全国学科大联考高考考试试卷数学
天域全国名校协作体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题(含答案)
绝密★考试结束前2024-2025学年第一学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科 试题命题审题：石家庄市第二中学 厦门市双十中学 长沙市雅礼中学主办学校；石家庄市第二中学 厦门市双十中学 长沙市雅礼中学考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知向量．，若，则实数（ ）A ．B ．C ．11D ．43．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（）A ．B ．C ．D ．5．已知等差数列的前n 项和为，“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知抛物线的焦点为F ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于异于原点O 的A ，B 两点，若12i z =+1z=12i 55-12i 55+12i55--12i 55-+()1,2a = (),3b x =()a ab ⊥+ x =4-11-π()cos 2(0)12f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π()f x 5π24x =5π12x =π6x =π3x =||1()22x f x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1y =1()2f x >(,2)(2,)-∞-+∞ ()2,2-(,1)(1,)-∞-+∞ ()1,1-{}n a n S 20250a =()40494049,n n S S n n *-=<∈N 2:8C y x =在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，则（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A 点、B 点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A ，B 两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A ，B 两点在水平方向的距离约为（）A ．B ．C ．D ．8．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x ，y ，z 若x ，y的样本相关系数为，y ，z 的样本相关系数为，则x 、z 的样本相关系数的最大值为（ ）附：相关系数A．B ．C ．D ．1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（）A ．估计该年级学生成绩的众数为75B ．C ．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.5010．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P ，使得6x =()()6,0P t t >OAPB t =45︒30m 40m 60m 120m121345r =4865636564650.05a =:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则11．已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，．则（ ）A ．任意交换的顺序，不影响X 的取值B ．满足及的排列有20个C ．的概率为D ．的概率为非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，则______．13．已知正三棱柱的体积与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为______．14．定义在上的函数满足：①；②；③，则______，______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，的面积为S ，且（1）求角A ；（2）若为锐角三角形，且，求a 的取值范围．16．（15分）已知函数，（1）当时，求在上的最大值；（2）求的零点个数．2y x =2y x =±45QA QB ⋅=1x 2x 5x 6x {}{}{}123456min max ,,,max ,,X x x x x x x ={}{}{}123456max min ,,,min ,,Y x x x x x x =123,,x x x 123x x x <<456x x x <<4X =15X Y >9101sin()2αβ+=tan 5tan αβ=sin()αβ-=111ABC A B C -ABC △[]0,1()f x ()()11f x f x +-=1()32x f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭()()12120)1(f x f x x x ≤≤<≤()1f =12025f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC △ABC △()22a b c +=+ABC △4b c +=ln ()ln 1xf x a x x=-+a ∈R 1a =()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x17．（15分）如图，四棱锥中，，，，，平面平面，且平面，平面平面．（1）求四棱锥的体积；（2）设Q 为上一点，若，求二面角的大小．18．（17分）已知椭圆的右焦点为F ，点在C 上，且轴，过点M 且与椭圆C 有且只有一个公共点的直线与x 轴交于点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）点R 是椭圆C 上异于M 的一点，且三角形的面积为24，求直线的方程；（3）过点P 的直线交椭圆C 于D ，E 两点（D 在E 的左侧），若N 为线段的中点，直线交直线于点Q ，T 为线段的中点，求线段的最大值．19．（17分）黎曼函数与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关．是这样定义的：记为复数s 的实部，当时，有，故对的研究具有重要意义．（1）已知对任意正整数n ，都存在唯一的整数和，使得，其中为奇数，为自然数，求；（2）试判断是否存在正整数k ，使得，并证明你的结论；（3）求证：．绝密★考试结束前2024-2025学年第一学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科参考答案1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．BP ABCD -4AB PA ==2CD CB ==PD =60ABC ∠=︒PAB PCD l =l ∥ABCD PAD ⊥ABCD P ABCD -PC QA QB =Q AB C --22221(0):x y C a b a b +=>>81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭MF x ⊥MPR MR FP NE MF DF TQ ζ()s ζ()s ζ()Re s ()11()kk s n s n nψ*==∑∈N ()Re 1s >()lim ()k k s s ζψ→+∞=()k s ψ()s ζn a n b 2n bn n a =⨯n a n b 101()n n n a b =∑+()12024k ψ=332k ψ⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】【解析】设，，，，，设与夹角为，与夹角为，则与夹角余弦值最大值为，此时x 与z 样本相关系数最大．由，，从而故选：B 9．ACD10．CD11．ABD11．【详解】对于A ，注意到当被确定后，的取值也被固定，因此满足条件的条件组数即满足条件的的组数，即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即．注意到任意交换的顺序，不影响X ，Y 的取值，任意交换的顺序，不影响X ，Y 的取值，A 正确，B 正确；因此不妨设及．注意到，整体交换和也不影响X ，Y 的取值，因此不妨设，即，将满足以上条件的排列列举如下：X Y X Y 12345634135246521243564313624552125346531452365212634553146235521342564215623442总情况数共10种，除第一种外均满足．因此，12．13．214．1，（第一空2分，第二空3分）14．【解析】()12,,,n X x x x =⋅⋅⋅ ()12,,,n Y y y y =⋅⋅⋅ ()12,,,n Z z z z =⋅⋅⋅12(),,,n X x x x x x x '=--⋅⋅⋅-12(),,,n Y y y y y y y '=--⋅⋅⋅-12(,,n Z z z z z z z '=--⋅⋅⋅-X ' Y ' αY ' Z 'βX ' Z 'cos()αβ-12cos 13α=4cos 5β=1245363cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ-=+=⨯+⨯=123,,x x x 456,,x x x 123,,x x x 36C 20=123,,x x x 456,,x x x 123x x x <<456x x x <<123,,x x x 456,,x x x 14x x <4Y x ={}36min ,X x x =123,,x x x 456,,x x x 123,,x x x 456,,x x x X Y >19()11010P X Y >=-=3(4)10P X ==131128在①中，令，得，在②中，令，得，在①中，令，得，所以；在①中，令，得，令，则有，所以是奇函数，C 选项正确；在②中，令，得，由③知，在上非严格单调递增，又因为，所以均有．注意到，因此，于是15．【解析】（1），则，，或（舍）（2）由正弦定理得，即，且，，所以12x =1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0x =()00f =0x =()()011f f +=()11f =12x t =+1111111222222f t f t f t f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇒+-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1122g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()g x g x =--1122f x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1x =111(1)322f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x []0,1111322f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11,32x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦1()2f x =6372911,2025202532⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦63120252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22211313113132025320252202523202522025f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭666131112202522128f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅==⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22a b c +=+2221sin 22bc A b c a bc =+-+22212b c a A bc +-=+cos 1A A =+π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ66A ∴-=5π6π3A ∴=sin sin sin a b c A B C ==sin sin sin a b c A B C+=+π3A =4b c +=因为为锐角三角形，，，所以，所以，即．可得，即a 的取值范围为．16．【解析】（1），，令，则单调递减，且从而，，单调递增；，，单调递减．（2）令，则由，令，则从而在上单调递减，在上单调递减．若，当时，，若，当时，；若，当时，，当时，．从而当时，与有一个交点时，与有两个交点故时，有一个零点；时有两个零点．17．【解析】（1）因为平面，平面，平面平面，所以．同理，．所以．因为，，，所以．所以底面的面积．在中，，，，所以，所以()sin 2πsin sin sin 6b c A a B CB +=====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC △π02B <<2ππ032C B <=-<ππ62B <<ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 6B ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦a ⎡∈⎢⎣a ⎡∈⎢⎣()ln ln 1x f x x x =-+()21ln x xf x x --'=()1lng x x x =--()g x ()10g =11ex <<()0g x >()f x e 1x >>()0g x <()f x ()()11f x f ≤=()ln ln 10x f x a x x =-+=ln 0x ≠11ln a x x =+()11ln h x x x =+()22110ln h x x x x'=--<()h x ()0,1(1,)+∞0x >0x →()h x →+∞1x <1x →()h x →-∞1x >1x →()h x →+∞x →+∞()0h x →0a ≤()h x y a =0a >()h x y a =(],0a ∈-∞()f x ,()0a ∈+∞()f x l ∥ABCD l ⊂PAB PAB ABCD AB =l AB ∥l CD ∥AB CD ∥4AB =2BC CD ==60ABC ∠=︒2AD =ABCD 1(24)2S =⨯+=PAD △4PA =2AD =PD =222PA AD PD =+PD AD⊥由平面平面，平面平面，，平面，所以平面．因为，所以．所以四棱锥的体积．（2）因为，，，所以，所以，，两两垂直，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，．所以，设，所以，因为所以高解得．所以．因此，，设为平面的法向量，则，取，则，即．因为平面所以平面的法向量为PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =PD AD ⊥PD ⊂PAD PD ⊥ABCD 4PA =2AD =PD =P ABCD -11633V S AD ==⋅=⨯=2AD =BD =4AB =BD AD ⊥DB AD DP ()0,0,0D ()2,0,0A ()0,B ()C -(0,0,P (1,CP =(,,)CQ CP λλ==(),)Q λλ--QA QB=222222(3311211)()()(312)λλλλλλ-+-+=-+++12λ=12Q ⎛-⎝12QB ⎛= ⎝ 52AQ ⎛=- ⎝ (),,m x y z = PAQ 050x x ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩1y =x =2z =)21,m =PD ⊥ABCD ABCD ()0,0,1n =设二面角为，则即二面角的大小为18．【解析】（1）由题意得，，从而，，椭圆C 方程为（2）设，与椭圆联立，得，由椭圆与直线只有一个交点，令，即①又过，则②联立①②可得即点P 为．设原点由，故，从而R 到l 的距离为O 到l 距离的2倍，即R 在l 关于O 对称的直线上，又R 在椭圆上，从而M ，R 关于O 对称故直线方程为（3）设，，，则，即①，又由可得②结合①②可得，，，，，，Q AB C --θcos m n m n θ⋅===Q AB C --45︒283b a =1c =29a =28b =∴22198x y +=:l x my n =+22198x y +=()22289168720m y mny n +++-=0∆=22890m n -+=:l x my n =+81,3⎛⎫⎪⎝⎭83l m n =+39m n =-⎧⎨=⎩()9,0()0,0O 1891223OPM S =⨯⨯=△2RPM OPM S S =△△MR 83y x =()11,D x y ()22,E x y DP PE λ=12129101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩212199x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩()()22112222289728972x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩1212121289721111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-254x λλ-+=()9,0P ()1,0F ()5,0N ()22,E x y则直线的方程为，轴，直线与交于Q ，则，故，故轴，从而．19．【解析】（1）由，，，，，'，，，，知（2）证明：设，为奇数，为自然数，设，设，，则．否则，当时，，与r 的定义矛盾，故，则，其中为奇数，时为偶数，从而分子为奇数，分母为偶数，分式不可能为2024，故不存在这样的k ．（3）证明：对任意正整数n ，当时，，又，故，NE ()22055y y x x -=--MF x ⊥NE MF 1Q x =221245Q y y y yx λ==-=-DQ y ⊥()11222TQ DF a c =≤+=0112=⨯0332=⨯0552=⨯0772=⨯0992=⨯1212=⨯1632=⨯11052=⨯2412=⨯3812=⨯101()44n n n a b =∑+=2n bn n a =⨯n a n b {}max n r b =1,2,,n k=⋅⋅⋅{}max ,n j n b r n k ==≤2j bj j a =⨯1j a =3j a ≥122j j b b j a j +<⨯=2j bj =111111111123232j b j k k +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+12122jj nb nc c c c a a a ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅j c i j ≠i c 2n ≥()()321121231022n n n n n n n ⎛⎫-++=--> ⎪⎝⎭()121112n n n <⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()112222111111222n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++>=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212112n n n <==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2<331222*********k k k k n n n n ψ===⎛⎫=∑=+∑<+∑=+-< ⎪⎝⎭。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷(新课标Ⅰ卷)含解析
