第9章 投资组合理论

ij ij 则有：covij ij ij i j i j
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（3）资产组合的风险：
covij xi x j
2 p i 1 j 1
N
N
其中当i j时， covij 表示证券i证券j的收益的协方差， 反映了两种证券的收益 在一个共同周期中变动 的相 关程度。 协方差与相关系数 存在下列关系： covij ij i j 当i j时， covij i j ，即ij 1
当 0，表明两种证券的收益完全无关
p x12 12 x2 2 2 2
当 1，表明两种证券的收益完全正相关
p ( x1 1 x2 2 ) 2 x1 1 x2 2
由此可见，当相关系数从-1变化到1时，证券组合的风险 逐渐增大。除非相关系数等于1，二元证券投资组合的风险始 终小于单独投资这两种证券的风险的加权平均数，即通过证 券组合，可以降低投资风险。
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（1）协方差(covariance)：是测量两个随机变量之间 的相互关系或互动性的统计量。 资产组合的协方差是测度两种资产收益互补程度的 指标。它测度的是两个风险资产收益相互影响的方 向与程度。 协方差为正意味着两种资产的收益同方向变动，为 负则意味着反方向变动。相对小的或0值的协方差 表明：两种证券之间的回报率之间只有很小的互动 关系或没有任何互动关系。

马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问 题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文， 1959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还 给出了如何进行正确的分散方法。
马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进 行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法 证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人 们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供 最大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。
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例题 假定投资者选择了A和B两个公司的股票作为 组合对象，有关数据如下： _ _
rA 0.25, rB 0.18,
_ _ _
A
0.08, B 0.04
1 当x A x B 时, 2 1 1 rp rA rB 0.215 2 2
2 2 2 2 p xA A xB B 2 x A xB A B AB
收益rp
风险σp
28
总结：可行集的两个 性质
1) 在n种资产中，如果 不可能的可行集 至少存在三项资产 彼此不完全相关， 则可行集合将是一 收益rp A 个二维的实体区域。 2) 可行区域是向左侧 凸出的。因为任意 两项资产构成的投 资组合都位于两项 资产连线的左侧。
29
B
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1.3资产组合的可行集和有效集
1. 可行集与有效集
可行集：资产组合的机会集合（portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合 的期望收益和方差。 有效组合（efficient portfolio ）：根据既定风险 下收益最高或者既定收益下风险最小的原则建立 起来的证券组合。每一个组合代表一个点。
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（2）相关系数：
为了更清楚地说明两种证券之间的相关程度，通常把 协方差正规化，使用证券i和证券j的相关系数ij。 相关系数与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标 准差之积等于它们的相关系数。 相关系数范围在－ 1 和 +1 之间，－ 1 表明完全负相关， +1 表明完全正相关，多数情况是介于这两个极端值之 间。 相关系数的计算公式为：
收益rp
•P
20
风险σp
（2）两种完全正相关资产构成的组合的可行集： 两种资产完全正相关，即ρ12 ＝1，则有
p ( w1 )＝w1 1 (1 w1 ) 2
rp ( w1 ) w1r1＋(1 w1 ) r2 当w1＝1时， p＝ 1，rp r1 当w1＝0时， p＝ 2，rp r2 所以，其可行集连接两点 （r1， 1）和（r2， 2）的直线。
6
通过这些假设，模型将情况简化为一 种极端的情形：证券市场是完全市场， 每一个人都有相同的信息，并对证券 的前景有一致的看法，这意味着投资 者以同一方式来分析和处理信息，每 一个人采取同样的投资态度，通过市 场上投资者的集体行为，可以获得每 一证券的风险和收益之间均衡关系的 特征。
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1.2资产组合的风险与收益
0.042 0.022 0.001 AB 当 AB 1时， p 0.06； 当 AB 0时， p 0.045 ； 当 AB 1时， p 0.02；
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总结： 组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因 此，它使组合的收益可能低于组合中收益最大 的证券，而高于收益最小的证券。 只要组合中的资产两两不完全正相关，则组合 的风险就可以得到降低。 只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收 益和风险相同，则随着组合的风险降低的同时， 组合的收益等于各个资产的收益。
