2020届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题及答案
A．若 PB 2PE ，则 EF / / 平面 PAC B．若 PB 2PE ，则四棱锥 P ABCD 的体积是三棱锥 E ACB 体积的 6 倍 C．三棱锥 P ADC 中有且只有三个面是直角三角形 D．平面 BCP 平面 ACE
答案：AD
利用中位线的性质即可判断选项 A；先求得四棱锥 P ABCD 的体积与四棱锥 E ABCD 的体积 的关系,再由四棱锥 E ABCD 的体积与三棱锥 E ABC 的关系进而判断选项 B；由线面垂直的性 质及勾股定理判断选项 C；先证明 AC 平面 BCP ,进而证明平面 BCP 平面 ACE ,即可判断选
2
2
错误；
x甲 =
1 6
72+76+80+82+86+90
=81
,
x乙 =
1 6
69+78+87+88+92+96
=85
,则
x甲
x乙
,故②
错误,③正确；
显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,
故选:A
点评：本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.
5．刘徽(约公元 225 年-295 年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割
8．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于
底面的四棱锥.如图，在堑堵 ABC A1B1C1 中， AC BC ， AA1 2 ，当阳马 B ACC1A1 体积的
最大值为
4 3
时，堑堵
ABC
A1B1C1
的外接球的体积为（）
A． 4 π 3
B． 8 2 π 3
答案：C
显 然 函 数 f x 2x 2 a 在 区 间 1, 2 内 连 续 , 由 f x 的 一 个 零 点 在 区 间 1, 2 内 , 则
x
f 1 f 2 0 ,即可求解. 解：由题,显然函数 f x 2x 2 a 在区间 1, 2 内连续,因为 f x 的一个零点在区间 1, 2 内,
圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这
可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三
角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术
的思想，得到 sin 2 的近似值为（）
绝密★启用前
2020届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写
在答题卡上
一、单选题
1．已知集合AFra bibliotekx |
1 4
2x
4
，
B
y
|
y
lg
x,x
1 10
，则
A
B （）
A． 2,2
B． (1, )
C． 1, 2 D． ,1 (2, )
x
所以 f 1 f 2 0 ,即 2 2 a4 1 a 0 ,解得 0 < a < 3,
故选:C 点评：本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.
7．已知圆
截直线
所得线段的长度是 ，则圆 与圆
A．内切 答案：B 化简圆
的位置关系是（） B．相交
C．外切
D．相离
到直线
的距离
，
又
两圆相交.选 B
C． 32 π 3
D． 64 2 π 3
答案：B
利用均值不等式可得 VBACC1A1
1 3
BC
AC
AA1
2 3
BC
AC
1 3
BC2 AC2
1 AB2 ,即可求 3
得 AB ,进而求得外接球的半径,即可求解.
解：由题意易得 BC ⊥平面 ACC1A1 ,
V 所以 BACC1A1
1 BC AC 3
A． 3
B．3
C．1
D． 1
解：由题,
a
5i 2
i
a
5i 2 i 2 i2
i
a
2i
1
a
1
2i
,
因为纯虚数,所以 a 1 0 ,则 a 1,
故选:D
点评：本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.
3．“ a 2 ”是“ x 0,a x 1 ”的（）
x
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
对于选项 D,由余弦函数的性质可知 y cos x 3 是偶函数,但在 (0, ) 不恒增,故 D 不符合题意；
故选:BC 点评：本题考查由解析式判断函数的奇偶性和单调性,熟练掌握各函数的基本性质是解题关键. 10．已知 (ax2 1 )n (a 0) 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之
2
n
nn
解：由割圆术可知当 n 变得很大时,这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,
设圆的半径为 r ,每个等腰三角形的顶角为 360 , n
所以每个等腰三角形的面积为 1 r2 sin 360 ,
2
n
所以圆的面积为 r2 n 1 r2 sin 360 ,即 sin 360 2 ,
2
n
故选:BCD
点评：本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.
11．在 ABC 中，D 在线段 AB 上，且 AD 5, BD 3 若 CB 2CD,cosCDB 5 ，则（）
5
A． sin CDB 3 10
B． ABC 的面积为 8
C． ABC 的周长为 8 4 5
3
3
故选:B
点评：本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的
应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养. 二、多选题
9．下列函数中，既是偶函数，又在 (0, ) 上单调递增的是（）
A． y ln( 1 9x2 3x)
B． y ex ex
C． y x2 1
解：因为 cosCDB 5 ,所以 sin CDB 1 cos2 CDB 2 5 ,故 A 错误；
5
5
设 CD a ,则 BC 2a ,在 BCD 中, BC2 CD2 BD2 2BC CD cos CDB ,解得 a 5 ,
所以 S
DBC
1 2
BD CD sin CDB
1 3 2
nn
所以当 n 180 时,可得 sin 360 sin 2 2 ,
180
180 90
故选:A
点评：本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.
6．函数 f x 2x 2 a 的一个零点在区间 1, 2 内，则实数 a 的取值范围是（）
x
A． 1,3
B． 1,2
C． 0,3
D． 0, 2
A． π 90
B． π 180
C． π 270
D． π 360
答案：A
设圆的半径为 r ,每个等腰三角形的顶角为 360 ,则每个等腰三角形的面积为 1 r2 sin 360 ,由割
n
2
n
圆术可得圆的面积为 r2 n 1 r2 sin 360 ,整理可得 sin 360 2 ,当 n 180 时即可为所求.
x 和为 1024，则下列说法正确的是（） A．展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B．展开式中第 6 项的系数最大 C．展开式中存在常数项
D．展开式中含 x15 项的系数为 45
答案：BCD
由二项式的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等可知 n 10 ,由展开式的各项系数之和为
1024
D． ABC 为钝角三角形
答案：BCD
由同角的三角函数关系即可判断选项 A；设 CD a ,则 BC 2a ,在 BCD 中,利用余弦定理求得
a ,即可求得 S△DBC ,进而求得 S ABC ,即可判断选项 B；在 ADC 中,利用余弦定理求得 AC ,进而
判断选项 C；由 BC 为最大边,利用余弦定理求得 cos C ,即可判断选项 D.
因为 AB 8 为最大边,所以 cos C BC2 AC2 AB2 3 0 ,即 C 为钝角,所以 ABC 为
2BC AC
5
钝角三角形,故 D 正确.
