2020年九年级数学中考压轴专题：圆的综合计算与证明(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《圆的综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《圆的综合》1．如图，在等边△ABC中，已知AB＝8cm，线段AM为BC边上的中线．点N在线段AM上，且MN＝3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的．以点C 圆心，以CN为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点．（1）填空：∠DCE＝60 度，CN＝ 5 cm，AM＝4cm．（2）如图1当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长．（3）当点D在MA的延长线上时，请在图2中画出示意图，并直接写出PQ＝ 6 cm．当点D在AM的延长线上时，请在图3中画出示意图，并直接写出PQ＝ 6 cm．解：（1）∵△CBE是由△CAD旋转得到，∴∠ACD＝∠BCE，∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝∠BCD+∠CAD＝∠ACB，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝60°；∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，∴BC＝AB＝8cm，CM＝BC＝×8＝4cm，在Rt△CMN中，CN＝＝＝5cm；在Rt△ACM中，AM＝＝＝4cm；（2）过点C作CF⊥PQ于F，∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，∴∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∵△CBE是由△CAD旋转得到，∴∠CBE＝∠CAD＝30°，∴CF＝BC＝×8＝4cm，连接CP，则PC＝CN＝5cm，在Rt△PCF中，PF＝＝＝3cm，由垂径定理得，PQ＝2PF＝2×3＝6cm；（3）①如图，点D在MA的延长线上时，∵△CBE是由△CAD旋转得到，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBQ＝∠CAM＝30°，与（2）同理可求PQ＝6cm，②如图，点D在AM的延长线上时，∵△CBE是由△CAD旋转得到，∴∠CBE＝∠CAD＝30°，与（2）同理可求PQ＝6cm，综上所述，PQ的长度不变都是6cm．故答案为：（1）60，5，4；（3）6，6．2．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC 与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB＝∠ACD．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）求证：CD2＝CG•CA；（3）若⊙O的半径为，BG的长为，求tan∠CAB．解：（1）∵∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，∴∠OEB＝∠ABD，∵OF⊥BD，∴∠BFE＝90°，∴∠OEB+∠EBF＝90°，∴∠ABD+∠EBF＝90°，即∠OBE＝90°，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线；（2）连接AD，∵OF⊥BD，∴＝，∴∠DAC＝∠CDB，∵∠DCG＝∠ACD，∴△DCG∽△ACD，∴＝，∴CD2＝AC•CG；（3）∵OA＝OB，∴∠CAO＝∠ACO，∵∠CDB＝∠CAO，∴∠ACO＝∠CDB，而∠CFD＝∠GFC，∴△CDF∽△GCF，∴＝，又∵∠CDB＝∠CAB，∠DCA＝∠DBA，∴△DCG∽△ABG，∴＝，∴＝，∵r＝，BG＝，∴AB＝2r＝5，∴tan∠CAB＝tan∠ACO＝＝＝．3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．①求证：FD＝FG．②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°；∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，∴MN是⊙O的切线；（2）①证明：∵D是弧AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG；②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△BDE与Rt△BDH中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），∴BE＝BH，∵D是弧AC的中点，∴AD＝DC，在Rt△ADE与Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．∴AE＝CH．∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，∴AE＝1．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．（1）求证：AO是△ABC的角平分线；（2）若tan∠D＝，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．（1）证明：连接OF，∵AB与⊙O相切于点F，∴OF⊥AB，∵∠ACB＝90°，OC＝OF，∴∠OAF＝∠OAC，即AO是△ABC的角平分线；（2）如图2，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴，∴；（3）由（2）可知：＝，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2＝AE•AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，如图3，连接CF交AD于点G，∵AC，AF是⊙O的切线，∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，∴CF⊥AO，∴∠ACO＝∠CGO＝90°，∵∠COG＝∠AOC，∴△CGO∽△ACO，∴，∴OG＝，∴CG＝＝＝，∴CF＝2CG＝．5．如图1，已知AB是⊙O的直径，点D是弧AB上一点，AD的延长线交⊙O的切线BM于点C，点E为BC的中点，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图2，若DC＝4，tan∠A＝，延长OD交切线BM于点H，求DH的值；（3）如图3，若AB＝8，点F是弧AB的中点，当点D在弧AB上运动时，过F作FG⊥AD 于G，连接BG，求BG的最小值．（1）证明：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵BM是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BC＝BE＝CE，∴∠EDB＝∠EBD，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BD，∵∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∵DC＝4，tan∠A＝，∴tan∠CBD＝tan∠A＝，∴BD＝8，∴BC＝＝4，∴DE＝，∴AB＝，∴BO＝OD＝4，又∵DE是⊙O的切线，∴∠HDE＝90°，∴tan∠DHE＝＝，设DH＝x，则，∴BH＝2x，在Rt△BOH中，OB2+BH2＝OH2，即，解得：x＝或x＝0（舍去），∴DH＝；（3）解：如图3，连接BF，取AF中点N，构造圆N，连接NG，∵FG⊥AD于点G，∴当点D在弧AB上运动时，点G在圆N上运动，∴当点N、G、B三点共线时，BG有最小值，∵AB＝8，点F是弧AB的中点，∴∠AFB＝90°，AF＝BF＝，∴NG＝NF＝，BN＝＝＝2，∴BG＝BN﹣NG＝2．6．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O，以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P．AB ＝6，BC＝，（1）求证：F是DC的中点．（2）求证：AE＝4CE．（3）求图中阴影部分的面积．（1）证明：由折叠的性质可知，AF＝AB＝6，在Rt△ADF中，DF＝＝＝3，∴CF＝DC﹣DF＝3，∴DF＝FC，即F是CD的中点；（2）证明：在Rt△ADF中，DF＝3，AF＝6，∴∠DAF＝30◦，∴∠BAF＝60◦，由折叠的性质可知，∠EAF＝∠EAB，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF，∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝30◦，∴EF＝2CE，∴AE＝4CE；（3）解：连接OP、OH、PH，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∴OP∥DF，∵∠DAF＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠DAF＝60°，OF＝OP＝OA，∴∠OFH＝∠AOP＝60°，OP＝OF＝2，∴AP＝＝2，∴DP＝AD﹣AP＝，∵∠OFH＝60°，OH＝OF，∴△OHF为等边三角形，∴∠FOH＝∠OHF＝60°，HF＝OF＝2，∴DH＝DF﹣HF＝1，∵OP∥DF，∴∠POH＝∠OHF＝60°，∴∠POH＝∠HOF，∴＝，∴阴影部分的面积＝△PDH的面积＝×DH×DP＝．7．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1于点F．（1）求证：FC＝FD．（2）当E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若＝，且AB＝30，则OP＝9 ．证明：（1）连接OC，（1）证明：连接OC∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴∠OCB+∠DCF＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵PD⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∴∠BDP＝∠DCF，∵∠BDP＝∠CDF，∴∠DCF＝∠CDF，∴FC＝FD；（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC，∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②∵，∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝302，解得k＝6，∴AC＝18，BC＝24，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝12，＝OE×BH＝OB×PE，即15×12＝15PE，解得：PE＝12，∴S△OBE由勾股定理得OP＝＝＝9．故答案为：9．8．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB＝4，且点E是的中点，求DF的长为4﹣2；②取的中点H，当∠EAB的度数为30°时，求证：四边形OBEH为菱形．解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴∠ADF＝∠BDG＝90°∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°∴∠DAF＝∠DBG∵∠ABD+∠BAC＝90°∴∠ABD＝∠BAC＝45°∴AD＝BD∴△ADF≌△BDG（ASA）；（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是的中点，∴∠BAE＝∠DAE∵FD⊥AD，FH⊥AB∴FH＝DF，∵sin∠ABD＝＝sin45°＝，∴，即BF＝FD，∵AB＝4，∴BD＝4cos45°＝2，即BF+FD＝2，∴，∴＝4﹣2．故答案为：4﹣2．②证明：如图3，连接OH，EH，OE，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，∴∠ABE＝60°，∵点H是的中点，∴∠AOH＝∠HOE＝60°，∴△OEH和△OBE都是等边三角形，∴OB＝OH＝HE＝BE，∴四边形OBEH为菱形．9．已知：AB为⊙O的直径，，D为AC上一动点（不与A、C重合）．（1）如图1，若BD平分∠CBA，连接OC交BD于点E．①求证：CE＝CD；②若OE＝1，求AD的长；（2）如图2，若BD绕点D顺时针旋转90°得DF，连接AF．求证：AF为⊙O的切线．（1）①证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵，∴∠CBA＝∠BAC＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠CED＝∠CBD+∠BCE，∠CDE＝∠ABD+∠BAC，∴∠CED＝∠CDE，∴CE＝CD；②解：如图1，取BD中点G，连接OG，∵O为AB的中点，∴AD＝2OG，OG∥AD，∴∠OGE＝∠CDE，∵∠OEG＝∠CED，∠CED＝∠CDE，∴OG＝OE＝1，∴AD＝2OG＝2；（2）证明：如图2，在BC上截取BP＝AD，连接DP，∵∠CBA＝∠BAC＝45°，∴BC＝AC，∴CP＝CD，∴∠CPD＝45°，∴∠BPD＝135°．，由旋转性质得，∠BDF＝90°，BD＝FD，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∵∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠CBD＝∠ADF，∴△DFA≌△BDP（SAS），∴∠FAD＝∠DBO＝135°，∴∠FAB＝∠FAD﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线．10．若边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，记旋转角为a．（I）如图1，当a＝60°时，求点C经过的弧的长度和线段AC扫过的扇形面积；（Ⅱ）如图2，当a＝45°时，BC与D′C′的交点为E，求线段D′E的长度；（Ⅲ）如图3，在旋转过程中，若F为线段CB′的中点，求线段DF长度的取值范围．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，∴AC＝6，∵边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，∴∠CAC′＝60°，∴的长度＝＝2π，线段AC扫过的扇形面积＝＝12π；（Ⅱ）解：连接BC′，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，∴B在对角线AC′上，∵B′C′＝AB′＝6，在Rt△AB′C′中，AC′＝＝6，∴BC′＝6﹣6，∵∠C′BE＝180°﹣∠ABC＝90°，∠BC′E＝90°﹣45°＝45°，∴△BC′E是等腰直角三角形，∴C′E＝BC′＝12﹣6，∴D′E＝C′D′﹣EC′＝6﹣（12﹣6）＝6﹣6；（Ⅲ）如图3，连接DB，AC相交于点O，则O是DB的中点，∵F为线段BC′的中点，∴FO＝AB′＝3，∴F在以O为圆心，3为半径的圆上运动，∵DO＝3，∴DF最大值为3+3，DF的最小值为3﹣3，∴DF长的取值范围为3﹣3≤DF≤3+3．11．如图所示，A是线段BF延长线上的点，矩形BCDF的外接圆⊙O过AC的中点E．（1）求证：BD＝AF；（2）若BC＝4，DC＝3，求tan∠BAC的值；（3）若AD是⊙O的切线，求的值．解：（1）在矩形BCDF中，BD＝FC，BF＝DC，∠FDC＝90°，∴FC为圆O的直径，∴∠FEC＝∠FDC＝90°，即FE⊥AC，∵E是AC的中点，∴AF＝FC，∴BD＝AF；（2）在Rt△BCD中，BC＝4，DC＝3，根据勾股定理得：BD＝＝＝5＝AF，BF＝DC＝3，∴AB＝AF+BF＝5+3＝8，∴在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；（3）∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵AD是⊙O的切线，∴∠ADB＝90°＝∠BCD，∵∠ABD＝∠BDC，∴△ABD∽△BDC，设DC＝BF＝a，AF＝FC＝c，∵＝，∴a2+ac﹣c2＝0，解得：a＝c，（负值舍去），∴＝．12．如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC＝1．（1）求证：AM＝MD；（2）填空：①若DN＝，则△ABC的面积为；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°．（1）证明：连接OD，∵DN为⊙O的切线，∴∠ODM＝∠ABC＝90°，在Rt△BOM与Rt△DOM中，，∴Rt△BOM≌Rt△DOM（HL），∴BM＝DM，∠DOM＝∠BOM＝，∵∠C＝，∴∠BOM＝∠C，∴OM∥AC，∵BO＝OC，∴BM＝AM，∴AM＝DM；（2）解：①∵OD＝OC＝1，DN＝，∴tan∠DON＝＝，∴∠DON＝60°，∴∠C＝30°，∵BC＝2OC＝2，∴AB＝BC＝，∴△ABC的面积为AB•BC＝×2＝；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°，理由：∵四边形COMD为平行四边形，∴DN∥BC，∴∠DON＝∠NDO＝90°，∴∠C＝DON＝45°，故答案为：，45°．13．如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝．点P为AB延长线上一点，过点A 作⊙O 切CP 于点P ，设BP ＝x ．（1）如图1，x 为何值时，圆心O 落在AP 上？若此时⊙O 交AD 于点E ，直接指出PE 与BC 的位置关系；（2）当x ＝4时，如图2，⊙O 与AC 交于点Q ，求∠CAP 的度数，并通过计算比较弦AP 与劣弧长度的大小；（3）当⊙O 与线段AD 只有一个公共点时，直接写出x 的取值范围．解：（1）如图1，AP 经过圆心O ，∵CP 与⊙O 相切于P ，∴∠APC ＝90°，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠PBC ＝∠DAB ∴＝tan ∠PBC ＝tan ∠DAB ＝，设CP ＝4k ，BP ＝3k ，由CP 2+BP 2＝BC 2，得（4k ）2+（3k ）2＝152，解得k 1＝﹣3（舍去），k 2＝3，∴x ＝BP ＝3×3＝9，故当x ＝9时，圆心O 落在AP 上；∵AP 是⊙O 的直径，∴∠AEP ＝90°，∴PE ⊥AD ，∵▱ABCD ，∴BC ∥AD∴PE ⊥BC（2）如图2，过点C 作CG ⊥AP 于G ，∵▱ABCD ，∴BC∥AD，∴∠CBG＝∠DAB∴＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝，设CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得m＝3，∴CG＝4×3＝12，BG＝3×3＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7，∴AG＝AB+BG＝3+9＝12∴tan∠CAP＝＝＝1，∴∠CAP＝45°；连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ＝2∠CAP＝2×45°＝90°，PH＝AP＝，在Rt△CPG中，＝＝13，∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90°∴∠OPH＝∠PCG∴△OPH∽△PCG∴，即PH×CP＝CG×OP，×13＝12OP，∴OP＝∴劣弧长度＝＝，∵＜2π＜7∴弦AP的长度＞劣弧长度．（3）如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M，∵∠DAB＝∠CBP，∴∠CPM＝∠CBP∴CB＝CP，∵CM⊥AB∴BP＝2BM＝2×9＝18，∴x≥1814．如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：如图1，∵PA切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，∴∠PAO＝∠CDA＝90°∵CD⊥PB∴∠CEP＝90°∴∠CEP＝∠CDA∴PB∥AD∴∠POA＝∠CAO∴△APO～△DCA（2）如图2，连接OD，①∵AD＝AO，OD＝AO∴△OAD是等边三角形∴∠OAD＝60°∵PB∥AD∴∠POA＝∠OAD＝60°∵∠PAO＝90°∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30°②存在．如图2，过点B作BQ⊥AC交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，由①得：∠POA＝60°，∠PAO＝90°∴∠BOC＝∠POA＝60°∵OB＝OC∴∠ACB＝60°∴∠BQC＝∠BAC＝30°∵BQ⊥AC，∴CQ＝BC∵BC＝OB＝OA∴△CBQ≌△OBA（AAS）∴BQ＝AB∵∠OBA＝∠OPA＝30°∴AB＝AP∴BQ＝AP∵PA⊥AC∴BQ∥AP∴四边形ABQP是平行四边形∵AB＝AP∴四边形ABQP是菱形∴PQ＝AB∴＝＝tan∠ACB＝tan60°＝15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD 的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．16．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M为弧AB的中点，正方形OCGD绕点O旋转与△AMB 的两边分别交于E、F（点E、F与点A、B、M均不重合），与⊙O分别交于P、Q两点．（1）求证：△AMB为等腰直角三角形：（2）求证：OE＝OF；（3）连接EF，试探究：在正方形OCGD绕点O旋转的过程中，△EMF的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．解（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵M是弧AB的中点，∴＝，∴MA＝MB，∴△AMB为等腰直角三角形．（2）连接OM，由（1）得：∠ABM＝∠BAM＝45°，∠OMA＝∠OMB＝45°，∴，∴∠MOE+∠BOE＝90°，∵∠COD＝90°，∴∠MOE+∠MOF＝90°，∴∠BOE＝∠MOF，在△OBE和△OMF中，，△OBE≌△OMF（ASA），∴OE＝OF（3）解：△EFM的周长有最小值．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴，∵△OBE≌△OMF，∴BE＝MF，∴△EFM的周长＝EF+MF+ME＝EF+BE+ME＝EF+MB＝当OE⊥BM时，OE最小，此时，∴△EFM的周长的最小值为．。

2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷(含答案)

