上海市高一下学期期末数学试卷含答案
上海市上海师范大学附属中学2024届数学高一下期末统考试题含解析
上海市上海师范大学附属中学2024届数学高一下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1231,31,,31n x x x ---的平均数和方差分别为( ) A ．2,x sB ．231,x s -C ．231,3x s -D ．231,9x s -2．在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．243．在△ABC 中，AC 2=，BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°4．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 5．某校高一甲、乙两位同学的九科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙两人的各科平均分不同B ．甲、乙两人的中位数相同C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是83，乙的众数为876．直线(1)y k x =-与(3,2)A 、(0,1)B 为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[1,1]-B ．[1,3]-C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞7．已知等差数列{}n a 中，若412203a a d +==，，则5a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．如图是函数sin()(0,0,)y A ax A a ϕϕπ=+>><的部分图象２，则该解析式为（ ）A ．2sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2sin 324x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．2sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．22sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 9．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能10．设有直线,m n 和平面,αβ，则下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，l ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海市上海中学2024届数学高一下期末统考模拟试题含解析
上海市上海中学2024届数学高一下期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是( )A ．2B ．43C ．23D ．12．若实数x ，y 满足不等式组220,10,2,x y x y y ++⎧⎪+-⎨⎪-⎩则z x y =-的最大值为（ ）A ．5-B ．2C ．5D ．73．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．534．已知向量a =(2，tan θ)，b =(1，-1)，a ∥b ，则tan()4πθ-=( )A ．2B ．-3C ．-1D ．-35．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是（ ）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i <6．已知()2,0A ,()0,2B ,从()1,0P 射出的光线经过直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程可以用对称性转化为一条线段,这条线段的长为( ) A ．10B ．3C ．5D ．237．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =，32=AD ，132AA =，则异面直线1AC 与CD 所成角的大小为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．3π或23π 8．设α，β为两个平面，则能断定α∥β的条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β平行于同一条直线 C ．α，β垂直于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面9．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD10．在区间[2,7]-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ）A ．13B ．59C ．79D ．89二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海市上海中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题(解析版)
（1）证明： ；
（2）线段 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， ．
【解析】
【分析】（1）由题意可证 平面 ，从而有 ，又 ，可证 平面 ，可得证；
② ①得 ，把 代入②得： ，
即 ，
∴ 或 .
故答案为： 或 .
9.已知直线 ， 垂直，直线 与 所成的角为 ，则 与 所成角的范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】考虑到直线 与 所成的角为 ，把 平移到一个圆锥上， 为圆锥 的轴所在直线， 为一个轴截面的底边 所在直线， 为圆锥的母线所在直线，由母线 到底面直径 所成角可得结论．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据新定义求得向量 ，然后由数量积的坐标表示计算；
（2）根据新定义得变换后新三角形与原三角形相似，得相似比，从而得面积比；
（3）根据新定义，得出 的坐标（用 表示），然后由三角形面积计算可得 ．
【详解】（1）由题意 ， ，所以 ，同理 ，
所以 ；
正确的命题有2个．
故选：C．
14.四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】
【分析】结合正方体可得正确的选项.
【详解】如图在正方体 中，四棱锥 的四个侧面都是直角三角形，
故选：D.
【点睛】根据题意,可将此四棱锥放到正方体中,即取正方体的一个上顶点,四个下顶点,然后结合正方体的特征,利用线面垂直的判定与性质进行分析即可得到侧面直角三角形的个数,这是立体几何中常用到的方法,即补体法,把问题转化到熟知的几何体中处理即可.属于基础题
2024届上海市上外附中数学高一下期末学业质量监测试题含解析
2024届上海市上外附中数学高一下期末学业质量监测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝12．在平行四边形ABCD 中，6,4AB AD ==，若点,M N 满足,2BM MC DN NC ==且48AN AM ⋅=，则AB AD ⋅=A ．10B ．25C ．12D ．153．已知函数1cos 2()sin 2xf x x-=，则有A ．()f x 的图像关于直线π2x =对称 B ．()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()f x 的最小正周期为π2D ．()f x 在区间()0,π内单调递减4．在直角梯形ABCD 中，//,90AB CD D ︒∠=，2,AB CD M =为BC 的中点，若(,)AM AD AB λμλμ=+∈R ，则λμ+=A ．1B ．54C ．34D ．235．在△ABC 中，若a sin A +b sin B ＜c sin C ，则△ABC 是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．都有可能6．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，,a b 的夹角为30°，则a b •等于( ) A ．32B ．3C ．23D ．127．等差数列中，若，，则（ ） A ．2019B ．1C ．1009D ．10108．已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且1471692a a a ，，成等差数列，则3S =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．99．已知数列{}n a 满足：()*122,n n a a n n n N-=+≥∈，17a=-，则该数列中满足311n a ≤≤的项共有（ ）项A ．0B ．1C ．2D ．510．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷含详解
【详解】设 xOA ,则
sin
1 1
48
1 7
, cos
4 3 4 3. 1 48 7
将 OA 绕原点 O 逆时针旋转
至 OB
,则 OB 的倾斜角为
.
3
3
则 OB OA 1 48 7 .
∴点
B
的纵坐标为
OB
sin
3
7
sin
cos
3
cos
sin
3
13 2
.
故答案为 13 2
km ．（结果精确到 0.1km ）
9．若
tan
tan
1 2
,则
cos( cos(
) )
．
10．已知点 A(4 3,1) ,将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 3 至 OB ,则点 B 的纵坐标为
11．i 为虚数单位,若复数 z1 和复数 z2 满足 z1 1 i 1, z2 z1i ,则 z2 的最大值为
,则
cos(
)
．
4．在梯形
ABCD 中,
AD
1 2
BC
,设
AC
a, BD
b
,若用
a,
b
的线性组合表示
AB
,则
AB
．
5．若 sin cos 3 ,则 sin 2
2
6．若向量
a
(3,
4), b
(1,
2)
,则
a,b
． ．
7．设 0
π
,若函数
y
tan( x
)
的.定义域为 x
x
14.6km .
故答案为：14.6.
