几何学基础简介
常用几何语言初中数学
常用几何语言初中数学在初中数学的学习中，几何语言的使用是不可或缺的一部分。
它不仅是我们理解和描述几何概念的工具，也是我们进行逻辑推理和问题解决的重要工具。
在这篇文章中，我们将探讨一些常用的几何语言及其在初中数学中的应用。
我们要了解的是几何中的基本元素和概念。
这些包括点、线、面、角、三角形、四边形等。
每个元素都有其特定的定义和性质，这些定义和性质是我们理解和描述几何图形的基础。
我们要学习的是如何使用几何语言进行描述和推理。
在初中数学中，我们通常会使用公理、定理和推论等来进行证明和推理。
这些公理、定理和推论是经过严格证明和检验的，可以用来确定某一命题是否成立。
同时，我们还要学会如何使用几何语言来表达和证明这些命题。
我们要了解的是几何语言在解决实际问题中的应用。
在日常生活中，我们经常会遇到一些与几何相关的问题，比如测量土地面积、计算房屋面积、确定最短路径等。
这些问题都需要我们使用几何语言来进行描述和解决。
几何语言是初中数学中非常重要的一部分。
通过学习和掌握常用的几何语言，我们可以更好地理解和应用几何知识，提高我们的逻辑推理能力和解决问题的能力。
也可以帮助我们更好地解决日常生活中的一些与几何相关的问题。
因此，我们应该认真学习几何语言，不断提高自己的数学素养和能力。
初中数学几何模型汇总一、引言初中数学是数学教育的基础阶段，其中几何学占据了相当重要的地位。
几何学不仅培养了学生的空间想象能力和逻辑推理能力，而且为高中数学的学习打下了坚实的基础。
本文将系统地整理初中数学中的几何模型，以期帮助学生更好地理解和掌握几何知识。
二、初中数学几何模型分类1、点、线、面：这是几何学中最基本的元素。
点代表位置，线代表长度，面代表形状。
这三个元素构成了几何学的基础。
2、直线型：包括线段、射线、直线等。
这些图形的关系和性质是初中几何学的重要内容。
3、平面型：包括三角形、四边形、圆形等。
这些图形的关系和性质是初中几何学的重要内容。
第4章几何图形初步简介
人教版七年级上册第四章“几何图形初步”简介《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级上册第四章是“几何图形初步”。
本章是初中数学“图形与几何”领域的第一章，本章将在小学阶段所学的“图形与几何”初步知识的基础上，学习几何学的一些最基本的概念，以及直线、射线、线段和角的一些基本知识，了解这些知识的一些初步应用。
本章共安排了4小节和两个选学内容，教学时间约需16课时，大体分配如下（仅供参考）：4.1 几何图形约4课时4.2 直线、射线、线段约3课时4.3 角约5课时4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒约2课时数学活动小结约2课时一、教科书内容和本章学习目标1. 本章知识结构框图本章知识结构如下图所示：2. 教科书内容本章教学内容是初等几何学中最基本的一些知识。
我们生活其中的现实空间的各种物体都以其所具有的各种空间形式存在于我们周围，学习有关图形与几何的知识能使人们更好的认识现实空间，并把有关的知识应用于实际生活和工作之中．本章是初中阶段“图形与几何”领域的第一章，介绍图形与几何的一些最基本的概念和图形。
一些最基本的概念，如几何图形、立体图形、平面图形、体、面、线、点等，要在本章中从现实具体物体中抽象、归纳出来，直线、线段、射线、角及有关的概念在本章中得到比较详细的介绍，并被广泛应用于后续的教学中。
本章的教学属于初中几何图形知识学习的起始阶段，对于后续相关知识的学习影响深远。
在第4.1节，教科书首先用引言中北京奥林匹克公园的俯瞰图和第4.1节开始的实物照片，引导学生观察现实生活中各种物体，从而进入到本章几何图形初步知识的学习中来。
接着，教科书首先指出各种物体都具有形状、大小、位置的几何特征，并从学生熟悉的方体纸盒开始，让学生经历从具体物体的外形抽象概括出长方体、圆柱、球、几何图形的过程，认识几何图形、立体图形、平面图形的概念；让学生通过从不同方向看立体图形得到平面图形和想象几何体的展开图的过程，认识可以用平面图形表示立体图形，以及立体图形与平面图形的联系；并进一步从体、面、线、点之间的关系以及运动的观点（点动成线、线动成面、面动成体）进一步认识基本几何图形，并渗透了几何图形的集合观点。
几何原本简介
各卷简介
• • • • • • • • • • • • • • 第一卷：几何基础。重点内有三角形全等的条件， 三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形 等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是 毕达哥拉 斯定理的正逆定理； 第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形； 其中12、13命题相当于余弦定理。 第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些 定理。 第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质； 第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最 重要的数学杰作之一" 第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。 