江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调研(二)数学试题(扫描版)有答案
2013届苏锡常镇四市高三第三次模拟考试数学试卷及答案（扫描版）2013-5-2更多2013届各地最新模拟下载只需复制网址下载，绝对安全无毒江苏省南京、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷（WORD版）.doc:/file/20316351江苏省南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试数学试卷2013.3.doc:/file/20316354江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题（扫描版）.doc:/file/20316355江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调查（二）数学试题（word版）.doc:/file/20316358江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调研（二）数学试题（扫描版）有答案.doc:/file/20316361江西省2013届高三九校第二次联考数学（文）试题.doc: /file/20316365 江西省2013届高三九校第二次联考数学（理）试题.doc: /file/20316363 江西省南昌市2013届高三第二次模拟测试（word解析版）数学文.doc: /file/20316371江西省南昌市2013届高三第二次模拟测试（word解析版）数学理.doc:/file/20316368河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题.doc: /file/20316208河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试试题（worc版）数学文.doc: /file/20316206河南省平顶山、许昌、新乡2013届高三第三次调研考试（word版）数学理].doc:/file/20316205河南省郑州市2013届高三第三次测验预测试题（word版）数学文.doc: /file/20316218河南省郑州市2013届高三第三次测验预测试题（word版）数学理.doc: /file/20316213贵州黔东南州2013年高三年级第二次模拟考试试卷数学文.doc: /file/20316203山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试（word版）数学文.doc:/file/20316424山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试（word版）数学理.doc: /file/20316421山东省莱芜市2013届高三第二次模拟考试数学理.doc: /file/20316418 山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题.doc: /file/20316414山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题.doc:/file/20316410江苏省南京、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷（WORD版）.doc:/file/20316351江苏省南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试数学试卷2013.3.doc:/file/20316354江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题（扫描版）.doc:/file/20316355江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调查（二）数学试题（word版）.doc:/file/20316358江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调研（二）数学试题（扫描版）有答案.doc:/file/20316361江西省2013届高三九校第二次联考数学（文）试题.doc: /file/20316365 江西省2013届高三九校第二次联考数学（理）试题.doc: /file/20316363 江西省南昌市2013届高三第二次模拟测试（word解析版）数学文.doc: /file/20316371江西省南昌市2013届高三第二次模拟测试（word解析版）数学理.doc:/file/20316368河南省郑州市2013届高三第三次测验预测试题（word版）数学文.doc: /file/20316218广东省东莞市2013届高三模拟试题（一）数学文试题.doc: /file/20316197 广东省东莞市2013届高三模拟试题（一）数学理试题.doc: /file/20316194 河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题.doc: /file/20316208河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试试题（worc版）数学文.doc: /file/20316206河南省平顶山、许昌、新乡2013届高三第三次调研考试（word版）数学理].doc:/file/20316205河南省郑州市2013届高三第三次测验预测试题（word版）数学理.doc: /file/20316213湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试【数学(理)试题】(含答案).doc:/file/20316188湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学文试题__扫描版含答案.doc: /file/20316192福建省龙岩市2013届高三临考适应性检测理科数学卷 1.doc: /file/20316185贵州黔东南州2013年高三年级第二次模拟考试试卷数学文.doc: /file/20316203贵州黔东南州2013年高三年级第二次模拟考试试卷数学理[.doc: /file/203162012013年5月4日福建宁德市普通高中毕业班质量检查数学文（扫描版）.doc:/file/203156672013年5月4日福建宁德市普通高中毕业班质量检查数学理（扫描版）.doc:/file/203156632013年长春市三摸理科数学试题及答案[学优高考网].doc: /file/20193637【2013邯郸二模】河北省邯郸市2013届高三第二次模拟考试数学文Word版.doc:/file/20246716【2013邯郸二模】河北省邯郸市2013届高三第二次模拟考试数学理Word版含答案.doc:/file/20246714东北三省四市教研协作体2013年高三等值诊断联合考试（长春三模）（word解析版）数学文[学优高考网].doc: /file/20315673东北三省四市教研协作体2013年高三等值诊断联合考试（长春三模）（word解析版）数学理[学优高考网].doc: /file/20315670安徽省2013届高三4月高考模拟数学（文）试题（1.doc: /file/20315680 安徽省2013届高三4月高考模拟数学（文）试题（2).doc: /file/20315744 安徽省安庆市示范中学2013届高三4月联考数学文试题（纯WORD版）.doc:/file/20315678安徽省安庆市示范中学2013届高三4月联考数学理试题（纯WORD版）.doc:/file/20315676河南省濮阳市2013届高三第二次二模拟考试数学文扫描版含答案.doc: /file/20246808河南省濮阳市2013届高三第二次二模拟考试数学理扫描版含答案.doc: /file/20246787河南省豫东、豫北十所名校2013届高中毕业班阶段性测试（四）word版数学文.doc:/file/20246811河南省豫东、豫北十所名校2013届高中毕业班阶段性测试（四）word版数学理.doc:/file/202468172013揭阳二模数学试题(文科)与答案(精美WORD).doc: /file/20060564 2013揭阳二模数学试题(理科)与答案(精美WORD).doc: /file/20060521太原市2013年高考二模数学文试题及答案.doc: /file/20185651太原市2013年高考二模数学理试题及答案.doc: /file/20185561安徽省安庆市示范高中2013届高三4月联考数学文试题(扫描版).doc: /file/20058824安徽省皖南八校2013届高三第三次联考理科数学试题(word版).doc:/file/20058941山东省济宁市2013届高三4月联考_文科数学_Word版含答案.doc:/file/20060437山东省济宁市2013届高三4月联考_理科数学_Word版含答案.doc: /file/20060401新建文件夹(2).rar: /file/20186103河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学(文)试题.doc:/file/20185164河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学(理)试题.doc: /file/20185100河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测数学(文)试题.doc: /file/20184991河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试卷.doc:/file/20184930浙江省金华十校2013届高三模拟考试数学(文)试题2013.4.doc: /file/20060458浙江省金华十校2013届高三模拟考试数学(理)试题2013.4.doc:/file/200604762013届安徽省高三四月联考数学试卷(理科).doc: /file/20058813宁夏银川一中2013届高三第一次月考试卷(数学文).doc: /file/19990031开封市2013届高三第一次模拟考试数学试题(文).doc: /file/19990593武汉市2013届高三四月调考理科数学试卷及答案.doc: /file/20013551河南省2013年新课程高考适应性考试(一)数学(文)试题.doc:/file/19944534河南省开封市2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题.doc: /file/19990427河南省开封市2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题.doc:/file/19990847河南省开封市2013届高三第二次质量检测数学(理)试题_Word版含答案.doc:/file/19990853河南省普通高中2013年新课程高考适应性考试数学(理)试卷.doc:/file/19944526湖北省武汉市2013届毕业生四月调考数学文试题(word版).doc: /file/20013545银川一中2013届高三年级第二次月考数学(文).doc: /file/19990035。
2013年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷
2013年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知i是虚数单位，复数对应的点在第象限．2.设全集U=R，集合A={x|-1≤x≤3}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B ．3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-1，则数据a1，a2，a3，a4，a5的方差为．4.“x＞3”是“x＞5”的条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个合适的填空)．5.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则此双曲线方程为．6.根据如图所示的流程图，输出的结果T为．7.在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为．8.在不等式组所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．9.在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α+cos2β=1．类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有．10.已知圆C：(x-a)2+(y-a)2=1(a＞0)与直线y=3x相交于P，Q两点，若∠PCQ=90°，则实数a= ．11.分别在曲线y=e x与直线y=ex-1上各取一点M与N，则MN的最小值为．12.已知向量，满足，，且对一切实数x，恒成立，则与的夹角大小为．13.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．14.已知a为正的常数，若不等式对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为．二、解答题(本大题共12小题，共80.0分)15.如图，在△ABC中，，角A的平分线AD交BC于点D，设∠BAD=α，．(1)求sin∠BAC和sin C；(2)若，求AC的长．16.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．(1)求证：CM∥平面SAE；(2)求证：SE⊥平面SAB；(3)求三棱锥S-AED的体积．17.已知等差数列{a n}的公差d不为零，且，a2=a4+a6．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，求满足S n-2a n-20＞0的所有正整数n的集合．18.如图，设A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB于点M(异于点A，B)，交椭圆于C，D两点(点C在第一象限内)，△ABC和△ABD的面积分别为S1与S2．(1)若M是线段AB的中点，直线OM的方程为，求椭圆的离心率；(2)当点M在线段AB上运动时，求的最大值．19.如图所示，有两条道路OM与ON，∠MON=60°，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB(其中A，B分别在OM，ON上)，若下水管道的总长度为3km，设OA=a(km)，OB=b(km)．(1)求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；(2)已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为，到点O的距离PO为，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．20.已知a为正的常数，函数f(x)=|ax-x2|+lnx．(1)若a=2，求函数f(x)的单调增区间；(2)设，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．21.(选修4-1几何证明选讲)如图，ABCD为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F，∠AFB的平分线分别交AB，CD于点H，K．求证：EH=EK．22.(选修4-2：矩阵与变换)已知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)在矩阵对应变换的作用下，得到的对应点分别为A'(0，0)，，C'(0，2)，求矩阵M．23.(选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C的参数方程(θ为参数)，直线l的极坐标方程：．直线l与曲线C交于M，N两点，求MN的长．24.(选修4-5：不等式选讲)已知常数a满足-1＜a＜1，解关于x的不等式：ax+|x+1|≤1．25.已知抛物线和抛物线在交点处的两条切线互相垂直，求实数a的值．26.已知数列{b n}满足，．(1)求b2，b3，猜想数列{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明；(2)设，，比较x x与y y的大小．。
【解析版】江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(二)数学试题
江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研（二）数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．（5分）（2013•镇江二模）已知i是虚数单位，复数对应的点在第四象限．解：∵
2．（5分）（2013•镇江二模）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B{x|﹣1≤x≤1}．
3．（5分）（2013•镇江二模）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，则数据a1，a2，a3，a4，a5的方差为8．
（
（
4．（5分）（2013•镇江二模）“x＞3”是“x＞5”的必要不充分条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．
5．（5分）（2013•镇江二模）若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则
此双曲线方程为．
=1（y=可求得
y=
x的距离为，
==
=1
6．（5分）（2013•镇江二模）根据如图所示的流程图，输出的结果T为．
值为：
故答案为：．
7．（5分）（2013•镇江二模）在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和
为．
，所以。
2024届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试卷
2024届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★) 5. 羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知非零向量，，若，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（）A．B．C．-1D．二、多选题(★★) 9. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（）A．若，，，则B．，，，则C．若，，，则D．若，，，则(★★★) 10. 已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（）A．若2为的周期，则为奇函数B．若为奇函数，则2为的周期C．若4为的周期，则为偶函数D．若为偶函数，则4为的周期(★★★★) 11. 在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（）A．，B．为定值C．的最小值50D．的最大值为三、填空题(★★★) 12. 已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为 ____________ . (★★★) 13. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 ________ .(★★★) 14. 如果函数在区间[ a，b]上为增函数，则记为，函数在区间[ a，b]上为减函数，则记为.如果，则实数m的最小值为 ________ ；如果函数，且，，则实数 ________ .四、解答题(★★) 15. 如图，直三棱柱的体积为1，，，．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．(★★)16. 某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”．(1)请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？阅读附：，．0.1k 2.706(2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望．(★★★★) 17. 已知函数.(1)当时，证明：；(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.(★★★★★) 18. 已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，.(1)求C的方程；(2)存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；(3)对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，| MN|存在最小值，试求出这个最小值.(★★★★) 19. 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.。
扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷
23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
设b>0，函数 ，记 （ 是函数 的导函数），且当x= 1时， 取得极小值2．
（1）求函数 的单调增区间；
（2）证明 ．
【解】（1）由题 ．
于是 ，若 ，则 ，与 有极小值矛盾，所以 ．
时， ，所以 ，
，……………………………13分
即 ，由题设， ，又 ，
所以 ，即 是等差数列．………………………16分
数学II（附加题）
21.（选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20．（本小题满分16分）
设无穷数列 满足： ， ， .记 .
