离散变量优化问题ppt课件
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连续优化、离散优化、组合优化与整数优化
连续优化、离散优化、组合优化与整数优化最优化问题（optimization problem）⾃然地分成两类：⼀类是连续变量的问题，称为连续优化问题；另⼀类是离散变量的问题，称为离散优化问题。
1. 连续优化（continuous optimization）连续优化是求解连续优化是求解在连续变量的问题，其⼀般地是求⼀组实数，或者⼀个函数。
离散优化（discrete optimization）2. 离散优化连续优化是求解离散变量的问题，是从⼀个⽆限集或者可数⽆限集⾥寻找⼀个对象，典型地是⼀个整数，⼀个集合，⼀个排列，或者⼀个图。
3. 组合优化（combinatorial optimization）组合优化问题的⽬标是从组合问题的可⾏解集中求出最优解，通常可描述为：令Ω={s1，s2，…，sn}为所有状态构成的解空间，C(si)为状态si对应的⽬标函数值，要求寻找最优解s*，使得对于所有的si∈Ω，有C(s*)=minC(si)。
组合优化往往涉及排序、分类、筛选等问题，它是运筹学的⼀个重要分⽀。
典型的组合优化问题有旅⾏商问题（Traveling Salesman Problem－TSP）、加⼯调度问题（Scheduling Problem，如Flow-Shop，Job-Shop）、0-1背包问题（Knapsack Problem）、装箱问题（Bin Packing Problem）、图着⾊问题（Graph Coloring Problem）、聚类问题（Clustering Problem）等。
这些问题描述⾮常简单，并且有很强的⼯程代表性，但最优化求解很困难，其主要原因是求解这些问题的算法需要极长的运⾏时间与极⼤的存储空间，以致根本不可能在现有计算机上实现，即所谓的“组合爆炸”。
正是这些问题的代表性和复杂性激起了⼈们对组合优化理论与算法的研究兴趣。
4. 整数优化（integer programming, IP）要求所有的未知量都为整数的线性规划问题叫做整数规划 (integer programming, IP) 或整数线性规划 (integer linear programming, ILP) 问题。
离散变量优化问题.
最优值 Zk Zi 0；
(1)最优解X *k 是整数解
将下界改为 Z k , 关闭Lk
(2)最优解 X *k 不是整数解
继续对Lk 分枝
当所有的子问题均被关闭或剪枝后
目标函数值最大的整数解既为所求的最优解
例：用分枝定界法求解整型优化问题（用图解法计算）：
和
x j [bj ] 1
将这两个约束条件,分别加入问题B,求两个后继规划问题B1和B2, 不考虑整数条件求解这两个后继问题.
（2）定界
以每个后继问题为一分枝标明求解结果,在解的结果中,找出最优 目标函数值最大者作为新的上界.从已符合整数条件的各分支中, 找出目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界为0.
传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化 设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。 弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最 优解。 x *为连续变量最优解；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可 行；
x(2)是最近的可行离散点，但不是离 散最优点； x(3)是离散最优点。
子问题 L1 : 剪枝 1 、L1无最优解， 2、最优解 X *1 ( x *11 ，x *12 ,, x *1n ), 最优值 z1 (1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
子问题 L2 :
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
设已找到下界 Zi0 ：
讨论子问题 Lk :
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分枝)的方法， 逐步减小 z ，增大 z ，最终求到 z * 。
z z* z
三个基本操作：
（1）分枝
在松弛问题B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 x j ,其 值为 bj ,以 [b j ] 表示小于 bj 的最大整数。构造两个约束条件
(1)最优解X *k 是整数解
将下界改为 Z k , 关闭Lk
(2)最优解 X *k 不是整数解
继续对Lk 分枝
当所有的子问题均被关闭或剪枝后
目标函数值最大的整数解既为所求的最优解
例：用分枝定界法求解整型优化问题（用图解法计算）：
和
x j [bj ] 1
将这两个约束条件,分别加入问题B,求两个后继规划问题B1和B2, 不考虑整数条件求解这两个后继问题.
（2）定界
以每个后继问题为一分枝标明求解结果,在解的结果中,找出最优 目标函数值最大者作为新的上界.从已符合整数条件的各分支中, 找出目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界为0.
