《数学物理方法》各章节作业题
《数学物理方法》第一章作业参考解答
《数学物理方法》第一章作业参考解答1. 利用复变函数导数的定义式，推导极坐标系下复变函数),(),()(ϕρϕρiv u z f +=的C-R 条件为∂∂−=∂∂∂∂=∂∂ϕρρϕρρu v vu 11 证：由于复变函数)(z f 可导，即沿任何路径，任何方式使0→∆z 时，z z f z z f ∆−∆+)()(的极限都存在且相等，因此，我们可以选择两条特殊路径，（1）沿径向，0→∆=∆ϕρi e z.ϕϕρρϕρρϕρρϕρϕρϕρρϕρρϕρϕρρi i e v i u e iv u iv u z f f −→∆∂∂+∂∂=∆−−∆++∆+=∆−∆+),(),(),(),(),(),(),(),(lim（2）沿半径为ρ的圆周，()()ϕρρρρϕϕϕϕϕ∆≈−=∆=∆∆+i i i i e i e e e zϕϕϕϕϕρϕϕρϕϕρϕρϕρϕρϕϕρϕϕρρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρi i i i e u i v ie iv u iv u e e iv u iv u zf f −∆→∆∂∂−∂∂=∆−−∆++∆+=−−−∆++∆+=∆−∆+1),(),(),(),(),(),()1(),(),(),(),(),(),(lim以上两式应相等，因而，ϕρρ∂∂=∂∂vu 1 ϕρρ∂∂−=∂∂u v 1 2. 已知一平面静电场的等势线族是双曲线族C xy =,求电场线族，并求此电场的复势（约定复势的实部为电势）。
如果约定复势的虚部为电势，则复势又是什么？解：0)(2=∇xy xy y x u =∴),(由C-R 条件可得C x x b x y u x b x v x b y y x v y x u y v +−=⇒−=∂∂−=′=∂∂+=⇒=∂∂=∂∂2221)()()(21),(C y x y x v +−−=)(21),(22电场线族为：（或者：由 +−=+−=∂∂+∂∂=222121),(y x d ydy xdx dy y v dx x v y x dv ，得C y x y x v +−−=)(21),(22）iC z i i C y x xy +−=+−−+=2222)(21w 复势为：若虚部为电势，则xy y x v =),(同理由C-R 条件可得Cx x A x y v x A x u x A y y x u y x v y u +=⇒=∂∂=′=∂∂+−=⇒−=∂∂−=∂∂2221)()()(21),(C y x y x u +−=)(21),(22C z ixy C y x +=++−=22221)(21w 复势为：3．讨论复变函数||)(xy iy x z f =+=在0=z 的可导性？（提示：选择沿X 轴、Y 轴和Y=aX 直线讨论）解：考虑当函数沿y=ax 趋近z=0时2)(ax z f = )1()1(||||lim )()(lim00+±=+∆−∆+=∆−∆+→∆→∆ia aia x x a x x a z z f z z f x z 可见上式是和a 有关的，不是恒定值所以该函数在z=0处不可导4.判断函数()()111)(2−++=−+=z z z z z z f 的支点，选定一个单值分支)(0z f ，计算)(0x f ？计算)(0i f −的值？ 解：可能的支点为∞−=,1,1,0z 。
数学物理方法第三版答案
数学物理方法第三版答案【篇一：数学物理方法试卷答案】xt>一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ b ） a．微分方程和边界条件. b. 微分方程和初始条件. c．微分方程和初始边界条件. d. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ d）a．存在性和唯一性. b. 唯一性和稳定性. c. 存在性和稳定性. d. 存在性、唯一性和稳定性.??2u?0,?3．牛曼内问题 ??u 有解的必要条件是（ c）??n?f??a．f?0.b．u??0.c．?fds?0. d．?uds?0.???x(x)??x(x)?0,0?x?l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题??x(0)?x(l)?0的解是（ b ）n?n??n???n??x ).b．( ?x ). a．( ??,cos?,sinllll????(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)???(2n?1)??x ).d．( ?x ). c．( ??,cos?,sin2l2l2l2l????22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ d ）a．uxx?4uxy?5uyy?ux?2uy?0. b．uxx?4uxy?4uyy?0.c．x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xyux?y2uy?0. d．uxx?3uxy?2uyy?0.二、填空题（每题4分，共20分）??2u?2u?2?2?0, 0?x??, t?0?t?x??1．求定解问题?ux?0?2sint, ux????2sint, t?0的解是(2sintcosx).??ut?0?0, utt?0?2cosx, 0?x????2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(x,y)uxx?2b(x,y)uxy?c(x,y)uyy?dux?euy?fu?0其特征方程为( a(x,y)(dy)2?2b(x,y)dxdy?c(x,y)(dx)2?0). 3．二阶常微分方程y(x)?或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ ln1（）.r1 ），三维拉普拉斯方程的基本解为r113y(x)?(?2)y(x)?0的任一特解y?（ jx44x1(x) 3225．已知j1(x)?222sinx, j1(x)?cosx，利用bessel函数递推公式求??x?x23j3(x)?（221221dsinx(sinx?cosx)??x()()）. ?xx?xdxx三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题2??2u2?u??t2?a?x2?0, 0?x?l, t?0??u??u?0, ?0, t?0 ??xx?l??xx?0?u?x, utt?0?0, 0?x?l.?t?0?解：第一步：分离变量(4分) 设u(x,t)?x(x)t(t)，代入方程可得x(x)t(x)x(x)t(t)?ax(x)t(t)??2x(x)at(x)2此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。
