新高考2021届高三数学一轮复习知识点讲解3-10 函数单元测试卷【含答案】

专题3.10 《函数》单元测试卷一、单选题1．（2020·迁西县第一中学高二期中）幂函数()y f x =的图象经过点3)，则()f x 是（） A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数【答案】D 【解析】设幂函数()af x x =，因为图象经过点3)，所以33a =，12a =. 故()12f x x =，因为0x ≥，所以()f x 为非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.故选：D2．（2020·禄劝彝族苗族自治县第一中学高一期中）设函数3,10,()((5)),10,x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(7)f 的值为（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】由已知(7)((12))(9)((14))(11)8f f f f f f f =====．故选：D ．3．（2019·哈尔滨市第一中学校高二期中（文））函数22y x x =-++的值域为（）A ．RB ．[0,)+∞C ．3(,]2-∞D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】函数2219224y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，21990,244x ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴函数22y x x =-++的值域为94⎡⎢⎣即30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.4．（2020·山西省太原五中高三其他（文））函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ；x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．5．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（理））设函数122,1,()1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x 的x 的取值范围是（） A ．[1,2]- B ．[0,2]C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞【答案】D 【解析】当1x ≤时，122x -≤，11x -≤，解得0x ≥所以01x ≤≤当1x >时，221log 2log 1x x -≤⇒≥-，解得：12x ≥所以：1x >，综上可知不等式的解集是[)0,+∞. 故选：D6．（2020·禄劝彝族苗族自治县第一中学高一期中）已知20.3a =，0.32b =，12log 2c =，则,,a b c 的大小为（）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】C 【解析】由题意，根据指数函数的性质，可得20.3(0,1)a =∈，0.32(1,)b ∈+∞=，由对数函数的性质，可得12log 21c ==-，所以b a c >>. 故选C.7．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(],0-∞上单调递增，则（）A ．()()2321log 3log 2log 3f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()2231log log 3log 23f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()2321log log 2log 33f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()3221log 2log log 33f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题意知，函数()f x 在定义域R 上单调递增，由2321log 0log 21log 33<<<<，可得()()2321log log 2log 33f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故选:C.8．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（）附：lg 20.3010≈ A ．10% B ．20%C ．50%D ．100%【答案】B 【解析】当1000S N =时，2log 1000C W =，当4000SN =时，2log 0004C W = 因为22log 4000lg 400032lg 2 3.60201.2log 1000lg100033+==≈≈所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了20% 故选：B9．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知函数()f x 为偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A ．()0,2B ．()2,0-C ．()1,0-D ．()1,2【答案】A 【解析】当(),0x ∈-∞时，()()1f x f x x =-=--．由()10f x -<得()10110x x -<⎧⎨---<⎩或10110x x -≥⎧⎨--<⎩，解得01x <<或12x ≤<，即02x <<．所以不等式()10f x -<的解集为()0,2. 故选：A.10．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（理））已知函数()()22,0,ln 1,0.x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩若方程()12f x mx m =+-恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．121,2e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．121,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．121,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．121,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】画出函数()f x 的图象如图中实线部分所示，方程()12f x mx m =+-恰有四个不相等的实数根，即函数()y f x =与函数12y mx m =+-的图象有四个不同的交点，而12y mx m =+-是斜率为m ，过定点()1,0.5--C 的直线，如图，当直线1l 与ln(1)(0)=+>y x x 相切时，设切点00(,ln(1))+P x x ，1'1y x =+，可得000ln(1)0.5111++=++x x x ，解得1201=-x e ，斜率为12e -当直线2l 过（0，0）时，斜率为0.5112=，所以当1212m e -<<时，两函数的图象有4个不同的交点.故选：B. 二、多选题11．（2020·海南省高三其他）若104a =，1025b =，则（）A ．2a b +=B ．1b a -=C ．281g 2ab >D ．lg6b a ->【答案】ACD 【解析】由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>> lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD 故选：ACD .12．（2020·全国高一课时练习）函数()log |1|a f x x =-在(0,1)上是减函数，那么（） A ．()f x 在(1,)+∞上递增且无最大值 B ．()f x 在(1,)+∞上递减且无最小值 C ．()f x 在定义域内是偶函数D ．()f x 的图象关于直线1x =对称E.2020a ∃=，满足()f x 在(0,1)上是减函数【答案】ADE 【解析】由|1|0x ->得，函数log |1|a y x =-的定义域为{|1}x x ≠. 设1,1()11,1x x g x x x x ->⎧=-=⎨-+<⎩，，则()g x 在(,1)-∞上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，且()g x 的图象关于1x =对称，所以()f x 的图象关于1x =对称，D 正确；因为()log |1|a f x x =-在(0,1)上是减函数，所以1a >，所以E 正确；由上述分析知()log |1|a f x x =-在(1,)+∞上递增且无最大值，A 正确，B 错误；又()log |1|log |1|()a a f x x x f x -=--=+≠，所以C 错误，故选：ADE .13．（2020·海南省高一期末）已知函数2()361f x x x =--，则（） A ．函数()f x 有两个不同的零点 B ．函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增 C ．当1a >时，若()xf a在[1,1]x ∈-上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()xf a 在[1,1]x ∈-上的最大值为8，则13a = 【答案】ACD 【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式2(6)43(1)480∆=--⨯⨯-=>，所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确；令x t a =，则()22()3613(1)4xf ag t tt t ==--=--.当1a >时，1t a a ≤≤，故()g t 在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增，又112a a +>，故最大值为2()3618g a a a =--=，解得3a =（负值舍去）. 同理当01a <<时，1a t a ≤≤，()g t 在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为213618g a a a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得13a =（负值舍去）. 故C ，D 正确. 故选：ACD ．14．（2020·湖南省宁乡一中高一开学考试）定义运算()()a ab a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()12xf x -=⊕，则下列命题正确的有（）A ．()f x 的值域为 [)1,+∞ B ．()f x 的值域为 (]0,1C ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是(),0-∞D ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是()0,+∞ 【答案】AC 【解析】由函数()12xf x -=⊕，有1(12)()2(12)x x xf x ---⎧≥=⎨<⎩, 即2(0)()1(0)xx f x x -⎧<=⎨≥⎩，作出函数()f x 的图像如下，根据函数图像有()f x 的值域为[1,)+∞，若不等式()()+12f x f x <成立，由函数图像有当210x x <+≤即1x ≤-时成立，当2010x x <⎧⎨+>⎩即10x -<<时也成立.所以不等式()()+12f x f x <成立时，0x <. 故选：AC. 三、填空题15．（2020·禄劝彝族苗族自治县第一中学高一期中）函数的定义域是______．【答案】由，解得．故函数的定义域是．故答案为：．点睛：一般地，函数的定义域须从四个方面考虑：（1）分母不为零；（2）偶次根号下非负；（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零的零次幂没有意义.16．（2020·甘肃省兰州一中高三一模（理））黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[]0,1上，其定义为：()[]1,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数，是不可以再约分的真分数当或者上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则103310f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】730- 【解析】由()()20f x f x +-=知：()f x 关于()1,0对称又()f x 为奇函数，图象关于原点对称 ()f x ∴为周期函数，周期4T=103212111731031031031030f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：730-17．（2020·衡水市第十三中学高一月考）某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量(y 毫克)与时间(t 小时)之间的函数关系式为0.11000.1=1>0.116t t t y t -≤≤⎧⎪⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩，，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习.那么从药物释放开始，至少需要经过____________小时后，学生才能回到教室. 【答案】0.6当00.1t ≤≤时，10y t =0.25=时，0.025t =，但是随着时间的增加，室内的含药量也在增加，所以此时学生不能回到教室，所以有0.111110.250.10.641642t y t t -⎛⎫≤=∴≤∴-≥∴≥ ⎪⎝⎭，，，， ∴至少需0.6小时后，学生才能回到教室.故答案为：0.618．（2020·浙江省高二期末）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=．现已知26,336ab ==，则49ab=________，12a b +=________ 【答案】1361 【解析】26,336a b ==，23log 6,log 36a b ∴==，222233log 6log 6log 362log 364423619936363a b ====∴；66231212log 2log 3=1log 6log 36a b +=+=+. 故答案为：136；1 19．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知函数()2,01,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，则()2f -=__________，函数()f x 的值域为__________. 【答案】14()0,∞+ 【解析】0x <时()2xf x =,∴()21224f --==,当0x <时()2xf x =,根据指数函数的性质，(f x )的取值范围是()01，，当0x ≥时()1f x x =+，()f x 的取值范围是[)1,+∞,∴函数()f x 的值域为()0,∞+ 故答案为：14，()0,∞+ 20．（2020·邢台市第二中学高一开学考试）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】130. 15. 【解析】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.21．（2020·迁西县第一中学高二期中）函数()212()log 2f x x x =-+的单调增区间是________；()f x 的值域是________．【答案】11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭[3,)+∞ 【解析】函数()212()log 2f x x x =-+的定义域满足220x x -+>，得102x <<所以函数()212()log 2f x x x =-+的定义域为102⎛⎫⎪⎝⎭，.设22t x x =-+，由12log y t =是单调递减函数.由复合函数单调性的性质，即求22t x x =-+的减区间.由二次函数的性质可得22t x x =-+在1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减.又当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，21208，t x x ⎛⎤=-+∈ ⎥⎝⎦由12log y t =是单调递减，所以121()log 38f x ≥=所以()f x 的值域是[3,)+∞ 故答案为：1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；[3,)+∞ 四、解答题22．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（理））不用计算器求下列各式的值（1）()11230988.6427-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23lg25lg472log 3+++．【答案】（1）-1（2）5 【解析】（1）原式1231323233[]1112322-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（2）原式())2333lg 2542log lg1002log 32215=⨯++=++=++=．23．（2020·禄劝彝族苗族自治县第一中学高一期中）经市场调查,某种小家电在过去50天的销售量(台)和价格(元)均为销售时间t (天)的函数,且销售量近似地满足()()2200150,N f t t t t =-+≤≤∈.前30天价格为()()130130,N 2g t t t t =+≤≤∈；后20天价格为()()G 453150,N t t t =≤≤∈. (Ⅰ)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t 的函数关系；(Ⅱ)求日销售额S (元)的最大值.【答案】(Ⅰ) 2406000130,S 909000,3150,t t t t Nt t t N ⎧-++≤≤∈=⎨-+≤≤∈⎩，；(Ⅱ)6400.【解析】(Ⅰ)当130t ≤≤时,由题知()()()212200304060002f t g t t t t t ⎛⎫⋅=-++=-++⎪⎝⎭；当3150t ≤≤时,由题知()()()452200909000f t g t t t ⋅=-+=-+所以日销售额S 与时间t 的函数关系为2406000130,S 909000,3150,t t t t Nt t t N⎧-++≤≤∈=⎨-+≤≤∈⎩，(Ⅱ)当130t ≤≤时,()2S 206400t =--+,当20t =时,max S 6400=元；当3150t ≤≤时,S 909000t =-+是减函数，当31t =时,max S 6210=元. 因为64006210>,则S 的最大值为6400元.24．（2020·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第70中高一期末）已知：()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,4. （1）求()f x 的解析式；（2）若对于任意的[]13,x ∈-，则不等式()2f x t -≤恒成立，求t 的取值范围. 【答案】（1）()24f x x x =-；（2）[)3,+∞.【解析】（1）()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,4，可得0和4是方程20x bx c ++=的两根，即有04b +=-，04c ⨯=，解得4b =-，0c，所以()24f x x x =-. （2）对于任意的[]13,x ∈-，则不等式()2f x t -≤恒成立，即为()2t f x +≥在[]1,3-的最大值，由()f x 的对称轴2x =，且()1145f -=+=，()39123f =-=-，可得()f x 的最大值为5，即有25t +≥，解得3t ≥，则t 的取值范围为[)3,+∞.25．（2020·吉林省高一期末（理））节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n pn r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）【答案】（1）()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈ （2）6次【解析】（1）由题意得02r =,1 1.94r =, 所以当1n =时,()0.510015pr r r r +=--⋅,即0.51.942(2 1.94)5p+=--⋅,解得0.5p =-,所以0.50.520.065*()n n r n -=-⨯∈N , 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N .（2）由题意可得,0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤, 整理得,0505..1950..206n -≥,即0.50.5532n -≥, 两边同时取常用对数,得lg3205055.lg .n -≥,整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-,将lg 20.3=代入,得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-,又因为*n ∈N ,所以6n ≥.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 26．（2019·哈尔滨市第一中学校高二期中（文））（1）解不等式()()22log 2log 36x x -≤+；（2）在（1）的条件下，求函数1114242x xy -=-⎛⎫⎛⎫⎪⎝⋅⎪⎝⎭+⎭的最大值和最小值及相应的x 的值.【答案】（1）[)1,2-；（2）当1x =时，函数y 取最小值为1；当1x =-时，函数y 取最大值为10. 【解析】（1）()()22log 2log 36x x -≤+，∴20360236x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-≤+⎩，解得12x -≤<， ∴不等式的解集为[)1,2-；（2）当[)1,2x ∈-时，设11,224xt ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则函数222112411114244424241222x x x x t t t y -⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=-+ ⎝⎭⎪⎭⎝⎭⎝，∴当12t =即1x =时，函数y 取最小值为1；当2t =即1x =-时，函数y 取最大值为21421102⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭. 27．（2020·江苏省天一中学高三其他）设()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()()()()3,033,3x x x f x x a x x ⎧-≤≤⎪=⎨-->⎪⎩（1）当0x <时，求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式；（3）若方程()f x m =有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求a 与m 满足的条件．【答案】（1）()()()()3,303,3x x x f x x a x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-++<-⎪⎩；（2）()()29,64(3),67425,7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩；（3）a 与m 满足的条件为2716m =且333a <94m =且6a =，或()()39116a a m --=且527a >+【解析】（1）当-<3≤0x 时，()()()()()33f x f x x x x x =-=-+=-+ 同理，当3x <-时，()()()()()()33f x f x x a x x a x =-=--+=-++，所以，当0x <时，()f x 的解析式为()()()()3,303,3x x x f x x a x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-++<-⎪⎩（2）因为()f x 是偶函数，所以它在区间[]5,5-上的最大值即为它在区间[]0,5上的最大值， ①当3a ≤时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()3924g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ②当37a <≤时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与33,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦与3,52a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以此时只需比较3924f ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()23324a a f -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小．（i ）当36a <≤时，()233932424a a f f -+⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3924g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ （ii ）当67a <≤时，()233932424a a f f -+⎛⎫⎛⎫=<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()23324a a g a f -+⎛⎫==⎪⎝⎭③当7a >时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与[]3,5上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()()3952524f f a ⎛⎫=<=- ⎪⎝⎭，所以()()()525g a f a ==-.综上所述，()()29,64(3),67425,7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩．（3）设这四个根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ．①当方程()f x m =在[]3,3-上有四个实根时，由4332x x x -=，且433x x +=，得334x =，494x =，从而327416m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，且要求()2716f x <对()3,x ∈+∞恒成立．（i ）当3a ≤时，()f x 在()3,+∞上单调递减，所以()()273016f x f <=<对()3,x ∈+∞恒成立，即3a ≤适合题意．（ii ）当3a >时，欲()2716f x <对()3,x ∈+∞恒成立，只要()233272416a a f -+⎛⎫=< ⎪⎝⎭，解得3332a <+33332a <<+． ②当方程()f x m =在[]3,3-上有两个实根时，3924m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，且232x =-，332x =，所以必须满足43932x x =+=，且3922a +=，()2339244a a f -+⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得6a =． ③当方程()f x m =在[]3,3-上无实根时，()233932424a a f m f -+⎛⎫⎛⎫=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332a +>，由4332x x x -=，433x x a +=+，解得334a x +=，()4334a x +=，所以()()()3339134416a a a a m f f +--⎛⎫+⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且由()()3919164a am--=>，解得57a>+综上所述，a与m满足的条件为2716m=且3332a<+94m=且6a=，或()()39116a am--=且57a>+。