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷（新课标Ⅰ卷）1.已知集合，，则( ).{}355A x x =-<<∣{3,1,0,2,3}B =--A B = A. B. C. D.{1,0}-{2,3}{3,1,0}--{1,0,2}-2.若，则( ).1i 1zz =+-z =A. B. C. D.1i--1i-+1i-1i+3.已知向量，，若，则( ).(0,1)a =(2,)b x = (4)b b a ⊥- x =A.-2B.-1C.1D.24.已知，，则( ).cos()m αβ+=tan tan 2αβ=cos()αβ-=A. B. C.D.3m-3m -3m 3m5.，则圆锥的体积为( ).A. B. C. D.6.已知函数在R 上单调递增，则a 的取值范围是( ).22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩A. B. C. D.(,0]-∞[1,0]-[1,1]-[0,)+∞7.当时，曲线与的交点个数为( ).[0,2π]x ∈sin y x =π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A.3B.4C.6D.88.已知函数的定义域为R ，，且当时，，则下列()f x ()(1)(2)f x f x f x >-+-3x <()f x x =结论中一定正确的是( ).A. B. C. D.(10)100f >(20)1000f >(10)1000f <(20)10000f <9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布2.1X =20.01S =，假设失去出口后的亩收入Y 服从正态分布，则( ).（若随机变量Z 服从()21.8,0.1N ()2,N X S 正态分布，则）()2,N μσ()0.8413P Z μμ<+≈A. B. C. D.(2)0.2P X >>()0.5P X Z ><()0.5P Y Z >>()0.8P Y Z ><10.设函数，则( ).2()(1)(4)f x x x =--A.是的极小值点B.当时，3x =()f x 01x <<()2()f x f x <C.当时， D.当时，12x <<4(21)0f x -<-<110x -<<(2)()f x f x ->11.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( ).(2,0)F (0)x a a =<A.2a =-B.点在C上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C 上时，()00,x y 0042y x ≤+12.设双曲线的左右焦点分別为，，过作平行于y 轴的直线交2222:1x y C a b-=0a >0b >1F 2F 2F C 于A ，B 两点，若，，则C 的离心率为_________.113F A =||10AB =13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________.e xy x =+(0,1)ln(1)y x a =++a =14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛比赛后，甲的总得分小于2的概率为_________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，ABC △sin C B =.222a b c +-=（1）求B ；（2）若的面积为，求c .ABC △3+16.已知和为椭圆上两点.(0,3)A 33,2P ⎛⎫⎪⎝⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>（1）求C 的率心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且的面积为9，求l 的方程.ABP △17.如图，四棱锥中，底面，，，.P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA PC ==1BC =AB =（1）若，证明：平面PBC ；AD PB ⊥//AD（2）若，且二面角，求AD .AD DC ⊥A CP D --18.已知函数.3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若，且，求a 的最小值；0b =()0f x '≥（2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）若，当且仅当，求b 的取值范围.()2f x >-12x <<19.设m 为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和1a 2a 42m a +i a 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，()j a i j <1a ，…，是——可分数列.2a 42m a +(,)i j （1）写出所有的，，使数列，，…，是——可分数列；(,)i j 16i j ≤<≤1a 2a 6a (,)i j （2）当时，证明：数列，，…，足——可分数列；3m ≥1a 2a 42m a +(2,13)（3）从1，2，…，中一次任取两个数i 和，记数列，，…，足—42m +()j i j <1a 2a 42m a +(,)i j —可分数列的概率为，证明.m P 18m P >答案1.A解析：，选A.{1,0}A B =- 2.C 解析：3.D解析：，，，，，选D.4(2,4)b a x -=-(4)b b a ⊥-(4)0b b a ∴-=4(4)0x x ∴+-=2x ∴=4.A解析：，，cos cos sin sin sin sin 2cos cos mαβαβαβαβ-=⎧⎪⎨=⎪⎩sin sin 2cos cos m m αβαβ=-⎧∴⎨=-⎩，选A.cos()cos cos sin sin 23m m m αβαβαβ-=+=--=-5.B解析：设它们底面半径为r ，圆锥母线l ，，，，2ππrl ∴=l ∴==3r ∴=，选B.1π93V =⋅⋅=6.B解析：在R 上↗，，，选B.()f x 0e ln1a a -≥⎧⎨-≤+⎩10a ∴-≤≤7.C解析：6个交点，选C.8.B解析：，，，，(1)1f =(2)2f =(3)(2)(1)3f f f >+=(4)(3)(2)5f f f >+>，，，(5)(4)(3)8f f f >+>(6)(5)(4)13f f f >+>(7)(6)(5)21f f f >+>，，，(8)(7)(6)34f f f >+>(9)(8)(7)55f f f >+>(10)(9)(8)89f f f >+>，，，(11)(10)(9)144f f f >+>(12)(11)(10)233f f f >+>(13)(12)(11)377f f f >+>，，，(14)(13)(12)610f f f >+>(15)(14)(13)987f f f >+>(16)1000f >(20)1000f ∴>，选B.9.BC解析：，，，()2~ 1.8,0.1X N ()2~ 2.1,0.1Y N 2 1.820.12μσ=+⨯=+，A 错.(2)(2)()10.84130.1587P X P X P X μσμσ>=>+<>+=-=，B 对.(2)( 1.8)0.5P X P X ><>=，，C 对.2 2.10.1μσ=-=-(2)( 2.1)0.5P Y P Y >>>=，D 错，所以选BC.(2)()()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ>=>-=<+=>10.ACD解析：A 对，因为；()3(1)(3)f x x x '=--B 错，因为当时且，所以；01x <<()0f x '>201x x <<<()2()f x f x <C 对，因为，，2(21)4(1)(25)0f x x x -=--<2(21)44(2)(21)0f x x x -+=-->，时，2223(2)()(1)(2)(1)(4)(1)(22)2(1)f x f x x x x x x x x --=------=--+=--11x -<<，，D 对.(2)()0f x f x -->(2)()f x f x ->11.ABD解析：A 对，因为O 在曲线上，所以O 到的距离为，而，x a =a -2OF =所以有，那么曲线的方程为.242a a -⋅=⇒=-(4x +=B 对，因为代入知满足方程；C 错，因为，求导得，那么有2224(2)()2y x f x x ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭332()2(2)(2)f x x x '=---+，，于是在的左侧必存在一小区间上满足，因此(2)1f =1(2)02f '=-<2x =(2,2)ε-()1f x >最大值一定大于1；D 对，因为.()22220000004442222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫=--≤⇒≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭12.32解析：由知，即，而，所以，即||10AB =25F A =2225b c a a a-==121F F F A ⊥1212F F =，代回去解得，所以.6c =4a =32e =13.ln 2解析：14.12解析：甲出1一定输，所以最多3分，要得3分，就只有一种组合、、、18-32-54-76-得2分有三类，分别列举如下：（1）出3和出5的赢，其余输：，，，16-32-54-78-（2）出3和出7的赢，其余输：，，，；，，，，14-32-58-76-18-32-56-74-，，，16-32-58-74-（3）出5和出7的赢，其余输：，，，；，，，；12-38-54-76-14-38-52-76-，，，；，，，；，，，；18-34-52-76-16-38-52-74-18-36-52-74-16-，，，；，，，38-54-72-18-36-54-72-共12种组合满足要求，而所有组合为24，所以甲得分不小于2的概率为1215.（1）π3B =（2）c =解析：（1）已知，根据余弦定理，222a b c +-=222cos 2a b c C ab+-=可得.cos C ==因为，所以.(0,π)C ∈π4C =又因为，即，解得.sin C B =πsin4B =B =1cos 2B =因为，所以.(0,π)B ∈π3B =（2）由（1）知，，则.π3B=π4C =ππ5πππ3412A B C =--=--=已知的面积为，ABC △31sin 2ABCS ab C =△则，.1πsin 324ab =132ab =+2(3ab =+又由正弦定理，可得.sin sin sin a b c A B C ==sin sin sin sin a C b Cc A B==则，，同理.π5πsin sin412c a =5πsin12πsin 4c a=πsin 3πsin 4c b =所以2225ππsin sin 421232(3π1sin42c c ab ⎝⎭===+解得c =16.（1）12（2）见解析解析：（1）将、代入椭圆，则(0,3)A 33,2P ⎛⎫⎪⎝⎭22220919941a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22129a b ⎧=⎨=⎩.c=12ce a ∴===（2）①当L 的斜率不存在时，，，，A 到PB 距离，:3L x =33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭3PB =3d =此时不满足条件.1933922ABP S =⨯⨯=≠△②当L 的斜率存在时，设，令、，3:(3)2PB y k x -=-()11,P x y ()22,B x y ，消y 可得223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，2122212224124336362743k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩PB =17.（1）证明见解析（2）AD =解析：（1）面，平面，PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD∴⊥又，，平面PABAD PB ⊥ PB PA P = ,PB PA ⊂面，平面，AD ∴⊥PAB AB ∴⊂PAB AD AB∴⊥中，，ABC △222AB BC AC +=AB BC∴⊥，B ，C ，D 四点共面，A //AD BC∴又平面，平面PBCBC ⊂ PBC AD ⊄平面PBC .//AD ∴（2）以DA ，DC 为x ，y 轴过D 作与平面ABCD 垂直的线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系D xyz-令，则，，，，AD t =(,0,0)A t (,0,2)P t (0,0,0)D DC =()C 设平面ACP 的法向量()1111,,n x y z =不妨设，，1x =1y t =10z =)1,0n t =设平面CPD 的法向量为()2222,,n x y z =不妨设，则，，2200n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222200tx z +=⎧∴=2z t =22x =-20y =2(2,0,)n t =- 二面角A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅===.t ∴=AD ∴=18.（1）-2（2）证明见解析（3）23b ≥-解析：（1）时，，对恒成立0b =()ln2x f x ax x =+-11()02f x a x x '=++≥-02x ∀<<而，11222(2)a a a x x x x ++=+≥+--当且仅当时取“=”，1x =故只需，即a 的最小值为-2.202a a +≥⇒≥-（2）方法一：，(0,2)x ∈(2)()f x f x -+332ln (2)(1)ln (1)22x x a x b x ax b x a x x-=+-+-+++-=-关于中心对称.()f x ∴(1,)a 方法二：将向左平移一个单位关于中心对称平移()f x 31(1)ln(1)1x f x a x bx x+⇒+=+++-(0,)a 回去关于中心对称.()f x ⇒(1,)a （3）当且仅当，()2f x >- 12x <<(1)22f a ∴=-⇒=-对恒成立3()ln 2(1)22x f x x b x x∴=-+->--12x ∀<<222112(1)2()23(1)3(1)(1)32(2)(2)x f x b x b x x b x x x x x x ⎡⎤-'=+-+-=+-=-+⎢⎥---⎣⎦令，必有（必要性）2()3(2)g x b x x =+-∴2(1)2303g b b =+≥⇒≥-当时，对，23b ≥-(1,2)x ∀∈32()ln 2(1)()23x f x x x h x x ≥---=-2222(1)1()2(1)2(1)10(2)(2)x h x x x x x x x ⎡⎤-'=--=-->⎢⎥--⎣⎦对恒成立，符合条件，(1,2)x ∀∈()(1)2h x h ∴>=-综上.23b ≥-19.（1），，(1,2)(1,6)(5,6)（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）以下满足：，，(,)i j (1,2)(1,6)(5,6)（2）易知：，，，等差等差p a q a r a s a ,,,p q r s ⇔故只需证明：1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14可分分组为，，即可(1,4,7,10)(3,6,9,12)(5,8,11,14)其余，，按连续4个为一组即可k a 1542k m ≤≤+（3）由第（2）问易发现：，，…，是可分的是可分的.1a 2a 42m a +(,)i j 1,2,42m ⇔+ (,)i j 易知：1，2，…，是可分的42m +(41,42)k r ++(0)k r m ≤≤≤因为可分为，…，与(1,2,3,4)(43,42,41,4)k k k k ---，…，(4(1)1,4(1),4(1)1,4(1)2)r r r r +-+++++(41,4,41,42)m m m m -++此时共种211C (1)(1)(2)2m m m m +++=++再证：1，2，…，是可分的42m +(42,41)k r ++(0)k r m ≤<≤易知与是可分的1~4k 42~42r m ++只需考虑，，，…，，，41k +43k +44k +41r -4r 42r +记，只需证：1，3，5，…，，，可分*N p r k =-∈41p -4p 42p +去掉2与1~42p +41p +观察：时，1，3，4，6无法做到；1p =时，1，3，4，5，6，7，8，10，可以做到；2p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，143p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，184p =，，，满足(1,5,9,13)(3,7,11,15)(4,8,12,16)(6,10,14,18)故，可划分为：2p ∀≥，，，(1,1,21,31)p p p +++(3,3,23,33)p p p +++(4,4,24,34)p p p +++，…，，，共p 组(5,5,25,35)p p p +++(,2,3,4)p p p p (2,22,32,42)p p p p ++++事实上，就是，，且把2换成(,,2,3)i p i p i p i +++1,2,3,,i p = 42p +此时，均可行，共组(,)k k p +2p ≥211C (1)2m m m m +-=-，，…，不可行(0,1)(1,2)(1,)m m -综上，可行的与至少组(42,41)k r ++(41,42)k r ++11(1)(1)(2)22m m m m -+++故，得证！()222224212221112C (21)(41)8618m m m m m m m m P m m m m +++++++≥==>++++。
