2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
3．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是()
121
B.C.D.
3234
4．“a0b
”是“曲线ax2by21为椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．执行右边的程序框图，若输入t1，则输出t的值等于（）
A．3B．5
C．7D．15
否
t=t+1
开始
输入t
t>0是
t=2t+1
是
(t+2)(t5)<0
否
输出t
结束
6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是）
A．至少有一个黑球B．恰好一个黑球
C．至多有一个红球D．至少有一个红球
7．已知F，F是双曲线的两个焦点，过F作垂直于实轴的直线PQ交双曲线于P，Q两点，若∠
2016-2017学年度第一学期期末考试
高二数学（理科）试卷
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1．命题p：xR，x0的否定是（）
A．p：xR，x0B．p：xR，x0
C．p：xR，x0D．p：xR，x0
2.已知向量a(2,3,1)，b(1,2,0)，则ab等于()
2016-2017学年海南省高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2016-2017学年海南省高二上学期期末考试数学（理）试题（满分：150分 时间：120分钟 ） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）温馨提示：考生作答时，将答案写在答题卡上。
请按照题号在各题的答题区域内作答.在草稿纸、试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有 一项是符合题目要求的. 把答案填写在答题卷相应位置上. 1．数列1，3，7，15，…的通项n a 可能是A ．2nB ．21n+ C ．21n- D ．12n -2.若0cos sin <αα，则角α的终边在A ．第二象限 B. 第二、四象限C.第四象限 D.第三、四象限3．设a ，b 是实数，则“a＋b ＞0”是“ab＞0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.已知命题p : x R ∀∈,3sin 2x >, 则 A.﹁p : x R ∃∈,sin 32x ≤B.﹁p : x R ∃∈,3sin 2x <C.﹁p : x R ∀∈,3sin 2x <D.﹁p : x R ∀∈,3sin 2x ≤5.设双曲线)0(19222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为 A. 4 B ．3 C. 2 D ．1 6．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为 A ．－12 B.12 C ．－32 D.327．点B 是点)3,2,1(A 在坐标平面yoz 内的射影，则||OB 等于A ．14 B. 13 C ．32 D.108．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为 A ．23 B ．23- C ．14 D ．14- 9．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且311=16a a ⋅，则6a = A ．1 B ．2 C ．4 D ．810.过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交该抛物线于点A ．若|AF|=3，则点A 的坐标为 A.（2，2） B.（2，-2） C.（2，±2） D.（1，±2）11.已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为 A ． 4 B ．16 C ． 9 D ．312.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时，()3f x x =，若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是A ．(),2-∞- B ．()2,0-C. ()(),02,-∞⋃+∞ D ．()(),22,-∞-⋃+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卷相应位置上 13.若实数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则b 的值为 ______.;14.动点(,)P x y 满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为 .15.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b + 等于______16.已知函数2()mf x x-=是定义在区间2[3,]m m m ---上的奇函数，则()f m =三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令nn n b a =⋅３*(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和.18、(本小题满分12分)已知函数2sin 22cos 2sin 2)(2xx x x f -=．(Ⅰ) 求)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 求)(x f 在区间[]0,π-上的最小值．19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且sin 3cos b A a B =. （1）求角B 的大小；（2）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值.20．（本小题满分12分）已知命题2:560p x x --≤,命题22:2140(0)q x x a a -+-≤>,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.21．（本小题满分12分）如下图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，3=AC ，4=BC ，5=AB ,41=AA ,点D 是AB 的中点．（1）求证：1BC AC⊥；（2）求证：1AC //平面1CDB ； （3）求二面角C BC A --1的平面角的正切值．22.（本小题12分）已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x ，经过点)26,1(，且离心率等于22． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)0,2(P 作直线PB PA ,交椭圆于B A ,两点，且满足PB PA ⊥，试判断直线AB 是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．2016-2017学年海南省高二上学期期末考试数学（理）试题答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.） 题号 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 答案CBDACABDBCBA二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．2 14． 3 15．13 16．-1三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分） 解:（1）12a = ，12312a a a ++=133122a d d ∴+==，即………………..3分2(1)22.n a n n ∴=+-⋅=………………………………..5分（2）由已知：23n nb n =⋅23436323n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅ ２３…＋ ①123436323n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅234３…＋ ②………………………………..7分① -②得12323232323n n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅23-2=16(13)2313n n n +--⋅-……………..9分11133313()3222n n n n S n n +++-∴=+⋅=+-.………………………………..10分18、(本小题满分12分)解：221cos ()2sin cos 2sin sin 2222222222sin cos sin 22242x x x x f x x x x x π-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭………………..4分(Ⅰ) πωπ22==T ）x f (∴最小正周期为π2………………………………..6分(Ⅱ)[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+-∈0,221224sin )(22,14sin ,4,434,0,ππππππx x f x x x故()x f 最小值为221--………………………………..12分 19．（本小题满分12分）解：（1）因为sin 3cos b A a B =，由正弦定理sin sin a bA B=…………………..2分 得：sin 3cos B B =，tan 3B = 因为02B π<<，所以3B π=………………………………..6分（2）因为sin 2sin C A =，由正弦定理知2c a = ①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得229a c ac =+- ② ……………..10分 由①②得3,23a c ==。
安徽省芜湖市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
安徽省芜湖市2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|5S x x =<-或5}x >，{|73}T x x =-<<，则S T =∩（ ）A ．{|75}x x -<<-B ．{|35}x x <<C ．{|53}x x -<<D ．{{|75}x x -<<2.已知命题,p q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =，22a =，则1a =（ ）A ．12B C D ． 2 4.以下四个命题中是真命题的是（ ）A ．对分类变量x 与y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大；B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；C.若数据123n x x x x ，，，，的方差为1，则1232n x x x x ，2，2，，2的方差为2； D ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好.5.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率e =，则它的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．32y x =± C. 94y x =± D ．49y x =±6.已知ABC ∆中，AB 上一点P 满足2133CP CA CB =+ ，若||||PB t PA = ，则t =（ ） A ． 13 B ．3 C. 12D ．2 7.函数|1|x y e --=的图象大致形状是（ ）A ．B ． C. D ．8.设变量x y 、满足342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则|3|z x y =-的最大值为（ ）A ．