第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是 篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一 命题是极限思想的雏形。 第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容. 从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经 完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是 两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学， 人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧氏几何。 Arkey Works
在《几何原本》中，欧几里得首先给出了点、线、 面、角、垂直、平行等定义，接着给出了关于几何 和关于量的十条公理，如“凡直角都相等”、“整 体大于部分”以及后来引起的许多纷争“平行线公 理”等等。公理后面是一个一个的命题及其证明， 内容丰富多彩。公理化结构是近代数学的主要特征 而《几何原本》则是公理化结构的最早典范。欧 几里得创造性的总结了他以前的古希腊数学，将 零散的，不连贯的数学知识整理起来加上自 己的大量创造，构造出彼此内在联系的有机 的宏大大厦。 本书共分为13卷，有5条公设、五条公 理、119个定义和465个命题，构成 历史上的一个数学公理体系。
空间几何的公理系统构建立体几何学的基本原理
空间几何的公理系统构建立体几何学的基本原理在数学中，几何学是研究空间和形状的学科。
而立体几何学是几何学的一个重要分支，它关注的是三维空间中的图形和物体。
立体几何学的基本原理由一系列的公理系统构建而成，这些公理被认为是几何学的基础，为我们研究三维世界提供了坚实的理论基础。
公理是几何学研究中最基本的概念和原理，它是从直觉和观察总结出来的基本真理，不需要证明就可以成立。
在立体几何学中，有一些经典的公理可以用来构建整个几何系统。
首先，立体几何学的基本公理之一是点、线和面的概念。
在三维空间中，点用来表示没有大小和形状的位置，而线是由两个点之间的连接形成的，它有长度但没有宽度。
面是由三个或更多的点以及通过这些点的直线形成的，它有长度和宽度但没有厚度。
其次，立体几何学的公理还包括平行公理。
平行公理描述了两条平面或直线之间的关系，它指出如果有一条直线和一条平面，并且这条直线在这个平面上的任何一点和这条直线上的所有点都相交，那么这条线与这个平面平行。
此外，立体几何学的公理还包括距离公理和角度公理。
距离公理描述了任意两个点之间的距离，它指出距离是非负的，并且如果两个点的距离为零，则这两个点是重合的。
角度公理描述了两条线之间的夹角，它指出夹角的度数是非负的，并且如果两个角度的度数相等，则这两个角度是相等的。
最后，立体几何学的公理还包括一些常用的推理原理，如反证法和假设法。
这些推理原理可以帮助我们在研究立体几何学问题时进行分析和推导。
通过以上这些公理系统的构建，我们可以建立起一个完整而严谨的立体几何学理论体系。
这个体系为我们研究空间中的图形和物体提供了强大的工具和方法。
在实际应用中，立体几何学的基本原理也被广泛应用于建筑设计、工程制图、计算机图形学等领域。
总之，空间几何的公理系统构建立体几何学的基本原理是我们研究三维空间中的图形和物体的基础。
这些公理系统提供了几何学研究的框架和方法，通过推理和证明可以得到具体的结论。
立体几何学在解决实际问题和应用领域中具有广泛的意义和应用价值。
基本图形的几何学习方法
基本图形的几何学习方法几何学是数学的一个重要分支，研究空间中的形状、大小、相对位置以及它们的性质和变换规律等。
在几何学中，基本图形是最基础的概念之一，包括点、直线、线段、角、三角形、四边形、圆等。
学习基本图形的几何学方法对于培养孩子的观察能力、逻辑思维和解决问题的能力有着重要的作用。
本文将介绍几种基本图形的几何学习方法，帮助孩子们掌握这些基础知识。
1. 观察法观察法是最直接的学习方法之一。
孩子们可以通过观察周围的物体来认识和了解基本图形。
比如，学习正方形可以观察方形餐桌、正方形地砖等。
通过观察这些物体，孩子们可以发现正方形具有四条边，四个角都是直角等特点。
通过观察法，孩子们能够直观地了解基本图形的形状和特征。
2. 比较法比较法是将不同的图形进行对比，找出它们的共同点和不同点，从而看清它们的特征。
比如，当孩子们学习三角形和四边形时，可以将它们进行对比。
孩子们可以在纸上画出多个不同形状的三角形和四边形，并将它们进行比较。
通过比较，孩子们可以发现三角形有三个边，四边形有四个边，而且他们的形状和角度也不相同。
通过比较法，孩子们可以逐渐掌握不同基本图形的特点。
3. 创造法创造法是培养孩子们的想象力和创造力的一种方法。
通过让孩子们自由的创作图形，可以帮助他们更好地理解和掌握基本图形。
比如，给孩子们一些不同的形状的纸片，让他们自由地将这些纸片拼贴在一起形成新的图形。