9．3
上海市高一数学下学期期末试卷含答案(共5套)
上海市嘉定区高中第二学期期末考试高一年级数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、学号等在答题卷密封线内相应位置填写清楚； 3．本试卷共21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．已知角α满足sin 0α<且cos 0α<，则角α是第 象限的角． 2．在数列}{n a 中，若4,311+==+n n a a a ，则=5a _______________． 3．方程0224=--xx 的解是_____________．4．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期是_____________．5．若2tan =x （),0(π∈x ），则x = （结果用反三角函数值表示）． 6．函数x x y cos sin +=的最大值是 ．7．函数)2(log 22x x y -=的单调增区间是________________．8．若等比数列}{n a 满足：531=+a a ，且公比2=q ，则=+53a a ____________． 9．在ABC ∆中,︒=∠60ABC ,且7,5==AC AB ,则=BC ． 10．若不等式01sin )1(<--x a 对于任意R ∈x 都成立， 则实数a 的取值范围是____________．11．已知函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ），若4321x x x x <<<， 且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则=+++43211111x x x x ____________． 12．已知递增数列}{n a 共有2017项，且各项均不为零，12017=a ，若从}{n a 中任取两项j i a a ,，当j i <时，i j a a -仍是数列}{n a 中的项，则数列}{n a 的各项和=2017S ___________．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．“2πϕ=”是“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数)2lg(ax y-=在)1,1(-上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)2,0(B ．),0(+∞C ．]2,0(D ．]2,(-∞15．若数列}{n a 对任意2≥n （*N ∈n ）满足：0)2)(2(11=-----n n n n a a a a ，下面给出关于数列}{n a 的四个命题：（1）}{n a 可以是等差数列； （2）}{n a 可以是等比数列；（3）}{n a 可以既是等差数列又是等比数列 （4）}{n a 可以既不是等差数列又不是等比 数列．则上述命题中，正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．设函数)cos()cos()(βα+++=x n x m x f ，其中βα,,,n m 为已知实常数，R ∈x ， 则下列命题中错误的是 ( )A ．若0)2()0(==πf f ，则0)(=x f 对任意实数x 恒成立；B ．若0)0(=f ，则函数)(x f 为奇函数；C ．若0)2(=πf ，则函数)(x f 为偶函数；D ．当0)2()0(22≠+πf f 时，若0)()(21==x f x f ，则πk x x 221=- （Z ∈k ）．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分)已知71)tan(,2tan =+-=βαα，求)2cot(βπ-的值．18．（本题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ,,所对的边，若ABC ∆的面积是153，2=-c b ，41cos -=A ．求BC 的长．19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分．已知公差不为零的等差数列}{n a 满足：821=+a a ，且521,,a a a 成等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式．（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得80060+>n S n ？若存 在，请求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f ，R ∈x ． （1）求函数)(x f 的单调减区间； （2）若存在]2,0[π∈x ，使等式0)()]([2=++m x f x f 成立，求实数m 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数，对于任意的M x ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“互换函数”．（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“互换函数”，求集合M ；（2）若函数xa x f =)( （0>a 且1≠a ）与1)(+=x x g 在集合M 上互为“互换函数”， 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且},32*N ∈-≠k k x 上互 为“互换函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g 在集合M 上的解析式．嘉定区第二学期期末考试高一年级数学试卷参考答案与评分意见说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分意见酌情给分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分．3．解答题右端所注分数,表示正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．三 2．19 3．1=x (填“1”也对) 4．π 5．2arctan 6．2 7．),2(+∞ 8．20 9．8 10．)2,0(（填“20<<a ”也对） 解：令x t sin =，R ∈x ，则 ]1,1[-∈t ．由已知得，不等式01)1(<--t a 对于任意]1,1[-∈t 都成立．又令 1)1()(--=t a t f ，则 ⎩⎨⎧<<-0)1(0)1(f f ，即 ⎩⎨⎧<-⋅-<--⋅-011)1(01)1()1(a a ，解得 20<<a ．所以所求实数a 的取值范围是20<<a ． 11．2解法一：设|||log |)(x x g a = （0>a ，1≠a ），则)(x g 为偶函数，其图像关于y 轴对称， 而函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ）的 图像是由)(x g 的图像向右平移一个单位得到的， 所以)(x f 的图像关于直线1=x 对称，)(x f 的大致 图像如图所示．由已知及)(x f 的图像特征可得43211x x x x <<<<，且|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a ．由|)1(log ||)1(log |21x x a a -=-得)1(log )1(log 21x x a a -=-或)1(log )1(log 21x x a a --=-即)1(log )1(log 21x x a a -=-或2111log )1(log x x aa -=-则有 2111x x -=-或21111x x -=-，所以21x x =（舍）或 1)1)(1(21=--x x ． 由1)1)(1(21=--x x 得 2121x x x x +=．由|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a 同理得 4343x x x x +=， 所以2111111434321214321=+=+++=+++x x x x x x x x x x x x ． 解法二：（特殊值法）令1||1|log |=-x a ，解得 a x 11-=或a x -=1或ax 11+= 或a x +=1．则a a a a x x x x ++++-+-=+++111111111111114321 )11111()11111(a a a a ++++-+-=211)111()111(=+=++++-+-=a a a a a a ． 12．1009解：由题意知，2017321a a a a <⋅⋅⋅<<<，则 1201713120a a a a a a -<⋅⋅⋅<-<-<，且1a a j - （2017,,3,2⋅⋅⋅=j ）都是数列}{n a 中的项．