传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化 设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。 弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最 优解。 x *为连续变量最优解；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可 行；
x(2)是最近的可行离散点，但不是离 散最优点； x(3)是离散最优点。
子问题 L1 : 剪枝 1 、L1无最优解， 2、最优解 X *1 ( x *11 ，x *12 ,, x *1n ), 最优值 z1 (1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
子问题 L2 :
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
设已找到下界 Zi0 ：
讨论子问题 Lk :
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分枝)的方法， 逐步减小 z ，增大 z ，最终求到 z * 。
z z* z
三个基本操作：
（1）分枝
在松弛问题B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 x j ,其 值为 bj ,以 [b j ] 表示小于 bj 的最大整数。构造两个约束条件
第7章 多目标优化和离散变量优化概述
[x2*] [x1*] X*周围的整型点群 [x1*]+1 X*周围的整型点群 均不在可行域内
离X*较远处整型点为 优化点
7.2.3 离散变量优化问题的网格解法
1、方法： 以一定的变量增量为间隔，把设计空间划分为若干个网格，计算 在域内的每个网格结点上的目标函数值，比较其大小，再以目标 函数值最小的节点为中心，在其附近空间划分更小的网格，在计 算在域内各节点上的目标函数值。重复进行下去，直到网格小到 满足精度为止。 2、特点： 此法对低维变量较有效，对多维变量因其要计算的网格节点数目 成指数幂增加，故很少使用。
7.1.2多目标优化问题解的特性
1.非劣解
是指若有m个目标fi(X0)(i=1,2,,m)，当要求(m-1)个目标值不变坏时， 找不到一个X，使得另一个目标函数值fi(X)比fi(X*)更好，则将此X*作 为非劣解，关键是要选择某种形式的折中。
2.例 V min F ( X ) min f1 ( X ), f 2 ( X )]T [
(ii)分目标函数值最优化法： j 1 / f j *
f j * minf j ( X) XD 目的：反映了各分目标函数离开各自最优值的程度。
7.1.5功效系数法——几何平均法
(1)适用条件：
各单目标要求不全相同，有的要求极小值，有的要求极大 值，有的则要求有一个合适的值。
(2)方法：
f2 ( X ) x f1 ( X ) x 2 2 x D { x | 0 x 2}
X R
n
a a’ 1
b
2
说明：
(1)当 D { x | 0 x 1} 时， X=[1，1]T，是绝对最优解； 其余点是劣解。 全区域中都能找到 (2)当 D { x | 0 x 2} 时， 全部分目标函数值 都比它小的点 X∈[1，2]中任何点都 是非劣解；
第七章 多目标及离散变量优化方法简介
此种方法在确定加权因子时，只需预先求出各个单目标最 优值，无需其它信息，同时又反映了各个单目标函数值离开各 自最优值的程度。此法也可理解为对各个分目标函数作统一量 纲处理。这时在列出统一目标函数时，不会受各分目标值相对 大小的影响，能充分反应出各分目标在整个问题中有同等重要 含义。若各个分目标重要程度不相等，则可在上述统一量纲的 基础上再另外赋以相应的加权因子值。
再用fi(X)与Wj(j=1,2,…,t)的线性组合构成一个新的评价函数 F(X)= Wifi(X)
如若将多目标优化问题转化为单目标优化问题，即求评价函数 的最优解X* ，则可写为 F(X)= ｛ Wifi(X)｝
这样，就使原来的多目标优化问题合理地转化为单目标优 化问题，而且此单目标优化问题的解又是原多目标优化问题比 较好的非劣解。 对于加权因子Wi的选取，要求比较准确地反映各个分目标 对整个多目标问题的重要程度和对各自不同的估价和折衷。下 面介绍一种确定加权因子的方法。这种方法是将各单目标最优 化值的倒数取作加权因子。 即 Wi=1/ （i=1，2，……t） （i=1，2，……t）
多目标优化设计问题原则要求各分量目标都达到最 优，如能获得这样的结果，当然是十分理想的。但是，事 实上解决多目标优化设计问题是一个比较复杂的问题，尤 其是在各个分目标的优化相互矛盾，甚至相互对立时更是 如此。
譬如，在使精度和强度尽可能提高的同时，均会使 总成本增加。在这里，各分目标函数的优化已明显发生 了相互的矛盾和对立。要解决这个问题，就要对各个分 目标进行协调，使其互相做出些“让步”，以得到对各 自分目标要求都比较接近的、比较好的最优方案。 近年来国内、外学者虽然对多目标优化问题作了许 多研究，提出了不少解决的方法，但比起单目标优化设 计问题，在理论上和计算方法上还很不完善，也不够系 统。 本章将在前述各章单目标优化方法的基础上，扼要 介绍多目标优化设计方法的一些基本概念、求解思路和 处理方法。
再用fi(X)与Wj(j=1,2,…,t)的线性组合构成一个新的评价函数 F(X)= Wifi(X)
