1.1 集合的概念

把集合的所有元素_一__一__列__举__出来，并用花括号“{}”括起来表示集合 的方法叫做_列__举__法__． 2．描述法 一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有_共__同__特__征__P(x) 的元素 x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为 描__述__法 __．
()
(3)单词“Good”的构成字母组成的集合中有 4 个元素．
()
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．下列能构成集合的是
()
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
解析：A、B、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 答案：C
3．若以方程 x2－3x＋2＝0 和 x2－5x＋6＝0 的解为元素组成集合 A，则
素至多只有一个，求 m 的取值范围． [解] ①当 m＝0 时，原方程为－2x＋3＝0，x＝32，符合题意． ②当 m≠0 时，方程 mx2－2x＋3＝0 为一元二次方程，
由 Δ＝4－12m≤0，得 m≥13，
有理数集 _Q__
实数集 R__
[微思考] N 与 N *有何区别？ 提示：N *是所有正整数组成的集合，而 N 是由 0 和所有的正整数组 成的集合，所以 N 比 N *多一个元素 0.
(二)基本知能小试
1．给出下列关系：①13∈R ；② 5∈Q ；③－3∉Z ；④－ 3∉N ，其中正确
的个数为
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)一个集合可以表示为{a，b，a，c}． (2)集合{－3,1}与集合{(－3,1)}表示同一个集合．
() ()
(3){x∈R |x＞1}＝{y∈R |y＞1}． 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．方程 x2－1＝0 的解集用列举法表示为( )
()
A．{x2－1＝0}
可用列举法表示为{3,5,7,11}． (4)函数 y＝－x＋2 图象上的点可以用坐标(x，y)表示．故可用描述法
表示{(x，y)|y＝－x＋2}．
[方法技巧] 选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点 是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集 合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、 应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特 征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
[对点练清]
1．(多选)下列对象能构成集合的是
()
A．某市拥有小轿车的家庭
B．2020 年高考数学试卷中的难题
C．所有的有理数
D．绝对值大于 5 的实数 解析：根据集合的概念，B 选项中的“难题”标准不明确，不满足集
合中元素的确定性，显然 A、C、D 选项中都能构成集合，故选 A、
C、D. 答案：ACD
1．元素与集合的含义
定义
表示
元 一般地，把_研__究__对__象_统称为 通常用小写拉丁字母 a，b，c，…
素 元素
表示
集 把一些元素组成的_总__体_叫做 通常用大写拉丁字母 A，B，
合 集合，简称为集___
C，…表示
2．集合中元素的特性：_确__定__性__、互异性和无序性． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是_一__样_的，我们就称这两个集合
关系
概念
如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A a_属__于__集合 A
如果 a 不是集合 A 中的元素， a 不属于集合 A
就说 a_不__属__于_集合 A
记法 a_∈__A_ _a_∉_A_
2．常用数集及符号表示
名称 自然数集 正整数集 整数集
记法
_N__ _N__*或___N_＋__ _Z_
[对点练清] 用适当的方法表示下列集合： (1)方程 x2－2x＋1＝0 的实数根组成的集合； (2)二次函数 y＝x2＋2x－10 的图象上所有的点组成的集合． 解：(1)方程 x2－2x＋1＝0 的实数根为 1，因此可用列举法表示为{1}，
也可用描述法表示为{x∈R |x2－2x＋1＝0}．
(2)二次函数 y＝x2＋2x－10 的图象上所有的点组成的集合中，代表元 素为有序实数对(x，y)，其中 x，y 满足 y＝x2＋2x－10，由于点有无 数个，故可用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
题型四 集合与方程的综合问题 [探究发现] 怎样判断方程 ax2＋bx＋c＝0 的解的个数？ 提示：当 a＝0，b≠0 时，方程有一个解． 当 a≠0 时，若 Δ＝0，则方程有两个相等的实数根； 若 Δ＜0，则方程无解； 若 Δ＞0，则方程有两个不相等的实数根．
[学透用活]
[典例 4] 已知集合 A＝{x∈R |mx2－2x＋3＝0，m∈R }，若 A 中元
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 13是实数，①正确； 5是无理数，②错误；－3 是整数，③错
误；－ 3是无理数，④正确．故选 B. 答案：B 2．已知集合 M 有两个元素 3 和 a＋1，且 4∈M，则实数 a＝________.