8B ．3 C.134 D ．92 9.已知抛物线24y x =上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5:4，且||2AF >，则点A 到原点的距离为（ ）A ．3B ．4 C.．10.某港口水的深度()y m 是时间t （024t ≤≤，单位：h ）的函数，记作()y f t =.下面是某日水深的数据：经长期观察，()y f t =的曲线可以近似地看成函数sin y A t b ω=+的图象.一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m 或5m 以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水程度（船底离水面的距离）为6.5m ，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（ ）小时（忽略进出港所需的时间）.A ．6B ．12 C.16 D ．1811.一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）A．3 B．3C. 3 D．312.已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b R ∈.若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(,]x e e ∈都成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[,)e +∞ B ．2[,)2e +∞ C. 22[,)2e e D ．2[,)e +∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13．已知2sin cos tan 2.sin 2cos ααααα-==+则 14.已知100221(0(),()1,(0)x x f x f x x x x -⎧-≤⎪===⎨⎪>⎩若则 15.已知角ϕ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若(4,)sin 5P y ϕϕ是角终边上一点，且=-，则y = 16.已知函数()sin()(0)4f x x πωωπ=+>的最小正周期为，将函数()0)f x ϕϕ>的图像向左平移（个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值为三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。
2016-2017学年高二数学上学期期末试卷含答案)
2016-2017学年高二数学上学期期末试卷(含答案)kj.co荆州中学2016～2017学年度上学期期末考试卷年级：高二科目：数学（理科）本试题卷共4页，三大题22小题．全卷满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某单位员工按年龄分为A、B、c三个等级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则从c等级组中应抽取的样本数为A．2B．4c．8D．102．下列有关命题的说法错误的是A．若“”为假命题，则均为假命题B．“”是“”的充分不必要条件c．“”的必要不充分条件是“”D．若命题：，则命题：3．若向量，，则A．B．c．D．4．如右图表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图.则甲得分的中位数与乙得分的中位数之和为A．分B．分c．分D．分5.已知变量与负相关，且由观测数据计算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A．B．c．D．6．执行如图所示的程序框图,输出的等于A．B．c．D．7.圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为A．B．c．D．8.函数图象上的动点P到直线的距离为，点P到y轴的距离为，则A．B.c．D.不确定的正数9.如果实数满足条件，则的最大值为（）A．B．c．D．10.椭圆的长轴为，短轴为，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为A.75°B.60° c.45° D.30°11．如图，在正方体ABcD-A1B1c1D1中，P是侧面BB1c1c 内一动点，若P到直线Bc与直线c1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A.直线B.圆c.双曲线D.抛物线12．过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两条直线，与双曲线分别交于、两点，若，则双曲线离心率的值所在区间是A．B.c．D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知椭圆x210－＋y2－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则＝________.14．下列各数、、中最小的数是___________.15．已知函数，其中实数随机选自区间，对的概率是_________.16．已知的三边长分别为，，，是边上的点，是平面外一点．给出下列四个命题：①若平面，且是边中点，则有；②若，平面，则面积的最小值为；③若，平面，则三棱锥的外接球体积为；④若，在平面上的射影是内切圆的圆心，则三棱锥的体积为；其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）设是实数，有下列两个命题：空间两点与的距离.抛物线上的点到其焦点的距离.已知“”和“”都为假命题，求的取值范围.18．（本小题满分12分）已知圆过点，，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若点在圆上，求的最大值．19.（本题满分12分）某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数，满分100分）分成六段[40，50），[50，60）…，[80，90），[90，100]，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率以及频率分布直方图中第四小矩形的高；（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分；（3）把从[80，90）分数段选取的最高分的两人组成B组，[90，100]分数段的学生组成c组，现从B，c两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自c组的概率．20．（本题满分12分）在直角梯形PBcD中，∠D=∠c=，Bc=cD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB 沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥Bc，点E在SD上，且，如图2．(1)求证：SA⊥平面ABcD；(2)求二面角E-Ac-D的正切值；(3)在线段Bc上是否存在点F，使SF∥平面EAc？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）已知直线经过椭圆：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆的方程；（2）如图，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为．①若直线平分线段，求的值；②对任意，求证：．22．（本题满分10分）已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为；的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．荆州中学2016～2017学年度上学期期末考试卷年级：高二科目：数学（理科）命题人：冯钢审题人：冯启安参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案AcDBccDBBBDc12【解析】选c设为左焦点，由双曲线的对称性，不妨设点的纵坐标为，则由得，又∵直线的方程为，∴，即，又∵，∴，两边同除以，得，即，令，∵，，∴双曲线离心率的值所在区间是.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.814.15.16.①④三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解答：和都是假命题，为真命题，为假命题.………………2分,；…………………………………………6分又抛物线的准线为，为假命题，，.…………………………………10分故所求的取值范围为.………………………………12分18.解答：（1）设圆心坐标为，则解得：，故圆的方程为：……………6分（2）因为z＝x＋y，即，当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或最小，即可求出的最大和最小值.将代入圆的方程，令，或者利用圆心到直线的距离等于半径可求得最大值为：……………………………………12分 19.解答：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为：1-（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）10=0.30第四个小矩形的高为=0.03……4分（2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，故这次考试的及格率约为75%，………………6分由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，得本次考试中的平均分约为71：………………8分（3）由已知可得c组共有学生60×10×0.005=3人，则从B，c两组共5人中选两人参加科普知识竞赛，设5人分别为，共有等10种不同情况，其中这两个学生都来自c组有3种不同情况，∴这两个学生都来自c组的概率．……………………………………12分20.解法一：(1)证明：在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABcD为正方形，所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABcD是边长为2的正方形，因为SB⊥Bc，AB⊥Bc，所以Bc⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，所以Bc⊥SA，又SA ⊥AB，所以SA⊥平面ABcD，……………………4分(2)在AD上取一点o，使，连接Eo．因为，所以Eo∥SA 所以Eo⊥平面ABcD，过o作oH⊥Ac交Ac于H，连接EH，则Ac⊥平面EoH，所以Ac⊥EH．所以∠EHo为二面角E-Ac-D的平面角，．在Rt△AHo中，，，即二面角E-Ac-D的正切值为．……………………8分(3)当F为Bc中点时，SF∥平面EAc理由如下：取Bc的中点F，连接DF交Ac于，连接E，AD ∥Fc，所以，又由题意，即SF∥E，所以SF∥平面EAc，即当F为Bc的中点时，SF∥平面EAc...............12分解法二：(1)同方法一 (4)(2)如图，以A为原点建立直角坐标系，A(0，0，0)，B(2，0，0)，c(2，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)，E 易知平面AcD的法向为设平面EAc的法向量为，由所以，可取所以所以即二面角E-Ac-D的正切值为．………………………………8分(3)设存在F∈Bc，所以SF∥平面EAc，设F(2，a，0)所以，由SF∥平面EAc，所以，所以4-2a-2=0，即a=1，即F(2，1，0)为Bc的中点.……………………………………12分21.解：（1）在直线中令x=0得y=1；令y=0得x=-1，由题意得c=b=1，∴，则椭圆方程为．…………………………3分（2）①由，，的中点坐标为，所以．……………………………………………6分②解法一：将直线PA方程代入，解得，记，则，于是，故直线的方程为，代入椭圆方程得，由，因此，………………………………………………9分∴，，∴，∴，故．…………12分解法二：由题意设，，，则，∵三点共线，∴，……………………………………8分又因为点在椭圆上，∴，两式相减得：， (10)分∴，∴．……………………………………………………12分 22.解：（I）曲线方程为，可得，可得∴的直角坐标方程：，的参数方程为，消去参数可得：的普通方程：．………………………………5分（II）由（I）知，为以（0，1）为圆心，为半径的圆，的圆心（0，1）到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为．…………………10分kj.co。