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2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解3-10 函数单元测试卷

2020-2021学年高考数学一轮复习专题3.10 《函数》单元测试卷一、单选题1．（2020·迁西县第一中学高二期中）幂函数()y f x =的图象经过点，则()f x 是（） A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数【答案】D 【解析】设幂函数()af x x =，因为图象经过点，所以3a =，12a =. 故()12f x x =，因为0x ≥，所以()f x 为非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.故选：D2．（2020·禄劝彝族苗族自治县第一中学高一期中）设函数3,10,()((5)),10,x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(7)f 的值为（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】由已知(7)((12))(9)((14))(11)8f f f f f f f =====．故选：D ．3．（2019·哈尔滨市第一中学校高二期中（文））函数y =的值域为（）A ．RB ．[0,)+∞C ．3(,]2-∞D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】函数y ==，21990,244x ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴函数22y x x =-++的值域为90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦即30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.4．（2020·山西省太原五中高三其他（文））函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ；x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．5．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（理））设函数122,1,()1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x 的x 的取值范围是（） A ．[1,2]- B ．[0,2]C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞【答案】D 【解析】当1x ≤时，122x -≤，11x -≤，解得0x ≥所以01x ≤≤当1x >时，221log 2log 1x x -≤⇒≥-，解得：12x ≥所以：1x >，综上可知不等式的解集是[)0,+∞. 故选：D6．（2020·禄劝彝族苗族自治县第一中学高一期中）已知20.3a =，0.32b =，12log 2c =，则,,a b c 的大小为（） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】C 【解析】由题意，根据指数函数的性质，可得20.3(0,1)a =∈，0.32(1,)b ∈+∞=，由对数函数的性质，可得12log 21c ==-，所以b a c >>. 故选C.7．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(],0-∞上单调递增，则（）A ．()()2321log 3log 2log 3f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()2231log log 3log 23f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()2321log log 2log 33f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()3221log 2log log 33f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题意知，函数()f x 在定义域R 上单调递增，由2321log 0log 21log 33<<<<，可得()()2321log log 2log 33f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故选:C.8．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（）附：lg 20.3010≈ A ．10% B ．20%C ．50%D ．100%【答案】B 【解析】当1000S N =时，2log 1000C W =，当4000SN=时，2log 0004C W = 因为22log 4000lg 400032lg 2 3.60201.2log 1000lg100033+==≈≈ 所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了20% 故选：B9．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知函数()f x 为偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A ．()0,2B ．()2,0-C ．()1,0-D ．()1,2【答案】A 【解析】当(),0x ∈-∞时，()()1f x f x x =-=--．由()10f x -<得()10110x x -<⎧⎨---<⎩或10110x x -≥⎧⎨--<⎩，解得01x <<或12x ≤<，即02x <<．所以不等式()10f x -<的解集为()0,2. 故选：A.10．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（理））已知函数()()22,0,ln 1,0.x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩若方程()12f x mx m =+-恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．121,2e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．121,2e -⎛⎫⎪⎝⎭C ．121,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．121,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】画出函数()f x 的图象如图中实线部分所示，方程()12f x mx m =+-恰有四个不相等的实数根，即函数()y f x =与函数12y mx m =+-的图象有四个不同的交点，而12y mx m =+-是斜率为m ，过定点()1,0.5--C 的直线，如图，当直线1l 与ln(1)(0)=+>y x x 相切时，设切点00(,ln(1))+P x x ，1'1y x =+，可得000ln(1)0.5111++=++x x x ，解得1201=-x e ，斜率为12e -当直线2l 过（0，0）时，斜率为0.5112=，所以当1212m e -<<时，两函数的图象有4个不同的交点.故选：B. 二、多选题11．（2020·海南省高三其他）若104a =，1025b =，则（） A ．2a b += B ．1b a -=C ．281g 2ab >D ．lg6b a ->【答案】ACD 【解析】由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>> lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD 故选：ACD .12．（2020·全国高一课时练习）函数()log |1|a f x x =-在(0,1)上是减函数，那么（） A ．()f x 在(1,)+∞上递增且无最大值 B ．()f x 在(1,)+∞上递减且无最小值 C ．()f x 在定义域内是偶函数D ．()f x 的图象关于直线1x =对称E.2020a ∃=，满足()f x 在(0,1)上是减函数【答案】ADE 【解析】由|1|0x ->得，函数log |1|a y x =-的定义域为{|1}x x ≠.设1,1()11,1x x g x x x x ->⎧=-=⎨-+<⎩，，则()g x 在(,1)-∞上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，且()g x 的图象关于1x =对称，所以()f x 的图象关于1x =对称，D 正确；因为()log |1|a f x x =-在(0,1)上是减函数，所以1a >，所以E 正确；由上述分析知()log |1|a f x x =-在(1,)+∞上递增且无最大值，A 正确，B 错误；又()log |1|log |1|()a a f x x x f x -=--=+≠，所以C 错误，故选：ADE .13．（2020·海南省高一期末）已知函数2()361f x x x =--，则（） A ．函数()f x 有两个不同的零点 B ．函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增 C ．当1a >时，若()xf a在[1,1]x ∈-上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()xf a 在[1,1]x ∈-上的最大值为8，则13a = 【答案】ACD 【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式2(6)43(1)480∆=--⨯⨯-=>，所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确；令x t a =，则()22()3613(1)4xf ag t tt t ==--=--.当1a >时，1t a a ≤≤，故()g t 在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增，又112a a +>，故最大值为2()3618g a a a =--=，解得3a =（负值舍去）. 同理当01a <<时，1a t a ≤≤，()g t 在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为213618g a a a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得13a =（负值舍去）.故C ，D 正确. 故选：ACD ．14．（2020·湖南省宁乡一中高一开学考试）定义运算()()a ab a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()12xf x -=⊕，则下列命题正确的有（） A ．()f x 的值域为 [)1,+∞ B ．()f x 的值域为 (]0,1C ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是(),0-∞D ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是()0,+∞ 【答案】AC 【解析】由函数()12xf x -=⊕，有1(12)()2(12)xx xf x ---⎧≥=⎨<⎩, 即2(0)()1(0)xx f x x -⎧<=⎨≥⎩，作出函数()f x 的图像如下，根据函数图像有()f x 的值域为[1,)+∞，若不等式()()+12f x f x <成立，由函数图像有当210x x <+≤即1x ≤-时成立，当2010x x <⎧⎨+>⎩即10x -<<时也成立.所以不等式()()+12f x f x <成立时，0x <.故选：AC. 三、填空题15．（2020·禄劝彝族苗族自治县第一中学高一期中）函数的定义域是______．【答案】【解析】由，解得．故函数的定义域是．故答案为：．点睛：一般地，函数的定义域须从四个方面考虑：（1）分母不为零；（2）偶次根号下非负；（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零的零次幂没有意义.16．（2020·甘肃省兰州一中高三一模（理））黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[]0,1上，其定义为：()[]1,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数，是不可以再约分的真分数当或者上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则103310f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】730- 【解析】由()()20f x f x +-=知：()f x 关于()1,0对称又()f x 为奇函数，图象关于原点对称 ()f x ∴为周期函数，周期4T=103212111731031031031030f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：730-17．（2020·衡水市第十三中学高一月考）某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量(y 毫克)与时间(t 小时)之间的函数关系式为0.11000.1=1>0.116t t t y t -≤≤⎧⎪⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩，，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习.那么从药物释放开始，至少需要经过____________小时后，学生才能回到教室. 【答案】0.6 【解析】当00.1t ≤≤时，10y t =0.25=时，0.025t =，但是随着时间的增加，室内的含药量也在增加，所以此时学生不能回到教室，所以有0.111110.250.10.641642t y t t -⎛⎫≤=∴≤∴-≥∴≥ ⎪⎝⎭，，，， ∴至少需0.6小时后，学生才能回到教室.故答案为：0.618．（2020·浙江省高二期末）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=．现已知26,336ab ==，则49ab=________，12a b +=________ 【答案】1361 【解析】26,336a b ==，23log 6,log 36a b ∴==，222233log 6log 6log 362log 364423619936363a b ====∴；66231212log 2log 3=1log 6log 36a b +=+=+. 故答案为：136；1 19．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知函数()2,01,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，则()2f -=__________，函数()f x 的值域为__________. 【答案】14()0,∞+【解析】0x <时()2xf x =,∴()21224f --==,当0x <时()2xf x =,根据指数函数的性质，(f x )的取值范围是()01，，当0x ≥时()1f x x =+，()f x 的取值范围是[)1,+∞, ∴函数()f x 的值域为()0,∞+ 故答案为：14，()0,∞+ 20．（2020·邢台市第二中学高一开学考试）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】130. 15. 【解析】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.21．（2020·迁西县第一中学高二期中）函数()212()log 2f x x x =-+的单调增区间是________；()f x 的值域是________．【答案】11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭[3,)+∞ 【解析】函数()212()log 2f x x x =-+的定义域满足220x x -+>，得102x <<所以函数()212()log 2f x x x =-+的定义域为102⎛⎫⎪⎝⎭，.设22t x x =-+，由12log y t =是单调递减函数.由复合函数单调性的性质，即求22t x x =-+的减区间. 由二次函数的性质可得22t x x =-+在1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减.又当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，21208，t x x ⎛⎤=-+∈ ⎥⎝⎦由12log y t =是单调递减，所以121()log 38f x ≥= 所以()f x 的值域是[3,)+∞ 故答案为：1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；[3,)+∞ 四、解答题22．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（理））不用计算器求下列各式的值（1）()11230988.6427-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23lg25lg472log +++．【答案】（1）-1（2）5 【解析】（1）原式1231323233[]1112322-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（2）原式()233lg 2542log lg1002log 32215=⨯++=++=++=．23．（2020·禄劝彝族苗族自治县第一中学高一期中）经市场调查,某种小家电在过去50天的销售量(台)和价格(元)均为销售时间t (天)的函数,且销售量近似地满足()()2200150,N f t t t t =-+≤≤∈.前30天价格为()()130130,N 2g t t t t =+≤≤∈；后20天价格为()()G 453150,N t t t =≤≤∈.(Ⅰ)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t 的函数关系； (Ⅱ)求日销售额S (元)的最大值.【答案】(Ⅰ) 2406000130,S 909000,3150,t t t t Nt t t N⎧-++≤≤∈=⎨-+≤≤∈⎩，；(Ⅱ)6400.【解析】(Ⅰ)当130t ≤≤时,由题知()()()212200304060002f t g t t t t t ⎛⎫⋅=-++=-++⎪⎝⎭；当3150t ≤≤时,由题知()()()452200909000f t g t t t ⋅=-+=-+所以日销售额S 与时间t 的函数关系为2406000130,S 909000,3150,t t t t Nt t t N ⎧-++≤≤∈=⎨-+≤≤∈⎩，(Ⅱ)当130t ≤≤时,()2S 206400t =--+,当20t =时,max S 6400=元；当3150t ≤≤时,S 909000t =-+是减函数，当31t =时,max S 6210=元. 因为64006210>,则S 的最大值为6400元.24．（2020·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第70中高一期末）已知：()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,4. （1）求()f x 的解析式；（2）若对于任意的[]13,x ∈-，则不等式()2f x t -≤恒成立，求t 的取值范围. 【答案】（1）()24f x x x =-；（2）[)3,+∞.【解析】（1）()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,4，可得0和4是方程20x bx c ++=的两根，即有04b +=-，04c ⨯=，解得4b =-，0c，所以()24f x x x =-. （2）对于任意的[]13,x ∈-，则不等式()2f x t -≤恒成立，即为()2t f x +≥在[]1,3-的最大值，由()f x 的对称轴2x =，且()1145f -=+=，()39123f =-=-，可得()f x 的最大值为5，即有25t +≥，解得3t ≥，则t 的取值范围为[)3,+∞.25．（2020·吉林省高一期末（理））节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n pn r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）【答案】（1）()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈ （2）6次【解析】（1）由题意得02r =,1 1.94r =, 所以当1n =时,()0.510015pr r r r +=--⋅,即0.51.942(2 1.94)5p+=--⋅,解得0.5p =-,所以0.50.520.065*()n n r n -=-⨯∈N , 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N .（2）由题意可得,0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤, 整理得,0505..1950..206n -≥,即0.50.5532n -≥, 两边同时取常用对数,得lg3205055.lg .n -≥, 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-,将lg 20.3=代入,得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-,又因为*n ∈N ,所以6n ≥.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 26．（2019·哈尔滨市第一中学校高二期中（文））（1）解不等式()()22log 2log 36x x -≤+；（2）在（1）的条件下，求函数1114242x xy -=-⎛⎫⎛⎫⎪⎝⋅⎪⎝⎭+⎭的最大值和最小值及相应的x 的值.【答案】（1）[)1,2-；（2）当1x =时，函数y 取最小值为1；当1x =-时，函数y 取最大值为10. 【解析】（1）()()22log 2log 36x x -≤+，∴20360236x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-≤+⎩，解得12x -≤<， ∴不等式的解集为[)1,2-；（2）当[)1,2x ∈-时，设11,224xt ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则函数222112411114244424241222x x x x t t t y -⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=-+ ⎝⎭⎪⎭⎝⎭⎝，∴当12t =即1x =时，函数y 取最小值为1；当2t =即1x =-时，函数y 取最大值为21421102⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭.27．（2020·江苏省天一中学高三其他）设()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()()()()3,033,3x x x f x x a x x ⎧-≤≤⎪=⎨-->⎪⎩（1）当0x <时，求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式；（3）若方程()f x m =有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求a 与m 满足的条件．【答案】（1）()()()()3,303,3x x x f x x a x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-++<-⎪⎩；（2）()()29,64(3),67425,7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩；（3）a 与m 满足的条件为2716m =且32a <+94m =且6a =，或()()39116a a m --=且5a >+【解析】（1）当-<3≤0x 时，()()()()()33f x f x x x x x =-=-+=-+ 同理，当3x <-时，()()()()()()33f x f x x a x x a x =-=--+=-++，所以，当0x <时，()f x 的解析式为()()()()3,303,3x x x f x x a x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-++<-⎪⎩（2）因为()f x 是偶函数，所以它在区间[]5,5-上的最大值即为它在区间[]0,5上的最大值， ①当3a ≤时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()3924g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ②当37a <≤时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与33,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦与3,52a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以此时只需比较3924f ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()23324a a f -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小．（i ）当36a <≤时，()233932424a a f f -+⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3924g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（ii ）当67a <≤时，()233932424a a f f -+⎛⎫⎛⎫=<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()23324a a g a f -+⎛⎫==⎪⎝⎭③当7a >时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与[]3,5上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()()3952524f f a ⎛⎫=<=- ⎪⎝⎭，所以()()()525g a f a ==-.综上所述，()()29,64(3),67425,7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩．（3）设这四个根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ．①当方程()f x m =在[]3,3-上有四个实根时，由4332x x x -=，且433x x +=，得334x =，494x =，从而327416m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，且要求()2716f x <对()3,x ∈+∞恒成立．（i ）当3a ≤时，()f x 在()3,+∞上单调递减，所以()()273016f x f <=<对()3,x ∈+∞恒成立，即3a ≤适合题意．（ii ）当3a >时，欲()2716f x <对()3,x ∈+∞恒成立，只要()233272416a a f -+⎛⎫=< ⎪⎝⎭，解得3a <+33a <<+． ②当方程()f x m =在[]3,3-上有两个实根时，3924m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，且232x =-，332x =，所以必须满足43932x x =+=，且3922a +=，()2339244a a f -+⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得6a =．③当方程()f x m =在[]3,3-上无实根时，()233932424a a f m f -+⎛⎫⎛⎫=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332a +>，由4332x x x -=，433x x a +=+，解得334a x +=，()4334a x +=，所以()()()3339134416a a a a m f f +--⎛⎫+⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且由()()3919164a a m --=>，解得5a >+综上所述，a 与m 满足的条件为2716m =且32a <+94m =且6a =，或()()39116a a m --=且5a >+。