故选:BCD
点评：本题考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积的公式的应用,考查判断三角形的形状.
12 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， PC 底 面 ABCD ， 四 边 形 ABCD 是 直 角 梯 形 ， AB / /CD, AB AD, AB 2AD 2CD 2，F 是 AB 的中点，E 是 PB 上的一点，则下列说法正确的
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；
③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.
以上说法正确的是（）
A．③④
B．①②
C．②④
D．①③④
解：由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为 80 82 81 ,乙同学成绩的中位数为 87 88 87.5 ,故①
AA1
2 3
BC
AC
1 3
BC2 AC2
1 AB2 , 3
当且仅当 AC BC 时等号成立,
又阳马
B
ACC1A1 体积的最大值为
4 3
,
所以 AB 2 ,
所以堑堵 ABC A1B1C1 的外接球的半径 R
AA1 2
2020年山东省新高考数学模拟试卷(十二)(含答案)
2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣2|≥2}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|﹣2＜x≤2}2．设a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（）A．1升B ．升C ．升D ．升4．已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为AB、A1B1的中点，则三棱锥F ﹣ECD的外接球体积为（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，，则方程f（g（x））＝a的实根个数最多为（）A．6B．7C．8D．9二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）已知a，b均为正实数，若log a b+log b a ＝，a b＝b a ，则＝（）A ．B ．C ．D．210．（5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调的：②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝3C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx+211．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（）A．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝B．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝C．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝D．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝12．（5分）已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（）A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12 D．S20＝0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+y）（x﹣2y）5展开式中x3y3的系数为．14．（5分）已知x＞0，y＞0，是2x 与4y 的等比中项，则的最小值．15．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣5＝0的弦AB的中点为（﹣1，1），直线AB交x轴于点P，则的值为．16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝，n＝tan（θ+），则m＝，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且g（）＝，c＝．（1）求C；（2）若3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，求cos（A﹣C）．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，AB⊥BC，AB∥CD，且AB＝2CD．将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB⊥平面BEC．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ADE；（Ⅱ）若AB＝BC，求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．20．（12分）抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q ，求的取值范围．21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）组别时间分组频数男性人数女性人数A30≤x＜60211B60≤x＜901046C90≤x＜120m a1D120≤x＜150211E150≤x＜180n2b（I）写出m，n的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II）该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90）之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：K2＝P（K20.1500.100 0.0500.0250.010 0.005 0.001≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】可以求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≤0或x≥4}，B＝{x|x≤2}，U＝R，∴∁U A＝{x|0＜x＜4}，（∁U A）∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：B．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，①若“a＞b＞1”时由对数函数的性质可得：一象限底大图低，相同自变量为2时，底大函数值小，可得log b2＞log a2成立．②若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜log b2＜0，则必有0＜b＜a＜1；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，A正确．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．3．【分析】设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量．【解答】解：设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质得：a1+a7＝2a4＝6，解得第四节竹子的装米量为a4＝（升）．故选：B．【点评】本题考查第四节竹子的装米量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x +1+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，此时g（x）＝2|x+1|＝，此函数可以看成函数y ＝的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键5．【分析】利用平面的基本性质作出经过P、Q、R三点的平面，然后判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知经过P、Q、R三点的平面如图：红色线的图形，可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确；故选：D．【点评】本题考查平面与平面平行的判断定理的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识的考查．6．【分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接FC1，FD1，三棱锥F﹣ECD的外接球即为三棱柱FC1D1﹣ECD的外接球，在△ECD中，取CD中点H，连接EH，则EH为边CD的垂直平分线，所以△ECD的外心在EH上，设为点M，同理可得△FC1D1的外心N，连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，由图可得，EM2＝CM2＝CH2+MH2，又MH＝2﹣EM，CH＝1，如右图所示：，可得，所以，解得，所以．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：锥体与球的关系的应用，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．【分析】设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形AFBC为矩形，由双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，化简整理可得a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形F ABC为矩形，即有|AF|＝|BC|，设|AC|＝m，|BC|＝n，可得n﹣m＝2a，n2+m2＝4c2，mn＝2a2，即有4c2﹣8a2＝4a2，即有c ＝a，b ＝＝a，可得双曲线的渐近线方程为y ＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查矩形的定义和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8．【分析】由方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系得：方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，再结合函数图象观察可得解．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C．【点评】本题考查了方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系及作图能力，属难度较大的题型．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．【分析】设t＝log a b，代入化解求出t的值，得到a的b关系式，由a b＝b a可求出a，b的值．【解答】解：令t＝log a b，则t +＝，∴2t2﹣5t+2＝0，（2t﹣1）（t﹣2）＝0，∴t ＝或t＝2，∴log a b ＝或log a b＝2∴a＝b2，或a2＝b∵a b＝b a，代入得∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2∴b＝2，a＝4，或a＝2．b＝4∴．或故选：AD．【点评】本题考查对数的运算及性质，换元法的应用，属于基础题．10．【分析】由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，逐项判断即可．【解答】解：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，对于A选项，函数f（x）＝x3在定义域R上单调递增，且x3＝x有解﹣1，0，1，满足条件，故正确；对于B选项，函数f（x）＝3在（0，+∞）上单调递增，且有解1，2，满足条件，故正确；对于C选项，函数f（x）＝e x﹣1在定义域上单调递增，但e x﹣1＝x只有一个解0，不满足条件，故错误；对于D选项，函数f（x）＝lnx+2在（0，+∞）上单调递增，显然函数f（x）＝lnx+2与函数y ＝x在（0，+∞）上有两个交点，即lnx+2＝x有两个解，满足条件，故正确．故选：ABD．