湖南省20162017学年高二上学期期末考试数学理Word版含答案
湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试理科数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试理科数学命题人：高二数学备考组 (必修3，选修2－1，选修2－2)时量：120分钟 满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)得分：____________必考试卷Ⅰ(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数－i ＋1i ＝A ．－2iB .12i C ．0 D ．2i2．在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积别离为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是A .12B .13C .14D .153．在平行六面体ABCD －A′B′C′D′中，设AC′→＝xAB →＋2yBC →＋3z CC′→，则 x ＋y ＋z ＝ A .116 B .56 C .23 D .76 4.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x 等于A ．1B ．0C ．π＋1D ．π5．若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件6．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是A ．870B ．30C ．6D ．37．在某次测量中取得的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差 8．已知f ()x ＝e x ＋2xf′()1，则f′()0等于 A ．1＋2e B ．1－2e C ．－2e D ．2e9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个核心与抛物线y 2＝4x 的核心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为A ．5x 2－4y 25＝1 B .x 25－y 24＝1C .y 25－x 24＝1D ．5x 2－5y 24＝1 10．若函数f(x)＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是A ．[－1，1]B .⎣⎡⎦⎤－1，13 C .⎣⎡⎦⎤－13，13 D .⎣⎡⎦⎤－1，－13 答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．若命题p ：x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p 为____________命题(填真，假)．12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并按照所得数据画了样本的频率散布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方式抽出100人作出一步伐查，则在[2 500，3 000](元)/月收入段应抽出________人．13．对于概念域为R 的函数f ()x ，若存在非零实数x 0，使函数f ()x 在()－∞，x 0和()x 0，＋∞上均有零点，则称x 0为函数f ()x 的一个“给力点”．现给出下列四个函数：(1)f ()x ＝3||x －1＋12；(2)f ()x ＝2＋lg ||x －1；(3)f ()x ＝x 33－x －1；(4)f ()x ＝x 2＋ax －1(a ∈R)．则存在“给力点”的函数是____________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解承诺写出文字说明，证明进程或演算步骤．14．(本小题满分11分)数列{}a n 知足S n ＝2n －a n ，其中S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n . (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值并猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想．在一个盒子里装有6张卡片，上面别离写着如下概念域为R的函数：f1(x)＝x＋1，f2(x)＝x2，f3(x)＝sin x，f4(x)＝log2(x2＋1＋x)，f5(x)＝cos x＋|x|，f6(x)＝x sin x－2.(1)此刻从盒子中任意取1张卡片，记事件A为“这张卡片上函数是偶函数”，求事件A的概率；(2)此刻从盒子中任意取两张卡片，记事件B为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事件B的概率；(3)从盒中不放回一一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，不然继续进行，记事件C为“停止时抽取次数为2”，求事件C的概率．在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.(1)求|OH| |ON|；(2)除H之外，直线MH与抛物线C是不是有其它公共点？说明理由．必考试卷Ⅱ(满分50分)一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．古希腊人常常利用小石子在沙滩上摆成各类形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 37818．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x （－2≤x ≤0），ln 1x ＋1（0<x ≤2），若g (x )＝|f (x )|－ax －a 的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12e ，1eB.⎝⎛⎦⎤12e ，ln 33C.⎣⎡⎭⎫ln 33，1eD.⎣⎡⎭⎫ln 33，12e二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．19．已知点F (c ，0)为双曲线的x 2a 2－x 2b2＝1(a ，b >0)右核心，点P 为双曲线左支上一点，线段PF 与圆⎝⎛⎭⎫x －c 32＋y 2＝b 29相切于点Q ，且PQ →＝2QF →，则双曲线的离心率为__________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解承诺写出文字说明，证明进程或演算步骤． 20．(本小题满分10分) 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝2.(1)证明：平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D ；(2)若∠BAD ＝60°，求二面角B －OB 1－C 的余弦值．21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右核心为F ，A 为短轴的一个端点且||OA ＝||OF ＝2(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆的方程；(2)若C 、D 别离是椭圆长轴的左右端点，动点M 知足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ，试问x 轴上是不是存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．22．(本小题满分13分)已知函数g ()x ＝x e (2－a )x ()a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)讨论g ()x 的单调性；(2)若函数f ()x ＝ln g ()x －ax 2的图象与直线y ＝m ()m ∈R 交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ′()x 0<0(f ′()x 为函数f ()x 的导函数)．湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案 必考试卷Ⅰ一、选择题．10.C 【解析】f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ≥0对x ∈R 恒成立，故1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ≥0，即a cos x －43cos 2x ＋53≥0恒成立，即－43t 2＋at ＋53≥0对t ∈[－1，1]恒成立，构造f (t )＝－43t 2＋at ＋53，开口向下的二次函数f (t )的最小值的可能值为端点值，故只需保证⎩⎨⎧f （－1）＝13－t ≥0，f （1）＝13＋t ≥0，解得－13≤a ≤13.二、填空题．11．真 12．2513．(2)(4) 【解析】对于(1), f ()x ＝3||x －1＋12>0，不存在“给力点”；对于(2)，取x 0＝1，f ()x 在(－∞，1)上有零点x ＝99100，在(1，＋∞)上有零点x ＝101100，所以f ()x 存在“给力点”1.对于(3)，f ′(x )＝(x ＋1)(x －1)，易知f (x )只有一个零点． 三、解答题．14．【解析】(1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158.(3分)猜想：a n ＝2n －12n －1.(5分)(2)证明如下：①当n ＝1时，a 1＝1，猜想成立；(6分)②假设n ＝k (k ≥2)时猜想成立，即a k ＝2k －12k －1，(7分)此时，S k ＝2k －2k －12k －1，S k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，a k ＋1＝12[2(k ＋1)－S k ]＝12[2(k ＋1)－⎝⎛⎭⎪⎫2k －2k －12k －1]＝2k ＋1－12（k ＋1）－1，因此，n ＝k ＋1时，猜想也成立，(10分) 由①②知，a n ＝2n －12n －1对n ∈N *成立．(11分)15．【解析】(1)由题意知，f 3(x )，f 4(x )是奇函数，f 2(x )，f 5(x )，f 6(x )是偶函数，f 1(x )是非奇非偶函数，(3分)故P (A )＝12.(4分)(2)因为大体事件总数为15，其中两个函数相加为奇函数的只有f 3(x )＋f 4(x )，即事件B 所包括的大体事件总数为1，故P (B )＝115.(8分)(3)因为大体事件总数为6×5＝30，事件C 发生当且仅当第一次取的卡片上是奇函数或非奇非偶函数，第二次取的卡片上是偶函数，故事件C ，所包括的大体事件总数为3×3＝9，P (C )＝930＝310.(12分)16．【解析】(1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t .(2分) 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t2p ，t ，(3分) ON 的方程为y ＝pt x ，(4分)代入y 2＝2px整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，(5分)因此H ⎝⎛⎭⎫2t2p ，2t .