安徽六校教育研究会2018届高三第一次联考试题数学(理科)参考答案
安徽省合肥一中等六校教育研究会2018届高三上学期第二次联考数学(理)试卷(含答案)
安徽六校教育研究会2018届高三第二次联考数学试题（理）命题：合肥一六八中学考试时间：120分钟满分：150分一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．若集合，且，则集合B可以是（）A．B．C．D．R2．若复数其中a,b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知是等差数列的前n项和，且对，下列说法不正确的是（）A、B、C、成等差数列；D、数列是等差数列；4．已知函数f(x)是定义域在R上的奇函数，且在[0，+∞）单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（）A、(-,2]B、(0, ]C、[,2]D、(0,2]5．如图是某几何体的三视图，则该几何体内切球的表面积为（）A．3B．C．D、6．已知x,y满足约束条件，则目标函数的最大值和最小值的差等于（）A、1B、-1C、2D、-27．若a和b都是计算机在区间（0，2）上产生的随机数，那么ab<1的概率为（）A．B．C．D．8．设函数f(x)=是常数，），且函数f(x)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象向右平移个单位所得函数图象与g(x)= 图象重合，则的值可以是（）A、B、C、D、9．若，若=84，则实数a的值为（）A、1B、2C、-2D、-310．已知点P(x,y)满足，过点P作抛物线x2=8y的两条切线，切点为A,B，则直线AB斜率的最大值为（）A、B、C、D、11．若数列的前n项和满足：对都有（M为常数）成立，则称数列为“和敛数列”，则数列，，，中是“和敛数列”有（）个。
A、1B、2C、3D、412 ．定义在R 上的函数f(x) 满足：f（x+1）= f(x-1) ，且当x [0,2) 时，，使方程有3个解的一个充分不必要条件是（）A、a (-1,0)B、a (-1, )C、aD、a)二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．运行右边程序框图,当输入某个正整数n后,输出的S (10,20),那么n的值为。
2018年3月2018届高三第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(全解全析)
2018年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析123456789101112ABBCACDDCDBC1．A 【解析】(23i)(1i)22i 3i 3(23)(32)i mm m m m +-=-++=++-，依题意，得230,320,m m +=⎧⎨-≠⎩解得23m =-，故选A ．4．C 【解析】依题意，设双曲线C 的方程为22(0)49x y λλ-=≠，将(4,3)代入可得169349λ-==，故双曲线C ：2211227x y -=，则双曲线C 的实轴长为PMN △的面积132S =⨯=，故选C ．5．A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，得33445q a a q +=，故225q q+=，则22520q q -+=，解得122q q ==或（舍去），则112a =，故101091101(12)(1)1221122a q Sq --===---，故选A．6．C 【解析】还原该几何体如图所示，依题意，4PN =，QN PQ ==4PM =，MN =QM =C ．7．D 【解析】运行该程序，12,2,,22S n a A ====，14,2S =继续运行，13,,44n a A ===，38,4S =继续运行，14,,88n a A ===，716,8S =继续运行，15,,1616n a A ===，153216S =，由题意观察各选项，可知选D ．9．C 【解析】方法一：记函数()f x 的最小正周期为T ，依题意，2M =，3(222T ππ=--，故4T =π，故2142ωπ==π，故1()2sin()2f x x ϕ=+，将(,2)2A π-代入1()2sin()2f x x ϕ=+中，得()1(2222k k ϕππ⨯-+=+π∈Z ，则32()4k k ϕπ=+π∈Z ，又0ϕ<<π，故34ϕπ=，即13()2sin()24f x x π=+，当[6,4]x ∈-π-π时，()f x 的最大值为2，最小值为，故所求最值之和为2-，故选C.方法二：记函数()f x 的最小正周期为T ，依题意，2M =，3()222T ππ=--，故4T =π，则求函数()f x 在[6,4]-π-π上的最值之和可以转化为求函数()f x 在[2,4]ππ上的最值之和，根据题图，可知函数()f x 在[2,4]ππ上的最大值为2，最小值在(2,0)-中取得，故函数()f x 在[6,4]-π-π上的最值之和(0,2)∈，观察各选项可知选C.学科*网10．D 【解析】将该三棱锥补形为一长方体，其中底面长为2，宽为1，高为2，由三棱锥四个顶点均为长方体的顶点，可知长方体的外接球即为三棱锥的外接球，设长方体外接球的直径为R 2，则9221)2(2222=++=R ，解得23=R ，即长方体外接球的半径为23，故所求球的体积为3439(322π⨯=π．11．B 【解析】设椭圆方程为λ=+4922x y （0>λ），直线l 的方程为1-=my x ，联立方程消去x 得036918)49(22=-+-+λmy y m ，设),(),,(2211y x B y x A ，则根据根与系数的关系，得4918221+=+m my y ，12293694y y m λ-=+.由点C 在椭圆内，得41>λ，所以120y y <，又OAC △与OBC △的面积之比为1:3，可得213y y -=，则491822221+=-=+m m y y y ，所以49922+-=m my ，则OAB OAC OBC S S S =+△△△49||18||2||21||||21||||21222121+==-=⨯⨯+⨯⨯=m m y y y y OC y OC ||4||918m m +=，又12492||4||9=⨯≥+m m ，所以183122OAB OAC OBC S S S =+≤=△△△，当且仅当||4||9m m =，即23m =±时取等号，故OAB △面积的最大值为23，故选B．13．22680【解析】依题意，2128n=，解得7n =，故7(23)x -的展开式的通项公式为777177C (2)(3)C 2(3)r r r r rr r r T x x ---+=-=-，令73r -=，解得4r =，故3x 的系数为4347C 2(3)=22680-.16．343-【解析】因为131n n a a n --=+，所以1111333n n a a n -=++，考虑构造等比数列，由111111((1)]24324n n a n a n --+=---，得111(124113(1)24n n a n a n --+=---，所以11{()}24n a n -+是一个公比为13的等比数列，将22512a =-代入2133a a -=中，解得1374a =-，故1111(10()243n n a n --+=-⨯，即111110()243n n a n -=+-⨯，又()12111111110(110()243243n n n n a a n n ----=+-⨯---⨯11120(0(2)23n n -=+⨯>≥，1233725230,0,041236=a a a =-<-<=>，所以n S 的最小值为123725344123a a +=--=-.17．（本小题满分12分）【解析】（I ）因为27cos 7cos 7cos B b C c B =+，且3a =，所以9cos 7cos 7cos a B b C c B =+，即9sin cos 7sin cos 7sin cos A B B C C B =+,即()9sin cos 7sin 7sin A B B C A =+=，又sin 0A ≠，所以7cos 9B =，（2分）又22214a c b +-=及余弦定理得cos 7ac B =，则7379c ⨯=，解得3c =；由22214a c b +-=，3a =，3c =，得2b =.（6分）（II ）因为7cos 9B =，所以sin 9B ==.又由余弦定理，得2222222331cos 22233b c a A bc +-+-===⨯⨯，则sin 3A ==，（10分）所以227142102sin()sin cos cos sin 393927A B A B A B -=-=-⨯.（12分）18．（本小题满分12分）【解析】（I ）填写表格如下：空气质量指数3(μg/m )[)0,50[)50,100[)100,150[)150,200[]200,250天数4080502010（3分）故X 的分布列为：X01234P11001401001270100148010012101001（9分）（III ）依题意，任取1天空气质量指数在150以上（含150）的概率为320，由二项分布知识可知，3~(5,)20Y B ，故()335204E Y =⨯=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（I ）如图，连接PD .