如若将多目标优化问题转化为单目标优化问题，即求评价函数 的最优解X* ，则可写为 F(X)= ｛ Wifi(X)｝
这样，就使原来的多目标优化问题合理地转化为单目标优 化问题，而且此单目标优化问题的解又是原多目标优化问题比 较好的非劣解。 对于加权因子Wi的选取，要求比较准确地反映各个分目标 对整个多目标问题的重要程度和对各自不同的估价和折衷。下 面介绍一种确定加权因子的方法。这种方法是将各单目标最优 化值的倒数取作加权因子。 即 Wi=1/ （i=1，2，……t） （i=1，2，……t）
多目标优化设计问题原则要求各分量目标都达到最 优，如能获得这样的结果，当然是十分理想的。但是，事 实上解决多目标优化设计问题是一个比较复杂的问题，尤 其是在各个分目标的优化相互矛盾，甚至相互对立时更是 如此。
譬如，在使精度和强度尽可能提高的同时，均会使 总成本增加。在这里，各分目标函数的优化已明显发生 了相互的矛盾和对立。要解决这个问题，就要对各个分 目标进行协调，使其互相做出些“让步”，以得到对各 自分目标要求都比较接近的、比较好的最优方案。 近年来国内、外学者虽然对多目标优化问题作了许 多研究，提出了不少解决的方法，但比起单目标优化设 计问题，在理论上和计算方法上还很不完善，也不够系 统。 本章将在前述各章单目标优化方法的基础上，扼要 介绍多目标优化设计方法的一些基本概念、求解思路和 处理方法。
最优化_第7章 多目标及离散变量优化方法
1、先求非劣解； 2、从非劣解中选出选好解。
四. 常用的求选好解的方法： 1、主要目标法 2、统一目标函数法：线性加权因子法、极大极小… 3、功效系数法 4、分层序列法
§7.2 多目标优化方法
一．主要目标法
思想:抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作 为主要目标，将其他目标转化成约束条件）
原模型: 转变后模型:
f
2 max
当x=b,
f2(X)取得最差值
f
2 min
f
f
1 max
f
2 max
f1
f
1 min
f
2 min
0 a x1 x2
f2 bx
随着设计变量X的值不断增大，目标函数 f1(X)的值越来越好，目标函数 f2(X)的值越来越差
§7.1 多目标优化问题
一. 多目标问题的数学模型：
设 X =[x1, x2 , …,xn]T
6
f1(X)
4．分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法：将多目标优化问题中的l个目标函数分清主次， 按重要程度排序，然后依次对各个目标函数 求最优解。后一目标应在前一目标最优解的 集合域内寻优。
假设f1(X)最重要， f2(X)其次， f3(X)再其次, … 首先对第一个目标函数f1(X)求解
miXn f1D(X ) 求出最优解域 f1 *
min f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
s.t. gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
v = 1,2,…, p
min fk(X)
X∈Rn
s.t. fi(X) ≤ fi0
i = 1,2,,…,k-1,k+1,…q
四. 常用的求选好解的方法： 1、主要目标法 2、统一目标函数法：线性加权因子法、极大极小… 3、功效系数法 4、分层序列法
§7.2 多目标优化方法
一．主要目标法
思想:抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作 为主要目标，将其他目标转化成约束条件）
原模型: 转变后模型:
f
2 max
当x=b,
f2(X)取得最差值
f
2 min
f
f
1 max
f
2 max
f1
f
1 min
f
2 min
0 a x1 x2
f2 bx
随着设计变量X的值不断增大，目标函数 f1(X)的值越来越好，目标函数 f2(X)的值越来越差
§7.1 多目标优化问题
一. 多目标问题的数学模型：
设 X =[x1, x2 , …,xn]T
6
f1(X)
4．分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法：将多目标优化问题中的l个目标函数分清主次， 按重要程度排序，然后依次对各个目标函数 求最优解。后一目标应在前一目标最优解的 集合域内寻优。
假设f1(X)最重要， f2(X)其次， f3(X)再其次, … 首先对第一个目标函数f1(X)求解
miXn f1D(X ) 求出最优解域 f1 *
min f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
s.t. gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
v = 1,2,…, p
min fk(X)
X∈Rn
s.t. fi(X) ≤ fi0
i = 1,2,,…,k-1,k+1,…q
第5章多目标及离散变量优化方法
《车辆优化设计理论与实践》教学课件
若考虑用加权系数W（i i= 1，…），对应于分目标 fi表示各目标函数重 要程度，则式（5-8）可写成更一般的加权系数形式为
U ( f ) m1iaxl {Wi fi }
式（5-9）可写为
（5-10）
min
XD
m1iaxl {Wi
fi
(
X
)}
（5-11）
(
X
)}
（5-8）
为评价函数，其中f=[ f1, f2,, fl ]T 。对式（5-8）求优化解就是进行
如下形式的极小化
min
XD
U
(
f
(
X
