7.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-习题
绝对收敛与条件收敛
n1
n1
上定理的作用： 任意项级数
பைடு நூலகம்
正项级数
定 义 : 若 u n收 敛 ,则 称 u n为 绝 对 收 敛 ;
n 1
n 1
若 un发 散 ,而 un收 敛 , 则 称 un为 条 件 收 敛 .
n1
n1
n1
例4
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sinn n2
1 n2
,
而
1 收敛,
n1
ln(n1)
解： (1)n1 1 1 1 lnn (1) lnn (1) n1
由调和级数的发散性可知，
1 发散，
n1 n 1
故
(1)n1
1
发散.
n1
ln(n1)
但原级数是一个收敛的交错级数：un
1， ln(n 1)
故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.
(2) 绝对收敛级数的性质
性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其 敛散性不变，其和也不变.
性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对 收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.
小结
1、交错级数 (莱布尼茨定理) 2、绝对收敛与条件收敛
作业：P127：2(1)-(8)
由极限存在准则：m l i m S2mS存在S， u1且 .
2) 取交错级数的前2m+1项之和
S 2 m 1 u 1 u 2 u 3 u 4 u 2 m 1 u 2 m u 2 m 1 S 2 m u 2 m 1
由条件1): ln imun 0,故
m l i S 2 m m 1 m l ( i S 2 m m u 2 m 1 ) m l i S 2 m m m l i u 2 m m 1 S 综上所述，有 ln im SnS，S且 u1.
7.3 任意项级数敛散性的判别
lim u n lim
n
n ln n
lim
x
lim
x
1
x ln x x
0
综上所述原级数条件收敛.
x
(4)
n1
对于级数 当 当
x 1 x 1
x
n
lim
n
n1 x
n1
n
n
lim
n n1
n
x x
n
时 时
原级数 原级数
(B) 条件收敛 (D) 敛散性与 有关
例5 设常数
k 0,
(A)发散
则级数 ( 1) 2 n n 1 (B) 条件收敛
n
k n
(
)
(C) 绝对收敛
(D) 敛散性与 k 有关
正 项 与极限形式 级 数 n n 适用 u n 为 a , P ( n ), n ! , n 比值判别法 的积、商的级数.
n
发散,
n1
从而 ( 1 )
n1
n1
n! 5
n
发散.
( 3 )
( 1)
n1
n1
n ln n
解：对于级数 因 n ln n 再考察
un 1 n ln n
1 n ln n
n1
1
1 n
且
n1
1 n
n1
发散 故
1 n ln n
n
n
un l
N,
故对 当 即
存在正整数
un l
n
n N
第12章(2)2数项级数的绝对收敛与条件收敛
n 0
n 0
unvn 之间的关系，注意到由( un vn )2 0 可推得
un 2 vn 2 2 unvn unvn
n 0
从而可推得结论．
证明
2 2 vn 2 | unvn |， 由 ( un vn )2 0 得 un
因级数 un 2 和 vn 2 收敛，必有级数 ( un 2 vn 2 ) 收敛，
有关级数的敛散性判定准则： 拿到一个级数，先看通项的极限是否为0 ； 再看是什么类型的级数（正项，交错，任意项）： 1、正项级数的收敛就是绝对收敛； 2、交错级数可能发散，可能条件收敛也可能是绝对收敛； 3、对于任意项级数，先将通项取绝对值再分析对应 的级数的敛散性， 取绝对值后的级数收敛即为绝对收敛； 取绝对值后的级数发散，但还要看原级数可能收敛 （比如是交错级数可看其是否满足莱布尼兹判别法）。 如果是用正项级数的比值审敛法分析的发散就一定发散； 4、条件收敛与绝对收敛都是收敛。
2n n ! 练习：1、 证明：lim n 0 n n
2、判别级数的敛散性
an (1) (a 0)敛散性 2n n 1 1 a
2n n ! lim n 0 练习： 1、证明： n n 2n n ! 证明：设 un n , n un1 2n1 (n 1)! 2n n! lim lim / n lim n 1 n u n (n 1) n n n
再由比较收敛法知原级数也是收敛的。
定理5. *根值审敛法 ( Cauchy判别 法)
设
为正项级 数, 且 lim n un , 则
n
1 例如, 设级数 n , n1 n
1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n
7.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-习题
1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？⑴11(1)n n ∞-=-∑；【解】级数11(1)n n ∞-=-∑属于交错级数，它满足关系1n n u u +=>=（1,2,3,n =L）且lim 0n n n u →∞==，即由莱布尼兹定理知，级数11(1)n n ∞-=-∑收敛，但11(1)n n ∞-=-∑1n ∞==是112p =<的P 级数，发散，综上知，级数1(1)n n ∞-=-∑条件收敛。