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3-3函数的奇偶性与周期性-教师版

专题3.3函数的奇偶性与周期性练基础1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数()(0)f x kx b k =+≠，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】化简“(0)0f =”和“函数()f x 为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】(0)0f =，所以0b =，函数()f x 为奇函数，所以()()0f x kx b f x kx b -=-+=-=--=，所以0b =.所以“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的充分必要条件.故选：C2．（2021·福建高三三模）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()1xf x x =-B ．()1x f x x=-C ．()21x f x x =-D ．()21x f x x =-【答案】C 【解析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案解：由图可知，当(0,1)x ∈时，()0f x <，取12x =，则对于B ，112(101212f ==>-，所以排除B ，对于D ，1122()012314f ==>-，所以排除D ，当0x >时，对于A ，()1111x f x x x ==+--，此函数是由1y x =向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1x >时，()1f x >恒成立，而图中，当1x >时，()f x 可以小于1，所以排除A,故选：C3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（）A．y =B ．1y x x=+C ．xx y ee =-﹣D ．2log y x=【答案】C 【解析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.【详解】A.函数y =的定义域是[0,)+∞，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B.1y x x=+在()0,1上单调递减，故错误；C.因为()()()xx x x f x ee e ef x --=---=-=﹣，所以函数是奇函数，且在()0,1上单调递增，正确；D.因为()()22log =log f x x x f x -=-=，所以函数是偶函数，故错误；故选：C ．4．（2021·湖南高三月考）定义函数1,()1,x D x x ⎧=⎨-⎩为有理数，为无理数，则下列命题中正确的是（）A ．()D x 不是周期函数B ．()D x 是奇函数C ．()yD x =的图象存在对称轴D ．()D x 是周期函数，且有最小正周期【答案】C 【解析】当m 为有理数时恒有()()D x m D x +=，所以()D x 是周期函数，且无最小正周期，又因为无论x 是有理数还是无理数总有()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称．当m 为有理数时，()1,1,x D x m x ⎧+=⎨-⎩为有理数为无理数，()()D x m D x ∴+=，∴任何一个有理数m 都是()D x 的周期，()D x ∴是周期函数，且无最小正周期，∴选项A ，D 错误，若x 为有理数，则x -也为有理数，()()D x D x ∴=-，若x 为无理数，则x -也为无理数，()()D x D x ∴=-，综上，总有()()D x D x -=，∴函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称，∴选项B 错误，选项C 正确，故选：C5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD 【解析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-= ，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数,则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值是（）A ．0B ．12C ．712D ．1【答案】BC 【解析】根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．．【详解】由题意1213x -<，解得1233x <<，只有BC 满足．故选：BC ．7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD 【解析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+，所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确；因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误.故选：BD.8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对x R ∀∈，()()0f x f x +-=”的函数()f x =___________.【答案】3x （答案不唯一）【解析】分析可知函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，由此可得结果.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，可取()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.9．（2021·全国高三二模（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，且其图象关于点()2,0对称，若()11f =，则()2021f =__________．【答案】1【解析】根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而()2021(1)1f f ==.【详解】函数关于点()2,0对称，则()(4)f x f x =--，又()y f x =为R 上的奇函数，则()(4)(4)f x f x f x =--=-，因此函数的周期为4，因此()2021(1)1f f ==.故答案为：1.10．（2021·上海高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=___________．【答案】32-【解析】通过计算(1)(1)g g +-可得．【详解】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=，即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-．故答案为：32-．练提升1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，则关于函数()f x 的性质叙述一定正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()11f x f x -=-C ．()f x 是周期函数D ．()f x 存在单调递增区间【答案】C 【解析】通过举例说明选项ABD 错误；对于选项C 可以证明判断得解.【详解】定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，∴()f x 的图象既有对称中心又有对称轴，但()f x 不一定具有奇偶性，例如()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()()0f x f x -+=，则()f x 为奇函数，故选项A 错误；由()()11f x f x -=-，可得函数()f x 图象关于0x =对称，故选项B 错误；由()0f x =时，()f x 不存在单调递增区间，故选项D 错误；由已知设()f x 图象的一条对称抽为直线x a =，一个对称中心为(),0b ，且a b ¹，∴()()2f a x f x +=-，()()2f x f b x -=-+，∴()()22f a x f b x +=-+，∴()()()2222f a x b f b x b f x +-=-+-=-，∴()()()()442222f x a b f b x b f x a b f x +-=-+-=-+-=，∴()f x 的一个周期()4T a b =-，故选项C 正确.故选：C2．（2021·天津高三二模）已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得331log log 9.1210->>，根据指数函数单调性可知0.822<；利用()f x 为减函数可知()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，结合()f x 为奇函数可得大小关系.【详解】33331log log 10log 9.1log 9210-=>>= ，0.822<即：0.8331log log 9.1210->>又()f x 是定义在R 上的减函数()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭又()f x 为奇函数3311log log 1010f f⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭，即：c b a >>.故选：B.3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x xaf x =+，则f (101)+f (105)的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A 【解析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)f x f x -=+求得函数f (x )是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)=0，又由x ∈[0，1]时，()22xx a f x =+，则有f (0)=1+a =0，解可得：a =﹣1，则有1()22xxf x =-，又由f (﹣x )=f (2+x )，即f (x +2)=﹣f (x )，则有f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222f f f f ==-===-=，故有f (101)+f (105)=3，故选：A ．4．（2021·上海高三二模）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y fx -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择.【详解】对于①，由()f x 是R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，∴|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，故①正确；对于②，由()f x 是R 上的奇函数，得()()0f x f x -+=，而()|()|f x f x =不一定成立，所以对任意的x ∈R ，不一定有()|()|0f x f x -+=，故②错误；对于③，因为()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且()(0)0f x f £=，因此2()()[()]y f x f x f x =-=-，利用复合函数的单调性，知()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增，故③正确.对于④，由已知得()f x 是R 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增，故④正确；故选：C5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()1|2|f x x =--，则下列选项正确的是（）A ．()f x 在(3,2)--上为减函数B ．()f x 在(3,2)--上()0f x <C ．()f x 在(3,2)--上为增函数D ．()f x 在(3,2)--上()0f x >【答案】CD 【解析】根据题意，分析可得(4)()f x f x +=，结合函数的解析式可得当(3,2)x ∈--时函数的解析式，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数(1)f x +为奇函数，则有(1)(1)f x f x +=--+，即(2)()f x f x +=--，又由()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有(2)()f x f x +=-，即有(4)()f x f x +=，当[1x ∈，2]时，()1|2|1f x x x =--=-，若(3,2)x ∈--，则4(1,2)x +∈，则(4)(4)13f x x x +=+-=+，则当(3,2)x ∈--时，有()3f x x =+，则()f x 为增函数且()(3)0f x f >-=；故()f x 在(3,2)--上为增函数，且()0f x >；故选：CD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()0f x f x +-=成立，m R ∈，则下列的点一定在函数()y f x =图象上的是（）A ．(0,0)B ．(,())m f m --C ．(,())m f m --D ．(,())m f m -【答案】ABC 【解析】根据任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，得到()f x 是奇函数判断.【详解】因为任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，所以()f x 是奇函数，又x ∈R ，所以令0x =，则(0)(0)f f -=-，得(0)0f =，所以点(0,0)，且点(,())m f m --与(,())m f m --也一定在()y f x =的图象上，故选：ABC ．7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =有2个零点B ．当0x <时，()(1)f x x x =-+C ．不等式()0f x <的解集是(0,1)D ．12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()1212f x f x -≤【答案】BCD 【解析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．【详解】对A ，当0x >时，由()(1)0f x x x =-=得1x =，又因为()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，所以()()()00,110f f f =-=-=，故函数()y f x =有3个零点，则A 错；对B ，设0x <，则0x ->，则()()()()11f x f x x x x x =--=----=-+⎡⎤⎣⎦，则B 对；对C ，当01x <≤时，由()(1)0f x x x =-<，得01x <<；当10x -≤≤时，由()(1)0f x x x =-+<，得x 无解；则C 对；对D ，12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()()()12max min 1111122442f x f x f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则D 对．故选：BCD ．8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =【答案】AC 【解析】根据[]x 定义将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.【详解】由题意可知[]1,210,1011,012,12x x x x x --≤<-⎧⎪-≤<⎪⎪+=≤<⎨⎪≤<⎪⎪⎩，()[]1,21,1011,012,12x x x x f x x x x x x x ---≤<-⎧⎪--≤<⎪⎪∴=+-=-≤<⎨⎪-≤<⎪⎪⎩，可画出函数图像，如图：可得到函数()f x 是周期为1的函数，且值域为(]0,1，在()0,1上单调递减，故选项AC 正确，B 错误；对于D ，取1x =-()11f -=，则()11f -=⎡⎤⎣⎦，故D 错误.故选：AC ．9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数()f x 满足以下条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数；④()f x 恰有2个零点.则函数()f x 的解析式可以是（）A ．2()2f x x x =-B ．()ln 1f x x =-C ．2()1f x x x =-++D ．()2xf x e =-【答案】CD 【解析】利用函数图象变换画出选项A ，B ，C ，D 对应的函数图象，逐一分析即可求解.【详解】解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但()ln 1f x x =-的定义域为{}0x x R ≠≠，所以选项B 错误；函数2()2f x x x =-的定义域是R ，在(),1-∞-，()0,1单调递减，在()1,0-，()1,+∞单调递增，但()()()2020f f f -===有3个零点，选项A 错误；函数2()1f x x x =-++的定义域是R ，当()0,x ∈+∞时，2()1f x x x =-++的图象对称轴为12x =，其图象是开口向下的抛物线，故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，由图得()f x 恰有2个零点，选项C 正确；函数()2xf x e =-的定义域是R ，在(),ln 2-∞-，()0,ln 2单调递减，在()ln 2,0-，()ln 2,+∞单调递增，且()()ln 2ln 20f f -==有2个零点，选项D 正确.故选：CD.10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在R 上的函数()f x 满足()2()f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()3x g x =的图象的交点个数为___________.【答案】7由题设可知()f x 的周期为2，结合已知区间的解析式及()3x g x =，可得两函数图象，即知图象交点个数.【详解】由题意知：()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，∴()f x 、()g x 的图象如下：即()f x 与()g x 共有7个交点，故答案为：7.【点睛】结论点睛：()()f m x f x +=有()f x 的周期为||m .练真题1.（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（）A．B．C．D．【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B．是奇函数，且在11(,22-单调递减C．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·海南省高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A．[)1,1][3,-+∞ B．3,1][,[01]-- C．[1,0][1,)-⋃+∞D．[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.4.（2018年理全国卷II）已知op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，满足o1−p =o1+p ．若o1)=2，则o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=()A.−50B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，且o1−p =o1+p ，所以o1+p =−o −1)∴o3+p =−o +1)=o −1)∴=4,因此o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=12[o1)+o2)+o3)+o4)]+o1)+o2)，因为o3)=−o1)，o4)=−o2)，所以o1)+o2)+o3)+o4)=0，∵o2)=o −2)=−o2)∴o2)=0，从而o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=o1)=2，选C.5.（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222log 422---->==>>∴>> ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C．6.（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()ax f x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e-=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．。