))
min
XD
max{
1il
fi
(
X
)}
（5-9）
将上述问题的优化解作为多目标优化问题的解。由式（5-8）、式
（5-9）可知；该法特点是对各目标函数作极大值选择后,再在可行
变量应满足所有约束条件。
多目标优化问题与单目标优化问题相比较可以看出，在单 目标优化问题中得到的是最优解，而在多目标优化问题中 得到的只是非劣解。而且，非劣解往往不只一个。如何求
得能接受的最好非劣解，关键是要选择某种形式的折衷。
所谓非劣解（或称有效解，Pareto最优解），是指若有m 个目标 f1(X (0))(i 1,2,m),当要求(m-1）个目标值不变坏时， 找不到一个X ,使得另―个目标函数值 fi ( X ) 比 fi (X *)更好， 则将此X *作为非劣解
若在理想点法的基础上引入权系数，构造的评价函数为
l
U ( X ) Wi ( fi ( X ) fi )2 i1
最优化-第7章-多目标及离散变量优化方法PPT课件
0.7 满
意 区
0.3 间
较 满 意 区
可 接 受
0.7
满 意
区
0.3
可间
接
受
间
区 间
0 fi
fi(0) fi(1) fi(2) fi(3) fi
区
0
间
fi(3) fi(2) fi(1) fi(0)fiʹ(0)fiʹ(1) fiʹ(2) fiʹ(3)
fi
目标函数越大越好
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
评价函数: Ufm 1iax q fiX
对该式求优化解就是进行如下形式的极小化
m X iD n U fX m X iD n m 1 a i x l fiX
.
12
f
max {f1(X), f2(X)}
f1(X)
f2(X)
x
.
13
3）理想点法 使各个目标尽可能接近各自的理想值
评价函数:
.
28
宽容分层序列法：
1）
m
in X
f1( X D
)
2）XminXf2(fX1()X)f1*1
3）Xm Xinfi(fX 3()X)fi*ii1,2 4） X m X infif(l(X X )) fi* ii 1 ,2 ,l1
.
29
设计人员原本的意图是优化结束后，f1的取值尽量靠近10，f2的取
值可以稍微劣一些，例如可在2000左右。
第k次迭代时， f1的取值为15， f2的取值为1800，则
F (X k ) 0 .8 1 5 0 .2 1 8 0 0 3 7 2
第k+1次迭代时，为了让整体评价函数F(X)取值更优，无论采用 哪种优化方法，优化程序会拼命的降低 f2的取值，升高 f1的取值
离散优化问题
离散优化问题
离散优化问题是指在离散的情况下，利用数学方法寻求最优解的问题。
主要研究的对象是离散的决策变量，而目标函数和约束条件通常是线性或非线性的。
离散优化问题在实际应用中广泛存在，如在生产调度、物流配送、资源分配、网络设计等领域中。
离散优化问题的求解方法主要有数学规划、搜索算法、动态规划、贪心算法等。
其中，数学规划是最常用的方法之一，其主要思想是将优化问题转化为数学模型，然后通过求解模型得到最优解。
而搜索算法则通过不断地搜索解空间来找到最优解，如深度优先搜索、广度优先搜索、模拟退火算法、遗传算法等。
动态规划则通过将问题分解为若干个子问题，并且这些子问题之间存在重叠，从而有效地降低求解复杂度。
贪心算法则是一种简单而直观的求解方法，其主要思想是在每一步选择局部最优解，从而最终得到全局最优解。
总体而言，离散优化问题的求解方法多种多样，需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，离散优化问题也是一个具有挑战性和研究价值的学科，其发展将推动各个领域的进步和发展。
- 1 -。
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Z (0) 218 / 11 19.8
即 Z（0）也是离散问题目标函数的上限。
12
13
松弛问题最优解： x* (x1, x2 ) (18 / 11, 40 / 11)
Z (0) 218 / 11 19.8
对于x1＝18 / 11 1.64， 取值x1 1，x1 2 对于x2 40 / 11 3.64， 取值x2 3，x2 4
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
5
分枝定界法基本思想： 设有最大化的整型优化问题A，相应有松弛问题B，从解松弛问题 B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数
必是A的最优目标函数 z * 的上界，记作 z ；而A的任意可行解
的目标函数值将是 z * 的一个下界，记作 z 。
(IP1)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
1
此时B在点取得最优解。 x1＝1, x2 3, Z 1＝16
18
19
求（LP2）,如图所示。
离散变量问题优化算法 （Algorithms for Discrete Variable Problem）
1
§9.1 引言
一般的优化方法只能求得连续变量的最优解。 工程实际中存在大量混合设计变量问题。 混合设计变量包含：连续设计变量、整型设计变量和离散设 计变量。 例如：齿轮传动装置的优化设计， 齿数是一个整型量，模数是一系列 离散量，变位系数可以看做连续量， 齿宽若按长度1mm单位计算，则也可 以看做整型量。
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）, 取 x1 1, x1 2。
