2020年广东省茂名市高一(下)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.数列，，，，…的第10项是（ ）A. B. C. D.2.不等式≤0的解集为（ ）A. {x|-1≤x＜1}B. {x|-1＜x≤1}C. {x|-1≤x≤1}D. {x|-1＜x＜1}3.在等差数列{a n}中，已知a5=90，则a2+a8=（ ）A. 90B. 270C. 180D. 3604.等比数列{a n}的各n项都是正数，且a5•a7=16，则a6等于（ ）A. 4B. 8C. 16D. 325.设数列{a n}的前n项和S n=n2，则a8的值为（ ）A. 15B. 16C. 49D. 646.若a＞b，则下列正确的是( )．A. a2＞b2B. ac＞bcC. ac2＞bc2D. a－c＞b-c7.在△ABC中，A=135°，C=30°，c=20，则边a的长为（ ）A. 10B. 20C. 20D.8.在△ABC中，A=60°，AB=1，AC=2，则S△ABC的值为（ ）A. B. C. D.29.sin20°cos10°-cos160°sin10°=（ ）A. B. C. D.10.下列各式中，值为的是（ ）A. sin15°cos15°B.C. D.11.数列，…的前n项和S n为（ ）A. B. C. D.12.在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是（ ）A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C. 此人第三天走的路程占全程的D. 此人后三天共走了42里路二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.解不等式x2-5x+6＞0的解集为______ ．14.若tan（α-）=．则tanα=______．15.设a，b为正数，且a+b=1，则的最小值是______．16.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c且a=6，4sin B=5sin C，有以下四个命题：①△ABC的面积的最大值为40；②满足条件的△ABC不可能是直角三角形；③当A=2C时，△ABC的周长为15；④当A=2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为．其中正确命题有______（填写出所有正确命题的番号）．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知tanα=-，cosβ=，，．（1）求tanβ的值；（2）求tan（α+β）的值，并求出α+β的值．18.在等差数列{a n}中，a1=1，a3=-3（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=-35，求k的值．19.等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．20.已知函数f（x）=（sin x+cos x）2+2cos2x．（1）求函数y=f（x）周期及其单调递增区间；（2）当时，求y=f（x）的最大值和最小值．21.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和的值．22.已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（1）求证：数列{-1}为等比数列；（2）记S n=++…+，若S n＜100，求最大的正整数n．（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且a m-1，a s-1，a n-1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】由题意可得其通项公式a n=．即可得出．本题考查数列的概念与表示，考查数列的通项公式，属于基础题．【解答】解：由数列，，，，…可得其通项公式a n=．∴=．故选：C．2.【答案】A【解析】解：由不等式≤0，可得，求得-1≤x＜1，故不等式的解集为{x|-1≤x＜1 }，故选：A．把要求的分式不等式化为与之等价的不等式组，解一元二次不等式求出它的解集．本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a5=90，∴a2+a8=2a5=180．故选：C．利用等差数列的通项公式直接求解．本题考查等差数列的两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：等比数列{a n}的各n项都是正数，且a5•a7=16=a6•a6，则a6=4，故选：A．由题意利用等比数列的性质，求出a6的值．本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：a8=S8-S7=64-49=15，故选：A．直接根据a n=S n-S n-1（n≥2）即可得出结论．本题考查数列的基本性质，解题时要注意公式的熟练掌握．6.【答案】D【解析】解：A选项不正确，因为若a=0，b=-1，则不成立；B选项不正确，若c=0时就不成立；C选项不正确，同B，c=0时就不成立；D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．故选：D．由不等式的运算性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，结合特值法排除错误选项．本题考查不等关系与不等式，求解本题的关键是熟练掌握不等式的运算性质，能够根据这些运算性质作出正确判断．7.【答案】B【解析】解：∵A=135°，C=30°，c=20，∴由正弦定理可得：a===20．故选：B．由已知利用正弦定理即可计算得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：S△ABC=•AB•AC•sin A=×1×2×=，故选B．直接用三角形面积公式求得答案．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．9.【答案】D【解析】解：sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．10.【答案】C【解析】解：对于A选项，sin15°×cos15°=sin30°=，不正确；对于B选项，cos2-sin2=cos=，不正确；对于C选项，=×tan45°=，正确；对于D选项，=≠，不正确．综上知C选项正确．故选：C．利用公式对四个选项进行化简求值，所得的结果是的选项即为正确选项，A选项可用正弦的2倍角公式化简，B选项可用余弦的2倍角公式化简，C选项可用正切的2倍角公式化简，D选项中是特殊角，计算即可得解．本题考查三角函数的化简求值，解题的关键是熟练掌握三角函数的二倍角公式，及特殊角的函数值，由此对三角函数进行化简．本题涉及公式较多，知识性强，对基本公式要熟练掌握．11.【答案】B【解析】解：∵∴===故选B由，利用裂项求和即可求解本题主要考查了数列求和的裂项求和方法的应用，解题中要注意右面的系数是解题中容易漏掉的．12.【答案】C【解析】解：记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴a2=a1q=192×=96，此人第一天走的路程比后五天走的路程多192-（378-192）=6，a3=a1q2=192×=48，=＞前3天走的路程为192+96+48=336，则后3天走的路程为378-336=42，故选：C．由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．本题考查等比数列的通项公式的运用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于中档题13.【答案】{x|x＜2或x＞3}【解析】解：因为x2-5x+6＞0=（x-2）（x-3）＞0，解得x＜2或x＞3，∴不等式x2-5x+6＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}故答案为：{x|x＜2或x＞3}先将不等式左边进行因式分解，然后根据开口向上大于0的解集为两根之外，从而求出所求．本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题.直接根据两角差的正切公式展开得到关于tanα的方程，求解即可.【解答】解：∵tan（α-）===∴6tanα-6=tanα+1，解得tanα=，故答案为．15.【答案】【解析】解：∵a，b为正数，且a+b=1，∴=（）（a+b）=+1++2=，当且仅当，即b=a时取等号．故答案为．因为a+b=1，所以可变形为（）（a+b），展开后即可利用均值不等式求解．本题考查了利用均值不等式求最值，灵活运用了“1”的代换，是高考考查的重点内容．16.【答案】①③④【解析】解：对于①，以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，可得B（-3，0），C（3，0），4sin B=5sin C，可得4b=5c，设A（m，n），可得4=5，平方可得16（m2+n2-6m+9）=25（m2+n2+6m+9），即有m2+n2+m+9=0，化为（m+）2+n2=（）2，则A的轨迹为以（-，0），半径为的圆，可得△ABC的面积的最大值为×6×=40，故①对；对于②，a=6，4sin B=5sin C即4b=5c，设b=5t，c=4t，由36+16t2=25t2，可得t=，满足条件的△ABC可能是直角三角形，故②错误；对于③，a=6，4sin B=5sin C，A=2C，可得B=π-3C，由正弦定理可得4b=5c，可得b=，由=，可得==，由sin C≠0，可得：4cos2C-1=，解得：cos C=，或-（舍去），sin C==，可得sin A=2sin C cosC=2××=，=，可得：c=4，b=5，则a+b+c=15，故③对；对于④，a=6，4sin B=5sin C，A=2C，可得B=π-3C，由正弦定理可得4b=5c，可得b=，由=，可得==，由sin C≠0，可得：4cos2C-1=，解得：cos C=，或-（舍去），sin C==，可得：sin A=2sin C cosC=2××=，=，可得：c=4，b=5，S△ABC=bc sin A=×5×4×=．设△ABC的内切圆半径为R，则R===，S△ABO=cR=×4×=．故④对．故答案为：①③④．对于①，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于②，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于③，运用正弦定理可得4b=5c，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于④，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积．本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题．17.【答案】解：（1）因为cosβ=，，所以sinβ=，tanβ=2；（2）因为tan（α+β）===1，因为，．∴，∴α+β=．【解析】（1）由已知结合同角基本关系即可求解；（2）由已知结合两角和的正切公式即可求解．本题主要考查了同角平方关系及两角和的正切公式在求解三角函数值中的应用，属于基础试题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}中，a1=1，a3=-3，∴公差d=（-3-1）=-2，∴a n=1+（n-1）×（-2）=3-2n；（Ⅱ）S k==-35，∴k=7．【解析】（Ⅰ）求出数列的公差，即可求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）利用等差数列的求和公式，结合数列{a n}的前k项和S k=-35，求k的值．本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．19.【答案】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n-1，当q=-2时，a n=（-2）n-1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n-1，或a n=（-2）n-1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=-2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n-1，由S m=63，得S m=2m-1=63，m∈N，解得m=6．【解析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{a n}的通项公式．