排列组合和概率二项式定理320041214

课 题： 10．4二项式定理(三)
教学目的：
1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；
3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力
教学重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 教学难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n
r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，
（2）1
(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+.
2．二项展开式的通项公式：1r n r r
r n T C a b -+=
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
二、讲解新课：
1 二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，
二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r
n
C 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,
,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的
点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
（∵m n m
n n C C -=）．
直线2
n
r =
是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k
k n n n n n n k n k C C k k
----+-+==⋅
， ∴k n C 相对于1
k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112
n k n k k -++>⇔<
， 当12
n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，
且在中间取得最大值；
当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n
C -，12n n
C
+取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵1
(1)1n r r n n n x C x C x x +=++
++
+，
令1x =，则012
2n r n
n n n n n C C C C C =+++
++
+
三、讲解范例：
例1．在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式01()()
n n n
r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123
(11)(1)n n n
n n n n n C C C C C -=-+-++-，
即02
13
0()()n n n n C C C C =++-++
，
∴02
13
n n n n C C C C ++
=++
，
即在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知02
1312n n n n n C C C C -++=++
=.
例2．已知72
70127(12)x a a x a x a x -=+++
+，求：
（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）
017||||||a a a +++.
解：（1）当1x =时，7
7
(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为
0127a a a a +++
+
∴0127a a a a +++
+1=-，
当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，
（2）令1x =， 0127a a a a +++
+1=- ①
令1x =-，7
012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得：7
13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7
132
+-.
（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，
∴由（2）中①+② 得：7
02462()13a a a a +++=-+，
∴ 7
0246132
a a a a -++++=，
∴017||||||a a a ++
+=01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3
的系数
解：)
x 1(1]
)x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(1010
2
+-+-+=+++++）（
=x
x x )1()1(11+-+，
∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7
C
例4.在(x 2+3x+2)5
的展开式中，求x 的系数
解：∵5
552)2x ()1x ()2x 3x (++=++
∴在(x+1)5
展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 1
5=，
在(2+x)5
展开式中，常数项为25
=32，含x 的项为x 80x 2C 4
15=
∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240例5.已知n
2
)x
2x (-
的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
解：依题意2
n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10
设第r+1项为常数项，又 2
r 510r 10r r 2r
10r 10
1r x C )2()x
2()x (C T --+-=-=
令
2r 02
r
510=⇒=-， .180)2(C T 22
1012=-=∴+此所求常数项为180
四、课堂练习：
（1）()20
25x y -的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项；
（2）1
)n x
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ． （3）0
n C +12n C +2
4n C ++2n n n C 729=，则123
n n n n n C C C C ++++=（ ）
A ．63
B.64
C.31
D.32
（4）已知：50
25001250(2)
a a x a x a x =++++，
求：2202501349()()a a a a a a ++
+-+++的值
答案：（1）20
2，20
3，11； （2）
展开式中只有第六项的二项式系数最大，
∴ 10n =， 37
3
4101()T C x
== （3）A ．
五、小结 ：1．性质1是组合数公式r n r
n n C C -=的再现，性质2是从函数的角度
研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：
求6
0.998的近似值，使误差小于0.001．
解：66011
666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-+
+-，
展开式中第三项为22
60.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011
660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，
一般地当a 较小时(1)1n
a na +≈+。