解析：由题意可知 a＋1＝4，即 a＝3.
答案：3
知识点三 集合的表示方法 (一)教材梳理填空 1．列举法
A 中元素的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：方程 x2－3x＋2＝0 的解为 1,2，方程 x2－5x＋6＝0 的解为 2,3
由于两方程有相同的解 2，在集合中作为 1 个元素，故 A 中有 3 个元
素，故选 C. 答案：C
知识点二 元素与集合的关系及常用数集 (一)教材梳理填空 1．元素与集合的关系
C．全体很大的自然数
D．平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点
[解析] 由于帅与很大没有一个确定的标准，因此 A、C 不能构成集
合；B 中由于 sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D 满足集合的三要素，因
此选 D.
[答案] D
[方法技巧] 判断元素能否构成集合，关键在于是否有一个明确的客观标准来衡 量这些对象，即看这些元素是否具有确定性，如果条件满足就可以断定 这些元素可以组成集合，否则就不能构成集合． [提醒] 注意集合元素的互异性，相同的元素在集合中只能出现一次．
是相等的． 4．集合的分类：根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．
当集合中元素的个数有限时，称之为有限集； 当集合中元素的个数无限时，称之为无限集．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)立德中学今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合． ( )
(2)元素 1,2,3 和元素 3,2,1 组成的集合是相等的．
题型二 元素与集合的关系 元素与集合的关系解读
[学透用活]
唯一性
a∈A 与 a∉A 取决于 a 是不是集合 A 中的元素， 只有属于和不属于两种关系
方向性
符号“∈”“∉”具有方向性，左边是元素，右 边是集合
[典例 2] (1)满足“a∈A 且 4－a∈A，a∈N 且 4－a∈N ”，有且只
有 2 个元素的集合 A 的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)用符号∈与∉填空．
①(－1)0______N *； 3＋2______Q ；43______Q .
()
②若 a2＝3，则 a______R ，若 a2＝－1，则 a______R .
[解析] (1)∵a∈A 且 4－a∈A，a∈N 且 4－a∈N ， 若 a＝0，则 4－a＝4，此时 A＝{0,4}满足要求； 若 a＝1，则 4－a＝3，此时 A＝{1,3}满足要求； 若 a＝2，则 4－a＝2，此时 A 中只有一个元素 2，不满足要求． 故有且只有 2 个元素的集合 A 有 2 个，故选 C. (2)①(－1)0＝1∈N *， 3＋2 是无理数，故 3＋2∉Q ，43是无限循环小 数，是有理数，故43∈Q . ②平方等于 3 的数是± 3，是实数，平方等于－1 的实数不存在，所 以 a2＝3 时，a∈R ，a2＝－1 时，a∉R . [答案] (1)C (2)①∈ ∉ ∈ ②∈ ∉
[解] (1)因为 3x＋2＞2x＋1，所以 x＞－1.故可用描述法表示为{x|x
＞－1}．
(2)解方程组23xx－ ＋32yy＝ ＝18，4， 得xy＝＝－4，2. 故解集可用描述法表示为x，yyx＝＝－4，2
，也可用列举法表示为{(4，－2)}．
(3)小于 13 的既是奇数又是素数的自然数有 4 个，分别为 3,5,7,11.故
第一章 集合与常用逻辑用语
1．1 集合的概念
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系. 2.掌握常用的数集及其记法，掌握集合的两种表示方法. 3.通过本节内容的学习，学生能选择不同的语言来描述不同,
的具体问题，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养.
知识点一 元素与集合
(一)教材梳理填空
性 一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体
集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看 广泛
到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一 性
些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素
[典例 1] 下列对象能构成集合的是
()
A．高一年级长得帅的学生
B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1
2．由实数 x，－x|x|， x2，( x2)2，－ x3组成的集合中最多含有________ 个元素． 解析：由题可知 x≥0，所以 x，－x|x|， x2，( x2)2，－ x3可分别化 为 x，－x2，x，x2，－x x，故由实数 x，－x|x|， x2，( x2)2，－ x3 组成的集合中最多含有 4 个元素． 答案：4