（1）若 ，求证： =2，并求 的值；
（2）若 是公差为1的等差数列，问 是否为等差数列，证明你的结论．
【解】（1）因为 ，所以若 ，则 矛盾，
若 ，可得 矛盾，所以 ． …………………4分
于是 ，从而 ． …………………………7分
（2） 是公差为1的等差数列，证明如下： ………………………9分
【答案】
4.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x< 0时，f(x)＝x+ ex（e为自然对数的底数），则 的值为▲．
【答案】
5.某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练
时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为▲分钟．
【答案】72
（1）若AB ，求△ABC的另外两条边长；
淮安2013届高三第二次调研测试数学参考答案及评分建议
因为O为△ABC的外心，所以 ，
于是 ．…………………………………………12分
所以当 时， ， ；
当 时， ， ．………………………………………………………14分
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，BC//平面PAD， ,
．求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
第11题本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的恒等变换等.
法一：由 得， ， ，
由 ， ，所以 .
= .
法二：由 得， ，由法一可知， ， .
.
法三：由 ，得 ， ， =
.
第12题本题考查数列、递推数列，概率及分类讨论.
法一：由 得 a2＝16，或a2＝6
再由a2＝16，或a2＝6及 ，得a1=32，14，12，4.故概率为 .
第5题本题考查茎叶图的概念，重在看懂所给的茎叶图.评讲时对统计的有关知识适当归纳总结一
下，统计重在操作，记住解题的步骤，按照课本的要求步骤解题.计算本题时，适当讲一些
算平均值的方法与技巧.
第6题本题考查算法的概念，算法主要考查流程图与伪代码，复习时要求能看懂流程图与伪代码就
行，不宜过难过深.
第7题本题考查圆锥曲线的几何性质.研究圆锥曲线的性质常用二种方法，一是由方程研究曲线的几何性质，二是由曲线的几何性质求曲线的方程.另外，在解题时，适当利用圆锥曲线的定义可以取到“时半功倍”之效.
第16题主要考查线面平行和面面垂直的处理，本题中当 时结论不成立， 为锐角，钝角均可。本题的辅助性的添加是解决立体几何的常用手段。
第17题考查实际问题建立数学模型的能力，理清综合费用的表示，求出平均费用后，由待定系数法求出常数。列式时注意单位要统一。本题还可以只计算一幢楼的平均成本。第（2）由数列知识求得每平方米平均综合费用为f(n)，再由利用基本不等式可得最低费用，提醒学生注意均值不等式求最值注意检验等号成立的条件一正、二定、三相等。最后作答。
【解析版】江苏省扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三3月第二次调研测试数学试题
2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为（1，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由=，代入坐标即可运算．解答：解：∵=（2，1），=（3，5），∴==（3，5）﹣（2，1）=（1，4）故答案为：（1，4）点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题2．（5分）（2013•南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（∁R B）=（0，3]．考点：交、并、补集的混合运算．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确答案．解答：解：由题意B={x|x2﹣5x≥0}={x|x≤0或x≥5}，故∁R B={x|0＜x＜5}，又集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩（∁R B）=（0，3]．故答案为（0，3]．点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键．3．（5分）（2013•南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为．考点：复数求模．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R）．∵复数z满足|z|=|z﹣1|=1，∴，解得．∴复数z的实部为．故答案为．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f （x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为ln6﹣6．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f （x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f （x），得到答案．解答：解：∵当x＜0时，f （x）=x+e x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e ln6=6﹣ln6又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣6故答案为：ln6﹣6点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的值，其中熟练掌握奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x），是解答的关键．5．（5分）（2013•南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为72分钟．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间．解答：解：有茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为64，65，67，72，75，80，81；∴该运动员的平均训练时间为：=72．故答案为：72．点评：解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值．6．（5分）（2013•南通二模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，双曲线y2﹣3x2=3焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．然后根据椭圆的定义，结合两点的距离公式得2a=|AF1|+|AF2|=4，从而a=2，可得c，可得该椭圆的离心率．解答：解：∵双曲线y2﹣3x2=3，即，∴双曲线的焦距为4，∴c=2，焦点坐标为F1（0，﹣2），F2（0，2），∵椭圆经过点A，∴根据椭圆的定义，得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，可得a=2，所以离心率e===．故答案为：．点评：本题给出椭圆的焦点和椭圆上一点的坐标，求椭圆的基本量，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．8．（5分）（2013•南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h==cm．故答案是．点评：本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面．9．（5分）（2013•南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由左加右减上加下减的原则，可确定函数平移后的函数解析式，利用伸缩变换推出所求函数解析式．解答：解：图象上的每一点向右平移1个单位，得到函数，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的平移与伸缩变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．10．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为4．考点：数列的求和；函数的零点．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：画出图象，可看出交点的个数，并利用对称性即可求出．解答：解：由（x）=（x﹣1）sinπx﹣1=0（﹣1＜x＜3）可得sinπx=令g（x）=sinπx，h（x）=，（﹣a＜x＜3）则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数故交点关于（1，0）对称又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D则x A+x B+x C+x D=4故答案为：4点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键11．（5分）（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为﹣．考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tan=，∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．故答案为：﹣点评：此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•南通二模）设数列{a n}满足：，则a1的值大于20的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由给出的等式得到数列递推式，说明数列是等差数列或等比数列，求出a3=8时对应的a1的值，则a1的值大于20的概率可求．解答：解：∵（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0，∴a n+1﹣a n﹣2=0或2a n+1﹣a n=0，分别取n=1，2．则a3﹣a2=2，a2﹣a1=2或a2=2a3，a1=2a2．当a3=8时，a2=6或a2=16，当a2=6时，a1=4或a1=12，当a2=12时，a1=10或a1=24，∴a1的值大于20的概率为．故答案为．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了古典概型及其概率计算公式，解答此题的关键是不能把数列看做等差数列或等比数列独立的求解，此题虽是基础题但容易出错．13．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．14．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为2．考点：点到直线的距离公式．专题：综合题．分析：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，联立方程组⇒kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理，结合△ABC为正三角形，可求得k及|AD|，从而可得答案．解答：解：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，由得kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，y1+y2=+==b，设BC的中点为D，则D（﹣，）．因为A（﹣1，1），依题意，k AD•k BC=﹣1，即•k=﹣1，由于k＜0，故1﹣k≠0，∴b=（b＞0）．∵|BC|=|x1﹣x2|=•=•=•∴d A﹣BC=|BC|，即=×|BC|=×2•，即=ו，解得：k=．∵b=＞0，∴k=，k2=，∴d A﹣BC======2．故△ABC的高为2．故答案为：2．点评：本题考查韦达定理与点到直线的距离公式，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由三角形的面积公式及已知AB，可求b，c，然后再利用余弦定理可求（2）由（1）可知BC，利用余弦定理可求b，设BC的中点为D，则，结合O为△ABC的外心，可得，从而可求解答：解：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以bc=4．…（3分）因为，所以．由余弦定理得．…（6分）（2）由得b2+c2+4=21，即，解得b=1或4．…（8分）设BC的中点为D，则，因为O为△ABC的外心，所以，于是．…（12分）所以当b=1时，c=4，；当b=4时，c=1，．…（14分）点评：本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用．还考查了向量的基本运算及性质的应用．16．（14分）（2013•南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （1）由BC ∥平面PAD ，利用线面平行的性质定理即可得到BC ∥AD ，再利用线面平行的判定定理即可证明AD ∥平面PBC ； （2）自P 作PH ⊥AB 于H ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，可得PH ⊥平面ABCD ．于是BC ⊥PH ．又BC ⊥PB ，可得BC ⊥平面PAB ，进而得到面面垂直． 解答： 证明：（1）因为BC ∥平面PAD ，而BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD=AD ， 所以BC ∥AD ．因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC ．（2）自P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD=AB ， 所以PH ⊥平面ABCD ．因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PH ． 因为∠PBC=90°，所以BC ⊥PB ，而∠PBA ≠90°，于是点H 与B 不重合，即PB ∩PH=H ． 因为PB ，PH ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ． 因为BC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面PAB ． 点评： 本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，线面平行的判定与性质定理，需要较强的推理能力和空间想象能力． 17．（14分）（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k 为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k 的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？考点：函数模型的选择与应用． 分析：（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=列式求出k 的值；（2）设小区每幢为n （n ∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n ），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n ）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n ）的最小值，并求出层数． 解答： 解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米， 所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，1270=，解之得：k=50．（2）设小区每幢为n （n ∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n ），由题设可知 f （n ）==+25n+825≥2+825=1 225（元）．当且仅当=25n ，即n=8时等号成立．答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元． 点评： 本题考查了函数模型的选择及应用，考查了学生的数学建模能力和计算能力，是中档题．18．（16分）（2013•南通二模）已知函数f （x ）=（m ﹣3）x 3+9x ．（1）若函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值为4，求m 的值．考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；综合题；导数的综合应用． 分析： （1）函数f （x ）在R 上是单调函数，说明y=f'（x ）在（﹣∞，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，根据f'（x ）=3（m ﹣3）x 2+9得f'（0）=9＞0，从而得到只有f'（x ）≥0在R 上恒成立，由此建立关于m 的不等式即可解出实数m 的取值范围．（2）根据（1）的结论，当m ≥3时f （x ）在R 上为增函数，当m ＜3时在区间，上单调递减，在区间单调递增．再根据m 的取值结合函数的单调性建立关于m 的方程，解得m=﹣2符合题意，得到本题答案．