常见立体图形外接球题型总结

目录【题型1】球的性质的应用 (3)【题型2】“双直角”型 (5)【题型3】“墙角”型 (6)【题型4】“四面全等”型 (8)【题型5】“固化”型 (9)【题型6】“大小圆垂直”型 (11)【题型7】“直棱柱”型 (13)【题型8】“正棱锥”型 (14)【题型9】“两面”型 (15)【题型10】“最值”问题 (17)前言“三视图问题”、“球的问题”、“立体几何证明题”是数学高考立体几何门派的“三大剑客”，曾秒杀无数考生，特别是“球的问题”始终是高考的热点问题，题型为选择或填空。

题目难度跨度大，其中有简单题，中等题有时也会有难题。

它直接或间接的以球为载体综合考查空间几何体的体积、表面积计算，解题过程中又蕴含几何体线面关系的识别与论证。

所以很少有哪个知识点能像球那样微观上把“数”与“形”数学中两大基本元素完美契合，宏观上实现代数与几何平滑过渡.可是这类问题缺乏几何直观，具有高度抽象性，区分度高，得分率低，属于学生畏惧，老师头疼的难点问题。

不过这类问题有很强的规律性，若在平时解题中探索反思，注意总结，能找到通法，是我们学生潜在的得分点；同时研究它为处理空间几何体的证明问题锻炼能力，为解决三视图问题开拓思路。

知识准备（1）等边三角形相关：面积、外接圆半径，内切圆半径；（2）直角三角形、等腰三角形、矩形圆心位置；（3）球的性质：【性质1】球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.已知球O 的半径为R .（1）若截面经过球心O .如图1，设A 是截面与球面的任意一个交点，连接OA .由球的定义可知，OA R =，所以点A 的轨迹是以O 为圆心，R 为半径的圆，即该截面是圆.（2）若截面不经过球心O .如图1，设球心O 在截面上的射影为1O ，B 是截面与球面的任意一个交点，连接1OO ，OB 和1O B ，则OB R =为定值，且1OO 也为定值，所以2211O B R OO =-为定值，因此，点B 的轨迹是以1O 为圆心，1O B 为半径的圆，即该截面也是圆.【性质2】球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面.反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.如图2所示，若圆1O 是球O 的小圆，则11OO O ⊥圆面.证明：如图，设AB ，CD 分别是圆1O 的两条直径，连接OA ，OB ，OC ，OD ，1OO .依题意可得OA OB =，所以1OO AB ⊥.同理可得1OO CD ⊥，又因为1AB CD O = ，所以11OO O ⊥圆面.【性质3】如图2，设球O 的半径为R ，球O 的小圆的圆心为1O ，半径为r ，球心O 到小圆1O 的距离1OO d =，则由性质2得22d R r =-，或22r R d =-.【性质4】球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.如图3，设球O 的两个平行截面的圆心分别为1O ，2O ，连接1OO ，2OO ，由性质3可知，11OO O ⊥圆面，又因为12//O O 圆面圆面，所以12OO O ⊥圆面.同理可得，21OO O ⊥圆面，且22OO O ⊥圆面，所以O ，1O ，2O 三点共线，因此，12O O 垂直于1O 圆面和2O 圆面，且12O O O ∈.【性质5】球的直径等于球的内接长方体的对角线长.【性质6】若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心O 是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.【例1】已知球O 的半径为2，圆M 和圆N 是球的互相垂直的两个截面，圆M 和圆N 的面积分别为2π和π，则||MN =（）A．1B．3C．2D．5【变式1.1】已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为（）A．26B．36C．23D．22【变式1.2】已知三棱锥ABC S -的各顶点都在一个半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，r AC 2=，则球的体积与三棱锥体积的比值是.【变式1.3】已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，23BC =，则棱锥O ABCD -的体积为.【变式1.4】已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点.