2025届高三10月大联考试题(新高考卷)数学含答案
2025届高三10月大联考（新课标卷）数学（答案在最后）本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|1A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1B x x =≤-或}1x >，则A B = （）A.(](),11,∞∞--⋃+B.C.()(),11,∞∞-⋃+ D.∅2.数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44的上四分位数为（）A.30B.32C.40D.423.已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.15br B.125b C.bD.1125b 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，7434S a =+，则10S =（）A.5- B.5C.52-D.525.函数()()23ππsin cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x f x x x x x⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+图象的对称中心为（）A.π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z B.π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z C.()π,0k ，k ∈Z D.()2π,0k ，k ∈Z6.()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为（）A.10B.20C.10- D.20-7.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，且ADE V ，BCF V 均为正三角形，28EF AB ==，则ED 与BF 所成角的大小为（）A.π2B.π3C.π4D.π68.已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（）A.8πB.9πC.16πD.17π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设1z ，2z 为复数，则下列说法中正确的有（）A.若1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d ∈R ，且a c >，b d >，则12z z >B.若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2m =C.若关于x 的方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则5p q +=-D.若112i z =-+，234i z =+，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第三象限10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，设1,1，2,2，AB 的中点为()00,M x y ，则下列说法中正确的有（）A.若直线l 过焦点F ，则024AB x =+B.若直线l 过焦点F ，则·AF BF 的最小值为4C.若直线AB 的斜率存在，则其斜率与0x 无关，与0y 有关D.若O 为坐标原点，直线l 的方程为()4y k x =-，则OA OB ⊥11.已知函数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，其导函数为′，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，则（）A.()00f = B.′为奇函数C.π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期D.2024ππ202482i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若定义在R 上的函数()f x 满足()21f =，且()()22lim12x f x f x →-=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为_____.13.已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4，离心率为2.若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为_____.14.已知不等式()2e2ln e 21x axx xx a x+-+--<恒成立，则实数a 的取值范围为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若D 是边AC 上一点，且2DC AD =，3BD =，求b .16.为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为m ，参加体能训练活动的男生人数为13m ，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，参加体能训练活动的女生人数为14m .（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；参加不参加合计男生女生（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.001x α2.7063.8416.63510.82817.如图，在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC a ===，AB AC BC b ===，BC 的中点为D ，过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，O 是线段PH 上的一个动点.（1）证明：OA BC ⊥；（2）若O 是正三棱锥P ABC -外接球的球心，且a b =，求平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值.18.在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,0B ，C 是平面内的动点，且ABC V 内切圆的圆心在直线1x =上.（1）求动点C 的轨迹W 的方程；（2）过点B 作三条不同的直线1l ，2l ，3l ，且1l x ⊥轴，2l 与W 交于M ，N 两点，3l 与W 交于P ，Q 两点，M ，P 都在第一象限，直线MP ，NQ 与1l 分别交于点G ，H ，证明：11BG BH-为定值.19.一般地，n 元有序实数组()12,,,n a a a ⋅⋅⋅称为n 维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，⋅⋅⋅）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于n 维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，则a = 若存在不全为零的r 个实数1k ，2k ，⋅⋅⋅，r k ，使得11220r r k a k a k a ++⋅⋅⋅+=u r u u r u u r r ，则称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性相关的，否则，称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a是线性无关的.（1）判断向量组()1,1,1a =，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- 是否线性相关.（2）已知函数()e xf x =，()1g x ax =+，且()()0f x g x -≥恒成立.①求a 的值；②设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，其中()1n a g n =，若()n b f n =，()n c g n =，数列{}n n b c 的前n 项和为n S ；证明：当*n ∈N 时，217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .2025届高三10月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|1A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1B x x =≤-或}1x >，则A B = （）A.(](),11,∞∞--⋃+B.C.()(),11,∞∞-⋃+ D.∅【答案】C 【解析】【分析】根据题意先求集合A ，进而根据并集运算求解.【详解】由题意可知：{}1||11A x y x x x ⎧⎫===≠⎨⎬-⎩⎭，且{|1B x x =≤-或}1x >，所以A B = ()(),11,∞∞-⋃+.故选：C.2.数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44的上四分位数为（）A.30B.32C.40D.42【答案】D 【解析】【分析】从小到大排序后，位于75%位置的数值.计算步骤为先确定位置，再根据位置情况确定上四分位数的值.【详解】10n =，计算75%位置的序号100.757.5i =⨯=.由于7.5i =不是整数，向上取整为8，所以上四分位数是第8个数，即42.故选：D.3.已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.15br B.125b C.bD.1125b 【答案】B 【解析】【分析】由模长的坐标表示可得b，再结合投影向量的定义分析求解.【详解】由题意可得：5b == ，所以a 在b上的投影向量为2125a b b b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭r rr r r .故选：B.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，7434S a =+，则10S =（）A.5-B.5C.52-D.52【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列性质可得41a =，结合等差数列通项公式列式求1,a d ，代入等差数列求和公式即可.【详解】设等差数列的公差为d ，因为744734S a a ==+，可得41a =，且22a =，则4121312a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得15212a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以10510915102222S ⨯⎛⎫=⨯+-= ⎪⎝⎭.故选：D.5.函数()()23ππsin cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x f x x x x x⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+图象的对称中心为（）A.π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z B.π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z C.()π,0k ，k ∈Z D.()2π,0k ，k ∈Z【答案】A 【解析】【分析】由三角恒等变换化简再结合正切函数的对称中心可得答案；【详解】()()()23ππ1sin cos sin 2cos sin 1222tan 21sin 21sin 2cos 2cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x x x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⨯-⎝⎭⎝⎭====+--++--+，令π2,Z 2k x k =∈，则π,4k x k Z =∈，所以对称中心为π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，故选：A.6.()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为（）A.10 B.20C.10- D.20-【答案】B 【解析】【分析】因为()555111212x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合二项展开式的通项公式运算求解.【详解】因为()555111212x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为()5521551C 1C ,0,1,2,3,4,5rr r r rr r T x x r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅= ⎪⎝⎭，令521r -=，解得2r =，可得()22351C 10T x x =-⋅=；令522r -=，解得32r =∉Z ，不合题意；所以2x 项的系数为21020⨯=.故选：B.7.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，且ADE V ，BCF V 均为正三角形，28EF AB ==，则ED 与BF 所成角的大小为（）A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】A 【解析】【分析】作出图形，取EF 的中点G ，连接,,AG CG AC ，可求出AGC ∠为异面直线ED 与BF 所成的角，再由勾股定理计算即可；【详解】如图，取EF 的中点G ，连接,,AG CG AC ，因为//EF AB ，28EF AB ==，所以四边形ABFG 为平行四边形，所以//BF AG ，同理可得//ED CG ，所以AGC ∠为异面直线ED 与BF所成的角或其补角，AC =4AG CG ==，即222AC AG CG =+，所以π2AGC ∠=，即ED 与BF 所成角的大小为π2，故选：A.公众号：高中试卷君8.已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（）A.8πB.9πC.16πD.17π【答案】B 【解析】【分析】先利用方程组法求出()f x 的解析式，结合()f x 的奇偶性将[]3π,5π-上的零点和转化为(]3π,5π上的零点和问题，令()0f x =，转化为sin tan x x =-，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.