14
将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取 x1 1, x1 2 。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(
IP1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
1
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(IP2)
7
（2）定界 以每个后继问题为一分枝标明求解结果,在解的结果中,找出最优 目标函数值最大者作为新的上界.从已符合整数条件的各分支中, 找出目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界为0.
（3）比较与剪枝
各分支的最优目标函数中若有小于 z ，则剪掉这枝；若大于 z
且不符合整数条件，则重复前两步，直到找到最优解。
2
传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化 设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。
弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最 优解。
x *为连续变量最优解；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可 行；
x(2)是最近的可行离散点，但不是离 散最优点；
x(3)是离散最优点。
8
分枝定界法计算过程：
上界
讨论松弛问题L0 : 1、L0无最优解，则(IP)无最优解 结束
2、最优解X *0 (x *01 ，x *02 , , x *on ), 最优值z0
(1) X *0 为整数解 ，则X *0 为(IP)的最优解 结束
(2) X *0 中至少有一个是分数， 设x *01 是分数 ：分枝
3
离散变量优化方法
离散变量优化难点：不存在指导搜索过程的最优性条件。 直接方法：枚举法（enumeration）。可行点过多时，计算量大。 减少计算量：随机思想（stochastic ideas）、启发式原则（heuristic rules）。 两种基本方法： （隐式）枚举法：如，分枝定界法（the branch and bound algorithm）； 随机或进化方法：如，模拟退火算法、遗传算法等。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
11பைடு நூலகம்
求出松弛问题最优解：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
x* (x1, x2 ) (18 / 11, 40 / 11)
4
§9.3 分枝定界法（the branch and bound algorithm）
引入概念：松弛问题。
以整型优化问题为例：
松弛问题：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5x1
x1
6
x2
30 4
x1, x2 0且全为整数
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
当所有的子问题均被关闭或剪枝后 目标函数值最大的整数解既为所求的最优解
10
例：用分枝定界法求解整型优化问题（用图解法计算）：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1, x2 0且全为整数
首先去掉整数约束，变为一般线性优化问题（松弛问题），记为
LP：
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。
15
16
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(IP1)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
1
17
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
子问题L1 : 1、L1无最优解，剪枝 2、最优解X *1 (x *11 ，x *12 , , x *1n ),
最优值z1
(1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
子问题L2 :
9
设已找到下界Zi0：
讨论子问题Lk : 若 Lk 的最优值 Zk Zi0，剪枝 若 Lk 的最优值 Zk Zi0； (1)最优解X *k 是整数解 将下界改为 Z k ,关闭Lk (2)最优解X *k 不是整数解 继续对Lk 分枝
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分枝)的方法，
逐步减小 z ，增大 z ，最终求到 z *。
z z* z
6
三个基本操作： （1）分枝
在松弛问题B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 x j ,其
值为 b j ,以 [bj ] 表示小于 b j 的最大整数。构造两个约束条件
x j [bj ] 和 x j [bj ] 1 将这两个约束条件,分别加入问题B,求两个后继规划问题B1和B2, 不考虑整数条件求解这两个后继问题.