【点评】本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性、零点及函数图象等基础知识点，属于基础题．解题的关键是理解“和谐区间”的定义．11．【分析】对于选项A，B，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求2cos C sin C＝sin C，结合sin C ≠0，可得cos C ＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值；对于选项C，D，由三角形的面积公式可求a2＝2bc sin A ，利用余弦定理，两角和的正弦函数公式可求+＝4sin（A +），结合已知利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：∵2cos C（a cos B+b cos A）＝c，∴由正弦定理可得2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，∴2cos C sin（A+B）＝2cos C sin C＝sin C，∵sin C≠0，∴可得cos C ＝，∵C∈（0，π），∴C ＝，可得A正确，B错误．∵边BC 上的高为a，∴bc sin A ＝•a •，∴a2＝2bc sin A，∵cos A ＝，∴b2+c2＝a2+2bc cos A＝2bc sin A+2bc cos A，∴+＝＝2sin A+2cos A＝4sin（A +）≤4，当A +＝时等号成立，此时A ＝，故C正确，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．12．【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}是等差数列，若a1+5a3＝S8，即a1+5a1+10d＝8a1+28d，变形可得a1＝﹣9d，又由a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣10）d，则有a10＝0，故A一定正确，不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由S n＝na1+＝﹣9nd +＝×（n2﹣19n），则有S7＝S12，故C一定正确，则S20＝20a1+d＝﹣180d+190d＝﹣10d，S20≠0，则D不正确，故选：AC．【点评】本题考查等差数列的性质以及前n项和公式，关键是掌握与等差数列有关的公式，属于基础题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【分析】根据题意，结合二项式定理把（x+2y）5按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2y）5＝x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5，则（2x+y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为2×（﹣80）+1×40＝﹣160+40＝﹣120，故答案为：﹣120．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．14．【分析】由等比数列可得x+2y＝1，则＝+＝1++，由基本不等式可得．【解答】解：x＞0，y＞0，是2x与4y的等比中项，则2x•4y＝2，∴x+2y＝1，∴＝+＝1++≥1+2＝1+2，当且仅当＝时，即x ＝﹣1，y ＝取等号，故答案为：2+1【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．15．【分析】由已知先求k MC，然后根据圆的性质可求k AB，写出AB所在直线方程，联立方程可求A，B，然后根据向量数量积的坐标表示即可求解．【解答】解：设M（﹣1，1）圆心C（﹣2，0），∵k MC ＝＝1，根据圆的性质可知，k AB＝﹣1，∴AB所在直线方程为y﹣1＝﹣（x+1），即x+y＝0，联立方程可得，2x2+4x﹣5＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，令y＝0可得P（0，0），＝x1x2+y1y2＝2x1x2＝﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用．16．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m、n的值．【解答】解：若P （﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝＝，∴m ＝．∵tanθ＝＝﹣1，n＝tan（θ+）＝＝0，故答案为：；0．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先利用三角恒等变换将f（x）化简成y＝A sin（ωx+θ）的形式，再利用图象平移变换方法得到g（x），根据g （）＝，可求得角C．（2）利用正弦定理将给的式子化边，利用余弦定理可求得cos A ，结合，问题可解．【解答】解：（1）f（x）＝cos x（sin x ﹣cos x）+＝＝，∴g（x）＝f（x）＝sin（2x ﹣），∵g （）＝，∴，∴，∴，故C ＝．（2）∵3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，由正弦定理得：3（b﹣c）2＝3a2﹣8bc，∴，∴，∴，∴cos（A﹣C ）＝，＝．【点评】本题通过考查三角函数的恒等变换和图象变换以及正余弦定理的应用，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．18．【分析】（1）通过，说明数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．（2）由（1）得，，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为，①当n＝1时，2a1﹣S1＝2a1﹣a1＝2，所以a1＝2．当n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1＝2，②①﹣②得2a n﹣S n﹣（2a n﹣1﹣S n﹣1）＝0，即a n＝2a n﹣1．因为a1＝2≠0，所以a n≠0，所以（n∈N*，且n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，，所以，③，④③﹣④得，＝6+（21+22+23+…+2n）﹣（n+3）×2n+1＝＝6+2n+1﹣2﹣（n+3）×2n﹣1＝4﹣（n+2）2n+1，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．19．【分析】（I）取BE的中点F，AE的中点G，证明CF⊥平面ABE，通过证明四边形CDGF是平形四边形得出CF∥DG，故DG⊥平面ABE，于是平面ABE⊥平面ADE；（II）建立空间坐标系，计算平面ADE和平面BDE的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取BE的中点F，AE的中点G，连接FG、GD、CF，则GF AB．∵DC AB，∴CD GF，∴四边形CFGD为平行四边形，∴CF∥DG．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥CF．∵CF⊥BE，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面ABE．∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE．∵DG⊂平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE．（Ⅱ）解：过E作EO⊥BC于O．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EO．∵AB∩BC＝B，∴EO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OE、BC所在的直线分别为x轴、y轴，过O且平行于AB的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝4，则A（0，﹣2，4），B（0，﹣2，0），D（0，2，2），E（2，0，0），∴＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，4），＝（﹣2，﹣2，0）．设平面EAD 的法向量为＝（x1，y1，z1），则有，即，取z1＝2得x1＝，y1＝1，则＝（，1，2），设平面BDE 的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，取x2＝1，得y2＝﹣，z2＝2，则＝（1，﹣，2）．∴cos ＜＞＝＝＝．又由图可知，二面角ADEB的平面角为锐角，∴二面角A﹣DE﹣B 的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20．【分析】（1）设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△＝0求出b 的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝2x+b，联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＝0，所以，b＝﹣1，因此，直线l的方程为y＝2x﹣1；（2）设直线l的方程为y＝2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＞0，所以，b＞﹣1．由韦达定理得x1+x2＝2，x1x2＝﹣b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ 的方程为，由，得2x2+x﹣5﹣2b＝0，由韦达定理得，，所以，，所以，，所以，的取值范围是．【点评】本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21．【分析】（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．由此能估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长和该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，求出k0≈0.808，从而没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【解答】解：（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为：＝93分钟．该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为：1200×＝480人．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），共分布列为：P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ012345P∴E（ξ）＝5×＝．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表：每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男3811女189合计41620k0＝≈0.808，∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，故a＝0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）＝e a﹣a，∵p′（a）＝e a﹣1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a）＝e a﹣a2+a﹣1，设q（a）＝e a﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝e a﹣2a+1，q″（a）＝e a﹣2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
山东省烟台市2020届高三数学高考适应性练习(一)试题(Word版附答案)