【详解】由()()2sin tan f x f x x x --=+，可得()()()()2sin tan sin tan f x f x x x x x --=-+-=--，解得()()1sin tan 3f x x x =+，易知()f x 为奇函数，故()f x 的图象关于原点对称，则函数=在[]3π,3π-上的图象关于原点对称，故函数=在[]3π,3π-上的零点也关于原点对称，和为0，在(]3π,5π上的零点和即为[]3π,5π-上的零点和，令()0f x =，得sin tan 0x x +=，sin tan x x =-，(]3π,5πx ∈，作出sin y x =和tan y x =-在同一坐标系中的图象，可知=在(]3π,5π内的零点有4π和5π两个，故14π5π9πni i x ==+=∑.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设1z ，2z 为复数，则下列说法中正确的有（）A.若1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d ∈R ，且a c >，b d >，则12z z >B.若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2m =C.若关于x 的方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则5p q +=-D.若112i z =-+，234i z =+，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第三象限【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：根据复数不能比较大小即可判断；对于B ：根据纯虚数的概念列式求解；对于C ：可知另一个虚根为2i 1--，利用韦达定理运算求解；对于D ：可得1242i z z =---，结合复数的几何意义分析判断.【详解】对于选项A ：因为b d >，可知1z ，2z 不可能均为实数，故不能比较大小，故A 错误；对于选项B ：若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2232010m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =，故B 正确；对于选项C ：若关于x 的方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则另一个虚根为2i 1--，可得()()()()2i 12i 122i 12i 15p q ⎧-=-+--=-⎪⎨=---=⎪⎩，所以7p q +=，故C 错误；对于选项D ：若112i z =-+，234i z =+，则1242i z z =---，复数12z z -在复平面内对应的点为()4,2--，位于第三象限，故D 正确；故选：BD.10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，设1,1，2,2，AB 的中点为()00,M x y ，则下列说法中正确的有（）A.若直线l 过焦点F ，则024AB x =+B.若直线l 过焦点F ，则·AF BF 的最小值为4C.若直线AB 的斜率存在，则其斜率与0x 无关，与0y 有关D.若O 为坐标原点，直线l 的方程为()4y k x =-，则OA OB ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：由条件，结合抛物线的定义判断A ；对于B ：设直线:1l x my =+，根据抛物线的定义结合韦达定理可得12y y +，12y y ，故244AF BF m =+，求其最值可得结论；对于C ：利用点差法分析判断；对于D ：利用韦达定理可得1216x x =，结合方程可得1216y y =-，再根据向量垂直分析判断.【详解】由题意可知：1,0，且12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，直线l 的斜率可以不存在，但不为0.对于A ，因为()()()1212011222AB AF BF x x x x x =+=+++=++=+，故A 错误；对于选项B ：若直线l 过焦点F ，设直线:1l x my =+，联立方程=B +12=4，消去x 可得2440y mx --=，则216160m ∆=+>，可得12124,4y y m y y +==-，所以()()()()()212121212112224AF BF x x my my m y y m y y =++=++=+++222484444m m m =-++=+≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以AF BF 的最小值为4，故B 正确；对于选项C ：因为1,1，2,2在抛物线C 上，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得()()()22121212124y y y y y y x x -=+-=-，若直线AB 的斜率存在，则121212042AB y y k x x y y y -===-+，所以直线AB 的斜率与0x 无关，与0y 有关，故C 正确；对于选项D ：联立方程()244y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 可得()222284160k x k x k -++=，可得()2242Δ846464160k k k =+-=+>，且1216x x =，由选项C 可知：22121216256y y x x ==，且120y y <，可得1216y y =-，则12120OA OB x x y y ⋅=+=，所以OA OB ⊥，故D 正确；故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，其导函数为′，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，则（）A.()00f = B.′为奇函数C.π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期D.2024ππ202482i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：利用赋值法令0x y ==，代入运算即可；对于B ：令y x =-，可得()()f x f x =--，进而可得()()f x f x '='-，即可判断；对于C ：令π2y =，可得()π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合周期性分析判断；对于D ：根据周期性运算求解即可.【详解】因为()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对于选项A ：令0x y ==，可得()()()30020f f f -=，即()()20010f f ⎡⎤+=⎣⎦，显然()2010f+≠，所以()00f =，故A 正确；对于选项B ：因为数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，关于原点对称，令y x =-，可得()()()()()()00f f x f x f f x f x --=+-，即()()f x f x =--，可得()()f x f x '='-，且()f x 不为常函数，′不恒为0，所以′为偶函数，故B 错误；对于选项C ：令π2y =，可得()()ππππ2222f x f x f f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知π2为()f x 的一个周期，所以π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期，故C 正确；对于D ：因为π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期，则*πππ1,828n f f n ⎛⎫⎛⎫+==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，所以2024ππ202582i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的研究，常常利用赋值法，结合题设条件合理赋值是解题的关键，对于本题关键赋值有：令0x y ==，y x =-和π2y =.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若定义在R 上的函数()f x 满足()21f =，且()()22lim12x f x f x →-=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为_____.【答案】1y x =-【解析】【分析】根据导数的定义，得到切线斜率，运用点斜式计算即可.【详解】2()(2)lim12x f x f x →-=-，所以(2)1f k '==.且(2)1f =，曲线()y f x =在点00(,)x y 处的切线方程为00()y y k x x -=-.已知02x =，0(2)1y f ==.将这些值代入切线方程公式，得到11(2)y x -=⨯-.化简这个方程，得到1y x =-.故答案为:1y x =-.13.已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4，离心率为2.若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为_____.【答案】2【解析】【分析】先根据长轴及离心率列式求出s s 得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P 的坐标，最后计算面积即可.【详解】因为222242a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,所以2,1,a b c ===,所以椭圆方程为2214y x +=,设()00,P x y ,椭圆的上、下顶点()()0,2,0,2A B -,所以()()0000,2,,2,PA x y PB x y =--=--- 且220014y x +=，所以222200001·44442PA PB x y x x =+-=+--=- ，所以2016x =，即得1212011662222662PF F S F F x c =⨯=⨯⨯==.故答案为：2.14.已知不等式()2e 2ln e 21xaxxxx a x+-+--<恒成立，则实数a 的取值范围为_____.【答案】()0,∞+【解析】【分析】根据题意整理可得()()2ln 2e2ln e2x xx axx x x ax ++++<++，构建()e 2,0x f x x x =+>，结合单调性可得2ln x x x ax +<+，参变分离可得ln 1xx a x-+<，再构建()ln 1x g x x x =-+，利用导数求最值即可.【详解】因为()2e 2ln e 21xaxxxx a x+-+--<，且0x >，则22e 222e 2ln x x axx x x ax x ++--<-，整理可得()()2ln 2e2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，令()e 2,0xf x x x =+>，则()()2ln 2e2ln e2x xx axx x x ax ++++<++，即为()()2ln f x x f x ax +<+，因为e ,2x y y x ==在0,+∞内均为增函数，则()f x 在0,+∞内为增函数，可得2ln x x x ax +<+恒成立，即ln 1xx a x-+<恒成立，令()ln 1x g x x x =-+，则()2221ln ln 11x x x g x x x-+-=-+=-'，令()2ln 1,0h x x x x =+->，因为2,ln 1y x y x ==-在0,+∞内均为增函数，则ℎ在0,+∞内为增函数，且ℎ1=0，当01x <<时，则ℎ<0，即()0g x '>；当1x >时，则ℎ>0，即()0g x '<；可知()g x 在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，则()()10g x g ≤=，可得0a >，所以实数a 的取值范围为0,+∞.故答案为：0,+∞.【点睛】关键点点睛：对原式同构可得()()2ln 2e 2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，构建函数结合单调性分析可得ln 1xx a x-+<恒成立.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若D 是边AC 上一点，且2DC AD =，3BD =，求b .【答案】（1）π3B =（2【解析】【分析】（1）先由正弦定理化简得出2πsin cos sin cos 2sin cos 3B A A B C B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭再结合两角和正弦公式化简得出2π1cos 32B ⎛⎫-=⎪⎝⎭计算得角即可；（2）先根据边长关系得出向量关系1233BD BC BA =+，再应用向量数量积运算解得2c =，最后余弦定理计算得b .【小问1详解】因为2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，由正弦定理得2πsin cos sin cos 2sin cos 3B A A B C B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()2πsin sin 2sin cos ,sin 03C B A C B C ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，所以()2π1cos ,0,π32B B ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭,所以2ππ33B -=，可得π3B =【小问2详解】因为2DC AD =，所以2DC AD = ，所以1233BD BC BA =+ ，即得32BD BC BA =+，左右两侧平方得222944BD BC BA BC BA =++⋅，又因为π,13B a ==，所以21211442BA BA =++⨯ ，所以22100c c +-=，()()2250c c -+=，解得2c =，由余弦定理得214121232b =+-⨯⨯⨯=，所以b =16.为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为m ，参加体能训练活动的男生人数为13m ，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，参加体能训练活动的女生人数为14m .（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；参加不参加合计男生女生（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.001x α2.7063.8416.63510.828公众号：高中试卷君【答案】（1）答案见解析；（2）分布列见解析；数学期望()87E X =【解析】【分析】（1）根据已知数据补全列联表，再由卡方公式计算，由独立性检验得到结论；（2）先由分层抽样确定人数，再计算概率，列出分布列，由期望公式计算即可；【小问1详解】参加体能训练活动的男生人数为13m ，即112004003⨯=人，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，即112003004⨯=人，参加体能训练活动的女生人数为14m ，即112003004⨯=人，所以参加不参加合计男生400300700女生300200500()2212004002003003000.980 2.706700500700500x αχ⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，所以根据小概率0.1α=的独立性检验，没有证据说明学生参加体能训练活动的意愿与性别有关联，【小问2详解】按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，则抽取参加体能训练人数为8人，不参加的为6人，由题意可得X 的可能取值为0,1,2()26214C 150C 91P X ===，()1186214C C 481C 91P X ===，()28214C 42C 13P X ===，所以X 的分布列为：X012P15914891413，期望为()1548480129191137E X =⨯+⨯+⨯=，17.如图，在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC a ===，AB AC BCb ===，BC 的中点为D ，过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，O 是线段PH 上的一个动点.（1）证明：OA BC ⊥；（2）若O 是正三棱锥P ABC -外接球的球心，且a b =，求平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2）12【解析】【分析】（1）连接,AD PD ，可得PH BC ⊥，AD BC ⊥，可证⊥BC 平面PAD ，结合线面的性质即可得结果；（2）根据外接球的性质可得4OB OA a ==，求相关长度，做辅助线，可得二面角D OB E --的平面角DME ∠，结合余弦定理运算求解.【小问1详解】连接,AD PD ，因为P ABC -为正三棱锥，则H 为等边三角形ABC 的中心，且PH ⊥平面ABC ，由⊂BC 平面ABC ，则PH BC⊥又因为D 为BC 的中点，则,H AD AD BC ∈⊥，且PH AD H ⋂=，,PH AD ⊂平面PAD ，可得⊥BC 平面PAD ，因为OA ⊂平面PAD ，所以OA BC ⊥.