（2）当a1=1，q=-2时，S n=，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n=2n-1，由此能求出m．本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.【答案】解：（1）因为f（x）=（sin x+cos x）2+2cos2x．=1+2sin x cosx+cos2x+1，=sin2x+cos2x+2=，T=π，令，可得，-，k∈Z，故函数的单调递增区间[-]，k∈Z，（2）由可得，所以-≤sin（2x+）≤1，故f（x）．【解析】（1）先结合同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正）弦函数的单调性及周期公式即可求解；（2）结合正弦函数的性质即可求解即可．本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档试题．21.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A=a sin B，又b sin A=a cos（B-），∴a sin B=a cos（B-），即sin B=cos（B-）=cos B cos+sin B sin=cos B+，∴tan B=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由b sin A=a cos（B-），得sin A=，∵a＜c，∴cos A=，∴sin2A=2sin A cosA=，cos2A=2cos2A-1=，∴sin（2A-B）=sin2A cos B-cos2A sin B==．【解析】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查正余弦定理的运用，是中档题．（Ⅰ）由正弦定理得b sin A=a sin B，与b sin A=a cos（B-）．由此能求出B．（Ⅱ）由余弦定理得b=，由b sin A=a cos（B-），得sin A=，cos A=，由此能求出sin（2A-B）．22.【答案】（1）证明：∵a n+1=，a1=≠0，∴a n≠0，取倒得，∴=，∵，∴，∴，第11页，共11页∴数列为等比数列．（2）解：由（1）知，∴，=，若S n ＜100，则，∴n max =99．（3）解：假设存在，则m +n =2s ，（a m -1）•（a n -1）=（a s -1）2，由（1）得，∴．化简得：3m +3n =2•3s ，∵，当且仅当m =n 时等号成立．又m ，n ，s 互不相等，∴不存在．【解析】本题考查了等比数列的判定、前n 项和的求法以及不等式的解法，属于较难题．（1）根据a n +1和a n 关系式进行化简即可证明；（2）先由（1）得出数列{}的通项公式，然后根据分组求和法求出S n ，解不等式S n ＜100即可；（3）假设存在正整数m ，s ，n ，根据等比数列性质得出（a m -1）•（a n -1）=（a s -1）2并化简，再根据a +b ≥2，确定是否存在．。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
广东省茂名市高一下学期期中数学试卷(理科)
广东省茂名市高一下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单项选择 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·阳高月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·丹东月考) 下列四组函数中，表示同一函数的是（）．A . 与B . 与C . 与D . 与3. （2分） (2016高三上·西安期中) 已知sin（x+ ）= ，则sin2x的值为（）A .B . ﹣C .D . ﹣4. （2分）为调查中山市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间x（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（）A . 3800B . 6200C . 0.62D . 0.385. （2分）一个扇形的弧长与面积都是3，这个扇形中心角的弧度数是（）A .B . 1C .D . 26. （2分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是（）A .B .C . -D . -7. （2分） (2018高一下·汕头期末) 在边长为2的菱形中, 则在方向上的投影为（）A .B .C . 1D . 28. （2分） (2020高一下·忻州期中) 已知，，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一上·绍兴期中) 如图，当参数λ=λ1 ，λ2时，连续函数y= （x≥0）的图象分别对应曲线C1和C2 ，则（）A . 0＜λ2＜λ1B . λ2＜λ1＜0C . λ1＜λ2＜0D . 0＜λ1＜λ210. （2分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A . y=sinB . y=sin（x-)C . y=sin(x-)D . y-sin(2x-)11. （2分） (2020高二上·六安开学考) 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，均有，则（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高三上·湖北期中) sinθ+cosθ=﹣，θ是第二象限的角，则tanθ（）A . ﹣3B . ﹣2C . ﹣D . ﹣二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·天津期末) 某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取________人．14. （1分） (2020高一下·吉林期中) 在平行四边形中，，，，P是上一点，最小值是________．15. （1分） (2019高一上·大庆月考) 设函数则的值为________．16. （1分） (2019高二下·哈尔滨期末) 给出下列4个命题：①若函数在上有零点，则一定有；②函数既不是奇函数又不是偶函数；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④若函数满足条件，则的最小值为 .其中正确命题的序号是：________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）设关于x的不等式x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N．（1）当a=1时，求集合M；（2）若a＞﹣1时，M⊆N，求实数a的取值范围．18. （10分） (2020高一下·内蒙古月考) 已知平面直角坐标系中有三点、、，其中O为坐标原点.（1）求与同向的单位向量的坐标；（2）若点P是线段（包括端点）上的动点，求的取值范围.19. （10分） (2017高二上·马山月考) 已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间.20. （10分） (2016高一下·内江期末) 已知向量 =（sinA，cosA）， =（cosB，sinB）， =sin2C 且A、B、C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且 =18，求c的值．．21. （10分） (2019高一下·吉林月考) 已知函数，且当时，的最小值为2，（1）求的值，并求的单调递增区间.（2）若将函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和.22. （15分） (2019高一上·漯河月考) 已知定义域为R的函数是奇函数。
2022—2023学年度广东省茂名市第一中学高一第二学期期中考试数学试题及答案
茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设z ＝1+2i ，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．＝（）A ．B ．C ．D ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,3,3===b a A π，则c 等于（）A ．2B ．C ．D ．4．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图OA ′B ′C ′的面积为2，则原梯形的面积为（）A ．2B ．22C ．24D ．45.为了得到函数ππsin 3cos cos3sin 33y x x =+的图象，可以将函数sin 3y x =图象()A.向左平移π个单位B.向左平移π9个单位C.向右平移π个单位D.向右平移π9个单位6.在空间中，下列命题正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行7.在ABC 中，已知2cos c a B =⋅，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形8.已知中，，，点D 是AC 的中点，M 是边BC 上一点，的最小值是()A. B. C. D.二､多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
）9.复数i z 2321+=，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的实部是21 B.z 的共轭复数为3122i +C.z 的实部与虚部之和为2 D.z 在复平面内的对应点位于第一象限10.已知平面向量()1,0a =，(1,b = ，则下列说法正确的是（）A.||16a b +=B.()2a b a +⋅= C.33,cos >=<→→b a D.向量+a b在a 上的投影向量为2a11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的有（）A ．若sin A ＞sinB ，则A ＞BB ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形C ．若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，则△ABC 为直角三角形D ．若△ABC 为锐角三角形，则sin A ＜cos B 12.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点O ，点E 是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（）A.直三棱柱的体积是1B.直三棱柱的外接球表面积是C.三棱锥的体积与点E 的位置有关D.的最小值为三、填空题(每小题5分，共20分)13．设复数z 满足其中i 是虚数单位，则__________.14．圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为．15．非零向量→a ＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），若→a 与共线，则tan （θ﹣4π）＝．16南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即])2([41222222b a c a c S -+-=（其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在斜△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若)cos 3(cos C B c a +=，且B C a sin 3sin =．则此△ABC 面积的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分)17．（10分）已知向量→a ＝（1，1），→b ＝（2，﹣3）．（1）若→c ＝2→a +3→b ，求→c 的坐标；（2）若→a λ﹣2→b 与→a 垂直，求λ的值．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bc a c b -=-22）（．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，sinC ＝2sinB ，求△ABC 的面积．19．（12分）（1）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的体积；（2）如图（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积．