2021届高三数学(理)一轮复习学案：第二章第三节函数的奇偶性及周期性含解析

第三节函数的奇偶性及周期性[最新考纲][考情分析][核心素养]1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍将是2021年高考考查的热点．题型以选择题、填空题为主，中等偏上难度，分值为5分到10分.1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有1f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于2y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有3f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于4原点对称►常用结论(1)函数奇偶性的几个重要结论①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．③既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．④奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(2)有关对称性的结论①若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称．②若对于R上的任意x都有f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称；若f(x)＋f (2a －x )＝2b ，则函数f (x )关于点(a ，b )中心对称．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )f (x )的最小正周期．►常用结论定义式f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的x 是恒成立的．若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则函数f (x )的周期为T ＝|a －b |；若在定义域内满足f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝1f （x ），f (x ＋a )＝－1f （x ）(a >0)，则f (x )为周期函数，且T ＝2a 为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(2)若函数f (x )的图象关于点(a ，0)和点(b ，0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(3)若函数f (x )的图象关于点(a ，0)和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，4|a －b |是它的一个周期．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、走进教材2．(必修1P 35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x答案：B3．(必修4P 46A 10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．答案：1 三、易错自纠4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为( )A ．{x |－1<x <0或x >1}B ．{x |x <－1或0<x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |－1<x <0或0<x <1}解析：选D 由题意，得f (－x )＝－f (x )，∵x [f (x )－f (－x )]<0，∴xf (x )<0，又f (1)＝0，∴f (－1)＝0.奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，从而函数f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)的大致图象如图所示：则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为{x |－1<x <0或0<x <1}，故选D ．5．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是__________．解析：由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)6．若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________．解析：因为函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以f (0)＝0，f (x ＋2)＝f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＋f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋0＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2. 答案：－2考点一函数奇偶性的判断与应用|题组突破|1．(2019届山东青岛二模)下列函数是偶函数的是( ) A ．f (x )＝x sin x B ．f (x )＝x 2＋4x ＋4 C ．f (x )＝sin x ＋cos xD ．f (x )＝log 3(x 2＋1＋x )解析：选A 选项A 、B 、C 、D 中函数的定义域均为R .对于选项A ，f (－x )＝(－x )sin(－x )＝(－x )(－sin x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数是偶函数；对于选项B ，f (－x )＝x 2－4x ＋4≠f (x )，所以函数不是偶函数；对于选项C ，f (－x )＝sin(－x )＋cos(－x )＝－sin x ＋cos x ≠f (x )，所以函数不是偶函数；对于选项D ，f (－x )＝log 3(x 2＋1－x )＝log 31x 2＋1＋x ＝－log 3(x 2＋1＋x )＝－f (x )，所以函数是奇函数，不是偶函数．故选A ．2．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－5D ．5解析：选D 设F (x )＝f (x )＋x ，由已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，得F (x )＝F (－x )，即f (x )＋x ＝f (－x )－x ，∴f (－x )＝f (x )＋2x ，∴f (－2)＝f (2)＋2×2＝5.3．(2020届贵阳摸底)若f (x )＝a －22x ＋1是奇函数，则a ＝________．解析：解法一：因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1⇒a ＝12x ＋1＋12－x ＋1＝12x ＋1＋2x2x ＋1＝1. 解法二：因为函数f (x )是奇函数且x ∈R ，所以f (0)＝0，即a －21＋1＝0⇒a ＝1.答案：1 ►名师点津应用函数奇偶性可解决的3类问题(1)判定函数奇偶性 ①定义法 ②图象法 ③性质法设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(2)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(3)利用函数的奇偶性求值首先判断函数解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后结合已知条件通过化简、转换求值．考点二函数周期性的判断及应用|题组突破|4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2015)＝________．解析：∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数，则f (2015)＝f (671×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案：－25．函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2016)＋f (2017)＋f (2018)的值为________．解析：∵函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称， ∴f (x )是R 上的奇函数．又f (x ＋2)＝f (－x )， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4， ∴f (2017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，∴f (2016)＋f (2018)＝f (2016)＋f (2016＋2)＝f (2016)－f (2016)＝0，∴f (2016)＋f (2017)＋f (2018)＝4.答案：4 ►名师点津函数周期性问题的求解策略(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．考点函数性质的综合应用——多维探究函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主，多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合．●命题角度一单调性与奇偶性结合【例1】(2019年全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫log 314>f (2－32)>f (2－23) B ．f ⎝⎛⎭⎫log 314>f (2－23)>f (2－32)C ．f (2－32)>f (2－23)>f ⎝⎛⎭⎫log 314 D ．f (2－23)>f (2－32)>f ⎝⎛⎭⎫log 314 [解析]∵f (x )是定义域为R 的偶函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫log 314＝f (log 34)． ∵log 34>log 33＝1，0<2－32<2－23<20＝1， ∴0<2－32<2－23<log 34.∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (2－32)>f (2－23)>f ⎝⎛⎭⎫log 314，故选C ． [答案]C●命题角度二周期性与奇偶性结合【例2】(2020届四川五校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，1]时，f (x )＝2x ＋ln x ，则f (2019)＝________．[解析]由f (x )＝f (x ＋4)得f (x )是周期为4的函数，故f (2019)＝f (4×505－1)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(2＋ln1)＝－2.[答案]－2●命题角度三单调性、奇偶性与周期性结合【例3】已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，当x 1<x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <bD ．c <b <a[解析]由①得，f (x )在[4，8]上单调递增；由②得，f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，故f (x )是周期为8的周期函数，所以c ＝f (2017)＝f (252×8＋1)＝f (1)，b ＝f (11)＝f (3)；由③得，f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (1)＝f (7)．结合f (x )在[4，8]上单调递增可知，f (5)<f (6)<f (7)，即b <a <c .故选B ．[答案]B ►名师点津函数性质综合问题的求解方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)函数周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)解决函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．|跟踪训练|1．(2019届石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：选BA 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故D 错误．故选B ．2.(2019届四川达州模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1，0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >c >b解析：选D ∵偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，∴函数的周期为2.∴a ＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b ＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c ＝f (0.5)＝f (－0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函数f (x )在[－1，0]上单调递减，∴a >c >b ，故选D ．考点函数性质的创新探究应用【例】已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，其图象如图，关于点(0，1)对称．又f (－x )＝2－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝2，∴y ＝f (x )的图象也关于点(0，1)对称．又∵y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，∴由图象对称性可知，这些交点也关于点(0，1)对称．不妨设点(x 1，y 1)与(x m ，y m )关于点(0，1)对称．点(x 2，y 2)与(x m －1，y m －1)关于点(0，1)对称，….由对称性可知x 1＋x m ＝0，x 2＋x m －1＝0，…，y 1＋y m ＝2，y 2＋y m －1＝2，….∴∑m i ＝1(x i ＋y i )＝∑m i ＝1x i ＋∑m i ＝1y i ＝0＋2×m2＝m .故选B ．[答案]B ►名师点津求解函数对称性问题的关键是利用条件判断出函数的对称中心或对称轴．|跟踪训练|(2019届江西南昌模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x ＋2)＝4，g (x )＝sin πx ＋2.若函数f (x )的图象与g (x )的图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则∑ni ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．nB ．2nC ．3nD ．4n解析：选C因为f(x)＋f(－x＋2)＝4，所以函数f(x)的图象关于(1，2)中心对称．因为g(x)＝sinπx＋2，所以g(x)的图象也关于(1，2)对称，所以∑ni＝1x i＝n，∑ni＝1y i＝2n，所以∑ni＝1(x i＋y i)＝3n，故选C．。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：函数与方程(二)(含解析)

《函数与方程》（二）考查内容：主要涉及函数零点个数的判断（方程法、数形结合法、图象法、零点存在定理与函数性质结合法）一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数26,0()3ln ,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩的零点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．02．已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时，2()f x x =，则4()log ||y f x x =-的零点个数为（） A ．8B ．6C ．4D ．25．函数()sin 1f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．67．已知函数23(0),()1(0),x x x x f x e x -⎧-=⎨-+<⎩则方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）的不同的实数根的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()2e e xx f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞ C ．()()0,11,+∞ D ．(]{},01-∞9．已知函数23||,3()(3),3x x f x x x -⎧=⎨->⎩，()(3)6g x f x +-=，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（）A ．0B ．4C ．3D ．210．若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0）D ．[0，+∞）11．已知函数()sin ,02224xx f x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩，若函数()()1g x f x kx =--恰有三个零点，则实数k 的取值范围为（）A ．31,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．41,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．41,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦12．已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1f f x =根的个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9二．填空题13．函数()()2ln 14xf x x =⋅+-的零点个数为_______.14．已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15．已知函数32ln(2),2,()68,,x x m f x x x x x m +-<<⎧=⎨-+≥⎩若函数()f x 仅有2个零点，则实数m 的取值范围为______. 16．已知函数,0()(1),0xlnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，则实数c 的取值范围是__.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求函数lg y x =和sin y x =的图像的交点个数．18．讨论a 取不同值时，关于x 的方程2|log |1|2|x a -+=的解的个数.19．已知函数()f x =，()3g x ax =-.（1）设函数()()()()25h x f x g x x =+-+，讨论函数()y h x =在区间[]0,2内的零点个数；（2）若对任意[]0,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()0g x f x =成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[]2,4上单调递增，求m 的取值范围；（2）求()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g m ；（3）讨论()f x 在区间[]3,3-上的零点个数.21．已知函数()22,182,1x a x f x ax x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，其中a R ∈.()1当1a =时，求()f x 的最小值； ()2当2a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.22．已知函数()34ln f x x x x=--. （1）求()f x 的单调区间；（2）判断()f x 在(]0,10上的零点的个数，并说明理由.（提示：ln10 2.303≈）《函数与方程》（二）解析1.【解析】若260x x --=．则2x =-或3x =．又∵0x ≤∴2x =- 若3ln 0x -+=，则3x e =满足0x >，综上，函数()f x 的零点个数为2．故选:B2.【解析】当0x >时，3|ln |30,ln 3,x x x e -=∴=±∴=或3e -，都满足0x >；当0x ≤时，222430,2430,20,164230x x x x ---=∴++=>∆=-⨯⨯<，所以方程没有实数根.综合得函数()3y f x =-的零点个数是2.故选：B3.【解析】函数()ln 1f x x x =-+的零点个数等价于函数ln y x =与函数1y x =-的图象的交点个数.在同一坐标系下作出函数ln y x =与1y x =-的图象，如下图：因为1(ln )y x x ''==，曲线ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为：11k x==，所以曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，所以可知两函数图象有一个交点，故函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为1. 故选：B .4.【解析】因为()()y f x x R =∈为周期为2的函数,通过且(1,1]x ∈-时，2()f x x =,做出函数图象如图所示:4()log ||y f x x =-的零点个数即为()y f x =与4log ||y x =图象交点个数,由图象可知共有6个交点.故选:B.5.【解析】令()sin 10f x x x =-=，显然0x =不是函数的零点，可得1sin x x=．故作出函数sin y x =和1y x =的图象，如图所示：在(,)22ππ-上有2个交点.故选：A6.【解析】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根，根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根，所以22lg 2||x x x =-+一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.故选：C7.【解析】由|()1|2f x c -=-，得()1(2)f x c =±-．∵(1,0)c ∈-， ∴1(2)(3,4),1(2)(2,1)c c +-∈--∈--．作出函数()f x 和1(2)y c =±-的图象如图所示，易知它们的图象共有4个不同的交点，即方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）有4个不同的实数根．故选：B8.【解析】(0)1100f =--=,则可知0x =一定是函数()f x 的一个零点0x ≠时,可得:1x x e a x e -=,令1(),()x x e a g x h x x e -==,21()x x xe e g x x '-+=，令()1x x u x xe e =-+, ()xu e x x '=，可得函数()u x 在0x =时取得极小值即最小值 ,()()00u x u ∴≥=.())'0(0g x x ∴>≠.∴函数()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增，此时，()0g x >恒成立，对于()xa h x e =， 0a <时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件0a =时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件1a =时 , 函数1()x h x e=, 经过()0,1, 与函数()g x 的图象没有交点, 如下图，满足条件 .0a >, 且1a ≠时 , 函数()h x 与函数()g x 的图象有交点，如下图，不满足条件，舍去 .综上可得：实数a 的取值范围为{}(],01-∞⋃，故选：D .9.【解析】由()6(3)g x f x =--，知()()()(3)6y f x g x f x f x =-=+--. 令()()(3)F x f x f x =+-，则(3)(3)()F x f x f x -=-+，所以(3)()F x F x -=，即()F x 的图象关于直线32x =对称.当302x时，()()(3)33(3)3F x f x f x x x =+-=-+--=；当0x <时，2221()()(3)3(33)32F x f x f x x x x x x ⎛⎫=+-=++--=++=++⎪⎝⎭114.作出()F x 的图象可知，函数()6F x =的解有2个，所以函数()()y f x g x =-的零点个数2个.故选：D10.【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1.故选：B11.【解析】当24x <≤时，y =，则0y ≤，等式两边平方得2268y x x =-+-，整理得()2231x y -+=，所以曲线)24y x =<≤表示圆()2231x y -+=的下半圆，如下图所示：由题意可知，函数()y g x =有三个不同的零点，等价于直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点，直线1y kx =+过定点()0,1P ，当直线1y kx =+过点()4,0A 时，则410k +=，可得14k =-；当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=相切，且切点位于第三象限时，k0<，1=，解得34k =-.由图象可知，当3144k -<≤-时，直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点.因此，实数k 的取值范围是31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故选：B.12.【解析】令()u f x =,先解方程()1f u =. （1）当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =；（2）当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示：直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=.故选：C. 13.【解析】令()()2ln 140xf x x =⋅+-=，则()24ln 122x x x -+==，在同一直角坐标系中作出函数()ln 1y x =+与22xy -=的图象，如图：由图象可知，函数()ln 1y x =+当1x →-时，()ln 1y x =+→+∞则与22xy -=的图象有必有两个交点，所以方程()24ln 122xxx -+==有两个不同实根，所以函数()()2ln 14x f x x =⋅+-的零点个数为2.故答案为：2.14.【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，由图象可知，当01k <<时，函数()f x 与y k =的图象有两个不同的交点，此时，方程有两个不同实根，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1) 15.【解析】对于函数3268y x x x =-+，23128y x x '=-+，令0y '=，解得23x =±，故当,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭时，0y '>；当22x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<；当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，0y '>；令ln(2)0x +=，解得1x =-；令32680x x x -+=，解得0x =，2x =或4x =. 作出ln(2)y x =+，3268y x x x =-+的大致图像：观察可知，若函数()f x 仅有2个零点，则24m <≤，故实数m 的取值范围为(]2,4. 16.【解析】当0x >时，函数()f x lnx =单调递增；当0x ≤时，()(1)xf x e x =+，则()(2)x f x e x '=+2x <-时，()0f x '<，20x -<时，()0f x '>，故当0x ≤时，()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，所以()f x 在2x =-处取极小值，极小值为2(2)f e --=-；当1x <-时，()(1)0xf x e x =+< 作出函数()f x 的图象如图：函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，等价于函数()f x 与y c =的图象有且仅有3个交点，由图可知，20e c --<<，故答案为：()20，e -- 17.【解析】由1y lgx ==解得10x =，又sin y x =的值域为[]1,1-，且y lgx =在定义域上单调递增，作出函数sin y x =与y lgx =的图象如图：由图象可知两个图象的交点个数为3个，18.【解析】令2()|log |1|2|f x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，所求问题可转化为函数()f x ，与直线y a =交点的个数问题. 当0a <时，()y f x =与y a =无交点，所以原方程无解；当0a =时，()y f x =与y a =有两个交点，原方程有2个解；当0a >时，()y f x =与y a =有四个交点，原方程有4个解.19.【解析】（1）因为()()()()()22511h x fx g x x x a x =+-+=+-+，令()0h x =，则()2110x a x +-+=，当=0x 时，则10=，不符合条件，当0x ≠时，则11a x x-=+ 作函数1y a =-与()102y x x x=+<≤的图象，由图可知：①当12a -<时，即1a >-时，两图象无公共点，则()h x 在区间[]0,2内无零点；②当12a -=时或512a ->时，即32a <-或1a =-时，两图象仅有一个公共点，则()h x 在区间[]0,2内仅有一个零点； ③当5212a <-≤时，即312a -≤<-时，两图象有两个公共点，则()h x 在区间[]0,2内有两个零点.（2）当[]0,4x ∈时，[]20,16x ∈，则[]299,25x +∈，所以()f x 的值域是[]3,5；当[]02,2x ∈-时，设函数()0g x 的值域是M ，依题意，[]3,5M ⊆，①当0a =时，()03g x =-不合题意；②当0a >时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩ ，得2352330a a a -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，解得4a ≥； ③当0a <时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，得2352330a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解得4a ≤-；综上得，实数a 的取值范围是(][),44,-∞-⋃+∞.20.【解析】（1）由题意，函数2()()7f x x mx m m R =++-∈开口向上，对称轴的方程为2m x =-，若使得函数()f x 在[]2,4上单调递增，则满足122m -≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞.（2）①当112m -≤-即2m ≥时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递增，所以函数()y f x =的最小值为()()16g m f =-=-；②当1112m -<-<，即22m -<<时，函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭； ③当112m -≥即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递减，所以函数()y f x =的最小值为()()126g m g m ==-，综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. （3）因为函数()y f x =的对称轴方程为12x m =-，且24280m m ∆=-+>恒成立， ①当()()133232203420m f m f m ⎧-<-<⎪⎪-=-≥⎨⎪=+≥⎪⎩，即112m -≤≤时，函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点； ②当()1323220m f m ⎧-≤-⎪⎨⎪-=-≥⎩，此时m 不存在； ③当()1323420m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，此时m 不存在；④当()()330f f -⋅≤，即()()22420m m -+≤，解得m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 综上可得：当112m -≤≤时，函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点，当m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 21.【解析】()1当1a =时，()221,182,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则当1x ≤时，()f x 在(],1-∞上单调递增，()1f x >-且无最小值；当1x >时，由二次函数()()2282414g x x x x =-+=--知，()f x 在(]1,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增，故()()min 414f x f ==-.()2当0a ≤，1x ≤时，()f x 没有零点，当1x >时，()f x 没有零点；当02a <≤，1x ≤时，()f x 有一个零点，当1x >时，()f x 有一个零点.22.【解析】（1）由题意知，()f x 的定义域为()0,∞+，则令2223443()10x x f x x x x -+'=+-==，解得1x =或3x =，当01x <<或3x >时，()0f x '>，则此时()f x 单调递增；当13x <<时，()0f x '<，则此时()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间是()0,1和()3,+∞，单调递减区间是()1,3.（2）由函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减，则当03x <≤时，()()12f x f ≤=-，故()f x 在(]0,3上无零点；又()324ln30f =-<，当310x <≤时，因为3(10)104ln10100.34 2.3030.488010f =--≈--⨯=>，又()f x 在(]3,10上单调递增，所以()f x 在(]3,10上仅有一个零点.综上，()f x 在(]0,10上的零点的个数为1.。