【小问2详解】由题意可知：,,236AD a AH HD ===，则3PH a ==，设正三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则22233R a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得64R a =，即64OB OA a ==，则12OH AH R =-=，可得4OD ==，因为⊥BC 平面PAD ，OD ⊂平面PAD ，则BC OD ⊥，取AB 的中点E ，连接,,OE EH DE ，则OE AB ⊥，且EB BD =，12ED a =，可知Rt Rt OBE OBD ≅△△，过D 作⊥DM OB ，垂足为M ，连接EM ，则EM OB ⊥，可知二面角D OB E --的平面角DME ∠，由OBD的面积可得1122424a a DM ⨯⨯=⨯，解得6DM a =，可知6DM EM a ==，在DME 中，由余弦定理可得222222*********cos 2266a a a DM EM DE DME DM EM +-+-∠==-⋅，所以平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值为12.18.在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,0B ，C 是平面内的动点，且ABC V 内切圆的圆心在直线1x =上.（1）求动点C 的轨迹W 的方程；（2）过点B 作三条不同的直线1l ，2l ，3l ，且1l x ⊥轴，2l 与W 交于M ，N 两点，3l 与W 交于P ，Q 两点，M ，P 都在第一象限，直线MP ，NQ 与1l 分别交于点G ，H ，证明：11BG BH-为定值.【答案】（1）()22113y x x -=>（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据内切圆的性质分析可得2CA CB -=，结合双曲线的定义分析求解；（2）设直线方程和交点坐标，利用韦达定理整理可得1211143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2431143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求G ，H 的坐标，代入化简整理即可得结果.【小问1详解】设ABC V 内切圆的圆心为R ，且与三边切于点,,D E F ，则,,CD CF AD AE BE BF ===，可得()()CA CB CD AD CF BF AD BF AE BE -=+-+=-=-，且−2,0，()2,0B ，()1,0E ，即3,1AE BE ==，可得2CA CB AE BE -=-=，可知动点C 的轨迹W 是以,A B 为焦点的双曲线的右半支（顶点E 除外），则221,2,3a c b c a ===-=，所以动点C 的轨迹W 的方程为()22113y x x -=>.【小问2详解】由题意可知：1:2l x =，双曲线2213y x -=的渐近线为3y x =，设21321233:2,:2,,,00,33l x m y l x m y m m ⎛⎫⎛⎫=+=+∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y P x y Q x y ，且12m m ≠，联立方程122213x m y y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()2211311290m y m y -++=，则112122211129,3131m y y y y m m +=-=--，可得()1211234y y m y y -+=，整理可得1211143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，同理可得2431143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则直线()133313:y y PM y x x y x x -=-+-，令2x =，可得()13133113331313222G y y y y x y x y y x y x x x x ---+=-+=--()()()()()13231113121311231123222222y y m y y m y y m m y y m y m y m y m y --+++-==+-+-，则()1123211213121311m y m y m m BG m m y y m m y y -==---，同理可得21122411m m BH m m y y =--，则21211212241213111141433m m m m m m BH m m y y m m y y ⎛⎫⎛⎫=-=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12123111m m m m y y BG=-=-，所以110BG BH -=为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、21x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.一般地，n 元有序实数组()12,,,n a a a ⋅⋅⋅称为n 维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，⋅⋅⋅）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于n 维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，则a = 若存在不全为零的r 个实数1k ，2k ，⋅⋅⋅，r k ，使得11220r r k a k a k a ++⋅⋅⋅+=u r u u r u u r r ，则称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性相关的，否则，称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性无关的.（1）判断向量组()1,1,1a = ，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- 是否线性相关.（2）已知函数()e xf x =，()1g x ax =+，且()()0f x g x -≥恒成立.①求a 的值；②设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，其中()1n a g n =，若()n b f n =，()n c g n =，数列{}n n b c 的前n 项和为n S ；证明：当*n ∈N 时，217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .【答案】（1）a ，b ，c 是线性无关的（2）①1a =；②证明见详解【解析】【分析】（1）假设a ，b ，c 线性相关，根据题意列方程解得0x y z ===，即可得出矛盾；（2）①令()()()F x f x g x =-，分析可知原题意等价于()0F x ≥对任意x ∈R 恒成立，结合定点法求得1a =；②利用放缩法结合裂项相消法可得12n n S n +>⋅，21n a n <+r ，进而可得21112211n n n n S a n n n n ++⎛⎫->⋅-=- ⎪++⎝⎭r ，结合数列单调性可得17212n n n n +⋅-≥+.【小问1详解】若a ，b ，c 线性相关，则存在不全为零的3个实数,,x y z ，使得0xa ya zc ++=r r r r ，因为()1,1,1a = ，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- ，则()4,22,2xa ya zc x y z x y z x y z ++=-++++-r r r ，可得4022020x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩，解得0x y z ===，故假设不成立，所以a ，b ，c 是线性无关的.【小问2详解】公众号：高中试卷君①令()()()e 1x F x f x g x ax =-=--，则()e x F x a '=-，原题意等价于()0F x ≥对任意x ∈R 恒成立，且()00F =，可得()010F a '=-=，解得1a =；若1a =，则()e 1x F x x =--，()e 1xF x '=-，令()0F x '>，解得0x >；令()0F x '<，解得0x <；可知()F x 在(),0-∞内单调递减，在()0,∞+内单调递增，则()()00F x F ≥=，符合题意；综上所述：1a =；②由①可知：()1g x x =+，则()e nn b f n ==，()1n c g n n ==+，则()()()11e 12212n n n n n n b c n n n n +=+>+=⋅--，可得()()()23211202222122n n n n S n n n ++⎡⎤>-+⨯-+⋅⋅⋅+⋅--=⋅⎣⎦，又因为()()()22211111111n a g n n n n n n ==<=-+++，则22221211111111223111n n a a a a n n n n =++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+=-=+++r ，即12n n S n +>⋅，21n a n <+r ，则21n a n ->-+r ，可得21112211n n n n S a n n n n ++⎛⎫->⋅-=- ⎪++⎝⎭r ，因为*n ∈N ，且1121n n +⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为递增数列，则12117220122n n +-≥-=>+，可得1121n n n +⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭为递增数列，则117721122n n n +⎛⎫-≥⨯= ⎪+⎝⎭，综上所述：217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .【点睛】关键点点睛：对于②：利用放缩结合裂项相消法可得()()112212n n n n n b c n n n +>+=⋅--，()()221111111n a n n n n n =<=-+++，进而分析证明.。
(全国卷)高三数学第一次大联考试题理
（全国卷）2020届高三数学第一次大联考试题 理考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。
2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上。
3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{}{}223,,1A x x x N B x x =-<<∈=> ，则集合A∩B＝A.{2}B.{－1，0，1)C.{－2，2}D.{－1，0，1，2}2.命题“∀x>0，x(x ＋1)>(x －1)2”的否定为；A.20,(1)(1)x x x x ∀>+≤-B.20,(1)(1)x x x x ∀≤+≤-C.20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-D.20,(1)(1)x x x x ∃≤+≤- 3.21232x dx x -+=+⎰ A.2＋ln2 B.3－ln2 C.6－ln2 D.6－ln44.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U AB φ= ”的2,0()0x x f x x -⎧≤⎪=> ，若f(x 0)<2，则x 0的取值范围是A.(－∞，－1)B.(－1，0]C.(－1，＋∞)D.(－∞，0)01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是 A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∨(⌝q)是真命题 D.p∧(⌝q)是假命题 {}{}12,15A x x B x x =-<≤=≤-≤， 定义集合{},,A B z z x y x A y B *==+∈∈，则()B A B **等于 A.{}61x x -<≤ B.{}112x x <≤ C.{}110x x -<≤ D.{}56x x -<≤8.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x － a －x ＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a ，则函数f(x 2＋2x)的单调递增区间为A(－1.1) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)9.如图是二次函数f(x)＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g(x)＝alnx ＋ f’(x)的零点所在的区间是 A.(14，12) B.(12，1) C.(1，2) D.(2，3) ∈R ，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≧1时，函数f(x)＝1x -。
【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学
【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共12题）1．设z＝5+i，则i（+z）＝（）A．10i B．2i C．10D．﹣22．集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A（A∩B）＝（）A．{1，4，9}B．{3，4，9}C．{1，2，3}D．{2，3，5}3．若实数x，y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（）A．5B．C．﹣2D．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（）A．﹣2B．C．1D．25．已知双曲线C：的左、右两个焦点分别为F1（0，-4），F2（0，4），点P （﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．2D．6．设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝﹣x2+（e x﹣e﹣x）sin x的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（）A．B．C．D．8．已知，则＝（）A．B．C．D．9．已知向量＝（x+1，x），＝（x，2），则（）A．“⊥”的必要条件是“x＝﹣3”B．“∥”的必要条件是“x＝﹣3”C．“⊥”的充分条件是“x＝0”D．“∥”的充分条件是“x＝﹣1+”10．已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β③若n∥α，且n∥β，则m∥n④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n其中，所有真命题的编号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①③④11．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则sin A+sin C＝（）A．B．C．D．12．已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2B．3C．4D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（共4题）13．二项式的展开式中，各项系数的最大值是．14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝．15．已知a＞1，，则a＝．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分．（共5题）17．某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：不合格总计优级品合格品品甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）附：，P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818．已知数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝3a n+4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和为T n．19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD=4，AB=BC=EF=2，，FB=，M为AD的中点.（1）证明：EM∥平面BCF；（2）求二面角A﹣EM﹣B的正弦值．20．已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．21．已知椭圆的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．（1）求C的方程；（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．第22题[选修4-4：坐标系与参数方程]；第23题[选修4-5：不等式选讲]（共2题）22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcosθ+1．（1）写出C的直角坐标方程；（2）直线l：（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2，求a的值．