因为90MPA ∠=，且MPA ∠是二面角A BC D --的平面角，故平面ABC ⊥平面BCDE .（2分）因为AB AC =，P 为线段BC 的中点，故AP BC ⊥，因为平面ABC 平面BCDE BC =，AP ⊂平面ABC ，故AP ⊥平面BCDE ，因为DE ⊂平面BCDE ，故AP DE ⊥.（4分）因为1,2,3BE BC CD ===，所以DE EP DP ===，故222DE EP DP +=，即DE EP ⊥，因为AP EP P = ，所以DE ⊥平面APE .（6分）由0,0,AD DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得30,220,x ty z x z --+=⎧⎨-=⎩令,x t =可得2,y z t ==，故(,2,)t t =m ；（10分）又(0,0,1)=n 为平面ABC 的一个法向量，平面ADE 与平面ABC 所成角的平面角的余弦值为14，所以14=，解得7t =（负值舍去），故7AP =.（12分）20．（本小题满分12分）【解析】（I ）因为曲线962-+-=x x y 与x 轴相切，令0962=-+-=x x y ，得3=x ，所以曲线962-+-=x x y 与x 轴相切于点)0,3(.（1分）设圆C 的标准方程为：222)()(r b y a x =-+-，则依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧-==-+-=1)()3(3222a b r b a a ，（2分）解得⎪⎩⎪⎨⎧===223r b a ，（4分）∴所求圆C 的标准方程为：4)2()3(22=-+-y x ．（5分）设),(),,(2211y x N y x M ，则根据根与系数的关系，得221146kk x x ++=+，22119k x x +=.（8分）因为3ON OM =，所以123x x =，所以12322(1)k x k +=+，221212232933[]2(1)1k x x x k k +===++.（10分）解得433±=k ，所以直线l的方程为34y x +=或34y x -=．（12分）21．（本小题满分12分）【解析】（I ）依题意，得22111()(0)px f 'x x x px px -=-=>；（2分）当0p <时，10px -<，此时21()0px f 'x px -=>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增；（4分）当0p >时，当1(0,x p ∈时，()0f 'x <，故()f x 在1(0,)p 上单调递减；当1(,)x p∈+∞时，()0f 'x >，故()f x 在1(,)p+∞上单调递增.（6分）（II ）依题意，得e (ln 1)xm x x ≥+-，（8分）令()e (ln 1)xh x x x =+-，下面求函数()h x 的最小值，1()(ln 1)e 1x h'x x x =+-+，令1()ln 1m x x x =+-，结合（I ）中结论可知，()1ln 1m x x x=+-在[]1,e 上单调递增，故()()10m x m ≥=，故1ln 10x x+-≥在[]1,e 上恒成立.（10分）故()1(ln 1)e 110x h'x x x=+-+≥>，故()()e ln 1xh x x x =+-在[]1,e 上单调递增.故min [()](1)1e h x h ==-，故1e m ≥-.综上所述，实数m 的取值范围为[)1e,-+∞.（12分）22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（II ）设曲线C 上一点)sin ,cos 3(θθP ，则点P 到直线l 的距离11|2sin cos 3|+--=θθd |2cos()2|6θπ+-=，（8分）可知当cos()16θπ+=-时，d 取得最大值，且为22，即直线m 与直线l 之间的最大距离为22．（10分）23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（I ）3)1(|42||)42(||42|||2222++=++=++--≥+++-a a a a x a x a x a x ，（2分）由33)1(2≥++a ，得3|42|||2≥+++-a x a x ，即3)(≥x f ．（4分）（II ）当1-=a 时，21,2()|1||2|3,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.（7分）作出函数)(x f 的图象及直线5y =如图：可知所围成的图形为梯形，令5)(=x f ，得3-=x 或2，（9分）则所求图形的面积为822)53(=⨯+．（10分）。
(word完整版)2018年安徽高考理科数学试题和答案
2018安徽数学<理科）试题 第Ⅰ卷<选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选题中，只有一项是符合题目要求的.fB1ZBk3ZyS <1）设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 为 (A>2(B> -2(C> 21-(D>21<2）双曲线8222=-y x 的实轴长是 (A>2(B> 22(C> 4(D> 24<3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f(A>-3 (B>-1 (C> 1(D>3<4）设变量x,y 满足|x|+|y|≤1，则x+2y 的最大值和最小值分别为 (A> 1,-1(B> 2,-2(C>1,-2(D>2,-1<5）在极坐标系中，点)3,2(π到圆θρcos 2=的圆心的距离为 (A> 2(B> 942π+(C>912π+(D>3<6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A>48(B> 17832+(C>17848+(D>80<7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 (A> 所有不能被2整除的整数都是偶数 (B> 所有不能被2整除的整数都不是偶数 (C>存在一个不能被2整除的整数是偶数(D> 存在一个能被2整除的整数不是偶数<8）设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8}，则满足A S ⊆且φ≠B S I 的集合S 的个数是(A>57 (B> 56 (C> 49(D>8<9）已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对Rx ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是(A> )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B>)(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ (C>)(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (D>)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ <10）函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是(A> m=1,n=1(B> m=1,n=2(C> m=2,n=1(D> m=3,n=1fB1ZBk3ZyS 第Ⅱ卷<非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
安徽省六校教育研究会2018届高三(上)第一次联考英语试卷(含答案)
安徽省六校教育研究会2018届高三（上）第一次联考英语试卷（考试时间：120分钟试卷分值：150分）第Ⅰ卷第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题 1.5分，满分7.5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题。
从题中所给的A,B,C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What will the boy probably eat next?A.An apple.B.Vegetables.C.Chocolate cake.2.When did Tom finish work?A.At8:00B.At6:30C.At4:303.What is the doctor’s advice?e back in two daysB.Take some medicineC.Stay home from school4.How does the woman feel?A.SurprisedB.TiredC.Relaxed5.Who has been to Yellowstone National Park?A.The woman.B.The man’s uncle.C.The man’s sister.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6.What do we know about the man’s wife?A.She likes reading very much.B.She’s counting the days.C.She will visit some old friends.7.Where did the woman probably go last summer?A.Hawaii.B.Europe.C.Egypt.听第7段材料，回答第8、9题。