2021届高三新题数学10月新高考复习专题三函数的概念、图像和性质(解析版)

专题三函数的概念、图像和性质一、单选题1．（2020·云南省云天化中学高一期末）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（）A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．2．（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 3．（2020·梁河县第一中学月考（理））用min{,}a b 表示a ，b 两个数中的最小值.已知,0x y >，设222min ,y R x x y ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，则R 的最大值为（）A ．2xB ．22y x y +CD ．2【答案】C 【解析】【分析】利用新定义，基本不等式化简函数，然后再根据函数的性质求最大值．【详解】∵0,0x y >>，∴22122y y x y xy x≤=+，∴221min{,}min{,}2y x x x y x≤+，当12x x =时，2x =，02x <<时，12x x <，2x >时，12x x >，∴1,122min ,2,02x x x x x x ⎧≥⎪⎪⎧⎫=⎨⎬⎨⎩⎭⎪<<⎪⎩，当02x <<时，2x <，当2x ≥时，122x ≤，∴x =时，1min ,2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴221min{,}min{,}22R y x x x y x =≤≤+ 又当22xy，222y x x y ==+，即22R =， ∴2R的最大值是2，R故选：C 【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键理解新定义，根据新定义化简函数，变为已知的熟悉的函数，然后求解． 4．（2020·山东微山县第二中学开学考试）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.5．（2020·安徽期末（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-+，当01x <≤时，()223x x x f =-+，则132f ⎛⎫⎪⎝⎭=（） A ．74-B ．74 C ．94-D ．94【答案】C 【解析】【分析】由题设条件，求得()(4)f x f x =+，得到函数()f x 是周期为4的周期函数，进而得到133312222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-+，可得(1)(1)f x f x +=--，所以()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，又由当01x <≤时，()223x x x f =-+，则13331119232222424f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⨯+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和周期性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6．（2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x-≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 31a x x∴-≤≤-在[]1,2上恒成立 312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.7．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期中（理））设()22x xf x -=-，若当,02πθ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()2130cos 1f m f m θ⎛⎫-+-> ⎪-⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(,2][1,)-∞-+∞C ．()2,1-D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D 【解析】【分析】先判定函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质把不等式转化为213cos 1m m θ+->-在,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上恒成立，进而结合θ的范围，得到不等式231m m +->-，即可求解. 【详解】由题意，函数()22x xf x -=-，可得()22(22)()xx x x f x f x ---=-=--=-，所以函数()f x 为奇函数，且在R 上为单调递增函数，因为当,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()2130cos 1f m f m θ⎛⎫-+-> ⎪-⎝⎭恒成立，即当,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()2213(3)cos 1f m f m f m θ⎛⎫->--=- ⎪-⎝⎭恒成立，所以213cos 1m m θ->--，即213cos 1m m θ+->-在,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上恒成立，当,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，cos [0,1)∈，则11cos 1θ≤--，所以231m m +->-，解得2m <-或1m ，即实数m 的取值范围为(,2)(1,)-∞-+∞.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中合理利用函数的基本性质进行转化是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.8．（2019·浙江南湖·嘉兴一中月考）设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =,若对任意的[],2x a a ∈+,不等式()()2f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2,)+∞C ．(]0,2 D ．[1][2,2]-【答案】A 【解析】【分析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =,则当0x <,有0x ->,2()()f x x -=-,可得22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩,即()f x 在R 上是单调递增函数,且满足2())f x f =,结合已知,即可得求答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =∴ 当0x <,有0x ->,2()()f x x -=-2()f x x ∴-=即2()f x x =-22,0(),0x x f x x x ⎧≥∴=⎨-<⎩()f x ∴在R 上是单调递增函数,且满足2())f x f =∴不等式()2())f x a f x f +≥=在[],2x a a ∈+恒成立,x a ∴+≥,[],2x a a ∈+恒成立1)x a ≤∴对[],2x a a ∈+恒成立2(1a a ∴+≤解得:a ≥∴则实数a 的取值范围是:)+∞.故选:A. 【点睛】本题考查了根据函数不等式恒成立求参数,解题关键是掌握奇函数的性质和函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.9．（2020·浙江高一单元测试）函数()f x 是奇函数，且在∞（0，+）内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．∞（-3,0）（3，+）B ．∞（-，-3）（0,3）C ．∞∞（-，-3）（3，+）D ．（-3,0）（0,3）【答案】D 【解析】【分析】易判断f （x ）在（-∞，0）上的单调性及f （x ）图象所过特殊点，作出f （x ）的草图，根据图象可解不等式．【详解】∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （-3）＝0，得f （﹣3）＝﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，作出f （x ）的草图，如图所示：由图象，得()0xf x <()()0000x x f x f x ><⎧⎧⇔⎨⎨<>⎩⎩或解得0＜x ＜3或﹣3＜x ＜0，∴xf （x ）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．10．（2020·安徽安庆·高三三模（文））已知函数()232,1ln ,1x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，若存在0x R ∈，使得()001f x ax a ≤--成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,∞+B ．[)3,0-C ．(][),31,-∞-+∞D ．(](),30,-∞-⋃+∞ 【答案】D 【解析】【分析】作出函数()f x 图象，根据直线1y ax a =--恒过()1,1-，采用数形结合的方式，分别在0a >、0a =和0a <三种情况下确定符合题意的情况，进而求得结果.【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示：直线()111y ax a a x =--=--恒过定点()1,1-.当0a >时，直线与分段函数()f x 有交点，显然满足题意；当0a =时，直线为1y =-，不符合题意；当0a <时，联立2321y x x y ax a ⎧=-+⎨=--⎩得：()2330x a x a -+++=，则()()()()2343310a a a a ∆=+-+=+-≥，解得：3a ≤-或1a ≥（舍）. 综上可得：实数a 的取值范围是(](),30,-∞-⋃+∞. 故选：D . 【点睛】本题考查函数中能成立问题的求解，关键是能够将问题转化为恒过定点的直线与分段函数有交点的问题，通过数形结合的方式来进行求解.11．（2020·江西临川一中高一开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩，若()6f a =-，则a 为( )A ．116-B ．5-C ．116-或5D ．116-或5- 【答案】D 【解析】【分析】利用()f x 是奇函数，以及函数()f x 在0x >上的解析式，合理转化，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩， ①当01a <<时，由()12log 26f a a =+=-，解得82a =，此时无解；②当1a ≥时，由16a +=-，解得7a =-，此时无解；又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f a f a =--，因为()6f a =-，所以()6f a -=，③当10a -<<时，则01a <-<，可得()12log ()26f a a -=-+=，解得116a =-；④当1a ≤-，则1a -≥，可得()16f a a -=-+=，解得5a =-，综上可得，实数a 的值为116-或5-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式的应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的解析，结合函数的奇偶性合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 12．（2020·湖北武昌·（理））已知一个正方形的四个顶点都在函数()3912f x x x =-+的图像上，则此正方形的面积为（） A ．5或172B ．5或10C ．5或17D ．10或17【答案】D 【解析】【分析】由题意可得正方形的中心为()0,1P ，设直线AC 的方程为()10y kx k =+>，则直线BD 的方程为11y x k =-+，联立方程组可得2192x k =+，22192x k =-+，再由PA PB =可得2220k k +-=或2410k k +-=，最后利用22S PA =化简即可得解.【详解】设正方形ABCD ，31119,12A x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，32229,12B x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，33339,12C x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，34449,12D x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴1324x x x x +=+，333311332244999911112222x x x x x x x x -++-+=-++-+， ∴()()()()2222131133242244x x x x x x x x x x x x +-+=+-+，又()()331313221133139922ACx x x x kx x x x x x ---==-+--，()()332424222244249922BD xx x x k x x x x x x ---==-+--，当13240x x x x +=+=时，3311339911222x x x x -++-+=，又函数()3912f x x x =-+的图象可看做是由奇函数()392g x x x =-的图象向上平移一个单位所得， ∴函数()3912f x x x =-+的图象的对称中心为()0,1，∴正方形的中心为()0,1P ，符合题意；当13240x x x x +=+≠时，则222211332244x x x x x x x x -+=-+即可得1324x x x x =，此时AC BD k k =，不合题意；不妨设直线AC 的方程为()10y kx k =+>，则直线BD 的方程为11y x k=-+，则31912y kx y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y 得392x x kx -=，由10x ≠可得2192x k =+，同理可得22192x k =-+， ∴()()22222221111111PA x y x k x x k =+-=+=+，()2222222222221111PB x y x x x k k ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由PA PB =可得()222122111x k x k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭即()2229191122k k k k k +⎛⎫⎛⎫++=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得2219102k k k k ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2191202k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴112k k -=-或14k k-=-即2220k k +-=或2410k k +-=，∴正方形面积()()()()2222219221212912S PA x k k k k k ⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭，当2220k k +-=时，()()22236291172k k S k k --+=++==；当2410k k +-=时，()()()22291841810S k k kk =++=-++=；所以此正方形的面积为10或17. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数图象与正方形对称性的应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.13．（2020·广东深圳·高三月考（理））设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则[]2,0x ∈-时，()f x 的解析式为（） A ．()21f x x =++ B ．()31f x x =-+ C ．()2f x x =- D ．()4f x x =+【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和周期性可得[]2,1x ∈--、[]1,0x ∈-时()f x 的解析式，即可得解. 【详解】()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，∴当[]2,1x ∈--时，[]42,3x +∈，()()44f x f x x =+=+；当[]1,0x ∈-时，[]22,3x -+∈，()()()22f x f x f x x =-=-+=-+，∴当[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+.故选：B. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和周期性确定函数的解析式，属于中档题.14．（2019·内蒙古昆都仑·包钢一中高一期中）定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：112212()()0,x f x x f x x x -<-且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（） A ．()4,+∞ B ．()0,4C ．()0,2D ．()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】设()()g x xf x =，得到函数()g x 单调递减函数，把不等式8()0f x x->，转化为()8xf x > 结合(2)4f =，即可求解. 【详解】由题意，设()()g x xf x =，因为112212()()0x f x x f x x x -<-，即1212()()0g x g x x x -<-，所以函数()g x 单调递减函数，不等式8()0f x x ->，即()80xf x x->，因为()0,x ∈+∞，所以不等式等价于()80xf x ->，即()8xf x >又由(2)4f =，则()()2228g f =⋅=，所以不等式()8xf x >的解集为()0,2. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定及应用，以及不等式的求解，其中解答中熟记函数的单调性的判定方法，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．（2019·上海浦东新·高三月考）已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A．(0,1])⋃+∞ B ． (0,1][3,)⋃+∞ C ．)⋃+∞ D ．[3,)⋃+∞【答案】B 【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16．（2020·江西抚州·高一期末）定义在R 上的函数()f x 是偶函数，且()()2f x f x =-.若()f x 在区间[]1,2上是增函数，则()f x ( )A ．在区间[]3,2--上是增函数，在区间[]3,4上是减函数B ．在区间[]3,2--上是增函数，在区间[]3,4上是增函数C ．在区间[]3,2--上是减函数，在区间[]3,4上是增函数D ．在区间[]3,2--上是减函数，在区间[]3,4上是减函数【答案】B 【解析】【分析】由函数()f x 满足()()2f x f x =-，且为偶函数，求得函数()f x 为周期函数且周期为2，结合函数()f x 在区间[]1,2上是增函数，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()f x 满足()()2f x f x =-，可得函数()f x 图象关于1x =对称，又函数()f x 为偶函数，所以()()2f x f x -=-，所以函数()f x 为周期函数且周期为2，又由函数()f x 在区间[]1,2上是增函数，可得在区间[]0,1上为减函数，当[]3,2x ∈--，则[]41,2x +∈，此时()()4f x f x =+，所以函数在[]3,2--上为增函数，当[]3,4x ∈，则[]21,2x -∈，此时()()2f x f x =-，所以函数在[]3,4上为增函数. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与函数的周期性的应用，其中解答中求得函数()f x 为周期函数，且周期是2是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17．（2018·西藏巴宜·林芝一中高一期末）函数f （x ）是定义在R 上的奇函数,下列说法: ①f （0）=0;②若f （x ）在[0,+∞）上有最小值为-1,则f （x ）在（-∞,0]上有最大值为1; ③若f （x ）在[1,+∞）上为增函数,则f （x ）在（-∞,-1]上为减函数;④若x>0时,f （x ）=x 2-2x,则x<0时,f （x ）=-x 2-2x ．其中正确说法的个数是（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】试题分析：因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （-x ）=-f （x ），所以f （0）=0，故①对；因为奇函数的图象关于原点对称，所以f （x ）在[0，+∞）上有最小值为-1，则f （x ）在（-∞，0]上有最大值为1；故②对；因为奇函数的图象关于原点对称，所以f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（-∞，-1]上为增函数；故③错；对于④，设x ＜0，则-x ＞0，因为x ＞0时，f （x ）=x2-2x ，所以f （-x ）=（-x ）2-2（-x ）=x2+2x ，因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （x ）=-x2-2x ，故④对；所以正确的命题有①②④，考点：函数单调性奇偶性18．（2019·荆门市龙泉中学高三月考（文））已知函数()f x =，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的对称轴为32x =，且在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()f x 的对称轴为32x =，且在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，且在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的对称中心为3,2⎛ ⎝，且在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】A 【解析】【分析】由()f x =6226x x -+=为常数,故可以考虑到利用函数对称性,再计算对称轴与区间端点处的函数值考查单调性进行排除. 【详解】依题意,620x x -≥⎧⎨≥⎩,解得03x ≤≤,因为3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()f x 的对称轴为32x =,排除C 、D ；因为32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(3)f =故3(3)2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,排除B , 故选:A ．【点睛】若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-则函数()f x 关于x a =对称.二、多选题19．（2020·江苏海安高级中学期末）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f +-=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的1x ，()20,2x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（）． A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 的周期4T=C ．()20220f =D ．()f x 在()4,2--单调递减【答案】ABC 【解析】【分析】由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(11)(11)f x f x +-=--，即()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，可判断A 的正误；由()()()422f x f x f +-=，令2x =-，可得(2)0f =，则(4)()f x f x +=，得到()f x 的周期，可判断B 的正误；又()f x 在(0,2)递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD 是否正确. 【详解】由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(11)(11)f x f x +-=--，即()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，A 正确；由()()()422f x f x f +-=，令2x =-，可得(2)0f =，则(4)()f x f x +=，则()f x 的周期4T=，B 正确；()2022(45052)(2)0f f f =⨯+==，故C 正确；又()f x 在(0,2)递增，则(2,0)-递减，由周期4T =，则()f x 在()4,2--单调递增，故D 错误. 故答案为：ABC 【点睛】本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题. 20．（2020·浙江高一单元测试）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（） A ．()00f =B ．若()f x 在[0,)+∞上有最小值1-，则()f x 在(,0]-∞上有最大值 1C ．若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D ．若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x =--【答案】ABD 【解析】【分析】根据奇函数的定义与性质判断．