通过创造，孩子们可以发现不同图形之间的联系和变换规律，从而更加深入地理解基本图形的特点。
4. 游戏法游戏法是一种利用游戏来学习的方法，可以让孩子们在轻松愉快的氛围中学习基本图形。
比如，可以设计一些相关的游戏，让孩子们通过游戏来认识和记忆基本图形。
例如，可以设计一个图形记忆游戏，让孩子们记住一些图形的特点，然后在一定的时间内回忆并拼凑出这些图形。
通过游戏法，孩子们可以在乐趣中提高对基本图形的理解和记忆能力。
5. 实践法实践法是将基本图形的学习与实际生活相结合的方法。
第二章源头之一几何原本
《几何原本》后面各篇不再列出其它公理。这一 篇在公理之后，用48个命题讨论了关于直线和由直 线构成的平面图形的几何学，其中第47命题就是著 名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形(以 斜边为边的正方形) 等于直角边上的两个正方形。”
几何学的发展简史
几何学的发展历经了四个基本阶段：
一是经验事实的积累和初步整理
据考证西方的几何学就是起源于测地术．“几何 学”这个名词是我国明朝徐光启（1562—1633年） 译的，这个词的原义无论在拉丁文或希腊文都含“测 地术”的意思．
大约公元前1650年，埃及人阿默斯 （Ahrmes，生卒年月不详）手抄了一本书，即 后人所称的“阿默斯手册”，最早发现于埃及 底比斯的废墟中．公元1858年由英国的埃及学 者莱因德﹝A. H. Rhind﹞购得，故又名“莱因 德纸草书”．此书中载有很多关于面积的测量 法以及关于金字塔的几何问题．
第十三篇共有18个命题，主要研究五种正多面 体，并且证明了(凸的)正多面体不能多于五种。
第五公设的试证
在摆脱第五公设(也称平行公设)困扰的努力 中，第一个有影响的工作是由古希腊天文学家托 勒密完成的。在这次认真的尝试中，托勒密采取 的方式是直接证明法。他试图通过欧几里得的其 他九个公理、公设直接推导出第五公设。
第十篇是篇幅最大的一篇，包括115个
题．占全书四分之一，主要讨论无理量(与给定
的量不可通约的量)，但是只涉及相当于 之类的无理量。
a b
第十一篇讨论空间的直线与平面的各种关系， 共有39个命题。
第十二篇利用穷竭法证明了“圆面积的比等于 直径平方的比”，还证明了棱锥之间、圆锥之间、 圆柱之间和球体之间的体积之比。值得指出的是： 欧几里得在任何地方都没有给出圆面积、球体积等 的计算。这并非他不知道早已存在的近似计算方法， 而是在他看来，这种计算属于实际测量而不用于理 论几何。
学习基础的几何图形：数学知识点
学习基础的几何图形：数学知识点几何图形是数学中一个重要的分支，它研究了平面和空间中的形状、结构以及其相关性质。
在学习几何图形的过程中，我们需要掌握一些基础的数学知识点，本文将对这些知识点进行详细介绍。
一、点、线、面的基本概念在几何图形中，最基本的概念就是点、线和面。
点是几何图形的最基本单位，它没有长度、宽度和高度，只有位置信息。
线是由一系列点按照一定次序连接而成，它没有宽度，只有长度。
面是由线条所围成的平坦的二维图形，它有宽度和长度。
在三维几何中，我们可以进一步引入直线和平面的概念。
直线是由无数个点沿着同一方向无限延伸而成，它没有宽度和长度。
平面是由无数个点在同一平面内无限延伸而成，它有宽度、长度和高度。
二、几何图形的分类基于点、线和面的概念，我们可以对几何图形进行分类。
常见的几何图形包括：1. 点：在平面上表示为一个小圆点，用来表示某个位置。
2. 直线：用线段的两个端点表示，直线没有起点和终点，可以无限延伸。
3. 线段：用线段的两个端点表示，线段有起点和终点，长度有限。
4. 射线：用射线的起点和任意一点表示，射线有起点，但没有终点，可以无限延伸。
5. 角：由两条射线的公共起点和两个不重合的端点组成。
6. 三角形：由三条线段组成的闭合图形。
7. 四边形：由四条线段组成的闭合图形。
8. 圆：由平面上距离一个固定点距离相等的点组成的闭合图形。
9. 圆的部分：圆与直线、射线或者弧相交而形成的图形。
10. 多边形：由多条线段组成的闭合图形，其中每条线段与其他两条线段相交于一个端点。
三、几何图形的性质和特点每个几何图形都有自己的性质和特点。
下面对一些常见的几何图形进行介绍：1. 点：点没有任何维度，没有长度、宽度和高度，只有位置信息。
2. 直线：直线上的任意两点可以确定一条直线，直线上的所有点都在同一条直线上。
3. 线段：线段有起点和终点，长度有限，线段的长度可以用勾股定理计算。
4. 射线：射线有起点，没有终点，射线上的所有点都在同一条射线上。
共形几何学的基础理论及其应用
共形几何学的基础理论及其应用共形几何学是几何学的一个分支，研究保持角度不变的空间变换。
它以圆锥投影为基础，研究物体在平面上的投影，以及这些投影之间的联系。
共形几何学的基础理论可以运用在多个领域，包括地理学、工程学和计算机图形学等。
一、基础理论：1. 圆锥投影：圆锥投影是共形几何学的基础，通过将立体物体投影到平面上，保持角度不变。
这种投影方法广泛应用于地理学中的地图制作，以及工程学中的建筑设计和测量。
通过圆锥投影，我们可以将三维物体的形状和相对位置准确地映射到二维平面上。
2. 共形映射：共形映射是共形几何学的重要概念，指的是保持角度不变的空间变换。