安徽省六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考数学
2018-2018学年安徽省六校教育研究会高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题1．已知i为虚数单位，则=（）A．4﹣3i B．4+3i C．3﹣4i D．3+4i2．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|2x﹣1＞0，x∈Z}，则A∩B=（）A．（，3）B．{1，2，3}C．{1，2}D．{2，3}3．下列命题中，是真命题的是（）A．∃x0∈R，e≤0B．∀x∈R，3x＞x3C．a﹣b=0的充分不必要条件是=1D．若p∧q为假，则p∨q为假4．计算（log54）•（log1625）=（）A．2 B．1 C．D．5．为了了解雾霾天气对城市交通的影响，调查组队30个城市进行了抽样调查，现将所有城市从0，1，2，…，29随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知2号，8号，20号，26号在样本中，那么样本中还有一个城市的编号应是（）A．6 B．12 C．14 D．246．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=2，b=a，则B=（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．58．设a＞0，则函数y=|x|（x﹣a）的图象大致形状是（）A． B．C．D．9．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α10．已知P（x，y）是圆x2+（y﹣3）2=a2（a＞0）上的动点，定点A（2，0），B（﹣2，0），△PAB的面积最大值为8，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．411．抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为（）A．2B．4 C．6 D．412．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）﹣log5|x﹣1|的零点个数是（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=的定义域是．14．已知向量=（2，l），•=10，|+|=5，则||=．15．如图所示，一个三棱柱的正视图和俯视图分别是矩形和正三角形，则其表面积为．16．在等比数列{a n}中a1=512，公比q=﹣，记Πn=a1×a2×…×a n．（即Πn表示数列{a n}的前n项之积），Π8，Π9，Π10，Π11中值为正数的个数是．三、解答题17．在等差数列{a n}中，a1+a2=5，a3+a4=17．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{}的前n项和为S n，求S n的表达式．18．某校50名学生参加2018年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组[90，100），第二组[100，110），第五组[130，140]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝对值大于30分的概率．19．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+．（1）求函数f（x）的对称中心坐标；（2）求函数f（x）的单调区间．20．如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F为BC的中点，若．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE．21．已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）左、右两个焦点分别为F1，F2，点（1，）在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，A为椭圆C上顶点，直线F1A上有一动点P，求||+||的最小值．22．设函数f（x）=2xlnx﹣1．（1）求函数f（x）的最小值及曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，求实数a的取值范围．2018-2018学年安徽省六校教育研究会高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知i为虚数单位，则=（）A．4﹣3i B．4+3i C．3﹣4i D．3+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：A．2．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|2x﹣1＞0，x∈Z}，则A∩B=（）A．（，3）B．{1，2，3}C．{1，2}D．{2，3}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：集合A={x|0＜x＜3}，B={x|2x﹣1＞0，x∈Z}={x|x＞，x∈Z}，则A∩B={1，2}，故选：C．3．下列命题中，是真命题的是（）A．∃x0∈R，e≤0B．∀x∈R，3x＞x3C．a﹣b=0的充分不必要条件是=1D．若p∧q为假，则p∨q为假【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，因为e＞0恒成立；B，x=3是，3x=x3；C，a﹣b=0⇒a=b=0或a=b≠0；D，p∧q为假⇒p、q至少有一个为假，p∨q为假，p、q都为假．．【解答】解：对于A，因为e＞0恒成立，故错；对于B，∃x∈R（x=3），3x=x3，故错；对于C，a﹣b=0⇒a=b=0或a=b≠0⇒，=1，或不存在，故正确；对于D，若p∧q为假⇒p、q至少有一个为假，则p∨q可为假，也可为真，故错．故选：C．4．计算（log54）•（log1625）=（）A．2 B．1 C．D．【考点】换底公式的应用．【分析】可通过换底公式全部换成10为底的对数，即可对此对数式进行化简，得到计算结果．【解答】解：（log54）•（log1625）=×=×=1．故选B．5．为了了解雾霾天气对城市交通的影响，调查组队30个城市进行了抽样调查，现将所有城市从0，1，2，…，29随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知2号，8号，20号，26号在样本中，那么样本中还有一个城市的编号应是（）A．6 B．12 C．14 D．24【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义和方法，样本中5个同学的编号成等差数列，且公差为6，再根据已知2号，8号，20号，26号在样本中，从而得到样本中还有一个城市的编号．【解答】解：由系统抽样的定义可得，样本中5个同学的编号成等差数列，且公差为6，已知2号，8号，20号，26号在样本中，那么样本中还有一个城市的编号应是14，故选：C．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=2，b=a，则B=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理与余弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵=2，∴c=2a，又b=a，则cosB===，B∈（0，π），∴B=．故选：C．7．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．8．设a＞0，则函数y=|x|（x﹣a）的图象大致形状是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】确定分段函数的解析式，与x轴的交点坐标为（a，0），（0，0），及对称性即可得到结论．【解答】解：函数y=|x|（x﹣a）=∵a＞0，当x≥0，函数y=x（x﹣a）的图象为开口向上的抛物线的一部分，与x轴的交点坐标为（0，0），（a，0）当x＜0时，图象为y=﹣x（x﹣a）的图象为开口先向下的抛物线的一部分故选B．9．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C．【解答】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B 不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选：D．10．已知P（x，y）是圆x2+（y﹣3）2=a2（a＞0）上的动点，定点A（2，0），B（﹣2，0），△PAB的面积最大值为8，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】圆方程的综合应用．