20（12分）已知函数x x x x f 4cos 212sin )1cos 2()(2+-=．（1）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）若α∈（0，π），且22)84(=-παf ，求α的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，E 是线段PD 上的点，且，PA ＝PD ＝AD ＝3，32CE =，BC ∥AD ，∠ADC ＝45°．（1）求证：CE ∥平面PAB ；（2）若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN ∥平面PAB ？若存在，求出MN 的最小值；若不存在，说明理由．22.（12分）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB 的半径为20米，圆心角为π4.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AO C.现计划在弧AB 上选取一点M ，作MN 平行OA 交OB 于点N ，以MN 为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ，NP 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO OC =且2COA AOM ∠=∠的三角形观赏台AOC ，记)46(ππ<≤=∠x x AOM .（1）当π6AOM ∠=时,过点M 作OA 的垂线，交OA 于点E ，过点N 作OA 的垂线，交OA 于点F,求ME ,OF 及矩形观赏台MNPQ 的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷答案1【答案】D ．解：∵z ＝1+2i ，∴z 的共轭复数＝1﹣2i ，对应的点为（1，﹣2），故在第四象限，2【答案】D解：根据向量的线性运算法则，可得．3【答案】A解：，则由余弦定理可得，3＝1+c 2﹣2c ×1×cos＝1+c 2﹣c ，∴c 2﹣c ﹣2＝0，解得c ＝2或﹣1（舍）．4【答案】C解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a ，下底为b ，高为h ，则直观图中等腰梯形的高为h ′＝h sin45°；∵等腰梯形的体积为（a +b ）h ′＝（a +b ）•h sin45°＝2，∴（a +b ）•h ＝＝4∴该梯形的面积为4．5【答案】B【详解】依题意，ππππsin 3coscos3sin sin(3)sin 3(3339y x x x x =+=+=+，所以函数sin 3y x =图象向左平移π9个单位可得πsin 3()9y x =+的图象.6【答案】C解：对于A ，不共线的三点确定一个平面，故A 错误；对于B ，l ∥α，则l 与平面α内的直线平行或异面，故B 错误；对于C ，由平面基本性质及其推论得：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故C 正确；对于D ，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在这个平面内，故D 错误．7【答案】B解：已知2c a cosB ＝，则：2sinC sinAcosB ＝，整理得：()2sin A B sinAcosB +＝，则：()0sin A B -＝，所以：A B ＝.8.【答案】B解：根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，，是边BC上一点，设，则，，，当时，取得最小值，9【答案】ACD解:由题得A 正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,22，位于第一象限，则D 正确.10【答案】BD解：((11,02,2a b +=++= ，所以4a b +==，故A错误；()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=，故B 正确；1313,cos =⋅>=<→→→→→→ba b a b a ，向量+a b 在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=⨯=，故D 正确．11【答案】AC【解答】解：对于A ，若sin A ＞sin B 成立，由正弦定理可得a ＞b ，所以A ＞B ，故正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，得到2A ＝2B 或2A +2B ＝π，可得A ＝B 或A +B ＝，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；对C ，若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，可得若（1﹣sin 2A ）+（1﹣sin 2B ）﹣（1﹣sin 2C ）＝1，整理得：sin 2A +sin 2B ＝sin 2C ，可得a 2+b 2＝c 2．可得△ABC 为直角三角形，故正确；对于D ，若△ABC 是锐角三角形，则A +B +C ＝π，A +B ＞，A ＞﹣B ，A 、B 、C 均是锐角，由正弦函数在（0，）递增，所以：sin A ＞sin （﹣B ）＝cos B ，故错误．12【答案】AD解：在直三棱柱中，，，所以其体积V=Sh=121121=⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得，其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，所以其外接球半径为，所以其外接球的表面积为，故B 错误；由平面，且点E 是侧棱上的一个动点，，三棱锥的高h 为定值，，，故三棱锥的体积为定值，故C 错误；将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内，此时，连接与相交于点E ，此时最小，即，故D 正确．13【答案】解：，故14【答案】解：如图，圆锥的母线，圆锥的侧面展开图为扇形，故侧面积为，．15【答案】【解答】解：∵向量＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），且与共线，∴＝2，即tan θ＝2，则tan（θ﹣）＝＝＝．16【答案】解：∵，∴sin A＝sin C（cos B+cos C），即sin C cos B+sin C cos C＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，即sin C cos C＝sin B cos C，又C∈（0，π）且C≠，∴sin B＝sin C，∴b＝c，又．∴ac＝b，解得a＝3，＝＝＝，当c＝3时，S max＝．17解：（1）∵＝（1，1），＝（2，﹣3），∴＝2+3＝2（1，1）+3（2，﹣3）＝（8，﹣7）； 4分（2）λ﹣2＝λ（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（λ﹣4，λ+6）， 6分∵λ﹣2与垂直，∴1×（λ﹣4）+1×（λ+6）＝0， 9分即λ＝﹣1． 10分18解：（1）因为（b﹣c）2＝a2﹣bc，可得b2+c2﹣a2＝bc， 2分所以cos A＝＝， 3分又A∈（0，π），所以A＝． 5分（2）因为sin C＝2sin B，由正弦定理可得c＝2b， 6分又a＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得4＝b2+c2﹣bc， 8分解得b＝，c＝， 10分所以S△ABC＝bc sin A＝××＝ 12分19【解答】解：（1）正四棱锥的底面边长是a＝6，侧棱长为l＝5，所以正四棱锥的高为h＝＝， 2分所以正四棱锥的体积为V＝Sh＝×62×＝12； 5分（2）图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体，是圆台挖去一个半球，圆台的体积为V圆台＝π（r2+rr′+r′2）h＝×（22+2×5+52）×4＝52π， 8分半球的体积为V半球＝πr3＝×23＝， 10分所以该几何体的体积为V＝V圆台﹣V半球＝52π﹣＝3140（cm3）． 12分20【答案】（1）；；（2）．【解答】解：（1）∵f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x+cos4x＝cos2x sin2x+cos4x 1分＝（sin4x+cos4x）＝sin（4x+）， 3分∴f（x）的最小正周期T＝， 4分令，可得，∴f（x）的单调递减区间为； 6分（2）∵f（）＝，∴， 8分∵α∈（0，π），，∴， 10分∴ 12分21【解答】（1）证明：如图1，在PA上取点F使，连接EF，BF，如图示：∵，∴EF∥AD且， 1分又BC∥AD，且， 2分∴EF∥AD，EF＝AD，∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE∥BF， 3分而CE⊄平面PAB， 4分BF⊂平面PAB，则CE∥平面PAB． 5分（2）解：线段AD上存在点N且，使得MN∥平面PAB；理由如下：如图2，在AD上取点N使，连接CN，EN，如图示：∵，，∴EN∥PA， 6分∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EN∥平面PAB； 7分由（1）知CE∥平面PAB，又CE∩EN＝E，∴平面CEN∥平面PAB，又M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，∴MN∥平面PAB， 8分∴线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB．∵BC∥AN，BC＝AN，∴ND＝2， 9分在△CND中，∠ADC＝45°，，由余弦定理知CN＝2． 10分在△CEN中，CN＝NE＝2，，∴由余弦定理知∠CNE＝120°，∴MN 的最小值为， 11分∴线段AD 上存在点N ，使MN ∥平面PAB ，且MN 的最小值为1． 12分22.【详解】（1）当π6AOM ∠=时，则π1sin 201062ME OM =⋅=⨯=. 2分πcos 2062OE OM =⋅=⨯=. 3分过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，NF ME =.∵π4AOB ∠=，10OF NF ==，∴10MN OE OF =-=-. 4分因为5NP =.矩形MNPQ 的面积())510501S MN NP =⋅=⨯=-平方米.所以矩形观赏台MNPQ 的面积)501平方米. 5分（2）由题意可知，AOM x ∠=，π4AOB ∠=，π4MON x ∠=-，3π4MNO ∠=，在OMN 中，由sin sin MN OM MON MNO =∠∠，得()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-. 6分矩形MNPQ 的面积()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-.7分观赏台AOC 的面积211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=.整个观赏台面积()12100cos sin 200sin 2S S S x x x=+=-+. 8分设πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，46(ππ<≤x ，∴.2130-≤<t 9分()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =-=+-=-.∴2sin 21x t =-. 10分∴()100cos sin 200sin 2S x x x =-+()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭.当]213,0(41-∈=t 时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方 11分∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米. 12分。
广东省茂名市高一下学期期中数学试卷