(6分)所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(8分)(2)直线MH 与抛物线C 除H 之外没有其它公共点．(9分) 直线MH 的方程为y －t ＝p2tx ，(10分)即x ＝2tp (y －t )．代入y 2＝2px 得：y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，(11分)即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 之外直线MH 与C 没有其它公共点．(12分)必考试卷Ⅱ一、选择题．17．C 【解析】观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1， a 2＝a 1＋2， a 3＝a 2＋3， …a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )， ∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，别离代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有 1 225.18．C 【解析】问题化为|f (x )|＝ax ＋a ，即两个函数图象有3个交点，别离作出图象，分析交点个数情况，求出切线斜率即可．二、填空题．19.5 【解析】如图，设左核心为F 1，连接PF 1，QC ，显然CF 1＝2CF ，由已知PQ→＝2QF→，则PF1平行于CQ，故PF1＝3CQ＝b，又按照双曲线的概念得：PF－PF1＝2a PF＝2a＋b，在直角三角形PF1F中，(2c)2＝b2＋(2a＋b)2b＝2a，即：b2＝4a2c2＝5a2e＝ 5.三、解答题．20．【解析】(1)因为A1O⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1O⊥BD.(1分)因为ABCD是菱形，所以CO⊥BD.因为A1O∩CO＝O，所以BD⊥平面A1CO.(2分)因为BD平面BB1D1D，所以平面BB1D1D⊥平面A1CO.(3分)(2)解法一：因为A 1O ⊥平面ABCD ，CO ⊥BD ，以O 为原点，OB →，OC →，OA 1→方向为x ，y ，z 轴正方向成立如图所示空间直角坐标系．因为AB ＝AA 1＝2， ∠BAD ＝60°， 所以OB ＝OD ＝1， OA ＝OC ＝3， OA 1＝AA 21－OA 2＝1.(4分)则B ()1，0，0，C ()0，3，0，A ()0，－3，0，A 1()0，0，1，所以BB 1→＝AA 1→＝()0，3，1，OB 1→＝OB →＋BB 1→＝()1，3，1.(5分) 设平面OBB 1的法向量为n ＝()x ，y ，z ， 因为OB →＝()1，0，0，OB 1→＝()1，3，1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋3y ＋z ＝0.令y ＝1，得n ＝()0，1，－3.(7分)同理可求得平面OCB 1的法向量为m ＝()1，0，－1. 所以cosn ，m＝322＝64.(8分) 因为二面角B －OB 1－C 的平面角为钝角， 所以二面角B －OB 1－C 的余弦值为－64.(10分)解法二：由(1)知平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D ， 连接A 1C 1与B 1D 1交于点O 1， 连接CO 1，OO 1， 因为AA 1＝CC 1， AA 1∥CC 1，所以CAA 1C 1为平行四边形．因为O ，O 1别离是AC ，A 1C 1的中点， 所以OA 1O 1C 为平行四边形．且O 1C ＝OA 1＝1. 因为平面A 1CO ∩平面BB 1D 1D ＝OO 1，过点C 作CH ⊥OO 1于H ，则CH ⊥平面BB 1D 1D . 过点H 作HK ⊥OB 1于K ，连接CK ，则CK ⊥OB 1. 所以∠CKH 是二面角B －OB 1－C 的平面角的补角．(5分) 在Rt △OCO 1中，CH ＝O 1C ×OC OO 1＝1×32＝32.(6分)在△OA 1B 1中，因为A 1O ⊥A 1B 1，所以OB 1＝OA 21＋A 1B 21＝ 5.因为A 1B 1＝CD ，A 1B 1∥CD ， 所以B 1C ＝A 1D ＝A 1O 2＋OD 2＝ 2.因为B 1C 2＋OC 2＝OB 21，所以△OCB 1为直角三角形．(7分) 所以CK ＝CB 1×OC OB 1＝2×35＝65.(8分)所以KH ＝CK 2－CH 2＝325.(9分)所以cos ∠CKH ＝KH CK ＝64.所以二面角B －OB 1－C 的余弦值为－64.(10分) 21．【解析】(1)由已知：b ＝c ＝2，∴a 2＝4， 故所求椭圆方程为x 24＋y 22＝1(4分)(2)由(1)知，C (－2，0)，D (2，0)．由题意可设CM ：y ＝k (x ＋2)，P (x 1，y 1)，则M (2，4k )， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，(6分) 方程显然有两个解，由韦达定理：x 1x 2＝8k 2－41＋2k 2， 得x 1＝2－4k 21＋2k 2，y 1＝4k1＋2k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设Q (x 0，0)，(8分) 若存在知足题设的Q 点，则MQ ⊥DP ，由MQ →·DP →＝0， 整理，可得8k 2x 01＋2k 2＝0恒成立，所以x 0＝0.(12分)故存在定点Q (0，0)知足题设要求．22．【解析】(1)由题可知，g ′()x ＝e (2－a )x ＋x e (2－a )x (2－a ) ＝e (2－a )x [()2－a x ＋1]．(2分)① a <2时，令g ′()x ≥0，则()2－a x ＋1≥0，∴x ≥1a －2，令g ′()x <0，则()2－a x ＋1<0，∴x <1a －2，此时函数y ＝g ()x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a －2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a －2，＋∞上单调递增．(3分) ②当a ＝2时，g ′()x >0，y ＝g ()x 在R 上单调递增．(4分)③当a >2时，令g ′()x ≥0，则()2－a x ＋1≥0，∴x ≤1a －2，令g ′()x <0，则()2－a x ＋1<0，∴x >1a －2，此时函数y ＝g ()x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a －2上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a －2，＋∞上单调递减．(5分) (2)∵f ()x ＝ln ()x e （2－a ）x －ax 2＝ln x ＋()2－a x －ax 2()x >0，(6分) ∴f ′()x ＝1x ＋()2－a －2ax ＝－()2x ＋1()ax －1x，(7分)当a ≤0时，f ′()x >0，函数在()0，＋∞上单调递增，不可能有两个交点，故a >0.(8分) 当a >0时，令f ′()x ≥0，则0<x ≤1a ；令f ′()x <0，则x >1a .故y ＝f ()x 在⎝⎛⎦⎤0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．(9分) 不妨设A ()x 1，m ，B ()x 2，m ，且0<x 1<1a <x 2，要证f ′()x 0<0， 需证ax 0－1>0， 即证x 0>1ax 1＋x 2>2ax 2>2a－x 1f ()x 2<f ⎝⎛⎭⎫2a －x 1，(10分)又f ()x 1＝f ()x 2，所以只需证f ()x 1<f ⎝⎛⎭⎫2a －x 1. 即证：当0<x <1a 时，f ⎝⎛⎭⎫2a －x －f ()x >0.(11分)设F ()x ＝f ⎝⎛⎭⎫2a －x －f ()x ＝ln ()2－ax －ln ()ax ＋2ax －2(★) 则F ′()x ＝－a2－ax －1x ＋2a ＝－2()ax －12x ()2－ax <0， ∴F ()x ＝f ⎝⎛⎭⎫2a －x －f ()x 在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，(12分) 又F ⎝⎛⎭⎫1a ＝f ⎝⎛⎭⎫2a －1a －f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0， 故F ()x ＝f ⎝⎛⎭⎫2a －x －f ()x >0.(13分)【注】若是学生在(★)式开始直接分析函数的单调性，取得函数为单调递减函数，再证明结论，也可给满分．。
辽宁省2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
辽宁省2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（1，0）C．D．2．双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A． B．C． D．3．如果A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），则直线l的方程是（）A．x﹣3y+8=0 B．3x+y+4=0 C．x+3y﹣4=0 D．3x﹣y+8=04．将甲，乙两名同学5次数学测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多一件一等品6．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜207．曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等8．已知a＞0，b＞0，a+b=1，则y=的最小值是（）A．B．4 C．9 D．59．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．B．3 C．D．10．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．4011．若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2 D．﹣212．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3]二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．如图所示程序，若输入8时，则下列程序执行后输出的结果是．14．如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．15．已知x、y的取值如表所示：从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a= ．16．双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲线的方程为．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤.17．（10分）已知圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m 为何值时（1）直线平分圆；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆有两个公共点．18．（12分）一个容量为M的样本数据，其频率分布表如表．（Ⅰ）完成频率分布表； （Ⅱ）画出频率分布直方图；（Ⅲ）利用频率分布直方图，估计总体的众数、中位数及平均数． 19．（12分）已知抛物线C ：y 2=4x 与直线y=2x ﹣4交于A ，B 两点．（1）求弦AB 的长度；（2）若点P 在抛物线C 上，且△ABP 的面积为12，求点P 的坐标．20．（12分）设实数x 、y 满足（1）求的取值范围；（2）求z=x 2+y 2的取值范围．21．（12分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣2）x ﹣b 2+16=0． （1）若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有实根的概率； （2）若a ∈[2，6]，b ∈[0，4]，求方程没有实根的概率． 