2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷（含答案）1．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AO＝DO，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵∠ACD＝90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；（2）解：连接OE，ED，∵∠BAC＝60°，OE＝OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠ADE＝30°，又∵∠OAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADE＝∠OAD，∴ED∥AO，∴四边形OAED是菱形，∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM，∴S△AED ＝S△AOD，∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝＝π．2．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BAC＝∠BCE，∴∠ACO＝∠BCE，∴∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝4，∵BC＝3，∴AC＝＝＝．3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．（1）证明：连接OE ．∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ，又∵∠DAE ＝∠OAE ，∴∠OEA ＝∠DAE ，∴OE ∥AD ，∴∠ADC ＝∠OEC ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADC ＝90°，故∠OEC ＝90°．∴OE ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠C ＝45°，∴△OCE 是等腰直角三角形，∴CE ＝OE ＝2，∠COE ＝45°，∴阴影部分面积＝S △OCE ﹣S 扇形OBE ＝2×2﹣＝2﹣．4．如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC 垂足为D ，弧AE ＝弧AB ，BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ．（1）判断△FAG的形状，并说明理由；（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．解：（1）△FAG等腰三角形；理由：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵弧AE＝弧AB，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（2）成立；∵BC为直径，∴∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AGB＝90°∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵弧AE＝弧AB，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，∴∠BAD＝∠ABG，∴AF＝BF，又∵AF＝FG，∴F为BG的中点∵△BAG为直角三角形，∴AF＝BF＝BG＝13，∵DF＝5，∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB＝90°∴△ABC∽△DBA，∴＝，∴＝，∴BC＝，∴⊙O的直径BC＝．5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，点P、Q分别是AB、BC边上的动点．（1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的⊙O交AQ于点E．①若点E恰好是AQ的中点，则∠QPB与∠AQP的数量关系是∠QPB＝2∠AQP；②若BE＝BQ＝3，求BP的长；（2）已知AP＝3，BQ＝1，⊙O是以PQ为弦的圆．①若圆心O恰好在CB边的延长线上，求⊙O的半径；②若⊙O与矩形ABCD的一边相切，求⊙O的半径．解：（1）①∵点E恰好是AQ的中点，∠ABQ＝90°，∴BE＝AE＝EQ，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠QEB＝2∠EBP，∵以PQ为直径的⊙O交AQ于点E，∴∠QPB＝∠QEB，∠PBE＝∠PQA，∴∠QPB＝2∠AQP，故答案为：∠QPB＝2∠AQP；②∵BE＝BQ，∴∠BEQ＝∠BQE，且∠BPQ＝∠BEQ，∴∠BPQ＝∠BQE，∴tan∠BPQ＝tan∠BPQ，∴，∴，∴BP＝（2）①如图1，过点O作OE⊥PQ，∵AP＝3，AB＝6，∴BP＝3，∴PQ＝＝＝，∵OE⊥PQ，∴QE＝PE＝，∵cos∠PQB＝＝，∴＝∴OQ＝5，∴⊙O的半径为5；②如图2，若⊙O与BC相切于点Q，连接OQ，过点O作OE⊥PQ于E，∴EQ＝PE＝，∵BC是⊙O切线，∴OQ⊥BC，且AB⊥BC，∴OQ∥AB，∴∠OQP＝∠BPQ，∴cos∠OQP＝cos∠BPQ，∴，∴∴OQ＝；如图3，若⊙O与AB相切于点P，连接OP，过点O作OE⊥PQ于E，∴EQ＝PE＝，∵AB是⊙O切线，∴OP⊥AB，且AB⊥BC，∴OP∥BC，∴∠OPQ＝∠PQB，∴cos∠OPQ＝cos∠PQB，∴∴，∴OP＝5；如图4，若⊙O与AD相切于点M，连接OM，OQ，OP，延长MO交BC于F，作OH⊥AB于H 点，∴OM⊥AD，且BC∥AD，∴OF⊥BC，∵∠A＝∠B＝∠AMO＝∠OFB＝∠OHB＝90°，∴四边形AHOM，OHBF是矩形，∴OM＝AH，OH＝BF，∵OQ2＝OF2+FQ2，OP2＝OH2+PH2，∴OQ2＝（6﹣OQ）2+（BF﹣1）2，OQ2＝BF2+（OQ﹣3）2，∴OQ＝5﹣若图5，若⊙O与CD相切于点N，连接ON，OQ，OP，延长NO交BC于E，作OH⊥BC于H 点，同理可得：OP2＝PE2+OE2，OQ2＝OH2+QH2，∴OQ2＝（3﹣OH）2+（4﹣OQ）2，OQ2＝OH2+（4﹣OQ﹣1）2，∴OQ＝35﹣6．6．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O，以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P．AB ＝6，BC＝，（1）求证：F是DC的中点．（2）求证：AE＝4CE．（3）求图中阴影部分的面积．（1）证明：由折叠的性质可知，AF＝AB＝6，在Rt△ADF中，DF＝＝＝3，∴CF＝DC﹣DF＝3，∴DF＝FC，即F是CD的中点；（2）证明：在Rt△ADF中，DF＝3，AF＝6，∴∠DAF＝30◦，∴∠BAF＝60◦，由折叠的性质可知，∠EAF＝∠EAB，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF，∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝30◦，∴EF＝2CE，∴AE＝4CE；（3）解：连接OP、OH、PH，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∴OP∥DF，∵∠DAF＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠DAF＝60°，OF＝OP＝OA，∴∠OFH＝∠AOP＝60°，OP＝OF＝2，∴AP＝＝2，∴DP＝AD﹣AP＝，∵∠OFH＝60°，OH＝OF，∴△OHF为等边三角形，∴∠FOH＝∠OHF＝60°，HF＝OF＝2，∴DH＝DF﹣HF＝1，∵OP∥DF，∴∠POH＝∠OHF＝60°，∴∠POH＝∠HOF，∴＝，∴阴影部分的面积＝△PDH的面积＝×DH×DP＝．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．（1）求证：∠A＝∠CBD．（2）若AB＝10，AD＝6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与⊙O 相切，并说明理由．（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠A＝∠CBD；（2）BM＝．理由如下：如图，连接OD，DM，∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，∴BD＝＝8，OA＝5，∵∠A＝∠CBD，∵Rt△CBD∽Rt△BAD，∴＝，即＝，解得BC＝取BC的中点M，连接DM、OD，如图，∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，∴DM＝BM，∵∠2＝∠4，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°，∴OD⊥DM，∴DM为⊙O的切线，此时BM＝BC＝．8．如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是∠DAB的平分线；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．（1）证明：连接OC，∵直线MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BC，连接BE交OC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵AB＝10，AC＝4，∴BC＝＝＝2，∵OC∥AD，∴∠BFO＝∠AEB＝90°，∴∠CFB＝90°，F为线段BE中点，∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB，∴△CFB∽△BCA．∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴OF＝OC﹣CF＝3．∵O为直径AB中点，F为线段BE中点，∴AE＝2OF＝6．9．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．（1）证明：如图，连接OD．∵点D是半圆的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠ODC+∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD．又∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠FEC＝∠OED，∴∠FCE＝∠OED．∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°，即FC⊥OC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵tan A＝，∴在Rt△ABC中，＝，∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A，∵△ACF∽△CBF，∴＝＝＝．∴AF＝10，∴CF2＝BF•AF．∴BF＝．∴AO＝＝．10．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，∠B＝30°，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．（1）求的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．解：（1）连结OE，∵DE垂直OA，∠B＝30°，∴CE＝DE＝3，，∴∠AOE＝2∠B＝60°，∴∠CEO＝30°，OC＝OE，由勾股定理得OE＝2；（2）∵EM∥BD，∴∠M＝∠B＝30°，∠M+∠AOE＝90°，∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME，∴EM是⊙O的切线；（3）再连结OF，当∠APD＝45°时，∠EDF＝45°，∴∠EOF＝90°，S＝π（2）2﹣（2）2＝3π﹣6．阴影11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；（2）若BC＝5，sin∠ABC＝，求EF的长．（1）证明：补全图形如图所示，∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．连接OE，∴OE＝OB．∴∠2＝∠3，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴OE∥BF．∵EF⊥BF，∴EF⊥OE，∴EF是△ABC外接圆的切线；（2）解：在Rt△ABC中，BC＝5，sin∠ABC＝，∴＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝12．∵∠ACF＝∠CFE＝∠FEH＝90°，∴四边形C FEH是矩形．∴EF＝HC，∠EHC＝90°．∴EF＝HC＝AC＝6．12．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为10 ，最小值为 6 ．（2）如图1，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若∠ADC＝60°，求弦CD的长．解：（1）如图a，当CD是直径时，CD的长最大，则CD的最大值为10；如图b，当点D与点A重合时，CD有最小值，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，∴AF＝BF＝4，DE＝CE，∴OF＝＝＝3，∵OE⊥CD，OF⊥AB，∠CDB＝90°，∴四边形CEOF是矩形，∴CE＝OF＝3，∴CD＝6，∴CD最小值为6，故答案为：10，6；（2）如图1，连接AD，∵DH＝7，CH＝9，∴CD＝16，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝＝＝4，∵，＝，∴，∠ADH＝∠ADC，∴△ADH∽△CDA，∴∠AHD＝∠CAD＝90°，∴AB⊥CD，∴AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，过点O作OE⊥CD于E，过点O作OF⊥AB于点F，连接AO，CO，过点O作ON⊥AC于N，∵∠ADC＝60°，AB⊥CD，∴AF＝DF，∵OE⊥CD，OF⊥AB，AB⊥CD，∴四边形OEHF是矩形，AF＝BF＝4，CE＝ED，∴OF＝EH，∵OF＝＝＝3，∴EH＝3，∴ED＝CE＝3+DH，∴CF＝3+2DH，∵∠AOC＝2∠ADC＝120°，且AO＝CO＝5，ON⊥AC，∴∠CAO＝30°，AN＝CN，∴NO＝，AN＝，∴AC＝5，∵AH2+CH2＝AC2，∴75＝3DH2+（3+2DH）2，∴DH＝2﹣，∴CD＝2CE＝2（3+2﹣）＝．13．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB ＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为 4 ；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．解：（1）∵∠AOB＝2∠APB＝2×30°＝60°，而OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4，即⊙O的半径为4；故答案为4；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，则∠OHA＝∠OHB＝90°∵∠APB＝30°∴∠AOB＝2∠APB＝60°，∵OA＝OB，OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2，∴OH＝＝2，∴y＝﹣×4×2+×4×x＝2x+π﹣4（0＜x≤2+4）．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CE＝，AB＝6，求⊙O的半径．（1）解：结论：DE与⊙O相切证：连接OD在⊙O中，∵D为的中点，∴＝，∴AD＝DC，∵AD＝DC，点O是AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°，∵DE∥AC，∴∠DOA＝∠ODE＝90°，∵∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D，∴DE与⊙O相切．（2）解：连接BD．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，又∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE，∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵＝，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵DE∥AC，∴∠DCA＝∠CDE＝45°，在△ABD和△CDE中，∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴＝，∴＝，∴AD＝DC＝4，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4，∴AC＝＝＝8，∴⊙O的半径为4．15．（1）如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（2）如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：在平面直角坐标系中，如图③，已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当∠MPN度数最大时点P的坐标．解：（1）∠A＞∠BDC，理由如下：设CD交⊙O于E，连接BE，如图1所示：∠BEC＝∠BDC+∠DBE，∴∠BEC＞∠BDC，∵∠A＝∠BEC，∴∠A＞∠BDC；（2）∠A＜∠BDC，理由如下：延长CD交⊙O于点F，连接BF，如图2所示：∵∠BDC＝∠BFC+∠FBD，∴∠BDC＞∠BFC，又∵∠A＝∠BFC，∴∠A＜∠BDC；（3）由（1）、（2）可得：当点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点时，∠MPN度数最大，①当点P在y轴的正半轴上时，如图3所示：设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆，连接O′P、O′M、O′N，作O′H⊥MN于H，则四边形OPO′H是矩形，MH＝HN，∴OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M，∵M（1，0），N（4，0），∴OM＝1，MN＝3，∴MH＝HN＝MN＝，设O′P＝OH＝O′M＝x，MH＝OH﹣OM＝x﹣1，∴x﹣1＝，∴x＝，∴O′H＝＝＝2，∴OP＝2，∴点P的坐标为（0，2）；②当点P在y轴的负半轴上时，如图4所示：同理可得O′H＝OP＝2，∴点P的坐标为（0，﹣2）；综上所述，当∠MPN度数最大时点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．。

2020中考数学压轴专题圆的综合(包含答案)