【分析】先利用点到直线的距离公式求得圆心（0，3）到直线AB的距离为d，可得P到直线AB的距离最大值（d+1），从而求得△PAB面积的最大值，即可得出结论．【解答】解：要使△PAB的面积最大，只要点P到直线AB的距离最大．由于AB的方程为y=0，圆心（0，3）到直线AB的距离为d=3，故P到直线AB的距离最大值为3+a，再根据AB=4，可得△PAB面积的最大值为•AB•（3+a）=2（3+a）=8，∴a=1故选：A．11．抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为（）A．2B．4 C．6 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设P（，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到FM，列出方程求出m的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积．【解答】解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，设P（，m），则M（﹣1，m），等边三角形边长为1+，F（1，0）所以由PM=FM，得1+=，解得m=2，∴等边三角形边长为4，其面积为4故选D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）﹣log5|x﹣1|的零点个数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为2，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数．【解答】解：函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）=f（x），即函数的周期是2又x∈[0，1]时，f（x）=x2，要研究函数y=f（x）﹣log5|x﹣1|零点个数，可将问题转化为y=f（x）与y=log5|x﹣1|有几个交点，如图由图知，有10个交点故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=的定义域是（e，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的真数大于0，且分母不为0，列出不等式组，即可求出函数的定义域．【解答】解：∵函数f（x）=，∴lnx﹣1＞0，即lnx＞1，解得x＞e，∴函数f（x）的定义域是（e，+∞）．故答案为：（e，+∞）．14．已知向量=（2，l），•=10，|+|=5，则||=5．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】设=（x，y），则有2x+y=10，且=5，解方程求得x、y的值，即可求得|b|的值．【解答】解：∵已知向量=（2，l），=10，||=5，设=（x，y），则有2x+y=10，且=5，（2+x）2解得x=3，y=4，故=（3，4），∴|b|=5，故答案为5．15．如图所示，一个三棱柱的正视图和俯视图分别是矩形和正三角形，则其表面积为2+12．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，正三棱柱的底面边长为2，棱柱的高为2，即可求出其表面积．【解答】解：由题意，正三棱柱的底面边长为2，棱柱的高为2，则其表面积为2×+3×2×2=2+12，故答案为2+12．16．在等比数列{a n}中a1=512，公比q=﹣，记Πn=a1×a2×…×a n．（即Πn表示数列{a n}的前n项之积），Π8，Π9，Π10，Π11中值为正数的个数是2．【考点】等比数列的性质．【分析】等比数列{a n}中a1＞0，公比q＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数，利用新定义，即可得到结论．【解答】解：等比数列{a n}中a1＞0，公比q＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数．∴Π11＜0，Π10＜0，Π9＞0，Π8＞0．故答案是：2．三、解答题17．在等差数列{a n}中，a1+a2=5，a3+a4=17．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{}的前n项和为S n，求S n的表达式．【考点】数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式a n=a1+（n﹣1）d，解方程，即可得到所求通项；（2）求得==（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，可得2a1+d=5，2a1+5d=17，解得a1=1，d=3，则a n=a1+（n﹣1）d=1+3（n﹣1）=3n﹣2；（2）==（﹣），则前n项和S n= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．18．某校50名学生参加2018年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组[90，100），第二组[100，110），第五组[130，140]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝对值大于30分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图，根据频率、频数与样本容量的关系，求出成绩在[100，120）内的人数即可；（2）由频率分布直方图，求出各分数段对应的人数，利用列举法求出基本事件数，计算概率即可．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，成绩在[100，120）内的人数为：50×0.16+50×0.38=27（人），∴该班成绩良好的人数为27人；（2）由频率分布直方图知，成绩在[90，100）的人数为50×0.18=3人，设为x、y；成绩在[130，140]的人数为50×0.18=4人，设为A、B、C、D；若m，n∈[90，100）时，有xy，xz，yz 3种情况；若m，n∈[130，140]时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD 6种情况；若m，n分别在[90，100）和[130，140]内时，有xA，xB，xC，xD，yA，yB，yC，yD，zA，zB，zC，zD 12种情况；∴基本事件总数为21种，事件“|m﹣n|＞30”所包含的基本事件个数有12种；∴概率为P（|m﹣n|＞30）=．19．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+．（1）求函数f（x）的对称中心坐标；（2）求函数f（x）的单调区间．【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x ）的解析式，令2x﹣=kπ，x=+（k∈Z），求函数f（x）的对称中心坐标；（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，得kπ﹣≤x≤kπ+，求得x的范围即为增区间，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，求得x的范围即为减区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），令2x﹣=kπ，x=+（k∈Z），∴函数f（x）的对称中心坐标是（+，0）（k∈Z）；（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，得kπ﹣≤x≤kπ+∴函数f（x）的单调增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+∴函数f（x）的单调增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．20．如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F为BC的中点，若．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取BE的中点G，连接GF，GD．利用三角形的中位线定理即可得到GF∥EC，．由AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，利用线面垂直的性质定理即可得到AD∥EC，进而即可判断四边形AFGD 为平行四边形，得到AF∥DG，再利用线面平行的判定定理即可证明；（II）利用等腰三角形的性质即可得到AF⊥BC，再利用线面垂直的性质得到GF⊥AF，利用线面垂直的判定定理即可证明AF⊥平面BEC，而DG∥AF，得到DG⊥平面BEC，利用面面垂直的定理即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）取BE的中点G，连接GF，GD．∵F是BC的中点，则GF为△BCE的中位线．∴GF∥EC，．∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴GF∥EC∥AD．