模型的基本原理是基于马尔可夫性质。
马尔可夫性质指的是一个系统在给定当前状态下，其下一个状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这种性质使得马尔可夫链模型成为处理许多问题的理想模型。
首先，我们来了解一下马尔可夫链模型的基本概念。
一个马尔可夫链由一组状态和状态转移矩阵组成。
状态表示系统可能处于的情况，状态转移矩阵描述了状态之间的转移概率。
状态转移矩阵是一个方阵，其元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
在实际应用中，马尔可夫链模型可以用于解决许多问题。
其中一个常见的应用是预测未来状态。
根据当前的状态和状态转移矩阵，我们可以计算下一步系统处于不同状态的概率。
通过不断迭代计算，我们可以预测未来系统状态的分布。
另一个常见的应用是基于马尔可夫链模型的推荐系统。
推荐系统通过分析用户的历史行为，预测用户未来的喜好，并向其推荐相关的内容。
马尔可夫链模型可以用于建模用户的行为转移过程，推断用户下一步的行为。
在金融领域，马尔可夫链模型被广泛应用于股票市场的预测和风险评估。
通过分析历史股票价格的变化，我们可以建立一个马尔可夫链模型，来预测股票未来的涨跌趋势。
此外，马尔可夫链模型还被用于计算资产组合的风险价值，帮助投资者制定合理的投资策略。
在自然科学领域，马尔可夫链模型可以用于模拟复杂系统的行为。
例如，生态学家可以使用马尔可夫链模型来模拟生物群落的动态变化，预测不同物种的数量和分布。
此外，马尔可夫链模型还可以用于研究气象系统、生物化学反应等的动态特性。
另一个马尔可夫链模型的应用领域是自然语言处理。
马尔可夫链模型可以用于根据已有的语料库生成新的文本。
马尔可夫链基础及应用
马尔可夫链基础及应用马尔可夫链是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
马尔可夫链可以用于建模和分析许多实际问题，如天气预测、金融市场分析、自然语言处理等。
一、马尔可夫链的基本概念马尔可夫链由状态空间、初始状态分布和状态转移概率矩阵组成。
1. 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的所有状态的集合。
状态可以是离散的，也可以是连续的。
2. 初始状态分布：初始状态分布是指系统在初始时刻各个状态的概率分布。
通常用向量表示，向量的每个元素表示对应状态的概率。
3. 状态转移概率矩阵：状态转移概率矩阵描述了系统从一个状态转移到另一个状态的概率。
矩阵的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有以下性质：1. 马尔可夫性：在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，经过有限步骤后可以到达任意一个状态。
3. 不可约性：任意两个状态之间存在一条路径，使得在有限步骤内可以从一个状态转移到另一个状态。
4. 非周期性：不存在一个状态，使得从该状态出发，经过若干步骤后又回到该状态的路径。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域有广泛的应用，下面以天气预测和自然语言处理为例进行说明。
1. 天气预测：天气是一个具有马尔可夫性质的随机过程。
我们可以通过观察历史天气数据，建立一个天气状态的马尔可夫链模型。
根据当前天气状态，可以预测未来几天的天气情况。
2. 自然语言处理：自然语言是一个具有马尔可夫性质的随机过程。
我们可以通过观察大量的文本数据，建立一个词语的马尔可夫链模型。
根据当前词语，可以预测下一个可能出现的词语。
马尔可夫链还可以应用于金融市场分析、生物信息学、信号处理等领域。
通过建立合适的状态空间和状态转移概率矩阵，可以对复杂的系统进行建模和分析，从而提供决策支持和预测能力。
马尔可夫链蒙特卡洛方法在优化问题中的应用
马尔可夫链蒙特卡洛方法在优化问题中的应用马尔科夫链蒙特卡洛方法在优化问题中的应用马尔科夫链蒙特卡洛方法(Markov Chain Monte Carlo, MCMC)是一种基于随机过程的统计学方法，在优化问题中有着广泛的应用。
它的核心思想是利用马尔科夫链模拟样本的随机抽取，并通过对这些样本的加权平均来估计优化问题的解。
一、马尔科夫链与蒙特卡洛方法的基本原理马尔科夫链是一个满足马尔科夫性质的随机过程，在任意时刻的状态只与前一时刻的状态有关，与所有其他时刻的状态无关。
蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法。