解答： 解：（1）求导数，得f'（x ）=3（m ﹣3）x 2+9∵f'（0）=9＞0，∴f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上只能是单调增函数． …（3分）又∵f'（x ）=3（m ﹣3）x 2+9≥0在区间（﹣∞，+∞）上恒成立，∴，解之可得m ≥3，即m 的取值范围是[3，+∞）． …（6分）（2）由（1）的结论，得当m ≥3时，f （x ）在[1，2]上是增函数，所以[f （x）]max=f （2）=8（m﹣3）+18=4，解得m=＜3，不合题意舍去．…（8分）当m＜3时，f'（x）=3（m﹣3）x2+9=0，解之得．所以f （x）的单调区间为：在区间，上单调递减，在区间单调递增．…（10分）①当，即时，得，∴f （x）在区间[1，2]上单调增，可得[f （x）]max=f（2）=8（m﹣3）+18=4，m=，不满足题设要求．②当，即0＜m＜时，可得[f （x）]max=舍去．③当，即m≤0时，则，∴f （x）在区间[1，2]上单调减，可得[f （x）]max=f （1）=m+6=4，m=﹣2，符合题意综上所述，m的值为﹣2．…（16分）点评：本题给出三次多项式函数，讨论了函数的单调性，已知函数在区间[1，2]上的最大值为4的情况下求参数m的值．着重考查了利用导数研究函数的单调性、三次多项式函数在闭区间上最值的求法等知识，属于中档题．19．（16分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．考点：直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（﹣2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；（2）证明法一：设A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．法二：设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．解答：解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（﹣2，0），A2（2，0）．直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，解得．…（2分）直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，解得Q（0，﹣2）．…（4分）由两点式，得直线PQ方程为：2x﹣y﹣2=0．…（6分）（2）证法一：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），直线MA1的方程是：y=（x﹣r）．…（8分）解得．…（10分）解得．…（12分）于是直线PQ的斜率k PQ=，直线PQ的方程为．…（14分）上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．故直线PQ过定点．…（16分）证法二：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．直线MA2的方程是：y=（x﹣r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，…（10分）化简得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）+t2（x2﹣r2）=0．①又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2﹣r2=0．②①﹣t2×②得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）﹣t2（x2﹣r2）﹣t2（x2+y2﹣r2）=0，化简得：（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．所以直线PQ的方程为（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．③…（14分）在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…（16分）点评：不考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，考查计算能力与转化思想．20．（16分）（2013•南通二模）设无穷数列{a n}满足：∀n∈N*，a n＜a n+1，．记．（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据已知条件排除a1=1、a1≥3即可证得a1=2，，通过计算可得a2=3，故=b2，代入数值可求得；（2）由a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，由此可推得a n≥a m+（n﹣m）（m＜n），从而，即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，又{c n}是公差为1的等差数列，所以1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，故a n+1﹣a n=1，由此可判断{a n}是否为等差数列；解答：（1）因为，所以若a1=1，则矛盾，若，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2．于是，从而．（2）{a n}是公差为1的等差数列，证明如下：a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，所以a n≥a n﹣1+1⇒a n≥a m+（n﹣m），（m＜n），即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，由题设，1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，所以a n+1﹣a n=1，即{a n}是等差数列．点评：本题考查等差数列的判定及通项公式，考查学生的逻辑推理能力，难度较大．选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题0分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F 作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．解答：证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题．22．（10分）（2013•南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M 的逆矩阵M﹣1．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题．分析：确定点在矩阵对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵M；再求出对应行列式的值，即可得到M的逆矩阵．解答：解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P'（x'，y'），由，得因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分）依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=﹣1，n=1，而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）故，故矩阵M的逆矩阵M﹣1=．…（10分）点评：本题考查矩阵与变换，考查逆矩阵的求法，确定变换前后坐标之间的关系是解题的关键．23．（2013•南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标；（2）求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（1）圆C1的极坐标方程为ρ=2，圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，由得，故圆C1，C2交点坐标为圆．…（5分）（2）由（1）得，圆C1，C2交点直角坐标为，故圆C1与C2的公共弦的参数方程为…（10分）注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣（2分）．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．24．（2013•南通二模）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：计算题．分析：利用柯西不等式，即可求得的最小值．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，即当且仅当a=b=c=时，取等号∴当a=b=c=时，的最小值为1．点评：本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC 所成的角的大小；（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．解答：解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），，．所以==，所以向量与所成的角为，故AA1与棱BC所成的角是．（2）设P为棱B1C1上的点，由，得P（2λ，4﹣2λ，2）．设平面PAB的法向量为=（x，y，z），，，由，得，取x=1，得z=﹣λ，故=（1，0，﹣λ）．而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），则=，解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了二面角的平面角的求法，解答的关键是首先建立正确的空间右手系，然后准确计算出一些点的坐标，此题是中档题．26．（10分）（2013•南通二模）设b＞0，函数，记F（x）=f′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数），且当x=1时，F（x）取得极小值2．（1）求函数F（x）的单调增区间；（2）证明|[F（x）]n|﹣|F（x n）|≥2n﹣2（n∈N*）．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；二项式定理的应用． 专题： 计算题；综合题；导数的综合应用． 分析：（1）将f'（x ）求导数并化简得，然后再求F （x ）的导数得，由F'（1）=0并结合a ＞0建立关于a 、b 的方程组，解之即可得到a=b=1，进而可得F （x ）的单调增区间为（1，+∞）．（2）利用二项式定理将不等式左边展开合并，得|[F （x ）]n|﹣|F （x n）|=，利用基本不等式证出，由此即可证出原不等式对任意的n ∈N *恒成立．解答：解：（1）根据题意，得．于是，若a ＜0，则F'（x ）＜0，与F （x ）有极小值矛盾，所以a ＞0．令F'（x ）=0，并考虑到x ＞0，可知仅当时，F （x ）取得极小值．所以解得a=b=1．…（4分）故，由F'（x ）＞0，得x ＞1，所以F （x ）的单调增区间为（1，+∞）．（2）因为x ＞0，所以记得g （x ）=根据基本不等式，得，∴将此式代入g （x ）表达式，可得，因此，|[F （x ）]n|﹣|F （x n）|≥2n﹣2（n ∈N *）．…（10分）点评： 本题给出基本初等函数，在已知当x=1时函数取得极小值2的情况下求函数F （x ）的单调增区间，并依此证明不等式恒成立．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、二项式定理和不等式的证明等知识，属于中档题．。
江苏省苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013届高三数学第二次调研考试试题(含解析)苏教版
苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•徐州一模）已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁U A）∩B={2，3} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案．解答：解：由U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，∴∁U A={2，3}，又B={1，2，3}，∴（∁U A）∩B={2，3}∩{1，2，3}={2，3}．故答案为：{2，3}．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的会考题型．2．（5分）（2013•徐州一模）已知i是虚数单位，实数a，b满足（3+4i）（a+bi）=10i，则3a﹣4b的值是．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的乘法运算展开，然后利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则答案可求．解答：解：由（3+4i）（a+bi）=10i，得（2a﹣4b）+（4a+3b）i=10i．所以，解得：．则3a﹣4b=．故答案为．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3．（5分）（2013•徐州一模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出25 人．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．专题：图表型．分析：直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．解答：解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出2500×=25人．故答案为：25．点评：本题考查频率分布直方图与分层抽样的规则，解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率，再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数．4．（5分）（2013•徐州一模）如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，故输出54．故答案为：54．点评：本题考查算法中循环结构流程图，关键注意何时结束循环．5．（5分）（2013•徐州一模）若一个长方体的长、宽、高分别为，，1，则它的外接球的表面积是6π．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：先求长方体的对角线，也就是球的直径，再求球的表面积．解答：解：长方体的对角线是：=，球的半径是：．球的表面积是：4πr2==6π．故答案为：6π．点评：本题考查球内接多面体，球的表面积，是基础题．6．（5分）（2013•徐州一模）从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字组成无重复数字的两位数，分为两类：若取出的数字不含0和取出的两个数字中有一个为0，利用排列和组合的计算公式分别计算出两位数的个数和偶数的公式，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字组成无重复数字的两位数，分为两类：若取出的数字不含0，共组成=6个两位数，其中2为个位的两位数有=2个；若取出的两个数字中有一个为0，则0只能放在个位上，可组成=3个两位数，且都是偶数．由上可得所得两位数的个数为6+3=9个，其中偶数个数为2+3=5．故所得两位数为偶数的概率P=．故答案为．点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、古典概型的概率计算公式、排列与组合的计算公式及其意义是解题的关键．注意数字0不能放在首位．7．（5分）（2013•徐州一模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8=2a3a6，S5=﹣62，则a1的值是﹣2 ．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可知，q≠1，结合等比数列的通项公式及求和公式可得，解方程可求解答：解：∵a2a8=2a3a6，S5=﹣62 ∴q≠1∴解方程可得，q=2，a1=﹣2 故答案为：﹣2点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题8．（5分）（2013•徐州一模）已知双曲线的右焦点为F，若以F为圆心的圆x2+y2﹣6x+5=0与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过配方先求出圆心和半径，圆x2+y2﹣6x+5=0与此双曲线的渐近线相切，利用点到直线的距离公式即可得到d=r，解出即可．解答：解：圆x2+y2﹣6x+5=0化为（x﹣3）2+y2=4，∴圆心F（3，0），半径r=2．∵以F为圆心的圆x2+y2﹣6x+5=0与此双曲线的渐近线相切，∴，4a2=5b2，即．∴该双曲线的离心率e===．故答案为．点评：熟练掌握配方法、圆的标准方程、双曲线的渐近线方程、圆与直线相切的性质、点到直线的距离公式是解题的关键．9．（5分）（2013•徐州一模）由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是1 ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范围，结合题意求出a的值．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故a的值是1．故答案为：1．点评：本题考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围．10．（5分）（2013•徐州一模）已知实数x，y满足约束条件（k为常数），若目标函数z=2x+y的最大值是，则实数k的值是﹣3 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：我们可以画出满足条件（k为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．