在共形映射中，等角线段在变换后仍然保持等长，并且保持原始曲率。
这个概念在地理学领域的地图制作中十分重要，因为它可以保证地图的形状和角度的准确性。
3. 度量：共形几何学中的度量指的是衡量空间中点之间距离的方法。
共形度量强调保持角度的重要性，而不是距离的准确性。
这是因为在共形几何学中，保持角度不变比保持距离的准确性更为重要。
度量概念在共形几何学的应用中起着重要作用，可以帮助我们理解几何形状的特征和相互关系。
二、应用：1. 地理学中的地图制作：共形几何学在地理学领域的地图制作中起着至关重要的作用。
通过使用圆锥投影和共形映射，地理学家可以准确地将地球表面的三维形状映射到平面地图上。
共形几何学的应用可以保持地图上的地理角度和形状的准确性，使得地图在导航和测量方面更加可靠。
2. 工程学中的建筑设计与测量：共形几何学在工程学领域的建筑设计与测量中也起着重要作用。
通过使用共形映射和度量概念，建筑师和测量工程师可以准确地测量和重现三维物体的形状和相对位置。
共形几何学的应用可以确保建筑结构的角度和比例的准确性，使得建筑物的设计和构建更加稳定和可靠。
3. 计算机图形学中的模拟与渲染：共形几何学在计算机图形学领域的模拟与渲染中也具有广泛的应用。
通过使用共形映射和度量概念，计算机图形学家可以准确地模拟和渲染三维场景，使得虚拟世界的角度和形状与现实世界保持一致。
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几何学基础简介Lex Li几何原本简介古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。
这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。
欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。
而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。
作为基础的五条公理和公设五条公理1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；3.等量减等量，其差相等；4.彼此能重合的物体是全等的；5.整体大于部分。
五条公设1.过两点能作且只能作一直线；2.线段(有限直线)可以无限地延长；3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；4.凡是直角都相等；5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
《几何原本》的主要内容欧几里得的《几何原本》共有十三卷。
目录第一卷几何基础第二卷几何与代数第三卷圆与角第四卷圆与正多边形第五卷比例第六卷相似第七卷数论（一）第八卷数论（二）第九卷数论（三）第十卷无理量第十一卷立体几何第十二卷立体的测量第十三卷建正多面体各卷简介第一卷：几何基础。
重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理；第二卷：几何与代数。
讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。
第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。
第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最重要的数学杰作之一"第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。
第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。
第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容.从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。
因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。
《几何原本》的意义和影响在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。
这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。
在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。
《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
论证方法上的影响关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。
所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
《几何原本》最初是手抄本，以后译成了世界各种文字，它的发行量仅次于《圣经》而位居第二。
19世纪初，法国数学家勒让德，把欧几里德的原作，用现代语言写成了几何课本，成为现今通用的几何学教本。