广东省茂名市高一下学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020 高一上·嘉兴期末) 已知正方形的边长为 1,则=（ ）A.2 B.3C.D. 2. （2 分） (2018 高一上·华安期末) 下列命题正确的是（ ） A . 与 , 与共 线，则 与 也共线 B . 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C . 向量 与 不共线，则 与 都是非零向量 D . 有相同起点的两个非零向量不平行 3. （2 分） (2017 高三上·宜宾期中) △ABC 中，AC=4，AB=2，若点 G 为△ABC 的重心，则 A.1 B.2 C.3 D.4 4. （2 分） 已知在等差数列{an}中，a1+a3=10，a2+a6=14，则该数列的公差等于（ ）=（ ）A. B.1第 1 页 共 21 页C.2D.﹣5. （2 分） (2018 高三上·通榆期中) 已知点 A(－1,0)，B(1,3)，向量 实数 k 的值为（ ）＝(2k－1,2)，若⊥ ，则A . －2B . －1C.1D.26. （2 分） (2015 高一上·洛阳期末) 若关于 m、n 的二元方程组 则实数 k 的取值范围是（ ）有两组不同的实数解，A . （0，）B . （ ，+∞）C.（ ， ]D.（ ， ]7. （2 分） (2019 高一下·丽水期中) 已知等比数列 满足，则公比（）A. B.2 C. D.1 8. （2 分） 等差数列{an}的公差 d 不为 0，Sn 是其前 n 项和，给出下列命题：第 2 页 共 21 页①若 d<0，且 S3=S8 ， 则 S5 和 S6 都是{Sn}中的最大项；②给定 n，对于一切， 都有；③若 d>0，则{Sn}中一定有最小的项；④存在，使和同号。
广东高一高中数学期中考试带答案解析
广东高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.化为弧度制为（）A．B．C．D．2.已知角的终边经过点P(4，－3)，则的值等于( )A．B．C．D．3.函数的定义域为（）A．R B．[1，10]C．D．（1，10）4.函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数5.已知向量，向量，且与的夹角为，则在方向上的投影是（）A．B．C．D．6.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位7.设，则（）A．B．C．D．8.在中，有命题①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角上述命题正确的是（）A①② B①④ C②③ D②③④9.设是定义域为，最小正周期为的函数。
若，则等于（）A．1B．C．0D．10.数列的通项公式，其前项和为，则等于( )A．1006B．2012C．503D．0二、填空题1.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取 _ ；2.已知，则________；3.已知，,且,则；4.函数在区间上的最小值为________；5.如图，在中，，，则= ，= ；三、解答题1.如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量。
若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标。
若，则=2.已知（1）若的夹角为45°，求；（2）若，求与的夹角．3.已知．（1）化简；（2）若，且是第二象限角，求的值．4.设函数（1）求解析式；（2）求函数的单调递减区间；（3）在给出的直角坐标系中用“五点作图法”画出函数在上的图像．（要求列表、描点、连线）5.已知等差数列首项，公差为，且数列是公比为4的等比数列，（1）求；（2）求数列的通项公式及前项和；（3）求数列的前项和．6.已知函数．（1）求函数的零点；（2）若方程在上有解，求实数的取值范围．7.已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)令，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．广东高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.化为弧度制为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为180度是π弧度，那么可知故答案为A.【考点】弧度制与角度制的互化点评：本试题考查了弧度制的概念，以及弧度和角度的互化，同时考查了运算能力，属于基础题。
广东省茂名市电白区2020-2021学年高一下学期期中数学试题
广东省茂名市电白区2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设32i z =--，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．11cos 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12B ．12-C D ． 3．若(2,8)AC =，(3,4)AB =-，则BC =（ ） A ．(4,5)--B ．(5,4)--C ．(4,5)D ．(5,4)4．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是 A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC -=5．已知a →，b →均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b →→+等于（ ）A 7B ．C 13D ．46．函数12sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值和最大值分别是（ ）A ．1-，3B ．1-，1C ．0，3D ．0，17．已知向量a 、b 是不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．148．设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π2二、多选题9．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数10．在ABC 中，a =10c =，30A =︒，则角B 的值可以是（ ） A ．105ºB ．15ºC ．45ºD ．135º11．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ ）A ．AF 与CN 平行B ．BM 与AN 是异面直线C ．AF 与BM 是异面直线D ．BN 与DE 是异面直线12．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即S =ABC 满足sin :sin :sin A B C =，且ABC的面积ABC S =△ ）A ．ABC 周长为10+B ．ABC 三个内角A ，C ，B 满足2A+C =BC ．ABCD ．ABC 中线CD 的长为三、填空题13．若2i i 2i x y -=+，x y ∈R ，，则复数i x y +=________．14．底面直径和高都是5cm 的圆柱的侧面面积为________2cm ．15．如图，某海轮以60nmile/h 的速度航行，若海轮在点A 测得海面上油井P 在南偏东60︒，向北航行20min 后到达点B ，测得油井P 在南偏东30，海轮改为沿北偏东60︒的航向再行驶40min 到达点C ，则P ，C 间的距离是________nmile ．四、双空题16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点（含边界），若1//A P 平面AEF ，点P 的轨迹长度为________，三棱锥P AEF -的体积为________．五、解答题17．已知已知i 为虚数单位，复数3i()z b b =+∈R ，且(1)3i z +⋅为纯虚数． （1）求复数z 及z ； （2）若2izω=+，求复数ω的模． 18．已知tan 2x =． （1）求cos sin cos sin x xx x+-的值．（2）求2221sin cos 34x x +的值．19．在ABC 中，3a =，b =2B A =．（1）求cos A 的值； （2）求c 的值．20．ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.21．如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==，BC ，60BAC ∠=︒，D 是PA 的中点，E 是CD 的中点，点F 在棱PB 上，3PF FB =．（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）求二面角B CD A --的正弦值．22．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．参考答案1．C 【分析】根据复数的几何意义即可判断. 【详解】解：由题意知：32i z =--， 复数在复平面内对应的点为()3,2--， 故在复平面内z 对应的点位于第三象限. 故选：C ． 2．C 【分析】根据诱导公式即可求解. 【详解】解：1111cos cos 2cos 666ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C. 3．D 【分析】利用向量减法的坐标运算即可求解. 【详解】由(2,8)AC =，(3,4)AB =-，()()()2,83,45,4BC AC AB =-=--=.故选：D 4．A 【详解】 ∵3BC CD =∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −13AB . 故选A.5．C 【分析】根据向量模长的计算公式代入求解即可. 【详解】3a b →→+故选：C 6．A 【分析】由1sin 12x π⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭，可得答案. 【详解】因为1sin 12x π⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭所以当sin 12x π⎛⎫=-⎪⎝⎭时，函数12sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭有最大值3当sin 12x π⎛⎫= ⎪⎝⎭时，函数12sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭有最小值1-故选：A 7．C 【分析】设()2a b k a b λ+=+，可得出关于实数λ、k 的方程组，即可解得实数λ的值. 【详解】因为a b λ+与2a b +平行，则存在k ∈R ，使得()2a b k a b λ+=+， 因为向量a 、b 不平行，则21k k λ=⎧⎨=⎩，解得12λ=.故选：C. 8．C 【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭ 又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 9．CD 【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【详解】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z =，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确； 11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选：CD 10．AB 【分析】由已知结合正弦定理可求C ，再结合三角形的内角和定理，即可得答案．【详解】52a =10c =，30A =︒，由正弦定理可得，sin sin a c A C =10sin 2C =，∴sin C a c <，A C ∴<，则45C =︒或135C =︒，则角105B =︒或15B =︒． 故选：AB ． 【点睛】本题考查正弦定理在求解三角形中的应用、三角形解的个数的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力． 11．CD 【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征判定A 与B ；由异面直线的定义判断C 与D ． 【详解】解：把正方体的平面展开图还原原正方体如图，由正方体的结构特征可知，AF 与CN 异面垂直，故A 错误； BM 与AN 平行，故B 错误；BM ⊂平面BCMF ，F ∈平面BCMF ，A ∉平面BCMF ，F BM ∉，由异面直线定义可得，AF 与BM 是异面直线，故C 正确；DE ⊂平面ADNE ，N ∈平面ADNE ，B ∉平面ADNE ，N DE ∉，由异面直线定义可得，BN 与DE 是异面直线，故D 正确． 故选：CD ． 