若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为()A.36πB.64πB.144πD.256π【变式1.5】设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C，若圆C 的面积等于47，则球O 的表面积等于________．【例2】已知球的直径SC=4，A、B 是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S-ABC 的体积为（）A.33 B.32 C.3D.1【变式2.1】高为4的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D 均在半径为1的同一个球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（）A.42 B.22 C.1D.22，则该三棱锥外接球表面积为；【例1】三棱锥P-ABC，若PB=2AB=2BC=4，AC=3，PA=PC=3【变式1.1】图为某多面体的三视图，则该多面体体的外接球表面积为；【例1】已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA 1=12，则球O 的表面积为为（）A.π153 B.π160 C.π169 D.π360【变式1.1】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（）A.π217 B.π34 C.π33417 D.π3417【变式1.2】如右图，四面体ABCD 的正视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，记四面体ABCD 的体积为V 1，其外接球的体积为V 2，则=12V V .【例2】在三棱锥P-ABC 中，AB⊥BC，AB=BC=2，PA=PC=2，AC 中点为M，COS∠PMB=33，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A.π23 B.π2 C.π6 D.π6【变式2.1】在正三棱锥S—ABC 中，M、N 分别是SC、BC 的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=32，则正三棱S—ABC 外接球的表面积为（）A.π12 B.π32 C.π36 D.π48【变式2.2】在正三棱锥S-ABC 中，M 是SC 的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=22，则正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为（）A.6πB.12πC.32πD.36π【例3】（墙角模型的应用）已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，PC AB ⊥，若三棱锥P ABC -的外接球的半径是3，ABC ABP ACP S S S S ∆∆∆=++，则S 的最大值是（）A.36B.28C.26D.18【变式3.1】已知正三棱锥P—ABC，点P，A，B，C的球面上，若PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为.【变式3.2】已知三棱锥P-ABC 的顶点都在同一个球面上（球O），且PA=2，PB=PC=6，当三棱锥P-ABC 的三个侧面面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值是（）A.π163B.π83 C.π161 D.π81【变式3.3】如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E，F 分别是边AB，BC 的中点△AED，△EBF，△FCD 分别沿DE，EF，FD 折起，使A，B，C 三点重合于点A´,若四面体A´EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）【变式3.4】三棱锥A-BCD 中，侧棱AB、AC、AD 两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为22、23、26，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.π2 B.π6 C.π64 D.π24【例1】在半径为1的球面上有不共面的四个点A ，B ，C ，D 且a CD AB ==，b DA BC ==，c BD CA ==，则222c b a ++等于（）A．16B．8C．4D．2【变式1.1】四面体ABCD 中，5==CD AB ，34==DA BC ，41==BD CA ，则四面体ABCD 的外接球体积为。