数学物理方法习题解答
第八章习题P201：1，2，5，6，11，12，13，16，17，201.长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后突然撇除这力，求解弦的振动。
解：此题的定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l u =⎧-=<<⎪==⎪⎪-⎧⎪<<⎪⎪⎨=⎨⎪⎪⎪-<<⎪⎩⎪⎪=⎩)4()3()2()1(令(,)()()u x t X x T t =代入泛定方程(1)中得X T X aTλ''''==- 可得20T a T X X λλ''⎧+=⎨''+=⎩ (0)()0X X l ==求解关于x 本征值问题，得到本征值和本征函数()2/n l λπ= (1,2,3,n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅()sinn X x C x lπ= 将本征值代入关于t 的常微分方程，得到22220a n T T lπ''+= 其解为 ()cossin n n n n a n aT t A x B t l lππ=+ 1(,)()()cos sin sin n n n n a n a n u x t X x T t A t B t x l l l πππ∞=⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∑将u 的级数解代入初始条件(4)得到001|sin cos sin t t n n t n n a n a n a n a n u A x B t xl l l l l πππππ∞===⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑1sin 0nn n a n B x l lππ∞===∑ 0n B ∴=则1(,)cossin n n n a n u x t A t x l lππ∞=∴=∑ 根据初始条件(3)有0001000,(0),(,0)sin (),(),n n F l x x x x n T lu x A x F x l l x x x l T l π∞=-⎧<<⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩∑02()sin l n n A d l l πϕξξξ=⎰ 000000022sin ()sin x l x F l x F x n n d l d l T l l l T l l ππξξξξξξ-=+-⎰⎰ 02000022222sin cos cos x lx F l x F x l n l n n l n l T l n l n l l T l n l ππξππξξξπππ⎧⎡⎤-⎪=--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎩020022sin cos lx F x l n n n T l n l l l ππξπξξπ⎫⎪⎡⎤--⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎭000000000220()2sin cos cos cos xF l x l n x n x n x F x n x n l T n l l l T n l πππππππ⎧-⎪⎡⎤⎡⎤=---⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎩0000022cos sin cos F x l n x n x n x n n T n l l l ππππππ⎫⎡⎤---+⎬⎢⎥⎣⎦⎭ 002221sin F l n x T n lππ=∴ 00221121(,)cos sin sin cos sin n n n F l n x n a n n a n u x t A t x t x l l T n l l l ππππππ∞∞==∴==∑∑2.求解细杆热传导问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20/)(l x l bx u t -==。
数学物理方法作业第三份
数学物理方法作业第三份第七章数学物理定解问题1．研究均匀杆的纵振动。
已知x?0端是自由的，则该端的边界条件为__2．研究细杆的热传导，若细杆的x?0端保持绝热，则该端的边界条件为__。
3．说明物理现象初始状态的条件叫__初始条件,说明边界上的约束情况的条件叫__边界条件__，统称为_定解条件_。
4．光滑细杆热传导系数为k，在x?l端的存有强度为q0的热流流向，则该端的边界条件为____-kun│x=_?=-q。
5、以下方程就是波动方程的就是d。
autt?auxx?f；but?auxx?f；22u?aux。
u?autttxxc；d226、泛定方程utt?a2uxx?0要构成定解问题，则应有的初始条件个数为b。
a1个；b2个；c3个；d4个。
7．“一根短为l两端紧固的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h，（如图〈1〉所示）然后放手任其振动。
”该物理问题的初始条件为(d)。
l?2hx,x?[0,]?l2??2hl?(l?x),x?[,l]2?lu0t?0t?0uhl/2xa．ut?o??ub．ut?h?0图〈1〉c．ut?0?hl2hx,x[0,]l2u2hld．?t?0?(l?x),x?[,l]2lutt008．“线密度为?，短为l的光滑弦，两端紧固，已经开始时恒定，后由于在点x0(0?x0?l)受谐变力f0sin?t的促进作用而振动。
”则该定求解问题为(b)。
(xx0)2,(0xl)uttauxxf0sinta．u?x?0?0,ux?l?0,ut?0?01(xx0)2uaufsint,(0xl)xx0ttb．?ux?0?0,ux?l?0u0,utt00t0(xx0)2uaufsint,(0xl)xx0ttc．?ut00,utt00utta2uxx0,(0xl)fsint(xx0)d．?ux?0?0,ux?l?0ut?0?0,utt?0?09．研究长为l的均匀杆的纵振动。