2020中考数学压轴专题圆的综合（含答案）1. 如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF .(1)求证：直线P A 为⊙O 的切线；(2)求证：EF 2＝4OD ·OP ；(3)若BC ＝6，tan F ＝12，求AC 的长.第1题图（1）证明：如解图，连接OB ，第1题解图⊙PB 是⊙O 的切线，⊙⊙PBO ＝90°，⊙OA ＝OB ，BA ⊙PO 于点D ，⊙AD ＝BD ，⊙点D 为AB 的中点，即OP 垂直平分AB ，⊙⊙APO ＝⊙BPO ，⊙⊙ADP ＝⊙BDP ＝90°，⊙⊙APD ⊙⊙BPD ，⊙AP ＝BP ，在⊙P AO 和⊙PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝PB ⊙APO ＝⊙BPO OP ＝OP，⊙⊙P AO ⊙⊙PBO （SAS ），⊙⊙P AO ＝⊙PBO ＝90°，⊙OA 为⊙O 的半径，⊙直线P A 为⊙O 的切线；(2)证明：⊙⊙P AO ＝⊙PDA ＝90°，⊙⊙OAD ＋⊙AOD ＝90°，⊙OP A ＋⊙AOP ＝90°，⊙⊙OAD ＝⊙OP A ，⊙⊙OAD ⊙⊙OP A ，⊙OA OP ＝OD OA，即OA 2＝OD ·OP ，又⊙EF ＝2OA ，⊙EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：⊙OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，⊙OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，⊙tan F ＝AD DF ＝x DF ＝12， ⊙DF ＝2x ，⊙OA ＝OF ＝2x －3，在Rt⊙AOD 中，由勾股定理得(2x －3)2＝x 2＋32，解得x 1＝4或x 2＝0(不合题意，舍去)，⊙OA ＝2x －3＝5，⊙AC 为⊙O 的直径，⊙AC ＝2OA ＝10.2. 如图，在⊙ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊙AC ，垂足为点F .(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．第2题图（1）证明：如解图，连接OD ，第2题解图 G⊙OB ＝OD ，⊙⊙ODB ＝⊙B ，又⊙AB ＝AC ，⊙⊙C ＝⊙B ，⊙⊙ODB ＝⊙C ，⊙OD ⊙AC ，⊙DF ⊙AC ，⊙⊙DFC ＝90°，⊙⊙ODF ＝⊙DFC ＝90°，⊙OD 是⊙O 的半径，⊙DF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OG ⊙AC ，垂足为G ，⊙AG ＝12AE ＝2. ⊙cos A ＝AG OA ＝2OA ＝25， ⊙OA ＝5，⊙OG ＝OA 2－AG 2＝21，⊙⊙ODF ＝⊙DFG ＝⊙OGF ＝90°，⊙四边形OGFD 为矩形，⊙DF ＝OG ＝21.3. 如图，在⊙O 中，直径CD ⊙弦AB 于点E ，AM ⊙BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD .(1)求证：AD ＝AN ；(2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：⊙⊙BAD 与⊙BCD 是同弧所对的圆周角，⊙⊙BAD ＝⊙BCD ，⊙AE ⊙CD ，AM ⊙BC ，⊙⊙AEN ＝⊙AMC ＝90°，⊙⊙ANE ＝⊙CNM ，⊙⊙BAM ＝⊙BCD ，⊙⊙BAM ＝⊙BAD ，在⊙ANE 与⊙ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧⊙BAM ＝⊙BAD AE ＝AE⊙AEN ＝⊙AED， ⊙⊙ANE ⊙⊙ADE (ASA)，⊙AN ＝AD ；(2)解：⊙AB ＝42，AE ⊙CD ,⊙AE ＝12AB ＝22，又⊙ON＝1，⊙设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1，如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，第3题解图⊙⊙AOE是直角三角形，AE＝22，OE＝x－1，AO＝2x－1，⊙(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，解得x1＝2，x2＝－43(舍)，⊙AO＝2x－1＝3，即⊙O的半径为3.4.如图，在⊙ABC中，⊙C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)求证：⊙1＝⊙F；(2)若sin B＝55，EF＝25，求CD的长．第4题图（1）证明：如解图，连接DE.第4题解图⊙BD是⊙O的直径，⊙⊙DEB＝90°.⊙E是AB的中点，⊙DA＝DB，⊙⊙1＝⊙B.⊙⊙1＝⊙F；(2)解：⊙⊙1＝⊙F，⊙AE＝EF＝25，⊙AB＝2AE＝4 5.在Rt⊙ABC中，AC＝AB·sin B＝4，⊙BC＝AB2－AC2＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.在Rt⊙ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，⊙CD＝3.5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作Y ABCD，连接BE，DO，CO.(1)求证：DA=DC；(2)求⊙P及⊙AEB的度数.第5题图（1）证明：⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙CB ⊙AE ，⊙AD ⊙AE ，⊙⊙DAO ＝90°，又⊙直线DP 和⊙O 相切于点C ，⊙DC ⊙OC ，⊙⊙DCO ＝90°，⊙在Rt⊙DAO 和Rt⊙DCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧DO ＝DO AO ＝CO ， ⊙Rt⊙DAO ⊙Rt⊙DCO (HL)，⊙DA ＝DC ；(2)解：⊙CB ⊙AE ，AE 是⊙O 的直径，⊙CF ＝FB ＝12BC ，又⊙四边形ABCD 是平行四边形，⊙AD ＝BC ，⊙CF ＝12AD ，又⊙CF ⊙DA ，⊙⊙PCF ⊙⊙PDA ，⊙PC PD ＝CF AD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD . 由(1)知DA ＝DC ，⊙DA ＝12PD ， ⊙在Rt⊙DAP 中，⊙P ＝30°.⊙⊙F AB ＝⊙P ＝30°，又⊙⊙ABE ＝90°，⊙⊙AEB ＝90°－30°＝60°.6. 如图，在⊙ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .(1)求证：⊙ABD ＝⊙ADE ；(2)若⊙O 的半径为256，AD ＝203，求CE 的长．第6题图（1）证明：如解图，连接OD .第6题解图 ⊙DE 为⊙O 的切线， ⊙OD ⊙DE ，⊙⊙ADO ＋⊙ADE ＝90°. ⊙AB 为⊙O 的直径， ⊙⊙ADB ＝90°， ⊙⊙ADO ＋⊙ODB ＝90°. ⊙⊙ADE ＝⊙ODB ， ⊙OB ＝OD ， ⊙⊙OBD ＝⊙ODB ， ⊙⊙ABD ＝⊙ADE ;(2)解：⊙AB ＝AC ＝2×256＝253，⊙ADB ＝⊙ADC ＝90°，⊙⊙ABC ＝⊙C ，BD ＝CD . ⊙O 为AB 的中点， ⊙OD 为⊙ABC 的中位线，⊙OD ⊙AC ， ⊙OD ⊙DE ， ⊙AC ⊙DE ，在Rt⊙ACD 中， CD ＝AC 2－AD 2＝（253）2－（203）2＝5， ⊙⊙C ＝⊙C ，⊙DEC ＝⊙ADC ＝90°， ⊙⊙DEC ⊙⊙ADC ， ⊙CE DC ＝DC AC ，即CE 5＝5253， ⊙CE ＝3.7. 如图，在⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，D 是边AB 上的一点，且⊙A ＝2⊙DCB ，点E 是BC 上的一点，以EC 为直径的⊙O 经过点D . (1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若CD 的弦心距为1，BE ＝EO ，求BD 的长．第7题图(1)证明：如解图⊙，连接OD ，第7题解图⊙则⊙DOB＝2⊙DCB，又⊙⊙A＝2⊙DCB，⊙⊙A＝⊙DOB，又⊙⊙A＋⊙B＝90°，⊙⊙DOB＋⊙B＝90°，⊙⊙BDO＝90°，即OD⊙AB，又⊙OD是⊙O的半径，⊙AB是⊙O的切线．（2）解：如解图⊙，过点O作OM⊙CD于点M，连接DE，第7题解图⊙⊙OD ＝OE ＝BE ＝12BO ，⊙BDO ＝90°，⊙⊙B ＝30°， ⊙⊙DOB ＝60°， ⊙⊙DCB ＝30°， ⊙OC ＝2OM ＝2， ⊙OD ＝2，⊙BD ＝OD tan60°＝2 3.8. 如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接P A ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D . (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)若cos⊙CAO ＝45，且OC ＝6，求PB 的长．第8题图（1）证明：如解图，连接OB，第8题解图⊙OA＝OB，⊙⊙OAB＝⊙OBA，⊙OP⊙AB，⊙AC＝BC，⊙OP是AB的垂直平分线，⊙P A ＝PB ， ⊙⊙P AB ＝⊙PBA ， ⊙⊙P AO ＝⊙PBO . ⊙PB 为⊙O 的切线， ⊙⊙OBP ＝90°， ⊙⊙P AO ＝90°， ⊙OA 为⊙O 的半径， ⊙P A 是⊙O 的切线； (2)解：⊙cos⊙CAO ＝45，⊙设AC ＝4k ，AO ＝5k ，由勾股定理可知OC ＝3k ， ⊙sin⊙CAO ＝35，tan⊙COA ＝43，⊙CO OA ＝35，即6OA ＝35，解得OA ＝10， ⊙tan⊙POA ＝tan⊙COA ＝AP AO ＝43，⊙AP 10＝43，解得AP ＝403，⊙P A ＝PB ， ⊙PB ＝P A ＝403.9. 如图，在⊙ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，⊙ACD ＝⊙ABC . (1)求证：CA 是⊙O 的切线；(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝6，tan⊙ABC ＝23，tan⊙AEC ＝53，求⊙O 的直径．第9题图(1)证明：⊙BC 是⊙O 的直径， ⊙⊙BDC ＝90°， ⊙⊙ABC ＋⊙DCB ＝90°， ⊙⊙ACD ＝⊙ABC ， ⊙⊙ACD ＋⊙DCB ＝90°， ⊙⊙ACB ＝90°，即BC ⊙CA ，又⊙BC 是⊙O 的直径， ⊙CA 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt⊙AEC 中，tan⊙AEC ＝53，⊙AC EC ＝53，EC ＝35AC . 在Rt⊙ABC 中，tan⊙ABC ＝23，⊙AC BC ＝23，BC ＝32AC . ⊙BC －EC ＝BE ＝6，⊙32AC －35AC ＝6，解得AC ＝203， ⊙BC ＝32×203＝10，即⊙O 的直径为10.10. 如图，在⊙ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F . (1)求证：DE ⊙AC ；(2)若AB ＝10，AE ＝8，求BF 的长．第10题图（1）证明：如解图,连接OD ，AD ，第10题解图⊙DE 与⊙O 相切于点D ， ⊙OD ⊙DE .⊙AB 是⊙O 的直径， ⊙⊙ADB =90°， ⊙AB =AC ， ⊙D 为BC 中点，又⊙O 为AB 中点， ⊙OD ⊙AC ，⊙DE ⊙AC ； (2)解：⊙AB =10， ⊙OB =OD =5. 由(1)知OD ⊙AC ， ⊙⊙ODF ⊙⊙AEF ，⊙ABBF OB BF AF OF AE OD ++==，设BF =x ,则有10585++=x x 解得x =310，⊙BF =310. 11. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，F 为⊙O 上一点，AC 平分⊙BAF 且交⊙O 于点C ，过点C作CD ⊙AF 于点D ，延长AB 、DC 交于点E ，连接BC 、CF . (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若AD ＝6，DE ＝8，求BE 的长； (3)求证：AF ＋2DF ＝AB .第11题图（1）证明：如解图，连接OC .第11题解图⊙AC 平分⊙BAD ,⊙⊙OAC =⊙CAD ，又⊙OAC =⊙OCA ,⊙⊙OCA =⊙CAD ，⊙CO ⊙AD .又CD ⊙AD ，⊙CD ⊙OC ，又⊙OC 是⊙O 的半径，⊙CD 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt⊙ADE 中，⊙AD =6，DE =8，根据勾股定理得：AE =10，⊙CO ⊙AD ，⊙⊙EOC ⊙⊙EAD ,⊙ADOC EA EO =. 设⊙O 的半径为r ，⊙OE =10-r . ⊙61010r r -=， ⊙r =415，⊙BE =10-2r =25；（3）证明：如解图，过点C 作CG ⊙AB 于点G .⊙⊙OAC =⊙CAD ，AD ⊙CD ，⊙CG =CD ，在Rt⊙AGC 和Rt⊙ADC 中，⊙CG =CD ，AC =AC ，⊙Rt⊙AGC ⊙Rt⊙ADC （HL ），⊙AG =AD .又⊙⊙BAC =⊙CAD ，⊙BC =CF ，在Rt⊙CGB 和Rt⊙CDF 中，⊙BC =FC ，CG =CD ，⊙Rt⊙CGB ⊙Rt⊙CDF （HL ），⊙GB =DF .⊙AG +GB =AB ，⊙AD +DF =AB ，即AF +2DF =AB .12. 如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若⊙BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2＝AB ·EF .第12题图（1）解：如解图，连接OD ，第12题解图⊙⊙BCD ＝36°，⊙⊙BOD ＝2⊙BCD ＝2×36°＝72°，⊙BC 是⊙O 的直径，BC ＝10，⊙OB ＝5，⊙l BD ︵＝72π×5180＝2π； (2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：⊙BC 是⊙O 的直径，⊙⊙ADC ＝180°－⊙BDC ＝90°，又⊙点E 是线段AC 中点，⊙DE ＝12AC ＝EC ，在⊙DOE 与⊙COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE，⊙⊙DOE ⊙⊙COE (SSS)．⊙⊙ACB ＝90°，⊙⊙ODE ＝⊙OCE ＝90°，⊙OD 是⊙O 的半径，⊙DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，⊙DOE ⊙⊙COE ，⊙OE 是线段CD 的垂直平分线，⊙点F 是线段CD 中点，⊙点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ， ⊙⊙BAC ＝⊙CAD ，⊙ADC ＝⊙ACB ，⊙⊙ACD ⊙⊙ABC ，则AC AB ＝AD AC，即AC 2＝AB ·AD ，而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ，⊙(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，⊙2CE 2＝AB ·EF .13. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是»AE 上的一点，且⊙BDE ＝⊙CBE ，BD 与AE 交于点F . (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分⊙ABE ，延长ED 、BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第13题图(1)证明：⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙AEB ＝90°，⊙⊙EAB ＋⊙EBA ＝90°，⊙⊙BDE ＝⊙EAB ，⊙BDE ＝⊙CBE ， ⊙⊙EAB ＝⊙CBE ，⊙⊙ABE ＋⊙CBE ＝90°，⊙CB ⊙AB ，⊙AB 是⊙O 的直径，⊙BC 是⊙O 的切线；(2)解：⊙BD 平分⊙ABE ， ⊙⊙ABD ＝⊙DBE ，如解图，连接DO ，第13题解图⊙OD ＝OB ，⊙⊙ODB ＝⊙OBD ，⊙⊙EBD ＝⊙OBD ，⊙⊙EBD ＝⊙ODB ，⊙OD ⊙BE ，⊙PD PE ＝PO PB， ⊙P A ＝AO ，⊙P A ＝AO ＝OB ，⊙PO PB ＝23， ⊙PD PE ＝23， ⊙PD PD ＋DE ＝23， ⊙DE ＝2， ⊙PD ＝4.。

2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：《圆的综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：《圆的综合》1．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM 的值．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD 延长线于E点．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．3．已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK ＝9BK，若OL＝，求BD的值．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．5．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．6．如图，在△ABC中，I是内心，AB＝AC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点I．（1）求证：AI是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径是5．①若E是BI的中点，OE＝，则BI＝；②若BC＝16，求AI的长．7．[教材呈现]图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．通过该问题的证明，得出了直角三角形的一条性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．[结论应用]（1）如图②，在Rt△ABC中，F是AD中点，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在BC上（点D不与B、C重合），DE⊥AB于点E，连结CE、CF、EF．当AD＝4时，S＝．△CEF（2）如图③，AD是⊙O直径，点C、E在⊙O上（点C、E位于直径AD两侧），在⊙O 上，且sin∠DAC＝，CD＝2．当四边形OCDE有一组对边平行时，直接写出AE的长．8．已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．9．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若∠CAB＝36°，⊙O的半径为12，求的长．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；11．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OAC＝58°．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小．12．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．13．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．14．如图，△AOB中，A（﹣8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P 是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC 的延长线交x轴于点F．（1）求证：EF为⊙P的切线；（2）求⊙P的半径．15．已知，AB为⊙O的直径，弦BC、AF相交于点E，过点E作ED⊥AB，∠AEC＝∠BED．（1）如图1，求证：＝；（2）如图2，当∠BAF＝45°时，OC交AF于点H，作FG⊥BH于点Q，交AB于点G，连接GH，求证：∠AGH＝∠BGF；（3）如图3，在（2）的条件下，射线BG与⊙O交于点P，过点P作PK⊥BH交AB于点M，垂足为点K，点N为B的中点，MN＝，求⊙O的半径．参考答案1．解：（1）连接OE，则∠OCB＝∠OBC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．2．解：（1）连接OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，又∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，∴OC∥AE，∵CE⊥AD，即可得OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD＝6，延长BC交AE的延长线于F，∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，∴△ACB≌△ACF（ASA），∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，∵∠CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，∴∠CDF＝∠ABF，∵∠CFD＝∠AFB，∴△CFD∽△AFB，∴＝，∴＝，∴AD＝．3．解：（1）∵CE⊥AD，∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，∵∠D+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE，在△ACE和△DCE中，，∴△ACE≌△DCE（ASA），∴CA＝CD；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADC+∠BDC＝90°，∵∠ADC+∠ACE＝90°，∴∠BDC＝∠ACE，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACE，设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，∴M在AC的垂直平分线上，∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，∴M与点O重合，即CE过圆心O，∵AE＝DE，∴CE⊥AD，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴CE∥BD；（3）∵4AK＝9BK，∴AK：BK＝9：4，设BK＝4m，则AK＝9m，∴AB＝13m，∴OA＝OB＝6.5m，∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，∵AK⊥CL，∴∠AKC＝90°＝∠AEO，在△OAE和△OCK中，，∴△OAE≌△OCK（AAS），∴OE＝OK＝2.5m，∵OA＝OB，AE＝DE，∴BD＝2OE＝5m，∴AD＝，∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，∴△AKL∽△ADB，∴，即，∴LK＝，∵OK2+LK2＝OL2，∴，解得，m＝0.8，∴BD＝5m＝4．4．解：（1）在△BDO和△BCO中，BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，故△BDO≌△BCO（SSS），∴∠BDO＝∠ABC＝90°，BD是⊙O的切线；（2）连接CD，则∠AMD＝∠ACD，AB是直径，故∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝＝，∵AD＝2，∴CD＝4，故圆的半径为5；（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，则DE＝＝4，则AE＝2，由（1）知△BDO≌△BCO，∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，∵∠DAE＝∠DOC，∴∠DAE＝∠BOC，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠OCB＝90°，∴△DAE∽△BOC，∴，即，解得：BC＝10，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴FE＝AE＝2，DF＝DE﹣EF＝2．5．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．则AC＝10．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．6．（1）证明：延长AI交BC于D，连接OI．∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC．∴∠1＝∠3．∵AB＝AC，∴AD⊥BC．又∵OB＝OI，∴∠3＝∠2．∴∠1＝∠2．∴OI∥BD．∴OI⊥AI．∴AI为⊙O的切线．（2）①解：∵E是BI的中点，∴OE⊥BI．在直角△OBE中，OB＝5，OE＝，则由勾股定理知：BE＝＝＝2．∴BI＝2BE＝．故答案是：；②解：由（1）知OI∥BC，∴△AOI～△ABD．∴，∴＝．∴．∴．∴AI＝•AD＝×＝．7．解：[教材呈现]已知：△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，求证：CD＝AB．证明：作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，则DF∥BC，DE∥AC，∵CD是中线，∴AF＝FC，BE＝EC，∴直线DE是线段AC的垂直平分线，直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DA＝DC，DB＝DC，∴CD＝DA＝DB＝AB；[结论应用]（1）CF、FE分别是Rt△ACD、Rt△ADE的中线，则CF＝EF＝AD＝2，设：∠CAF＝α＝∠ACF，∠FAE＝β＝∠AEF，∠CAB＝α+β＝60°，∠CFE＝∠FCA+∠FAC+∠FEA+∠FAE＝2α+2β＝120°，故△CEF为腰长为2，顶角为120°的等腰三角形，过点F作FH⊥CE，则S＝×CE×FH＝2×1＝，△CEF故答案为：；（2）设sin∠DAC＝＝sinα，CD＝2，则AD＝6，OC＝OE＝AD＝3，①当CD∥OE时，如图③（左侧图），则∠ADC＝∠DOE＝∠β，sin＝cosβ，过点D作DH⊥OE交OE于点H，OH＝OD cosβ＝3×＝1，则HE＝3﹣1＝2，同理DH＝2，DE＝＝2，AE＝＝＝2；②当OC∥DE时，如图③（右侧图），则∠COD＝∠ODE＝2α，过点O作ON⊥DE于点N，则DN＝EN，DE＝2DN＝2×OD cos2α＝2×3×＝（注：cos2α的求法见备注），AE＝＝＝；综上，AE＝2或；备注：等腰三角形ABC，AB＝AC，作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，设∠BAD＝∠CAD＝α，设sin，设BD＝CD＝a，则AB＝AC＝3a，则AD＝2a，S＝AD×BC＝AB×CE，△ABC即2a×2a＝3a×CE，则CE＝，sin2α＝＝，则cos2α＝．8．（1）证明：连接BD，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，BC＝CD，∴BD为⊙O的直径，∵OB＝OD，∴OC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∵正方形ABED是圆O的内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCF，∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，∵DE＝DG，∴BF＝DG，∵四边形ABED为圆O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE+∠ADG＝180°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，∴∠FAG＝90°，∵M为AE的中点，∴DM为△AEG的中位线，∴DM∥AG，∴∠DNF＝∠FAG＝90°，∴DN⊥AF，（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，由（1）知∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝，由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，∵，∴∠DBE＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，∴，设DE＝x，则BE＝7x，在Rt△BDE中，BD＝＝5x，∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，∴，由（2）知∠BCF＝∠DCE，∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，∴，∴，∴，在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，∴BE＝EF+BF＝14，∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠TBE＝∠TEB，∴TB＝TE＝，∴＝，∴，∴，∵M为AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△OME中，OM＝＝3．9．（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC，∵点C是的中点，∴∠EAC＝∠BAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∵AE⊥EF，∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOC＝2∠CAB＝2×36°＝72°，∵，∴∠BOD＝2∠BOC＝144°，∴的长＝＝π．10．解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF+EF＝r+2，∴BD＝CD＝DE＝r+2，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r+2，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EFA，∴，即＝解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），综上所述，⊙O的半径为1+．11．解：（I）如图①，∵OA＝OC，∠OAC＝58°，∴∠OCA＝58°∴∠COA＝180°﹣2×58°＝64°∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝90°﹣64°＝26°；（II）∵∠AOC＝64°，∴∠Q＝∠AOC＝32°，∵AQ＝CQ，∴∠QAC＝∠QCA＝74°，∵∠OCA＝58°，∴∠PCO＝74°﹣58°＝16°，∵∠AOC＝∠QCO+∠APC，∴∠APC＝64°﹣16°＝48°．12．（1）证明：如图1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD＝∠BED＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ADH＝∠BDE，∴BD平分∠ADF．（2）证明：连接OA、OB．∵OB＝OC＝OA，AC＝BC∴△OCB≌△OCA（SSS），∴OBC＝∠OCA，∴OC平分∠ACB；（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．则四边形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN＝∠BHC＝90°，∴BN是直径，则OP＝DN＝，∴HQ＝OP＝，设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，整理得2x2+9x﹣45＝0，（x﹣3）（2x+15）＝0解得x＝3（负值舍去），BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12∵∠ADB＝∠BCH，∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．即sin∠ADB的值为．13．证明：（1）连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）设圆O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，∵CD是圆O的切线，∴∠EDO＝90°，∴ED2+OD2＝OE2，∴9+R2＝（R+1）2，∴R＝4，∴圆O的半径为4；（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，∴AD＝4，∴BD扫过的图形的面积＝＝16π．14．（1）证明：连接CP，∵AP＝CP，∴∠PAC＝∠PCA，∵AC平分∠OAB，∴∠PAC＝∠EAC，∴∠PCA＝∠EAC，∴PC∥AE，∵CE⊥AB，∴CP⊥EF，即EF是⊙P的切线；（2）∵AC平分∠OAB，∴∠BAC＝∠OAC，∵PA＝PC，∴∠BAC＝∠ACP，∴PC∥AB，∴△OPC∽△OAB，∴＝，∵A（﹣8，0），B（0，），∴OA＝8，OB＝，∴AB＝，∴＝，∴PC＝5，∴⊙P的半径为5．15．（1）证明：如图1，连接AC、BF、CF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵∠AEC＝∠BED，∠AEC＝∠BEF，∴∠BEF＝∠BED，∵ED⊥AB，∴∠BDE＝∠AFB＝90°，又∵BE＝BE，∴△BDE≌△BFE（AAS），∴∠ABC＝∠FBC，∵，∴∠ABC＝∠AFC，∵，∴∠CAF＝∠FBC，∴∠CAF＝∠AFC，∴AC＝CF，∴；（2）证明：如图2，连接OF、BF，作AS⊥AF于点A，交FG的延长线于点S，∵，∴AOC＝∠FOC，∵AO＝OF，∴OC⊥AF，∴AH＝HF＝AF，∵∠BAF＝45°，∴AF＝BF，∵FG⊥BH，AS⊥AF，∴∠S＝∠BHF，又∵∠SAF＝∠HFB＝90°，∴△FSA≌△BHF（AAS），∴AS＝HF＝AH，∵∠SAG＝∠GAH＝45°，AG＝AG，∴△SAG≌△HAG（SAS），∴∠SGA＝∠AGH，∴∠AGH＝∠BGF；（3）解：如图3，过点O作OR⊥HP于点R，OT⊥BH于点T，∵△SAG≌△HAG，∴∠AHG＝∠S＝∠BHF，∵OH⊥AF，∴∠OHG＝∠OHB，∵∠ORH＝∠OTH＝90°，OH＝OH，∴△ORH≌△OTH（AAS），∴RH＝TH，OR＝OT，又∵OP＝OB，∠ORP＝∠OTB＝90°，∴Rt△ORP≌Rt△OTB（HL），∴PR＝BT，∴PR+RH＝BT+TH，即PH＝BH，∴∠HPB＝∠HBP，设∠OPR＝∠OBT＝α，∵∠AOH＝∠A＝45°，∴∠PHO＝∠BHO＝∠AOH﹣∠OBH＝45°﹣α，∴∠PHB＝90°﹣2α，∴∠HPB＝∠HBP＝45°+α，∴∠PBO＝45°，∵PO＝BO，∴∠OPB＝∠OBP＝45°，∴PO⊥AB，∵PK⊥BH，GF⊥BH，∴PK∥GF，∴∠PMG＝∠BGF，∵∠PGM＝∠AGH，∴∠PGM＝∠PMG，∴PG＝PM，∴OG＝OM，过点M作ML⊥BP于点L，∵∠PBH＝∠BHF＝45°+α，∴tan∠PBH＝tan∠BHF＝＝2，∵∠MPL＝∠BPK，∴∠PML＝∠PBH，∴tan∠PML＝tan∠PBH＝2，设BM＝4a，则BL＝ML＝2a，∴PL＝4a，∴PB＝6a，∴PO＝BO＝6a，∴OM＝OG＝2a，∴GM＝4a，∴GM＝BM，∵N为BH的中点，∴MN为中位线，∴GH＝2MN＝，过点G作GU⊥OH于点U，则tan∠GHO＝tan∠OHB＝tan∠FBH＝，在Rt△GUH中，设GU＝b，则UH＝2b，GH＝b，∴GU＝，∴GO＝2＝2a，∴a＝1，∴OB＝6a＝6，即⊙O的半径为6．。