【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．本题解题的关键在于将正方体的展开图还原为立体图，进而求解. 12．AC 【分析】利用正弦定理角化边可得三边比例关系，代入三角形面积公式可求得三边长，由此得到三角形周长，知A 正确；利用余弦定理求得3C π=，知B 正确；由正弦定理可求得外接圆直径长，知C 正确；由正弦定理先求出sin ,A 再得出cos A ，由余弦定理可得出中线CD 的长，知D 错误. 【详解】由正弦定理可得：::a b c =设2a m =，3b m =，c =()0m >2S ∴===2m = 所以4a =，6b =，c =ABC ∴的周长为4610a b c ++=+++A 正确；由余弦定理得：2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯ 由0C π<< ，得 3C π=又A B C π++= 23A B π∴+=，即2C A B =+ ，故B 不正确；由正弦定理知外接圆直径为2sin sin 3c R C ===C 正确；由正弦定理可得sin sin c aC A ==，可得sin A = 又a c b <<，则在ABC 中角A 最小，所以角A 为锐角所以cos A ==在ACD △中，2222cos 3672619CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅=+-⨯=所以CD =D 错误.故选：AC 13．2i + 【分析】先将条件化简为1i 2i x y +=+，再根据复数相等求出,x y 的值，得出答案. 【详解】由 2i i 2i x y -=+可得1i 2i x y +=+，则12y x =⎧⎨=⎩ 所以i 2i x y +=+ 故答案为：2i + 14．25π 【分析】利用圆柱的侧面展开面为矩形即可求解. 【详解】 底面半径为52cm ，则底面周长为5252ππ⋅=cm ， 圆柱的侧面积为5525ππ⨯=2cm . 故答案为：25π15．【分析】根据条件先由正弦定理求出BP 的长，得出90CBP ∠=︒,求出BC 的长，由勾股定理可得答案. 【详解】海轮向北航行20min 后到达点B ，则160203AB =⨯=nmile 由题意，在ABP △中，120,PAB ∠=︒ 又30,ABP ∠=︒则30APB ∠=︒, 由正弦定理可得：sin120sin30BP AB =︒︒,即20sin1201sin302AB BP =⨯︒==︒在BPC △中，260403BC =⨯= nmile ，180603090CBP ∠=︒-︒-︒=︒所以PC ===nmile故答案为：16112 【分析】分别取棱1BB ，11B C 的中点M ，N ，连接1A M ，1A N ，MN ，1BC ，NE ，推导出//MN 平面AEF ，1//A N 平面AEF ，得到平面1//A MN 平面AEF ，由此得以点P 的轨迹是线段MN ， 借助等积变换可得三棱锥P AEF -的体积.【详解】解：如图，分别取棱1BB ，11B C 的中点M ，N ，连接1A M ，1A N ，MN ，1BC ，NE ， M ，N ，E ，F 分别是其所在棱的中点，1//MN BC ∴，1//EF BC ，//MN EF ∴，MN ⊂/平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，//MN ∴平面AEF ，1//AA NE ，1AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形，1//A N AE ∴，1A N ⊂/平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ， 1A N MN N =，∴平面1//A MN 平面AEF ，P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，∴点P 必在线段MN 上，∴点P的轨迹长度为112MN BC =．∵//MN 平面AEF ， ∴1111133412P AEF N AEF A NE NE F F V V V S AB ---===⋅=⨯⨯= .112. 17．（1）3i +，3i -；（2【分析】（1）先求出(1)3i z +⋅，结合(1)3i z +⋅为纯虚数可得复数z ，然后可求z ；（2）把复数z 代入，结合模长公式可求.【详解】（1）由题可得13i 13i (3i)339()()()()i z b b b +⋅=++=-++，因为(1)3i z +⋅为纯虚数，所以330b -=且90b +≠，解得1b =，所以3i z =+，3i z =-．（2）由（1）可得3i (3i)(2i)7i 71i 2i 2i (2i)(2i)555z ω++--=====-+++-，所以71i |55|||ω-== 【点睛】本题主要考查复数的运算和模长的求解，熟记求解公式是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．（1）-3；（2）712. 【分析】（1）利用商数关系运算即可得解； （2）转化等式为222221sin cos 34sin cos x x x x++，再由商数关系即可得解.【详解】解：（1）cos sin 1tan 123cos sin 1tan 12x x x x x x +++===----． （2）222222222121sin cos tan 2173434sin cos 34sin cos tan 112x x x x x x x x +++===++． 19．（1（2）5c = 【分析】（1）由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得cos A 的值．（2）先由（1）求出sin A ，由2B A =进一步cos ,sin A A ,根据正弦的和角公式求出sin C ,由正弦定理可得答案.【详解】（1）由3a =，b =2B A = 根据正弦定理可得：sin sin a b A B =，即3sin A ==因为0A π<<,则sin 0A ≠所以6=，即cos A == （2）由（1）cos A =sin A ==所以221cos cos22cos 12133B A A ==-=⨯-=所以sin B = 所以()sin sin sin cos cos 13sin C A B A B A B +=+= 由正弦定理可得sin sin a c A C =，则3sin 5sin a C c A === 所以5c =20．（1）23π；（2）3+【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅， ()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=. 22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.21．（1）证明见详解；（2【分析】（1）过点F 作//FM PA 交AB 于点M ，取AC 的中点N ，连接,MN EN ，证明四边形MFEN 为平行四边形，得到//EF MN ，然后证明//EF 平面ABC .（2）过点B 作BH AC ⊥，垂足为H ，在直角DBC △中，过点B 作BO DC ⊥，垂足为O ，说明BOH ∠为所求二面角的平面角，通过求解三角形求解即可.【详解】（1）过点F 作//FM PA 交AB 于点M ，取AC 的中点N ，连接,MN EN ，点E 是CD 的中点，//EN AD ∴，12EN AD =， 又点D 是PA 的中点，E 是CD 的中点，点F 在棱PB 上，3PF FB =，12FM AD ∴=，//FM AD ， //FM EN ∴且FM EN =，所以四边形MFEN 为平行四边形，得到//EF MN ，EF ⊄平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，∴//EF 平面ABC .（2）过点B 作BH AC ⊥，垂足为H ，在直角DBC △中，过点B 作BO CD ⊥，垂足为O ，PA ⊥平面ABC ，BH ⊂平面ABC ，BH PA ∴⊥，BH AC ⊥，PA AC A =，,PA PC ⊂平面PAC ，则BH ⊥平面PAC ，CD ⊂平面PAC ，∴BH CD ⊥，BO CD ⊥，BO BH B =，,BO BH ⊂平面BOH ， CD 平面BOH ，OH ⊂平面BOH ，OH CD ∴⊥，则BOH ∠为所求二面角的平面角，由等面积法可得AB BC BH AC ⋅== BC ⊥平面PAB ，BD ⊂平面PAB ，BC BD ∴⊥，在Rt BCD中，BC =，BD ，CD由等面积法得BC BD BO CD ⋅==则sin BH BOH BO∠===， 所以二面角B CD A --22．（1）证明见解析；（2【分析】 （1）先求出线线平行，可得线线垂直，即可求线面垂直，最后可得面面垂直；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP =，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案．【详解】证明：（1）由题意知111////AA BB CC ， 又侧面11BB C C 是矩形且M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴，1BB BC ⊥，1//MN AA ∴，11MN B C ⊥，又底面是正三角形，AM BC ∴⊥，11AM B C ⊥，又MN AM M =，AM ⊂平面1A AMN ，MN ⊂平面1A AMN ，11B C ∴⊥平面1A AMN ，11B C ⊂平面11EB C F ，∴平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）连接NP ，因为//AO 平面11EB C F ，平面AONP ⋂平面11EB C F NP =，所以//AO NP ，根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA ⋂平面ABC AM =，面1A NMA ⋂平面1111A B C A N =，所以//ON AP ，故：四边形ONPA 是平行四边形．设ABC 边长是6m (0m >)，可得：ON AP =，6m NP AO AB ===，因为O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m ，所以16sin 603ON ︒=⨯⨯=，故：ON AP =．又//EF BC ，所以AP EP AM BM =3EP =，解得：EP m =，在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =，又1B Q EP =，1//B Q EP ，所以四边形1B QPE 是平行四边形，所以1//B E PQ ．由（1）11B C ⊥平面1A AMN ，故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角，在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQ ===，sinQN QPN PQ ∴∠==1B E 与平面1A AMN 【点睛】本题考查了空间位置关系，线面平行，线面垂直，面面垂直，线面角的计算，考查了运算能力和空间想象能力，属于中档题．。
广东省茂名市化州市2023-2024学年高一下学期期中学科素养测评数学试题