22．（12分）已知椭圆C ：的离心率，焦距为2（1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆C 与直线x ﹣y+m=0相交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的中点不在圆x 2+y 2=1内，求实数m 的取值范围．辽宁省高级中学2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（1，0）C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．2．双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A． B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线的标准方程，求得其特征参数a、b、c的值，再利用双曲线渐近线方程公式和离心率定义分别计算即可【解答】解：双曲线：的a=1，b=2，c==∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==故选 D【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线特征参数a、b、c的几何意义，双曲线几何性质：渐近线方程、离心率的求法，属基础题3．如果A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），则直线l的方程是（）A．x﹣3y+8=0 B．3x+y+4=0 C．x+3y﹣4=0 D．3x﹣y+8=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】由题意可得直线l为线段AB的中垂线，求得AB的中点为（﹣2，2），求出AB的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．【解答】解：∵已知点A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），故直线l为线段AB 的中垂线．求得AB的中点为（﹣2，2），AB的斜率为=，故直线l的斜率为﹣3，故直线l的方程为 y﹣2=﹣3（x+2），化简可得3x+y+4=0．故选：B．【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，斜率公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于中档题．4．将甲，乙两名同学5次数学测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定【考点】茎叶图．【分析】利用茎叶图中的数据和中位数的定义即可得出结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得甲、乙二人的中位数分别是x甲=79，x乙=82，且在茎叶图中，乙的数据更集中，∴x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定．故选：A．【点评】本题考查了中位数的求法与方差的判断问题，是基础题．解题时要注意茎叶图的性质的灵活运用．5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（ ）A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多一件一等品 【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从5件产品中任取2件，有C 52种结果，通过所给的条件可以做出都不是一等品有1种结果，恰有一件一等品有C 31C 21种结果，至少有一件一等品有C 31C 21+C 32种结果，至多有一件一等品有C 31C 21+1种结果，做比值得到概率．【解答】解：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件， 从5件产品中任取2件，有C 52=10种结果，∵都不是一等品有1种结果，概率是，恰有一件一等品有C 31C 21种结果，概率是，至少有一件一等品有C 31C 21+C 32种结果，概率是，至多有一件一等品有C 31C 21+1种结果，概率是，∴是至多有一件一等品的概率，故选D ．【点评】本题考查古典概型，是一个由概率来对应事件的问题，需要把选项中的所有事件都作出概率，解题过程比较麻烦．6．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】循环结构．【分析】结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．【解答】解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A【点评】本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制．7．曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等【考点】椭圆的简单性质．【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．【解答】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选D．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．8．已知a＞0，b＞0，a+b=1，则y=的最小值是（）A．B．4 C．9 D．5【考点】基本不等式．【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（a+b）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴y=（a+b）（）=5+≥5+2=9，当且仅当，即b=2a时等号成立．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．9．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．B．3 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和．故选A．【点评】本小题主要考查抛物线的定义解题．10．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．故选B【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．11．若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2 D．﹣2【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】利用平方差法：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），将A、B坐标代入椭圆方程，两式作差变形，根据斜率公式、中点坐标公式即可求得答案．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，将A、B坐标代入椭圆方程，得①，②，①﹣②得，，即=﹣，所以此弦所在直线的斜率为﹣．故选A．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及直线的斜率，属中档题，涉及弦中点问题往往考虑平方差法解决，即设弦端点坐标，代入圆锥曲线方程，作差变形，借助斜率公式、中点坐标公式可得弦的斜率与中点坐标间的关系．12．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3]【考点】函数与方程的综合运用．【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选D．【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．如图所示程序，若输入8时，则下列程序执行后输出的结果是0.7 ．【考点】选择结构．【分析】t=8，不满足条件t≤4，则执行Else后的循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：t=8，不满足条件t≤4执行Else后循环体，c=0.2+0.1（8﹣3）=0.7故输出0.7．故答案为：0.7【点评】本题主要考查了选择结构，属于基础题．14．如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．【考点】几何概型．【分析】先由黄豆试验估计，黄豆落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．【解答】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s则有∴s=故答案为：【点评】本题主要考查实验法求概率以及几何概型中面积类型，将两者建立关系，引入方程思想．15．已知x、y的取值如表所示：从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a= 2.6 ．【考点】线性回归方程．【分析】根据表中的数据可以分别求出变量x，y的算术平均值，而根据回归方程知道直线的斜率为0.95，然后带入求截距的公式即可求出a．【解答】解：根据表中数据得：；又由回归方程知回归方程的斜率为0.95；∴．故答案为：2.6．【点评】考查线性相关的概念，回归方程中直线的斜率和截距的计算公式，以及变量的算术平均值的计算．16．双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲线的方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】设双曲线的标准方程为，（a＞0，b＞0），由已知得，由此能求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，∴双曲线的焦点坐标为，，设双曲线的标准方程为，（a＞0，b＞0），∴，解得a=2，c=，b=1，∴该双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时发认真审题，注意双曲线性质的合理运用．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤.17．（10分）（2013秋•安康期末）已知圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时（1）直线平分圆；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆有两个公共点．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据题意，由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，直线平分圆即直线过圆心，所以把圆心坐标代入直线方程中即可求出m的值；（2）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于m的方程，求出方程的解即可得到符合题意m的值；（3）直线与圆有两公共点即直线与圆相交，即圆心到直线的距离公式小于圆的半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d小于圆的半径列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的m的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，得到圆心坐标为（1，1），圆的半径r=2，（1）当直线平分圆时，即直线过圆的直径，把（1，1）代入y=x+m中，解得m=0；（2）当直线与圆相切时，圆心（1，1）到直线y=x+m的距离d==r=2，解得m=±2；（3）当直线与圆有两个公共点即直线与圆相交时，圆心（1，1）到直线的距离d=＜r=2，解得：﹣2＜m＜2．