马尔科夫链蒙特卡洛方法将这两者结合起来，通过模拟马尔科夫链的状态转移来实现对问题解空间的随机抽样。
二、马尔科夫链蒙特卡洛方法的数学模型在马尔科夫链蒙特卡洛方法中，状态空间中的每个状态代表一个可能的解。
通过定义状态之间的转移概率，构建一个马尔科夫链。
在抽样时，根据转移概率从当前状态转移到下一个状态。
这样，经过足够多次的状态转移，链中的状态将收敛到平稳分布。
三、MCMC方法在优化问题中的应用MCMC方法在优化问题中可以用来求解目标函数的最大值或最小值。
其基本思路是引入一个温度参数，通过随机抽样从初始状态出发，在样本转移过程中以一定概率接受比当前状态更优的解。
这样，在随机抽样的过程中，优化问题的最优解将有更高的被抽样概率。
MCMC方法的应用范围很广。
在机器学习领域，MCMC方法常用于贝叶斯推断，可以用来估计模型参数的后验分布。
在金融学中，MCMC方法可以用来优化投资组合，通过随机抽样找到收益与风险最优的投资组合。
在工程领域，MCMC 方法可以用来优化参数配置，以最大化或最小化某个指标。
四、MCMC方法的优点与挑战MCMC方法的优点在于它不需要知道优化问题的具体形式，仅需能够计算目标函数在给定解处的值。
而且，由于是基于随机抽样的方法，它可以克服优化问题中存在的多个局部最优解的困扰，能够在解空间中进行全面的搜索。
随机过程-马尔科夫链的应用
目录
Contents
• 随机过程概述 • 马尔科夫链简介 • 马尔科夫链的应用 • 马尔科夫链蒙特卡洛方法 • 马尔科夫链的稳定性与收敛性 • 马尔科夫链的优化与改进
01 随机过程概述
定义与特性
定义
随机过程是随机变量在时间或空间上的连续或离散变化。
特性
具有不确定性、随机性和规律性。
该方法通过模拟随机过程来得到问题的近似解，具有简单、 灵活、适用范围广等优点。
马尔科夫链蒙特卡洛方法的基本原理
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种特殊的蒙特卡洛方法，通 过构造一个马尔科夫链，使其平稳分布为目标分布，从而 通过抽样得到目标分布的近似解。
该方法的关键在于构造合适的转移核，使得马尔科夫链的 平稳分布为目标分布，同时保证马尔科夫链的收敛性。
01
将马尔科夫链的转移概率矩阵分解为多个子矩阵，利用多核处
理器并行计算，提高计算效率。
并行化采样过程
02
将采样过程分解为多个任务，利用分布式计算框架（如
Hadoop、Spark）并行执行，加速采样速度。
并行化状态空间搜索
03
利用并行算法搜索马尔科夫链的状态空间，发现更优解。
马尔科夫链的扩展与改进
隐马尔科夫模型
应用场景
在排队论、生物种群演化等领域有广泛应用。
马尔科夫链的收敛性
定义
马尔科夫链的收敛性是指随着时间的推移， 马尔科夫链的状态概率分布是否趋近于某个 固定的概率分布。
判定准则
如果存在一个概率分布$pi$，使得对于任意时间$n$， 有$P(X_n=i) rightarrow pi(i)$，则称马尔科夫链是 收敛的。
马尔科夫链是一种随机过程，其中下一个状态只依赖 于当前状态，而与过去状态无关。
随机过程 14连续时间马尔科夫链
p21 ( t ) ?
pm1(t )
p12 (t) ? p22 (t ) ?
?? pm 2(t ) ?
p1m
(
t
)
? ?
p2m (t ) ?
? pmm(Βιβλιοθήκη t)? ???
证 由概率的定义，(1)(2) 显然成立，下证(3)
pij (t ? s) ? P{X (t ? s) ? j | X (0) ? i}
? 则称{X(t)，t ? 0 }为连续时间马尔可夫链。
经过时间t后的转移概率
转移概率：在s时刻处于状态i，经过时间t后 转移到状态j的概率: pij(s,t)= P{X(s+t)=j|X(s)=i}
定义5.2 齐次转移概率 pij(s,t)=pij(t)
(与起始时刻s无关，只与时间间隔t有关)
? 经过时间t转移概率矩阵： P(t)=(pij(t)) ，i,j? I，t ? 0
? ? P{X (t ? s) ? j, X (t ) ? k | X (0) ? i} k? I
? ? P{X (t ? s) ? j | X (t) ? k , X (0) ? i}?P{X (t) ? k | X (0) ? i} k? I
? ? P{X (t ? s) ? j | X (t ) ? k }P{X (t ) ? k | X (0) ? i} k? I
? (2)
pij (t) ? 1;
j? I
? (3) pij (t ? s) ? pik (t ) pkj (s) k? I
? 性质3用矩阵表示就是：
? ?
p11 (s
?
t)
? p21(s ? t )
? ???