2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷(附答案)

2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷（含答案）1．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AO＝DO，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵∠ACD＝90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；（2）解：连接OE，ED，∵∠BAC＝60°，OE＝OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠ADE＝30°，又∵∠OAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADE＝∠OAD，∴ED∥AO，∴四边形OAED是菱形，∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM，∴S△AED ＝S△AOD，∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝＝π．2．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BAC＝∠BCE，∴∠ACO＝∠BCE，∴∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝4，∵BC＝3，∴AC＝＝＝．3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．（1）证明：连接OE ．∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ，又∵∠DAE ＝∠OAE ，∴∠OEA ＝∠DAE ，∴OE ∥AD ，∴∠ADC ＝∠OEC ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADC ＝90°，故∠OEC ＝90°．∴OE ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠C ＝45°，∴△OCE 是等腰直角三角形，∴CE ＝OE ＝2，∠COE ＝45°，∴阴影部分面积＝S △OCE ﹣S 扇形OBE ＝2×2﹣＝2﹣．4．如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC 垂足为D ，弧AE ＝弧AB ，BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ．（1）判断△FAG的形状，并说明理由；（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．解：（1）△FAG等腰三角形；理由：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵弧AE＝弧AB，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（2）成立；∵BC为直径，∴∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AGB＝90°∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵弧AE＝弧AB，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，∴∠BAD＝∠ABG，∴AF＝BF，又∵AF＝FG，∴F为BG的中点∵△BAG为直角三角形，∴AF＝BF＝BG＝13，∵DF＝5，∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB＝90°∴△ABC∽△DBA，∴＝，∴＝，∴BC＝，∴⊙O的直径BC＝．5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，点P、Q分别是AB、BC边上的动点．（1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的⊙O交AQ于点E．①若点E恰好是AQ的中点，则∠QPB与∠AQP的数量关系是∠QPB＝2∠AQP；②若BE＝BQ＝3，求BP的长；（2）已知AP＝3，BQ＝1，⊙O是以PQ为弦的圆．①若圆心O恰好在CB边的延长线上，求⊙O的半径；②若⊙O与矩形ABCD的一边相切，求⊙O的半径．解：（1）①∵点E恰好是AQ的中点，∠ABQ＝90°，∴BE＝AE＝EQ，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠QEB＝2∠EBP，∵以PQ为直径的⊙O交AQ于点E，∴∠QPB＝∠QEB，∠PBE＝∠PQA，∴∠QPB＝2∠AQP，故答案为：∠QPB＝2∠AQP；②∵BE＝BQ，∴∠BEQ＝∠BQE，且∠BPQ＝∠BEQ，∴∠BPQ＝∠BQE，∴tan∠BPQ＝tan∠BPQ，∴，∴，∴BP＝（2）①如图1，过点O作OE⊥PQ，∵AP＝3，AB＝6，∴BP＝3，∴PQ＝＝＝，∵OE⊥PQ，∴QE＝PE＝，∵cos∠PQB＝＝，∴＝∴OQ＝5，∴⊙O的半径为5；②如图2，若⊙O与BC相切于点Q，连接OQ，过点O作OE⊥PQ于E，∴EQ＝PE＝，∵BC是⊙O切线，∴OQ⊥BC，且AB⊥BC，∴OQ∥AB，∴∠OQP＝∠BPQ，∴cos∠OQP＝cos∠BPQ，∴，∴∴OQ＝；如图3，若⊙O与AB相切于点P，连接OP，过点O作OE⊥PQ于E，∴EQ＝PE＝，∵AB是⊙O切线，∴OP⊥AB，且AB⊥BC，∴OP∥BC，∴∠OPQ＝∠PQB，∴cos∠OPQ＝cos∠PQB，∴∴，∴OP＝5；如图4，若⊙O与AD相切于点M，连接OM，OQ，OP，延长MO交BC于F，作OH⊥AB于H 点，∴OM⊥AD，且BC∥AD，∴OF⊥BC，∵∠A＝∠B＝∠AMO＝∠OFB＝∠OHB＝90°，∴四边形AHOM，OHBF是矩形，∴OM＝AH，OH＝BF，∵OQ2＝OF2+FQ2，OP2＝OH2+PH2，∴OQ2＝（6﹣OQ）2+（BF﹣1）2，OQ2＝BF2+（OQ﹣3）2，∴OQ＝5﹣若图5，若⊙O与CD相切于点N，连接ON，OQ，OP，延长NO交BC于E，作OH⊥BC于H 点，同理可得：OP2＝PE2+OE2，OQ2＝OH2+QH2，∴OQ2＝（3﹣OH）2+（4﹣OQ）2，OQ2＝OH2+（4﹣OQ﹣1）2，∴OQ＝35﹣6．6．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O，以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P．AB ＝6，BC＝，（1）求证：F是DC的中点．（2）求证：AE＝4CE．（3）求图中阴影部分的面积．（1）证明：由折叠的性质可知，AF＝AB＝6，在Rt△ADF中，DF＝＝＝3，∴CF＝DC﹣DF＝3，∴DF＝FC，即F是CD的中点；（2）证明：在Rt△ADF中，DF＝3，AF＝6，∴∠DAF＝30◦，∴∠BAF＝60◦，由折叠的性质可知，∠EAF＝∠EAB，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF，∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝30◦，∴EF＝2CE，∴AE＝4CE；（3）解：连接OP、OH、PH，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∴OP∥DF，∵∠DAF＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠DAF＝60°，OF＝OP＝OA，∴∠OFH＝∠AOP＝60°，OP＝OF＝2，∴AP＝＝2，∴DP＝AD﹣AP＝，∵∠OFH＝60°，OH＝OF，∴△OHF为等边三角形，∴∠FOH＝∠OHF＝60°，HF＝OF＝2，∴DH＝DF﹣HF＝1，∵OP∥DF，∴∠POH＝∠OHF＝60°，∴∠POH＝∠HOF，∴＝，∴阴影部分的面积＝△PDH的面积＝×DH×DP＝．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．（1）求证：∠A＝∠CBD．（2）若AB＝10，AD＝6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与⊙O 相切，并说明理由．（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠A＝∠CBD；（2）BM＝．理由如下：如图，连接OD，DM，∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，∴BD＝＝8，OA＝5，∵∠A＝∠CBD，∵Rt△CBD∽Rt△BAD，∴＝，即＝，解得BC＝取BC的中点M，连接DM、OD，如图，∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，∴DM＝BM，∵∠2＝∠4，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°，∴OD⊥DM，∴DM为⊙O的切线，此时BM＝BC＝．8．如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是∠DAB的平分线；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．（1）证明：连接OC，∵直线MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BC，连接BE交OC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵AB＝10，AC＝4，∴BC＝＝＝2，∵OC∥AD，∴∠BFO＝∠AEB＝90°，∴∠CFB＝90°，F为线段BE中点，∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB，∴△CFB∽△BCA．∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴OF＝OC﹣CF＝3．∵O为直径AB中点，F为线段BE中点，∴AE＝2OF＝6．9．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．（1）证明：如图，连接OD．∵点D是半圆的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠ODC+∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD．又∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠FEC＝∠OED，∴∠FCE＝∠OED．∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°，即FC⊥OC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵tan A＝，∴在Rt△ABC中，＝，∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A，∵△ACF∽△CBF，∴＝＝＝．∴AF＝10，∴CF2＝BF•AF．∴BF＝．∴AO＝＝．10．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，∠B＝30°，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．（1）求的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．解：（1）连结OE，∵DE垂直OA，∠B＝30°，∴CE＝DE＝3，，∴∠AOE＝2∠B＝60°，∴∠CEO＝30°，OC＝OE，由勾股定理得OE＝2；（2）∵EM∥BD，∴∠M＝∠B＝30°，∠M+∠AOE＝90°，∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME，∴EM是⊙O的切线；（3）再连结OF，当∠APD＝45°时，∠EDF＝45°，∴∠EOF＝90°，S＝π（2）2﹣（2）2＝3π﹣6．阴影11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；（2）若BC＝5，sin∠ABC＝，求EF的长．（1）证明：补全图形如图所示，∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．连接OE，∴OE＝OB．∴∠2＝∠3，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴OE∥BF．∵EF⊥BF，∴EF⊥OE，∴EF是△ABC外接圆的切线；（2）解：在Rt△ABC中，BC＝5，sin∠ABC＝，∴＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝12．∵∠ACF＝∠CFE＝∠FEH＝90°，∴四边形C FEH是矩形．∴EF＝HC，∠EHC＝90°．∴EF＝HC＝AC＝6．12．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为10 ，最小值为 6 ．（2）如图1，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若∠ADC＝60°，求弦CD的长．解：（1）如图a，当CD是直径时，CD的长最大，则CD的最大值为10；如图b，当点D与点A重合时，CD有最小值，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，∴AF＝BF＝4，DE＝CE，∴OF＝＝＝3，∵OE⊥CD，OF⊥AB，∠CDB＝90°，∴四边形CEOF是矩形，∴CE＝OF＝3，∴CD＝6，∴CD最小值为6，故答案为：10，6；（2）如图1，连接AD，∵DH＝7，CH＝9，∴CD＝16，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝＝＝4，∵，＝，∴，∠ADH＝∠ADC，∴△ADH∽△CDA，∴∠AHD＝∠CAD＝90°，∴AB⊥CD，∴AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，过点O作OE⊥CD于E，过点O作OF⊥AB于点F，连接AO，CO，过点O作ON⊥AC于N，∵∠ADC＝60°，AB⊥CD，∴AF＝DF，∵OE⊥CD，OF⊥AB，AB⊥CD，∴四边形OEHF是矩形，AF＝BF＝4，CE＝ED，∴OF＝EH，∵OF＝＝＝3，∴EH＝3，∴ED＝CE＝3+DH，∴CF＝3+2DH，∵∠AOC＝2∠ADC＝120°，且AO＝CO＝5，ON⊥AC，∴∠CAO＝30°，AN＝CN，∴NO＝，AN＝，∴AC＝5，∵AH2+CH2＝AC2，∴75＝3DH2+（3+2DH）2，∴DH＝2﹣，∴CD＝2CE＝2（3+2﹣）＝．13．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB ＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为 4 ；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．解：（1）∵∠AOB＝2∠APB＝2×30°＝60°，而OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4，即⊙O的半径为4；故答案为4；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，则∠OHA＝∠OHB＝90°∵∠APB＝30°∴∠AOB＝2∠APB＝60°，∵OA＝OB，OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2，∴OH＝＝2，∴y＝﹣×4×2+×4×x＝2x+π﹣4（0＜x≤2+4）．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CE＝，AB＝6，求⊙O的半径．（1）解：结论：DE与⊙O相切证：连接OD在⊙O中，∵D为的中点，∴＝，∴AD＝DC，∵AD＝DC，点O是AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°，∵DE∥AC，∴∠DOA＝∠ODE＝90°，∵∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D，∴DE与⊙O相切．（2）解：连接BD．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，又∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE，∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵＝，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵DE∥AC，∴∠DCA＝∠CDE＝45°，在△ABD和△CDE中，∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴＝，∴＝，∴AD＝DC＝4，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4，∴AC＝＝＝8，∴⊙O的半径为4．15．（1）如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（2）如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：在平面直角坐标系中，如图③，已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当∠MPN度数最大时点P的坐标．解：（1）∠A＞∠BDC，理由如下：设CD交⊙O于E，连接BE，如图1所示：∠BEC＝∠BDC+∠DBE，∴∠BEC＞∠BDC，∵∠A＝∠BEC，∴∠A＞∠BDC；（2）∠A＜∠BDC，理由如下：延长CD交⊙O于点F，连接BF，如图2所示：∵∠BDC＝∠BFC+∠FBD，∴∠BDC＞∠BFC，又∵∠A＝∠BFC，∴∠A＜∠BDC；（3）由（1）、（2）可得：当点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点时，∠MPN度数最大，①当点P在y轴的正半轴上时，如图3所示：设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆，连接O′P、O′M、O′N，作O′H⊥MN于H，则四边形OPO′H是矩形，MH＝HN，∴OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M，∵M（1，0），N（4，0），∴OM＝1，MN＝3，∴MH＝HN＝MN＝，设O′P＝OH＝O′M＝x，MH＝OH﹣OM＝x﹣1，∴x﹣1＝，∴x＝，∴O′H＝＝＝2，∴OP＝2，∴点P的坐标为（0，2）；②当点P在y轴的负半轴上时，如图4所示：同理可得O′H＝OP＝2，∴点P的坐标为（0，﹣2）；综上所述，当∠MPN度数最大时点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．。

2020年九年级中考数学专题复习圆的性质与计算(含答案)