【详解】由(0)(0)f f =-得(0)0f =，A 正确；当0x ≥时，()1f x ≥-，则0x ≤时，()1f x -≥-，()()1f x f x =--≤，最大值为1，B 正确；若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为增函数，C 错；若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，0x ->，22()()()2()2f x f x x x x x ⎡⎤=--=---⨯-=--⎣⎦，D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．21．（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】先代点求出幂函数的解析式12()f x x =1>可判断C ，利用()()2221221222f x f x x x f ⎛⎫++⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎝⎭展开和0比即可判断D. 【详解】将点(4,2)代入函数()f x x α=得：24α=，则12α=. 所以12()f x x =，显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确.()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确. 当若120x x <<时，()()2221221222f x f x x x f ⎛⎫++⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎝⎭122x x +-24=-<.即()()121222f x f x x xf++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，22．（2019·山东黄岛·期中）已知定义在R上函数()f x的图象是连续不断的，且满足以下条件：①Rx∀∈，()()f x f x-=；②12,(0,)x x∀∈+∞，当12x x≠时，都有()()2121f x f xx x->-；③(1)0f-=.则下列选项成立的是（）A．(3)(4)>-f f B．若(1)(2)-<f m f，则(,3)∈-∞mC．若()f xx>，(1,0)(1,)x∈-+∞∪D．x R∀∈，∃∈M R，使得()f x M≥【答案】CD【解析】【分析】由条件可得()f x是偶函数且()f x在(0,)+∞上单调递增，然后即可判断出每个答案正确与否.【详解】由条件①得()f x是偶函数，条件②得()f x在(0,)+∞上单调递增所以(3)(4)(4)f f f<=-，故A错若(1)(2)-<f m f，则12m-<，得13m-<<，故B错若()f xx>则()0xf x>⎧⎨>⎩或()0xf x<⎧⎨<⎩，因为(1)(1)0f f-==所以1x>或01x<<，故C正确因为定义在R上函数()f x的图象是连续不断的，且在(0,)+∞上单调递增所以min()(0)f x f=，所以对x R∀∈，只需(0)M f≤即可，故D正确故选：CD【点睛】1.偶函数的图象关于y 轴对称，比较函数值的大小即比较自变量到y 轴的远近2. 12,(,)x x a b ∀∈，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->⇔-()f x 在(,)a b 上单调递增；12,(,)x x a b ∀∈，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x -<⇔-()f x 在(,)a b 上单调递减.23．（2019·山东莒县·高一期中）下列命题为真命题的是（） A ．函数1y x =-既是偶函数又在区间[)1,+∞上是增函数B ．函数()f x =的最小值为2C ．“2x =”是“2x -=D ．1,1x R x x∃∈<+ 【答案】CD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，基本不等式，算术平方根的性质，取特值，即可得出结论. 【详解】1y x =-当1x =时，0y =，当1x =-时，2y =，所以1y x =-不是偶函数，选项A 错误；令1[3,),()t g t t t=+∞=+根据对勾函数的单调性可得，()g t 在[3,)+∞是增函数，()g t 的最小值为103，即()f x 的最小值为103，选项B 错误；20,20,2x x x -=≥-≥∴=，选项C 正确；当1x =时，11x x<+成立，选项D 正确. 故选:CD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到函数的性质、对勾函数、以及特称命题的判断，属于中档题.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、解答题24．（2020·浙江课时练习）定义在(0,)+∞上的函数()f x ，满足()()()(,0)f mn f m f n m n =+>，且当1x >时，()0f x >. （1）求(1)f 的值. （2）求证：()()m f f m f n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （3）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数.（4）若(2)1f =，解不等式(2)(2)2f x f x +->.（5）比较2m n f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()2f m f n +的大小. 【答案】（1）(1)0f =；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）207xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣；（5）()()22m n f m f n f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）令1m n ==，代入可求解；（2）由·m m n n=代入已知条件变形可得；（3）由单调性定义证明；（4）根据已知把不等式变为(2) >(8)f x f x +，再由单调性求解；（5）由211222222m n m n m n m n f f f f ⎛⎫++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，然后比较22m n f ⎡⎤+⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦与()f mn 的大小即可．【详解】（1）令1m n ==，由条件得(1)(1)(1)(1)0f f f f =+⇒=.（2）()()m m f m f n f f n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()m f f m f n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （3）任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则211x x >. 由（2）得.()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，即()()21f x f x >. ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数.（4）∵(2)1f =，∴2(2)(2)(4)f f f =+=，(2)(2)2(2)(2)(4)(2) >(8)f x f x f x f x f f x f x +->⇔+>+⇒+.又()f x 在(0,)+∞上为增函数，∴28,0,x x x +>⎧⎨>⎩解得207x <<. 故不等式(2)(2)2f x f x +->的解集为207xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣. （5）∵()()1()22f m f n f mn +=，211222222m n m n m n m n f f f f ⎛⎫++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭， ∵22022m n m n mn +-⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22m n mn +⎛⎫ ⎪⎝⎭（当且仅当m n =时取等号）.又()f x 在(0,)+∞上是增函数，∴2()2m n f f mn ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴()()22m n f m f n f ++⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查抽象函数的性质，考查函数单调性的应用．解题关键是充分利用抽象函数的定义，对问题进行转化．25．（2020·浙江高一单元测试）已知函数()223mx f x x n+=+是奇函数，且()523f =.（1）求实数m 和n 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并加以证明．【答案】（1）2m =，0n =；（2）(],1-∞-上为增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数有()()f x f x -=-可得0n =，再由()523f =可得m ；（2）根据函数单调性定义法证明即可. 【详解】（1）∵()f x 是奇函数， ∴()()f x f x -=-．即222222333mx mx mx x n x n x n+++=-=-++--，比较得n n =-，0n =.又()523f =， ∴42563m +=，解得2m =，即实数m 和n 的值分别是2和0.（2）函数()f x 在(],1-∞-上为增函数．证明如下：由（1）知()22222333x x f x x x+==+，设121x x <≤-，则()()()1212122113f x f x x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭()121212(1)23x x x x x x -⋅-=， ()12203x x -<，120x x >，1210x x ->， ∴()()120f x f x -<， ∴()()12f x f x <，即函数()f x 在(],1-∞-上为增函数．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，函数单调性的定义法证明，属于中档题. 26．（2020·浙江高一单元测试）已知函数()2f x x mx m =-+-．（1）若函数()f x 的最大值为0，求实数m 的值．（2）若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围．（3）是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）0m =或4m =；（2）2m -；（3）存在，6m = 【解析】【分析】（1）配方后得最大值，由最大值为0可解得m 的值；（2）由对称轴在区间的左侧可得；（3）分类讨论求函数()f x 在[2,3]上的最大值和最小值，由最大值为3最小值为2求解m 的值．【详解】（1）22()24m m f x x m ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则最大值204m m -+=，即240m m -=，解得0m =或4m =．（2）函数()f x 图象的对称轴是2m x =，要使()f x 在[1,0]-上单调递减，应满足12m-，解得2m -．（3）①当22m，即4m 时，()f x 在[2,3]上递减，若存在实数m ，使()f x 在[2,3]上的值域是[2,3]，则(2)3(3)2f f =⎧⎨=⎩，，即423932m m m m -+-=⎧⎨-+-=⎩，，，此时m 无解．②当32m，即6m 时，()f x 在[2,3]上递增，则(2)2,(3)3,f f =⎧⎨=⎩即422,933,m m m m -+-=⎧⎨-+-=⎩解得6m =．③当232m<<，即46m <<时，()f x 在[2,3]上先递增，再递减，所以()f x 在2m x =处取得最大值，则23222m m m f m m ⎛⎫⎛⎫=-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2m =-或6，舍去．综上可得，存在实数6m =，使得()f x 在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．【点睛】本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最值，对称轴，单调性等性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．27．（2020·陕西渭滨·高二期末（文））一次函数()f x 是R 上的增函数，[()]43f f x x =+，41()()() (0)2m g x f x x m -=+>. （1）求()f x ；（2）对任意12[1,3]x x ∈，，恒有12()()24g x g x -≤，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()21f x x =+；（2）(0,1]. 【解析】【分析】（1）直接设() (0)f x ax b a =+>，代入计算；（2）求出()g x 在[1,3]的最大值和最小值，由两者之差不大于24可得结论．【详解】解：（1）∵一次函数()f x 是R 上的增函数，∴设() (0)f x ax b a =+>，2([()]43)a ax b b a x ab b f f x x =++=+++=，∴243a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩， ∴()21f x x =+.（2）对任意12[1,3]x x ∈，，恒有12()()24g x g x -≤等价于()g x 在[1,3]上的最大值与最小值之差24M ≤，由（1）知24141()()()2422m m g x f x x x mx --=+=++， ()g x 的对称轴为0x m =-<且开口向上，()g x ∴在[1,3]上单调递增，max 41()(3)12182m g x g m -∴==++，min 41()(1)422m g x g m -∴==++， (3)(1)81624M g g m =-=+≤,解得1m ，综上可知，(0,1]m ∈. 【点睛】本题考查求函数解析式，考查二次函数的性质．在已知函数类型时可用待定系数法求函数解析式，二次函数是高中数学的一个重要函数，它贯穿整个高中数学的始终，必须熟练掌握． 28．（2020·和平·天津市第二南开中学高一期末）已知函数()21x bf x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数. （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间()1,1-上是减函数；（3）解不等式()()10f t f t -+<. 【答案】（1）()21x f x x =-；（2）证明见解析；（3）1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义()()f x f x -=-，经过化简计算可求得实数b ，进而可得出函数()y f x =的解析式；（2）任取1x 、()21,1x ∈-，且12x x <，作差()()12f x f x -，化简变形后判断()()12f x f x -的符号，即可证得结论；（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为()()1f t f t -<-，再利用函数()y f x =的定义域和单调性可得出关于t 的不等式组，即可解得实数t 的取值范围. 【详解】（1）由于函数()21x bf x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即()2211x bx b x x -++=-+-+，化简得0b =，因此，()21xf x x =-；（2）任取1x 、()21,1x ∈-，且12x x <，即1211x x -<<<，则()()()()()()()()()()()()2212212112121222221211221211111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+-=-==---+-+--， 1211x x -<<<，210x x ∴->，1210x x +>，110x -<，110x +>，210x -<，210x +>.()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴>，因此，函数()y f x =在区间()1,1-上是减函数；（3）由（2）可知，函数()y f x =是定义域为()1,1-的减函数，且为奇函数，由()()10f t f t -+<得()()()1f t f t f t -<-=-，所以111111t tt t ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得112t <<.因此，不等式()()10f t f t -+<的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.29．（2019·甘肃省岷县第一中学期末）已知函数2()23=++f x x ax ，[]4,6x ∈-．（1）当2a =-时，求()f x 的最值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]4,6-上是单调函数；【答案】（1）最小值是1-，最大值是35.；（2）6a -或4a . 【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；（2）求出函数的对称轴，得到关于a 的不等式，求出a 的范围即可．【详解】解：（1）当2a =-时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，由于[]4,6x ∈-，()f x ∴在[]4,2-上单调递减，在[]2,6上单调递增，()f x ∴的最小值是()21f =-，又(4)35,(6)15f f -==，故()f x 的最大值是35.（2）由于函数()f x 的图像开口向上，对称轴是x a =-，所以要使()f x 在[]4,6-上是单调函数，应有4a --或6a -，即6a -或4a . 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题． 30．（2019·湖北襄阳·高一期末）若函数()f x 在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为[]，就称区间,a b 为()f x 的一个“倒域区间”．定义在[]2,2-上的奇函数()g x ，当[]0,2x ∈时，2()2g x x x =-+．（Ⅰ）求()g x 的解析式；（Ⅱ）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”；（Ⅲ）若函数()g x 在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数=()h x 的图像，是否存在实数，使集合()()()2{,|}{,|}x y y h x x y y x m =⋂=+恰含有2个元素．【答案】（Ⅰ）()[][)222,0,2{2,2,0x x x g x x x x -+∈=+∈-（Ⅱ）⎡⎢⎣⎦（Ⅲ）2m =-【解析】试题分析：（1）运用奇偶性得出()[][)222,0,2{2,2,0x x x g x x x x -+∈=+∈-；（2）得出方程组问题()()2212{12g b b bbg a a a a==-+==-+ （3）{11a b b a <<，利用方程思想求解()2212,1,2{2,1x x x h x x x x ⎡+-+∈⎢⎣⎦=⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，m 应当使方程222x m x x +=-+，在⎡⎢⎣⎦内恰有一个实数根，并且使方程222x m x x +=+，在1⎤-⎥⎣⎦内恰有一个实数试题解析：（Ⅰ）当[)2,0x ∈-时，()()()()2222g x g x x x x x ⎡⎤=--=---+-=+⎣⎦()[][)222,0,2{2,2,0x x x g x x x x -+∈=+∈-（Ⅱ）设1≤a ＜b ≤2，∵()g x 在[]1,2x ∈上递减，∴()()2212{12g b b b b g a a a a==-+==-+整理得()()()()22110{110a a ab b b ---=---=，解得1{a b ==． ∴()g x 在[]1,2内的“倒域区间”为⎡⎢⎣⎦．（Ⅲ）∵()g x 在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中,,0a b a b ≠≠ ∴{11a bb a<<，∴,a b 同号．只考虑0＜a ＜b ≤2或－2≤a ＜b ＜0当0＜a ＜b ≤2时，根据()g x 的图像知，()g x 最大值为1，，∴1≤a ＜b ≤2，由（Ⅱ）知()g x 在[]1,2内的“倒域区间”为⎡⎢⎣⎦；当－2≤a ＜b ＜0时间，()g x 最小值为-1，(]11,2,1b b≥-∈--， ∴21a b -≤<≤-，同理知()g x 在[]2,1--内的“倒域区间”为1⎤-⎥⎣⎦． ()2212,1,2{2,1x x x h x x x x ⎡-+∈⎢⎣⎦=⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦依题意：抛物线与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，m应当使方程222x m x x +=-+，在11,2⎡+⎢⎣⎦内恰有一个实数根，并且使方程222x m x x +=-+，在1⎤-⎥⎣⎦内恰有一个实数由方程222x x m -=在⎡⎢⎣⎦内恰有一根知20m -≤≤；由方程222x m x x +=-+在1⎤-⎥⎣⎦内恰有一根知12m -≤≤-，综上：m ＝－2．考点：1．函数奇偶性的性质；2．分段函数的应用31．（2020·江西抚州·高一期末）已知函数()f x 是定义在区间[]22-,上的奇函数，且()22f -=-，若对于任意的m ，[]2,2n ∈-有()()0f m f n m n+<+.(1)判断函数的单调性（不要求证明）； (2)解不等式()()231f x f x +<-；(3)若()22f x at ≤-+对于任意的[]2,2x ∈-，[]2,2a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)函数()f x 在区间[]22-,上是减函数；(2)2132x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭；(3)11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）设12,x m x n ==-，化简得到()()12120f x f x x x -<-，结合函数的单调性的定义，即可得到结论；（2）由(1)知函数()f x 在区间[]22-,上是减函数，根据()()231f x f x +<-，列出不等式组，即可求解不等式的解集；(3)要使得对于任意的[]2,2x ∈-，[]2,2a ∈-都有()22f x at ≤-+恒成立，只需对任意的[]2,2a ∈-，221at -+≥恒成立，再结合关于a 的一次函数的性质，即可求解.【详解】（1）函数()f x 在区间[]22-,上是减函数. 证明：由题意可知，对于任意的m ，[]2,2n ∈-有()()0f m f n m n+<+，设12,x m x n ==-，则()()12120f x f x x x +-<-，即()()12120f x f x x x -<-，当12x x >时，()()12f x f x <，所以函数在[]22-,上为单调递减函数；当12x x <时，()()12f x f x >，所以函数在[]22-,上为单调递减函数，综上，函数()f x 在[]22-,上为单调递减函数. （2）由(1)知函数()f x 在区间[]22-,上是减函数，因为()()231f x f x +<-，可得2232212231x x x x-≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+>-⎩，解得解得2132x -<≤-，所以不等式()()231f x f x +<-的解集为2132x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭. (3)因为函数()f x 在区间[]22-,上是减函数，且()21f -=，要使得对于任意的[]2,2x ∈-，[]2,2a ∈-都有()22f x at ≤-+恒成立，只需对任意的[]2,2a ∈-，221at -+≥恒成立.令21y at =-+，此时y 可以看作a 的一次函数，且在[]2,2a ∈-时，0y ≥恒成立.因此只需410410t t +≥⎧⎨-+≥⎩，解得解得1144t -≤≤，所以实数t 的取值范围为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性及其综合应用，同时考查了抽象不等式及恒成立问题的求解，其中解答中合理利用函数的性质去掉函数符号“f ”，以及合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.32．（2020·广西柳南·柳铁一中高一期末）已知函数()f x =（1）若()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求实数a 的值；（2）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 2a = (2) 7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知不等式()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系即可求解. （2）()f x 的定义域为R ，可知不等式()()221120a x a x ---+≥恒成立，然后讨论二次项系数，借助二次函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故()()()()22210221120931120a a a a a ⎧-<⎪⎪⎛⎫-⋅---+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪---+=⎩，解得2a =；（2）()f x 的定义域为R ，即()()221120ax a x ---+≥恒成立，当210a -=时，1a =±，经检验只有1a =满足条件；当210a -≠时，()()222101810a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪⎩，解得7,19a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，综上，7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、一元二次不等式与二次函数的关系，综合性比较强.。