⑵111(1)3n n n n∞--=-∑； 【解】级数111(1)3n n n n∞--=-∑属于交错级数， 由于111(1)3n n n n ∞--=-∑113n n n∞-==∑， 因为111113lim lim lim 1333n n n n n nn n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<，由正项级数的比值判别法知，级数113n n n∞-=∑收敛， 综上知，级数111(1)3n n n n∞--=-∑绝对收敛。
⑶11ln (1)n n nn∞-=-∑； 【解】级数11ln (1)n n nn∞-=-∑属于交错级数，由于函数ln x y x =有21ln '0xy x -=>当x e >时恒成立， 知ln xy x=当x e >时为增函数， 从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1ln lim lim lim 01n n n n nn u n →∞→∞→∞===，即由莱布尼兹定理知，级数11ln (1)n n nn∞-=-∑收敛， 但由于11ln (1)n n n n ∞-=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11n n∞=∑为调和级数，发散， 综上知级数11ln (1)n n nn∞-=-∑条件收敛。
⑷111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑；【解】级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑属于交错级数，它满足关系111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++（1,2,3,n =L ）且1lim lim0ln(1)n n n u n →∞→∞==+，即由莱布尼兹定理知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑收敛，但由于1limn n nu u +→∞1ln(1)lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 11n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞， 且级数111n n ∞=+∑21n n∞==∑为调和级数，发散，即由比较判别法的极限形式知，级数11ln(1)n n ∞=+∑发散， 综上知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛。
绝对收敛与条件收敛
小结
1、交错级数 (莱布(1)-(8)
故 f (x) [2, +)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判 别法，该级数收敛.
例 3 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
由调和级数的发散性可知，
1 发散，
n1 n 1
故
(1) n1
1
发散.
n1
ln(n 1)
但原级数是一个收敛的交错级数：un
1， ln(n 1)
故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.
(2) 绝对收敛级数的性质
性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其 敛散性不变，其和也不变.
性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对 收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.
二、 任意项级数及其敛散性
(1) 级数的绝对收敛和条件收敛
定义：若级数 | un | 收敛， 则称原级数 | un | 是绝
n1
n1
对收敛的；若级数 un 收敛，但级数 | un | 发散，
n 1
n1
则称原级数 un 是条件收敛的 . n1
定理：若 |
un
|
收敛，则
u
必
n
收敛.
n1
n1
(即绝对收敛的级数必定收敛)
x n
例6. 判别 n1 1 x n 的敛散性，其中，x1为常数.
绝对收敛与条件收敛
故级数绝对收敛.
当
时，
故级数发散. 当 时，级数
， ， 满足莱布尼茨判别定理的条件，故级数条件收敛.
；由 级数的收敛性知：
又当 时， 是交错级数，由莱布尼茨判别法知，题设级数收敛；
当 时，级数显然发散. 综上所述， 时，级数绝对收敛；
时，级数条件收敛；当 时，级数发散.
17. 当 时级数 nmlkj nmlkj
级数条件收敛. (5分) nmlkj nmlkj
【参考答案】 A 【试题解答】 当级数条件收敛时，则 ，
【试题解答】 由 绝对收敛可知，
，可取 ，当 时有
，即 收敛．
令 ，则 收敛，而 不绝对收敛．
，所以
综上，级数 绝对收敛是 收敛的充分但非必要条件．
5. 下列级数绝对收敛的有 .
nmlkj
条件收敛， 绝对收敛
nmlkj
绝对收敛， 发散
；
. (5分)
nmlkj
条件收敛， 条件收敛
nmlkj
发散， 条件收敛
,
,
.
18. 级数
nmlkj 条件收敛 nmlkj 发散
. (5分)
nmlkj 绝对收敛 nmlkj 敛散性不能确定
【参考答案】 A 【对应考点】 绝对收敛与条件收敛；交错级数；比较判别法
【试题解答】
显然
．
绝对收敛，而
条件收敛，故原级数条件收敛．
19. 级数
绝对收敛的条件是参数 满足 . (5分)
nmlkj
时，级数条件收敛；当 时，级数发散.