23．实数a，b满足a+b≥3．（1）证明：2a2+2b2＞a+b；（2）证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．【答案区】1．【答案】A【解析】【解答】解：据题意，，则，，所以故答案为：A.【分析】利用已知条件先求出，再求出的值，代入即可求出结果2．【答案】D【解析】【解答】解：根据题意，，而，利用代入法求解集合B，可得，此时，所以故答案为：D.【分析】根据集合A与集合B的运算求出集合B的所有元素，进而求出A∩B，即可求出∁A（A∩B）的结果.3．【答案】D【解析】【解答】解：据题意，先画出的可行域：如下图所示：法一：先把三条直线两两相交的交点求出得：，分别将这三点代入z＝x﹣5y，则在A点时，z有最小值为；法二：由化简成：，此时，为的截距，并且截距有最大值，z有最小值，此时，在可行域内平移直线，在A点时，截距有最大值，此时z有最小值为.故答案为：D.【分析】首先画出可行域，法一：先求交点，直接代入交点比较即可得到结果；法二，对先化简得，利用截距最大，得到z的最小值即可得到结果. 4．【答案】B【解析】【解答】解：由S5＝S10，则，化简得：5a1+35d=0，又a5＝1，即解得故答案为：B.【分析】由S5＝S10，a5＝1，化成基本量a1与的，列方程组求解即可得到结果.5．【答案】C【解析】【解答】解：据题意，由F1（0，-4），F2（0，4），则c=4，又P（﹣6，4）在该双曲线上，根据定义有：，根据两点坐标公式得：，，所以2a=4，则a=2；所以故答案为：C.【分析】根据焦点坐标得c得值，根据定义求得a的值，进而求出离心率.6．【答案】A【解析】【解答】解：由f（x）＝，要求在点（0，1）处的切线，则，此时切线斜率利用点斜式，则切线方程为：，即3x-y+1=0；令，则；令，则；所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故答案为：A.【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.7．【答案】B【解析】【解答】解：由f（x）＝﹣x2+（e x﹣e﹣x）sin x，则，所以f(x)为偶函数，根据图象排除AC选项，利用特殊值：当x=1时，，所以B符合.故答案为：B.【分析】先判断函数奇偶性，接着利用特殊值x=1，进而得到结果.8．【答案】B【解析】【解答】解：由，利用齐次式分子分母同时除以得：，解得，则故答案为：B.【分析】利用齐次式化简得，再利用两角和的正切公式求解即可得到结果. 9．【答案】C【解析】【解答】解：＝（x+1，x），＝（x，2）当时，，则，解得或，所以A错误，C正确；同理，当，即，即，所以，BD错误.故答案为：C.【分析】利用平行垂直得坐标运算结合充分条件，必要条件的判断即可得到结果. 10．【答案】A【解析】【解答】解：如图，对①，当，因为，，则，当，因为，，则，当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；对②，若，则与不一定垂直，n可以在面内，故②错误；对③，如图，过直线n分别作两平面与、分别相交于直线l1和直线I2，由，得，同理，根据基本事实四，则，所以.，所以，又∩=m，则，根据基本事实四，则，③正确；对于④，若n与α和β所成的角相等，根据同角定理，则，则④错误.故答案为：A.【分析】借助正方体与直线，平面的位置关系进行判断即可得到结果. 11．【答案】C【解析】【解答】解：由，根据正弦定理有：又因为，即，所以；根据余弦定理，所以，根据正弦定理得：，即，结合，因为所以，因为A，B，C是三角形的内角，所以所以故答案为：C.【分析】根据题意，结合正弦定理化简出得，根据余弦定理与正弦定理化简得，结合完全平方公式展开即可得到结果.12．【答案】C【解析】【解答】解：由a，b，c成等差数列，根据等差中项得：，将，代入直线方程，所以有，化简得：，则直线恒过定点；对于圆的方程x2+（y+2）2＝5，圆心为，半径为，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，要求|AB|的最小值，只需，此时，，利用勾股定理有故答案为：C.【分析】根据题意，先判断出直线的定点坐标，结合圆的几何要素进行判断，当|AB|要取最小值，只需，结合勾股定理即可得到结果.13．【答案】【第1空】5；【解析】【解答】解：根据题意，二项式的通项为：并且假设展开式中第项系数最大，则此时第项系数大于第项系数；并且第项系数大于第项系数，建立不等式进行求解：，解得：，由因为k为正整数，则；所以.故答案为：5.【分析】先设展开式中第项系数最大，此时第项系数大于第项系数；并且第项系数大于第项系数，则建立不等式有，进而求出k即可求解.14．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：据题意，甲乙两个圆台的轴截面都是等腰梯形，可以利用构造直角三角形，结合勾股定理的计算得到圆台的高，即甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），所以甲圆台构造的直角三角形斜边长为：2（r1﹣r2），而其中一条直角边为，则甲圆台的高为：；同理，乙圆台构造的直角三角形斜边长为：3（r1﹣r2），则；此时，故答案为：..【分析】先根据已知条件和圆台结构特征，构造出直角三角形分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式，直接代入计算即可得解.15．【答案】【第1空】64；【解析】【解答】解：由，利用换底公式将式子化成以2为底，即，对式子进行化简得：，即，利用因式分解得，所以或，因为a＞1，所以，所以，即，故答案为：64.【分析】将利用换底公式转化成，接着化简式子，得到进而因式分解得到即可得到结果.16．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，，则，故，，所以，若，则，则为：，故有2种，若，则，则为：，，故有10种，当，则，则为：，，故有16种，当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，当，则，同理有2种，共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为.故答案为：.【分析】利用古典概型的计算公式，先根据题意进行全排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后列出对应事件的数量，进而利用古典概型的计算公式求解即可得到结果.17．【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下所示：优级品非优级品总数甲车间262450乙车间7030100总计9654150将上面的数值代入公式计算得：，又因为，所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）解：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，所以用频率估计概率可得，根据题意，升级改造前该工厂产品的优级品率，则，可知，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.【解析】【分析】（1）将列联表进行补充，并将数值代入公式进行计算得，再进行比较即可得到解果；（2）根据题意先计算出，在代入进行计算比较，即可得到结论. 18．【答案】（1）解：当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.（2）解：，所以故所以，.【解析】【分析】（1）根据题意，由S n与a n之间的关系，利用分类讨论思想求得与的表达式，结合化简即可得到结果；（2）利用错位相减法求解即可得到结果.19．【答案】（1）证明：根据题意，因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）过B作交于，连接，因为四边形为等腰梯形，，所以，由（1）可知为平行四边形，则，又，所以为等边三角形，为中点，根据直角三角形OBA，所以，又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，利用勾股定理得，所以，所以两两垂直，所以以方向为轴，方向为轴，方向为轴，如图建立空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，则，又，即，则，所以，则，故二面角的正弦值为.【解析】【分析】（1）根据题意，由得到四边形为平行四边形，进而证明，结合直线与平面平行的判定定理即可得到结果；（2）作交于，连接，易证三线两两垂直，利用建系法求出二面角夹角余弦公式即可得到结果.20．【答案】（1）解：当时，f(x)的定义域为，所以，故，因为在上为增函数，根据单调性的性质，所以在上为增函数，又因为，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.（2）解：因为，所以，设，则，当时，，故在上为增函数，又，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍去.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍去；综上，.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性结合零点存在性定理（考察隐零点问题）即可求出函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，根据、、进行分类讨论后可得参数的取值范围.（分离参数，进行求导运算同样也是可以拿分的）21．【答案】（1）解：设，由题设有且，故，解得，，故椭圆方程为.（2）解：直线的斜率必定存在，设，，，由可得，故，故，又根据韦达定理得：，而，故直线，故，所以，故，即轴.【解析】【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴.22．【答案】（1）解：由，将代入，故可得，两边平方后得：.（2）解：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为.联立，得，，所以，设，根据韦达定理，所以，则，解得【解析】【分析】（1）根据公式即可得到的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入的直角方程，将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求的值.23．【答案】（1）证明：因为，当时等号成立，则，因为，所以；（2）证明：【解析】【分析】（1）直接利用，利用放缩法，结合做差法比较两个式子大小，利用基本不等式即可得到结果.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.。
2023年全国统一高考数学试卷(上海卷)(含答案与解析)
2023年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷考生注意：1.本试卷共5页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分，3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分）1.不等式21x 的解集为.2.若 2,3a r ， 1,2b r ，则a br r .3.已知n S 为等比数列 n a 的前n 项和，且13a ，2q ，则6S .4.已知tan 3 ，则tan 2.5.若函数 2,01,0x x f x x ，则 f x 的值域为.6.已知复数1z i （其中i 为虚数单位），则1iz .7.已知圆2240x y y m 的面积为 ，则m.8.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的三边长分别为a 、b 、c ，若4a ，5b ，6c ，则sin A.9.国内生产总值（GDP ）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP 稳步增长，第一季度和第四季度的GDP 分别为231亿元和242亿元，且四个季度GDP 的中位数与平均数相等，则该市2020年GDP 总额为亿元.10.已知1001002100012100120232023x x a a x a x a x ，其中012100,,,,a a a a R L ，若0,100k 且k N ，则当0k a 时，k 的最大值为.11.某公园欲修建一段斜坡，假设斜坡底端在水平地面上且坡面笔直，斜坡顶端距水平地面的高度为4米，斜坡与水平地面的夹角为 .已知游客从坡底沿着斜坡每向上走1米，消耗的体力为1.025cos （），若要使游客从斜坡底端走到斜坡顶端所消耗的体力最少，则.12.已知空间中存在三点A 、B 、C ，且1AB AC BC .若从空间中再任取不同的两点（不计顺序），使得这两点与A 、B 、C 三点恰好能构成一个正四棱锥，则不同的取法共有种.二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合 1,2P ， 2,3Q ，若M x x P x Q 且，则M （）A. 1；B. 2；C. 1,2；D. 1,2,3.14.如图，是某校随机抽取50名学生的身高与体重的散点图，则下列说法正确的是（）A.身高越高，体重越重；B.身高越高，体重越轻；C.身高与体重成正相关；D.身高与体重成负相关.15.设0a ，函数sin y x 在 ,2a a 上的最小值a S ，在 2,3a a 上的最小值为a t ，当a 变化时，则下列选项不可能的是（）A.0,0a a S t B.0,0a a S t C.0,0a a S t D.0,0a a S t 16.在平面上，若曲线 具有如下性质：存在点M ，使得对于任意点P ，都有Q 使得1PM QM ，则称这条曲线为“自相关曲线”，关于以下两个结论，正确的判断是（）①所有椭圆都为“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”A.①成立，②成立； B.①成立，②不成立；C.①不成立，②成立；D.①不成立，②不成立.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D 中，AB CD ∥,AB AD ,2AB ,3AD ,4DC .（1）求证：111A B DCC D 直线∥；（2）若直四棱柱1111ABCD A B C D 的体积为36，求二面角1A BD A 的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 231x a x cf x x a，其中,a c R .（1）当0a 时，求 f x 的定义域，并判断是否存在实数c ，使得f x （）是奇函数；（2）若函数 f x 的图象过点 1,3，且与x 轴的负半轴有两个焦点，求实数c 的值和实数a 的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）第二十届上海国际汽车工业展览会于2023年4月18日在上海国家会展中心举行.某汽车企业准备了25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A 为小明取到的模型为红色外观，事件B 为小明取到的模型有米色内饰.求P B （）与P B A （），并据此判断事件A 和事件B 是否独立；（2）为了回馈客户，该汽车企业举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.根据活动规则，现作出如下假设：该公司举行了一个抽奖活动，并规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这25个汽车模型中抽取两个，现有如下假设：假设1：抽取所得的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰均为异色、只有外观或只有内饰同色；假设2：根据三种结果的可能性大小，概率越小的结果可获得的奖项越高；假设3：奖金额为一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元.请你帮该汽车企业分析假设1中的三种结果分别对应什么奖项.设奖金额为X 元，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知抛物线24y x ：，A 为第一象限内曲线 上的点，设A 的纵坐标是a .（1）若点A 到抛物线 的准线距离为3，求a 的值；（2）若4a ，点B 在x 轴上，且AB 的中点在抛物线 上，求点B 的坐标和坐标原点O 到直线AB 的距离；（3）已知直线:3l x ，P 是第一象限内曲线 上异于点A 的点，直线PA 交l 于点Q ，且P 在直线上的投影为点 H .若对于任意点P ，4HQ 恒成立，求a 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数 ln f x x ，过点11,a f a 作曲线 y f x 的切线交y 轴于点 20,a ，再过点22,a f a 作曲线 y f x 的切线交y 轴于 30,a ，若30a则停止.以此类推，得到数列 n a .（1）若正整数2m ，证明：1ln 1m m a a ；（2）若正整数2m ，试比较m a 与12m a 大小；（3）若正整数3k ,是否存在k 使得12,,,k a a a L 依次成等差数列？若存在，求出k 的所有取值；若不存在，请说明理由.【参考答案】1.【答案】|13x x 【解析】绝对值不等式的解法由21x 得121x ,即13x ,故不等式21x 的解集是13xx .2.【答案】4【解析】平面向量数量积的坐标运算21324a b .3.【答案】189【解析】等比数列的前n 项和66631232118912S.4.【答案】34【解析】22tan 3tan21tan 4.5.【答案】1, 【解析】当0x 时, 2xf x 单调递增, 1f x ；当0x 时, 1f x .