2021版新高考数学(山东专用)一轮学案：第二章第一讲函数及其表示 Word版含解析

姓名，年级：时间：第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中有唯一的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f:A→B是一个映射（1）函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

（3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法。

（4）两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围,有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数,分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；（2）映射的两个特征：第一，在A中取元素的任意性;第二,在B中对应元素的唯一性；（3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．(多选题)下列判断不正确的为( ABC ）A．函数f(x)的图象与直线x＝1的交点只有1个B．已知f(x）＝m(x∈R)，则f（m3）等于m3C．y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数D．f(x)＝错误!则f(－x)＝错误!题组二走进教材2．(必修P23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为（ B )A．1 B．2C．3 D．4［解析] ①中当x〉0时，每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y值，因此是函数图象．3．（必修1P24T4改编)已知f（x5）＝lg x，则f(2)等于( D ）A．lg 2 B．lg 32C．lg 错误!D．错误!lg 2［解析］解法一：由题意知x>0,令t＝x5，则t>0，x＝t错误!,∴f(t）＝lg t 15＝错误!lg t，即f(x）＝错误!lg x(x>0）,∴f（2)＝错误!lg 2，故选D．解法二：令x5＝2，则x＝2错误!，∴f（2)＝lg 2错误!＝错误!lg 2.故选D．4．（必修1P25BT1改编）函数y＝f(x）的图象如图所示，那么f(x)的定义域是［－3，0]∪［2，3］;值域是[1,5];其中只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2）∪(4,5］.题组三考题再现5．（2019·江苏,5分）函数y＝错误!的定义域是［－1,7］.［解析］要使函数有意义，则7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是[－1，7］．6．（2015·陕西,5分）设f(x)＝错误!则f［f(－2）］＝（ C ）A．－1 B．错误!C．错误!D．错误![解析] ∵f（－2)＝2－2＝错误!，∴f［f（－2)］＝f(错误!)＝1－错误!＝错误!，故选C．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一函数的概念及表示考向1 函数与映射的概念——自主练透例1 （1）下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？①A＝｛1,2，3}，B＝R，f(1）＝f（2）＝3，f（3）＝4。

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3-9函数的实际应用-学生版

专题3.9 函数的实际应用练基础1.（2021·广东高三专题练习）某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（）A．0.33米B．0.42米C．0.39米D．0.43米2.（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（）A．1800 B．1000 C．790 D．5603．（2021·浙江高一期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（）A ．36mB ．39mC ．315mD ．318m4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知声音强弱的等级()f x (单位：dB)由声音强度x (单位：2W/m )决定．科学研究发现，()f x 与lg x 成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为2100W/m 声音强弱的等级为140dB ；某动物发出的鸣叫，声音强度为21W/m ，声音强弱的等级为120dB ．若某声音强弱等级为90dB ，则声音强度为（）2W/mA ．0.001B ．0.01C ．0.1D ．15．（2021·全国高三其他模拟（理））2021年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的关系是：贫困户年总收入y （元）=1200+4.1⨯年扶贫资金（元）+4.3⨯年自投资金（元）900+⨯自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力，2016年自投资金5000元，以后每年的自投资金均比上一年增长10%，2016年获得的扶贫资金为30000元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少5000元，则该贫困户在2021年的年总收入约为()51.1 1.6≈（）A ．48100元B ．57900元C ．58100元D ．64800元 6．（2021·全国高三其他模拟（理））生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内药物残留量y （单位：mg ）与时间t （单位：年）近似满足关系式()1e t y λλ-=-，其中λ为抗生素的残留系数，当23t =时，910y λ=，则λ的值约为（ln10 2.3≈）（）A ．110B ．10C ．100D ．11007．（2021·山东聊城市·高三三模）声强级I L （单位：dB ）由公式1210lg 10I I L -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：W /m 2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB ，平时常人交谈时声强级约为60dB ，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（）A ．104倍B ．105倍C ．106倍D ．107倍8．（2021·陕西西安市·高三其他模拟（理））现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩()*1620,n n n ∈<<N粒.则红豆和白豆共有________粒.9．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据：lg 20.30,lg13 1.11≈≈)10．（2021·浙江高一期末）某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：台）满足函数：21400,0400280000,400x x x R x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（1）将利润()f x （单位：元）表示成月产量x 的函数（2）当月产量x 为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）1．（2021·四川高三三模（理））一种药在病人血液中的量保持在不低于1500mg ，才有疗效；而低于500mg ，病人就危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时0020的比例衰减，则再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是（）A ．5551log 31,1log 41log 4⎛⎤- ⎥--⎝⎦ B ．5551log 31,1log 41log 4⎛⎫- ⎪--⎝⎭ C ．(]51log 3,1- D ．()51log 3,1-2．（2021·湖北武汉市·高三三模）2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利.湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”.已知某品种脐橙失去的新鲜度h 与其采摘后的时间t (天)满足关系式：t h m a =⋅.若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度（）(已知lg 20.3≈，结果四舍五入取整数)A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天3．（2021·全国高三其他模拟）生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y （单位：mg ）与时间t （单位：年）近似满足数学函数关系式()1t y e λλ-=-，其中λ为抗生素的残留系数．经测试发现，当23t =时，910y λ=，则抗生素的残留系数λ的值约为（）()ln10 2.3≈练提升A ．10B ．110C ．100D ．11004．（2021·全国高三其他模拟）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q 成正比，且当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法：①v 与3log 100Q 的正比例系数为13k =； ②当2m/s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2700；③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时，游速1m /s v e=. 则说法正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 5．（2021·全国高三其他模拟）在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量()P t (t 的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为()0.420.4211tt e P t e K =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中K 为环境最大容量.当()027.31KP t K K e=-+时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为（） A ．63B ．65C ．66D ．69 6．（2021·四川眉山市·高三三模（理））2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是（）（参考数据：log 19034.7≈-，log 6834881≈-）A ．公元前1400年到公元前1300年B ．公元前1300年到公元前1200年C ．公元前1200年到公元前1100年D ．公元前1100年到公元前1000年7．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（理））地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M 用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：max 0lg A M A =（其中常数0A 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；max A 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E 是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． 4.8 1.51010M E =⨯（单位：焦耳），其中M 为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的310倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A ，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（）A ．2AB ．10AC ．100AD ．1000A8．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））自新冠病毒爆发以后，各国科技人员都在攻关疫苗的难题，近日我国在这一领域取得重大突破，国产疫苗在国际上受到广泛认可.我国在实验阶段为了研究T 型病毒的变化规律，将T 型病毒注入一个健康的小白鼠体内，根据观测统计的数据分析，小白鼠体内的病毒数y 与天数n 近似满足1*3()n y n N -=∈.已知T 型病毒在体内超过109个时，小白鼠就会死亡，但如果注射了某种药物可有效杀死体内的T 型病毒，为使小白鼠在实验过程中不会死亡，第一次注射该种药物最迟应在第___________天(参考数据：lg30.477=).9．（2021·浙江高一期末）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分．已知扇环周长300cm =，大扇形半径100cm OD =，设小扇形半径cm OA x =，AOB θ∠=弧度，则①θ关于x 的函数关系式()x θ=_________．②若雕刻费用关于x 的解析式为()101700w x x =+，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．10．（2021·浙江高一期末）为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x 万件，需另投入可变成本()C x 万元，在年产量不足8万件时，21()33C x x x =+（万元）；在年产量不小于8万件时，100()837C x x x=+-（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．（1）写出年利润()f x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-可变成本）；（2）年产量x 为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？1．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名2．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.63.（2020·全国高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I Kt --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．694．（2020·山东海南省高考真题）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 5．（2019·全国高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通练真题讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++. 设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD6.（2018·上海高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0<x <100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )={30 ， 0<x ≤302x +1800x−90 ， 30<x <100 （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．。

2021届高考数学一轮复习《函数》测试卷及答案解析

2021届高考数学一轮复习测试卷函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若函数2()log 2f x x m =-的图象关于直线1x =-对称，则(3)(3)f f +-=（） A ．6B ．5C ．4D ．32．函数2sin 3()1cos x xf x x=+的部分图象可能是（）A ．B ．C ．D ．3．四个函数()10x f x =，()1()10xg x =，()lg h x x =，110()log x x ϕ=，方程()()f x x ϕ=，()()g x x ϕ=，()()g x h x =的实数根分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<4．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 有(3)()f x f x +=-，当(3,0)x ∈-时，()25f x x =-，则(2020)f -=（）A ．11B ．5C ．9-D ．1-5．已知定义在R 上的函数()f x 满足(6)()x x f f +=，(3)y f x =+为偶函数，若()f x 在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是（）A ．1219()()(ln 2)2f f e f <<B ．1219()(ln 2)()2f e f f << C ．1219(ln 2)()()2f f f e <<D ．1219(ln 2)()()2f f e f << 6．已知[]2,3a ∈，b ∈R ，()22f x x x b a x a =++--，若当[]1,4x ∈时，()0f x ≤恒成立，则5a b +的最大值是（） A ．6-B ．2-C ．2D ．67．已知函数1()ln sin 1xf x x x +=+-，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+-<的解集是（）A ．(32)，B ．(32)-，C ．(12)，D ．35)，8．已知函数()()220202020log 120201xx f x x x -=++-+，则关于x 的不等式()()21120f x f x +++->的解集为（）A ．1(,)2020-+∞ B ．()2020,-+∞C ．()2,3-+∞D ．2(,)3-∞-9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-．当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则函数()(2)()1g x x f x =--在区间[]3,6-上的所有零点之和为（） A ．2B ．4C ．6D ．810．在下列函数中，值域为R 的偶函数是（）A ．()f x x =B ．()ln f x x =C ．()22x x f x -=+D ．()cos f x x x =11．函数256()4||lg 3x x f x x x -+=--的定义域为（）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-12．已知函数22,1()log ,1a x ax x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．13aB ．2a ≥C ．23a ≤≤D ．02a <≤或3a ≥第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时242,10()cos ,01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则(4)f =______．14．设函数113,1(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是_______．15．已知函数211x y x -=-的图像与函数2y kx =-的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________． 16．计算：121(lg lg 25)1004--÷=________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数2()21()f x x x x a a =--+∈R ．（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，若函数()f x 在[]0,2上的最小值为0，求a 的值；（3）当0a >时，若函数()f x 在(,)m n 上既有最大值又有最小值，且11n m a ab -≤-+-恒成立，求实数b 的取值范围．18．（12分）若函数22()log (8)log (8)f x x x =++-．（1）求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性；（2）求函数()f x 的最大值．。

2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第二章函数导数及其应用考点测试10对数与对数函数含解析人教B版