2020年高考适应性练习(一)数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．3．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合A． B． C． D．2．已知复数z满足 (i为虚数单位)，则A． B．2 C． D．33．已知，则A． B． C． D．4．己知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x-4)2+(y-3)2=4的切线，切点为Q，则的最小值为A． B． C．2 D．45．《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少?”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少?A． B． C． D．6．函数的图象大致为7．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形的中心，轴，现用如下方法等可能地确定点M：点M满足 (其中，且 )，则点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为A． B． C． D．8．将函数的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上的值域为，则范围为A． B． C． D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合要求。
山东省烟台市2020届高三新高考数学模拟试题 Word版含解析
2020届山东省烟台市新高考数学模拟试题一、单项选择题1.已知集合1|244x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，1|lg 10B y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭,，则A B =I （ ） A. []22-, B. (1,)+∞ C. (]1,2- D.(](1)2-∞-⋃+∞,,【答案】C【解析】【分析】 先解得不等式1244x ≤≤及110x >时函数lg y x =的值域,再根据交集的定义求解即可. 【详解】由题,不等式1244x ≤≤,解得22x -≤≤,即{}|22A x x =-≤≤； 因为函数lg y x =单调递增,且110x >,所以1y >-,即{}|1B y y =>-, 则(]1,2A B ⋂=-,故选:C 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解指数不等式,考查对数函数的值域. 2.设i 是虚数单位，若复数5i 2i ()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A. 3-B. 3C. 1D. 1-【答案】D【解析】【分析】整理复数为b ci +的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题,()()()()5252112222i i i a a a i a i i i i -+=+=++=++++-, 因为纯虚数,所以10a +=,则1a =-,故选:D【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.3.“2a <”是“10,x a x x ∀>≤+”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】若10,x a x x ∀>≤+,则min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,利用均值定理可得min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2a ≤,进而判断命题之间的关系.【详解】若10,x a x x ∀>≤+,则min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭, 因为12x x +≥,当且仅当1x x=时等号成立, 所以2a ≤,因为{}{}|2|2a a a a <⊆≤,所以“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的充分不必要条件, 故选:A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查利用均值定理求最值.4.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（ ）A. ③④B. ①②C. ②④D. ①③④【答案】A 【解析】 【分析】 由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为8082812+=,乙同学成绩的中位数为878887.52+=,故①错误； ()1=72+76+80+82+86+90=816x ⨯甲,()1=69+78+87+88+92+96=856x ⨯乙,则x x <甲乙,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.5.刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2o 的近似值为（ ）A. π90B. π180C. π270D. π360【答案】A【解析】【分析】设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n ︒,则每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n ︒,由割圆术可得圆的面积为221360sin 2r n r n π︒=⋅,整理可得3602sin n n π︒=,当180n =时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n ︒, 所以每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n︒, 所以圆的面积为221360sin 2r n r n π︒=⋅,即3602sin n nπ︒=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ︒=︒==, 故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.6.函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,3B. ()1,2C. ()0,3D. ()0,2 【答案】C【解析】【分析】显然函数()22x f x a x =--在区间()1,2内连续,由()f x一个零点在区间()1,2内,则()()120f f <,即可求解.【详解】由题,显然函数()22x f x a x=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a ,故选:C【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.7.已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是（ ）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离 【答案】B【解析】化简圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M +-=⇒=⇒到直线0x y +=的距离d =⇒。
2020年4月山东省烟台市普通高中2020届高三毕业班高考诊断性测试(一模)数学参考答案
令 ,得 , ,
于是取 ………………………………………………11分
设平面 与平面 的所成的角二面角的大小为 ,
则 .
所以平面 与平面 的所成的锐二面角的余弦值为 .………………12分
20．解：（1）由调查数据,问卷得分不低于 分的比率为
,
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于 分的概率为 .…………………2分
18．解：设等比数列 的公比为 （ ）,则 , ,
于是 ,…………………………2分
即 ,解得 , （舍去）.…………………………4分
若选 ：则 , ,
解得 ,…………………………6分
所以 ,…………………………8分
,…………………………9分
于是 ……10分
令 ,解得 ,因为 为正整数,所以 的最小值为 .……12分
所以 ,…………………………1分
即 ,…………………………2分
又 ,所以
所以 ,…………………………3分
而 ,
所以 ,
所以 .…………………………4分
（2）因为 …………………………5分
将 , , 代入,得 .…………………………6分
由余弦定理得 ,
于是 ,…………………………8分
即 ,解得 或 .…………………………10分
故 的取值范围为 ,………………4分
显然,当 时,有 ,即不等式 在 上成立,
令 ,则有 ,
所以 ,
即： ；………………6分
（2）由 可得, ,即 ,
令 ,则 ,………………8分
当 时, , 单调递增,当 时, , 单调递减,
故 在 处取得最大值 ,………………10分
又当 时, ,当 时, ,………………11分
山东省烟台市2020届高三适应性练习数学试题(一)(含答案)
数学
注意事项： 1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟． 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上． 3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答
题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各
得几何？”其意思为：“现有五个人分 5 钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和
等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？
A． 1 3
B． 2 3
C． 1 6
D． 5 6
6.函数 f (x) = ln(
2.已知复数 z 满足 z − 2 = 1+ i （ i 为虚数单位），则| z |= 1−i
A． 3
B． 2
C． 5
1
3.已知 a = 23 ， b = log2 0.3 ， c = ab ，则
N= D．{x |1 x 2}
D. 3
A． a b c
B． b a c
C． c a b
D． b c a
39
B． C 的渐近线方程为 y = 3x
C．过 F1 作斜率为
3 的直线与 C 的渐近线交于 M , N 两点，则 OMN 的面积为 3
3
8
D．若点 Q 是 F2 关于 C 的渐近线的对称点，则 QOF1 为正三角形 12.已知 f (x) 是定义域为 (−, +) 的奇函数， f (x +1) 是偶函数，且当 x (0,1] 时，
f (x) = −x(x − 2) ，则
山东省2020年高考模拟考试数学试题 Word版含答案
山东省2020年普通高等院校统一招生模拟考试高三教学质量检测数学试题2020．02本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年山东省烟台市高三一模卷数学试题及答案