有效集（efficient set） ：又称为有效边界 （efficient frontier）,它是有效组合的集合（点 的连线） ，即在坐标系中有效组合的预期收益和 风险的组合形成的轨迹。
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2. 两种风险资产构成的组合的风险与 收益（可行集）
（1）若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，
资产组合理论
1.1资产组合理论的基本假设 1.2资产组合的风险与收益 1.3资产组合的可行集和有效集 1.4最优风险资产组合的决定
1
1.1资产组合理论的基本假设
1.现代证券组合理论（Modern Portfolio Theory）是关 于在收益不确定条件下投资行为的理论， 它由美国经济学家哈里· 马科维兹在1952年率先提出。 该理论为那些想增加个人财富，但又不甘冒风险的投资 者指明了一个获得最佳投资决策的方向。 风险与收益相伴而生。即投资者追求高收益则可能面临 高风险。投资者大多采用组合投资以便降低风险。但是， 分散化投资在降低风险的同时，也可能降低收益。 马科维兹的证券组合理论就是针对风险和收益这一矛盾 而提出的。
所有投资者都有相同的投资期限，即投 资者的投资为单一投资期，多期投资是 单期投资的不断重复。 对于所有投资者，无风险利率相同； 对于所有投资者，信息是免费的且是立 即可得到的； 投资者具有相同的预期（同质期望）， 所有投资者对期望回报率、标准差和证 券之间的协方差有相同的理解，即他们 对证券的评价和经济形势的看法都一致。
1. 资产组合（portfolio）：是使用不同的证券和其他 资产所构成的集合。 任何投资者都希望获得最大的回报，但较大的回报伴 随着较大的风险。资产组合的目的是：通过多样化来 分散或减少风险，在适当的风险水平下获得最大的预 期回报，或是获得一定的预期回报使风险最小。
100万
60万 房地产 20万 政府公债
B
(r2 , 2 )
风险σp
24
总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成组 合的可行集 A 收益Er (r , )
p
1
1
ρ =1
r1 r2 r2 , 2 )
25
ρ =0
风险σp
由图可见，可行集的弯曲程度取决于 相关系数12。随着12的增大，弯曲程 度增加；当12＝－1时，呈现折线状， 也就是弯曲度最大；当12＝1时，弯曲 度最小，也就是没有弯曲，则为一条 直线；当1 12 1，就介于直线和折 线之间，成为平滑的曲线，而且12 越 大越弯曲。
i 1 i 1
n
n
其中 wi 1
i 1
9
n
3. 资产组合的风险： 作为风险测度的方差是回报相对于它的预期回报 的离散程度， 资产组合的方差不仅与其组成证券的方差有关， 还与组成证券之间的相关程度有关。 证券之间相互影响产生的收益的不确定性可用协 方差COV和相关系数ρ来表示。
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20万 股票
2. 资产组合的预期收益：是组合中各种证券的预期 收益(ri)的加权平均数。其中每一证券的权重(wi) 等于该证券在整个组合中所占的投资比例。 假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种 证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组 合的投资收益为：
Erp E （ wi ri）＝ w （ i Eri）
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三种风险资产的组合二维表示（可行集）
一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完 全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间 收益rp 是不完全相关（一般形态）。 3 4 2
1
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风险σp
n种风险资产的组合二维表示
n种风险资产的组合二维表示（可行集） 类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得 到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行 集。
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马柯维茨的资产组合理论
马柯维兹 (Harry Markowitz)1952 年在 Journal of Finance 发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代 投资理论发展的开端。 马克维茨1927年8月出生于芝加哥一个店主家庭，大 学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助 研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导 师是芝大商学院院长《财务学杂志》主编凯彻姆教授。 凯要马克维茨去读威廉姆斯的《投资价值理论》一书。 马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股 票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险， 分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险， 马是第一人。当时主流意见是集中投资。 3
则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为：
rp w1r1＋w2 r2
2 2 2 p ＝w12 12 w2 2 2w1w2 12 2 2 ＝ w12 12 w2 2 2w1w2 1 2 12
由于w1＋w2 1，则 rp ( w1 ) w1r1＋(1 w1 )r2