13. 关于级数
nmlkj 当 时，级数绝对收敛 nmlkj 级数条件收敛
的敛散性，说法错误的是 . (5分)
大学数学易考知识点级数的收敛性和求和
大学数学易考知识点级数的收敛性和求和在大学数学中，级数是一个重要的概念，涉及到级数的收敛性和求和运算。
理解和掌握级数的收敛性以及求和的方法对于数学学科的学习和应用具有重要意义。
本文将介绍级数的概念，讨论级数的收敛性判定方法，并介绍几种常见的求和方法。
一、级数的概念级数是由一列数的和构成的数列，通常以∑表示。
级数的一般形式可以表示为：∑(n=1 to ∞) an = a1 + a2 + a3 + ...其中，an表示级数的通项，n表示求和的下标，∑表示求和符号。
根据不同的通项an，级数可以分为不同的类型。
二、级数的收敛性判定方法1. 正项级数收敛性判定法正项级数是指级数的通项an都是非负数，即an ≥ 0。
对于正项级数，我们可以使用以下方法进行收敛性判定：(1) 比较判别法：将待确定的级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较。
(2) 比值判别法：计算级数的通项an+1与an的比值的极限值，根据极限值的大小来判断级数的收敛性。
(3) 根值判别法：计算级数的通项an的n次方根与1的比值的极限值，根据极限值的大小来判断级数的收敛性。
2. 任意项级数的收敛性判定法对于任意项级数，我们需要使用更加复杂的方法进行收敛性判定：(1) 莱布尼兹判别法：用于交错级数的判定，即级数的通项an交替出现正负号。
(2) 绝对收敛和条件收敛：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；反之，如果一个级数收敛但它的绝对值级数发散，则称此级数为条件收敛。
三、级数的求和方法1. 部分和求和对于级数∑(n=1 to ∞) an，我们可以通过计算部分和Sn = a1 + a2 + ... + an来求得级数的近似值。
2. 等比级数求和等比级数是指级数的通项满足an+1 = r * an，其中r为常数。
对于等比级数∑(n=0 to ∞) ar^n，可以通过以下公式求和：S = a / (1 - r)其中，S为级数的和。
3. 幂级数求和幂级数是指级数的通项可以表示为an = cr^n，其中c为常数，r为变量。
无穷级数习题课
∞ 2 ∞a 收敛， （4）若 ∑an 收敛，则 ∑ n ） 绝对收敛） （绝对收敛） n n= 1 n= 1 ∞ ∞ ∞ 收敛， n发散， （5）若 ∑an 收敛， ∑b 发散，则 ∑(an ±b ) （发散） ） 发散） n n= 1 n= 1 n= 1
an 收敛且a ≠1时 若正项级数 ∑an收敛且an≠1时，则级数 ∑ 收敛） 1−an （收敛） n= 1 n= 1
n=1 n=1
判别下列级数的敛散性: 例2 .判别下列级数的敛散性 判别下列级数的敛散性
讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 例3.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 π ∞ sin n+1 (2) ∑ −1 n+1 n+1 ; ( )
n= 1
π
n+1 (3) ∑ −1 ln ( ) ; n n= 1
(− )n+ 1 1 1 n + ∞ (− ) 1 1 + ] ， un+1 = lim n+1 n+1 ∑[ lim 又如 n n n→ un n→ ∞ ∞ (− )n 1 1 n= 1 + n n − n (− )n n 1 + 同 (− )n n 乘 1 n+1 = − ，但该级数发散。 lim n+1 1 但该级数发散。 n n→ ∞ (− ) 1 1+ n
n= 1 ∞
n= 1+an 1
∞
（6）若 ∑an、∑b 都发散，则 ∑(an ±b ) ） n n都发散， n= 1 n= n= （可能发散也可能收敛） 1 可能发散也可能收敛） 1
∞ 1 1n 可能收敛也可能发散） （7）若 0 ≤ an < ，则 ∑(− ) an （可能收敛也可能发散） ） n n= 1 1 ∞ an = , ∑(−1 nan 收敛， ) 收敛， 例如 2n n= 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？⑴11(1)n n ∞-=-∑；【解】级数11(1)n n ∞-=-∑属于交错级数，它满足关系1n n u u +=>=（1,2,3,n =L）且lim 0n n n u →∞==，即由莱布尼兹定理知，级数11(1)n n ∞-=-∑收敛，但11(1)n n ∞-=-∑1n ∞==是112p =<的P 级数，发散，综上知，级数1(1)n n ∞-=-∑条件收敛。
⑵111(1)3n n n n∞--=-∑； 【解】级数111(1)3n n n n∞--=-∑属于交错级数， 由于111(1)3n n n n ∞--=-∑113n n n∞-==∑， 因为111113lim lim lim 1333n n n n n nn n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<，由正项级数的比值判别法知，级数113n n n∞-=∑收敛， 综上知，级数111(1)3n n n n∞--=-∑绝对收敛。
⑶11ln (1)n n nn∞-=-∑； 【解】级数11ln (1)n n nn∞-=-∑属于交错级数，由于函数ln x y x =有21ln '0xy x -=>当x e >时恒成立， 知ln xy x=当x e >时为增函数， 从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1ln lim lim lim 01n n n n nn u n →∞→∞→∞===，即由莱布尼兹定理知，级数11ln (1)n n nn∞-=-∑收敛， 但由于11ln (1)n n n n ∞-=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11n n∞=∑为调和级数，发散， 综上知级数11ln (1)n n nn∞-=-∑条件收敛。