2024年高考诊断性测试数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合R U =，集合{}{}2230,02A xx x B x x =+−<=≤≤∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.()3,0−B.()1,0−C.()0,1D.()2,32.若5250125(12)x a a x a x a x −=++++L ，则24a a +=（ ）A.100B.110C.120D.1303.若点()1,2A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，则AF =（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.若π1cos 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A.59−B.59C.79− D.795.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）A.3B.6C.10D.156.设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A.若a ∥,b α∥α，则a ∥b B.若,a b 与α所成的角相等，则a ∥bC.若,a αβ⊥∥,b α∥β，则a b ⊥D.若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b ⊥7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()21xf x =−，则()2log 12f =（ ） A.13−B.14− C.13 D.128.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B −，向量OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，且40m n −−=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC u u u r 的最小值为（ ）D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知12,z z 为复数，下列结论正确的有（ ） A.1212z z z z +=+ B.1212z z z z ⋅=⋅C.若12z z ⋅∈R ，则12z z =D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为,x y ，设事件A =“(1)log x y +为整数”，B =“x y +为偶数”，C =“2x y +为奇数”，则（ ） A.()16P A =B.()112P AB = C.事件B 与事件C 相互独立 D.()718P AC =∣ 11.给定数列{}n a ，定义差分运算：2*11Δ,ΔΔΔ,n n n n n n a a a a a a n N ++=−=−∈.若数列{}n a 满足2n a n n =+，数列{}n b 的首项为1，且()1*Δ22,n n b n n N −=+⋅∈，则（ ）A.存在0M >，使得Δn a M <恒成立B.存在0M >，使得2Δn a M <恒成立C.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得n b M >D.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得2Δnnb M b > 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆22()(1)1x m y −+−=关于直线y x =对称的圆恰好过点()0,4，则实数m 的值为__________. 13.在三棱锥P ABC −中，2PB PC ===，且,,APB BPC CPA E F ∠∠∠==分别是,PC AC 的中点，90BEF ∠=o ，则三棱锥P ABC −外接球的表面积为__________，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.（本小题第一空2分，第二空3分.）14.若函数()sin 1f x x x ωω=+−在[]0,2π上佮有5个零点，且在ππ,415⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+−+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求a 的值：（2）若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，,3,2AB AC AB AD DB ⊥===，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：1AA OD ⊥；（2）若1AA =1B AA O −−的余弦值.17.（15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别41,53，乙答对两道题的概率分别为21,32，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率： （2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率：（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X 道题抢答后比赛结束，求随机变量X 的分布列及数学期望.18.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>经过点()2,0A −l 过点()3,0D 且与双曲线C 交于两点,P Q （异于点A ）.（1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值.并求出该定值：（2）过点D 分别作直线,AP AQ 的垂线.垂足分别为,M N ，记,ADM ADN V V 的面积分别为12,S S ，求12S S ⋅的最大值.19.（17分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点,O t 为AM 绕点A 转过的角度（单位：弧度，0t ≥）.（1）用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ：（2）设点M 的轨迹在点()()0000,0M x y y ≠处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1cos2y θ+为定值： （3）若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为()()()[],,,x t y t t αβ∈，则该光滑曲线长度为()()F F βα−，其中函数()F t 满足()F t ='.当点M 自点O 滚动到点E时，其轨迹»OE为一条光滑曲线，求»OE 的长度.2024年高考诊断性测试数学参考答案及评分标准一、选择题A CBC BD A A 二、选择题9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题12.4 13.10π214.95[,]42四、解答题15.解：（1）x ax x f 212)('−+=, ··································· 2分 直线210x y ++=的斜率21−=k ,由题意知2)2('=f ， ··································· 4分 即2114=−+a ，所以21=a . ···································· 5分 （2）)(x f 的定义域为)0(∞+，. ··································· 6分 因为()0f x ≥，所以x x x b ln 2212+−−≥.设),0(,ln 221)(2+∞∈+−−=x x x x x g ，则max ()b g x ≥.························ 8分 xx x x x x x x x g )2)(1(221)('2++−=+−−=+−−= ··················· 9分 当)1,0(∈x 时，0)('>x g ，所以)(x g 在)1,0(单调递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，所以)(x g 在),1(+∞单调递减， ··············· 11分 所以max 3()(1)2g x g ==−. 所以23−≥b . ······························· 13分16.解：（1）因为AB AC ⊥，3AB ==，所以60ACB ∠=，12OA BC == ············································ 1分因为3AB =，2AD DB =，所以1DB =.在DBO 中，30DBO ∠=，1DB =，OB =，由余弦定理222121cos301OD ︒=+−⨯=，所以1OD =. ········· 3分在ADO 中，1OD =，2AD =，AO =AO OD ⊥. ····· 4分因为1AO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ， 所以1A O OD ⊥. ····················································· 5分因为1AOAO O =，所以OD ⊥平面1AOA . ······································ 6分 因为1AA ⊂平面1AOA ，所以1AA OD ⊥； ····································· 7分 （2）由（1）可知，1,,OA OD OA 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OA OD OA 方向分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −. ······ 8分因为1AA =AO =13AO =. ············· 9分则A ， 1(0,0,3)A，3(,,0)22B −. ··········· 10分可得133(,,3)22BA =−，333(,,0)22BA =−， 设(,,)x y z =m 为平面1ABA 的一个法向量，则33023022x y z x y −+=⎨⎪−=⎪⎩，取x =，则3y =，1z =， 故=m ， ····························· 12分 由题意可知，(0,1,0)=n 为平面 ······················· 13分因为3cos ,||||13<>===m n m n m n ，所以二面角1B AA O −−的余弦值为13. ······························· 15分17.解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率112141114121753325332533245p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ·························· 4分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率15111212243p =⨯+⨯=. ············ 7分 （3）X 的可能取值为2,3,4,5.因为甲任意一题得15分的概率为13，所以任意一题乙得15分的概率为23. ····· 8分 211(2)()39P X ===， 121214(3)33327P X C ==⨯⨯⨯=， 1243121228(4)()()333381P X C ==⨯⨯⨯+=， 13334412121232(5)()()33333381P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ··················· 12分所以的分布列为·································· 13分所以142832326()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ····················· 15分 18.解：（1）由题意知，2a =，c a= 又因为222=+c a b ， ··················· 2分解得4=b .所以，双曲线C 的方程为221416x y −=. ············································· 3分 设直线l 的方程为3x my =+，联立2214163x y x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得，22(41)24200m y my −++=. ··············· 4分不妨设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12m ≠±，且1222441m y y m −+=−，1222041y y m =−. ························· 5分 所以12122121212225()25AP AQ y y y y k k x x m y y m y y =⋅=+++++ ····················· 7分 45=−. ····························· 9分 （2）设直线AP 的方程为(2)y k x =+，则直线1:(3)DM y x k=−−，联立(2)1(3)y k x y x k =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得251M k y k =+， ····································· 11分 用45k −替换上式中的k 可得21002516N ky k −=+. ······························· 13分 故21222253125||4(1)(2516)M N k S S y y k k ⋅==++ ································· 15分 223125162541k k=++.