又∵，∴GF=AD．∴四边形GFAD为平行四边形．∴AF∥DG．∵DG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE．（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．∵EC∥GF，EC⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC．又AF⊂平面ABC，∴GF⊥AF．∵GF∩BC=F，∴AF⊥平面BCE．∵AF∥DG，∴DG⊥平面BCE．又DG⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．21．已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）左、右两个焦点分别为F1，F2，点（1，）在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，A为椭圆C上顶点，直线F1A上有一动点P，求||+||的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据条件列方程组，解出a，b即可；（2）求出直线F1A的方程，得出O关于直线F1A的对称点，则||+||的最小值为|MF2|．【解答】解：（1）由题意得，解得a=2，b=，c=1．∴椭圆C的标准方程为．（2）F1（﹣1，0），F2（1，0），A（0，1），直线F1A的方程为y=x+，设O关于直线F1A的对称点为M（x，y），则，解得M（﹣，）．∴|MF2|==．∵|OP|=|PM|，∴||+||=|PM|+|PF2|≥|MF2|=，∴||+||的最小值为．22．设函数f（x）=2xlnx﹣1．（1）求函数f（x）的最小值及曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【分析】（1）求出函数的导数，求得单调区间，可得极值、最值；求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得切线方程；（2）由题意可得a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，构造函数h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）=﹣+=﹣，求解最大值，即可求解a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=2xlnx﹣1的导数为f′（x）=2（lnx+1），当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=取得极小值，也为最小值，且为﹣﹣1；可得曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=2，切点为（1，﹣1），曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=2（x﹣1），即为2x﹣y﹣3=0；（2）不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，可得：a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）=﹣+=﹣，h′（x）=0，得：x=1，x=﹣（舍去），当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴当x=1时，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2，∴实数a的取值范围：[﹣2，+∞）．2018年1月2日。
2018届 高三上学期第一次联考数学试卷(理科) Word版含解析
2018届 高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log 2x ＜1}，则 A ∩B=（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（1，2）2．已知复数z=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin α=，则cos （π﹣2α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．已知函数f （x ）=lg ，则f =（ ）A ．0B ．2C ．20D ．40345．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（ ）A ．B ．C ．2D ．66．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．37．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）A ．2B ．C ．D ．8．已知a ＜0，则“ax 0=b ”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 09．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）12．函数f （x ）=（x 2﹣3）e x ，当m 在R 上变化时，设关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣=0的不同实数解的个数为n ，则n 的所有可能的值为（ ） A ．3 B ．1或3 C ．3或5 D ．1或3或5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，，则= ．14．如果不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0）在函数y=2x +a 的图象上，那么实数a 的取值范围是 ．15．四面体A ﹣BCD 中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于 ．16．四边形ABCD 中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinA=（b ﹣c ）sinB+（c﹣b ）sinC ．（1）求角A 的大小；（2）若a=，cosB=，D 为AC 的中点，求BD 的长．19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20．已知椭圆M ： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）． （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值，并求此时l 的方程．21．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.x＜1}，则 A∩B=（）1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log2A．（﹣∞，2） B．（0，1）C．（0，2）D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={ x|≥1}={x|1＜x≤2}，x＜1}={x|0＜x＜2}，集合B={ x|log2∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：D．2．已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解： ==，故它所表示复平面内的点是（）．在复平面内对应的点，在第一象限．故选A．3．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故选：B．4．已知函数f （x）=lg，则f =（）A．0 B．2 C．20 D．4034【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得f（﹣x）+f（x）=2，即可得出．【解答】解：f（﹣x）+f（x）=lg+==2，∴f =2．故选：B．5．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．2D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积．【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为=2，故选C．6．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选D．7．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A．2B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．再利用等比数列的求和n公式即可得出这五个正三角形的面积之和．【解答】解：此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．n∴这五个正三角形的面积之和=×==．故选：D．8．