【变式1.2】四面体ABCD 中，29==CD AB ，34==DA BC ，37==BD CA ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为。

【变式1.3】四面体ABCD 中，10==CD AB ，5==DA BC ，13==BD CA ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为。

【例2】如图，长方体1111D C B A ABCD -的三个面的对角线1AD ，B A 1，AC 的长分别是1，2，3，则该长方体的外接球的表面积为；【例3】四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，3====DA CD BC AB ，32==BD AC ，则该球的表面积为。

【例4】某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A.34π B.23πC.π D.π3【变式4.1】一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A.π2 B.π3 C.π4 D.π5【例1】已知正四面体的边长为a ，则其外接球的半径为；【变式1.1】已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若该球球心与正四面体的一边的一个截面如图所示，且图中三角形（正四面体的截面）的面积为2，则该球的体积为；【例2】设正三棱锥P ABC -的底面边长为a ，侧棱长为b 的所有顶点都在一个球面上，证明：该球的半径32222a b b R -=.【变式2.1】半径为1的三个球A ，B ，C 平放在平面α上，且两两相切，其上放置一半径为2的球D ，由四个球心A ，B ，C ，D 构成一个新四面体，则该四面体外接球O 的表面积为（）A.24323π B.24392π C.9πD.186923π【例3】已知正四棱锥的每条棱均为a ，则其外接球的半径为；【变式3.1】正四棱锥S ABCD -2，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为.【例4】设底面边长为a ，侧棱长为b 的正四棱锥的顶点都在一个球面上，证明：该球的半径22222a b b R -=.【变式4.1】在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形.若直线PC 与平面PDB 所成的角为30°，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为；【例5】已知正三棱柱的的每条棱均为a ，则其外接球的半径为；【变式5.1】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.2aπ B.273aπ C.2113a π D.25aπ【变式5.2】一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（）A.212B.6C.7D.3【例6】设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ，证明：其外接球半径22)33()2(a h R +=；【例7】已知正方体的边长为a，则其外接球的半径为；【例8】设长方体的长宽高分别为a，b，c，则其外接球的半径为；【变式8.1】某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（）13A.π16B.π25C.π27D.π如图，若面DAG 过小圆⊙O 1的圆心，且与小圆所在的截面垂直则过A，D，G 三点的圆是球的大圆，在大圆上由于∠DAG=90°所以它所对的弦DG 为直径，弦中点O 为球心.【例1】在平行四边形ABCD 中，BD AB ⊥，12422=+BD AB ，将此平行四边形沿BD 折成直二面角，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为（）B.πC.2πD.4π【变式1.1】已知三棱锥ABC S -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2=AB ，2===SC SB SA ，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（）B.1【变式1.2】如图所示，在直三棱柱C C '''AB -A B 中，C C A ⊥B ，C 2'B =BB =，C 4A =，点M 是线段'AB 的中点，则三棱锥C M -AB 的外接球的体积是（）A.36π【变式1.3】已知三棱锥ABC P -，在底面ABC ∆中，1=AB ，060=∠A ，3=BC ，⊥PA 平面ABC ，32=PA ，则此三棱锥的外接球的表面积为（）D.16π【变式1.4】如图，在直角梯形ABCD 中，222===AD DC AB ，090=∠=∠ADC DAB ，将DBC ∆沿BD 向上折起，使面⊥ABD 面BDC ，则三棱DAB C -的外接球的表面积为；【变式1.5】点A、B、C、D 在同一个球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值是32，则这个球的表面积为（）A.6125π B.π8 C.425π D.1625π【例2】在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π【例1】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上.若12AB AC AA ===，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于；【变式1.1】一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为；【变式1.2】一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120°的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）A.20πC.25π【变式1.3】三棱锥A-BCD 中，AD ⊥平面ABC ，∠BAC=1200，AB=AD=AC=2，则三棱锥A-BCD 的外接球面积为.【变式1.4】三棱锥P-ABC 中，PA⊥平面ABC，且PA=2，三角形ABC 是边长为3的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为.【例1】如图，1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1111,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.916π B.2516π C.4916π D.8116π【变式1.1】三棱锥A—BCD 内接于球O，AB=AD=AC=BD=3，∠BCD=600，则球O 的表面积为（）A.23π B.π2 C.π3 D.29π【例1】（直角二面角）如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）B．8πC．9π【变式1.1】球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，ABC ∆是边长为2的正三角形，面⊥SAB 面ABC ，则棱锥ABC S -的体积的最大值为（）D．4【变式1.2】已知四棱锥P-ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD 为正三角形，AB=2AD=4，则球O 的表面积为；【变式1.3】在三棱锥P―ABC 中，△ABC 与△PBC 都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=23，则该三棱锥的外接球的表面积为．【变式1.4】一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球表面积为π441，则该几何体的体积为（）A.34 B.38 C.322 D.324【例2】（钝角二面角）如图,在菱形ABCD 中,为对角线BD 的中点,将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，若120PEC ∠= ，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（）A．28πB．32πC．16πD．12π【例3】（锐角二面角）四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，3====DA CD BC AB ，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为（）A．π14 B.π15 C.π16 D.π18【例1】已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD 内接于半径为1的球，顶点P 在底面ABCD 上的射影是ABCD 的中心，当四棱锥P－ABCD 的体积最大时，四棱锥的高为（）CA.43 B.1 C.34 D.35【变式1.1】已知正三棱柱ABC—A 1B 1C 1的所有顶点都在半径为1的球面上，当正三棱柱的体积最大时，该正三棱柱的高为；【例2】已知在半径为2的球面上有A、B、C、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（）A.33B.433C.3D.833如图，设球心为O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则四面体ABCD 可分为四个三棱锥A COD -，B COD -，C AOB -和D AOB -.依题意得2OA OB OC OD AB CD ======，而使得三棱锥A COD -和B COD -的体积之和最大，只需AB COD ⊥平面即可.同理，当CD AOB ⊥平面时，三棱锥C AOB -和D AOB -体积之和最大，因此，四面体ABCD 的体积的最大值为21343222343V =⨯⨯⨯⨯=，故选(B).。