所以，当m=0时，直线平分圆；当m=±2时，直线与圆相切；当﹣2＜m＜2时，直线与圆有两个公共点．【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切及相交时所满足的条件，是一道综合题．18．（12分）（2016秋•南关区校级期末）一个容量为M的样本数据，其频率分布表如表．（Ⅰ）完成频率分布表；（Ⅱ）画出频率分布直方图；（Ⅲ）利用频率分布直方图，估计总体的众数、中位数及平均数．【考点】频率分布表；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据小组（10，20]的频数与频率，求出样本容量，再求出各小组对应的数据，补充完整频率分布表；（2）根据频率分布表，画出频率分布直方图；（3）根据频率分布直方图，求出众数、平均数与中位数．【解答】解：（1）在小组（10，20]中，频数是2，频率是0.10，∴样本数据为=20；∴小组（20，30]的频率为=0.15；小组（40，50]的频数为20﹣2﹣3﹣4﹣4﹣2=5，频率为=0.25；频数合计为20；由此补充频率分布表如下：（2）根据频率分布表，画出频率分布直方图如下：（3）根据频率分布直方图，得； 图中最高的小矩形的底边中点坐标是=45，∴众数为45；平均数为=15×0.1+25×0.15+35×0.20+45×0.25+55×0.20+65×0.10=41； ∵0.10+0.15+0.20=0.45＜0.5， 0.45+0.25=0.70＞0.5， 令0.45+0.25×x=0.5，解得x=2，∴中位数为40+2=42．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应利用分布直方图进行有关的运算，是基础题目．19．（12分）（2016秋•南关区校级期末）已知抛物线C：y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B两点．（1）求弦AB的长度；（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；两点间的距离公式．【分析】（1）利用弦长公式即可求得弦AB的长度；（2）设点，利用点到直线的距离公式可表示出点P到AB的距离d，S△PAB=••d=12，解出即可；【解答】解：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得x2﹣5x+4=0，△＞0．由韦达定理有x1+x2=5，x1x2=4，∴|AB|==，所以弦AB的长度为3．（2）设点，设点P到AB的距离为d，则，∴S△PAB=••=12，即．∴，解得yo =6或yo=﹣4∴P点为（9，6）或（4，﹣4）．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查学生的计算能力，属中档题．20．（12分）（2016秋•南关区校级期末）设实数x、y满足（1）求的取值范围；（2）求z=x2+y2的取值范围．【考点】简单线性规划．【分析】（1）先根据约束条件画出可行域，根据的几何意义求最值，（2）根据z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点距离的平方，即可求出最值．【解答】解：（1）满足y满足约束条件的平面区域如图所示，A（1，2），B（4，2），C（3，1），（1）的几何意义可行域上的点是到原点的斜率；当直线为OA时，u有最大值为2；当直线为OC时，u有最小值为；所以，（2）z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点距离的平方；z=x2+y2的最大值为|OB|2=20，最小值为O到直线AC的距离的平方，为5；所以，z∈[5，20]【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．21．（12分）（2016秋•南关区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0．（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有实根的概率；（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．【考点】几何概型．【分析】（1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个满足条件的事件是二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有实根，根据实根与系数的关系式，得到概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}，做出两者的面积，得到概率【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有实根，等价于△=4（a﹣2）2+4（b2﹣16）≥0，即（a﹣2）2+b2≥16，“方程有两个根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（1，6），（1，5）．（1，4），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4），（6，5），（6，6），共22个∴所求的概率为P（A）=；（2）由题意知本题是一个几何概型，；试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}其面积为S（B）=×π×42=4π∴所求的概率P（B）=；【点评】本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目22．（12分）（2016秋•南关区校级期末）已知椭圆C：的离心率，焦距为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知椭圆C与直线x﹣y+m=0相交于不同的两点M、N，且线段MN的中点不在圆x2+y2=1内，求实数m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用离心率与焦距，求出a2=2，b2=1，即可得到椭圆的方程．（2）联立方程，消去y，利用判别式求出m的范围，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理求出MN中点坐标，通过MN的中点不在圆x2+y2内，得到不等式，求解即可．【解答】解：（1）由题意知，2c=2，又a 2﹣b 2=c 2，解得，c=1，∴a 2=2，b 2=1 故椭圆的方程为…（2分）（2）联立方程，消去y 可得3x 2+4mx+2m 2﹣2=0则…设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则，∴MN 中点坐标为…（8分） 因为MN 的中点不在圆x 2+y 2内，所以或…（10分）综上，可知或…（12分） 注：用点差法酌情给分【点评】本题考查椭圆的方程的求法，在下雨椭圆的位置关系的综合应用，圆的方程的综合应用，考查计算能力．。
2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于 ．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1． （ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值； （2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？ 并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞） 故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件， 故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1， 故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中， 由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1， 故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1， 由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12， 故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。
江苏省徐州市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
2016～2017学年度第一学期期末抽测高二年级数学试题(理)参考公式：柱体的体积公式：Sh V =,其中S 是柱体的底面面积,h 是高.锥体的体积公式：Sh V 31=,其中S 是锥体的底面面积,h 是高.圆柱的侧面积公式：cl S =,其中c 是圆柱的底面周长,l 是母线长. 球体的表面积公式：24R S π=，其中R 为球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．命题p ：R x ∈∀，1sin ≤x 的否定是 ． 2．准线方程为1-=x 的抛物线的标准方程为 ． 3．底面半径为1高为3的圆锥的体积为 ．4．双曲线1622=-y m x 的一条渐近线方程为x y =，则实数m 的值为 ． 5．若直线:1l 014=-+y x 与:2l 02=++y kx 互相垂直，则k 的值为 ． 6．函数x x y 33-=的单调减区间是 ．7．在正方体1111D C B A ABCD -中，与AB 异面且垂直的棱共有 条．8．已知函数x x x f sin 3cos )(+=，则)3(πf '的值为 ．9．“b a =”是“22b a =”成立的 条件．(填“充分不必要”、“必 要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)10．若圆422=+y x 与圆1)(22=+-y t x 外切，则实 数t 的值为 ．11．如图，直线l 是曲线)(x f y =在点))4(,4(f 处的 切线，则)4()4(f f '+的值等于 ．12．椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上存在点P ，满足︒=∠12021PF F ，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．13．已知)1,3(A ，)0,4(-B ，P 是椭圆192522=+y x 上的一点，则PB PA +的最大值 为 ．14．已知函数x x f ln )(=，x x x g 221)(2-=，当2>x 时3)(2)()2(+'+<-x g x xf x k 恒成立，则整数k 最大值为 ． 二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)在三棱锥ABC P -中，AB AP =，平面⊥PAB 平面ABC ，︒=∠90ABC ，E D ,分别为BC PB ,的中点．(1) 求证：DE ∥平面PAC ； (2) 求证：AD DE ⊥．16.(本小题满分14分)已知圆C 的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分 别为)2,1(-P ，)4,3(Q .(1)求圆C 的方程； (2)若直线b x y +=2被圆C 截得 的弦长为52，求b 的值．17．(本小题满分14分)在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=A A ，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线B A 1与1AC 所成角的余弦值； (2)求直线1AB 与平面AD C 1所成角的正弦值．18．(本小题满分16分)某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按 照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容 积为π3．