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5.1 基本概念
› 马尔可夫链举例
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5.1 基本概念
方程
5.1 基本概念
› 马尔可夫链及其转移概率矩阵
5.1 基本概念
› 马尔可夫链及其转移概率矩阵
5.1 基本概念
› 马尔可夫链及其转移概率矩阵
5.1 基本概念
› 马尔可夫链及其转移概率矩阵
5.1 基本概念
› 马尔可夫链及其转移概率矩阵
5.1 基本概念
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5.1 基本概念
› 马尔可夫链举例
第5章 马尔科夫链（上）
2016-2017学年第2学期 统计与信息学院 张建新
2017/4/17
第5章 马尔科夫（Markov）链
› 5.1 基本概念 › 5.2 状态的分类及其性质 › 5.3 极限定理即平稳分布 › 5.4 马尔可夫链的应用 › 5.5 连续时间马尔可夫链
5.1 基本概念
› 马尔可夫链及其转移概率矩阵 › 马尔可夫链举例 › n步转移概率矩阵、C-K方程与主
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
首达概率、常返状态、非常返状态（暂态）
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
1/2 1/2
1 1
1/2
1/2 4
2
1/3 2/3
3
5.2 状态的分类及其性质
1/2 1/2
1 1
1/2
1/2 4
2
1/3 2/3
3
5.2 状态的分类及其性质
1/2 1/2
1 1
1/2
1/2 4
2
1/3 2/3
3
该马尔科夫链的状态分为三类：{1,2}，{3}，{4}。
5.2 状态的分类及其性质
n步转移概率的首达分解定理
证明：利用全概率公式
注：Tj表示过程
首次到达状态 j 的时间，称为 首达时间。
› 进而，对于暂态 j 有：
i,
n1
p(n) ij
fij 1 f jj
lim
n
p(n) ij
0
› 证明：可以母函数证明，思路比较清晰。详见《应用随机过程 -模型和方法》，龚光鲁 钱敏平，P29.
› 也可以利用n步转移概率的首达分解定理证明。
5.2 状态的分类及其性质
› 常返态与暂态的充要条件
› 马尔可夫链举例
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
› 以下定理显示，马氏链在时刻n的分布是如何依赖于 它的初始分布的。
p (n) ij
P{X n
j|
X0
i}
P{X n j, X 0 i} P{X 0 i}
n
n
P{X n j, X 0 i,Tj l}
P{X n j | X 0 i,Tj l}P{Tj l, X 0 i}
l1
l1
P{X 0 i}
› 设行向量
(n) (i (n)), i (n) P{Xn i},i S
› 则有主方程：
(nm) (m) Pn
› 证明：
(n) (0)P(n) (0)Pn
j (m n) P{X mn j} P{X m i}P{X mn j | X m i} i i (m) pij (n) ( (m)P(n) ) j , j S i
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
P00(3)=7/27
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
已知初始分布为 (0) 0.25 0.30 0.35 0.1
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.2 状态的分类及其性质
可以利 用C-K 方程证 明（3）
Zd 上的对称随机徘徊。类似地，可得：
p(2n) 00
c
1 nd /2
所以，当 d <= 2 时，所有状态都是常返态；而当 d >= 3 时，所
有状态则均为暂态。
第5章 作业
› 教材 P111 习题5 1-4 › 补充作业
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
可见，各态互通，即状态空间不可约。
5.2 状态的分类及其性质
5.2，故而所有的状态具有相同的常返性和周期性。
注：将直线上的随机徘徊推广到d 维空间，假设质点处在某一个格
点时，以等概率在下一时刻移动到与之相邻的任意格点上，便得到
P{X 0 i}
n
n
P{X n j | X 0 i,Tj l}P{Tj l | X 0 i} P{X n j | X l j} fij(l)
l 1
l 1
n
f p (l ) (nl ) ij jj
l 1
5.2 状态的分类及其性质
› 常返态与暂态的充要条件