爱因斯坦认为：“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。
”由此可见《原本》一书对人类科学思维的影响是何等巨大。
几何学的分支学科平面几何、立体几何、球面几何、罗氏几何、黎曼几何、解析几何、射影几何、仿射几何、代数几何、微分几何、计算几何、拓扑学、分形几何世界名人对几何的看法1、坚信代数才是真实的。
----高斯(Gauss)2、数学的本质在于它的自由. ---- 康扥尔(Cantor)3、在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.---- 康扥尔(Cantor)4、数学是无穷的科学 ----赫尔曼外尔5、只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡 ----Hilbert6、：A=x+y+z。
并解释道：A代表成功，x代表艰苦的劳动，y代表正确的方法，Z代表少说空话。
－－爱因斯坦7、一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步.－－马克思8、几何无王者之道！ ---- 欧几里得9、没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。
---- 牛顿非欧几里得几何非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。
所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。
诞生欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。
他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。
我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。
这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。
鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。
他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。
但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。
终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。
那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。
但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。
由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。
因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。
在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。
下面举几个例子加以说明：欧式几何同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗氏几何同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。
所以罗氏几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。
但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。
这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
人们既然承认欧几里德几何是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
黎曼几何欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。
他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。
在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。
在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。
在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。
它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。
三种几何的关系欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。
这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。