所以112201512016201612017,,,a a a a a a a a a =-⋅⋅⋅=-=-，即1122015201620162017a a a a a a a =-=⋅⋅⋅=-=-，因此数列}{n a 是以1a 为首项，以1a 为公差的一个等差数列， 则 120172016112017==+=a d a a ，可得 201711==d a ， 因此1009220162017201712017=⨯⨯+=d a S ，即10092017=S ．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．A 14．C 15．C 16．D解：由题意得 x k k x k k x f sin )sin sin (cos )cos cos ()(22112211αααα+-+=．若0)0(=f ，则得 0cos cos 2211=+ααk k ；若0)2(=πf ，则得0sin sin 2211=+ααk k ．于是当0)2()0(==πf f 时，0)(=x f 对任意实数x 恒成立，即命题A 是真命题；当0)0(=f 时，x k k x f sin )sin sin ()(2211αα+-=，它为奇函数，即即命题B 是真命题； 当0)2(=πf 时，x k k x f cos )cos cos ()(2211αα+=，它为偶函数，即命题C 是真命题；当0)2()0(22≠+πf f 时，令0)(=x f ，则0sin )sin sin (cos )cos cos (22112211=+-+x k k x k k αααα，上述方程中，若0cos =x ，则0sin =x ，这与1sin cos 22=+x x 矛盾，所以0cos ≠x ． 将该方程的两边同除以x cos 得22112211sin sin cos cos tan ααααk k k k x ++=，令m k k k k =++22112211sin sin cos cos αααα （0≠m ），则 m x =tan ，解得 m k x arctan +=π （Z ∈k ）．不妨取 m k x arctan 11+=π，m k x arctan 22+=π （Z ∈1k 且Z ∈2k ）， 则π)(2121k k x x -=-，即πn x x =-21 （Z ∈n ），所以命题D 是假命题．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分) 解法一：由71)tan(=+βα得71tan tan 1tan tan =⋅-+βαβα．…………………………………4分 将2tan -=α代入上式，得71tan 212tan =+-ββ，…………………………………………6分解得 3tan =β． …………………………………………………………………………7分 于是 3tan )2cot(==-ββπ，所以 3)2cot(=-βπ．………………………………8分 解法二：因为ββπtan )2cot(=-，………………………………………………………2分又 αβααβααβαβtan )tan(1tan )tan(])tan[(tan ⋅++-+=-+= …………………………………5分35771575715)2(711)2(71=⋅==-⋅+--=，…………………………………………………………7分所以3)2cot(=-βπ． ………………………………………………………………………8分18．（本题满分8分） 解：（1）由41cos -=A （π<<A 0）得415cos 1sin 2=-=A A ．………………2分因为ABC ∆的面积是153，则153sin 21=A bc ，所以 24=bc ． ………………4分 由⎩⎨⎧==-242bc c b 解得⎩⎨⎧==46c b ． ………………………………………………………………6分 由余弦定理得 8)41(46246cos 22222=-⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b BC ，即BC 的长是8．………………………………………………………………………………8分19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分． 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d （0d ≠），由题意得 ⎩⎨⎧+⋅=+=++)4()(8112111d a a d a d a a化简，得 ⎩⎨⎧==+da d d a 121282．……………………………………………………………………2分因为0≠d ，所以⎩⎨⎧==+11282a d d a ，解得 ⎩⎨⎧==421d a …………………………………………4分所以 24)1(1-=-+=n d n a a n ，即数列}{n a 的通项公式是24-=n a n （*N ∈n ）． ……………………………………5分（2）由（1）可得 2122)1(n d n n na S n =⨯-+=．……………………………………7分 假设存在正整数n ，使得80060+>n S n ，即 8006022+>n n ，即2304000n n -->，解得40n >或10n <- (舍) ．…………………………………9分 所以所求n 的最小值是41． ………………………………………………………………10分 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分． 解：（1）23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f 23cos 3cos sin 2-+=x x x 2322cos 132sin 21-+⨯+=x x x x 2cos 232sin 21+= )32sin(π+=x………………………………………………………………3分由2323222πππππ+≤+≤+k x k （Z ∈k ） 解得 12712ππππ+≤≤+k x k （Z ∈k ）．………………………………………………5分 所以所求函数)(x f 的单调减区间是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k ，Z ∈k ．……………6分 （2）当]2,0[π∈x 时，34323πππ≤+≤x ，1)32sin(23≤+≤-πx ， 即1)(23≤≤-x f ． ………………………………………………………………………8分 令t x f =)( （]1,23[-∈t ），则关于t 的方程02=++m t t 在]1,23[-上有解， 即关于t 的方程t t m +=-2在]1,23[-上有解． 当]1,23[-∈t 时，]2,41[2-∈+t t ．…………………………………………………10分 所以]2,41[-∈-m ，解得 ]41,2[-∈m ． 因此所求实数m 的取值范围是 ]41,2[-．………………………………………………12分21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 解：（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，所以0sin =x 或1cos =x ．……………………………1分 由0sin =x 解得πk x 2=或ππ+=k x 2，Z ∈k ，即πk x 2=或π)12(+=k x ，Z ∈k ．……………………………………………………2分 又由1cos =x 解得 πk x 2=，Z ∈k ．……………………………………………………3分 所以集合πk x x M 2|{==，或},)12(Z ∈+=k k x π，即集合},|{Z ∈==k k x x M π．……………………………………………………………4分 （2）证明：由题意得，11+=+x x a a（0>a 且1≠a ）．………………………………5分变形得 1)1(=-a a x，所以11-=a a x． ………………………………………………6分因为0>xa ，则011>-a ，所以 1>a ．………………………………………………8分 （3）当01<<-x ，则10<-<x ，所以)1(log )()(2x x g x g -=-=． 因为函数)(x g 在)1,1(-上是偶函数，则 )()(x g x g -=． 所以 )1(log )(2x x g -=，因此当11<<-x 时，|)|1(log )(2x x g +=．……………………………………………10分 由于2)(+=x x f 与函数)(x g 在集合M 上“互换函数”， 所以当M x ∈，))(()((x f g x g f =恒成立． 即)2(2)(+=+x g x g 对于任意的M x ∈恒成立．即2)()2(=-+x g x g ．……………………………………………………………………11分 于是有2)]1(2[)2(=-+-+n x g n x g ，2)]2(2[)]1(2[=-+--+n x g n x g ，……2)()2(=-+x g x g ．上述等式相加得 n x g n x g 2)()2(=-+，即n x g n x g 2)()2(+=+．………………13分 当)12,12(+-∈n n x （N ∈n ）时,)1,1(2-∈-n x ， 所以 |)2|1(log )2(2n x n x g -+=-．而⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅-= )12,12()5,3()3,1()1,1(n n M ，N ∈n ， 所以当M x ∈时，n n x n n x g n n x g x g 2|)2|1(log 2)2()2)2(()(2+-+=+-=+-=．…………………14分金山中学高一年级第二学期数学学科期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1． 已知向量)1,1(),,2(-==→→b m a ，若向量→a 与b 垂直，则m 等于_______．2． 不等式2101x x -<+的解为 ___ ． 3． 已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= ．4．方程1)21(log 2-=-x的解=x __________．5．函数1()arccos (1)2f x x x =<<的值域是 . 6．若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .7. 数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8．若数列{}n a 满足220n n a a ++=（n *∈N ）,且11a =，212a =，()12lim n n a a a →∞+++=__.9．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在(1,2)上的解析式是=)(x f ．10．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，下列命题正确的是_____________． ①总存在某个内角α，使得21cos ≥α； ②存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ③若02=⋅+⋅+⋅AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π． 11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-则AQ AP ⋅的最大值为________．12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数)1,0[∈m ，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ． 充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将函数()cos f x x ω=（其中0ω>）的图象向右平移3π个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f π不可能等于 （ ）A ．0B ．1C ．22D ．2315．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，n ∈*N ． 下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列16．函数x x x f arctan )(3+=的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若11009-=a ，=m )()()()()(20172016321a f a f a f a f a f +++++ ，则 （ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分. 已知3||=a ，4||=b ，且a 与b 的夹角为0120． （1）求b 在a 上的投影； （2）求|32|b a +． 解：18．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x n =，n m x f ⋅=)(.（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若212)2(+=Bf ， 3,5==c b ，求a 的值．解：19．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==． （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围． 解：20．（本题满分16分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分8分.如图，在四边形ABCD 中，已知23ABC π∠=，3ACD π∠=，2π=∠BAD ，24AD =，设BAC θ∠=)612(πθπ≤≤．（1）求AB （用θ表示）；（2）求BC AB +的最小值.（结果精确到01.0米） 解：21．（本题满分18分）本题有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第二小题满分8分. 给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+．数列1a ，2a ，3a ，…满足1(),*n n a f a n N +=∈． （1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 解：ABCD金山中学第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案一、填空题4． 2 2．112x -<<3．5- 4． 1- 5．(0 )3π， 6． 2x （0≥x ）7. 7 8．1 9．()1log 21-x 10．①③ 11． 2 12．2)1(π-n n 二、选择题13．C 14．D 15．A 16．A三、解答题17． 解： （1）2- （2）3618． 解：（1）212sin 23)(+=x x f ， 最小正周期为π，单调递减区间为Z k k k ∈π+ππ+π],43,4[； （2）31+=a 或31+-=a ．19． 解：（1）由121n n a S +=+----①得当2n ≥时121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，13,n n a a +∴=；当1n =时2112133a a a =+==， 13n n a -∴=5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-；（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--，311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即3623n n k -∴≥对*n N ∈恒成立，令3623n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==，29k ≥．20． 解：（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+，由sin sin AD AC ACD CDA =∠∠ ，得sin 163sin()sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ 三角形ABC 中，3ACB πθ∠=-由sin sin AB ACACB ABC =∠∠ ，得 )612)(3sin()6sin(32πθπθππθ≤≤-+=AB （2）三角形ABC 中， 由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin 283θ=+因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值88321.86+≈最小值约为86.21米.21． 解：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--。
上海市高一下学期期末考试数学试题(共3套,含参考答案)
11．如图，在 Rt△ABC 内有一系列的正方形，它们的边长依次为 a1，a2，…，an，…，若 AB=a， BC=2a，则所有正方形的面积的和为 ．
12．定义 N*在上的函数 f（x），对任意的正整数 n1，n2，都有 f（n1+n2）=1+f（n1）+f（n2），
且 f（1）=1，若对任意的正整数 n，有
，则 an= ．
二、选择题：
13．f（x）为奇函数，当 x＞0 时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则 x＜0 时，f（x）=（ ）
A．arccos（sinx） B．π+arccos（sinx）
C．﹣arccos（sinx） D．﹣π﹣arccos（sinx）
14．如图是函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），x∈R 的部分图象，则下列命
4．方程 sin2x=sinx 在区间[0，2π）内解的个数是 4 ． 【考点】三角方程．