因为22162540k k +≥=，当且仅当5k =±时，“=”成立，所以12312581S S ⋅≤， 故12S S ⋅的最大值为312581. ························· 17分 19.解：（1）由题意可得1cos y t =−，||OB BM t ==，所以||sin sin x OB t t t =−=−， ································ 2分所以sin x t t =−，1cos y t =−. ································ 4分（2）证明：由复合函数求导公式t x t y y x '''=⋅，所以sin 1cos x tt x t t y x y t y x x t '''⋅'===''−. ·········································· 7分 所以sin tan 1cos ttθ=−，因为222222cos 21cos 22cos sin cos tan 1θθθθθθ+===++ 20222(1cos )1cos sin 22cos ()11cos t t y t t t −===−=−+−，所以01+cos2y θ为定值1. ········································· 10分（3）由题意，()2|sin |2t F t '===. ·········· 13分因为02t ≤≤π，sin 02≥所以()2sin 2tF t '=，所以()4cos 2tF t c =−+（c 为常数）， ······································ 15分(2)(0)(4cos )(4cos0)8F F c c π−=−π+−−+=,所以OE 的长度为8. ································· 17分。
2020届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题（解析版）
2020届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题一、单选题1．已知集合1|244xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，1|lg 10B y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭,，则AB =（ ）A ．[]22-,B ．(1,)+∞C ．(]1,2-D ．(](1)2-∞-⋃+∞,,【答案】C【解析】先解得不等式1244x ≤≤及110x >时函数lg y x =的值域,再根据交集的定义求解即可. 【详解】 由题,不等式1244x ≤≤,解得22x -≤≤,即{}|22A x x =-≤≤； 因为函数lg y x =单调递增,且110x >,所以1y >-,即{}|1B y y =>-, 则(]1,2A B ⋂=-, 故选:C 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解指数不等式,考查对数函数的值域. 2．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．1D ．1-【答案】D【解析】整理复数为b ci +的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【详解】 由题,()()()()5252112222i i ia a a i a i i i i -+=+=++=++++-, 因为纯虚数,所以10a +=,则1a =-, 故选:D 【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.3．“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若10,x a x x ∀>≤+,则min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,利用均值定理可得min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2a ≤,进而判断命题之间的关系.【详解】 若10,x a x x ∀>≤+,则min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭, 因为12x x +≥,当且仅当1x x=时等号成立, 所以2a ≤,因为{}{}|2|2a a a a <⊆≤, 所以“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的充分不必要条件, 故选:A 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查利用均值定理求最值. 4．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A ．③④ B ．①②C ．②④D ．①③④【答案】A【解析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④. 【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为8082812+=,乙同学成绩的中位数为878887.52+=,故①错误； ()1=72+76+80+82+86+90=816x ⨯甲,()1=69+78+87+88+92+96=856x ⨯乙,则x x <甲乙,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确, 故选:A 【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.5．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π360【答案】A【解析】设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒,则每个等腰三角形的面积为21360sin2r n ︒,由割圆术可得圆的面积为221360sin 2r n r n π︒=⋅,整理可得3602sin n nπ︒=,当180n =时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒, 所以每个等腰三角形的面积为21360sin2r n ︒, 所以圆的面积为221360sin2r n r n π︒=⋅,即3602sin n nπ︒=,所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ︒=︒==, 故选:A 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力. 6．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2【答案】C【解析】显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,由()f x 的一个零点在区间()1,2内,则()()120f f <,即可求解.【详解】由题,显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a ,故选:C 【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题. 7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B 【解析】化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B8．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B 82π C ．32π3D 642【答案】B【解析】利用均值不等式可得()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解. 【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以外接球的体积348233V r π==, 故选:B 【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.二、多选题9．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2ln(193)y x x =+B ．e e x x y -=+C ．21y x =+D ．cos 3y x =+【答案】BC【解析】易知A,B,C,D 四个选项中的函数的定义域均为R ,先利用()f x -与()f x 的关系判断奇偶性,再判断单调性,即可得到结果. 【详解】由题,易知A,B,C,D 四个选项中的函数的定义域均为R ,对于选项A,()()))ln3ln30f x f x x x -+=+=,则()3)f x x =为奇函数,故A 不符合题意；对于选项B,()()xx f x ee f x --=+=,即()e e x x f x -=+为偶函数,当(0,)x ∈+∞时,设()1xt et =>,则1y t t=+,由对勾函数性质可得,当()1,t ∈+∞时是增函数,又x t e =单调递增,所以()e e xxf x -=+在(0,)+∞上单调递增,故B 符合题意； 对于选项C,()()()2211f x x x f x -=-+=+=,即()21f x x =+为偶函数,由二次函数性质可知对称轴为0x =,则()21f x x =+在(0,)+∞上单调递增,故C 符合题意；对于选项D,由余弦函数的性质可知cos 3y x =+是偶函数,但在(0,)+∞不恒增,故D 不符合题意； 故选:BC 【点睛】本题考查由解析式判断函数的奇偶性和单调性,熟练掌握各函数的基本性质是解题关键.10．已知2((0)n ax a+>的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ） A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B ．展开式中第6项的系数最大 C ．展开式中存在常数项 D ．展开式中含15x 项的系数为45 【答案】BCD【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =,由展开式的各项系数之和为1024可得1a =,则二项式为10101222x x x-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B ；根据通项判断C,D 即可. 【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =, 又展开式的各项系数之和为1024,即当1x =时,()1011024a +=,所以1a =,所以二项式为10101222x x x-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭, 则二项式系数和为1021024=,则奇数项的二项式系数和为110245122⨯=,故A 错误； 由10n =可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大, 因为2x 与12x-的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B 正确；若展开式中存在常数项,由通项()12102110r r r r T C xx--+=可得()121002r r --=,解得8r =,故C 正确； 由通项()12102110r r r r TC xx--+=可得()1210152r r --=,解得2r ,所以系数为21045C =,故D 正确, 故选: BCD 【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.11．在ABC 中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==若2,cos CB CD CDB =∠=，则（ ） A ．3sin 10CDB ∠=B ．ABC 的面积为8C ．ABC 的周长为8+D ．