2020中考数学专题复习圆的性质与计算（含答案）一、选择题（本大题共7道小题）1. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为()A.32°B.31°C.29°D.61°2. 如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，若AB=10，AC=8，则BD的长为 ()A.2B.4C.2D.4.83. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π) ()A.8-πB.16-2πC.8-2πD.8-π4. 如图，已知AB是☉O的直径，点P在BA的延长线上，PD与☉O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4，BC=6，则PA的长为()A.4B.2C.3D.2.55. 如图，将☉O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若☉O的半径为3，则的长为()A.πB.πC.2πD.3π6. 如图，在半径为的☉O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是()A.2B.2C.2D.47. 如图，AB为☉O的直径，BC为☉O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD.下列结论:①CD是☉O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED·BC=BO·BE.其中正确结论的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（本大题共5道小题）8. 如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，则☉O的半径是.9. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为.10. 如图，☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧上.若∠BAC=66°，则∠EPF等于度.11. 如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6 cm，则该莱洛三角形的周长为cm.12. 如图，以AB为直径的☉O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB=18，∠A=30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①=;②扇形OBC的面积为π;③△OCF∽△OEC;④若点P为线段OA上一动点，则AP·OP有最大值20.25.三、解答题（本大题共5道小题）13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.以AC为直径作☉O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.(1)求证:DE是☉O的切线.(2)若DE=，∠C=30°，求的长.14. 如图所示，☉O的半径为4，点A是☉O上一点，直线l经过点A.P是☉O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l于点B，交☉O于点E，直径PD 的延长线交直线l于点F，点A是的中点.(1)求证:直线l是☉O的切线;(2)若PA=6，求PB的长.15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作☉O，点D为☉O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由;(2)若BE=2，DE=4，求☉O的半径及AC的长.16. 如图，过☉O外一点P作☉O的切线PA，切☉O于点A，连接PO并延长，与☉O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC，CM.(1)求证:CM2=MN·MA;(2)若∠P=30°，PC=2，求CM的长.17. 如图，AB是☉O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12，BD=5，求☉O的半径.2020中考数学专题复习圆的性质与计算-答案一、选择题（本大题共7道小题）1. 【答案】A[解析]记线段OP交☉O于点F.连接CO，CF，∵∠A=119°，∴∠BFC=61°，∴∠BOC=122°，∴∠COP=58°.∵CP与圆相切于点C，∴OC⊥CP，∴在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COP=32°，故选A.2. 【答案】C[解析]∵AB是直径，∴∠C=90°，∴BC==6.∵OD⊥AC，∴CD=AD=AC=4，∴BD==2，故选C.3. 【答案】C[解析]在边长为4的正方形ABCD中，BD是对角线，∴AD=AB=4，∠BAD=90°，∠ABE=45°，∴S△ABD=·AD·AB=8，S扇形ABE==2π，∴S阴影=S△ABD-S扇形ABE=8-2π.故选C.4. 【答案】A[解析]如图，连接OD.∵PC切☉O于点D，∴OD⊥PC.∵☉O的半径为4，∴PO=PA+4，PB=PA+8.∵OD⊥PC，BC⊥PD，∴OD∥BC，∴△POD∽△PBC，∴=，即=，解得PA=4.故选A.5. 【答案】C[解析]连接OA，OB，过点O作OD⊥AB交于点E，由题可知OD=DE=OE=OA，在Rt△AOD中，sin A==，∴∠A=30°，∴∠AOD=60°，∠AOB=120°，∴的长==2π，故选C.6. 【答案】C[解析]过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB，OD，OE，如图所示，则DF=CF，AG=BG=AB=3，∴EG=AG-AE=2.在Rt△BOG中，OG===2，∴EG=OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG=45°，OE=OG=2.∵∠DEB=75°，∴∠OEF=30°，∴OF=OE=.在Rt△ODF中，DF===，∴CD=2DF=2.故选C.7. 【答案】A[解析]连接DO，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠COB=∠COD，∴△COD≌△COB，∴∠ODC=∠OBC，∵BC为☉O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴CD是☉O的切线，故①正确;∵OB=OD，∠COB=∠COD，∴CO⊥DB，故②正确;∵∠EDA+∠ADO=90°，∠DBA+∠DAO=90°，∴∠EDA=∠DBA，∴△EDA∽△EBD，故③正确;∵△EDA∽△EBD，∴=，易证△COB∽△BAD，∴=，∴=，∴=，即ED·BC=BO·BE，故④正确.因此本题选A.二、填空题（本大题共5道小题）8. 【答案】2[解析]连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，∴OC=2.9. 【答案】4π[解析]设此圆锥的底面半径为r，由题意可得2πr=，解得r=2，故这个圆锥的底面圆的面积为4π.10. 【答案】57[解析]连接OE，OF.∵☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，∴OF⊥AC，OE⊥AB，∴∠BAC+∠EOF=180°，∵∠BAC=66°，∴∠EOF=114°.∵点P在优弧上，∴∠EPF=∠EOF=57°.故填:57.11. 【答案】6π[解析]以正三角形的顶点为圆心，边长为半径画弧，这三段弧的半径为6 cm，圆心角为60°，每段弧长为=2π(cm)，所以周长为2π×3=6π(cm).12. 【答案】①③④[解析]∵AB是☉O的直径，CD⊥AB，∴=，故①正确.∵∠A=30°，∴∠COB=60°，∴扇形OBC的面积=·π·2=π，故②错误.∵CE是☉O的切线，∴∠OCE=90°，∴∠OCE=∠OFC，又∵∠EOC=∠COF，∴△OCF∽△OEC，故③正确.设AP=x，则OP=9-x，∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-2+，∴当x=时，AP·OP取最大值，=20.25，故④正确.故答案为①③④.三、解答题（本大题共5道小题）13. 【答案】解:(1)证明:如图，连接OD，∵OC=OD，AB=AC，∴∠1=∠C，∠C=∠B.∴∠1=∠B.∵DE⊥AB，∴∠2+∠B=90°.∴∠2+∠1=90°，∴∠ODE=90°，∴DE为☉O的切线. (2)连接AD，∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=90°.∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，BD=CD.∴∠AOD=60°.∵DE=，∴BD=CD=2，∴OC=2，∴的长=π×2=π.14. 【答案】解:(1)证明:连接OA.∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA.∵点A是的中点，∴=，∴∠DPA=∠APB，∴∠OAP=∠APB.∴OA∥PB.∵PB⊥l，∴OA⊥l，∴直线l是☉O的切线.(2)连接AD，∵PD是直径，∴∠PAD=90°，∴∠PAD=∠PBA.又∵∠DPA=∠APB，∴△PAD∽△PBA，∴=，即=，∴PB=.15. 【答案】解:(1)直线CD与☉O相切.理由如下:连接CO.∵点D在圆上，∴OD=OB，又∵CD=CB，CO=CO，∴△COD≌△COB(SSS).∵∠ABC=90°，∴∠ODC=∠ABC=90°，∴OD⊥DC，∴直线CD与☉O相切.(2)设☉O的半径为x，∵DE=4，∴OE=4-x.在Rt△OBE中，BE2+BO2=OE2，即22+x2=(4-x)2，解得x=1.5，∴OD=OB=1.5.AB=2OB=3.∵CB，CD是圆的切线，∴CB=CD.则设CB=CD=y，在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，即y2+42=(y+2)2，解得y=3，∴BC=3.在Rt△ABC中，AC==3.16. 【答案】解:(1)证明:∵在☉O中，点M是半圆CD的中点，∴∠CAM=∠DCM，又∵∠CMA是△CMN和△AMC的公共角，∴△CMN∽△AMC，∴=，∴CM2=MN·M A.(2)连接OA，DM，∵PA是☉O的切线，∴∠PAO=90°，又∵∠P=30°，∴OA=PO=(PC+CO).设☉O的半径为r，∵PC=2，∴r=(2+r)，解得r=2.又∵CD是直径，∴∠CMD=90°，∵点M是半圆CD的中点，∴CM=DM，∴△CMD是等腰直角三角形，∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2+DM2=CD2，∴2CM2=(2r)2=16，∴CM2=8，∴CM=2.17. 【答案】解:(1)证明:如图①，∵DC⊥OA，∴∠1+∠3=90°.∵BD为切线，∴OB⊥BD，∴∠2+∠5=90°.∵OA=OB，∴∠1=∠2.∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，∴DE=DB.(2)如图②，作DF⊥AB于F，连接OE，∵DB=DE，∴EF=BE=3.在Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，∴DF==4，∴sin∠DEF==.∵∠AOE=∠DEF，∴在Rt△AOE中，sin∠AOE==，∵AE=6，∴AO=.即☉O的半径为.。

2020-2021中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案

2020-2021中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案一、圆的综合1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过»BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．（1）求证：∠G=∠CEF；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =34，AH=33，求EM的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253 8.【解析】试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出»»AD AC=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得AH HCEM OE=，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴»»AD AC=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AHHC=34，∵AH=33∴HC=3Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣33HC=43∴222(33)(43)r r-+=，∴r=2536，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AH HCEM OE=，∴33432536EM=，∴EM=2538．点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．3．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，∴A′C与半圆O相切；（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°，（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．4．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.试题解析：（1）连接CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°，∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，∴PA⊥AD，∴PA是⊙O的切线；（2）∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，∴∠ACF=∠D，∴∠ACF=∠B，而∠CAG=∠BAC，∴△ACG∽△ABC，∴AC：AB=AG：AC，∴AC 2=AG •AB =12，∴AC =23．5．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F .（1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212【解析】试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .∴BD CD BO EO= ∴252EO =. ∵OE ∥BD ，CO =OD ，∴CF =FB .∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=6．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；（2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．7．已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．（1）当23时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．【答案】（1）直线FD与以AB为直径的⊙O相切，理由见解析；（2）222.【解析】试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切；（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长．试题解析：（1）判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切．证明：如图，作以AB为直径的⊙O；∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，∴△ADB≌△ACB，∴∠ADB=∠ACB=90°．∵O为AB的中点，连接DO，∴OD=OB=AB，∴点D在⊙O上．在Rt△ACB中，BC=，AC=2；∴tan∠CAB==，∴∠CAB=∠BAD=30°，∴∠ABC=∠ABD=60°，∴△BOD是等边三角形．∴∠BOD=60°．∴∠ABC=∠BOD，∴FC∥DO．∵DF⊥CG，∴∠ODF=∠BFD=90°，∴OD⊥FD，∴FD为⊙O的切线．（2）延长AD交CG于点E，同（1）中的方法，可证点C在⊙O上；∴四边形ADBC是圆内接四边形．∴∠FBD=∠1+∠2．同理∠FDB=∠2+∠3．∵∠1=∠2=∠3，∴∠FBD=∠FDB，又∠DFB=90°．∴EC=AC=2．设BC=x，则BD=BC=x，∵∠EDB=90°，∴EB=x ．∵EB+BC=EC，∴x+x=2，解得x=2﹣2，∴BC=2﹣2．8．如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点A，C的圆交AB于点D，交BC 于点E，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE，CE的长（2）如图2，连结CD，若CE=3，△ACD的面积为10，求tan∠BCD（3）如图3，在圆上取点P使得∠PCD=∠BCD（点P与点E不重合），连结PD，且点D 是△CPF的内心①请你画出△CPF，说明画图过程并求∠CDF的度数②设PC=a，PF=b，PD=c，若（2）（2c）=8，求△CPF的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=32；（2）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】【分析】（1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为22c ．【详解】（1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1，∴x 2+x 2=82，解得：x=2．∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°，∴∠ADE=90°，∴∠EDB=90°，∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形．∴DE=DB ，又∵DB=1，∴DE=1，又∵CE=BC-BE ，∴CE=42232-=．（2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ，又∵CE=3，∴BC=3+y ，∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴()1114242103y y 222⨯=+⨯+⨯，解得：y=2或y=-11（舍去）．∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ，在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14．（3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ．∵∠CAD=45°，∴∠CPD=∠CAD=45°，又∵点D 是CPF ∆的内心，∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90° ∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，即∠CDF 的度数为135°．②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点，设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心，∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，∴∠PCF+∠PFC=90°，∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，∴四边形PKDN 是矩形，又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD=∠BDM=45°，∠BDM=∠KDP ，∴∠KDP=45°．∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴PN=PK=C 2，∴NF=b c 2-，CK=a c 2-，又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，∴CF=a b +，又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ，∴1111ab a c b c (a b 222222=⨯+⨯++-）×c 2，化简得：)2a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（c ）（c ）=8化简得：()2ab a b 2c 8++=------（Ⅱ），将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，解得：c =c =-∴2==，即△CPF 的内切圆半径长为2．【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．9．如图1，AB 为半圆O 的直径，半径OP ⊥AB ，过劣弧AP 上一点D 作DC ⊥AB 于点C ．连接DB ，交OP 于点E ，∠DBA ＝22.5°．⑴ 若OC ＝2，则AC 的长为；⑵ 试写出AC 与PE 之间的数量关系，并说明理由；⑶ 连接AD 并延长，交OP 的延长线于点G ，设DC ＝x ，GP ＝y ，请求出x 与y 之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）【答案】⑴ 222-；⑵ 见解析；⑶ y =2x【解析】【分析】（1）如图，连接OD ，则有∠AOD=45°，所以△DOC 为等腰直角三角形，又OC=2，所以DO=AO=22,故可求出AC 的长；（2）连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF ，证DP=DE证PF=EF=12PE ，故可证出PE =2AC ；（3）首先求出22OD CD x ==，再求AB=22x ,再证△DGE ≌△DBA,得GE =AB =22x ，由PE=2AC 得PE =2(2)x x -，再根据GP =GE －PE 可求结论.【详解】（1）连接OD ，如图，∵∠B=22.5°，∴∠DOC=45°,∵DC ⊥AB∴△DOC 为等腰直角三角形，∵OC=2，∴2∴2，∴AC=AO-OC=2.⑵连接AD，DP，过点D作DF⊥OP，垂足为点F.∵OP⊥AB,∴∠POD=∠DOC=45°，∴AD=PD，∵△DOC为等腰直角三角形，∴DC=CO,易证DF=CO，∴DC=DF，∴Rt△DAC≌Rt△DPF,∴PF=AC,∵DO=AO,∠DOA=45°∴∠DAC=67.5°∴∠DPE=67.5°,∵OD=OB，∠B=22.5°，∴∠ODE=22.5°∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°∴∠DEP=∠DPE∴PF=EF=1PE2∴PE=2AC（3）如图2，由∠DCO=90°，∠DOC=45°得OD==∴AB=2OD=∵AB是直径，∴∠ADB=∠EDG=90°，由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC∴△DGE≌△DBA∴GE=AB=∵PE=2AC∴PE=2)x--∴GP=GE－PE=-)x即：y=2x【点睛】本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.10．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=60°,☉O是△ABC的外接圆,BC是☉O的直径,过点B作☉O 的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作☉O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)连接EF,求证:EF是☉O的切线;(2)在圆上是否存在一点P,使点P与点A,B,F构成一个菱形?若存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）过O作OM⊥EF于M,根据SAS证明△OAF≌△OBE，从而得到OE=OF,再证明EO平分∠BEF，从而得到结论;（2）存在，先证明△OAC为等边三角形，从而得出∠OAC=∠AOC=60°,再得到AB=AF，再证明AB=AF=FP=BP，从而得到结论.【详解】(1)证明:如图,过O作OM⊥EF于M,∵OA=OB,∠OAF=∠OBE=90°,∠BOE=∠AOF,∴△OAF≌△OBE,∴OE=OF,∵∠EOF=∠AOB=120°,∴∠OEM=∠OFM=30°,∴∠OEB=∠OEM=30°,即EO平分∠BEF,又∠OBE=∠OME=90°,∴OM=OB,∴EF为☉O的切线.(2)存在.∵BC为☉O的直径,∴∠BAC=90°,∵∠ACB=60°,∴∠ABC=30°,又∵∠ACB=60°,OA=OC,∴△OAC为等边三角形,即∠OAC=∠AOC=60°,∵AF为☉O的切线,∴∠OAF=90°,∴∠CAF=∠AFC=30°,∴∠ABC=∠AFC,∴AB=AF.当点P在(1)中的点M位置时,此时∠OPF=90°,∴∠OAF=∠OPF=90°,又∵OA=OP,OF为公共边,∴△OAF≌△OPF,∴AF=PF,∠BFE=∠AFC=30°.又∵∠FOP=∠OBP=∠OPB=30°,∴BP=FP,∴AB=AF=FP=BP,∴四边形AFPB是菱形.【点睛】考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．11．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，整理得R2﹣R﹣12=0，∴R=4或（﹣3舍弃）．∴⊙O的半径为4．考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．12．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，过⊙O上一点C作⊙O的切线交DF于点E，CE⊥DF．(1)求证：AC平分∠FAB；(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）5 2【解析】试题分析：（1）连接OC ，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA =∠OAC 与∠CAE =∠OCA ，然后根据角平分线的定义可证明；（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB ∽△AEC ，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB 的长，从而得到圆的半径.试题解析：(1)证明：连接OC .∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE =90°∵CE ⊥DF ，∴∠CEA =90°，∴∠ACE +∠CAE =∠ACE +∠OCA =90°，∴∠CAE =∠OCA∵OC ＝OA ，∴∠OCA =∠OAC .∴∠CAE =∠OAC ，即AC 平分∠FAB(2)连接BC .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°.又∵∠CAE =∠OAC ，∴△ACB ∽△AEC ,∴AB AC AC AE =. ∵AE ＝1，CE ＝2，∠AEC =90°，∴2222125AC AE CE =+=+= ∴()22551AC AB AE ===，∴⊙O 的半径为52．13．如图，已知,,BAC AB AC O ∆=为ABC ∆外心，D 为O e 上一点，BD 与AC 的交点为E ，且2·BC AC CE =．①求证：CD CB =；②若030A ∠=，且O e 的半径为33+，I 为BCD ∆内心，求OI 的长．【答案】①证明见解析； ②3【解析】【分析】①先求出BC CE AC BC=，然后求出△BCE 和△ACB 相似，根据相似三角形对应角相等可得∠A=∠CBE，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，然后求出∠D=∠CBE，然后根据等角对等边即可得证；②连接OB、OC，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC=60°，然后判定△OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点I，设OC与BD相交于点F，然后求出CF，再根据I是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF，然后求出CI，最后根据OI=OC﹣CI计算即可得解．【详解】①∵BC2=AC•CE，∴BC CE AC BC=．∵∠BCE=∠ECB，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE=∠A．∵∠A=∠D，∴∠D=∠CBE，∴CD=CB；②连接OB、OC．∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．∵CD=CB，I是△BCD的内心，∴OC经过点I，设OC与BD相交于点F，则CF=BC×sin30°12=BC，BF=BC•cos30°3=BC，所以，BD=2BF=23⨯BC3=BC，设△BCD内切圆的半径为r，则S△BCD12=BD•CF12=（BD+CD+BC）•r，即12•3BC•12BC12=（3BC+BC+BC）•r，解得：r3223=+（）BC2332-=BC，即IF2332-=BC，所以，CI=CF﹣IF12=BC233--BC=（23-）BC，OI=OC﹣CI=BC﹣（23-）BC=（3-1）BC．∵⊙O的半径为33+，∴BC=33+，∴OI=（3-1）（33+）=33+3﹣3323-=．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内心的性质，（2）作辅助线构造出等边三角形并证明得到OC经过△BCD的内心I是解题的关键．14．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ k CQ +=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ =（或2BQ CQ ）．已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当2r =时，①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值．②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当3k =时，求r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）2．②是；（2）①3k =②r 的取值范围是12r <≤；（3）333b -<．【解析】【分析】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQ k CQ =计算即可解决问题；②根据定义求出k 的值即可判断；（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可；②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ =，推出2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，可得当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，因为点Q 早C e 外，推出r 的取值范围是12r <…；（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<．【详解】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=︒，即11CA QA ⊥，1QA ∴是C e 的切线，122222QA k QC ∴=== ②Q 2(12,0)A +在C e 上，221212k -+++∴==，2A ∴是C e 的“2相关依附点”．2 （2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥．(1,0)Q -Q ，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时23MQ k CQ= ②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =Q ，∴2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，∴当3k =3DQ =221CD CQ DQ =-，假设C e 经过点Q ，此时2r =，Q 点Q 早C e 外，r ∴的取值范围是12r <…．（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为333b -<<．【点睛】本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点)B 是C e 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．15．如图1，⊙O 的直径AB =12，P 是弦BC 上一动点（与点B ，C 不重合），∠ABC =30°，过点P 作PD ⊥OP 交⊙O 于点D ．（1）如图2，当PD ∥AB 时，求PD 的长；（2）如图3，当弧DC =弧AC 时，延长AB 至点E ，使BE =12AB ，连接DE ．①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长．【答案】（1）26；（2）①证明见解析；②33﹣3．【解析】试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．试题解析：（1）如图2，连接OD，∵OP⊥PD，PD∥AB，∴∠POB=90°，∵⊙O的直径AB=12，∴OB=OD=6，在Rt△POB中，∠ABC=30°，∴OP=OB•tan30°=6×=2，在Rt△POD中，PD===；（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，∵，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴∠ABD=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∵BE=AB，∴OB=BE，∴BF∥ED，∴∠ODE=∠OFB=90°，∴DE是⊙O的切线；②由①知，OD⊥BC，∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3，在Rt△POD中，OF=DF，∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP=CF﹣PF=3﹣3．考点：圆的综合题。