【分析】方程即 sinx=0 或 cosx= ，结合正弦函数、余弦函数的图象以及 x∈[0，2π），分别求 得 x 的值，可得结论 【解答】解：方程 sin2x=sinx，即 2sinxcosx=sinx，即 sinx=0 或 cosx= ．
则 f（2n+1）+1=2[1+f（2n）]，an+1=2an 所以，数列{an}是等比数列，公比 q=2，首项 a1=4． 所以 an=4×2n﹣1=2n+1， 故答案为：2n+1
二、选择题： 13．f（x）为奇函数，当 x＞0 时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则 x＜0 时，f（x）=（ ） A．arccos（sinx） B．π+arccos（sinx） C．﹣arccos（sinx） D．﹣π﹣arccos（sinx） 【考点】反三角函数的运用． 【分析】利用奇函数的定义，结合反三角函数，即可得出结论． 【解答】解：∵sin（﹣x）=﹣sinx∴，﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos（﹣sinx））， 又 arccos（﹣α）=π﹣arccosα， ∴﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos（﹣sinx））=﹣（π﹣（π﹣arccos（sinx）））=﹣
上海市最新学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分. 1.1和4的等差中项为__________． 【答案】52【解析】 【分析】设1和4的等差中项为x ，利用等差中项公式可得出x 的值. 【详解】设1和4的等差中项为x ，由等差中项公式可得14522x +==，故答案为：52. 【点睛】本题考查等差中项的求解，解题时要充分利用等差中项公式来求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知()1,2a =，(),4b x =，若//a b ，则实数x 的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用共线向量等价条件列等式求出实数x 的值. 【详解】()1,2a =，(),4b x =，且//a b ，214x ∴=⨯，因此，2x =，故答案为：2.【点睛】本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题.3.设函数()arctan f x x =，则()1f -值为__________．【答案】4π- 【解析】 【分析】根据反正切函数的值域，结合条件得出()1f -的值.【详解】arctan 22x ππ-<<，且tan tan 144ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此，()()1arctan 14f π-=-=-，故答案为：4π-. 【点睛】本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.4.已知数列{}n a 为等比数列，21a =，58a =，则数列{}n a 的公比为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由352a q a =可求出q 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则35281a q a ==，2q ∴=，因此，数列{}n a 的公比为2，故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知3sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为__________． 【答案】35【解析】 【分析】利用诱导公式将等式3sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭化简，可求出cos α的值.【详解】由诱导公式可得3sin cos25παα⎛⎫+==⎪⎝⎭，故答案为：35.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，在利用诱导公式处理化简求值的问题时，要充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查运算求解能力，属于基础题.6.已知无穷等比数列{}n a的首项为1，公比为12-，则其各项的和为__________．【答案】2 3【解析】【分析】根据无穷等比数列求和公式求出等比数列{}n a的各项和.【详解】由题意可知，等比数列{}n a的各项和为121312S==⎛⎫--⎪⎝⎭，故答案为：23.【点睛】本题考查等比数列各项和的求解，解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.7.311lim312nn nn→∞⎛⎫++=⎪-⎝⎭__________．【答案】1【解析】【分析】在分式3131nn+-的分子和分母上同时除以3n，然后利用极限的性质来进行计算.【详解】113111103lim lim lim01131221013n nn n nn n nn→∞→∞→∞⎛⎫+⎪⎛⎫+++=+=+=⎪⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭，故答案为：1.【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见的极限，并充分利用极限的性质来进行计算，考查计算能力，属于基础题.8.已知[)0,2ϕπ∈，若方程()sin 2sin x x x ϕ=-的解集为R ，则ϕ=__________． 【答案】3π【解析】 【分析】将sin x x -利用辅助角公式化简，可得出ϕ的值. 【详解】()()1sin 32sin 2sin cos cos sin2sin 2x x x x x x x ϕϕϕ⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1cos 2sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩02ϕπ≤<，因此，3πϕ=，故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.9.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积为12，且1b =，2c =，则A ∠的弧度为__________．【答案】6π 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出sin A 的值，结合角A 为锐角，可得出角A 的弧度数. 【详解】由三角形的面积公式可知，ABC ∆的面积为111sin 12sin 222ABC S bc A A ∆==⨯⨯⨯=，得1sin 2A =，A 为锐角，因此，A ∠的弧度数为6π，故答案为：6π.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.10.数列{}n a 满足()()11112231n a n N n n *=+++∈⨯⨯+，设n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，则10S =__________． 【答案】512- 【解析】 【分析】先利用裂项求和法将数列{}n a 的通项化简，并求出1n n a a +-，由此可得出10S 的值. 【详解】()11111n n n n =-++，1111111122311n a n n n ∴=-+-++-=-++. 11111111212n n a a n n n n +-=--+=-+++++， 因此，101111111152334111212212S =-+-+--+=-=-，故答案为：512-. 【点睛】本题考查裂项法求和，要理解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.11.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()8,1=4,2n nn S n N n *=⎧∈⎨≥⎩，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________．【答案】18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N 【解析】 【分析】令3n ≥时，求出1n n n a S S -=-，再令1n =时，求出1a 的值，再检验1a 的值是否符合()2n a n ≥，由此得出数列{}n a 的通项公式.【详解】当3n ≥时，1114434n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，当1n =时，118a S ==，18a =不合适上式，当2n =时，2211688a S a =-=-=，28a =不合适上式，因此，18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N . 