已知a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，利用导数可得：x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，即可判断出结论．【解答】解：a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，则f′（x ）=ax ﹣b ，令f′（x ）=0，解得x=．∴x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，∴∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0，∴a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是：∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0， 故选：C ．9．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形， F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长， 由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ， 代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a ， 则c==a ，即有e==． 故选：A ．10．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能【考点】抛物线的简单性质．【分析】先由抛物线定义可知AM=AF ，可推断∠1=∠2；又根据AM ∥x 轴，可知∠1=∠3，进而可得∠2=∠3，同理可求得∠4=∠6，最后根据∠MFN=∠3+∠6，则答案可得． 【解答】解：如图，由抛物线定义可知AM=AF ，故∠1=∠2， 又∵AM ∥x 轴，∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6， 而∠2+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠MFN=∠3+∠6=×180°=90°，∴以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是相切， 故选B ．11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一点为（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，则（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m=log2（﹣m+a），即（m＜0）有解，即，t＞0有解．作出y=，与y=log2（t+a），t＞0的图象，如图：只需log2a＜1即可．解得a∈（0，2）．故选：D．12．函数f（x）=（x2﹣3）e x，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）e x，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判别式为m2+＞0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，则原方程有一正一负实根．当t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三个交点，当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的实根个数为3．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则= 2 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：214．如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，可得a≤0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=﹣3，实数a的取值范围是：[﹣3，0]故答案为：[﹣3，0]．15．四面体A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE，∴EF⊥AD，取EF中点O，OF=，∴AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4πR2=32π，故答案为：32π．16．四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，设BC 为2x ，可求DH=，S四边形ABCD=x 2+x ，设x=sin θ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S 四边形= [1+sin （2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S 四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D 在以BC 为焦点的椭圆上运动，A 在以BC 为直径的圆上运动，∴当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，此时，设BC 为2x ，则DH=，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S ABC =x +=x 2+x，设x=sin θ，则=cos θ，∴S 四边形=sin 2θ+sin θcos θ=（2sin 2θ+2sin θcos θ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）= [1+sin（2θ﹣）]，∴当sin （2θ﹣）=1时，即θ=时，S 四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1得出通项公式，再验证n=1是否成立即可；（2）化简bn，使用裂项法求和，解不等式得出n的范围即可．【解答】解：（I）∵Sn=n2﹣3n．∴当n=1时，S1=12﹣3×1=﹣2，即 a1=﹣2，当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=n2﹣5n+4∴an =Sn﹣Sn﹣1=2n﹣4，显然，n=1时，2n﹣4=﹣2=a1也满足上式，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣4．（II）bn===﹣，∴Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．令＞得 n＞2016，∵n∈N*，故n的最小值为2017．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c ﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．【解答】解：（I）∵，∴由正弦定理可得： a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），∴由余弦定理可得：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，∴得b=AC=2．∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，即10=AB2+4﹣2AB•2•，求得AB=32．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，∴BD=．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（I）求椭圆M的方程；（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x 1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，又离心率e=，即=∴a=2，b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的方程为（II ）设直线l 的方程为x=my ﹣1，C （x 1，y 2），D （x 2，y 2），联立方程组，消去x 得，（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣＜0S 1=S △ABC =|AB|•|y 1|，S 2=S △ABD =|AB|•|y 2|，且y 1，y 2异号∴|S 1﹣S 2|=|AB|•|y 1+y 2|=×4×|y 1+y 2|==∵3|m|+≥4，当且仅当3|m|=，即m=±时，等号成立∴|S 1﹣S 2|的最大值为=此时l 的方程为x ±2y+=021．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可； （Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F （x ）＞F （0），证出结论即可；（Ⅲ）要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜﹣x 2，根据函数的单调性只需证﹣f （x 2）=f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x 2）+f （﹣x 2）＞0，结合（Ⅱ）得出结论． 