若杆的两端均为自由端，则边界条件为(d)。
(0135)《数学物理方法》大作业A
二、求解下列各题（共 2 题，每题 10 分，共 20 分）
答题要求：请对下列 2 个小题解答，要求写出必要的解题步骤． 1、证明函数 f ( z) e 2、已知解析函数
y
2、求解定解问题
cos x ie sin x 在复平面上解析，且 f ( z) if ( z ) ．
y
ut a 2u xx 0, ( x ,t 0) u
t 0
f ( z) u( x, y) iv( x, y) 的实部为 u( x, y) 3x 2 y y 3 ，求此解析函数．
Q h 0
( x h) ( x h)
三、求下列积分（共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
课程名称【编号】 ：数学物理方法【0135】 大作业
n
n 1
1
4
z n 的收敛半径．
一、求解下列各题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分）
答题要求：请对下列 5 个小题解答，要求写出必要的解题步骤． 1、计算 ( 2 i) i(1 i 2)
1 在 z 1 3 内展成 z 1 的幂级数． 2 z 1 3、把函数 f ( z ) 2 在 3 z 4 内展成洛朗（Laurent）级数． z 7 z 12
答卷提交要求：考试题提前公布，学生下载试题和答题卷后，在答题卷上答题。完成 后需网上提交答卷。 答卷于 11 月 20 日－－12 月 6 日通过点击页面左侧导航栏内 “我的考 试”－“课程论文/大作业”提交。
-1题（共 2 题，每题 10 分，共 20 分）
答题要求：请按要求的方法对下列 2 个小题解答． 1、试用分离变量法求解以下定解问题
数学物理方法作业：16章勒让德函数
第十六章 勒让德常数16.1勒让德多项式的定义及表示16.1.1 定义及级数表示1. 勒让德方程：()()2110d dy x l l y dx dx ⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦2. 勒让德方程级数形式为：()()()()()22022!12!!2!l kl kl lk l k P x xk l k l k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-=---∑ ，（若l 为偶数，22l l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；若l 为奇数，122l l -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦） 3. 勒让德多项式的表达式：()01P x = ()1P x x =()()221312P x x =-()()331532P x xx =-16.1.2 微分表示勒让德多项式的微分形式（罗德里格斯表示式）：()()2112!ll l l l dP x x l dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦16.1.3 积分表示勒让德多项式的积分形式（拉普拉斯积分表示式）：()()2011cos ll P x x x d πϕϕπ=+-⎰利用积分，可以证明 ()1l P x ≤ []1,1x ∈- 证明：()()()2222222001111cos (1)cos sin os llll P x x i x d x x d x c d πππϕϕϕϕϕϕϕπππ=+-=+-=+⎰⎰⎰ 011d πϕπ≤=⎰16.1.4勒让德多项式的生成函数勒让德多项式的生成函数：()()21,12ll l G r x r P x xr r∞===-+∑()1r ≤()()1211,12l l l G r x P x lxr r∞+===-+∑ ()1r > ()11x -≤≤16.2 勒让德多项式的性质16.2.1()l P x 的具体形式1)(0=x P xx P =)(1)13(21)(22-=x x P)35(21)(33x x x P -=)33035(81244+-=x x P. . . . . .)]()()12[(11)(11x lP x xP l l x P l l l -+-++=16.2.2特殊性质1、奇偶性：()()()1ll l P x P x -=- 当l 为偶数时，()l P x 是偶数；当l 为奇数时，()l P x 是奇函数。
18秋福师《数学物理方法》在线作业二满分答案-1
1、C 2、B 3、B 4、B 5、A
一、单选题共50题，100分
1、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：C
2、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：B
3、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：B
4、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：B
5、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：B
26、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：D
27、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：A
28、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：A
29、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：D
30、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：B
31、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：D
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：B
13、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：A
14、
如题
AA
BB
CC
DD
【答案】参考选择：D15、如题AA NhomakorabeaBB