2020年九年级数学典型中考压轴题专练：圆有关题型(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题专练：圆有关题型1、如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC 交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）求DE的长．2、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．（1）求证：直线BF是⊙O的切线．（2）若CD=2，OP=1，求线段BF的长．3、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．（1）求证：∠1=∠CAD；（2）若AE=EC=2，求⊙O的半径．4、如图，在四边形ABCD 中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD 为直径作圆O ，过点D 作DE ∥AB 交圆O 于点E（1）证明点C 在圆O 上；（2）求tan ∠CDE 的值；（3）求圆心O 到弦ED 的距离．5、如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是BA 延长线上一点，PC 是⊙O 的切线，切点为C. 过点B 作BD ⊥PC 交PC 的延长线于点D ，连接BC. 求证：（1）∠PBC =∠CBD;（2）BC 2=AB ·BD6、如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是弦AC 上一动点(不与A 、C 重合)，过点P 作PE ⊥AB,垂足为E ，弧AC 射线EP 交于点F ，交过点C 的切线于点D.(1)求证DC=DP(2)若∠CAB=30°，当F 是的中点时，判断以A 、O 、C 、F 为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由；7、如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连结EF ．AC（1）求证：∠1=∠F．（2）若sinB=，EF=2，求CD的长．8、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且．（1）求证：△ADC∽△EBA；（2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．9、如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC=3，BC=4，求CE的长．10、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD 到E，且有∠EBD=∠CAB．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．11、已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， =，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．12、如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底边BC上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E．（1）若点E在线段CA的延长线上，设BP=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围．（2）当BP=2时，试说明射线CA与⊙P是否相切．（3）连接PA，若S△APE=S△ABC，求BP的长．13、如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．14、如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；（2）求CD的长．15、如图1是一个用铁丝围成的篮框，我们来仿制一个类似的柱体形篮框．如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO，及若干个缺一边的矩形状框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、A n B n C n D n，OEFG围成，其中A1、G、B1在上，A2、A3…、A n与B2、B3、…B n分别在半径OA2和OB2上，C2、C3、…、C n和D2、D3…D n分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF于H1，FH1=H1H2=d，C1D1、C2D2、C3D3、C n D n依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边C n D n与点E间的距离应不超过d），A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥A n C n（1）求d的值；（2）问：C n D n与点E间的距离能否等于d？如果能，求出这样的n的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？16、在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．答案:1、【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAB，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF=CF=3，∴OF===4．∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE=OF=4．2、【解答】（1）证明：∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠AFB=∠ADC，∴CD∥BF，∴∠AFD=∠ABF，∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：连接OD，∵CD⊥AB，∴PD=CD=，∵OP=1，∴OD=2，∵∠PAD=∠BAF，∠APO=∠ABF，∴△APD∽△ABF，∴=，∴=，∴BF=．3、【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD+∠CAD=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠1=∠BDO，∴∠1=∠CAD；（2）解：∵∠1=∠CAD，∠C=∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD：CA=CE：CD，∴CD2=CA•CE，∵AE=EC=2，∴AC=AE+EC=4，∴CD=2，设⊙O的半径为x，则OA=OD=x，则Rt△AOC中，OA2+AC2=OC2，∴x2+42=（2+x）2，解得：x=．∴⊙O的半径为．4、【解答】（1）证明：如图1，连结CO．∵AB=6，BC=8，∠B=90°，∴AC=10．又∵CD=24，AD=26，102+242=262，∴△ACD是直角三角形，∠C=90°．∵AD为⊙O的直径，∴AO=OD，OC为Rt△ACD斜边上的中线，∴OC=AD=r，∴点C在圆O上；（2）解：如图2，延长BC、DE交于点F，∠BFD=90°．∵∠BFD=90°，∴∠CDE+∠FCD=90°，又∵∠ACD=90°，∴∠ACB+∠FCD=90°，∴∠CDE=∠ACB．在Rt△ABC中，tan∠ACB==，∴tan∠CDE=tan∠ACB=；（3）解：如图3，连结AE，作OG⊥ED于点G，则OG∥AE，且OG=AE．易证△ABC∽△CFD，∴=，即=，∴CF=，∴BF=BC+CF=8+=．∵∠B=∠F=∠AE D=90°，∴四边形ABFE是矩形，∴AE=BF=，∴OG=AE=，即圆心O到弦ED的距离为．5、【解答】证明：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCD=90°.又∵BD⊥PC∴∠BDP=90°∴OC∥BD.∴∠CBD=∠OCB.∴OB=OC .∴∠OCB=∠PBC.∴∠PBC=∠CBD.（2）连接AC∵AB 是直径，∴∠BDP=90°.又∵∠BDC=90°，∴∠ACB=∠BDC.∵∠PBC=∠CBD,∴△ABC ∽△CBD. ∴BC AB =BD BC .∴BC 2=AB ·BD6、【解析】 (1) 如图连接OC, ∵CD 是⊙O 的切线，∴ OC ⊥CD ∴∠OCD=90º，∴∠DCA= 90º－∠OCA .又PE⊥AB ，点D在EP的延长线上，∴∠DEA=90º，∴∠DPC=∠APE=90º－∠OAC.∵OA=OC , ∴∠OCA=∠OAC.∴∠DCA=∠DPC ,∴DC=DP.(2) 如图四边形AOCF是菱形.连接CF、AF，∵F是弧AC的中点，∴弧AF=弧CF ∴ AF=FC .∵∠BAC=30º，∴弧BC =60º，又AB是⊙O的直径，∴弧ACB =120º，∴弧AF=弧CF= 60º，∴∠ACF=∠FAC =30º .∵OA=OC, ∴∠OCA=∠BAC=30º,∴⊿OAC≌⊿FAC (ASA) , ∴AF=OA ,∴AF=FC=OC=OA , ∴四边形AOCF是菱形.7、【解答】解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵E是AB的中点，∴DA=DB，∴∠1=∠B，∵∠B=∠F，∴∠1=∠F；（2）∵∠1=∠F，∴AE=EF=2，∴AB=2AE=4，在Rt△ABC中，AC=AB•sinB=4，∴BC==8，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，∵AC2+CD2=AD2，即42+x2=（8﹣x）2，∴x=3，即CD=3．8、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA=∠ABE．∵，∴∠DCA=∠BAE．∴△ADC∽△EBA；（2）解：∵A是的中点，∴∴AB=AC=8，∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD=∠AEC，，即，∴AE=，∴tan∠CAD=tan∠AEC===．9、【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，∴∠DCO=90°，∴∠3+∠2=90°，∵AB是直径，∴∠1+∠B=90°，∴∠3=∠B．（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，∴∠CEF=∠CFE=45°，∴tan∠CFE=tan45°=1．②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，∴△DCA∽△DBC，∴===，设DC=3k，DB=4k，∵CD2=DA•DB，∴9k2=（4k﹣5）•4k，∴k=，∴CD=，DB=，∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，∴△DCE∽△DBF，∴=，设EC=CF=x，∴=，∴x=．∴CE=．10、【解答】解：如图，连接OB，∵BD=BC，∴∠CAB=∠BAD，∵∠EBD=∠CAB，∴∠BAD=∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，OA=BO，∴∠BAD=∠ABO，[来源:学科网]∴∠EBD=∠ABO，∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线，（2）如图2，设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACCD=90°，∵BC=BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA=OD，∴OF=AC=，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE=∠ACB，∵∠DBE=∠ACB，∴△DBE∽△CAB，∴，∴，∴DE=，∵∠OBE=∠OFD=90°，∴DF∥BE，∴，∴，∵R＞0，∴R=3，∵BE是⊙O的切线，∴BE===．11、【解答】证明：（1）在⊙O中，∵=，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，∵=，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．12、【解答】解：（1）过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，∵∠BAC=120°，AB=AC=6，∴∠B=∠C=30°，∵PB=PD，∴∠PDB=∠B=30°，CF=AC•cos30°=6×=3，∴∠ADE=30°，∴∠DAE=∠CPE=60°，∴∠CEP=90°，∴CE=AC+AE=6+y，∴PC==，∵BC=6，∴PB+CP=x+=6，∴y=﹣x+3，∵BD=2BH=x＜6，∴x＜2，∴x的取值范围是0＜x＜2；（2）∵BP=2，∴CP=4，∴PE=PC=2=PB，∴射线CA与⊙P相切；（3）当D点在线段BA上时，连接AP，∵S△ABC=BC•AF=××3=9，∵S△APE=AE•PE=y•×（6+y）=S△ABC=，解得：y=，代入y=﹣x+3得x=4﹣．当D点BA延长线上时，PC=EC=（6﹣y），∴PB+CP=x+（6﹣y）=6，∴y=x﹣3，∵∠PEC=90°，∴PE===（6﹣y），∴S△APE=AE•PE=x•=y•（6﹣y）=S△ABC=，解得y=或，代入y=x﹣3得x=3或5．综上可得，BP的长为4﹣或3或5．13、【解答】（1）证明：连接OB，∵OB=OA，DE=DB，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠ABD=90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；（2）如图，过点D作DG⊥BE于G，∵DE=DB，∴EG=BE=5，∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，∴∠GDE=∠A，∴△ACE∽△DGE，∴sin∠EDG=sinA==，即CE=13，在Rt△ECG中，∵DG==12，∵CD=15，DE=13，∴DE=2，∵△ACE∽△DGE，∴=，∴AC=•DG=，∴⊙O的直径2OA=4AD=．4、【解答】（1）①证明：连接OC．∵OA=OB，AC=CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线．②证明：∵OA=OB，AC=CB，∴∠AOC=∠BOC，∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD，∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，∴∠BOC=∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF=∠OCD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ADC=∠CDF．（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN=NF=3，在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，∴ON==4，∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON=CM=4，MN=OC=5，在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，∴CD===4．15、【解答】解：（1）在RT△D2EC2中，∵∠D2EC2=90°，EC2=ED2=r，EF⊥C2D2，∴EH1=r，FH1=r﹣r，∴d=（r﹣r）=r，（2）假设C n D n与点E间的距离能等于d，由题意•r=r，这个方程n没有整数解，所以假设不成立．∵r÷r=2+2≈4.8，∴n=6，此时C n D n与点E间的距离=r﹣4×r=r．16、【解答】解：（1）连接BD，∵B（，0），C（0，3），∴OB=，OC=3，∴tan∠CBO==，∴∠CBO=60°∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠CBO，∴∠DBO=30°，∴tan∠DBO=，∴OD=1，∴△ABC内切圆⊙D的半径为1；（2）连接DF，过点F作FG⊥y轴于点G，∵E（0，﹣1）∴OE=1，DE=2，∵直线EF与⊙D相切，∴∠DFE=90°，DF=1，∴sin∠DEF=，∴∠DEF=30°，∴∠GDF=60°，∴在Rt△DGF中，∠DFG=30°，∴DG=，由勾股定理可求得：GF=，∴F（，），设直线EF的解析式为：y=kx+b，∴，∴直线EF的解析式为：y=x﹣1；（3）∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，∴该点必为△ABC外接圆的圆心，由（1）可知：△ABC是等边三角形，∴△ABC外接圆的圆心为点D∴DP=2，设直线EF与x轴交于点H，∴令y=0代入y=x﹣1，∴x=，∴H（，0），∴FH=，当P在x轴上方时，过点P1作P1M⊥x轴于M，由勾股定理可求得：P1F=3，∴P1H=P1F+FH=，∵∠DEF=∠HP1M=30°，∴HM=P1H=，P1M=5，∴OM=2，∴P1（2，5），当P在x轴下方时，过点P2作P2N⊥x轴于点N，由勾股定理可求得：P2F=3，∴P2H=P2F﹣FH=，∴∠DEF=30°∴∠OHE=60°∴sin∠OHE=，∴P2N=4，令y=﹣4代入y=x﹣1，∴x=﹣，∴P2（﹣，﹣4），综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2，5）或（﹣，﹣4）．。