【解答】解：（I ）f′（x ）=e x ﹣x ﹣1，f′′（x ）=e x ﹣1 当x ＜0时，f′′（x ）＜0，当x ＞0时，f′′（x ）＞0∴f′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增． 当x=0时，f′（0）=0为f′（x ）极小值，无极大值．（II）证明：由题意g （x）=﹣f （﹣x）=﹣e﹣x+x2﹣x+1，令F （x）=f （x）﹣g （x）=f （x）+f （﹣x）=e x+e﹣x﹣x2﹣2（x≥0），F′（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，F′′（x）=e x+e﹣x﹣2≥0因此，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，从而有F′（x）≥F′（0）=0；因此，F （x）在[0，+∞）上单调递增，当x＞0时，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（III）证明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0．因为x1≠x2，不妨设x1＜x2，于是有x1＜0，x2＞0，要证x1+x2＜0，即证x1＜﹣x2．因为f （x）单调递增，f （x1）+f （x2）=0故只需证﹣f （x2）=f （x1）＜f （﹣x2），即f （x2）+f （﹣x2）＞0因为x2＞0，由（II）知上不等式成立，从而x1+x2＜0成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ，∴圆C 的直角坐标方程为，x 2+y 2﹣2y=0（II ）设A 、B 点所对应的参数分别为t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入圆C 的方程 则t 1，t 2是下面方程的根（3+t ）2+（+t ）2﹣2（+t ）=0整理得，t 2+3t+4=0所以，t 1+t 2=﹣3，t 1t 2=4（t 1，t 2同号）∵直线l 过P （3，）∴根据t 的几何意义可知|PA|=|t 1|，|PB|=|t 2|∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x+m|（m ＞0） （1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围． 【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．（2）若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m 或2﹣＜m ﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m ＞0．【解答】（1）证明：∵f （x ）=|x ﹣|+|x+m|≥|（x ﹣）﹣（x+m ）|=|﹣﹣m|=+m （m ＞0）又m ＞0，则+m ≥4，当且仅当m=2取最小值4． ∴f （x ）≥4；（2）解：若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．。
【学期】安徽省六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考数学文试题Word版含答案
【关键字】学期安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（）A．B．C．或D．2.已知复数满足：(其中为虚数单位)，复数的虚部等于（）A．B．C．D．3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．1 B．．3 D．44.“”是“成立”的（)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（）A．B．C．1 D．6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，且，则C．若，则D．若，则7.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．8. 在中，角的对边分别为.已知，则（）A．B．C．D．9.已知向量均为单位向量，且夹角为，若，则实数（）A．B．C．D．10.已知函数是奇函数，若函数的一个零点为，则必为下列哪个函数的零点（）A．B．C．D．11.设实数满足不等式组，则的最大值为（）A．B．C．12 D．012.已知函数，直线过原点且与曲线相切，其切点的横坐标从小到大依次排列为，则下列说法正确的是（）A．B．数列为等差数列C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某植树小组测量了一批新采购的树苗的高度，所得数据如茎叶图所示（单位:),则这批树苗高度的中位数为．14.从直线上一动点出发的两条射线恰与圆都相切，则这两条射线夹角的最大值为．15.已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若，则．16. 已知三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为.(1)求和函数的最小值（2）求函数的单调递加区间.18.已知数列的前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.19.一生物科研小组对升高温度的多少与某种细菌种群存活数量之间的关系进行分析研究，他们制作5 份相同的样本并编号1、2、3、4、5，分别记录它们同在下升高不同的温度后的种群存活数量，得到如下资料：（1）若随机选取2份样本的数据来研究，求其编号不相邻的概率；（2）求出关于的线性回归方程；（3）利用（2）中所求出的回归方程预测温度升高15时此种样本中种菌群存活数量.附：，20. 如图1，1AFA ∆中，11,82FA FA AA CF ===，，点,,B C D 为线段1AA 的四等分点，线段,,BE CF DG 互相平行，现沿,,BE CF DG 折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面ABCD 为正方形.（1）证明：,,,A E F G 四点共面；（2）求四棱锥B AEFG -的体积.21.如图所示，椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 为椭圆在第一象限上的点，且2AF ⊥x 轴，（1）若2135AF AF =，求椭圆的离心率； （2）若线段1BF 与x 轴垂直，且满足11BF AF =，证明：直线AB 与椭圆只有一个交点.22.已知函数()()()211,2x f x x a e g x x ax =+-=+，其中a 为常数. （1）若2a =时，求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BCCAB 6-10: CDADB 11、12：CD二、填空题13. 76 14.2π 15. 12- 16.77π 三、解答题17. 解：13()2sin (cos sin )sin 222f x x x x x ωωωω=++ （1）因为函数最小正周期为π，则2|2|T ππω==,则1ω=，最小值为32- （2）由（1）得3()3)6f x x π=-+令222()262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈,解得()63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以函数的增区间为[,]()63k k k Z ππππ-++∈ 18.解：（1）122n n a S +=+ ①∴当2n ≥时，122n n a S -=+② ①-②得：12n n n a a a +-=13n n a a +⇒=，又12a =，由①得21226a a =+=213a a ∴=，{}n a ∴是以2为首项3为公比的等比数列123n n a -∴=⨯。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
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4
9 2 (k k 2 )
2 1 2
4 4
9 2 (k12 1 ) k12
4 ，
k12
1 2 （当且仅当 k1 1 时，不等式取等号） ， k12
9 4 ，即 8 S 10 ， 22 由①②可知，8 S 10 ．………………………………………………………………………12 分
安徽教育研究会 2018 届高三数学（理科）参考答案
一．选择题 1-5 B AC AA 6-10 DBCDD 11-12 BC