广东省茂名市化州市2023-2024学年高一下学期期中学科素养测评数学试题一、单选题1．已知集合{}N 3A x x =∈<，{}22B x x =-<<，则A B =I （ ）A ．{}23x x -<<B ．{}24x x -<<C ．{}0,1D ．{}0,1,22．若复数z 满足(1i)1z -=，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22i -D ．22i + 3．若2x >，则42y x x =+-的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．84．已知π2cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13BC ．D ．23- 5．设D 为ABC V 所在平面内一点，若3BC CD =u u u r u u u r ，则下列关系中正确的是（ ）A ．1433AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r B ．1344AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r C ．3144AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r 6．已知幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin ,cos ,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c << 7．化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部C 在同一水平面的A 、B 两点，在A 点测得树根部C 在西偏北30︒的方向上，沿正西方向步行20米到B 处，测得树根部C 在西偏北75︒的方向上，树梢D 的仰角为30︒，则树的高度是（ ）A ．B ．C 米D 8．设函数()22f x x mx n =++，()()22424g x x m x n m =+++++，其中x ∈R ，若对任意t ∈R及任意n ∈R ，f t 和()g t 中至少有一个为非负值，则实数m 的最大值是（ ）A．1 B C ．2 D二、多选题9．已知直线l m ,，平面,αβ，则下列说法错误的是（ ）A ．//,//m l l α，则//m αB ．//,//,,l m l m ββαα⊂⊂，则//αβC ．//,,l m l m αβ⊂⊂，则//αβD ．//,//,,,l m l m l m M ββαα⊂⊂=I ，则//αβ10．已知向量(a =r ，()cos ,sin b αα=r ，则下列结论正确的是（ ） A ．若a r 与b r 的夹角为π3，则3a b -=r rB ．若a b ⊥r r ，则tan αC ．若a b ∥r r ，则tan α=D ．若a r 与b r 方向相反，则b r 在a r 上的投影向量的坐标是1,2⎛- ⎝⎭11．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若PD P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面1ACB ，且PD =BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π三、填空题12．()130.50.2510.2562527--⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.13．定义运算：,,b a b a b a a b≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()33x x f x -=⊗的值域为． 14．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积S =，这里1()2p a b c =++．已知在ABC V 中，6BC =，2AB AC =，则ABC V 面积的最大值为．四、解答题15．已知三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s 2c o s a B b A c B +=．(1)求角B ；(2)若4A π=，角B 的角平分线交AC 于点D ，BD =，求CD 的长．16．已知平面向量()1,a x =r ，()23,b x x =+-r ，x ∈R .(1)若a b ⊥r r ，求a b -r r ；(2)若a r 与b r的夹角为锐角，求x 的取值范围.17．如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，边长2AB =，M 为1DD 的中点．(1)求三棱锥D AMC -的体积；(2)求证：1//BD 平面AMC ；(3)若E 为线段1BD 上的动点，则线段1CC 上是否存在点N ，使//EN 平面AMC ？说明理由． 18．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格()P x （元）与时间x （天）的函数关系近似满足()1k P x x=+（k 为正常数）.该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：已知第10天该商品的日销售收入为121元.（I ）求k 的值;（II ）给出以下二种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式;（III ）求该商品的日销售收入()()130,f x x x N +≤≤∈（元）的最小值.（函数()(0,0)k f x x x k x =+>>，在区间(上单调递减，在区间)+∞上单调递增.性质直接应用.）19．已知1x =是函数()232g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=． (1)求实数a 的值；(2)若方程()3213021x x f k k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．。
广东省茂名市高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）i 12z =+z z A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】先求，再由复数的几何意义确定复数对应的点位置及象限.z z 【详解】因为，所以，故复数对应的点为，该点在第四象限， i 12z =+=12i z -z (1,2)-故选：D.2．（ ）PA BC BA +-= A ． B ． C ． D ．PB CP AC PC 【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得.PA BC BA PA AC PC +-=+= 故选：D.3．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，则c 等于ABC A 3A π=a =1b =（ ）A ．2BC D【答案】A【分析】由余弦定理求解【详解】由余弦定理得，即，解得2222cos a b c bc A =+-220c c --=2c =故选：A4．一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且直观图的面积为2，则原梯形的面积为（）O A B C ''''A ．2B ．C ．4D ．【答案】D【分析】根据.S S =直观原图【详解】由斜二测画法知，， S S =直观原图2S =直观.S ∴=原图故选：.D 【点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题.5．为了得到函数的图象，可以将函数图象（ ） ππsin 3coscos3sin 33y x x =+sin 3y x =A ．向左平移个单位 B ．向左平移π个单位 π9C ．向右平移个单位 D ．向右平移π个单位 π9【答案】A 【分析】利用和角的正弦公式化简函数式，再利用三角变换方法求解作答.【详解】依题意，， ππππsin 3cos cos3sin sin(3sin 3(3339y x x x x =+=+=+所以函数图象向左平移个单位可得的图象. sin 3y x =π9πsin 3(9y x =+故选：A6．在空间中，下列命题正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行l αl αC ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行【答案】C【分析】根据平面、线面平行、线线平行、异面直线等知识确定正确选项.【详解】A ，不在同一条直线上的三个点确定一个平面，A 错误.B ，，与内的直线可以平行、异面，B 错误.//l αl αC 选项，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，C 正确.D 选项，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能在这个平面内，D 错误. 故选：C7．在中，已知，那么一定是（ ）ABC A 2cos c a B =⋅ABC A A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】利用正弦函数进行边化角，再利用正弦函数的两角和公式求解即可【详解】解：已知，2c a cosB A ＝则：，2sinC sinAcosB ＝整理得：，()2sin A B sinAcosB +＝则：，()0sin A B -＝所以：.A B ＝故选：B8．已知中，，，点是的中点，是边上一点，则的ABC ∆5AB AC ==8BC =D AC M BC MC MD ⋅ 最小值是A ．B ．C ．D ． 32-1-2-54-【答案】B【分析】通过建系以及数量积的坐标运算，从而转化为函数的最值问题．【详解】根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，5AB AC == 8BC =(0,3)A (4,0)B -(4,0)C ．设，则， 3(2,)2D (,0)M x (4,0)MC x =- 3(2,2MD x =-22·(4)(2)68(3)1MC MD x x x x x =--=-+=-- 是边上一点，当时，取得最小值，故选．M BC ∴3x =MC MD A 1-B【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，将平面向量的数量积转化成了函数的最值问题．二、多选题9．复数，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 13i 22z =+A ．z 的实部是 B ．z 的共轭复数为 1231i 22+C ．z 的实部与虚部之和为2 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】ACD【分析】根据复数的基本概念和共轭复数的概念，以及复数的几何意义，逐项判定，即可求解.【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为，所以A 正确； 13i 22z =+1232又由共轭复数的概念，可得，所以B 错误； 13i 22z =-由复数的实部与虚部之和为，所以C 正确；13222+=由复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以D 正确. 13i 22z =+13(,)22故选：ACD.10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） ()1,0a = (1,b = A ．B ． 16a b += ()2a b a +⋅=C ．D ．向量在上的投影向量为cos ,a b = +a b a 2a 【答案】BD 【分析】根据向量的坐标运算，以及向量模、夹角公式和投影向量的计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】因为向量，，可得， ()1,0a = (1,b = ((11,02,a b +=++=所以，所以A 错误；4a b +==由，所以B 正确； ()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=由向量的夹角公式，可得C 错误； cos ,a b a b a b⋅== 由向量在上的投影向量为，故D 正确． +a b a ()·212a a b a a a a a ⋅+=⨯= 故选：BD.11．在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（ ）ABC A ,,A B C ,,a b c A ．若 ，则 ；sin sin A B >A B >B ．若，则一定为等腰三角形；sin 2sin 2A B =ABC A C ．若，则为直角三角形；222cos cos cos 1A B C +-=ABC A D ．若为锐角三角形，则 .ABC A sin cos A B <【答案】AC【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个选项逐个分析可选出答案.【详解】对于A ，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A sin sin a b A B=sin sin A B >a b >A B >正确；对于B ，取，则，而不是等腰三角形，即B 错误；15,75A B ︒︒==sin 2sin 2A B =ABC A 对于C ，， ()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 1A B C A B C +-=-+---=则，由正弦定理可得，故为直角三角形，即C 正确； 222sin sin sin A B C +=222+=a b c ABC A 对于D ，若锐角三角形，取，此时，即，ABC A 80,40A B ︒︒==sin80cos40sin 50︒︒︒>=sin cos A B >故D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.12．