ABC 为钝角三角形【答案】BCD【解析】由同角的三角函数关系即可判断选项A ；设CD a =,则2BC a =,在BCD 中,利用余弦定理求得a ,即可求得DBC S △,进而求得ABCS,即可判断选项B ；在ADC 中,利用余弦定理求得AC ,进而判断选项C ；由BC 为最大边,利用余弦定理求得cos C ,即可判断选项D. 【详解】因为5cos CDB ∠=-,所以225sin 1cos 5CDB CDB ∠=-∠=,故A 错误； 设CD a =,则2BC a =,在BCD 中,2222cos BC CD BD BC CD CDB =+-⋅⋅∠,解得5a =,所以1125sin 353225DBCSBD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=, 所以3583ABCDBCSS +==,故B 正确；因为ADC CDB π∠=-∠,所以()5cos cos cos 5ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=, 在ADC 中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠,解得25AC =, 所以()352525845ABCCAB AC BC =++=+++=+,故C 正确；因为8AB =为最大边,所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅,即C ∠为钝角,所以ABC 为钝角三角形,故D 正确.故选:BCD 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积的公式的应用,考查判断三角形的形状.12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若2PB PE =，则//EF 平面PACB ．若2PB PE =，则四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C ．三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACE 【答案】AD【解析】利用中位线的性质即可判断选项A ；先求得四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥E ABCD -的体积的关系,再由四棱锥E ABCD -的体积与三棱锥E ABC -的关系进而判断选项B ；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C ；先证明AC ⊥平面BCP ,进而证明平面BCP ⊥平面ACE ,即可判断选项D. 【详解】对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点, 因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,因为PA ⊂平面PAC ,EF ⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确； 对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=, 因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===, 所以梯形ABCD 的面积为()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,1121122ABCS AB AD =⋅=⨯⨯=,所以32E ABCD E ABC V V --=,所以3P ABCD E ABC V V --=,故B 错误；对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC ,PCD 为直角三角形,又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,则ACD 为直角三角形, 所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+, 则222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形, 故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误； 对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,在Rt ACD 中,AC ==在直角梯形ABCD 中,BC ==,所以222AC BC AB +=,则AC BC ⊥, 因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP , 所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确, 故选:AD 【点睛】本题考查线面平行的判定,考查面面垂直的判断,考查棱锥的体积,考查空间想象能力与推理论证能力.三、填空题13．已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是________． 【答案】1【解析】根据a b ⊥即可得出220a b m ⋅=-=，从而求出m 的值． 【详解】 解：∵a b ⊥； ∴220a b m ⋅=-=； ∴m ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．【答案】2,143,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】由题意，根据数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【详解】由题意，可知当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-.又因为11a =不满足43n a n =-，所以2,143,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩. 【点睛】本题主要考查了利用数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C 的离心率为________.【答案】22【解析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知121F F PF =或122F F PF =,进而利用两点间距离公式求解即可. 【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c , 因为左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点,当122F F PF =时,2c =,由222b c a =-可得222430c ac a +-=,等式两边同除2a 可得22430e e +-=,解得1e =<（舍）；当121F F PF =时,2c =由222b c a =-可得222430c ac a --=,等式两边同除2a 可得22430e e --=,解得e =故答案为:22【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想. 16．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞【解析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论． 【详解】 设F （x ）()xf x e =，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．四、解答题17．已知函数()21cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3.（1）求m 的值及函数()f x 的单调递增区间;（2）若锐角ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求b c的取值范围.【答案】（1）1m =,函数()f x 的单调递增区间为263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，，；（2）122bc<<. 【解析】（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出m 的值，再结合正弦型函数的性质求出函数()f x 的单调递增区间; （2）由（1）结合已知()0f A =，可以求出角A 的值，通过正弦定理把问题b c的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知ABC ∆是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出b c的取值范围.【详解】解：（1）()21cos 2cos f x x x x m =--+)2cos 22sin 26x x m x m π⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭由已知23m +=，所以1m =因此()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭令3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此函数()f x 的单调递增区间为263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，， （2）由已知2sin 2106A π⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，∴1sin 2=62A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 由02A π<<得72666A πππ<+<，因此5266A ππ+=所以3A π=1sin 3cos sin sin 3132sin sin sin 2C C Cb Bc C C C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+ 因为为锐角三角形ABC ∆，所以022032C B C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得62C ππ<<因此3tan C >，那么122b c <<【点睛】本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.18．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221nn n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD △为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =.（1）求证：DE ⊥平面PAD .（2）求二面角A PC D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）6513【解析】（1）由等腰梯形的性质可证得DE AD ⊥,由射影可得PG ⊥平面ABCD ,进而求证；（2）取BC 的中点F ,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面APC 与平面DPC 的法向量,再利用数量积求解即可. 【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中,点E 在线段BC 上,且:1:3CE EB =,∴点E 为BC 上靠近C 点的四等分点,2AD =,4BC =,1CE =, ∴DE AD ⊥,点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ,连接PG ,PG ∴⊥平面ABCD ,DE ⊂平面ABCD ,PG DE ∴⊥.又AD PG G ⋂=,AD ⊂平面PAD ,PG ⊂平面PAD ,DE ∴⊥平面PAD .