2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：《圆的综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：《圆的综合》1．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM 的值．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD 延长线于E点．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．3．已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK ＝9BK，若OL＝，求BD的值．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．5．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．6．如图，在△ABC中，I是内心，AB＝AC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点I．（1）求证：AI是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径是5．①若E是BI的中点，OE＝，则BI＝；②若BC＝16，求AI的长．7．[教材呈现]图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．通过该问题的证明，得出了直角三角形的一条性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．[结论应用]（1）如图②，在Rt△ABC中，F是AD中点，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在BC上（点D不与B、C重合），DE⊥AB于点E，连结CE、CF、EF．当AD＝4时，S＝．△CEF（2）如图③，AD是⊙O直径，点C、E在⊙O上（点C、E位于直径AD两侧），在⊙O 上，且sin∠DAC＝，CD＝2．当四边形OCDE有一组对边平行时，直接写出AE的长．8．已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．9．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若∠CAB＝36°，⊙O的半径为12，求的长．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；11．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OAC＝58°．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小．12．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．13．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．14．如图，△AOB中，A（﹣8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P 是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC 的延长线交x轴于点F．（1）求证：EF为⊙P的切线；（2）求⊙P的半径．15．已知，AB为⊙O的直径，弦BC、AF相交于点E，过点E作ED⊥AB，∠AEC＝∠BED．（1）如图1，求证：＝；（2）如图2，当∠BAF＝45°时，OC交AF于点H，作FG⊥BH于点Q，交AB于点G，连接GH，求证：∠AGH＝∠BGF；（3）如图3，在（2）的条件下，射线BG与⊙O交于点P，过点P作PK⊥BH交AB于点M，垂足为点K，点N为B的中点，MN＝，求⊙O的半径．参考答案1．解：（1）连接OE，则∠OCB＝∠OBC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．2．解：（1）连接OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，又∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，∴OC∥AE，∵CE⊥AD，即可得OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD＝6，延长BC交AE的延长线于F，∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，∴△ACB≌△ACF（ASA），∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，∵∠CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，∴∠CDF＝∠ABF，∵∠CFD＝∠AFB，∴△CFD∽△AFB，∴＝，∴＝，∴AD＝．3．解：（1）∵CE⊥AD，∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，∵∠D+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE，在△ACE和△DCE中，，∴△ACE≌△DCE（ASA），∴CA＝CD；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADC+∠BDC＝90°，∵∠ADC+∠ACE＝90°，∴∠BDC＝∠ACE，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACE，设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，∴M在AC的垂直平分线上，∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，∴M与点O重合，即CE过圆心O，∵AE＝DE，∴CE⊥AD，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴CE∥BD；（3）∵4AK＝9BK，∴AK：BK＝9：4，设BK＝4m，则AK＝9m，∴AB＝13m，∴OA＝OB＝6.5m，∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，∵AK⊥CL，∴∠AKC＝90°＝∠AEO，在△OAE和△OCK中，，∴△OAE≌△OCK（AAS），∴OE＝OK＝2.5m，∵OA＝OB，AE＝DE，∴BD＝2OE＝5m，∴AD＝，∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，∴△AKL∽△ADB，∴，即，∴LK＝，∵OK2+LK2＝OL2，∴，解得，m＝0.8，∴BD＝5m＝4．4．解：（1）在△BDO和△BCO中，BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，故△BDO≌△BCO（SSS），∴∠BDO＝∠ABC＝90°，BD是⊙O的切线；（2）连接CD，则∠AMD＝∠ACD，AB是直径，故∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝＝，∵AD＝2，∴CD＝4，故圆的半径为5；（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，则DE＝＝4，则AE＝2，由（1）知△BDO≌△BCO，∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，∵∠DAE＝∠DOC，∴∠DAE＝∠BOC，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠OCB＝90°，∴△DAE∽△BOC，∴，即，解得：BC＝10，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴FE＝AE＝2，DF＝DE﹣EF＝2．5．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．则AC＝10．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．6．（1）证明：延长AI交BC于D，连接OI．∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC．∴∠1＝∠3．∵AB＝AC，∴AD⊥BC．又∵OB＝OI，∴∠3＝∠2．∴∠1＝∠2．∴OI∥BD．∴OI⊥AI．∴AI为⊙O的切线．（2）①解：∵E是BI的中点，∴OE⊥BI．在直角△OBE中，OB＝5，OE＝，则由勾股定理知：BE＝＝＝2．∴BI＝2BE＝．故答案是：；②解：由（1）知OI∥BC，∴△AOI～△ABD．∴，∴＝．∴．∴．∴AI＝•AD＝×＝．7．解：[教材呈现]已知：△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，求证：CD＝AB．证明：作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，则DF∥BC，DE∥AC，∵CD是中线，∴AF＝FC，BE＝EC，∴直线DE是线段AC的垂直平分线，直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DA＝DC，DB＝DC，∴CD＝DA＝DB＝AB；[结论应用]（1）CF、FE分别是Rt△ACD、Rt△ADE的中线，则CF＝EF＝AD＝2，设：∠CAF＝α＝∠ACF，∠FAE＝β＝∠AEF，∠CAB＝α+β＝60°，∠CFE＝∠FCA+∠FAC+∠FEA+∠FAE＝2α+2β＝120°，故△CEF为腰长为2，顶角为120°的等腰三角形，过点F作FH⊥CE，则S＝×CE×FH＝2×1＝，△CEF故答案为：；（2）设sin∠DAC＝＝sinα，CD＝2，则AD＝6，OC＝OE＝AD＝3，①当CD∥OE时，如图③（左侧图），则∠ADC＝∠DOE＝∠β，sin＝cosβ，过点D作DH⊥OE交OE于点H，OH＝OD cosβ＝3×＝1，则HE＝3﹣1＝2，同理DH＝2，DE＝＝2，AE＝＝＝2；②当OC∥DE时，如图③（右侧图），则∠COD＝∠ODE＝2α，过点O作ON⊥DE于点N，则DN＝EN，DE＝2DN＝2×OD cos2α＝2×3×＝（注：cos2α的求法见备注），AE＝＝＝；综上，AE＝2或；备注：等腰三角形ABC，AB＝AC，作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，设∠BAD＝∠CAD＝α，设sin，设BD＝CD＝a，则AB＝AC＝3a，则AD＝2a，S＝AD×BC＝AB×CE，△ABC即2a×2a＝3a×CE，则CE＝，sin2α＝＝，则cos2α＝．8．（1）证明：连接BD，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，BC＝CD，∴BD为⊙O的直径，∵OB＝OD，∴OC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∵正方形ABED是圆O的内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCF，∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，∵DE＝DG，∴BF＝DG，∵四边形ABED为圆O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE+∠ADG＝180°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，∴∠FAG＝90°，∵M为AE的中点，∴DM为△AEG的中位线，∴DM∥AG，∴∠DNF＝∠FAG＝90°，∴DN⊥AF，（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，由（1）知∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝，由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，∵，∴∠DBE＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，∴，设DE＝x，则BE＝7x，在Rt△BDE中，BD＝＝5x，∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，∴，由（2）知∠BCF＝∠DCE，∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，∴，∴，∴，在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，∴BE＝EF+BF＝14，∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠TBE＝∠TEB，∴TB＝TE＝，∴＝，∴，∴，∵M为AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△OME中，OM＝＝3．9．（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC，∵点C是的中点，∴∠EAC＝∠BAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∵AE⊥EF，∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOC＝2∠CAB＝2×36°＝72°，∵，∴∠BOD＝2∠BOC＝144°，∴的长＝＝π．10．解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF+EF＝r+2，∴BD＝CD＝DE＝r+2，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r+2，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EFA，∴，即＝解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），综上所述，⊙O的半径为1+．11．解：（I）如图①，∵OA＝OC，∠OAC＝58°，∴∠OCA＝58°∴∠COA＝180°﹣2×58°＝64°∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝90°﹣64°＝26°；（II）∵∠AOC＝64°，∴∠Q＝∠AOC＝32°，∵AQ＝CQ，∴∠QAC＝∠QCA＝74°，∵∠OCA＝58°，∴∠PCO＝74°﹣58°＝16°，∵∠AOC＝∠QCO+∠APC，∴∠APC＝64°﹣16°＝48°．12．（1）证明：如图1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD＝∠BED＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ADH＝∠BDE，∴BD平分∠ADF．（2）证明：连接OA、OB．∵OB＝OC＝OA，AC＝BC∴△OCB≌△OCA（SSS），∴OBC＝∠OCA，∴OC平分∠ACB；（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．则四边形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN＝∠BHC＝90°，∴BN是直径，则OP＝DN＝，∴HQ＝OP＝，设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，整理得2x2+9x﹣45＝0，（x﹣3）（2x+15）＝0解得x＝3（负值舍去），BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12∵∠ADB＝∠BCH，∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．即sin∠ADB的值为．13．证明：（1）连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）设圆O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，∵CD是圆O的切线，∴∠EDO＝90°，∴ED2+OD2＝OE2，∴9+R2＝（R+1）2，∴R＝4，∴圆O的半径为4；（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，∴AD＝4，∴BD扫过的图形的面积＝＝16π．14．（1）证明：连接CP，∵AP＝CP，∴∠PAC＝∠PCA，∵AC平分∠OAB，∴∠PAC＝∠EAC，∴∠PCA＝∠EAC，∴PC∥AE，∵CE⊥AB，∴CP⊥EF，即EF是⊙P的切线；（2）∵AC平分∠OAB，∴∠BAC＝∠OAC，∵PA＝PC，∴∠BAC＝∠ACP，∴PC∥AB，∴△OPC∽△OAB，∴＝，∵A（﹣8，0），B（0，），∴OA＝8，OB＝，∴AB＝，∴＝，∴PC＝5，∴⊙P的半径为5．15．（1）证明：如图1，连接AC、BF、CF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵∠AEC＝∠BED，∠AEC＝∠BEF，∴∠BEF＝∠BED，∵ED⊥AB，∴∠BDE＝∠AFB＝90°，又∵BE＝BE，∴△BDE≌△BFE（AAS），∴∠ABC＝∠FBC，∵，∴∠ABC＝∠AFC，∵，∴∠CAF＝∠FBC，∴∠CAF＝∠AFC，∴AC＝CF，∴；（2）证明：如图2，连接OF、BF，作AS⊥AF于点A，交FG的延长线于点S，∵，∴AOC＝∠FOC，∵AO＝OF，∴OC⊥AF，∴AH＝HF＝AF，∵∠BAF＝45°，∴AF＝BF，∵FG⊥BH，AS⊥AF，∴∠S＝∠BHF，又∵∠SAF＝∠HFB＝90°，∴△FSA≌△BHF（AAS），∴AS＝HF＝AH，∵∠SAG＝∠GAH＝45°，AG＝AG，∴△SAG≌△HAG（SAS），∴∠SGA＝∠AGH，∴∠AGH＝∠BGF；（3）解：如图3，过点O作OR⊥HP于点R，OT⊥BH于点T，∵△SAG≌△HAG，∴∠AHG＝∠S＝∠BHF，∵OH⊥AF，∴∠OHG＝∠OHB，∵∠ORH＝∠OTH＝90°，OH＝OH，∴△ORH≌△OTH（AAS），∴RH＝TH，OR＝OT，又∵OP＝OB，∠ORP＝∠OTB＝90°，∴Rt△ORP≌Rt△OTB（HL），∴PR＝BT，∴PR+RH＝BT+TH，即PH＝BH，∴∠HPB＝∠HBP，设∠OPR＝∠OBT＝α，∵∠AOH＝∠A＝45°，∴∠PHO＝∠BHO＝∠AOH﹣∠OBH＝45°﹣α，∴∠PHB＝90°﹣2α，∴∠HPB＝∠HBP＝45°+α，∴∠PBO＝45°，∵PO＝BO，∴∠OPB＝∠OBP＝45°，∴PO⊥AB，∵PK⊥BH，GF⊥BH，∴PK∥GF，∴∠PMG＝∠BGF，∵∠PGM＝∠AGH，∴∠PGM＝∠PMG，∴PG＝PM，∴OG＝OM，过点M作ML⊥BP于点L，∵∠PBH＝∠BHF＝45°+α，∴tan∠PBH＝tan∠BHF＝＝2，∵∠MPL＝∠BPK，∴∠PML＝∠PBH，∴tan∠PML＝tan∠PBH＝2，设BM＝4a，则BL＝ML＝2a，∴PL＝4a，∴PB＝6a，∴PO＝BO＝6a，∴OM＝OG＝2a，∴GM＝4a，∴GM＝BM，∵N为BH的中点，∴MN为中位线，∴GH＝2MN＝，过点G作GU⊥OH于点U，则tan∠GHO＝tan∠OHB＝tan∠FBH＝，在Rt△GUH中，设GU＝b，则UH＝2b，GH＝b，∴GU＝，∴GO＝2＝2a，∴a＝1，∴OB＝6a＝6，即⊙O的半径为6．。

2020年中考数学复习圆的有关计算与证明问题(解析版)