解答：解：画出x，y满足的（k为常数）可行域如图：由于目标函数z=2x+y的最大值是，可得直线y=2x+1与直线2x+y=的交点A（，），使目标函数z=2x+y取得最大值，将x=，y=，代入x+y+k=0得：k=﹣3，故答案为：﹣3．点评：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．11．（5分）（2013•徐州一模）已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．解答：解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，所以解得：，又t∈[0，1]，所以实数t的取值范围．故答案为：．点评：本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．12．（5分）（2013•徐州一模）已知角φ的终边经过点P（1，﹣1），点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上的任意两点，若|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为，则的值是﹣．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：由任意角的三角函数的定义求得tanφ=﹣1，故可以取φ=﹣．再根据函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于，故函数的周期为，由此求得ω 的值，从而求得函数的解析式，即可求得的值．解答：解：∵角φ的终边经过点P（1，﹣1），∴角φ的终边在第四象限，且tanφ=﹣1，故可以取φ=﹣．点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上的任意两点，若|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为，则函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于，故函数的周期为，故=，解得ω=3．故函数的解析式为 f（x）=sin（3x﹣），∴=ain（）=sin=﹣sin=﹣，故答案为﹣．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．13．（5分）（2013•徐州一模）若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是a．考点：函数恒成立问题；基本不等式．专题：计算题．分析：由基本不等式可得，x+y+3=xy≤，从而可求x+y的范围，然后由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0得a恒成立，则只要a≤即可解答：解：∵x＞0，y＞0∴x+y+3=xy≤∴x+y≥6由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0可得a恒成立令x+y=t，f（t）=t+在[6，+∞）上单调递增，则当t=6时f（t）min=f（6）=∴a≤故答案为：a≤点本题主要考查了函数的恒成立问题与最值问题的相互转化，解题的关键是基本不等评：式及函数单调性的应用14．（5分）（2013•徐州一模）如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F 分别是边AB，AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则的最小值为．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由等腰△ABC中，AB=AC=1且A=120°，算出=﹣．连接AM、AN，利用三角形中线的性质，得到=（）且=（+），进而得到=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）．将此式平方，代入题中数据化简可得=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，结合m+4n=1消去m，得=n2﹣n+，结合二次函数的性质可得当n=时，的最小值为，所以的最小值为．解答：解：连接AM、AN，∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，∴=||•||cos120°=﹣∵AM是△AEF的中线，∴=（）=（+）同理，可得=（+），由此可得=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）∴=[（1﹣m）+（1﹣n）]2=（1﹣m）2+（1﹣m）（1﹣n）•+（1﹣n）2=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，∵m+4n=1，可得1﹣m=4n∴代入上式得=×（4n）2﹣×4n（1﹣n）+（1﹣n）2=n2﹣n+∵m，n∈（0，1），∴当n=时，的最小值为，此时的最小值为．故答案为：点评：本题给出含有120度等腰三角形中的向量，求向量模的最小值，着重考查了平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，15～17每小题14分，18～20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•徐州一模）在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC．（1）求角A的值；（2）求的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）利用正弦定理将（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC转化为边之间的关系，再由余弦定理即可求得求角A的值；（2）利用（1）中角A=60°，可求得B=120°﹣C，利用三角函数中的恒等变换可将sinB﹣cosC转化为关于角C的关系式，从而可求得其最大值．解答：解：（1）∵（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC，∴（sinB+sinC）2﹣sin2A=3sinBsinC，∴sin2B+sin2C﹣sin2A﹣﹣sinBsinC=0，由正弦定理===2R得：b2+c2﹣a2﹣bc=0，又由余弦定理知，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴cosA=，角A=60°．（2）∵角A=60°，在△ABC中，A+B+C=180°，∴B=120°﹣C，∴sinB﹣cosC=sin（120°﹣C）﹣cosC=（cosC﹣（﹣）sinC）﹣cosC=cosC+sinC=sin（C+），∵C∈（0°，120°），∴=1，即sinB﹣cosC得最大值为1．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦定理与余弦定理，突出三角函数中的恒等变换及诱导公式的应用，属于中档题．16．（14分）（2013•徐州一模）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用垂直平分线的判定定理即可得到BD垂直平分AC，利用面面垂直的性质定理即可得到BD⊥平面AA1C1C，利用线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）利用△OCD的边角关系即可得到∠OCD=30°，从而得到∠BCD=90°，DC⊥BC，利用等边三角形的性质即可得到AE⊥BC，得到AE∥DC，再利用线面平行的判定定理即可证明结论．解答：证明：（1）∵AB=BC，AD=CD，∴BD垂直平分AC，∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥AA1；（2）是BD∩AC=O，则OC=，又DC=1，∴=，∴∠OCD=30°．∵∠ACB=60°，∴∠BCD=90°．∴DC⊥BC．∵E为等边三角形的边BC的中点，∴AE⊥BC，∴DC∥AE．∵AE⊄平面DCC1D1．DC⊂平面DCC1D1．∴AE∥平面DCC1D1．点评：熟练掌握垂直平分线的判定定理、面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、直角△OCD的边角关系、等边三角形的性质、线面平行的判定定理是解题的关键．17．（14分）（2013•徐州一模）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的张角分别为∠APB=α，∠DPC=β，问点P在何处时，α+β最小？考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：（1）作AN⊥CD于N，问题转化为求△ACD边CD上的高．设AN=x，只要建立起关于x 的方程，则问题可解．（2）利用（1）设出BP为t，直接求出α、β的正切值，然后求出∠ADB的正切值，利用基本不等式求解表达式的最小值，推出BP是值即可．解答：解：（1）如图作AN⊥CD于N．∵AB∥CD，AB=9，CD=15，∴DN=6，EC=9．设AN=x，∠DAN=θ，∵∠CAD=45°，∴∠CAN=45°﹣θ．在Rt△ANC和Rt△AND中，∵tanθ=，tan（45°﹣θ）=\frac{9}{x}∴=tan（45°﹣θ）=∴=，化简整理得x2﹣15x﹣54=0，解得x1=18，x2=﹣3（舍去）．BC的长度是18 m．（2）设BP=t，所以PC=18﹣t，tanα=，tanβ=，所以tan（α+β）===﹣=﹣≥当且仅当t+27=，即t=时，α+β最小．P在距离B时，α+β最小．点评：考查了解三角形的实际应用．解这类题的关键是建立数学模型，设出恰当的角．考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．18．（16分）（2013•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程及参数a，b，c之间的关系即可求出；（2）（i）利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；（ii）利用直线的点斜式及其（i）的有关结论即可证明．解答：解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a2=b2+1．消去a可得，2b4﹣5b2﹣3=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，∴椭圆E 的方程为．（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则，，∵A，P，M 三点共线，∴，∴，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴，故为定值．（ⅱ）直线BP 的斜率为，直线m 的斜率为，则直线m 的方程为，=== =，即．所以直线m过定点（﹣1，0）．点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．19．（16分）（2013•徐州一模）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna①当a＞1，x∈（0，+∞）时，∴lna＞0，a x﹣1＞0，所以f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，x∈（0，+∞）时，∴lna＜0，a x﹣1＜0，所以f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）点评：本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．20．（16分）（2013•徐州一模）已知a＞0，b＜0，且a+b≠0，令a1=a，b1=b，且对任意的正整数k，当a k+b k≥0时，，；当a k+b k＜0时，，．（1）求数列{a n+b n}的通项公式；（2）若对任意的正整数n，a n+b n＜0恒成立，问是否存在a，b使得{b n}为等比数列？若存在，求出a，b满足的条件；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数n，a n+b n＜0，且，求数列{b n}的通项公式．考点：数列递推式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）通过计算转化建立{b n+a n}的相邻两项之间的关系是解决本题的关键，发现该数列是等比数列，从而确定出通项公式；（2）假设存在合题意的a，b，然后确定出b n的关系式是解决本题的关键，通过分析其相邻项之间的关系即可求解（3）通过b n的相应项之间的关系得到关于n的不等关系，然后结合已知a n的递推关系可求b n的表达式解答：解：（1）当a k+b k≥0时，，；∴a k+1+b k+1==当a k+b k＜0时，，．∴a k+1+b k+1==∴总有a k+1+b k+1=∵a1=a，b1=b，∴a1+b1=b+a∴数列{a n+b n}是以a+b为首项，以为公比的等比数列∴b n+a n=（b+a）（）n﹣1．（2）∵a n+b n＜0恒成立∴（b+a）＜0恒成立∴b+a＜0∵当a k+b k＜0时，，．∴∴不可能是个等比数列故{b n}不是等比数列（3）∵a n+b n＜0，，．∴，∵∴=∴=∴b n=点评：本题考查数列的综合问题，考查数列的递推关系与通项公式之间的关系，考查学生探究性问题的解决方法，注意体现转化与化归思想的运用，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．三、附加题部分注意事项：本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将答题卡交回．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．（一）.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•徐州一模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．求证：FG∥AC．考点：相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：利用切割线定理可得AB2=AD•AE．由AC=AB，得到AC2=AD•AE，而∠CAE公用，由相似三角形的判定定理可得△ACE∽△ADC．于是∠AEC=∠ACD，由圆的内接四边形的性质可得∠CFG=∠AEC．进而可得FG∥AC．解答：证明：∵AB是⊙O的一条切线，∴AB2=AD•AE．∵AC=AB，∴AC2=AD•AE，即．又∵∠CAE公用，∴△ACE∽△ADC．∴∠AEC=∠ACD．由四边形DEGF是⊙O的内接四边形，∴∠CFG=∠AEC．∴∠ACD=∠CFG，∴FG∥AC．点评：熟练掌握切割线定理、相似三角形的判定定理和性质定理、圆的内接四边形的性质、平行线的判定定理是解题的关键．22．（10分）（2013•徐州一模）选修：4﹣2：矩阵与变换若圆C：x2+y2=1在矩阵（a＞0，b＞0）对应的变换下变成椭圆E：，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．考几种特殊的矩阵变换；逆变换与逆矩阵．专题：计算题．分析：设P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），代入椭圆方程，对照圆的方程即可求出a和b的值，从而得到矩阵A，再代入逆矩阵的公式，求出结果．解答：解：设P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），则=，即…（4分）又因为点P'（x'，y'）在椭圆上，所以．由已知条件可知，x2+y2=1，所以 a2=9，b2=4．因为 a＞0，b＞0，所以 a=3，b=2．…（10分）∴A=，∴根据A=的逆矩阵A﹣1=，∴矩阵A的逆矩阵A﹣1=．点评：本题主要考查了特殊矩阵的变换、逆变换与逆矩阵，同时考查了计算能力，属于基础题．23．（2013•徐州一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分将直线和圆的方程化为直角坐标方程，利用直线和圆的位置关系求解．解答：解：圆的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2，圆心的直角坐标（﹣，﹣）直线l的极坐标方程为即为x+y﹣=0，圆心O（﹣，﹣）到直线的距离d==2．圆O上的点到直线的最大距离为 2+r=3，解得r=1．点评：本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化的基础知识，考查点到直线距离公式等．24．（2013•徐州一模）已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．考点：柯西不等式在函数极值中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：利用题中条件：“x+y+z=2”构造柯西不等式：这个条件进行计算即可．解答：解：由柯西不等式可知：（5分）故，当且仅当，即：2x2+3y2+z2取得最小值为．（10分）点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用解题．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•徐州一模）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．考点：平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，经过检验不满足条件．设直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C的方程，利用根与系数的关系求得 x1+x2=，且x1•x2=1，且 y1y2=﹣4．结合求得k的值．（2）根据 y1＞0，tan∠ATF===，利用基本不等式求得tan∠ATF 的最大值，从而求得∠ATF 的最大值．解答：解：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，A（1，2），B（1，﹣2），此时，，这与矛盾．故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C：y2=4x 的方程化简可得 k2 x2﹣（2k2+4）x+k2=0．∴x1+x2=，且x1•x2=1…①．∴=16x1•x2=16，∴y1y2=﹣4…②．由可得（x1+1）（x2+1）+y1•y2=1．把①②代入可得 k2=4，∴k=±2．（2）∵y1＞0，tan∠ATF===≤1，当且仅当=，即 y1=2时，取等号，故t an∠ATF 的最大值为1，故∠ATF的最大值为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，抛物线的定义和性质，一元二次方程根与系数的关系以及基本不等式的应用，属于中档题．26．（10分）（2013•徐州一模）已知数列{a n}满足，且a1=3．（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式，并给出证明；（2）求证：当n≥2时，．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由，且a1=3，分别令 n=1，2，3即可求解，进而可猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可（2）由（1）可得a n=n+2，从而有=（n+2）n，利用二项式定理展开后即可证明解答：解：（1）∵，且a1=3．∴a2=4，a3=5，a4=6猜想a n=n+2证明：①当n=1时显然成立②假设n=k时（k≥1）时成立，即a k=k+2则n=k+1时，a k+1===即n=k+1时命题成立综上可得，a n=n+2证明：（2）∵a n=n+2，n≥2∴=（n+2）n=≥=5n n﹣2n n﹣1=4n n+n n﹣1（n﹣2）≥4n n，即证点本题主要考查了数列的递推公式在求解数列的通项综的应用及归纳法的应用，解答评：（2）的关键是二项展开式的应用．。