故答案为：18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩,n *∈N . 【点睛】本题考查利用前n 项和求数列的通项，考查计算能力，属于中等题.12.已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，则6a 的取值范围为__________．【答案】()【解析】 【分析】设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，由43a q a =和341a q a =计算出q 的取值范围，再由264a a q =可得出6a 的取值范围.【详解】设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，所以，()431,4a q a =∈，3412a q a =>，)q ∴∈.所以，()264a a q =∈，故答案为：().【点睛】本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.第Ⅱ卷（共90分）二、选择题（每题3分，满分36分，将答案填在答题纸上） 13.已知基本单位向量()1,0i =，()0,1f =，则34i f -的值为（） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25【答案】B 【解析】 【分析】计算出向量34i f -的坐标，再利用向量的求模公式计算出34i f -的值.【详解】由题意可得()()()3431,040,13,4i f -=-=-，因此，(23435i f -=+=， 故选：B.【点睛】本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.14.在学习等差数列时，我们由110a a d =+，21a a d =+，312a a d =+，⋯⋯，得到等差数列{}n a 的通项公式是()11n a a n d +-=，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（） A. 不完全归纳法 B. 数学归纳法C. 综合法D. 分析法【答案】A 【解析】 【分析】根据题干中的推理由特殊到一般的推理属于归纳推理，但又不是数学归纳法，从而可得出结果.【详解】本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法，因此，本题中的推理方法是不完全归纳法，故选：A.【点睛】本题考查归纳法的特点，判断时要区别数学归纳法与不完全归纳法，考查对概念的理解，属于基础题.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N *+=∈，则4S的值为（ ）A. 3B.72C.154D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =求出1a 值，再令2n ≥时，由4n n a S +=得出114n n a S --+=，两式相减可推出数列{}n a 是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出4S 的值. 【详解】当1n =时，11124a S a +==，得12a =；当2n≥时，由4n na S+=得出114n na S--+=，两式相减得120n na a--=，可得112nnaa-=. 所以，数列{}n a是以2为首项，以12为公比的等比数列，因此，441211152414412S⎛⎫-⎪⎝⎭==-=-.故选：C.【点睛】本题考查利用前n项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及na与nS时，可利用公式11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求解出n a，也可以转化为n S来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16.小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少次数为（）A. 126B. 127C. 128D. 129【答案】B【解析】【分析】假设A桩上有1n+个圆环，将1n+个圆环从A木桩全部套到B木桩上，需要最少的次数为1na+，根据题意求出数列{}n a的递推公式，利用递推公式求出数列{}n a的通项公式，从而得出7a 的值，可得出结果.【详解】假设A 桩上有1n +个圆环，将1n +个圆环从A 木桩全部套到B 木桩上，需要最少的次数为1n a +，可这样操作，先将n 个圆环从A 木桩全部套到C 木桩上，至少需要的次数为n a ，然后将最大的圆环从A 木桩套在B 木桩上，需要1次，在将C 木桩上n 个圆环从C 木桩套到B 木桩上，至少需要的次数为n a ，所以，121n n a a +=+，易知11a =. 设()12n n a x a x ++=+，得12n n a a x +=+，对比121n n a a +=+得1x =，()1121n n a a +∴+=+，1121n n a a ++∴=+且112a +=，所以，数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列，67122128a ∴+=⨯=，因此，7127a =，故选：B.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知点G 是ABC ∆重心，2AD DC =. （1）用AB 和AC 表示AG ； （2）用AB 和AC 表示DG . 【答案】（1）()13AG AB AC =+（2）()13DG AB AC =-. 【解析】 【分析】（1）设BC 的中点为M ，可得出()12AM AB AC =+，利用重心性质得出23AG AM =，由此可得出AG 关于AB 、AC 的表达式； （2）由2AD DC =，得出23AD AC =，再由DG AG AD =-，可得出DG 关于AB 、AC 的表达式.【详解】（1）设BC 的中点为M ，则2AM AB AC =+，()12AM AB AC ∴=+，G 为ABC ∆的重心，因此，()()22113323AG AM AB AC AB AC ==⨯+=+； （2）2AD DC =，23AD AC =， 因此，()()121333DG AG AD AB AC AC AB AC =-=+-=-. 【点睛】本题考查利基底表示向量，应充分利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =++，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最小值和取得最小值时x 的取值. 【答案】（1）π；（2）当()4x k k Z ππ=-+∈时，()min 0f x =.【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式将函数()y f x =的解析式化简得()1sin 2f x x =+，再利用周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期； （2）由()222x k k Z ππ=-+∈可得出函数()y f x =的最小值和对应的x 的值.【详解】（1）()22sin 2sin cos cos 1sin 2f x x x x x x =++=+，因此，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=； （2）由（1）知，当()22x k k Z ππ=-+∈，即当()4x k k Z ππ=-+∈时，函数()y f x =取到最小值()min 110f x =-=.【点睛】本题考查利用二倍角公式化简，同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解，考查学生的化简运算能力，属于基础题.19.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.【答案】（13cos 1A C -=；（2）14. 【解析】 【分析】（1）在ABD ∆和BCD ∆中分别对BD 使用余弦定理，可推出A 与C 的关系，即可得出3cos A C -是一个定值；（2）求出2212S S +表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出2212S S +的最大值.【详解】（1）在ABD ∆中，由余弦定理得2412831683BD A A =+-=-， 在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，168388cos A C -=-， 则)83cos 8A C -=，3cos 1A C -=；（2）1122S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C AC +=+=-+， 由（11cosA C =+，代入上式得：)22222121612cos 4124cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得：2221224cos 14S S A ⎛+=--+ ⎝⎭， ∴当arccos 6A =时，2212S S +取到最大值14.