即 Z（0）也是离散问题目标函数的上限。
12
13
松弛问题最优解： x* (x1, x2 ) (18 / 11, 40 / 11)
Z (0) 218 / 11 19.8
对于x1＝18 / 11 1.64， 取值x1 1，x1 2 对于x2 40 / 11 3.64， 取值x2 3，x2 4
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
5
分枝定界法基本思想： 设有最大化的整型优化问题A，相应有松弛问题B，从解松弛问题 B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数
必是A的最优目标函数 z * 的上界，记作 z ；而A的任意可行解
的目标函数值将是 z * 的一个下界，记作 z 。
(IP1)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
1
此时B在点取得最优解。 x1＝1, x2 3, Z 1＝16
18
19
求（LP2）,如图所示。
离散变量问题优化算法 （Algorithms for Discrete Variable Problem）
1
§9.1 引言
一般的优化方法只能求得连续变量的最优解。 工程实际中存在大量混合设计变量问题。 混合设计变量包含：连续设计变量、整型设计变量和离散设 计变量。 例如：齿轮传动装置的优化设计， 齿数是一个整型量，模数是一系列 离散量，变位系数可以看做连续量， 齿宽若按长度1mm单位计算，则也可 以看做整型量。
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）, 取 x1 1, x1 2。
14
将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取 x1 1, x1 2 。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(
IP1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
1
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(IP2)
7
（2）定界 以每个后继问题为一分枝标明求解结果,在解的结果中,找出最优 目标函数值最大者作为新的上界.从已符合整数条件的各分支中, 找出目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界为0.
（3）比较与剪枝
各分支的最优目标函数中若有小于 z ，则剪掉这枝；若大于 z
且不符合整数条件，则重复前两步，直到找到最优解。
2
传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化 设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。
弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最 优解。
x *为连续变量最优解；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可 行；
x(2)是最近的可行离散点，但不是离 散最优点；
x(3)是离散最优点。
8
分枝定界法计算过程：
上界
讨论松弛问题L0 : 1、L0无最优解，则(IP)无最优解 结束
2、最优解X *0 (x *01 ，x *02 , , x *on ), 最优值z0
(1) X *0 为整数解 ，则X *0 为(IP)的最优解 结束
(2) X *0 中至少有一个是分数， 设x *01 是分数 ：分枝
3
离散变量优化方法
离散变量优化难点：不存在指导搜索过程的最优性条件。 直接方法：枚举法（enumeration）。可行点过多时，计算量大。 减少计算量：随机思想（stochastic ideas）、启发式原则（heuristic rules）。 两种基本方法： （隐式）枚举法：如，分枝定界法（the branch and bound algorithm）； 随机或进化方法：如，模拟退火算法、遗传算法等。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
11பைடு நூலகம்
求出松弛问题最优解：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
x* (x1, x2 ) (18 / 11, 40 / 11)
4
§9.3 分枝定界法（the branch and bound algorithm）
引入概念：松弛问题。
以整型优化问题为例：
松弛问题：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5x1
x1
6
x2
30 4
x1, x2 0且全为整数
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
当所有的子问题均被关闭或剪枝后 目标函数值最大的整数解既为所求的最优解
10
例：用分枝定界法求解整型优化问题（用图解法计算）：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1, x2 0且全为整数
首先去掉整数约束，变为一般线性优化问题（松弛问题），记为
LP：
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。
15
16
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(IP1)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
1
17
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
子问题L1 : 1、L1无最优解，剪枝 2、最优解X *1 (x *11 ，x *12 , , x *1n ),
最优值z1
(1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
子问题L2 :
9
设已找到下界Zi0：
讨论子问题Lk : 若 Lk 的最优值 Zk Zi0，剪枝 若 Lk 的最优值 Zk Zi0； (1)最优解X *k 是整数解 将下界改为 Z k ,关闭Lk (2)最优解X *k 不是整数解 继续对Lk 分枝
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分枝)的方法，
逐步减小 z ，增大 z ，最终求到 z *。
z z* z
6
三个基本操作： （1）分枝
在松弛问题B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 x j ,其
值为 b j ,以 [bj ] 表示小于 b j 的最大整数。构造两个约束条件
x j [bj ] 和 x j [bj ] 1 将这两个约束条件,分别加入问题B,求两个后继规划问题B1和B2, 不考虑整数条件求解这两个后继问题.