江苏省苏锡常镇四市2024届高三二模 数学试题(含解析)
2023～2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}||1|2,N A x x x =-<∈，1|1B y y x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．[]1,3B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}1,22．已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>经过点(2,0)，则C 的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．12y x=±C ．14y x =±D．2y x =3．已知1z ，2z 是两个虚数，则“1z ，2z 均为纯虚数”是“12z z 为实数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知随机变量()2~1,N ξσ，且()()0P P a ξξ≤=≥，则()140x a x a x+<<-的最小值为（）A ．9B ．92C ．4D ．65．羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．236．已知非零向量π(cos 2,sin())4a αα=+ ，π(sin(4b α=+ ，若//a b ，则sin 2α=（）A ．1-B ．10C ．45D ．357．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过E 的右焦点且斜率为1的直线l 交E 于A ，B 两点，且原点O 到直线l 的距离等于E 的短轴长，则E 的离心率为（）A ．3B ．3C D ．138．正三棱锥P ABC -和正三棱锥Q-ABC 共底面ABC ，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P 和点Q 在平面ABC 的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC 所成的角分别为α，β，则当αβ+最大时，tan()αβ+=（）A ．13-B ．23-C ．-1D ．43-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的有（）A ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥B ．m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥C ．若//αβ，m α⊂，n β⊥，则m n ⊥D ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且()f x 不是常函数，则下列说法中正确的有（）A ．若2为()f x 的周期，则()f x 为奇函数B ．若()f x 为奇函数，则2为()f x 的周期C ．若4为()f x 的周期，则()f x 为偶函数D ．若()f x 为偶函数，则4为()f x 的周期11．在长方形ABCD 中，8AB =，6AD =，点E ，F 分别为边BC 和CD 上两个动点（含端点），且5EF =，设BE BC λ= ，DF DC μ=，则（）A ．116λ≤≤，318μ≤≤B ．λμ+为定值C ．AE AF ⋅的最小值50D ．||AE AF +三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知圆O ：222x y +=，过点()3,1M -的直线l 交圆O 于A ，B 两点，且2MA MB =，则满足上述条件的一条直线l 的方程为.13．设钝角ABC 三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若2a =，sin b A =3c =，则b =.14．如果函数()f x 在区间[a ，b ]上为增函数，则记为[,]()a b f x ，函数()f x 在区间[a ，b ]上为减函数，则记为[,]()a b f x .如果[,8]m，则实数m 的最小值为；如果函数32213()232f x x ax a x =-+，且[1,2]()f x ，[2,3]()f x ，则实数=a .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．(1)求证：11BC A C ^；(2)求二面角11B A C B --的余弦值．16．某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：借阅次数01234567合计男生人数2535512225女生人数4455321125合计人数69810833350若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”．(1)请完成以下22⨯列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？性别阅读合计一般爱好男生女生合计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．2()P K k ≥0.10.050.01k2.7063.8416.635(2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数X 的概率分布和数学期望．17．已知函数e 1()ln (R)x f x a x a x-=+∈.(1)当0a =时，证明：()1f x >；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.18．已知F 为抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点，点A 在C上，1)4FA =- .点P （0，-2），M ，N 是抛物线上不同两点，直线PM 和直线PN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)存在点Q ，当直线MN 经过点Q 时，12123()24k k k k +-=恒成立，请求出满足条件的所有点Q 的坐标；(3)对于（2）中的一个点Q ，当直线MN 经过点Q 时，|MN |存在最小值，试求出这个最小值.19．如图所示数阵，第(1)m m ≥行共有1m +个数，第m 行的第1个数为01C m -，第2个数为1C m ，第(3)n n ≥个数为1322C C n n m n m n --+-+--.规定：0C 1n =.(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S 是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，41n n kS -≤恒成立？如存在，请求出k 的最大值，如不存在，请说明理由.1．C【分析】首先解绝对值不等式求出集合A ，再根据幂函数的性质求出集合B ，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由|1|2x -<，即212x -<-<，解得13x -<<，所以{}{}{}||1|2,N |13,N 0,1,2A x x x x x x =-<∈=-<<∈=，又{}1|1|1B y y y y x ⎧⎫==+=≠⎨⎬⎩⎭，所以{}0,2A B =I .故选：C 2．B【分析】求出双曲线方程再根据双曲线渐近线的求法得解.【详解】因为双曲线C ：2221(0)x y a a-=>经过点(2,0)，所以2,1a b ==，渐近线方程为12b y x x a =±=±.故选：B 3．A【分析】设12i,i(,R z b z c b c ==∈且,0)b c ≠,可得12R z z ∈，如121i 12+2i 2z z +==，可得结论.【详解】若12,z z 均为纯虚数，设12i,i(,R z b z c b c ==∈且,0)b c ≠,则12i R i z b b z c c ==∈，所以“12,z z 均为纯虚数”是12zz 是实数的充分条件，当121i,22i z z =+=+，121i 12+2i 2z z +==，所以“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的不必要条件，综上所述：“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的充分不必要条件.故选：A.4．B【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得2a =，代数式()122x x +-⎡⎤⎣⎦与142x x+-相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】因为随机变量()2~1,N ξσ，且()()0P P a ξξ≤=≥，则12a=，可得2a =，()14141142222x x x a x x x x x ⎛⎫+=+=++-⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭124191452222x x x x ⎛⎫-⎛⎫=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当且仅当23x =时，等号成立，所以，()140x a x a x +<<-的最小值为92.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．C【分析】由全概率公式即可求解.【详解】由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是12，第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是12，第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是12，由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为1111122222P =⨯+⨯=.故选：C.6．D【分析】利用两个向量平行的性质可得2πsin ()cos24αα+=，化简可得1tan 3α=，利用齐次式即可得到答案.【详解】因为a ，b 为非零向量，所以cos 20πsin()04αα≠⎧⎪⎨+≠⎪⎩，即12ππ42ππ4k k αα⎧≠+⎪⎪⎨⎪≠-+⎪⎩()12Z,Z k k ∈∈因为//a b ，所以2πsin (cos24αα+=，则π1cos 22cos22αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，即1sin 22cos2αα+=，即2222sin cos 2sin cos 2cos 2sin αααααα++=-，由于cos 0α≠，所以两边同除2cos α，可得：23tan 2tan 10αα+-=，解得：tan =13或tan 1α=-(舍去),所以222tan 33sin211tan 519ααα===++.故选：D 7．A【分析】首先求出直线方程，然后利用点到直线距离公式求出原点O 到直线l 的距离，列出方程求解即可【详解】设椭圆的方程为22221x y a b+=，所以(),0E c ，所以直线l 的方程为y x c =-，所以原点O 到直线l 的距离等于E2b =，得228c b =，又222a b c =+，所以()22222889c a c a c =-⇒=，所以c e a ==故选:A 8．D【分析】由题意可得球心O 在PQ ，设PQ 与ABC 的交点为R ，CR AB ⊥于M ，,PMC QMC ∠∠为两个正三棱锥的侧面与底面ABC 所成的角分别为,αβ，设外接球的半径为r ,球心O 到平面的距离为m ,可得tan 36r m a α-=，tan 36r ma β+=，进而计算可求αβ+最大时，tan()αβ+的值.【详解】由题意可得球心O 在PQ ，设PQ 与ABC 的交点为R ，CR AB ⊥于M ，由题意可得,PM AB MQ AB ⊥⊥，所以,PMC QMC ∠∠为两个正三棱锥的侧面与底面ABC 所成的角分别为,αβ，所以tan PR MR α=，tan QRMRβ=，设外接球的半径为r ,球心O 到平面的距离为m ,则,PR r m QR r m =-=+，设ABC 的边长为a ，由正三角形的性质1113222sin 606a MR RC a ==⨯⨯=︒，所以tan 36r m a α-=，tan 36r ma β+=，2222231()33r m a m a =+=+,所以33r a ≥所以2222223333226666tan()11331()()123336666a a a r a r r m r m a r r a a a r m a aαβ⨯⨯+==-+--+⨯--223322661144a r r a a ⨯⨯==--，所以ππ2αβ<+<，故当33r a =时，αβ+最大，此时4tan()3αβ+=-.故选：D.【点睛】方法点睛：利用正切函数的单调性求三角函数的值的最大值以确定角的最大值，表示三角函数是解本题的关键.9．BCD【分析】根据垂直关系的转化与判定定理和性质定理，即可判断选项.【详解】A.若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，不能推出m β⊥或n α⊥，则不能推出αβ⊥，故A 错误；B.若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又//n β，所以αβ⊥，故B 正确；C.若//αβ，n β⊥，则n α⊥，又m α⊂，所以m n ⊥，故C 正确；D.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，说明与α和β垂直的法向量互相垂直，则αβ⊥，故D 正确.故选：BCD 10．ABD【分析】对于A ：由已知可得(2)()f x f x +=--，结合周期可得()(f x f x -=-）可判断A ；由奇函数可得(2)(11)()f x f x f x +=++=，可判断B ；结合已知可得结论(4)(13)(2)f x f x f x +=++=---(11)()f x f x =--+=-，可判断C ；由已知可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，可判断D.【详解】对于A ：若2是()f x 的周期，则(2)(f x f x +=），由(1)(1f x f x ++-）=0，可得(2)(11)(11)()f x f x f x f x +=++=---=--，所以()(f x f x -=-），所以()f x 为奇函数；故A 正确；对于B ：若()f x 为奇函数，则()(f x f x -=-），由(1)(1f x f x ++-）=0，可得(2)(11)(11)()()f x f x f x f x f x +=++=---=--=，所以2是()f x 的周期，故B 正确；若4是()f x 的周期，则(4)(f x f x +=），由(1)(1f x f x ++-）=0，可得(4)(13)(13)(2)f x f x f x f x +=++=---=---(24)(2)(11)(11)()f x f x f x f x f x =---+=--=-+-=--+=-，所以()(f x f x -=-），所以()f x 为奇函数；故C 不正确；对于D ：若()f x 为偶函数，则()(f x f x -=），由(1)(1f x f x -=-），可得(1)(1)f x f x -=-+，所以()(2)f x f x =-+，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以4是()f x 的周期，故D 正确.