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ︒∠=11AAC C 线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）O E 1BBA ．直三棱柱的体积是1B ．直三棱柱的外接球表面积是8πC ．三棱锥的体积与点的位置有关1E AA O -ED ．的最小值为1AE EC +【答案】AD【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的体积即可判断A ；直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B ；由棱锥底面积与高为定值判断C ；将侧面展开即可求出最小值判断D ．【详解】在直三棱柱中，，，，111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ︒∠=所以其体积， 111212V Sh ==⨯⨯⨯=故A 正确；对于B ，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得， 111ABC A B C -其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，=所以其外接球的表面积为， 24π6π⨯=故B 错误；由平面，且点E 是侧棱上的一个动点， 1//BB 11AAC C 1BB， 111122ABC S =⨯⨯=A三棱锥的高，1E AA O -h111112222AA O AA C S S ==⨯=A A， 11136-∴==E AA O V 故三棱锥的体积为定值，故C 错误；1E AA O -将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内，11BCC B 1BB 11ABB A 11BCC B 此时，连接与相交于点E ，此时最小，1111112=+=A C A B C B 1AC 1BB 1AE EC +即，11AE EC AC +===故D 正确． 故选：AD.三、填空题13．设复数z 满足（其中i 是虚数单位），则______． 2i 1iz =+z =【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的模的计算公式求得答案. 2i 1i z =+【详解】, 2i 2i(1-i)1i 1i 2z ===++=14．圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为______．【答案】【分析】先算出母线长，就可以算侧面积的扇形面积【详解】如图，圆锥的母线l ==圆锥的展开侧面为扇形，故侧面积为S rl π==故答案为：15．非零向量，，若与共线，则_________． (sin ,2)a θ= (cos ,1)b θ= a b tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】 13【分析】根据向量共线的坐标表示可得的值，然后由正切的两角差公式可得.tan θ【详解】解：∵非零向量与共线，∴，显然，所以，a b sin 2cos θθ=cos 0θ≠tan 2θ=∴． tan 11tan(41tan 3πθθθ--==+故答案为： 1316．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即为三角形的面积，为三角形的三S =S ,a b c ，边）.在斜中，分别为内角所对的边，若，且ABC A ,,a b c ,,A B C (cos )=+a c B C.则此面积的最大值为___________.sin a C B =ABC A【分析】由正弦定理化边为角，应用诱导公式，两角和的正弦公式变形可求得，再sin B C =由正弦定理得，代入面积公式得面积为的函数，结合二次函数性质得最大值．b =S c【详解】解：∵，∴，(cos )=+a c B C sin sin (cos )A C B c =+即，sin cos cos sin()sin cos cos sin C B C C B C B C B C =+=+，cos sin cos C C B C =又且，则，(0,)C π∈2C π≠cos 0C ≠∴，∴，sinB C =b =又，所以，解得，sina C B =ac 3a =∴S ==，∴时，3c =maxS =． 【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查新定义，解题关键是利用正弦定理及三角函数恒等变换公式得出边的关系，利用新给出的面积公式表示出三角形面积，从而可得最大值及边长．四、解答题17．已知向量，()1, 1a = ()2,3b =- （1）若，求的坐标；23c a b =+ c （2）若与垂直，求的值.2a b λ- a λ【答案】（1）；（2）()8,7-1λ=-【分析】（1）直接由向量的数乘及减法运算求解；（2）由向量的数乘及减法运算求得的坐标，再由向量垂直的坐标运算求解．2a b λ- 【详解】（1）.23c a b =+ ()()21,132,3=+-()()2,26,9=+-()8,7=-（2）()()21,122,3a b λλ-=-- ()(),4,6λλ=--()4,6λλ=-+与垂直，，即， 2a b λ- a ()20a b a λ∴-⋅= ()()4,61,10λλ-+⋅=∴.460λλ-++=⇒220λ+=⇒1λ=-【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、考查向量垂直的坐标表示，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足．22()b c a bc -=-(1)求角A 的大小；(2)若，求△ABC 的面积．2,sin 2sin a C B ==【答案】(1)π3【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可；（2）先利用正弦定理将角化边，然后结合条件求出，再利用三角形的面积公式求sin 2sin C B =,b c 解即可.【详解】（1）由整理得， 22()b c a bc -=-222b c a bc +-=，由， 2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===()0,πA ∈； π3A ∴=（2），sin 2sin C B = 由正弦定理得，①，∴2c b =又，②，224b c bc +-=由①②得 b c ==. 11sin 22ABC S bc A ∴===A 19．（1）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的体积（2）如图（单位：cm ），求下图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积.【答案】（1）；（2） 1403π【分析】（1）设为与交点，则平面，进而根据几何关系得，再计算O AC BD OP ⊥ABCD OP =几何体的体积即可；（2）根据圆台的体积与球的体积公式求解即可.【详解】解：（1）如图，正四棱锥中，设为与交点，P ABCD -O AC BD 所以由正四棱锥的性质得平面，所以，OP ⊥ABCD OP OB ⊥因为正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，所以，OB =5PB =所以OP ==所以，该正四棱锥的体积为 1663V =⨯⨯=（2）根据题意，图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体为圆台中挖去一个半径为的半球构2成的组合体.因为圆台的体积为，半球的体积为， (14254523V πππ=+⨯=圆台3216233V ππ=⨯=半球所以，所求几何体的体积为. 161405233V V V πππ=-=-=圆台半球20．已知函数． ()21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+(1)求的最小正周期及单调递减区间；()f x(2)若，且的值． (0,π)α∈()48f απ-=α【答案】(1)最小正周期为；单调递减区间为 π2πππ5π,,Z 216216k k k éù++Îêêëû(2)3π4【分析】（1）根据三角函数的基本关系式，化简得到，利用最小正周期的公()π)4f x x =+式和三角函数的性质，即可求解；（2）由，结合，即可求解. π()48f α-πsin()14a -=(0,π)α∈【详解】（1）解：由 ()211(2cos 1)sin 2cos 4sin 2cos 2cos 422f x x x x x x x =-+=+， 1π(sin 4cos 4)24x x x =+=+所以函数的最小正周期为， ()f x 2ππ42T ==令，解得， 3242,Z 242k x k k πππππ+≤+≤+∈5,Z 216216k k x k ππππ+≤≤+∈所以的单调递减区间为. ()f x πππ5π,,Z 216216k k k éù++Îêúêúëû（2）解：由，可得， ()π)4f x x =+π(48f α-πsin 14α⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为，可得，所以，解得. (0,π)α∈ππ3π444α-<-<ππ42α-=3π4α=21．如图，在四棱锥P -ABCD 中，E 是线段PD 上的点，且，1PE BC ===PA =PD =AD =3，，∠ADC =45°． CE =//BC AD(1)求证：平面PAB ；//CE (2)若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使平面PAB ？若存在，求出MN //MN 的最小值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，1【分析】（1）在PA 上取点F 使，连接EF ，BF ，由线面平行的判定定理即可证明. 113PF PA ==（2）在AD 上取点N 使，连接CN ，EN ，由线面平行的判定定理和性质定理即可证113AN AD ==明. 【详解】（1）证明：如图1，在PA 上取点F 使，连接EF ，BF ． 113PF PA ==∵， 113PE AD ==∴且， //EF AD 113EF AD ==又，且， //BC AD 113BC AD ==∴，EF =AD ，//EF AD ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴，//CE BF 而平面PAB ，平面PAB ，则平面PAB ．CE ⊂BF ⊄//CE （2）线段AD 上存在点N 且，使得平面PAB ． 113AN AD ==//MN 理由如下：如图2，在AD 上取点N 使，连接CN ，EN ． 113AN AD ==∵，， 13PE AD =13AN AD =∴．//EN PA ∵平面PAB ，平面PAB ，EN ⊂/PA ⊂∴平面PAB ．//EN由（1）知平面PAB ，又，//CE CE EN E = ∴平面平面PAB ，又M 是CE 上的动点，平面CEN ，//CEN MN ⊂∴平面PAB ，//MN ∴线段AD 上存在点N ，使得平面PAB ．//MN ∵，BC =AN ，//BC AN ∴ND =2．在中，∠ADC =45°，，由余弦定理知CN =2．CND △CD =在中，CN =NE =2，CEN A CE =∴由余弦定理知∠CNE =120°，∴MN ，1=∴线段AD 上存在点N ，使平面PAB ，且MN 的最小值为1．//MN 22．借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池中修建荷花观赏OAB 台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观OAB π4赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台，另一部分是三角形观赏台现计划在弧MNPQ AOC AB 上选取一点，作平行交于点，以为边在水池中修建一个矩形观赏台，M MN OA OB N MN MNPQ 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台，NP AO OC =2COA AOM ∠=∠AOC 记. ππ64AOM x x ⎛⎫∠=≤< ⎪⎝⎭(1)当时，过点作的垂线，交于点， 过点作OA 的垂线，交于点， π6AOM ∠=M OA OA E N OA F 求， 及矩形观赏台的面积；ME OF MNPQ (2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.