CC
数学物理方法习题解答（完整版）
数学物理方法习题解答（完整版）数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux=?，0v y ?=?，u v x y ??≠??。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ??= =??。
v vx y==0 ??。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y, 在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ===='=+=-= ? ?????????。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z→?→?=?=?'==?=?-?=?。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=?→?→?→+?+?+??==+??→。
【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z zz z==??】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ?+++≠?=+，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ?-+≠?=+?+??， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ?++≠?=+?+??。
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《数学物理方法》各章节作业题
要求：每章讲完后的下一周同一时间将作业收齐并交到辅导教师(2016级硕士生刘璋诚、王俊超和2015级硕士生魏弋翔、
徐鹏飞)处。
例如，第一周星期四讲完第一章，则第二周
星期四上课时交第一章的作业，以此类推。
说明：若无特别标注，下面的页码均指梁昆淼编《数学物理方法》。
（第三版的页码用红字标出，第四版的页码用蓝字标出）
希望：若对我的讲授和布置的作业有任何批评和建议，欢迎同学们及时指出和告知，不胜感激。
（最好用E-mail：）
辅导答疑安排：待定
辅导答疑教师：刘璋诚、王俊超、魏弋翔、徐鹏飞
第一部分复变函数论
“第一章复变函数的一般概念”作业题（2月23日交）
第5页（第三版）第6页（第四版）：
第1题中（1），（2），（4），（6），（10）；
第2题中（1），（2），（3），（7）；
第3题中（2），（3），（7），（8）；
第9页（第三版）第8页（第四版）：
第2题中（1），（3），（7），（9）；
第3题。
“第二章复变函数的导数”作业题（2月27日交）
第13页（第三版）第12页（第四版）：习题；
第18页（第三版）第16页（第四版）：
第1题；
第2题中（2），（3），（4），（8），（10），（11）；
第23页（第三版）第20页（第四版）：
第1题
第3题。
“第三章复变函数的积分”作业题（3月6日交）
第38页（第三版）第31页（第四版）：
第1题，第2题；
补充题1：有一无限长的均匀带电导线与Z轴平行,且与XY平面相交于 ，线电荷密度为λ，求此平面场的复势，并说明积分
⎰-l z dz α的物理意义。
补充题2：计算()⎰-l
n z dz α，ｎ为正整数，且ｎ≠＋１。
“第四章 复数级数”作业题（3月16日交）
第46页（第三版） 第37页（第四版）：第3题，第4题；
第52页（第三版） 第41页（第四版）：（1），（3），（4），（8）；
第60页（第三版） 第47页（第四版）：
（1），（2），（4），（5），（9），（11），（15）；
第64页（第三版） 第50页（第四版）：习题。
“第五章 留数定理”作业题（3月23日交）
第71页（第三版） 第55页（第四版）：
第1题中（1），（2），（3），（5），（9），（10）；
第2题中（1），（4）；
第3题；
第81页（第三版） 第63页（第四版）：
第1题中（4），（5），（7），（8）；
第2题中（4），（6）；
第3题中（1），（2），（7），（8）。
第二部分 积分变换
“第一章付里叶(Fourier)变换”作业题（3月30日交）
第91页（第三版）第72页（第四版）：
第2题；第3题；第4题中（2），（4）；第5题中（2）；
第6题中（1）。
第103页（第三版）第81页（第四版）：
第1题；第3题；第5题。
“第二章拉普拉斯(Laplace)变换”作业题（4月6日交）
第122页（第三版）第95页（第四版）：
习题中（1），（2）；
第127页（第三版）第99页（第四版）：
第1题中（2），（4）；第2题，第5题，第7题，第8题，
第10题；
第131页（第三版）第103页（第四版）：
第1题中（1），（3）；第4题，第6题，第7题，第9题。
第三部分数学物理方程
“第一章方程和定解条件的导出”作业题（4月17日交）
第152页（第三版）第121页（第四版）：
第2题，第3题，第4题，第5题；
第161页（第三版）第128页（第四版）：
第1题，第2题，第3题，第6题；
第169页（第三版）第134页（第四版）：
第1题中（1），（3），（5）；
第2题中（2），（4），
第179页（第三版）第142页（第四版）：
第1题，第2题，第4题，第5题。
“第二章直角坐标系中方程的分离变量法”作业题（5月1日交）第201页（第三版）第160页（第四版）：
第2题，第3题，第4题，第8题，第9题，第11题，
第14题，第18题，第19题，第26题。
补充题：半无界杆，杆端x=0有谐变热流Bsinωt进入。
求长时间以后的杆上温度分布u(x,t)。
“第三章球、柱坐标系中方程的分离变量法”作业题（5月15日交）第237页（第三版）第190页（第四版）：第1题，第3题；
第243页（第三版）第194页（第四版）：
第3题，第4题，第5题。
“第四章球函数”作业题（5月22日交）
第296页（第三版）第240页（第四版）：
第3题，第4题，第7题，第9题；
第324页（第三版）第262页（第四版）：
第2题。
“第五章柱函数”作业题（6月1日交）
第346页（第三版）第280页（第四版）：
第5题，第7题，第11题，第13题。
“第六章非齐次泛定方程的解法”作业题（选做）
第215页（第三版）第171页（第四版）：第1题，第6题；第387页（第三版）第313页（第四版）：第1题，第3题。