故选：ABD.11．AC【分析】根据题设结合,E F 的位置可确定参数范围，判断A ；取特殊位置计算λμ+的值，可判断B ；根据数量积的运算律结合三角恒等变换可判断C ；举出反例可判断D.【详解】对于A ，由题意知当E 和B 重合时，1BE =，此时λ取最小值16，μ取到最大值1；当F 和D 重合时，3DF =，此时μ取最小值38，λ取到最大值1，A正确；对于B ，当E 和B 重合时，1,16λμ==，76λμ+=；当,E F 分别位于,DC BC 的中点时，满足5EF =，此时11,22λμ==，1λμ+=，由此可知λμ+不为定值，B 错误；对于C ，()()()()AE AF AB BE AD DF AB BC AD DCλμ⋅=+⋅+=+⋅+AB AD BC AD AB DC BC DC λμλμ=⋅+⋅+⋅+⋅ 223664BC AD AB DC BC AB λμλμλμ=⋅+⋅=+=+ ，由5EF =，得225EF = ，即()225EC CF+= ,即()()21125BC DC λμ⎡⎤-+-=⎣⎦，即()()2236164125λμ-+-=，设()()615cos ,815sin λθμθ-=-=，[)0,2πθ∈，则5cos 5sin 366436164168θθλμ⎛⎫⎛⎫+=⨯++⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()10030cos 40sin 10050sin θθθϕ=++=++，（ϕ为辅助角，3tan 4ϕ=），当()sin 1θϕ+=-时，3664λμ+取到最小值50，即AE AF ⋅的最小值50，C 正确，对于D ，当11,6μλ==时，726AE AF AB BE AC AB BC +=++=+ ，则AE AF +==>D 错误，故选：AC【点睛】难点点睛：解答本题的难点是选项C 的判断，解答时要利用向量的加减以及向量数量积的运算律结合三角代换以及恒等变换进行求解.12．1y =（或3450x y ++=，答案不唯一）【分析】由2MA MB = 和圆中的几何关系求出点O 到直线l 的距离为1，然后利用点到直线的距离公式求出直线斜率即可【详解】由题意得圆心()0,0O ，半径r MO =>故M 点在圆O 外，设点O 到直线l 的距离为d ，由2MA MB = 得2MA MB = 2=，==，解得1d =，设直线l 的方程为()13y k x -=+，218600k k k =⇒+=⇒=或34k =-，所以直线l 的方程为1y =或3450x y ++=.故答案为：1y =（或3450x y ++=，答案不唯一）.13【分析】利用余弦定理表示出cos A ，再利用同角三角函数的平方关系，得到cos A =建立方程，求出b 的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案.【详解】由余弦定理得，22222945cos 266b c a b b A bc b b+-+-+===，而由sin b A =sin B =因为ABC 是钝角三角形，且c a >，故A 为锐角，所以cos A =256b b+=，解得27b =或219b =，当27b =时，即b ，c b a >>，由大边对大角得：最大角为C ，222cos 02b a c C ba +-==，故C 为锐角，不符合题意；当219b =时，即b =b c a >>，由大边对大角得：最大角为B ，2229419cos 0262c a b B ca +-+-==<⨯，故B 是钝角，符合题意，14．41【分析】第一空：令t =可得()4f t t t =+，可得函数()f t 的单调性可求得m 的最小值；第二空由题意可得2x =是函数的极值点，可得()20f '=,求解检验即可.在[,8]m 上单调递增，因为0x ≠，所以08m <<，令t =，则4()f t t t =+，由对勾函数性质得当0x >时，4()f t t t=+的单调递增区间为[2,)+∞，所以，即t 实数的最小值为2，所以m 实数的最小值为4；对于第二空：函数32213()232f x x ax a x =-+可导，所以22()32f x x ax a '=-+，由题意在[1,2]上单调递减，在[]2,3上单调递增，即2x =是函数的极值点，所以2(2)4620f a a '=-+=，解得2a =或1a =，经检验2a =不满足题意，1a =符合题意，所以1a =.故答案为：4；1.15．(1)证明见解析5【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B --的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解．【详解】（1）直三棱柱111ABC A B C -的体积为：111121122V AB BC AA AA =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=，则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥面ABC ，11AB AB ∥，又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，所以1AB BC ⊥，因为11AB AB ∥，所以11A B ⊥1BC ，在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ，所以1BC ⊥平面11A CB ，又1AC ⊂平面11ACB ，所以11BC A C ^．法二：直棱柱111ABC A B C -，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC = ，1(1,2,1)A C =-- ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=⨯+⨯-+⨯-= ，所以11BC A C ^．（2）由（1）得11BC A C ^，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ^，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ⋂=，所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1A C BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B --的平面角，因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得3OH =，又在Rt BOH中，BO =BH3cos 56OH BHO BH ∠===，所以二面角11B A C B --的余弦值为5．法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC = ，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ，则111111020n BC x n BA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11y =，得1(0,1,2)n =- ，1(1,0,1)B C =- ，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ，则21222112020n B C x z n B A y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取21x =，得2(1,0,1)n = ，设二面角11B A C B --的大小为θ，则：121212|||cos||cos,|5||||n nn nn nθ⋅=<>===，因为θ为锐角，所以二面角11B AC B--余弦值为5．16．(1)列联表见解析，没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关(2)概率分布见解析，1【分析】（1）完成2×2列联表，计算出2K即可得出判断；（2）由题可知，随机变量X服从超几何分布()3,2,6H，由此求出的X概率分布和数学期望．【详解】（1）22⨯列联表：性别阅读合计一般爱好男生101525女生131225合计232750提出假设0H：是否喜爱阅读与性别没有关系，根据列联表的数据，可以求得：2250(10121315)0.725 2.70625252327K⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关．（2）随机变量X服从超几何分布()3,2,6H，X可能取0，1，2，032436C C1(0)C5P X===，122436C C3(1)C5P X===，212436C C1(2)C5P X===，则X的分布列为：X012P153515所以131()0121555E X =⨯+⨯+⨯=，故抽取男生人数的数学期望为1．17．(1)证明见解析(2)(,1)-∞-【分析】（1）因为函数的定义域为(0,)+∞，当0a =时，e 1()x f x x-=，将问题转化为当0x >时，e 1x x >+，构造函数()e 1x p x x =--，利用导数研究()p x 的值域即可证明；（2）求导1(1)e 1()[]x x f x a x x -+'=⋅+，令(1)e 1()(1)x x g x a x x-+=+>，再求导()g x '，利用放缩可知()0g x '>，得到()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)1g x g a >=+，分类讨论1a ≥-和1a <-时()g x 的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数.【详解】（1）因为函数的定义域为(0,)+∞，当0a =时，e 1()x f x x-=.要证()1f x >，只需证：当0x >时，e 1x x >+.令()e 1x p x x =--，则()e 10x p x '=->，则()p x 在,()0x ∈+∞单调递增，所以()(0)0p x p >=，即e 1x x >+.（2）2(1)e 11(1)e 1()[]x x x a x f x a x x x x-+-+'=+=⋅+，令(1)e 1()(1)x x g x a x x-+=+>，则2222e (1)1(1)11()0x x x x x x g x x x x-+--+--'=>=>.所以()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)1g x g a >=+，①1a ≥-时，()(1)10g x g a >=+≥，()0f x '>.则()f x 在(1,)+∞为增函数，()f x 在(1,)+∞上无极值点，矛盾.②当1a <-时，(1)10g a =+<.由（1）知，e 1x x x >+>，(1)e 1(1)e (1)()1x x x x x x g x a a a x a x x x-+--=+>+>+=-+，则(1)0g a ->，则0(1,1)x a ∃∈-使0()0g x =.当0(1,)x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，则()f x 在0(1,)x 上单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，()0f x '>，则()f x 在0(,)x +∞上单调递增.因此，()f x 在区间(1,)+∞上恰有一个极值点，所以a 的取值范围为(,1)-∞-.【点睛】方法点睛：利用导数求解参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.18．(1)24x y=(2)（2，2）或（4，2）(3)5【分析】（1）设211(,)2x A x p，进而求出FA 的坐标，利用坐标式向量相等的条件求解即可（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线MN 的方程和抛物线方程，利用韦达定理求出1k ，2k ，代入12123()24k k k k +-=得22m k =-或24m k =-，利用点斜式求出Q 的坐标；（3）根据（2）结论和条件得MN 只能过（2，2）点，此时|MN |有最小值，利用韦达定理和两点间的距离公式求出MN =调区间，利用函数的单调性求出最值【详解】（1）(0,2p F ，设211(,)2x A x p，则2111(,))224x p FA x p =-=- ，所以1211,224x x p p ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得：2260p p --=，解得2p =或32p =-（舍），所以抛物线C 的方程为24x y =①.（2）设直线MN ：y kx m =+②，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立①②，得2440x kx m --=.所以216()0k m ∆=+>③，124x x k +=，124x x m ⋅=-④.111111222y kx m m k k x x x ++++===+，222222222y kx m m k k x x x ++++===+，则1212121211(2)2(2)()2(2)x x k m k k k m k m x x x x m +-+=+++=++⋅=，121212(2)(2)kx m kx m k k x x ++++=2222121212(2)()(2)8(2)4k x x k m x x m k m x x m+++++++==-.因为12123()24k k k k +-=，即：22(2)8(2)32404k m k m m m-++⨯-⨯-=-，即：(22)(42)0k m k m +-+-=，则22m k =-或24m k =-，能满足③式.则MN ：22(2)2y kx k k x =+-=-+，或MN ：24(4)2y kx k k x =+-=-+，所以定点Q 的坐标为（2，2）或（4，2）；（3）如MN 过（4，2）点，当122k k ==时，12123()24k k k k +-=，但此时M ，N 重合，则|MN |无最小值，所以MN 只能过（2，2）点，此时|MN |有最小值.由（2），在④中，令22m k =-得：124x x k +=，1288x x k ⋅=-，12|||MN x x =-==.令432()2322f k k k k k =-+-+，则322()46622(21)(1)0f k k k k k k k '=-+-=--+=，.当12k <时，()0f k '<，()f k 在1(,)2-∞上为减函数，当12k >时，()0f k '>，()f k 在1(,)2+∞上为增函数，所以当12k =时，()f k 有最小值，|MN |有最小值.min ||5MN =.【点睛】关键点睛：第二问的关键：根据一元二次方程根与系数的关系，结合12123()24k k k k +-=恒成立，得到直线MN 过定点.19．(1)相等，证明见解析(2)证明见解析(3)存在，3【分析】（1）首先写出第1行和第2行的最后两个数，根据结论预测每一行最后2个数的大小关系，再利用组合数的性质和组合数的阶乘公式，即可证明；（2）首先写出第m （2m =）行的1m +个数之和，并利用组合数公式和性质进行化简，再根据（1）的结果，即可证明；（3）首先根据特殊值判断k 的最大值，再利用放缩法求数列{}n a 的前n 项和的不等式，即可证明不等式.【详解】（1）第1行最后两数0101C C 1==，第2行的最后两数120233C C C 2=-=.第m （3m =）行的第m 个数为132222C C m m m m -----，第1m +个数为22121C C m m m m ----，猜测：132********C C C C m m m m m m m m --------=-，即证：12321222122C C C C m m m m m m m m --------=-，法一：因为11233222222222222C C C C C C m m m m m m m m m m m m -----------+-=+-，只要证明22222C C m m m m ---=，该式显然成立，所以12321222122C C C C m m m m m m m m --------=-，所以每行最后两个数相等.法二：因为22121(21)!(21)!C C !(1)!(2)!(1)!m m m m m m m m m m ------=---+(21)![(1)(1)]!(1)!m m m m m m m -=+--+2(21)!(2)!!(1)!!(1)!m m m m m m m -==++；又因为132222(22)!(22)!C C (1)!(1)!(3)!(1)!m m m m m m m m m m -------=----+(22)!(1)!m m m m m m m -=+----+(42)(22)!(1)!(1)!m m m m --=-+2(21)!(2)!(1)!(1)!!(1)!m m m m m m -==-++.即：132********C C C C m m m m m m m m --------=-.所以每一行的最后两个数相等.（2）第1行所有数之和为0101C C 2+=，第2行的最后一个数为2033C C 312-=-=，此时结论成立.因为11C C C k k k n n n -++=，第m （2m =）行的1m +个数之和为：0120312111222121C C (C C )(C C )(C C )m m m m m m m m m m --++++--++-+-++- 01201211211221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m --+-++-=++++-+++ 0120121212221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m -+-++-=++++-+++ 1212211213321(C C C )(C C C )m m m m m m m m -++-++-=+++-+++ 222C C m m m m -==- .而第1m +行倒数第二个数为222C C m m m m --，由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证.（3）当1n =，3k =时，1111C 1S a ===，11341S =-，当4k ≥时，此时显然不成立.猜测：存在正整数k ，使得41n n kS ⋅-恒成立，k 的最大值为3.下证：当2n =时，341n n S <-恒成立.由（1）知，(2)!!(1)!n n a n n =+，则1(22)!(1)!(2)!n n a n n ++=++，因为1(22)!!(1)!(22)(21)(1)!(2)!(2)!(2)(1)n n a n n n n n a n n n n n +++++=++++2(21)4(2)6644222n n n n n ++-===-<+++.又0n a >，当2n =时，2111214444n n n n n a a a a ----<<<<= .当2n =时，21124114443n n n n S a a a --=+++<++++= ，所以341n n S <-.综上：存在正整数k ，k 的最大值为3，使得41n n kS ⋅-恒成立.【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是抽象出每行的组合数以及最后两个数的组合数，再利用组合数的性质和公式，即可证明，第3问的关键是利用迭代的方法证明4n a <.。