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知()()1,n n A A n n n N*+=∈.（1）求122334A A A A A A ++的坐标； （2）设()11n n b A A n N*+=∈，求数列{}nb 的通项公式；（3）设111,22n n a a B B +--⎛⎫=⎪⎝⎭，()21122n n a C C n N *+⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，其中a 为常数，1a ≥，求()112111lim 1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++⋅++的值.【答案】（1）()1223346,6A A A A A A ++=；（2）22,22n n n n n b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭； （3）当1a =-时，()112111lim 21n n n n n n n n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++=-⋅++；当1a =或1a >时，()112111lim 01n n n n n nn n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++=⋅++.【解析】【分析】（1）利用题中定义结合平面向量加法的坐标运算可得出结果；（2）利用等差数列的求和公式和平面向量加法的坐标运算可得出数列{}n b 的通项公式；（3）先计算出()1121111n n n n n n n n A A B B a A AC C n ++++⋅++⋅++的表达式，然后分1a =、1a =-、1a >三种情况计算出()112111lim1n n n n n nn n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++⋅++的值.【详解】（1）由题意得()()122334123,1236,6A A A A A A ++=++++=； （2）()112231=123,123n n n n n b A A A A A A A A n n ++==+++++++++++22,22n n n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（3）()112111111n n n n n n n n n a a A A B B a A A C C n ++++-++⋅++=⋅++①当1a =时，()1121112limlim011n n n n n n nn n n A A B B a n A AC C n ++→∞→∞++⋅++==+⋅++； ②当1a =-时，()112111222limlimlim 2111011n n n n n n n nn n n A A B B a n n A AC C n n++→∞→∞→∞++⋅++---====-++⋅+++； ③当1a >时，()()211211211111limlim0111n n n n n n n n n n n a a n a a A A B B a n n A A C C n n n++→∞→∞++-++-++⋅++===⋅++++.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查等差数列求和以及数列极限的运算，计算时要充分利用数列极限的运算法则进行求解，综合性较强，属于中等题.21.无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a 、2a 、、n a 中等于n a 的项的个数.（1）若12019a =，求2a 和4a 的值； （2）已知命题:P 存在正整数m ，使得12m ma a +=，判断命题P 的真假并说明理由； （3）若对任意正整数n ，都有2n n a a +≥恒成立，求1039a 的值.【答案】（1）21a =，42a =；（2）真命题，证明见解析；（3）1039520a =. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出2a 、3a 、4a 的值，可得出结果； （2）分11a =和11a >两种情况讨论，找出使得等式12m ma a +=成立的正整数m ，可得知命题P 为真命题；（3）先证明出“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件，由此可得出11a =，然后利用定义得出()21n a n n N *-=∈，由此可得出1039a 的值.【详解】（1）根据题意知，对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a 、2a 、、n a 中等于n a 的项的个数，因此，21a =，31a =，42a =； （2）真命题，证明如下：①当11a =时，则21a =，32a =，41a =，此时，当2m =时，1322m m a a a a +==； ②当11a >时，设()12,a k k k N *=≥∈，则21a =，31a =，42a =，此时，当3n =时，1432m m a a a a +==. 综上所述，命题P 为真命题；（3）先证明：“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件. 假设存在()11,a k k k N*=>∈，使得“存在m N*∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”.则数列{}n a 的前21k -项为k ，211,1,2,1,3,1,4,,1,2,1,1,1,k k k k---项，212,2,3,2,4,2,5,,2,2,2,1,2,k k k k---项…，213,3,4,3,5,3,6,,3,2,3,1,3,,,k k k k ---项……，2,2,1,2,k k k k k k----项，1,1,,k k k k k--项，后面的项顺次为21,1,1,2,1,3,,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k++---+--项…，22,1,2,2,2,3,,2,2,2,1,2,k k k k k k k k k k+-+--+-+项…，23,1,3,2,3,3,,3,2,3,1,3,k k k k k k k k k k+--+-+-+项…，21,1,1,2,1,3,,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k++++-+--项…，故对任意的1,2,3,,2,1,s k k k =--…，t N *∈2212(1)2112(1)2k t k t k t k ta k ta s ++-+-+--+=÷⎧⎪⎨=⎪⎩， 对任意的m ，取12m t k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则2kt m >，令212n k kt =++，则n m >，此时n a k =，21n a += 有2n n a a +>，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a =；从而得证. 另外：当11a =时，数列{}n a 为1,1,2,1,3,1,4,,1,1,1,,k k -……， 故()21n a n n N*-=∈，则1039520a=.【点睛】本题考查数列知识的应用，涉及到命题真假的判断，同时也考查了数列新定义问题，解题时要充分从题中数列的定义出发，充分利用分类讨论思想，综合性强，属于难题.。
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高一年级第二学期物理期终试卷g=10m/s2一．单项选择题(共12分，每小题2分)1．关于两个做匀速圆周运动的质点，正确的说法是（）（A）角速度大的线速度一定大（B）角速度相等，线速度一定也相等（C）半径大的线速度一定大（D）周期相等，角速度一定相等2、一个做机械振动的物体，由平衡位置向最大位移处运动时，下列说法正确的是（）（A）物体的位移逐渐变大（B）物体的速度逐渐变大（C）物体的回复力逐渐变小（D）物体的周期逐渐变小3、物体从某一高处自由落下，在下落过程中重力做功的功率：（）(A)恒定不变(B)越来越大(C)越来越小(D)先变小，后变大4、如图所示，物体m沿不同的路径Ⅰ和Ⅱ从A滑到B，关于重力所做的功，下列说法正确的是：（）(A)沿路径Ⅰ和Ⅱ重力做功一样大A(B)沿路径Ⅱ重力做功较大(C)沿路径Ⅰ重力做功较大ⅡⅠB(D)条件不足不能判断5、如图所示，呈水平状态的弹性绳，右端在竖直方向上做周期为0.4s的振动，设t＝0时右端开始向上振动［图（a）］，则在t＝0.5s时刻绳上的波形可能是图（b）中的（）。