⑷111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑；【解】级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑属于交错级数，它满足关系111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++（1,2,3,n =L ）且1lim lim0ln(1)n n n u n →∞→∞==+，即由莱布尼兹定理知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑收敛，但由于1limn n nu u +→∞1ln(1)lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 11n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞， 且级数111n n ∞=+∑21n n∞==∑为调和级数，发散，即由比较判别法的极限形式知，级数11ln(1)n n ∞=+∑发散， 综上知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛。
⑸2112(1)!n n n n ∞-=-∑；【解】级数2112(1)!n n n n ∞-=-∑为交错级数， 注意函数2x y x =，由于22ln 22'x x x y x ⋅-=22(ln 21)x x x-=， 易见，当2x >时，ln 22ln 2ln 41x >=>，使得此时'0y >，即知当2x >时，2xy x=为增函数，即有()(2)y x y >2222==，亦即当2n >时，22nn >， 于是当2n >时，有1n nu u +22(1)2(1)!2!n nn n ++=22(1)21n n n +-=+2121n n +=+1221n n n +=⋅+221n≥⋅>， 可知，当2n >时，1n n u u +>，不满足交错级数收敛条件⑴，从而可知，交错级数2112(1)!n n n n ∞-=-∑发散。
⑹21sin n nn∞=∑。
【解】级数21sin n nn ∞=∑为任意项级数， 由于21sin n n n ∞=∑211n n ∞=≤∑，而211n n∞=∑为21p =>的P 级数，收敛， 即由比较判别法知，级数21sin n nn ∞=∑绝对收敛。
*2．判定级数2111(1)(1)2nn n n n ∞=-+∑的敛散性。
【解】级数2111(1)(1)2nn n n n∞=-+∑为交错级数，观察211lim lim (1)2n n n n n u n →∞→∞=+11lim[(1)]2n nn n→∞=+，由于11lim (1)2n n n→∞+112e =>，可知lim n n u →∞=∞，即由莱布尼兹定理知，级数2111(1)(1)2nn n n n∞=-+∑发散。
3．判别级数121(1)sin1n n nn ∞-=-+∑的敛散性。
【解】级数121(1)sin1n n nn ∞-=-+∑为交错级数， 由2(1)0n -≥得212n n +≥，亦即210122n n π<≤<+， 考察函数21x y x =+，有2221'0(1)x y x -=<+在1x >时恒成立， 可知数列21n n +是减函数，其值域为1(0,)2从而由于函数sin y x =在1(0,)(0,)22π⊃上是增函数，而知数列2sin 1nn +是递减的，再者，有2limsin1n nn →∞+21limsin sin 0011n nn →∞===+， 即由莱布尼兹定理知,级数121(1)sin1n n nn ∞-=-+∑是收敛级数， 再因22sin1lim 11x nn n n →∞+=+，由比较判别法的极限形式知，级数21sin 1n n n ∞=+∑与级数211n n n ∞=+∑具有相同的敛散性，而由211111n n n n n =>+++，以及调和级数111n n ∞=+∑发散而知道级数211n n n ∞=+∑发散，从而知道级数21sin 1n nn ∞=+∑发散，综上知，级数22(1)sin1n n nn ∞=-+∑条件收敛。
4．级数21(1)sinln nn n∞=-∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 【解】级数21(1)sinln n n n∞=-∑为交错级数， 考察函数1sin ln y x =，由于2111'cos 0ln ln y x x x -=⋅⋅<当1x >时恒成立， 知函数1sin ln y x=是(1,)+∞上的减函数，亦即数列1sin ln n 是递减数列，再者，有1lim sin 0ln n n→∞=，即由莱布尼兹定理知,级数21(1)sinln n n n∞=-∑收敛， 再因1sinln lim 11ln x x x→∞=，由比较判别法的极限形式知，级数21sinln n n ∞=∑与级数21ln n n∞=∑具有相同的敛散性，而由11ln n n >，以及调和级数21n n ∞=∑发散而知道级数21ln n n ∞=∑发散，从而知道级数21sinln n n∞=∑发散， 综上知，级数21(1)sinln n n n∞=-∑条件收敛。
5．设2nn u∞=∑和2nn v∞=∑绝对收敛，证明2()nn n uv ∞=+∑也绝对收敛。
【证明】由题设2nn u∞=∑和2nn v∞=∑绝对收敛，知级数2nn u∞=∑和2nn v∞=∑收敛，即由收敛级数性质7.1.2知，级数2()nn n uv ∞=+∑也收敛，再由绝对值不等式a b a b +≤+得n n n n u v u v +≤+，（1,2,3,n =L ） 可由正项级数收敛的比较判别法得知，级数2nn n uv ∞=+∑收敛，从而知，级数2()nn n uv ∞=+∑绝对收敛。
证毕。