扬州南通泰州宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷
扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 请把答案填写在答卷卡的相应位置上．．．．．．．．．1. 在平面直角坐标系中，已知向量AB = (2，1)，向量AC = (3，5)，则向量BC 的坐标为 ▲ ． 【答案】（1，4）2. 设集合{}{}2223050A x x x B x x x =--=-≤，≥，则()A B =R▲ ．【答案】(]03，3. 设复数z 满足| z | = | z －1 | = 1，则复数z 的实部为 ▲ ． 【答案】124. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x < 0时，f (x )＝x + e x （e 为自然对数的底数），则()ln6f 的值为 ▲ ． 【答案】1ln 66-5. 某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为 ▲ 分钟． 【答案】726. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 ▲ ． 【答案】1457. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆与双曲线2233y x -=共焦点，且经过点)2，则该椭圆的离心率（第6题）6 4 57 7 2 58 0 1（第5题）为 ▲ ．8. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm 的半圆，则该圆锥的高为 ▲ cm ．9. 将函数π2sin 3y x =的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍（纵坐标保持不变），得函数()y f x =的图象，则()f x 的一个解析式为 ▲ ． 【答案】()π2sin 3y x =-10.函数()(1)sin π1(13)f x x x x =---<<的所有零点之和为 ▲ ． 【答案】 411. 设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ． 【答案】1665-12. 设数列{a n }满足：()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，，则a 1的值大于20的概率为 ▲ ． 【答案】1413.设实数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5均不小于1，且x 1·x 2·x 3·x 4·x 5=729，则max{x 1x 2，x 2x 3，x 3x 4，x 4x 5}的最小值是 ▲ ． 【答案】914.在平面直角坐标系xOy 中，设(11)A -，，B ，C 是函数1(0)y x x=>图象上的两点，且△ABC 为正三角形，则△ABC 的高为 ▲ ． 【答案】2AB CP（第16题）D二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请把答案写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知△ABC 的内角A 的大小为120（1）若AB=ABC 的另外两条边长；（2）设O 为△ABC 的外心，当BC =AO BC ⋅的值．【解】（1）设△ABC 的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1sin 2bc A =，所以bc =4． ………………………………………………………………3分因为c AB ==，所以b CA ==.由余弦定理得BC a =． ………………………6分（2）由BC =得22421b c ++=，即2216170b b +-=，解得1b =或4．……………………………8分设BC 的中点为D ，则AO AD DO =+， 因为O 为△ABC 的外心，所以0DO BC ⋅=，于是()()22122b c AO BC AD BC AB AC AC AB -⋅=⋅=+⋅-=．…………………………………12分 所以当1b =时，4c =，221522b c AO BC -⋅==-；当4b =时，1c =，221522b c AO BC -⋅==．………………………………………………………14分16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，BC //平面PAD ，PBC ∠90=, 90PBA ∠≠．求证：（1）//AD 平面PBC ；（2）平面PBC ⊥平面PAB ．A BCPDH 【证】（1）因为BC //平面PAD ， 而BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD平面PAD = AD ，所以BC //AD ． …………………………………3分 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．………………………………………………………………………………………6分（2）自P作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB平面ABCD =AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．………………………………………9分 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PH ． 因为PBC ∠90=,所以BC ⊥PB ，而90PBA ∠≠，于是点H 与B 不重合，即PBPH = H ．因为PB ，PH ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．…………12分 因为BC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面A B ．……………………………………………………… 14分17．（本小题满分14分）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx +800)元(其中k 为常数) ．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元.(每平方米平均综合费用＝购地费用+所有建筑费用所有建筑面积)．（1）求k 的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？【解】（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用为［(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k +800)+(5k +800)］×1 000×10，所以，…………………………3分1 270＝16 000 000+［(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k +800)+(5k +800)］×1 000×1010×1 000×5，解之得：k ＝50．…………………………………………………………………………………………6分（2）设小区每幢为n (n ∈N *)层时，每平方米平均综合费用为f (n )，由题设可知 f (n ) ＝16 000 000+［(50 +800)+(100 +800)+…+(50n +800)］×1 000×1010×1 000×n＝1 600n +25n +825≥2 1 600×25+825＝1225（元）.......................10分 当且仅当1 600n＝25n，即n＝8时等号成立．……………………………………………………………12分答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元．……………………………14分18. （本小题满分16分）已知函数f (x )＝(m －3)x 3 + 9x .（1）若函数f (x )在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数f (x )在区间［1，2］上的最大值为4，求m 的值．【解】（1）因为f '(0)＝9 > 0，所以 f (x )在区间()-∞+∞，上只能是单调增函数． ………………3分由f '(x )＝3(m －3)x 2 + 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m ≥3．故m 的取值范围是［3，∞) ． ………………………………………………………6分 （2）当m ≥3时，f (x )在［1，2］上是增函数，所以[f (x )] max ＝f (2)＝8(m －3)＋18＝4, 解得m ＝54<3，不合题意，舍去． ……………………………………………………8分当m ＜3时，f '(x )＝3(m －3) x 2 + 9=0，得x =．所以 f (x )的单调区间为：(-∞，单调减，(单调增，)+∞单调减．……………………………………10分2，即934m <≤时，([12]⊆，，所以f (x )在区间［1，2］上单调增，[f (x )] max ＝f (2)＝8(m －3)＋18＝4，m ＝54，不满足题设要求．②当12<，即0＜m ＜94时，[f (x )]max04f==≠舍去．1，即m ≤0时，则[12]⎤⊆+∞⎥⎦，，所以f (x )在区间［1，2］上单调减，[f (x )] max ＝f (1)＝m + 6＝4，m ＝－2.综上所述：m ＝－2．……………………………………………………………………16分19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2＝r 2和直线l ：x ＝a （其中r 和a 均为常数，且0 < r < a ），M 为l 上一动点，A 1，A 2为圆C 与x 轴的两个交点，直线MA 1，MA 2与圆C 的另一个交点分别为P 、Q ．（1）若r ＝2，M 点的坐标为(4，2)，求直线PQ 方程； （2）求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标． 【解】（1）当r ＝2，M (4，2)，则A 1(－2，0)，A 2(2，0).直线MA 1的方程：x －3y +2=0，解224320x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得()8655P ，．……………………2分直线MA 2的方程：x －y －2=0，解22420x y x y ⎧+=⎨--=⎩，得()02Q -，． ……………………4分由两点式，得直线PQ 方程为：2x －y －2=0． ………………………………………6分 （2）证法一：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0) .设M (a ，t )， 直线MA 1的方程是：y = ta +r (x +r )，直线MA 1的方程是：y =ta －r(x －r ) ．………8分 解222()x y r t y x r a r ⎧+=⎪⎨=+⎪+⎩，得()222222()2()()()r a r rt tr a r P a r t a r t +-+++++，．……………………10分解222()x y r t y x r a r ⎧+=⎪⎨=-⎪-⎩，得()222222()2()()()rt r a r tr a r Q a r t a r t -----+-+，． ………………12分 于是直线PQ 的斜率k PQ ＝2ata 2－t 2－r 2，直线PQ 的方程为()2222222222()()2()()tr a r r a r rt at y x a r t a t r a r t ++--=-++--++． ………………………………14分 上式中令y = 0，得x ＝r 2a ，是一个与t 无关的常数.故直线PQ 过定点()20r a，． …………………16分 证法二：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0) .设M (a ，t )，直线MA 1的方程是：y =ta +r (x +r )，与圆C 的交点P 设为P (x 1，y 1) ． 直线MA 2的方程是：y =ta －r(x －r )；与圆C 的交点Q 设为Q (x 2，y 2) ．则点P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)在曲线［(a +r )y －t (x +r )］［(a －r )y －t (x －r )］=0上， …………………10分化简得 (a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)+t 2(x 2－r 2)＝0． ① 又有P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)在圆C 上，圆C ：x 2+y 2－r 2＝0．②－t 2×②得 (a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)－t 2(x 2－r 2) －t 2( x 2+y 2－r 2)＝0， 化简得：(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2) －t 2 y ＝0．所以直线PQ 的方程为(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2)-t 2 y ＝0． ③ ………………14分在③中令y = 0得 x = r 2a ，故直线PQ 过定点()20r a，．………………………16分20．（本小题满分16分）设无穷数列{}n a 满足：n *∀∈Ν，1n n a a +<，n a *∈N .记*1()n n n a n a b a c a n +==∈N ，. （1）若*3()n b n n =∈N ，求证：1a =2，并求1c 的值；（2）若{}n c 是公差为1的等差数列，问{}n a 是否为等差数列，证明你的结论． 【解】（1）因为n a *∈N ，所以若11a =，则113a a a ==矛盾， 若113a a a =≥，可得113a ≥≥矛盾，所以12a =． …………………4分 于是123a a a ==，从而121136a a c a a a +====． …………………………7分（2）{}n a 是公差为1的等差数列，证明如下： ………………………9分 12n n a a n +>⇒≥时，1n n a a ->，所以11()n n n m a a a a n m -+⇒+-≥≥， ()m n < 11111(1)n n a a n n a a a a ++++⇒++-+≥，……………………………13分即11n n n n c c a a ++--≥，由题设，11n n a a +-≥，又11n n a a +-≥， 所以11n n a a +-=，即{}n a 是等差数列．………………………16分数学II （附加题）21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.【证明】连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°． 所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°． ………………………5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ．因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ．所以DE 2=DB ·DA ． ………………10分B. 选修4－2：矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵()001m m n ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．【解】设曲线22221x xy y ++=上任一点(,)P x y 在矩阵M 对应的变换下的像是(,)P x y ''',由01x m x mx n y y nx y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx y nx y '=⎧⎨'=+⎩，， 因为()P x y '''，在圆221x y +=上,所以()()221mx nx y ++=，化简可得2222()21m n x nxy y +++=．…………………………3分依题意可得22222m n n +==，，11m n ==，或11m n =-=，而由0m >可得11m n ==，．