【考点1】圆中有关角的计算问题【例1】（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC 上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为．【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解析】∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为：52°．点评：此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC的度数是解题关键．̂）上，若∠【例2】（2019•温州）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（EDFBAC＝66°，则∠EPF等于度．【分析】连接OE，OF，由切线的性质可得OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理可求∠EOF＝114°，即可求∠EPF的度数．【解析】连接OE，OF∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F∴OE⊥AB，OF⊥AC又∵∠BAC＝66°∴∠EOF＝114°∵∠EOF＝2∠EPF∴∠EPF＝57°故答案为：57点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键．【考点2】切线的有关线段计算问题【例3】（2019•舟山）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC延长线于点P ，则P A 的长为（）A ．2B ．√3C ．√2D ．12【分析】连接OA ，根据圆周角定理求出∠AOP ，根据切线的性质求出∠OAP ＝90°，解直角三角形求出AP 即可．【解析】连接OA ，∵∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝60°，∵过点A 作⊙O 的切线交OC 的延长线于点P ， ∴∠OAP ＝90°， ∵OA ＝OC ＝1，∴AP ＝OA tan60°＝1×√3=√3，故选：B ．点评：本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．【例4】（2019•台州）如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则⊙O 的半径为（）A ．2√3B ．3C ．4D ．4−√3【分析】设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，根据等边三角形的性质得到AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，由切线的性质得到∠BAO＝∠CAO=12∠BAC＝30°，求得∠AOC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，∵等边三角形ABC的边长为8，∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，∵圆分别与边AB，AC相切，∴∠BAO＝∠CAO=12∠BAC＝30°，∴∠AOC＝90°，∴OC=12AC＝4，∵OE⊥AC，∴OE=√32OC＝2√3，∴⊙O的半径为2√3，故选：A．点评：本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．【考点3】扇形与弧长的有关计算问题【例5】（2019•宁波）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A ．3.5cmB ．4cmC ．4.5cmD ．5cm【分析】设AB ＝xcm ，则DE ＝（6﹣x ）cm ，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【解析】设AB ＝xcm ，则DE ＝（6﹣x ）cm ，根据题意，得90πx 180=π（6﹣x ），解得x ＝4．故选：B ．点评：本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．【例6】（2019•绍兴）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°．若BC ＝2√2，则BC ̂的长为（）A ．πB ．√2πC ．2πD ．2√2π【分析】连接OB ，OC ．首先证明△OBC 是等腰直角三角形，求出OB 即可解决问题．【解析】连接OB ，OC ．∵∠A ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ＝180°﹣65°﹣70°＝45°， ∴∠BOC ＝90°， ∵BC ＝2√2，∴BC ̂的长为90⋅π⋅2180=π，故选：A ．点评：本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【考点4】圆锥的有关计算问题【例7】（2019•湖州）已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的侧面积是（） A ．60πcm 2B ．65πcm 2C ．120πcm 2D ．130πcm 2【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算．【解析】这个圆锥的侧面积=12×2π×5×13＝65π（cm 2）．故选：B ．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【例8】（2019•金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A ＝90°，∠ABC ＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）A ．2B ．√3C ．32D ．√2【分析】先证明△ABD 为等腰直角三角形得到∠ABD ＝45°，BD =√2AB ，再证明△CBD 为等边三角形得到BC ＝BD =√2AB ，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ：CB ，从而得到下面圆锥的侧面积．【解析】∵∠A ＝90°，AB ＝AD ， ∴△ABD 为等腰直角三角形， ∴∠ABD ＝45°，BD =√2AB ，∴∠CBD＝60°，而CB＝CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC＝BD=√2AB，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，∴下面圆锥的侧面积=√2×1=√2．故选：D．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．【考点5】圆与多边形的有关计算问题【例9】（2019•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD＝CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C=(5−2)×180°5=108°，∵CD＝CB，∴∠CBD=180°−108°2=36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故选：C．点评：本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n﹣2）×180°是解题的关键．【例10】（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ 所在的直线经过点M ，PB ＝5cm ，小正六边形的面积为49√32cm 2，则该圆的半径为 8 cm ．【分析】设两个正六边形的中心为O ，连接OP ，OB ，过O 作OG ⊥PM ，OH ⊥AB ，由正六边形的性质及邻补角性质得到三角形PMN 为等边三角形，由小正六边形的面积求出边长，确定出PM 的长，进而求出三角形PMN 的面积，利用垂径定理求出PG 的长，在直角三角形OPG 中，利用勾股定理求出OP 的长，设OB ＝xcm ，根据勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解即可得到结果．【解析】设两个正六边形的中心为O ，连接OP ，OB ，过O 作OG ⊥PM ，OH ⊥AB ，由题意得：∠MNP ＝∠NMP ＝∠MPN ＝60°， ∵小正六边形的面积为49√32cm 2，∴小正六边形的边长为7√33cm ，即PM ＝7√3cm ， ∴S △MPN =147√34cm 2， ∵OG ⊥PM ，且O 为正六边形的中心， ∴PG =12PM =7√32cm ，OG =√36PM =72，在Rt △OPG 中，根据勾股定理得：OP =(72)2+(7√32)2=7cm ，设OB ＝xcm ，∵OH ⊥AB ，且O 为正六边形的中心， ∴BH =12x ，OH =√32x ，∴PH ＝（5−12x ）cm ，在Rt △PHO 中，根据勾股定理得：OP 2＝（√32x ）2+（5−12x ）2＝49，解得：x ＝8（负值舍去），则该圆的半径为8cm．故答案为：8点评：此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解本题的关键．【考点6】圆中有关线段的最值问题【例11】（2019•嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为12．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．【解析】连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD=√OD2−OC2=√r2−OC2，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD ＝CB =12AB =12×1=12，即CD 的最大值为12，故答案为：12．点评：本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C 的位置是解此题的关键．【考点7】圆中有关计算与证明综合问题【例12】（2019•金华）如图，在▱OABC 中，以O 为圆心，OA 为半径的圆与BC 相切于点B ，与OC 相交于点D ．（1）求BD̂的度数．（2）如图，点E 在⊙O 上，连结CE 与⊙O 交于点F ，若EF ＝AB ，求∠OCE 的度数．【分析】（1）连接OB ，证明△AOB 是等腰直角三角形，即可求解；（2）△AOB 是等腰直角三角形，则OA =√2t ，HO =√OE 2−EH 2=√2t 2−t 2=t ，即可求解．【解析】（1）连接OB ，∵BC 是圆的切线，∴OB ⊥BC ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OA ∥BC ，∴OB ⊥OA ， ∴△AOB 是等腰直角三角形， ∴∠ABO ＝45°， ∴BD̂的度数为45°；（2）连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，∵OH⊥EC，∴EF＝2HE＝2t，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝CO＝EF＝2t，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA=√2t，则HO=√OE2−EH2=√2t2−t2=t，∵OC＝2OH，∴∠OCE＝30°．点评：本题主要利用了切线和平行四边形的性质，其中（2），要利用（1）中△AOB是等腰直角三角形结论．【例13】（2019•衢州）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线．̂的长．（2）若DE=√3，∠C＝30°，求AD【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；（2）连接AD，根据AC是直径，得到∠ADC＝90°，利用AB＝AC得到BD＝CD，解直角三角形求得BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD，根据题意证得△AOD是等边三角形，即可OD＝AD，然后利用弧长公式求得即可．【解答】（1）证明：连接OD；∵OD＝OC，∴∠C＝∠ODC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE＝∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，∴∠OAD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵DE=√3，∠B＝30°，∠BED＝90°，∴CD＝BD＝2DE＝2√3，∴OD＝AD＝tan30°•CD=√33×2√3=2，∴AD̂的长为：60π⋅2180=2π3．点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．一．选择题（共5小题）1．（2020•温岭市一模）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A ＝90°，∠ABC ＝105°，则上下两圆锥的侧面积之比为（）A ．1：2B ．1：√3C ．2：3D ．1：√2【分析】设BD ＝2r ，先利用∠A ＝90°得到AB =√2r ，再计算∠CBD ＝60°，则BC ＝BD ＝2r ，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算上下两圆锥的侧面积的比值．【解析】设BD ＝2r ， ∵AB ＝AD ，∠A ＝90°， ∴AB =√2r ， ∵∠ABC ＝105°， ∴∠CBD ＝60°， ∴BC ＝BD ＝2r ，∴上下两圆锥的侧面积之比＝（12×2πr ×√2r ）：（12×2πr ×2r ）＝1：√2．故选：D ．2．（2020•金华模拟）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面的B 点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（）A．√36+4π2B．√4+36π2C．4πD．6π【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理来求．【解析】把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，BC＝6，AC为底面半圆弧长，AC＝2π，所以AB=√62+(2π)2=√36+4π2．故选：A．3．（2020•杭州模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O，交AB的延长线于点D，交AC于点E，连接OD，OE．若∠A＝α，则∠DOE的度数为（）A．180°﹣2αB．180°﹣αC．90°﹣αD．2α【分析】连接CD，如图，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，利用互余得到∠ACD＝90°﹣α，然后根据圆周角定理得到∠DOE＝2（90°﹣α）．【解析】连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∴∠DOE＝2∠ACD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α．故选：A．4．（2020•温州模拟）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4√3，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线1，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（）A．√3−1B．7﹣4√3C．√3D．1̂上运【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的BĈ于E′，此时AE′的值最小．动，连接O'A交BC【解析】如图，连接CE．∵AP∥BC，∴∠P AC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，̂上运动，∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的BĈ于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．连接OA交BC∵∠BE'C＝120°̂所对圆周角为60°，∴BC∴BOC＝2×60°＝120°，∵△BOC是等腰三角形，BC＝4√3，OB＝OC＝4，∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，∴∠ACO；＝90°∴O'A=√O′C2+AC2=√42+32=5，∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．故选：D．5．（2020•绍兴一模）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝20°，则∠D 的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】连OC，根据切线的性质得到∠OBD＝∠OCD＝90°，根据∠ACE＝20°和OA＝OC求出∠OAC ＝∠OCA＝70°，可得∠BOC＝2×70°＝140°，再根据四边形的内角和为360°即可计算出∠D的度数．【解析】连OC，如图，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴∠OBD＝∠OCD＝∠OCE＝90°，∵∠ACE＝20°，∴∠OCA＝90°﹣20°＝70°，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝70°，∴∠BOC＝2×70°＝140°，∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°．故选：A．二．填空题（共5小题）6．（2020•金华模拟）如图，BC是⊙O的弦，以BC为边作等边三角形ABC，圆心O在△ABC的内部，若BC＝6，OA=√3，则⊙O的半径为√21．【分析】过O作OD⊥BC于D，由垂径定理可知BD＝CD=12BC，根据△ABC是等边三角形可知∠ABC＝60°，故△ABD也是直角三角形，BD＝DD，在Rt△OBD中利用勾股定理求出OB的长即可．【解析】过O作OD⊥BC于D，连接OB，∵BC是⊙O的一条弦，且BC＝6，∴BD＝CD=12BC=12×6＝3，∴OD垂直平分BC，又AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴AD=√3BD＝3√3，∵OA=√3，∴OD＝AD﹣OA＝2√3在Rt △OBD 中，OB =√BD 2+OD 2=√32+(2√3)2=√21；故答案为：√21．7．（2020•天台县模拟）如图，已知等边△ABC 的边长为8，以AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于D 、E 两点，则劣弧DÊ的长为 43π ．【分析】连接OD 、OE ，先证明△AOD 、△BOE 是等边三角形，得出∠AOD ＝∠BOE ＝60°，求出∠DOE ＝60°，再由弧长公式即可得出答案．【解析】连接OD 、OE ，如图所示：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， ∵OA ＝OD ，OB ＝OE ，∴△AOD 、△BOE 是等边三角形， ∴∠AOD ＝∠BOE ＝60°， ∴∠DOE ＝60°， ∵OA =12AB ＝4， ∴DÊ长=60π×4180=43π；故答案为：43π．8．（2020•绍兴一模）如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，若以点C 为圆心，r 为半径的圆与边AB 所在直线有公共点，则r 的取值范围为 r ≥245 ．【分析】如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断．【解析】如图，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∵S△ABC=12•AC•BC=12•AB•CH，∴CH=24 5，∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，∴r≥24 5，故答案为r≥24 5．9．（2020•拱墅区校级模拟）如图，P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D，E，F分别在线段AB，BP，AP上，且AD＝BE，BD＝AF，∠P＝54°，则∠EDF＝63度．【分析】根据切线长定理得到P A＝PB，根据三角形内角和定理得到∠P AB＝∠PBA＝63°，证明△AFD ≌△BDE，根据全等三角形的性质得到∠AFD＝∠BDE，结合图形计算，得到答案．【解析】∵P A，PB是⊙O的两条切线，∴P A ＝PB ， ∴∠P AB ＝∠PBA =180°−54°2=63°，在△AFD 和△BDE 中， {AD =BE∠FAD =∠DBE AD =BD， ∴△AFD ≌△BDE （SAS ） ∴∠AFD ＝∠BDE ，∴∠EDF ＝180°﹣∠BDE ﹣∠ADF ＝180°﹣∠AFD ﹣∠ADF ＝∠F AD ＝63°，故答案为：63．10．（2020•衢州模拟）如图，小圆O 的半径为1，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3，…，△A n B n ∁n 依次为同心圆O 的内接正三角形和外切正三角形，由弦A 1C 1和弧A 1C 1围成的弓形面积记为S 1，由弦A 2C 2和弧A 2C 2围成的弓形面积记为S 2，…，以此下去，由弦A n ∁n 和弧A n ∁n 围成的弓形面积记为S n ，其中S 2020的面积为 24036（4π3−√3）．【分析】根据正三角形和圆的关系可依次求出弓形面积，再根据弓形面积寻找规律即可得结论．【解析】∵小圆O 的半径为1，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3，…，△A n B n ∁n 依次为同心圆O 的内接正三角形和外切正三角形， ∴S 1＝S扇形A 1OC 1−S△A 1OC 1=120π×12360−12×√3×12，S 2=120π×22360−12×2√3×1 S 3=120π×42360−12×4√3×2… 发现规律：S n =120π×(2n−1)2360−12×（2n ﹣1） √3×2n ﹣2 =π3×22n ﹣2﹣22n ﹣4×√3＝22n ﹣4 （4π3−√3）∴S 2020的面积为：24036（4π3−√3）．故答案为：24036（4π3−√3）．三．解答题（共10小题）11．（2020•金华模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，与BC 相切于点D ，且交AB 于点E ．（1）连结AD ，求证：AD 平分∠CAB ；（2）若BE =√2−1，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD ，证OD ∥AC ，求出∠OAD ＝∠ODA ＝∠CAD 即可；（2）证明△BOD 是等腰直角三角形，分别求出△BOD 和扇形EOD 的面积即可．【解答】（1）证明：如图，连结OD ，∵⊙O 与BC 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，即∠ODB ＝90°．又∵∠C ＝90°， ∴OD ∥AC ， ∴∠ODA ＝∠CAD ．在⊙O中，OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠CAD，∴AD平分∠CAB．（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∴∠BOD＝45°，∴△BOD是等腰直角三角形，∴OB=√2OD，BD＝OD，设⊙O的半径为r，则OD＝BD＝r，OB=√2r，∴BE=(√2−1)r=√2−1，∴r＝1，∴S阴影=12r2−45360πr2=12−π8．12．（2020•鹿城区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上的一点，过A，B，D三点的⊙O交AC于点E，作直径AF，连结FD并延长交AC于点G，且FG∥BE，连结BE，BF﹒（1）求证：AB＝BD；（2）若BD＝2CD，AC＝5，求⊙O的直径长﹒【分析】（1）连接EF、DE，然后证明四边形ABFE和四边形BFDE分别为矩形和等腰梯形即可．（2）设CD为x，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得CD长度，然后设BF＝DE＝AE＝y，在Rt△CDE 中利用勾股定理求得BF的长，最后在Rt△ABF中，利用勾股定理算出直径．【解析】（1）如图，连接EF、ED．∵AF为直径，∴∠ABF＝∠AEF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∴AB＝EF，AE＝BF，∵DF∥BE，̂=DÊ，∴BF∴BF＝DE，∴四边形BFDE是等腰梯形，∴BD＝EF，∴AB＝BD．（2）设CD＝x，则AB＝BD＝2CD＝2x，BC＝3x．在Rt△ABC中：AB2+AC2＝BC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，解得x1=√5，x2=−√5（舍），∴CD=√5，AB＝BD＝2√5，设BF＝AE＝DE＝y，则CE＝5﹣y，在Rt△CED中：DE2+CD2＝CE2，∴y2+5＝（5﹣y）2，解得y＝2，∴BF＝DE＝AE＝2，∴AF=√AB2+BF2=√20+4=2√6，即⊙O的直径长为2√6．13．（2020•绍兴一模）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：（1）圆心D的坐标为（﹣2，0）；（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．【分析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，可知点D的坐标为（﹣2，0）．（2）连接AC、AD和CD，根据勾股定理的逆定理求出∠CDA＝90°，根据弧长公式和圆的周长求出答案即可．【解析】（1）分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是圆心D，如图，D点正好在x轴上，D点的坐标是（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）；（2）连接AC、AD、CD，⊙D的半径长=√22+42=2√5，AC=√22+62=2√10，∵AD 2+CD 2＝20+20＝40，AC 2＝40， ∴AD 2+CD 2＝AC 2， ∴∠ADC ＝90°．设圆锥的底面圆的半径长为r ，则2πr =90π×2√5180，解得：r =√52，所以该圆锥底面圆的半径长为√52． 14．（2020•上虞区校级一模）如图1 （1）已知△ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，BD 是角平分线，求证：点D 是线段AC 的黄金分割点；（2）如图2，正五边形的边长为2，连结对角线AD 、BE 、CE ，线段AD 分别与BE 和CE 相交于点M 、N ，求MN 的长；（3）设⊙O 的半径为r ，直接写出它的内接正十边形的边长＝√5−12r （用r 的代数式表示）．【分析】（1）如图1，先证AD ＝BD ＝BC ，再证△BCD ∽△ACB ，即可得出点D 是线段AC 的黄金分割点；（2）利用正五边形的性质，证BM ＝BA ＝AE ，再证△AEM ∽△BEA ，推出EM EB=3−√52，再证△EMN ∽△EBC ，即可求出MN 的长；（3）正十边形的中心角为：360°10=36°，利用图1，可设∠BAC 是正十边形的一个中心角，则AB ，AC为正十边形外接圆的半径r ，BD 是∠ABC 的平分线，由（1）知CDAD=AD AC，可用含r 的代数式表示出AD的长，即正十边形的边长．【解答】（1）证明：如图1，∵在△ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠C =12（180°﹣36°）＝72°， ∵BD 是角平分线，∴∠CBD ＝∠ABD =12∠ABC ＝36°， ∴AD ＝BD ＝BC ，∴在△BCD 中，∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠CBD ＝72°， ∴BD ＝BC ，∵∠A ＝∠CBD ＝36°，∠C ＝∠C ， ∴△BCD ∽△ACB ， ∴CD BC=BC AC，∵AD ＝BD ＝BC ， ∴CD AD=AD AC，∴点D 是线段AC 的黄金分割点；（2）在正五边形ABCDE 中， ∠AED =180°×(5−2)5=108°，AE ＝DE ，∴∠EAD ＝∠EDA =12（180°﹣108°）＝36°，同理可求，∠AEB ＝∠ABE ＝36°， ∵∠EAM ＝∠∠EBA ，∠AEM ＝∠BEA ， ∴△AEM ∽△BEA ， ∴EM AE=AE BE，∵∠AMB ＝∠MAE +∠AEM ＝72°，∠MAB ＝∠BAE ﹣∠MAE ＝72°， ∴∠BAM ＝∠BMA ， ∴BM ＝BA ＝AE ＝2， ∴EM BM =BM BE， ∴EM 2=2EM+2，∴EM =√5−1（取正值）， ∴EM EB=√5−15−1+2=3−√52，∵∠BAM +∠ABC ＝72°+108°＝180°， ∴AD ∥BC ， ∴△EMN ∽△EBC ， ∴EM EB=MN BC=3−√52， ∵BC ＝2， ∴MN ＝3−√5；（3）正十边形的中心角为：360°10=36°，如图1，可设∠BAC 是正十边形的一个中心角，则AB ，AC 为正十边形外接圆的半径r ，BD 是∠ABC 的平分线，由（1）知CD AD =AD AC，∴r−AD AD=ADr，∴AD =√5−12r ，∴BC ＝BD =√5−12r ，故答案为：√5−12r ．15．（2020•长安区模拟）如图1，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D．（1）求证：点D是AB的中点；（2）如图2，过点D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线．【分析】（1）由于AC＝AB，如果连接CD，那么只要证明出CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出AD＝BD，由于BC是圆的直径，那么CD⊥AB，由此可证得．（2）连接OD，再证明OD⊥DE即可．【解答】证明：（1）如图1，连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB．∵AC＝BC，∴AD＝BD．（2）如图2，连接OD；∵AD＝BD，OB＝OC，∴OD是△BCA的中位线，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线．16．（2020•衢州模拟）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF=√10，求⊙O的半径．【分析】（1）由等腰三角形的性质和垂径定理可求∠OAC＝90°，可得结论；（2）由勾股定理可求解．【解答】证明：（1）连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CF A＝∠OFD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD＝90°，∴∠CF A+∠DAO＝90°，∴∠OAC＝90°，且OA是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，∴10＝OD2+（4﹣OD）2，∴OD＝1（不合题意舍去），OD＝3，∴⊙O的半径为3．17．（2020•温州模拟）如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．【分析】（1）连接ACAC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，证出∠BAC＝∠BCE；由C是弧BD的中点，得到∠DBC＝∠BAC，延长∠BCE＝∠DBC，即可得到结论；CF＝BF．（2）连接OC交BD于G，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，由勾股定理得出BD=√AB2−AD2=8，由垂径定理得出OC⊥BD，DG＝BG=12BD＝4，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=12AD＝3，求出CG＝OC﹣OG＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理即可得出答案．【解答】（1）证明：连接AC，如图1所示：∵C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，又C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF．（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，∴∠ADB＝90°，∴BD=√AB2−AD2=√102−62=8，∵C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，DG＝BG=12BD＝4，∵OA＝OB，∴OG是△ABD的中位线，∴OG=12AD＝3，∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC=√CG2+BG2=√22+42=2√5．18．（2020•拱墅区校级模拟）如图，△ABC是的内接三角形，点C是优弧AB上一点，设∠OAB＝α，∠C ＝β．（1）猜想：β关于α的函数表达式，并给出证明；（2）若α＝30°，AB＝6，S△ABC＝6√3，求AC的长．【分析】（1）连接OB，理由等腰三角形的性质圆周角定理即可解决问题．（2）如图，延长AO交⊙O于E，连接EB，作EF∥AB交⊙O于F，连接AF．证明点C与点E重合即可解决问题．【解析】（1）如图，结论：β＝90°﹣α．理由：连接OB．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝α，∴∠AOB＝180°﹣2α，∴∠C=12∠AOB＝90°﹣α，即β＝90°﹣α．（2）如图，延长AO交⊙O于E，连接EB，作EF∥AB交⊙O于F，连接AF．∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝6，∴BE＝AB•tan30°＝2√3，∴S△EAB=12•AB•EB＝6√3，∵S△ABC＝6√3，∴点C与E重合，或与F重合，∴AC＝2BE＝4√3或AC′＝AF＝BE＝2√3．综上所述，AC的长度为4√3或2√3．19．（2019•泸县模拟）如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DE的长．【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，∴OF=√AO2−AF2=√52−32=4．∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4．20．（2019•泰顺县模拟）已知矩形ABCD，AB＝10，AD＝8，G为边DC上任意一点，连结AG，BG以AG 为直径作⊙P分别交BG，AB于点E，H，连结AE，DE．（1）若点E为GĤ的中点，证明：AG＝AB．（2）若△ADE为等腰三角形时，求DG的长．（3）作点C关于直线BG的对称点C′．①当点C落在线段AG上时，设线段AG，DE交于点F，求△ADF与△AEF的面积之比；②在点G的运动过程中，当点C′落在四边形ADGE内时（不包括边界），则DG的范围是185＜DG＜10（直接写出答案）【分析】（1）由AG 为⊙P 直径可得：∠AEG ＝∠AEB ＝90°，由点E 为DĤ的中点，可得：∠BAE ＝∠GAE ，由此易证：△AEB ≌△AEG ；（2）△ADE 为等腰三角形，要分类讨论：①AE ＝AD ，②AE ＝DE ，③AD ＝DE ；（3）①△ADF 与△AEF 的高相等，面积之比等于底之比；连接PE ，证明PE ∥CD ，再利用相似三角形性质易求得结论，②点C ′落在AE 上时可求得DG 的最小值，最大值很容易看出为10．【解析】（1）∵AG 为⊙P 直径∴∠AEG ＝∠AEB ＝90°∵点E 为GĤ的中点， ∴∠BAE ＝∠GAE在△AEB 和△AEG 中{∠BAE =∠GAEAE =AE ∠AEB =∠AEG∴△AEB ≌△AEG （ASA ）∴AG ＝AB ；（2）如图1，△ADE 为等腰三角形，分三种情况：①AE ＝AD ＝8∵AG 为⊙P 直径∴∠AEG ＝∠AEB ＝90°∴BE =√AB 2−AE 2=√102−82=6∵ABCD 是矩形∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠ADC ＝90°，BC ＝AD ＝8，CD ＝AB ＝10∴∠ABE +∠CBG ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90°∴∠CBG ＝∠BAE在△BCG 和△AEB 中，{∠CBG =∠BAEBC =AE ∠BCG =∠AEB∴△BCG ≌△AEB （ASA ）∴CG ＝BE ＝6∴DG ＝CD ﹣CG ＝10﹣6＝4②AE ＝DE ，过点E 作EM ⊥AD 于M ，∵AE ＝DE ，EM ⊥AD∴∠AEM ＝∠DEM ，∠AME ＝∠DME ＝90°∴AB ∥CD ∥EM∴∠BAE ＝∠AEM ＝∠DEM ＝∠EDG∴EH ̂=EG ̂由（1）得AG ＝AB ＝10∴DG =2−AD 2=√102−82=6；③AD ＝DE ，过D 作DN ⊥AE 于N ，∴∠AND ＝∠AEB ＝90°，AN ＝NE∵∠DAE +∠BAE ＝∠ADN +∠DAE ＝90°∴∠BAE ＝∠ADN∴△ADN ∽△BAE∴AN BE =AD AB =810，即：AN BE =45∴AE BE =85∵∠ABE +∠CBG ＝∠CGB +∠CBG ＝90°∴∠ABE ＝∠CGB∵∠AEB ＝∠BCG ＝90°∴△BCG ∽AEB∴BC CG =AE BE =85，即：8CG =85∴CG ＝5∴DG ＝CD ﹣CG ＝10﹣5＝5综上所述，DG ＝4或6或5．（3）①如图2，点C ′，C 关于直线BG 对称，连接BC ′，连接PE ，由轴对称性质得：BC ′＝BC ，∠C ′BG ＝∠CBG ，GC ＝GC ′，∠BGC ′＝∠BGC ∴∠BC ′G ＝∠BCG ＝90°∴△ABC ′≌△GAD （AAS ）∴AG ＝AB ＝10，DG =√AG 2−AD 2=√102−82=6∵AB ∥CD∴∠BGC ＝∠ABG ＝∠AGB∵AE ⊥BG∴BE ＝EG∵AP ＝PG∴PE ∥AB ∥CD ，PE =12AB ＝5∴△DFG ∽△EFP∴DF EF =DG PE =65∴S △ADF S △AEF =DF EF =65②如图3，当点C ′落在矩形ABCD 对角线AC 上时，∵∠AEB ＝∠BEC ＝∠ABC ＝∠BCG ＝90°∴∠BAC +∠ACB ＝∠CBG +∠ACB ＝90°∴∠BAC ＝∠CBG∴△ABC ∽△BCG ，∴CG BC =BC AB ，即CG =BC 2AB =8210=325∴DG ＝CD ﹣CG ＝10−325=185，当点G 向右运动且不与点C 时，C ′始终落在四边形ADGE 内部， ∴DG ＜10故答案为：185＜DG ＜10．。

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