故 f x 的值域为 1, .6.【解析】∵1z i ，∴ 111112i z i i i i ，∴12i z i 7.【答案】-3【解析】由2240x y y m 得22(2)4x y m ,故半径r ∴ 4m ,解得3m .8.【答案】74【解析】由余弦定理得222222564453cos 22562564b c a A bc ，∴sin 4A.9.【答案】946【解析】依题意,将2020年四个季度的GDP 数据分别记为1234,,,a a a a ,则1232a ,4241a ，四个季度GDP 数据的中位数为 2312a a ,平均数为 123414a a a a ,则2312341124a a a a a a ,∴2314473a a a a ，故该市2020年的GDP 总额为 1234142946a a a a a a （亿元）.10.【答案】49【解析】k x 的系数为1001002100100100C 2023C 2023(1)C 202312023(1),0,1,2,,100k k k k k k k k kk a k ,要使0k a ,则k 必为奇数,且100220231k ,∴10020k 即50k ，∴k 的最大值为49.11.【答案】9arctan40（或40arccos 41或9arcsin 41）【解析】解法一：易求斜坡的长度为40sin 2,则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能41.025cos sin T,即sin 4cos 4.1T4.1 ,其中锐角 满足4tan T,（提示:辅助角公式）4.1,得0.9T ,当且仅当2时取等号,此时,40tan 9，9tan 40 ，9arctan 40 .解法二：仿上得 4.14cos sin T,设tan 2t ,则2sin2sin 1cos 22sin cos 2sin cos 222,结合22sin cos 1 ,可得22sin 1t t ,221cos 1i t,则222411414.14cos 0.18.10.18.10.9sin 2222t t t t T t t t,当且仅当20.18.1t ,即19t时取等号,此时229tan 140t t ，9arctan 40.解法三：仿上得 4.14cos sin T ,则 2224sin 4.14cos cos 441cos sin sin T,令0T ,得40cos 41 ,40arccos 41,当40cos 41 ,即400,arccos 41时,'0T ,当40cos 41,即40arccos ,412时,0T ,故当T 最小时,40arccos41.12.【答案】9【解析】由题意得ABC 为正三角形,根据正四棱雉的定义知,正四棱锥的底面是正方形,顶点在底面的射影是正方形的中心,故所给正ABC 的任意一条边可以为底面正方形的一条边或对角线,将ABC 的一条边作为底面正方形的一条边,若将BC 作为底面正方形的一条边,可在ABC 的左侧取不同的两点,E F ,使得这两点与,,A B C 构成正四棱雉A BCEF ,在ABC 的右侧取不同的两点,E F ,使得这两点与,,A B C 构成正四棱雉A BCE F ,如图1,同样,,AB AC 也可作为底面正方形的一条边,所以方案数为326 ；将ABC 的一条边作为底面正方形的对角线时,若将BC 作为底而正方形的对角线,可构造一个正四棱锥,如图2,同样,AB AC 也可作为底面正方形的对角线,所以方案数为3.故不同的取法有639 （种）.13.【答案】A【解析】由{}M xx P x Q ∣且知, 1M .故选A .14.【答案】C【解析】由题图可知,各数据分布呈线性,且从左向右看,呈现上升趋势,故身高与体重成正相关.故选C.15.【答案】D【解析】取8a ,则sin y x 在区间,84 上的最小值sin 08s ,在区间3,48上的最小值sin04t,选项A 可能成立；取38a ,则sin y x 在区间3384，上的最小值3sin04s ,在区间39,48上的最小值9sinsin 088t,选项C 可能成立；取98a,则sin y x 在区间9984，上的最小值10s ,在区间927,48上的最小值273sinsin 088,选项B 可能成立.故选D.16.【答案】B【解析】对于命题①,设椭圆2222:1(0)x y C a b a b的长轴为AB ,在AB 的延长线上能找到一点M ,使1MA MB .（注:设MB t ,则2MA t a ， 21t t a ，2210t at （*）,2Δ440a 恒成立,且易知方程（*）的两根异号,t 一定存在,即M 存在）不妨设 00,0M x x a ,则0maxPMa x ,0minPMx a即 00,PM x a x a ,易知QM 也在此范围内,不妨让PM 取最大值,QM 取最小值,假设1PM QM 成立,则 001x a x a ,得0x故存在M使假设成立,当0x PM 由0x a 逐渐减小为0x a ,则一定有 00,QM x a x a ,使得1PM QM ,故存在点M ,使得对于任意的点P C ,都有Q C 使得1PM QM ,∴椭圆C 是“自相关曲线”.由椭圆的性质知所有椭圆都是“自相关曲线”,故①为真命题.对于命题②,由题意,点P 的位置不固定且双曲线不封闭,PM 可取无穷大.如果M 在双曲线上,则会存在P 和M 重合的情况,不符合题意,故M 不在双曲线上.假设存在点M ,使得对于任意的ΓP ,都有ΓQ 使得1PM QM ,若PM 取无穷大,则0QM ,∵ΓQ ，ΓM ，∴QM 不会趋近于0,故假设不成立,不存在是“自相关曲线”的双曲线,故②为假命题.故选B.17.【答案】解:（1）解法一∵//AB DC ，11AB DCC D 平面平面，11CD DCC D 平面,∴11//AB DCC D 平面.∵11//AA DD ，111AA DCC D 平面，111DD DCC D 平面,∴111//AA DCC D 平面.又1AB AA A ，∴1111//ABB A DCC D 平面平面.又111A B ABB A 平面，∴111//A B DCC D 平面.解法二：如图a ,取CD 的中点E ,连接BE ,1D E ，则2DE ，∵//AB DC ,2AB ，AB DE P ,四边形ABED 为平行四边形,∴BE AD P.又11AD A D P,∴11BE A D P, 四边形11A D EB 为平行四边形,∴11//A B D E ,又111D E DCC D 平面，111A B DCC D 平面,∴111//A B DCC D 平面.（2）由题, 124392ABCD S梯形,又直四棱柱1111ABCD A B C D 的体积为36,∴1936AA ，∴14AA .（8分）解法一：如图b,过A 作AH BD 于H ,连接1A H .∵1AA ABCD 平面，BD ABCD 平面,∴1AA BD .AH BD ,1AA AH A ，1BD AA H 平面,∴1A H BD .1A HA 为二面角1A BD A 的平面角.在Rt ABD V 中,AB AD 2AB ，3AD ,可得613AH ，在1Rt A AH V 中,114213tan 6313AA A IIA AH ,∴1213arctan 3A HA ，即二面角1A BD A 的大小为213arctan3.（14分）解法二：由题,以D 为坐标原点,分别以1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r 的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图c 所示的空间直角坐标系,则 0,0,0D ， 3,2,0B ，13,0,4A ∴ 3,2,0DB u u u r ， 13,0,4DA u u u r .（9分）显然平面ABD 的一个法向量为 0,0,1n .(10分）设平面1A BD 的法向量为 ,,m x y z ,则320340x y x z ,不妨取 4,6,3 m .设 为n与m的夹角, 为二面角1A BD A的平面角,由题意知 为锐角,则cos cos61,因此arccos61,二面角1A BD A的大小为arccos61.18.解：（1）当0a 时,2x x cf xx,（2分）∴ 12f c, 1f c显然11f f,（4分）当0a 时,f x不可能为奇函数,当0a 时,不存在c,使得f x为奇函数.（6分）（2）由题意得131131a cfa,∴3233a c a,1c,（8分）∴2311x a xf xx a.f xQ的图象与x䌷负半轴有两个不同交点,关于x的方程23110x a x有两个不同负实数根12,x x,且1x a,2x a，（10分）∴122122310311010Δ(31)40x x aa a ax xa,（易错警示:转化时应特别注意前后条件的等价性）（12分）得13a 且12a ,实数a的取值范围为111,,322.（14分）19.解:（1）由题意得,231255P B,（2分）822255P A , 225P AB ，则 2125255P AB P B A P A ∣.∵ P AB P A P B ，∴事件A 和事件B 独立.（2）记外观与内饰均同色为事件1A ,外观与内饰都异色为事件2A ,仅外观或仅内饰同色为事件3A ,则 22228122312259849300150C C C C P A C , 1111832122225C C C C 484C 30025P A ,（8分） 1111111182123812233225C C C C C C C C 15477C 300150P A ,(9分）∵ 213P A P A P A ,一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色,二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色,三等奖为两个汽车模型仅外观或内饰同色.（10分）X的分布列如表:7749415030060027115015025E X （14分）20.解:（1）由题意,Γ的准线方程为1x ,2,4a A a，则2134a ,得28a .（3分）又0a，∴a （2）由题意知, 4,4A ,设 ,0B b ,则AB 中点的坐标为4,22b,代入24y x ,得 424b ∴2b ,点B 的坐标为 2,0 .（6分）则直线AB 的斜率为 402423, 直线AB 的方程为 223y x ,即2340x y . 坐标原点O 到直线AB13 .（10分）（3）由题意知,2,4a A a,设 2000,04y P y y ,则 03,H y ,直线AP 的斜率02200444AP a y k y a a y 直线AP 的方程为2044a y x a a y,∴204343,a Q a a y（12分）∴222000000001212124a a ay ay y HQ y y a y a y a y 恒成立, 22200000121322444y y a y y y 即 200120,,4a y y a a 恒成立.当2a 吋,由0y a 得02y ,则 201224a y恒成立；当20a ,即2a 时, 201224a y 恒成立.综上,a 的取值范围是 ,2 .（16分）21.解:（1）由题得, 1f x x,当正整数2m 时,曲线 y f x 在点 11,m m a f a 处的切线方程为1111m m m yf a x a a ,即 1111ln m m m y a x a a .又此切线交y 轴于点 0,m a ,∴1ln 1,m m a a ∴1ln 1m m a a .（2）当正整数2m 时, 111112ln 12ln 1m m m m m m a a a a a a .ln 1,g x x x 令则 111xg x x x ,当01x 时, 0g x ， g x 单调递增,当1x 时, 0g x ， g x 单调递减,∴ 10g x g ，则11ln 10m n a a ,即 120m m a a ,∴12m m a a .（3）假设存在正整数3k ,使得12,,,k a a a 依次成等差数列,设其公差为d ,则111ln 12t s t t d a a a a t k 令 ln 1h x x x ,则 11h x x ,当01x 时, 0h x ， h x 单调递增,当1x 吋, 0,h x h x 单调递减,∴ max ()12h x h ，即 2h x ，此时2d ,当0x 时, h x ,当x 时, h x ,因此直线y d 与 h x 的图象最多有两个交点,即最多三项成等差数列,(15分）故存在3k ,使得123,,a a a 成等差数列.下面证明3k 时,123,,a a a 成等在数列,即1322a a a .由（1）知,21ln 1a a ,32ln 1a a ，则211e a a ，∴3122e ln 12a a a （16分）记函数 1e ln 12x H x x x ,则 11e 2x H x x,易知 0H x 在 0, 恒成立,∴ H x 在 0, 单调递增.易得 0.10H , 10H ， H x 在 0.1,1上有唯一零点2a .故假设成立,存在3k ,使得123,,a a a 成等差数列.。
2022年【学科网学易大联考】第一次全国大联考【新课标I卷】理科数学(学生版)
侧视图正视图【学科网学易大联考】2022年第一次全国大联考【新课标I 卷】理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合,,则（ ）A. B. C. D. 2. “”是“复数为纯虚数”的（）A ．充分但不必要款件B ．必要但不充分款件C ．充要款件D ．既不充分也不必要款件3.已知函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,两个图象的零点重合,则不可能的值为（ ）A.B.C.D. 4. 为预防部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方式种数为（ ）A ．B ．C ．D ．5. 已知函数是定义在区间上的偶函数（）,且,则( )A ．1B ．C ．D ．6. 如图为某几何体的三视图,求该几何体的内切球的表面积为( ) A ．π B ．3π C ． 4π D ．π7. 若不等式组表示的区域Ω,不等式表示的区域为Γ,向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻,则落在区域Γ中芝麻数约为( )A ．114B ．10C ．150D ．502211y 24x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭{}|2A x x =≤{|B x y ==A B = []1,2[]0,2(1,2][)1,0-1m =21z m mi =+-()sin f x x =m ()cos(3f x x π=+m 6π3π76π56π-53150180200280()g x 2[3,]m m m ---0m >()()()()21,0||,0x x f x f x m x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩()2016f =29101443⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+.021,01,01y y x y x第11题图8. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为-4时,则款件框内应填写（ ）A ． B ． C ．D ．9. 已知直线：与曲线：恒有公共点,则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．10.直三棱柱中,底面是正三角形,,若是△中心,且三棱柱的体积为,则与平面所成的角大小是（ ）A.B.C.D.11. 如图,已知、为双曲线：的左、右焦点,点在第一象限,且满足 ,,线段与双曲线交于点,若,则双曲线的共轭双曲线的渐近线方程为()A ．B ．C ．D ．12. 已知函数,,在上的最大值为,当时,恒成立,则的取值范围（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将结果填在答题纸上）13. 总体编号为01,02,…19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体,选取方式是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为．7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 01983204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 718114. 在四边形中,,,,则在上的投影为.3?i >5?i <4?i >4?i <1y kx k =-+C 222x y m +=m 3m ≥3m ≤3m >3m <111ABC A B C -P 111A B C 94PA ABC 6π4π3π23π1F 2F C 22221(0,0)x y a b a b-=>>P 2||F P a = 1122()0F P F F F P +⋅=2PF C Q 225F P F Q =C 'C y =12y x =±y =y =2()ln ()f x x ax a x a R =--∈6225)(23-++-=x x x x g )(x g ]4,1[b [)1,x ∈+∞b x f ≥)(a 2a ≤1a ≤1a ≤-0a ≤ABCD //AB CD 0AB BC ⋅= 222AB BC CD ===AD CA15. 已知数列满足,,,,则 ．16. 过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为E,延长FE交抛物线于点P,O 为坐标原点,若,则双曲线的离心率为________．三、解答题 （本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）设数列满足,,,（1）求数列的通项公式。
全国大联考2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析