………6分故1011⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,11011-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．………………………………………………10分C. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=． （1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆12,C C 的极坐标ACA 1B 1C1方程及这两个圆的交点的极坐标； （2）求圆12C C 与的公共弦的参数方程．【解】（1）圆1C 的极坐标方程为=2ρ， 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，由24cos ρρθ=⎧⎨=⎩，得π=23ρθ=±，，故圆12C C ，交点坐标为圆()()ππ2233-，，，．…………………5分 （2）由（1）得，圆12C C ，交点直角坐标为(1(1-，，， 故圆12C C 与的公共弦的参数方程为1(x y t t =⎧⎪⎨=⎪⎩，．……………………10分注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣2分．D ．选修4－5：不等式选讲设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值． 【解】因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=． 于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9=≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………8分即1111323232a b c +++++≥，故111323232a b c +++++的最小值为1．…………10分22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A B ABC ⊥平面，AB AC ⊥，且12AB AC A B ===． （1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使二面角1P AB A--的平面角的余弦．【解】（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则 ()()()()11200020022042C B A B ，，，，，，，，，，，， ()1022AA =，，，()11220BC B C ==-，，．1111cos 28AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅，，故1AA 与棱BC 所成的角是π3． ………………………4分（2）P 为棱11B C 中点，设()111220B P B C λλλ==-，，，则()2422P λλ-，，．设平面PAB 的法向量为n 1(),,x y z =，()=2422AP λλ-，，， 则1103202000AP x y z z x y y AB λ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎩⎩⎪⎩，，，．n n 故n 1()10λ=-，，……………………………………………8分而平面1ABA 的法向量是n 2=(1，0，0)，则121212cos ,⋅〈〉===⋅n n n n n n ，解得12λ=，即P 为棱11B C 中点，其坐标为()132P ，，．…………………10分23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设b >0，函数2111()(1)ln 2f x ax x bx ab b b =+-+，记()()F x f x '=（()f x '是函数()f x 的导函数），且当x = 1时，()F x 取得极小值2． （1）求函数()F x 的单调增区间；（2）证明[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥．【解】（1）由题()11111()()2(1)002F x f x ax a ax x b ab b bx b x '==⋅+⋅-+=+>>，，．于是()211()F'x a b x =-，若0a <，则()0F'x<，与()F x 有极小值矛盾，所以0a >．令()0F'x =，并考虑到0x >，知仅当x =时，()F x 取得极小值．C 1所以11(1)2a b=⎪+=⎩，，解得1a b ==．………………………………………………4分故1()(0)F x x x x =+>，由()0F x '>，得1x >，所以()F x 的单调增区间为(1)+∞，．（2）因为0x >，所以记[][]()()11()()()()()nnnnnnng x F x F x F x F x x x xx =-=-=+-+11223312311111C C C C n n n n n n n n n x x x x x x x x-----=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅ 因为11C C 2C (121)r n r n r r n n nn rx x r n x x ---⋅+⋅=-≥，，，， 所以12312()2(C C C C )2(22)n nn n n n g x -+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-≥，故[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥．………10分数学Ⅰ讲评建议第1题 考查向量的坐标运算及向量减法的几何意义. →BC ＝→AC －→AB ＝(1,4).第2题 考查集合的运算，一元二次不等式及不等式组的解法.本题评讲时着重运算的精准与快速.第3题 考查复数的概念，数形结合等数学思想.评讲时对复数的有关概念进行适当地疏理，防止学生出现知识盲点.法一：设z ＝a +b i ，由|z |＝|z －1|=1得22221(1)1a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得.2 a =1，12a =. 法二：如图，圆x 2+y 2=1与圆(x －1)2+y 2=1交点的横坐标为12.法三：由z z =1，(z －1) (z －1)=1得z +z =1，即2 a =1，12a =.法四：|z |＝1则令z ＝cos α+isin α，再有|z －1|=1得，(cos α－1)2+sin 2α＝1，cos α＝12. 第,4题 本题考查函数的奇函数的性质评讲时重点构造奇偶函数，考虑奇偶函数对称，由部分区间的函数求出相应对称区间的函数.法一：()ln6f ＝－()-ln6f ＝－(-ln6) －e -ln6＝ln6-16.法二：当x >0时，f (x )＝-f (- x )＝x –e -x .所以，()ln6f ＝ln6－e -ln6＝ln6-16.第5题 本题考查茎叶图的概念，重在看懂所给的茎叶图.评讲时对统计的有关知识适当归纳总结一下，统计重在操作，记住解题的步骤，按照课本的要求步骤解题.计算本题时，适当讲一些算平均值的方法与技巧.第6题 本题考查算法的概念，算法主要考查流程图与伪代码，复习时要求能看懂流程图与伪代码就行，不宜过难过深.第7题 本题考查圆锥曲线的几何性质.研究圆锥曲线的性质常用二种方法，一是由方程研究曲线的几何性质，二是由曲线的几何性质求曲线的方程.另外，在解题时，适当利用圆锥曲线的定义可以取到“时半功倍”之效.法一：由题可得，椭圆两焦点F 1(0,2)，F 1(0,-2)，c =2，2a即a ＝所以，离心率e. 法二：设椭圆方程为：22221x y b a +=，由题意得：22222414b a a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解之得，2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，c =2，离心率e. 第8题 本题是由课本上的习题改编，主要圆锥的底面半径、高与母线之间关系，旋转体的侧面展开等知识.由题设，圆锥的母线l =2，底面半径r =1，故其高h.第9题 本题考查三角函数图象变换. 将函数π2sin 3y x =的图象上每一点向右平移1个单位得πππ2sin (1)2sin()333y x x =-=-，将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍（纵坐标保持不变），则π3π2sin()3π3y x =⨯-，即()π2sin 3y x =-.第10题 本题考查函数的零点，对称性质及数形结合等.原函数的零点可看作函数f (x )＝sin πx ，g (x ) ＝11x -的交点的横坐标，因为f (x ) 与g (x )均关于点(1,0)对称，故f (x )与g (x )在(-1,3)上的四个交点的横坐标之和为4.第11题 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的恒等变换等.法一：由1tan 22α=得，22tan142sin 151tan 124ααα===++，3cos 5α=， 由5sin()sin ,,(0,)13παβααβ+=<∈，(0,)2παβ+∈，所以12cos()13αβ+=-.cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++=1665-.法二：由1tan22α=得，4tan 3α=，由法一可知，5tan()12αβ+=-，tan β=6316-. 16cos 65β=-. 法三：由12cos()13αβ+=-，得cos2αβ+=，cos2α=，coscos()222βαβα+=-24916cos 2cos 1126565ββ=-=-=-.第12题 本题考查数列、递推数列，概率及分类讨论.法一：由()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，得()()226160,a a --=a 2＝16，或a 2＝6再由a 2＝16，或a 2＝6及()()2121220a a a a ---=，得a 1=32，14，12，4.故概率为14.法二：由()()*11220()n n n n a a a a n ++---=∈N ，得a 2=a 1+2，或a 2=12a 1，a 3=a 2+2，或a 3=12a 2，a 3=a 1+4，或a 3=12a 1+4，或a 3=14a 2，或a 3=12(a 1+2) .由a 3=8，得a 1=32，14，12，4.(下略)第13题 本题考查不等式的有关知识与方法.max{x 1x 2，x 2x 3，x 3x 4，x 4x 5}≥max{x 1x 2，x 3x 4，x 4x 5}9. 当x 1= x 3= x 5=9，x 2= x 4＝1.第14题 本题考查学生综合应用数学知识解决问题的能力.本题解法较多，但有些解法计算繁琐，下面介绍三个常规的简单的解法：法一：设正三角形ABC 的边长为a ，B (-1+a cos(θ+30º)，1+ a sin(θ+30º))， C (-1+a cos(θ－30º)，1+ a sin(θ－30º)) ，由B 、C 在y =1x上，所以 1cos(30)][1sin(30)]11cos(30)][1sin(30)]1[(-[(-a a a a θθθθ++︒++︒=⎧⎨+-︒+-︒=⎩，22sin(260)cos(30)sin(30)22sin(260)cos(30)sin(30)22a a a a a a θθθθθθ⎧+︒++︒-+︒=⎪⎪⇒⎨⎪-︒+-︒--︒=⎪⎩a 2cos2θ－a sim θ－a cos θ＝0＝1cos sin θθ-， ①两式相加得：2sin 242a θθθ=，a 2sin2θ=4 ②由①、② a.所以三角形的高为2. 法二：将直角坐标系旋转45º，则A (0，双曲线方程为：222x y -=.设BC 的方程为：y =kx +b ，联立222x y y kx b ⎧-=⎨=+⎩，消去得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2=0.12221222121kb x x k bx x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪⋅=-⎪-⎩，BC 中点D (21kb k -，21b k -)，而直线AD的方程是：1y x k =-. 所以，21b k -=211kb k k -⋅-2)b k -，ADBCx 1－x 2|，由△ABC 为正三角形，所以AD BC .⇒k 2＝7.故AD ＝2.法三：提示，直接设BC 直线方程为y =kx +b ，与双曲线1(0)y x x=>联立，仿照解法二可求得.第15题 第（1）问考查正弦定理、余弦定理的简单应用，第（2）问综合考查数量积，关键是将AO BC ⋅ 转化，利用外心的性质，化为求()()12AO BC AD BC AB AC AC AB ⋅=⋅=+⋅-，结合解三角题当1b =时，4c =，；当4b =时，1c =，，注意本题有两解。
江苏省南通市2013届高三第二次调研测试数学参考答案
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．一物体沿直线作匀速直线运动，其位移与时间的关系为，则在某时间段的平均速度与任一时刻的瞬时速度（ ）A）相等 B）不等）无法比较）有时相等 D）无法比较）不等 C）有时相等2．复数 (m )为纯虚数，则为纯虚数，则（ ）A）m=1,m=-3 B）m=1 C）m=-3 D）m=33.曲线处的切线方程为（）A）3x-y-4=0 B）3x+y-2=0 C）4x+y-3=0 D）4x-y-5=04．“凡自然数是整数，是自然数，所以是整数.”以上三段推理 ( ) B. 不正确，因为两个“自然数”概念不一致A.完全正确 B. C.推理形式不正确D.不正确，因为两个“整数”概念不一致5．曲线y=cosx( )与坐标轴所围成的面积是（ ）D. 3C. 2 A. 0 B. 1 6.如图所示是函数y=f(x)的导函数y= 图象，则下列哪一个判断是正确的 （ ）A. 在区间（-2，1）内y=f(x)为增函数 B. 在区间（1，3）内y=f(x)为减函数 C .在区间（4，5）内y=f(x)为增函数D. 当x=2时y=f(x)有极小值7.有一个奇数列1,3,5,7,9,┅，现在进行如下分组：第一组含一个数，第二组含两个数，第三组含三个数，第四组含四个数，┅，现观察猜想每组内各数之和与其组的编号数的关系为（ ） A．等于 B.等于 C.等于等于等于 D.等于8．若函数在上是增函数，则实数的取值范围（）A. B. C. D．9.做一个底面为正三角形的体积为V的直棱柱，要求其表面积最小，则底面边长为（ ）A. B. C. D.2 10. 设0< <b，且f (x)＝，则下列大小关系式成立的是( ).(A)f ( )< f ( )<f ( ) (B)f ( )<f (b)< f ( ) (C)f ( )< f ( )<f ( ) (D)f (b)< f ( )<f ( )二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上11.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈R，求x= ， y= ．12.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“_______________”这个类比命题的真假性是________13．设的个位数为，如则 14．不等式 恒成立，则恒成立，则M的最小值为 15. 关于的不等式的解集为，则复数所对应的点位于复平面内的第________象限．16. 若函数有极大值又有极小值,则的取值范围是______；三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知a.b都是正数,求证 这2个数中至少有一个不小于2 18．已知复数 ,当实数当实数取什么值时,复数是(1)虚数,(2)纯虚数.（3）实数19．已知函数在处取得极值，（1）求a,b的值及其单调区间，（2）若对x ［-1，2］不等式恒成立，求c的取值范围20．已知数列{an}满足Sn+an=2n+1,(1)写出a1,a2,a3, 并推测an的表达式,(2)用数学归纳法证明所得的结论.21．设函数 ⑴证明: 的导数；⑵若对所有都有 ,求的取值范围22．函数 ,函数⑴当时,求函数的表达式;函数在上的最小值是2 ,求的值;⑵若 ,函数⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.选修2-2模块测试题数学(理科) 答题卷本试卷满分分，考试时间分钟.一选择题：（每小题10分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 二、填空题：（每小题6分，共24分）11.________ _________； 12.____________ 12.____________ ；_________；13.____________________； 14._____________________；15._____________________. 16. _____________________；三、解答题：(共6小题，共76分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.已知a.b都是正数,求证 这2个数中至少有一个不小于2 18．已知复数 ,当实数当实数取什么值时,复数是(1)虚数,(2)纯虚数.（3）实数19．已知函数在处取得极值，（1）求a,b的值及其单调区间，（2）若对x ［-1，2］不等式恒成立，求c的取值范围 20．已知数列{an}满足Sn+an=2n+1,(1)写出a1,a2,a3, 并推测an的表达式,(2)用数学归纳法证明所得的结论.21．设函数⑴证明: 的导数；⑵若对所有都有 ,求的取值范围.22．函数 ,函数⑴当时,求函数的表达式;函数在上的最小值是2 ,求的值;⑵若 ,函数⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.。