考点测试10 对数与对数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点 3．体会对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数一、基础小题1．计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6答案 D解析由对数的运算公式和换底公式可得log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝2log 23×log 24log 23＋log 5(102×0.25)＝4＋2＝6.故选D.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x－1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．－1B ．1C ．－12D ．22答案 A解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，故选A. 3．函数f (x )＝lg (x ＋1)＋lg (x －1)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案 C解析函数f (x )的定义域为{x |x >1}，定义域不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数，故选C.4．若lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．1 B ．0或18C ．18D ．log 23答案 D解析由题意知lg 2＋lg (2x＋5)＝2lg (2x＋1)，2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x )2－9＝0,2x＝3，x ＝log 23.故选D.5．已知a ，b ，c 分别是方程2x ＝－x ，log 2x ＝－x ，log 2x ＝x 的实数解，则( ) A ．b <c <a B ．a 0，得a <0，由log 2b ＝－b <0，得00，得c >1，综上可知，a m ＋n >mnB ．m －n >mn >m ＋nC ．m ＋n >m －n >mnD ．mn >m －n >m ＋n答案 A解析 m ＝log 0.30.6>log 0.31＝0，n ＝12log 20.6<12log 21＝0，mn <0.1m ＋1n ＝log 0.60.3＋log 0.64＝log 0.61.2<log 0.60.6＝1，即m ＋nmn<1，故m ＋n >mn .又(m －n )－(m ＋n )＝－2n >0，所以m －n >m ＋n .故m －n >m ＋n >mn ，所以选A.7．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 4256＝( ) A.3＋ab1＋a ＋abB ．3a ＋ba ＋a 2＋bC.3＋b1＋a ＋bD ．1＋a ＋ab 3＋ab答案 A解析 log 4256＝log 256log 242＝3＋log 271＋log 23＋log 27＝3＋log 23·log 371＋log 23＋log 23·log 37＝3＋ab1＋a ＋ab.故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜2，log 3x 2－1，x ≥2，若f (a )≥1，则a 的取值范围是( )A ．[1,2)B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜2，log 3x 2－1，x ≥2，若f (a )≥1，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，e a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3a 2－1≥1，解⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，e a －1≥1，可得1≤a ＜2；解⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3a 2－1≥1，可得a ≥2.综上a ≥1.故选B.9．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z ，则x 3，y 5，z 2中最小的是( ) A ．z 2B ．y 5C ．x 3D ．三个数相等答案 C解析因为x ，y ，z 均为大于1的实数，所以log 2x ＝log 3y ＝log 5z >0，不妨设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t >0，x ＝2t，y ＝3t，z ＝5t，所以x 3＝23t＝8t ，y 5＝35t ＝243t ，z 2＝52t ＝25t，又y ＝x t 在(0，＋∞)上单调递增，故x 3最小．故选C.10．计算：912－log95＝________.答案 35解析 912－log 95＝912×9－log 95＝3×15＝35.11．已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．答案 7 2解析由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.12．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.答案 9解析因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19.此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得n m＝9.二、高考小题13．(2019·天津高考)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a log 0.50.5＝1.因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1.所以a <c <b .故选A.14．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案 A解析由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.15．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x )答案 B解析函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于直线x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点，故选B.16．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a cb >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误；∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52得，t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴a a ＝(a )a ，即a a ＝a a 2，亦即a ＝a2，解得a ＝4，∴b ＝2.三、模拟小题19．(2020·湖南湘潭高三阶段测试)如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么P Q的值为( )A.14 B ．4 C ．6 D ．4或1答案 B解析由题意知P >0，Q >0，P >2Q .由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q 可得log a (P －2Q )2＝log a (PQ )，所以(P －2Q )2＝PQ ，可化为P 2－5PQ ＋4Q 2＝0，又因为Q >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q 2－5P Q＋4＝0，解得P Q ＝4或P Q＝1(舍去)．故选B.20．(2019·广州市高三年级调研)已知实数a ＝2ln 2，b ＝2＋2ln 2，c ＝(ln 2)2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c 2，所以c <a <b .故选B.21．(2019·大庆模拟)设函数f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，若a ＋b ≥0，则( )A ．f (a )＋f (b )≤0B ．f (a )＋f (b )≥0C ．f (a )－f (b )≤0D ．f (a )－f (b )≥0答案 B解析设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，其定义域为R ，f (－x )＝－x 3＋log 2(－x ＋x 2＋1)＝－x 3－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，故f (x )在R 上单调递增，那么a ＋b ≥0，即a ≥－b 时，f (a )≥f (－b )，得f (a )≥－f (b )，可得f (a )＋f (b )≥0.故选B.22．(2019·安庆二模)若函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域与值域都是[m ，n ](m <n )，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(1，e)D ．答案 D解析函数f (x )＝log a x 的定义域与值域相同等价于方程log a x ＝x 有两个不同的实数解．因为log a x ＝x ⇔ln x ln a ＝x ⇔ln a ＝ln x x ，所以问题等价于直线y ＝ln a 与函数y ＝ln x x 的图象有两个交点．作函数y ＝ln x x 的图象，如图所示．根据图象可知，当0＜ln a ＜1e 时，即1＜a ＜e 1e 时，直线y ＝ln a 与函数y ＝ln xx的图象有两个交点．故选D.23．(2019·陕西咸阳高三联考)已知函数f (x )＝x ·ln 1＋x 1－x ，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，c＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，则以下关系成立的是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b答案 A解析因为f (x )＝x ·ln 1＋x1－x＝x [ln (1＋x )－ln (1－x )]，所以f (－x )＝(－x )[ln (1－x )－ln (1＋x )]＝x [ln (1＋x )－ln (1－x )]＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π.当0<x <1时，易知f (x )为增函数．又0<14<1π<1e <1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，即c <a <b ，故选A.24．(2019·山东省烟台市高三(上)期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤4，3－x ，x ＞4，设a ，b ，c 是三个不相等的实数，且满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围为________．答案 (16,36)解析作出函数f (x )的图象如图所示．当x ＞4时，由f (x )＝3－x ＝0，得x ＝3，得x ＝9，若a ，b ，c 互不相等，不妨设a ＜b ＜c ，因为f (a )＝f (b )＝f (c )，所以由图象可知0＜a ＜2＜b ＜4,4＜c ＜9，由f (a )＝f (b )，得1－log 2a ＝log 2b －1，即log 2a ＋log 2b ＝2，即log 2(ab )＝2，则ab ＝4，所以abc ＝4c ，因为4＜c ＜9，所以16＜4c ＜36，即16＜abc ＜36，所以abc 的取值范围是(16,36)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2020·湖北黄冈摸底)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )] ＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0,1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝2. 2．(2019·福建漳州模拟)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12019的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x ＝log 21＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12019＝0.(2)函数f (x )存在最小值．f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1，当x ∈(－1,1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时，f (x )单调递减． ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a .3．(2019·渭南模拟)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －17－x恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数．(2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －17－x恒成立，∴x ＋1x －1>m x －17－x>0恒成立， ∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，当x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减，∴当x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0,7)．4．(2019·大庆模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)当a >1时，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0恒成立，∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， ∴a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，则h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，又h (x )在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2，∴a的取值范围为(2，＋∞)．。

2021届高考数学(文科全国通用)一轮总复习阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数

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阶段滚动月考卷(一)集合与常用规律用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y=12x2−1,x∈P},则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2022·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2022·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(4,12),则f(8)的值为( )A.√24B.64 C.2√2 D.1644.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2022·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的微小值点,以下结论肯定正确的是( )A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的微小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2022·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2021·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2022·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2022·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2022·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(−112)= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是.15.(2022·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)(2022·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若ARB,求实数m的取值范围.17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a1−bxx−1是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值.18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为803√x万元,桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2022·济宁模拟)已知函数f(x)=ex2-1e x-ax(a∈R).(1)当a=32时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=(a+1a)lnx+1x-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线相互平行,证明x1+x2>2.ax2+x,a∈R.21.(14分)(2022·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-12(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥√5−1.2答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=12x2-1∈[−12,+∞),故Q={y|y≥−12},故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,留意运用指数函数的单调性解不等式,再依据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],由于A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-∞,-2].3.A 由于函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,由于其图象过点(4,12),所以12=4α,解得α=-12,所以f(x)=x−12,所以f(8)=8−12−12=√24.4.A 函数f(x)=|x-a|={x−a,x≥a,a−x,x<a,则f(x)的单调增区间是[a,+∞).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-1x,由于g(1)=-1<0,g(2)=ln2-12=ln2-ln√e>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 由于x0是f(x)的微小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 由于x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又由于1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3x02,切线方程为y-(3x0-x03)=(3-3x02)(x-x0),又由于点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-x03)=(3-3x02)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a= ( )A.-2B.2C.-23D.23A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)×(−12)=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x ≤0时,f ′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f ′(x)=0,得x=-4或x=-1.由于x ∈(-∞,-4)时,f ′(x)<0;x ∈(-4,-1)时,f ′(x)>0;x ∈(-1,0)时,f ′(x)>0,则f(x)在区间x ∈(-∞,-4)上单调递减,在区间x ∈(-4,0)上单调递增.又由于f(x)是定义域为R 的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x ∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=±4或x=0处取得极值. 11.【解析】y ′=3x 2+m,由题意知{1+m +c =n,3+m =2,n =2×1+1.所以{m =−1,n =3,c =3.所以m+n+c=5. 答案:512.【解析】由f(x+2)=-1f(x)可得,f(x+4)=-1f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数, f (−112)=f (−112+8)=f (52)=52.答案:5213.【解析】由x ∈(-∞,0)可得a 2-3a<0,得0<a<3, 所以y=(a 2-3a)x 在(-∞,0)上是减函数, 又f(x)=log 2a [(a 2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数, 所以2a>1,故12<a<3.答案:(12,3)14.【解析】由于f(x+1)=-1f(x),则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x ∈[-1,0]时,f(x)=x 2,则有当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,故当x ∈[-1,1]时,f(x)=x 2,那么当x ∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a (x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a (x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a (3+2), 解得a ≥5. 答案:[5,+∞)15.【解析】由于对任意x ∈R,有f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. 又由于有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0 所以对任意x ∈R,有f(x)-x 2+x=x 0, 在上式中令x=x 0,有f(x 0)-x 20+x 0=x 0,又由于f(x 0)=x 0,所以x 0-x 20=0,故x 0=0或x 0=1,若x 0=0,则f(x)-x 2+x=0,即f(x)=x 2-x,但方程x 2-x=x 有两个不相同实根,与题设条件冲突.故x 0≠0,若x 0=1,则有f(x)-x 2+x=1,即f(x)=x 2-x+1,此时f(x)=x 有且仅有一个实数1, 综上,x 0=1. 答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x ≤3}, B={x|m-2≤x ≤m+2}.(1)由于A ∩B=[0,3],所以{m −2=0,m +2≥3,所以{m =2,m ≥1,所以m=2.(2)R B={x|x<m-2或x>m+2}. 由于AR B,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3,所以m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b 的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f ′(x),最终分别令f ′(x)>0和f ′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a 的值.【解析】(1)由于f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 从而f(-x)+f(x)=0, 即log a1+bx −x−1+log a1−bx x−1=0,于是,(b 2-1)x 2=0,由x 的任意性知b 2-1=0, 解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1. (2)由(1)得f(x)=log a x +1x−1,(x<-1或x>1),f ′(x)=−2(x 2−1)lna.当0<a<1时,f ′(x)>0,即f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当a>1时,f ′(x)<0,即f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a a −1a−3=1,又a>3,得a=2+√3.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x 米,知中间共有(640x−1)个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640(2+x √x 640)+803√x (640x−1)+100,即f(x)=x 32+640×803x −12-803x 12+1380=x32+51 2003x−12-803x12+1380(64<x<100).(表达式写成f(x)=x √x +51 2003√x−803√x +1 380同样给分)(2)由(1)可求f ′(x)=32x 12-640×403x −32-403x −12,整理得f ′(x)=16x −32(9x2-80x-640×80),由f ′(x)=0,解得x 1=80,x 2=-6409(舍去),又当x ∈(64,80)时,f ′(x)<0;当x ∈(80,100)时,f ′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为64080-1=7.19.【解析】(1)当a=32时,f(x)=e x 2-1e x -32x, f ′(x)=12ex [(e x )2-3e x +2] =12ex (e x -1)(e x -2), 令f ′(x)=0,得e x =1或e x =2, 即x=0或x=ln2,令f ′(x)>0,则x<0或x>ln2, 令f ′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-∞,0],[ln2,+∞)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减. (2)f ′(x)=e x2+1e x -a,令e x =t,由于x ∈[-1,1], 所以t ∈[1e ,e].令h(t)=t 2+1t (t ∈[1e,e]), h ′(t)=12-1t 2=t 2−22t 2, 所以当t ∈[1e,√2)时h ′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t ∈(√2,e]时h ′(t)>0,函数h(t)为单调增函数, 所以√2≤h(t)≤e+12e .由于函数f(x)在[-1,1]上为单调函数, 所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增, 则a ≤t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≤√2;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a ≥t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≥e+12e,综上可得a ≤√2或a ≥e+12e.20.【解析】(1)f ′(x)=(a +1a )1x -1x2-1=-x 2−(a+1a)x+1x 2=-(x−a)(x−1a)x 2(x>0).当a>1时,0<1a<a,f(x)的单调递减区间是(0,1a),(a,+∞),单调递增区间是(1a,a). f(x)微小值=f (1a ) =(a +1a)ln 1a+a-1a=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)极大值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a. 当a=1时,f ′(x)=-(x−1)2x 2≤0,f(x)无极值. 当0<a<1时,0<a<1a,f(x)的单调递减区间是(0,a),(1a,+∞),单调递增区间是(a ,1a).f(x)极大值=f (1a)=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)微小值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a.(2)依题意知,f ′(x 1)=(a +1a )1x 1-1x 12-1=f ′(x 2) =(a +1a )1x 2-1x 22-1, 故a+1a =1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2. 由x 1+x 2>2√x 1x 2得x 1x 2<(x 1+x 2)24,故x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,故存在x 1,x 2使a+1a =x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,即x 1+x 2>4a+1a. 当a>0时,a+1a≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x 1+x 2>4(a+1a )min=2.即x 1+x 2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-12ax 2+(1-a)x+1,所以g ′(x)=1x-ax+(1-a)=−ax 2+(1−a)x+1x,当a ≤0时,由于x>0,所以g ′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是递增函数,又由于g(1)=ln1-12a ×12+(1-a)+1=-32a+2>0,所以关于x 的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时, g ′(x)=−ax 2+(1−a)x+1x=-a (x−1a)(x+1)x,令g ′(x)=0,得x=1a.所以当x ∈(0,1a )时,g ′(x)>0;当x ∈(1a,+∞)时,g ′(x)<0,因此函数g(x)在x ∈(0,1a)是增函数,在x ∈(1a,+∞)是减函数.故函数g(x)的最大值为g (1a)=ln 1a -12a ×(1a)2+(1-a)×1a+1=12a-lna.令h(a)=12a-lna,由于h(1)=12>0,h(2)=14-ln2<0,又由于h(a)在a ∈(0,+∞)是减函数,所以当a ≥2时,h(a)<0,所以整数a 的最小值为2.【一题多解】本题还可以接受以下方法由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-12ax 2+x ≤ax-1在(0,+∞)上恒成立,问题等价于a ≥ln x+x+112x 2+x 在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=ln x+x+112x 2+x ,只要a ≥g(x)max , 由于g ′(x)=(x+1)(−12x−lnx)(12x 2+x)2. 令g ′(x)=0, 得-12x-lnx=0.设h(x)=-12x-lnx,由于h ′(x)=-12-1x<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减, 不妨设-12x-lnx=0的根为x 0.当x ∈(0,x 0)时,g ′(x)>0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x)<0,所以g(x)在x ∈(0,x 0)上是增函数;在x ∈(x 0,+∞)上是减函数.所以g(x)max =g(x 0)=ln x 0+x 0+112x 02+x 0=1+12x 0x 0(1+12x 0)=1x 0,由于h (12)=ln2-14>0,h(1)=-12<0,所以12<x 0<1,此时1<1x 0<2,即g(x)max ∈(1,2).所以a ≥2,即整数a 的最小值为2. (2)当a=-2时,f(x)=lnx+x 2+x,x>0, 由f(x 1)+f(x 2)+x 1x 2=0,即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0,从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2) =x 1·x 2-ln(x 1·x 2)令t=x 1·x 2,则由φ(t)=t-lnt 得,φ′(t)=t −1t,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 所以φ(t)≥φ(1)=1, 所以(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,因此x1+x2≥√5−1成立.2关闭Word文档返回原板块。

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