全国大联考2025届高三第五次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ） A ． B ． C ． D ．2．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A ．10 B ．3 C ．5D ．2 3．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）A ．82B ．8C ．42D ．44．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( )A ．0B ．2πC ．πD ．32π 5．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．6 6．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A 3B ．33C ．32D 37．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c << 8．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74 B ．114 C ．94 D ．1349．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．1210．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若PA AB =，则球O 的表面积为（ ） A ．163π B ．94π C ．6πD ．9π 12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( )A ．5B ．15CD ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高三4月学科网大联考(全国乙卷)理科数学参考答案
2023年高三4月大联考（全国乙卷） 理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 【解析】由题意，知21i (1i)i i i i 1=1i i i 11z ，则zz =22(1i)(1i)1i 1(1)2 ，故选B ．2．C 【解析】由e 2x ，得ln 2x ，所以{|ln 2}B x x .又{|31}A x x ，0ln 21 ，所以A B {|3ln 2}x x .故选C ．3．D 【解析】易知抛物线22(0)x py p 的焦点为(0,)2F p.因为点(2,)P m 在抛物线C 上，所以2m p .根据抛物线的定义，得2||22pPF p ，即2440p p ，解得2p ，所以(0,1)F .故选D ．4．A 【解析】A 选项，2022年8月同比增长率为负数，说明2022年8月原油产量低于2021年8月，故A 正确； B 选项，2021年9月至2021年12月的原油产量的同比增长率呈逐月下降趋势，但均大于0，则原油产量依然可能会增加，故B 错误；C 选项，虽然2022年4月的同比增长率最高，但如果2021年4月原油产量比2021年3月低较多，那么增加量也不一定最大，故C 错误；D 选项，因为3.94 3.6 3.63(0.2) 1.4 2.5 2.92.79，所以2022年3月至11月的同比增长率的平均数约为2.7%，故D 错误.故选A ．5．A 【解析】由B ，M ，D 三点共线，可设1)0(BM xBD x ,则()AM AB x AD AB， 所以(1)2x AM AC x AB ，所以22(1)AM x AB xAC .又2AM AB AC,所以2(1)1x x，所以12x．故选A ． 6．C 【解析】如图，设H 为底面正方形ABCD 的中心，G 为BC 的中点，连接,,PH HG PG ，则,PH HG ,PG BC 所以PG 13.16 ， 则14422PBCABCDBC PGS PG S AB BC AB△正方形26.32 1.3719.2 ，故选C ．7．D 【解析】令sin cos t ，则22(sin cos )1sin 2t ，所以sin 21sin cos 可化为220t t ，解得1t 或2t ，而sin cos [4，所以sin cos 1 ．故选D ．8．D 【解析】因为函数(1)y f x 的图象关于坐标原点O 中心对称，所以(1)f x 为奇函数，所以()()110f x f x ，令0x ，得2(1)0f ，所以(1)0f .令3x ，得4(20)()f f ，所以()2(4)f f .因为当1x 时3,()1f x x ，所以(4)1f ，所以()12f ，所以(2)(1)101f f ．故选D ．9．B 【解析】易知直线l ：10kx y k 过定点()1,1Q ，且点Q 在圆O 内，当Q 是弦AB 的中点时，弦长AB 最小，此时||AB =()()PA PB PQ QA PQ QB 221||||4PQ AB 2||2PQ .当P 是线段QO 的延长线与圆O 的交点时，|PQ |最大，且最大值是2PA PB的最大值是2(22 4 ．故选B ．10．B 【解析】由正弦定理及1cos 2cos c a C A ，得sin 1cos sin 2cos C C A A， ∴sin sin cos 2sin cos sin A A C C A C ，∴sin sin cos cos sin 2sin A A C A C C ，即sin sin()2sin A A C C ， ∴sin sin 2sin A B C ，∴由正弦定理，得2.a b c 又4a b ，∴ 2.c ∵22222()4cos =12212262ab a b c a b C ab ab ab abab.∵a b ，∴4ab ，当且仅当2a b 时等号成立，∴614o 2c s 1C ，∴03C，∴0sin C.故选B ． 11．D 【解析】将平行四边形ABCD 补成如图1所示的矩形AC CA ，在矩形AC CA 中（如图1所示），设,AB b BD a ，则22244AC a b .如图2，沿对角线BD 折起后的三棱锥A BCD 的外接球也是直三棱柱ABC A DC 的外接球，且在ABC △中，120ABC ，所以30BAC AC B ．设ABC △的外接圆1O 的半径为r ，由正弦定理，得22sin sin 30AB br b AC B，则r b .设三棱锥A BCD 外接球的球心为O ，半径为R ，连接11,,OB OO BO ，则22222222111(24AA R OB O O BO r a b221(4)14a b ，所以1R ，所以所求外接球的表面积为4 ．故选D ．图1 图212．B 【解析】由题意，知0,a 令()e e ,0x a f x x a x ，则()e 10x f x ，所以()f x 在区间(0) ，上单调递增，易知()0f a ，所以当x a 时，()0f x ； 当0x a 时，()0f x .令21()e 2ln 1x x a a g x ，则对任意的(0)x ，，不等式21(e e )(e x a x x a x 2ln 1)0a a 恒成立， 等价于当x a 时，()0g x ；当0x a 时，()0g x . 易知21()e 2ln 1x x a a g x 在区间(0,) 上单调递增，所以x a 是21()e 2ln 1x x a a g x 的零点，即21e 2ln 10a a a a ， 即212ln e 1a a a a ，所以2ln 1e 2ln e 1a a a a . 构造函数()e t h t t ，显然h (t )在R 上单调递增，由2ln 1e 2ln e 1a a a a ，得(2ln )(1)h a h a ，所以2ln 1a a ，即2ln 10a a .令()2ln 1a a a ，显然()a 在区间(0) ，上单调递增，易知(1) =0，故1a ．故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ)正式版含答案解析
绝密★启用前2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−5<x 3<5}，B ={−3,−1,0,2,3}，则A ∩B =( ) A. {−1,0} B. {2,3} C. {−3,−1,0} D. {−1,0,2}2.若z z−1=1+i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.已知向量a ⃗=(0,1)，b ⃗⃗=(2,x)，若b ⃗⃗⊥(b ⃗⃗−4a ⃗⃗)，则x =( ) A. −2B. −1C. 1D. 24.已知cos(α+β)=m ，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=( ) A. −3mB. −m3C. m3D. 3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√ 3，则圆锥的体积为( ) A. 2√ 3πB. 3√ 3πC. 6√ 3πD. 9√ 3π6.已知函数为f(x)={−x 2−2ax −a,x <0,e x +ln(x +1),x ≥0在R 上单调递增，则a 取值的范围是( )A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)7.当x ∈[0,2π]时，曲线y =sinx 与y =2sin(3x −π6)的交点个数为( ) A. 3B. 4C. 6D. 88.已知函数为f(x)的定义域为R ，f(x)>f(x −1)+f(x −2)，且当x <3时，f(x)=x ，则下列结论中一定正确的是( ) A. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)<1000D. f(20)<10000二、多选题：本题共3小题，共18分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
保密★启用前 试卷类型：A
全国学科大联考高考考试试卷
数学 科试 题 命题人：
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考场座位号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
考试时间：120分 总分：150 共计22题
第Ⅰ卷（选择题 共12题，总计60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．奇函数y =f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为（ ）
2. 设a >b >c ，且
c
a n
c b b a -≥-+-11，则n 的最大值为 （ ） A.2
B.3
C.4
D.5
3．命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则 （ ） A.甲是乙的充分非必要条件； B.甲是乙的必要非充分条件；
C. 甲是乙的充要条件；
D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.
4．函数1)4
2(sin )42(
cos )(22
-++-=π
πx x x f 是 （ ） A.周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数 D 。
周期为2π的偶函数
5．双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x -2y +20=0上，两焦点关于原点对称，3
5
=a c ，
则此双曲线的方程是（ ）
A.
136642
2-=-y x B.
136
642
2=-y x C.
164
362
2-=-y
x D.
164
362
2=-y x 6. 函数x x x f +=3)(，R x ∈，当2
0π
θ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m
的取值范围是 （ ）
A. )1,0(
B. )0,(-∞
C. )2
1
,(-∞ D 。
)1,(-∞ 7. 已知函数)(x f y =的定义域为R ，它的反函数为)(1
x f
y -=，如果)(1a x f y +=-与
)(a x f y +=互为反函数且a a f =)(。
（a 为非零常数）则)2(a f 的值为 （ ） A ．a - B 。
0 C 。
a D 。
a 2
8．数列}{n a 满足12
1,1221
0,2{1<≤-<
≤=+n n n n n a a a a a ，若761=a ，则2004
a 的值为（ ） A.76 B. 75 C. 73 D 。
7
1 9．设直线0543=-+y x 的倾斜角为θ ，则该直线关于直线a x =（R a ∈）对称的直线的倾
斜角为 （ ） A.
θπ
-2
B. 2
π
θ-
C. θπ-2 D 。
θπ-
10. 若对于任意的],[b a x ∈，函数)(x f ，)(x g 满足10
1
|)()()(|
≤-x f x g x f ，则称在],[b a 上)
(x g 可以替代)(x f 。
若x x f =)(，则下列函数中可以在[4，16]替代)(x f 是 （ ）
A.2-x
B.
4x C. 5
6
+x D 。
62-x 11．已知x ，y 满足不等式组22224222+-++=⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤+≤y x y x t y y x x
y 则的最小值为 （ ）
A ．
5
9 B ．2 C ．3
D ．2
12．ABCD-A 1B 1C 1D 1单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”。
白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→……，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2与第i 段所在直线必须是异面直线(其中i 是自然数)。
设白，黑蚂
蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是 （ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、0
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题目中的横线上。
） 13．不等式043)4(2≥---x x x 的解集是 。
14. 把函数y=2x 2-4x+5的图象按向量a 平移,得到y=2x 2的图象,且a ⊥b ,c =(1,-1),b •c =4,则b =___________
15．已知函数)(x f 满足：)()()(q f p f q p f ⋅=+，3)1(=f ，则
)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f ++)
9()
10()5(2f f f += 。
16．在等比数列}{n a 中，若19=a ，则有等式n n a a a a a a -=172121 ，),17(*
∈<N n n 。
类比上述性质，相应的在等差数列}{n b 中，若09=b ，则有等式 成立。
三、 解答题：本大题共6小题，共74分，要求写出必要的解答过程，否者不能得分。
17. （本题满分12分）已知集合{}{}
222
2|190,|log (58)1A x x ax a B x x x =-+-==-+=，
集合{
}
2
28
|1,0,1x
x C x m
m m +-==≠≠满足Φ=⋂Φ≠⋂C A B A ，，求实数a 的值。
18.(本小题12分) 已知2)11(
)(+-=x x x f )1(>x ，（1）若2)
(1
)(1++=-x x f x g ，求)(x g 的
最小值；（2）若不等式)()()1(1x m m x f x -⋅>⋅-
-对于一切]2
1
,41[∈x 恒成立，求实数m
的取值范围。
19.（本题满分12分）已知向量 a =(1,1),b =(1,0),c 满足a ∙c=0且|a|=|b|,b ∙c >0. 1).求向量c ；2）若映射=→),(),(:''y x y x f x a +y c ,
①求映射f 下（1，2）的原象；
②若将（y x ,）看作点的坐标，问是否存在直线l 使得直线上的任一点在映射f 的作用下点仍在直线上，若存在求出直线l 的方程，否则说明理由。
20．（本小题12分）学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A 、B 两样特色菜可供选
择（每个学生都将从二者中选一），调查资料表明，凡是在本周星期一选A 菜的，下周星期一会有20％改选B ，而选B 菜的，下周星期一则有30％改选A ，若用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 、B 菜的人数。
（1）试以A n 表示A 1+n ；（2）若A 1=200，求{A n }的通项公式； （3）问第n 个星期一时，选A 与选B 的人数相等？
21．（本小题满分12分）设1p ，2p 分别是直线3x y -
=和3
x
y =上的动点，（1p ，2p 两点的纵坐标符号相同），O 是坐标原点，且△21Op p 的面积为9。
①求线段21p p 的最小值；②求线段21p p 的中点M 的轨迹方程；③设点p 是直线21p p 上的点，且点p 分有向线段21p p 所成的比是λ（1-≠λ），求点p 的轨迹方程。
22．（本题满分14分）对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点),(00y x 为函数的不动点。
（1）已知函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与
b 的值；（2）若对于任意实数b ，函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，求a
的取值范围；（3）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。