设圆柱体的底面半径为x ，圆柱体的高为h ，瓶体的表面积为S . (1)写出S 关于x 的函数关系式，并写出定义域；(2)如何设计瓶子的尺寸(不考虑瓶壁的厚度)， 可以使表面积S 最小，并求出最小值.19.(本小题满分16分)已知二次函数)4()(2<++=c c bx ax x h ，其导函数)(x h y '= 的图象如图所示，函数)(ln 8)(x h x x f +=．(1)求b a ,的值； (2)若函数)(x f在区间)21,(+m m 上是单调增函数，求实数m 的取值范围； (3)若对任意]1,1[-∈k ，]8,0(∈x ，不等 式)()1(x f x k ≥+恒成立，求实数c 的取值范围．20.(本小题满分16分)把半椭圆)0(12222≥=+x by a x 与圆弧)0()(222<=+-x a y c x合成的曲线称作“曲圆”，其中)0,(c F 为半椭圆的右焦点.如图，2121,,,B B A A 分别是“曲圆”与x 轴、y 轴的交点，已知3221π=∠FB B ，扇形211B A FB 的面 积为34π. (1)求c a ,的值； (2)过点F 且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于Q P ,两点，试将PQ A 1∆的周长L 表示为θ的函数； (3)在(2)的条件下，当PQ A 1∆的周长L 取得 最大值时，试探究PQ A 1∆的面积是否为定值？ 若是，请求出该定值；若不是，请求出面积 的取值范围.2016~2017学年度第一学期期末抽测高二数学（理）参考答案与评分标准一、填空题 1．,sin 1x xR $? 2．24y x = 3．π 4．6 5．4- 6．(1,1)- 7．48．0 9．充分不必要 10．3± 11．11212． 13．10+ 14．5二、解答题15．（1）因为,D E 分别为,PB BC 的中点，所以DE PC ∥，…………………………2分又DE Ë平面PAC ，PC Ì平面PAC ，故DE ∥平面PAC ．……………5分 （2）因为,AP AB PD DB ==，所以AD PB ^， ………………………………7分因为平面PAB ^平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，又BC AB ^，BC Ì平面ABC ，所以BC ^平面PAB ，…………………10分 因为AD Ì平面PAB ，所以AD BC ^，……………………………………11分 又PB BC B =，PB ，BC Ì平面ABC ，故AD ^平面PBC ，………13分 因为DE Ì平面PBC ，所以D E AD ^．……………………………………14分16．（1）由已知可知PQ 为圆C 的直径，故圆心C 的坐标为(2,1)，…………………2分圆C的半径12r PQ ==，…………………………………………………4分 所以圆C 的方程是：22(2)(1)10x y -+-=．………………………………6分（2）设圆心C 到直线2y x b =+的距离是d =9分据题意得：2210d +=，…………………………………………………12分即2(3)5105b ++=，解之得，2b =或8b =-17．（1）以1{,,}AB AC AA为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0)B ，1(0,0,4)A ，1(0,2,4)C ，(1,1,0)D ，所以1(2,0,4)A B =-，1(0,2,4)AC=， (111111)4cos ,5A B AC A B AC A B AC×<>==-， 所以异面直线11,A B AC 所成角的余弦值为45．…7分 （2）由（1）可知1(0,2,4)AC =，(1,1,0)AD =，设平面1C AD 的法向量为(,,)x y z =n ，则可得100AC AD ìï?ïíï?ïîn n ，即2400y z x y ì+=ïïíï+=ïî，………9分 取2x =，可得2y =-，1z =，故(2,2,1)=-n 是平面1C AD 的一个法向量，…………………………………11分而1(2,0,4)AB=，设直线1AB 与平面1C AD 所成的角为q ，111sin cos ,AB AB ABq ×=<>==n n n13分 所以直线1AB 与平面1C AD．………………………14分 18．（1）据题意，可知23x h p p =，得23h x =，………………………………………2分 2222136423,(0)2S x x x x x xxp p pp p =?+?+> ………………………6分（注：未写出定义域的扣1分） （2）'266S x xpp =-，…………………………………………………………………8分 令'0S =，得1x =?，舍负…………………………………………………10分当1x =时，S 取得极小值，且是最小值……………………………………15分 答： 当圆柱的底面半径为1时，可使表面积S 取得最小值9p ．…………16分19．（1）据题意，扇形的半径即为a ，所以214π33a =解得2a =，1cos601c OF B F ==装=．…2（2）不妨取Q 在x 轴上方，当π(0,)3q Î时，取1A P 的中点M ，连结MF ，1(1,0)A -为椭圆的左焦点，11L AQ FQ FP A P =+++ 11()2AQ FQ FP A M =+++22a a a =++ 当π2π[,]33q Î时，11L AQ FQ FP A P =+++228a a =+=，………………6分 当2π(,π)3q Î时，11L AQ FQ FP A P =+++π22sin 2a a a q-=++ 64cos 2q=+，………………………………………8分所以π64sin ,(0,),23π2π()8,[,],332π64cos ,(,π).23L q q q q q q ìïï+?ïïïïïï=?íïïïïï+?ïïïî………………………………………9分 (第19题图)（3）1A PQ △的面积不是定值．由（2）可知，当且仅当π2π[,]33q Î时，L 取得最大值8， 此时,P Q 均在半椭圆221(0)43x y x ≥+=上， 设PQ的方程为1(x my m =+-，1122(,),(,)P x y Q x y ， 联立221,143x my x y ì=+ïïïíï+=ïïïî，消去x 并整理得，22(43)690m y my ++-=，………11分 223636(43)0m m D =++>，12122269,4343m y y y y m m -+=-=++， 22221212122222236(44)144(1)()4(43)9(1)6(1)1m m y y y y y y m m m ++-=+-==+++++221449(1)61m m =++++，………………………………………13分 令21m t +=，则4[1,]3t Î，记14()9,[1,]3g t t t t =+?，'21()90g t t =->，所以()g t 在4[1,]3t Î上单调增且恒正，故20m =时，212y y -取得最大值14416，所以12max 123y y -==，当213m =时，212y y -取得最小值57675，所以12min y y -=，故11121||||2A PQ S A F y y D =鬃-?．…………………………………16分 20．（1）'()2h x ax b =+，由'(5)0,'(0)10h h ==-，解得1,10a b ==-．……………………………………………………………2分（2）2()8ln 10f x x x x c =+-+，则82(1)(4)'()210x x f x x x x--=+-=，令'()0f x =，得1x =或4x =，列表如下：…………………………………3分……………………………………………………………………………………5分因()f x 在区间1(,)2m m +是单调增函数， 所以1(,)(0,1)2m m +?或1(,)(4,)2m m +??，……………………………6分所以0,112m m ≤≤ìïïïíï+ïïî或4m ≥， 所以实数m 的取值范围为1[0,][4,)2+?．…………………………………8分（3）由(1)()k x f x ≥+在(0,8]x Î恒成立，整理得8ln 11x ck x x x ≥+-+对任意[1,1]k ?恒成立， 所以应有8ln 111x cx x x ≥-+-+恒成立，即28ln 10c x x x ≤--+对(0,8]x Î恒成立．………………………………10分设2()8ln 10,(0,8]g x x x x x =--+?， 则82(1)(4)'()2104x x g x x x --=--+=-， 令'()0g x =，得1x =或4x =，列表如下：…………………………………………………………………………………12分(1)(8)9168ln88ln878ln888(ln81)0g g -=-+=->-=->，所以()g x 在(0,8]x Î的最小值为(8)168ln8g =-，又4c <，2168ln84128ln8128ln 12160e --=-<-=-<，所以实数c 的取值范围是(,168ln8]-?．…………………………………16分。
2016-2017学年福建省高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2016-2017学年福建省高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ） A ．50 B ．40 C ．25 D ．202.已知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，若()30.023P ξ>=，则()33P ξ-≤≤=（ ） A ．0.954 B ．0.023 C ．0.977 D ．0.0463.执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）A ．[]62--，B ．[]51--，C ．[]4,5-D ．[]3,6- 4.如图所示的程序表示的算法是（ ）A ．交换m 与n 的位置B ．辗转相除法C ．更相减损术D ．秦九韶算法 5.已知随机变量,X Y 满足8X Y +=，若()10,0.6X B ~，则()(),E Y D Y 分别是（ ） A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.66.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某处运动，得到如下的列联表：由卡方公式算得：27.8K ≈ 附表：参照附表：得到的正确的结论是（ ）A ．在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”B ．在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别无关”7.已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上的一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线(C 为圆心)，,A B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则k 的值为（ ）A ．3B ．．2 8.设某大学的女生体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n = ，用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是（ ）A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(),x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高增加170cm ，则可断定其体重必为58.79kg9.已知圆2221:24C x y mx m +-+=，圆()2222:2283C x y x my m m ++-=->，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．外离10.有4位同学在同一天的上午、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学测试两个项目，分别在上午和下午，且每人上午和下午测试的项目不能相同．若上午不测“握力”，下午不测“台阶”，其余项目上午、下午都各测试一人，则不同的安排方式的种数为（ ）A ．