【答案】(1)，，平方米 10ME =10OF =)501(2)212.5平方米【分析】（1）根据题意画出图形，在由已知条件结合图形即可求出， 及矩形观赏台ME OF 的面积；MNPQ （2）由题意可知，，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为的函数，AOM x ∠=x ，利用三角函数求最值.()100cos sin 200sin 2S x x x =-+【详解】（1）由题意如图所示：则由题意知，NF ME =当时， 则. π6AOM ∠=π1sin 201062ME OM =⋅=⨯=. πcos206OE OM =⋅==∵，， π4AOB ∠=10OF NF ==∴.10MN OE OF =-=因为.5NP =矩形的面积平方米. MNPQ ())510501S MN NP =⋅=⨯=所以矩形观赏台的面积平方米. MNPQ )501-（2）由题意可知，，，，， AOM x ∠=π4AOB ∠=π4MON x ∠=-3π4MNO ∠=在中，由， OMN A sin sin MN OM MON MNO=∠∠得.()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-矩形MNPQ 的面积：.()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-观赏台的面积：. AOC A 211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=整个观赏台面积.()12100cos sin 200sin 2S S S x x x =+=-+设，， πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ππ64x ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭∴. 0t <≤.()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =-=+-=-∴.2sin 21x t =-∴()100cos sin 200sin 2S x x x =-+ ()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭当时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方 14t ⎛=∈ ⎝∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米.。
广东省茂名市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷(I)卷
广东省茂名市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2016高三上·湖北期中) 设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z在复平面内对应的点在（）A . 第四象限B . 第三象限C . 第二象限D . 第一象限2. （2分）(2020·梧州模拟) 已知α∈（0, ），cos2α＝1﹣3sin2α ，则cosα＝（）A .B .C .D .3. （2分）已知函数f（x）=sin x+cos（ x﹣），对任意实数α，β，当f（α）﹣f（β）取最大值时，|α﹣β|的最小值是（）A . 3πB .C .D .4. （2分） (2019高三上·深州月考) （）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二下·故城期中) 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A . 100B . 200C . 300D . 4006. （2分） (2016高二上·长沙开学考) 已知函数f（x）= sin2x+cos2x﹣m在[0， ]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣1，2）B . [1，2）C . （﹣1，2]D . [1，2]7. （2分）已知平面上不共线的四点O,A,B,C，若，则（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9。
已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分） (2020高一下·胶州期中) 已知复数满足，，则实数的值可能是（）A . 1B . -4C . 0D . 510. （3分） (2020高一下·胶州期中) 已知单位向量、，则下面正确的式子是（）A .B .C .D .11. （3分）(2020·淮北模拟) 关于函数，下列说法正确的是（）A . 函数以为周期且在处取得最大值B . 函数以为周期且在区间单调递增C . 函数是偶函数且在区间单调递减D . 将的图像向右平移1个单位得到12. （3分） (2020高一下·济南月考) 下列说法正确的有（）A . 在中，B . 在中，若，则C . 在中，若，则，若，则都成立D . 在中，三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知复数满足（是虚数单位），则 ________．14. （1分）(2016·上饶模拟) 已知向量与的夹角是120°，| |=3，| + |= ，则||=________．15. （1分） (2016高一下·广州期中) 若平行四边形ABCD满足，，则该四边形一定是________．16. （1分） (2018高一下·涟水月考) 若，且，则 ________．四、解答题 (共6题；共57分)17. （10分）(2017·昆明模拟) 甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据求出甲、乙两位同学的平均值和方差，据此你认为选派哪位同学参加比赛较为合适？（Ⅲ）若对加同学的正式比赛成绩进行预测，求比赛成绩高于80分的概率．18. （10分） (2019高三上·安徽月考) 函数的部分图像如图所示．（1）求的解析式及其单调递增区间；（2）若在有5个零点，求a的取值范围．19. （10分）(2018·汉中模拟) 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数使，若存在求出实数的值；若不存在需说明理由.20. （15分） (2015高二上·滨州期末) 一果农种植了1000棵果树，为估计其产量，从中随机选取20棵果树的产量（单位：kg）作为样本数据，得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中产量在区间（45，50]上的果树棵数为8，（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）根据频率分布直方图，估计这20棵果树产量的中位数；（3）根据频率分布直方图，估计这1000棵果树的总产量．21. （10分） (2016高一上·佛山期末) 某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）02﹣20（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．22. （2分）(2017·泉州模拟) 已知△ABC中，．（1）求AB；（2）若D为BC边上一点，且△ACD的面积为，求∠ADC的正弦值．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共4题；共12分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、四、解答题 (共6题；共57分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
广东省茂名市2020年高一下学期期中数学试卷A卷
广东省茂名市2020年高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·长春期末) 若的终边上有一点 ,则（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·安阳模拟) 已知，则 =（）A .B .C .D .3. （2分）已知x与y之间的一组数据如下表所示，则y与x的线性回归方程y=bx+a必经过点（）x123567y 1.1 1.7 5.6 6.27.49.5A . （4，5.35）B . （4，5.25）C . （5，5.591）D . （3，5.6）4. （2分）甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（）A . ，甲比乙成绩稳定B . ，乙比甲成绩稳定C . ，甲比乙成绩稳定D . ，乙比甲成绩稳定5. （2分）若sinα=，且α∈[，π]，则α可以表示成（）A . +arcsinB . ﹣arcsinC . π﹣arcsinD . π+arcsin6. （2分）(2020高一上·大庆期末) 已知函数，且满足，把的图像上各点向左平移个单位长度得到函数，则的一条对称轴为（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则的取值范围是（）A .B . [-3,3]C .D .8. （2分）半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为（）m．A .B .C . 60D . 19. （2分） (2019高一上·太原月考) 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A . 分层抽样法，系统抽样法B . 分层抽样法，简单随机抽样法C . 系统抽样法，分层抽样法D . 简单随机抽样法，分层抽样法10. （2分） (2019高一上·黑龙江月考) 已知，则的值是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·襄阳期末) 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）若=-，则cosα+sinα的值为（）A . -B . -C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·邯郸期中) 关于下列命题：①函数y=tanx的一个对称中心是（，0）；②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；③函数y=4sin（2x﹣）的一条对称轴是x=﹣；④函数y=sin（x+ ）在闭区间[﹣， ]上是增函数．写出所有正确的命题的题号________．14. （1分） (2018高二下·湛江期中) 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为98、63，则输出的 =________.15. （1分）已知函数y=2cosx与y=2sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________16. （1分） (2016高二上·天心期中) 为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为________．三、解答题 (共6题；共47分)17. （2分） (2017高一上·义乌期末) 填空题（1）sin330°+5 =________；（2） + =________．18. （10分）西安世园会志愿者招骋正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为．（1）乙、丙两人各自能被录用的概率；（2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率．19. （10分） (2017高二下·天津期末) 某射击队有8名队员，其中男队员5名，女队员3名，从中随机选3名队员参加射击表演活动．（1）求选出的3名队员中有一名女队员的概率；（2）求选出的3名队员中女队员人数比男队员人数多的概率．20. （10分） (2018高一下·沈阳期中) 已知函数，的图象与直线相交，且两相邻交点之间的距离为 .（1）求的解析式，并求的单调区间；（2）已知函数，若对任意，均有，求的取值范围.21. （5分）定义在R上的函数y=f（x），对任意x1 ， x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），判断函数y=f （x）的奇偶性并证明．22. （10分）(2016·天津理) 已知函数f(x)=4tanxsin（）cos（）- .（1）求f(x)的定义域与最小正周期；（2）讨论f(x)在区间[ ]上的单调性.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共47分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。