6、如图所示，一个质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于天点，小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P很慢地移动到Q点，程中力F所做的功为：(提示:F是变力)（）A.mgLcosθ.B.mgL(1－cosθ).C.FLsinθ.D.FL(1－cosθ)7、下列数据中可以算出阿伏伽德罗常数的一组数据是：（）(A)水的密度和水的摩尔质量(B)水的摩尔质量和水分子的体积θ花板上的O则在此过(C)水分子的体积和水分子的质量 (D)水分子的质量和水的摩尔质量8、关于气体的体积，下列说法中正确的是：(A) 气体的体积与气体的质量成正比 (B) 气体的体积与气体的密度成反比(C) 气体的体积就是所有气体分子体积的总和 (D) 气体的体积是指气体分子所能达到的空间9．汽车在平直公路上行驶时，在一段时间内，发动机以恒定功率工作，则图中各 v-t 图象，能正确反映汽车运动情况的是 （）（A ）①和②。
（B ）②和④。
（C ）①和④。
（D ）①和③。
10．某种气 体在不同 温度下的 气体分子 速率分布 曲线如图所示，图中 f(v)表示 v 处单位速率区间内的分子数百分率，所对应的温度分别为 T I ，T II ，T III ， 则（ ）A ．T I >T II >T III ，B ． T ＞T ＞T Ⅲ Ⅱ ⅠC ． T =T =TⅠ Ⅱ ⅢD ．T ＞T ，T ＞T Ⅱ Ⅰ Ⅲ二．单项选择题 (共 12 分，每小题 3 分。
每小题只有一个正确选项。
)11、以恒力推一物体在粗糙平面上沿力的方向移动一段距离，力F 所做的功为 W 1，平均功率为 P 1；若以相同恒力 F 推该物体在光滑水平面上沿力的方向移动相同的距离， F 所做的功为 W 2，平均功率为 P 2，则：（ ）(A) W 1＞W 2，P 1＞P 2 (B) W 1＞W 2，P 1＝P 2 (C) W 1＝W 2，P 1＜P 2 (D) W 1＝W 2，P 1＞P 2可知：（）） “12、如图所示，两个质量不同的物体A 和B ，分别从两个相同高度光滑斜面和光滑圆弧形斜坡的顶点，从静止开始下滑到底部，下列说法正确的是： （）(A) 它们到达底部时的速度大小相等 (B) 下滑过程中重力做的功相等AB(C) 它们在顶点时的机械能相等 (D) 它们到达底部时的动能相等13、一定质量的理想气体，在三次加热升温的过程中，其压强与温度的关系如图所示，由图像p(A) 在由状态 A 变到状态 D 的过程中，气体的体积减小 AD(B) 在由状态 B 变到状态 D 的过程中，气体的密度减小(C) 在由状态 C 变到状态 D 的过程中，气体的密度不变 BC(D) 在由状态 A 变成状态 D 的过程中，气体的体积增大T14、如图所示，开口向下插入水银槽的玻璃管内封闭着长为 H 的空气柱，管内外水银高度差为 h ，若缓慢向上提起玻璃管（管口未离开槽内水银面），H 和 h 的变化情况是：( )(A)h 和 H 都增大(B)h 和 H 都减小 (C)h 增大，H 减小 (D)h 减小，H 增大三、填空题15、如图所示，由一组学生做游戏来模拟波的传播。
该游戏 模拟的是_________（选填“横波”或“纵波” 的传播，因 为学生下蹲与起立时身体的运动方向与模拟波的传播方向________(选填“平行”或“垂直”）。
16 中华民族有着悠久的文明历史，我国古代的文学作品体现了人们对自然现象的观察和研究。
“墙内开花墙外香”说明分子是在不停的_________。
花气袭人知骤暖”说明温度 升高分子____________。
17、一个半径为 4cm 的定滑轮，绕有多圈细绳，细绳的一端固定在定滑轮上，另 一端与重物相连，如图所示。
设重物以2m/s 2 的加速度由静止匀加速下落，当重物 下 落 距 离 为 1m 时 ， 滑 轮 边 上 一 点 转 动 的 线 速 度 ，滑轮转过的周 数 。
18、停泊在海边的甲、乙两艘渔船，在海浪冲击下每分做100 次的全振动，两船相距 12m （两 船连线跟波的传播方向一致）。
当甲、乙两船同时都处于海浪的波峰时，在两船之间还有一个 波峰，则海浪的波长 ，海浪传播的速度大小 。
19、如图所示，在倾角为θ的斜面上放一个光滑的重球m，用固定在斜面上的竖直挡板挡住。
现使整个装置沿水平面向右匀速运动S，则斜面对球的支持力，挡板对球的做功。
20、一个如图所示的连通器，A、B两管的横截面积均为S，内盛密度为ρ的液体，液面高度差为h。
若打开底部中央的阀门K，液体发生流动，最终两边液面相平齐。
在这过程中液体的重力势能是（填增加、减少），变化了。
四、作图题、21、图中的长绳中编号为1，2，…，8，9的一系列质点（相邻点的间距为a），相继振动起来，某时刻形成如图（b）中虚线所示的波形，即1号质点处于波峰位置时，3号质点恰好处于波谷位置，4号质点刚开始振动。
又过一段时间，当1号质点第二次通过平衡位置时，画出这一时刻绳波的波形。
22、右图为一列简谐波在t时刻的图象，已知在t时刻波中质点a正沿y轴正方向运动，且波的传播速率v＝2m/s。
试画出：（1）波的传播方向；（2）质点b在t时刻的位移；（3）质点c在t时刻的加速度方向（4）经过1.5s后的波的图象；五、实验题23、用DIS研究机械能守恒定律的装置如图（a）所示，某组同学在一次实验中，选择DIS以图像方式显示实验的结果，所显示的图像如图（b）所示。
图像的横轴表示小球距D点的高度h，纵轴表示摆球的重力势能Ep、动能Ek或机械能E。
试回答下列问题：（1）图（b）的图像中，表示小球的重力势能Ep、动能Ek、机械能E随小球距D点的高度h关系的图线分别是__________（按顺序填写相应图线所对应的文字）。
（2）图（a）所示的实验装置中，K是光电门传感器，的直接作用是_______。
小球上连接的挡光片宽度为d，通过光电门的时间为t，可以得到小球在最低点的瞬时速度为________。
（3）根据图（b）所示的实验图像，可以得出的结论是______________24、如图所示，用一个带有刻度的注射器及DIS来探究一定质量气体的压强和体积关系。
实验次数压强（kPa）体积（cm3）1101.5202107.5183123.5164139.0145161.512（1）所研究的对象是__________；它的体积可用_______直接读出，它的压强是由______ ___和得到。
（2）下表表格中记录了实验中5组数据，根据这些数据在图中作出p-V图线。
（3）实验过程中，下列哪些操作是错误的？（）（A）推拉活塞时，动作要慢。
（B）推拉活塞时，手不能握住注射器筒有气体的部位。
（C）压强传感器与注射器之间的软管脱落后，应立即重新接上，继续实验并记录数据。
（D）活塞与针筒之间要保持润滑又不漏气。
（4）在验证玻意耳定律的实验中，如果用实验所得数据在图所示的1图象中标出，可得图中________线。
p-V五、计算题（25、将一水平放置的弹簧振子从平衡位置向右拉开 4cm 后放手，让它做振动。
已知从放手到 回到平衡位置的时间为 0.1s ，求：（1）弹簧振子的振幅、周期、频率。
（2）2 s 内完成全振动的次数。
（3）振子从开始运动经 2.5s 末的位移大小。
此时正要向哪个方向做怎样的运动？ （4）振子经 5s 通过的路程。
（5）若将弹簧振子从平衡位置向右拉开 6cm 后释放，运动过程中的振幅、周期、频率变 为多大？26、额定功率为 80 kW 的汽车，在平直公路上行驶的最大速度是 20m/s ，汽车质量是 2×103 kg 。
如果汽车从静止开始先做加速度为 2m/s 2 的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行 驶，在运动过程中阻力不变，问：（1）汽车受到的阻力多大？（2）汽车匀加速运动时受到的牵引力多大？ （3）汽车做匀如速直线运动的最大速度多大？（4）汽车从静止开始运动 11 s 的过程中牵引力做的功多大？27、U 形管内充有空气，在其管口将质量均为 m 的两个活塞用外力维持在同一高度 h 处，如 图所示。
左管横截面积为 2S ，右管以及底部管的横截面积均为 S ，底部管的长度为 3h ，管内 空气压强等于大气压 p 0。
现撤消外力放开活塞，求两个活塞的稳定高度。
（不计活塞与管壁间的摩擦，且活塞的厚度大于水平管的直径；管内气体温度不变；初位置时，活塞的上表面与管 口相平齐）28、如图所示，水平轨道表面粗糙，通过半径为R ＝0.4m 的四分之一光滑圆弧 BC 连接。
滑块的质量为 0.6kg 。
若滑块从 A 点以初速度υ ＝4m/s 向 B 端运动，运动到圆弧 BC 之间的 D点时速度减小为零，AB 之间距离为 2m ，∠DOB=60o 。
重力加速度 g ＝10m/s 2，sin37o =0.6，cos37o =0.8），求：（1）滑块在 B 点时的速度；（2）滑块在水平轨道上运动时受到的阻力 f ；（3）若用与水平方向成 37o 角的拉力 F ，将静止的滑块从 A 点拉到 B 点，假设滑块受到水平轨道的阻力 f 不变。
求拉力 F 的大小范围。
ORCυ60oDAB-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- - - - （第二学期高一年级物理期终试卷答题纸一．单项选择题 (共 12 分，每小题 2 分 )12 3 4 5 6 7 8 9 10- - - - - - 题 - - 答 - - 准 - 不 - - 内 - 线 - - 封 - - 密 - - - - - - -二．单项选择题 (共 12 分，每小题 3 分。