264B ．72C ．266D ．274 11.若()()2013201301201312x a a x a x x R -=+++∈ ，则201312232014222a a a +++值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12- D ．1-12.在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，则圆心C 的横坐标的取值范围为（ ） A ．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,1 C ．121,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．120,5⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 ．14.一个盒子中装有4只产品，其中3只是一等品，1只是二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 是“第二次取到的是一等品”，则()/P B A ．(()/P B A 为A 在发生的条件下B 发生的概率)15.若,x y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪>-⎩，则1y z x =+的范围是 ．16.已知函数()()y f x x I =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数(),y h x x I =∈.即(),y h x x I =∈满足对任意x I ∈，两点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称.若()h x 是()g x =()3f x x m =+的对称函数，且()()h x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）(1)设集合{}1,2,3M =和{}1,1,2,3,4,5N =-，从集合M 中随机取一个数作为a ，从N 中随机取一个数作为b .求所取的两数中能使2b a ≤时的概率；(2)设点(),a b 是区域6000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求能使2b a ≤时的概率.18. （本小题满分12分）已知圆22:4230C x y x y +-+-=和圆外一点()4,8M -.（1）过M 作圆C 的切线，切点为,D E ，圆心为C ，求切线长及DE 所在的直线方程； （2）过M 作圆的割线交圆于,A B 两点，若4AB =，求直线AB 的方程.19. （本小题满分12分）某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[]50,6060,7070,8080,9090,100、、、、.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数；（3）若这100名学生的语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示，求数学成绩在[)50,90之外的人数.（分数可以不为整数）20. （本小题满分12分）设平面直角坐标系xOy 中，设二次函数()()2f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .求： （1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程（用含b 的方程表示）（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.21. （本小题满分12分）某中学高二年级共有8个班，现从高二年级选10名同学组成社区服务小组，其中高二（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X 为选出的同学来自高二（1）班的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.22. （本小题满分10分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为,,a b c . （1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同”的概率.2016-2017学年福建省高二上学期期末考试数学（理）试题答案一、选择题1-5: CADBB 6-10:CDDDA 11、12：CA 二、填空题 13.534 14. 32 15. 1(,]3-∞ 16. 102>m 三、解答题17. 解（1）∵2b≤a,若a=1则b=－1， 若a=2则b=－1，1,若a=3则b=－1，1，记事件A 为“所取的两数中能使2b ≤a ”,则事件A 包含基本事件的个数是1+2+2=5 ∴所求事件A 的概率为P(A)= 518（2）依题设条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧a+b-6≤0a ＞0b ＞0 ,而构成所求事件的区域为三角形AOB 部分,如图所示.由⎩⎪⎨⎪⎧a+b-6=0b= a 2解得交点为B(4,2).∴所求事件的概率为P=S △AOB S △AOC = 12 ×6×212 ×6×6 = 1318.解（1）圆方程22(2)(1)8x y -++=，||CM ==由于,,,C D M E 四点共圆，则过,,,C D M E 的圆方程为22953(3)()24x y -++=由于DE 为两圆的公共弦，则两圆相减得DE 直线方程为：27190x y --=. （如用圆的切线方程求出的相应给分）（2）①若割线斜率存在，设:8(4)AB y k x +=-，即480kx y k ---=. 设AB 的中点中点为N ，则||CN =||CN ⇒=由222||||()2AB CN r +=，得4528k =-；直线:4528440AB x y ++=. ②若割线斜率不存在，:4AB x =.代入圆方程得2122301,3y y y y +-=⇒==-，符合题意. 综上直线:4528440AB x y ++=或4x =.19、解：（1）由概率和为1可得：005.01204.03.02.0=⇒=+++a a（2）区间]70,50的概率和为45.04.005.0=+，则区间]80,70[中还需拿出概率05.0的区域才到达概率为5.0，即区间]80,70[要拿出61的区域，故中位数为3271106170=⨯+.（3）根据上表知：)90,50[外的人数为：10)2540205(100=+++- 20、解：（Ⅰ）令x ＝0，得二次函数图象与y 轴交点是（0，b ）；因为二次函数二次项系数为1，由二次函数性质得二次函数()()2f x x x b x R =++∈的图象必与x 轴有两个交点．令()20f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得14b <且b ≠0． （Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令y ＝0 得20x Dx F ++=这与20x x b ++= 是同一个方程，故D ＝1，F ＝b ． 令x ＝0 得20y Ey b ++=，此方程有一个根为b 且b ≠0，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为22(1)0x y x b y b ++-++=.（Ⅲ）圆C ：22(1)0x y x b y b ++-++=方程化为22(1)0x y x y b y ++---= 则圆C 必过定点（0，1）和（－1，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－1，1）．21.解：（1）三名学生均不来自高二（1）班的概率为24712035310371===C C p 三名学生有1名来自高二（1）班的概率为40211206331027132==⨯=C C C p 三名学生来自不同班级的概率为60494021247=+=p （2）0=X 时，2471203531037===C C p ，1=X 时，4021120633101327==⨯=C C C p 2=X 时，407120213102317==⨯=C C C p ，3=X 时，120131033==C C p . X 的分布列如下表：9.0101203402401240)(==⨯+⨯+⨯+⨯=x E22.解：（1）由题意，随机有放回的抽取3次，基本事情（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3）……（3，3，3）共有27个 又c b a =+包含三个基本事件：（1，1，2），（1，2，3），2，1，3）源:Z+xx+] 对应的概率31279p ==. （2）“c b a ,,不完全相同”的对立事件是“c b a ,,完全相同”， “c b a ,,完全相同”包含三个基本事件：“3,2,1=========c b a c b a c b a ” 所以381279p =-=.。
北京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
北京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A. 6πB. 3πC. 23πD. 56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为A. 220x y +-=B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12,则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π4. 在空间中，下列命题正确的是A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B. 31C. 3D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是 A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[- D. ]22,22[- 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a ，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =- 且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________.13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点.求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM ,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点.（I ） 求证：AC ⊥PB ；（II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分） 已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：D O A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分） 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6.（I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.北京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷参考答案一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =± 10. -4 11. (1,-2,0)12. 3 13. (-4,24±) 14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末考试题及答案
2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。