二．填空题 13． x R ，使得 x 2 2 x 4 0 2 14． 3 15． 15 5 1 16． y x 2 三．解答题 17.解： （1）由余弦定理得 a 2 b 2 c 2 2bc cos A ，即 3 b 2 c 2 bc ，所以 b 2 c 2 3 bc ， 因为 b 2 c 2 2bc ，所以 3 bc 2bc ，即 bc 3 （当且仅当 b c 时，等号成立） ， 1 3 3 3 3 3 所以 S ABC bc sin A bc ，故 ABC 面积的最大值为 ．……………………5 分 2 4 4 4 c 1 3 a c （2）由正弦定理得， ，所以 sin C sin A sin ， sin A sin C a 2 3 4 13 1 所以 cos C ，又因为 c a ，所以 c a ，所以 C A ，故 C 为锐角， 4 2 13 所以 cos C ， 4 所以 sin B sin[ ( A C )] sin( A C ) sin( C ) 3 3 13 1 3 39 3 sin cos C cos sin C ．………………………………10 分 3 3 2 4 2 4 8
12 ，所以 n 48 ．…………………………………………………………6 分 n 5 （2）由（1）可得，一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为 P p3 (0.037 0.013) 5 ， 8
又因为 p2 0.25
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由题意知 X 服从二项分布， k 5 k 3 2 k P ( x k ) C2 ( ) ( ) (k 0,1, 2) ， 8 8 所以随机变量 X 的分布列为
20．解： （1）设报考飞行员的人数为 n ，前 3 个小组的频率分别为 p1 ， p2 ， p3 ，则由条件可 得：
p2 2 p1 p3 3 p1 p p p (0.037 0.013) 0.125 ， p2 0.25 ， p3 0.375 ，
1 1 1 18.解： （1）当 n 1 时， 2S1 (a1 )2 ，即 2a1 (a1 )2 ，解得 a1 ， 2 2 2 1 1 2S n (an )2 2S n an 2 an ……………………① 2 4 1 2S n 1 an 12 an 1 ……………………② 4 2 2 ①-②： 2an an an 1 an an 1 ，所以 an 2 an 12 an an 1 0 ，即 (an an 1 )(an an 1 1) 0 ， 因为 {an } 是正项数列，所以 an an 1 1 0 ，即 an an 1 1 ，其中 n 2 ， 1 1 1 所以 {an } 是以 为首相，1 为公差的等差数列，所以 an (n 1) 1 n ．……………6 分 2 2 2 1 1 （2）因为 an n ，所以 an 1 n ， 2 2 1 2 1 (n ) (n ) 2 2n 1 1 1 1 2 2 所以 bn ， 4 2 2 1 1 1 1 1 1 (2n 1) (2n 1) (n )2 (n )2 (n ) 2 (n )2 (n ) 2 (n ) 2 2 2 2 2 2 2
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所以 Tn b1 b2 bn 16n 2 16n 1 1 1 1 1 1 1 ．…12 分 4 2 2 4 2 2 4 4 1 2 2 2 2 (2 n 1) (2 n 1) (2 n 1) 4 n 4 n 1 1 3 3 5
x2 2 1 y 1 ( k12 ) x 2 2k1mx m 2 1 0 ， 4 4 y k x m 1
因为直线 AB 与椭圆相切，所以 4k12 1 m 2 0 ，所以 | m | 4k12 1 ，同理 | n | 4k2 2 1 ， 所以 S 4 4k12 1 4k 2 2 1 1 k12 1 k2 2 4 16k12 k2 2 4(k12 k2 2 ) 1 k12 k2 2 (k12 k2 2 ) 1 4 17 4(k12 k2 2 ) 2 (k12 k2 2 )
X P
0 9 64
1 30 64
2 25 64
5 5 E ( X ) np 2 ． …………………………………………………………………………12 分 8 4
21．解： （1）依题 | PM || PF | ， 所以 | PE | | PF || PE | | PM || ME | 4 （为定值） ， | EF | 2 3 ， 4 2 3 所以点 P 的轨迹是以 E ， F 为焦点的椭圆，其中 2a 4 ， 2c 2 3 ， x2 所以 P 点轨迹 C 的方程是 y 2 1 ．…………………………………………………………4 分 4 （2）①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得 S 8 ； ②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为 0， 设 AB 的方程为 y k1 x m ， BC 的方程为 y k 2 x n ，则 CD 的方程为 y k1 x m ， AD 的方 程为 y k 2 x n ，其中 k1 k2 1 ， | m ( m) | 2|m| 直线 AB 与 CD 间的距离为 d1 ， 1 k12 1 k12 | n ( n) | 2|n| 同理直线 BC 与 AD 间的距离为 d 2 ， 1 k22 1 k2 2 2| m| 2|n| 所以 S d1 d 2 ……（*） 2 1 k1 1 k2 2
所以 4 4 S 4
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22．解： （1）易知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ) ， 1 1 1 1 x 1 f '( x) e x (ln x ) ，设 h( x) ln x ，则 h '( x ) 2 2 ， x x x x x 当 0 x 1 时， h '( x ) 0 ，当 x 1 时， h '( x ) 0 ，所以 h( x) min h(1) 1 0 ， 故 f '( x) 0 ，所以 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增．………………………………………………4 分 （2）依题 e x ln x a( x 1) 在 (1, ) 上恒成立， 设 g ( x ) e x ln x a ( x 1) （ x 1 ） ，则 g ( x) 0 在 (1, ) 上恒成立， 1 g (1) 0 ， g '( x) e x (ln x ) a ， x 欲使 g ( x) 0 在 (1, ) 上恒成立，则 g '(1) 0 ，得 a e ， 1 1 反之，当 a e 时， g '( x) e x (ln x ) a e x (ln x ) e ， x x 1 2 1 设 r ( x) e x (ln x ) e （ x 1 ） ，则 r '( x ) e x (ln x 2 ) ， x x x 1 2 2 x 2 2 x 2 ( x 1) 2 1 2 1 设 ( x ) ln x 2 （ x 1 ） ，则 '( x) 2 3 0， x x x x x x3 x3 所以 ( x ) 在 (1, ) 上单调递增，所以 ( x ) (1) 1 0 ， 所以 r '( x ) 0 ，所以 r ( x) 在 (1, ) 上单调递增，所以 r ( x) r (1) 0 ， 故 g '( x) 0 ，所以 g ( x) 在 (1, ) 上单调递增， 又 g (1) 0 ，所以 g ( x) 0 在 (1, ) 上恒成立， 综上所述， g ( x) 0 在 (1, ) 上恒成立 a e ， 所以 a 的取值范围是 (, e] ．…………………………………………………………………12 分
z
19．解： （1）如图取 AB 的中点 E ，连接 DE ，依题 DC // EB ，
P
所以四边形 BCDE 是平行四边形， 所以 DE BC ．因为 E 是 AB 中点， 1 C 所以 AE AB ，故 AE AD DE ， D 2 所以 ADE 为等边三角形，所以 AED 60 ， A B 因为 AB ∥ CD ，所以 EDC 60 ． BC CD ， E y x 所以平行四边形 BCDE 为菱形， 1 所以 EDB EDC 30 ，所以 ADB 90 ，即 BD AD ，又已知 PA BD ，所以 BD 2 平面 PAD ， BD 平面 ABCD ，所以平面 PAD 平面 ABCD ．……………………………6 分 （2）由（1）知， BD 平面 PAD ，平面 PAD 平面 ABCD ，所以如图，以 DA 为 x 轴， DB 为 y 轴，过 D 点与平面 ABCD 垂直的直线为 z 轴建立空间直角坐标 D xyz ．设 AB 2 ，则
1 3 BD 3 ， AD CD BC PA PD 1 ， 所 以 A(1, 0, 0) ， B (0, 3, 0) ， C ( , , 0) ， 2 2 1 3 P( , 0, ) ， 2 2 1 3 所以 PA ( , 0, ) ， AB (1, 3, 0) ．设平面 PAB 的法向量 n ( x, y , z ) ，则 2 2 1 3 z0 PA n 0 x ，令 x 3 ，则 y 1 ， z 1 ，所以 n ( 3,1,1) ． 2 2 x 3 y 0 AB n 0 65 同理可得平面 PBC 的法向量 m ( 3,1,3) ，所以 cos m, n ， 65 65 所以二面角 A PB C 大小的余弦值为 ．…………………………………………12 分 65