（2）取BC 的中点F ,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由（1）易知,DE CB ⊥,1CE =,又60ABC DCB ∠=∠=︒,DE GF ∴=2AD =,PAD △为等边三角形,PG ∴=,则(0,0,0)G ,(1,0,0)A ,(1,0,0)D -,P,(C -,(3)0AC ∴=-,(1AP =-,()DC =-,DP =,设平面APC 的法向量为111(,,)m x y z =,则00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111130x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩, 令13x =,则13y =,11z =,3,)1(3,m ∴=, 设平面DPC 的法向量为222(,,)n x y z =,则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即222200x x ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩, 令23x =,则21y =,21z =-,3,1,()1n ∴=-, 设平面APC 与平面DPC 的夹角为θ,则33cos 13m n m nθ⋅+===⋅⨯ ∴二面角A PC D --的余弦值为13.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力. 20．某单位准备购买三台设备，型号分别为,,A B C 已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立. （1）求该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率； （2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？ 【答案】（1）16（2）应该购买21件易耗品 【解析】（1）由统计表中数据可得型号分别为,,A B C 在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X ,则(21)(22)(23)P X P X P X >==+=,利用独立事件概率公式进而求解即可；（2）由题可得X 所有可能的取值为19,20,21,22,23,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解. 【详解】（1）由题中的表格可知A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为301602=； B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为201301101,,603602606===； C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为453151,604604==； 设该单位一个月中,,A B C 三台设备使用易耗品的件数分别为,,x y z ,则 1(6)(7)2P x P x ====,11(6),(7)32P y P y ====,131(8),(7),(8)644P y P z P z ======,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X , 则(21)(22)(23)P X P X P X >==+=而(22)(6,8,8)(7,7,8)(7,8,7)P X P x y z P x y z P x y z =====+===+=== 111111113726422426448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 1111(23)(7,8,8)26448P X P x y z ======⨯⨯=,故711(21)48486P X >=+=,即该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为16. （2）以题意知,X 所有可能的取值为19,20,21,22,23 1131(19)(6,6,7)2348P X P x y z ======⨯⨯=；(20)(6,6,8)(6,7,7)(7,6,7)P X P x y z x y z P x y z =====+===+===1111131131723422423448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； (21)(6,7,8)(6,8,7)(7,6,8)(7,7,7)P X P x y z x y z P x y z P x y z =====+===+===+===1111131111131722426423422448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 由（1）知,71(22),(23)4848P X P X ====, 若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为1Y 元,则1Y 的所有可能取值为2000,2200,2400,2600, 111723(2000)(19)(20)84848P Y P X P X ===+==+=；117(2200)(21)48P Y P X ====； 17(2400)(22)48P Y P X ====； 11(2600)(23)48P Y P X ====； 12317712000220024002600214248484848EY =⨯+⨯+⨯+⨯≈； 若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为2Y 元,则2Y 的所有可能取值为2100,2300,2500,2117175(2100)(19)(20)(21)848486P Y P X P X P X ===+=+==++=；27(2300)(22)48P Y P X ====； 21(2500)(23)48P Y P X ====； 2571210023002500213864848EY =⨯+⨯+⨯≈；21EY EY <,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品【点睛】本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.21．已知直线1x y +=过椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2【解析】（1）由直线1x y +=可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点M 可得121242,33x x y y +=+=,且由斜率公式可得21211y y x x -=--,由点,A B 在椭圆上,则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=,二者作差,进而代入整理可得222a b =,即可求解； （2）设直线:l y kx =,点,A B 到直线l 的距离为12,d d ,则四边形的面积为()1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+,将y kx =代入椭圆方程,再利用弦长公式求得CD ,利用点到直线距离求得12,d d ,根据直线l 与线段AB （不含端点）相交,可得()4101033k k ⎛⎫⨯-+<⎪⎝⎭,即14k >-,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.【详解】（1）直线1x y +=与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c =, 因为线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭, 设()()1122,,,A x y B x y ,则121242,33x x y y +=+=,且21211y y x x -=--,又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,作差可得22222121220x x y y a b --+=, 则()()()()21212121220x x x x y y y y a b-+-++=,得222a b = 又222,1a b c c =+=, 所以222,1a b ==,因此椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）联立22121x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 不妨令()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,易知直线l 的斜率存在,设直线:l y kx =,代入2212x y +=,得()22212k x +=,解得x或,设()()3344,,,C D x y y x ,则34x x +=-=,则34C x D -==,因为()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y kx =的距离分别是12d d ==, 由于直线l 与线段AB （不含端点）相交,所以()4101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14k >-,所以()124441k k d d +++==, 四边形ACBD 的面积()12121112223S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+=, 令1k t +=,34t >,则2221243k t t +=-+,所以S 当123t =,即12k =时,min S =因此四边形ACBD面积的最大值为. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.22．已知函数()()2ln 12a f x x x x b =---，,R a b ∈. （1）当-1b =时，讨论函数()f x 的零点个数；（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a b c e +≤求c 的最大值.【答案】（1）见解析（2）2【解析】（1）将1b =-代入可得()2ln 2a f x x x x =-,令0f x ,则ln 2ax x=,设()ln x g x x=,则转化问题为()g x 与2a y =的交点问题,利用导函数判断()g x 的图象,即可求解；（2）由题可得()ln 0f x ax b x '=+-≥在0,上恒成立,设()ln h x ax b x =+-,利用导函数可得()min 11ln h x h b a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,则()min 0h x ≥,即221ln a b a a +≥--,再设()21ln m x x x =--,利用导函数求得()m x 的最小值,则2ln2a b +≥,进而求解.【详解】（1）当-1b =时,()2ln 2a f x x x x =-,定义域为0,, 由0f x可得ln 2a x x =, 令()ln x g x x =,则()21ln x g x x -'=, 由0g x ,得0x e <<；由0g x ,得x e >,所以()g x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减,则()g x 的最大值为()1g e e=, 且当x e >时,()10g x e <<；当0x e <≤时,()1g x e≤, 由此作出函数()g x 的大致图象,如图所示.由图可知,当20a e <<时,直线2a y =和函数()g x 的图象有两个交点,即函数()f x 有两个零点；当12a e =或02a ≤,即2a e =或0a ≤时,直线2a y =和函数()g x 的图象有一个交点,即函数()f x 有一个零点； 当12a e >即2a e>时,直线2a y =与函数()g x 的象没有交点,即函数()f x 无零点. （2）因为()f x 在0,上单调递增,即()ln 0f x ax b x '=+-≥在0,上恒成立, 设()ln h x ax b x =+-,则()1h x a x'=-, ①若0a =,则()0h x '<,则()h x 在0,上单调递减,显然()ln 0f x b x '=-≥,在0,上不恒成立； ②若0a <,则()0h x '<,()h x 在0,上单调递减,当max ,1b x a>-时,0,ln 0ax b x +<-<,故()0h x <,()f x 单调递减,不符合题意；③若 0a >,当10x a<<时,()0h x '<,()h x 单调递减, 当1x a>时,()0h x '>,()h x 单调递增, 所以()min 11ln h x h b a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭, 由()min 0h x ≥,得221ln a b a a +≥--,设()21ln ,0m x x x x =-->,则()12m x x'=-, 当102x <<时,()0m x '<,()m x 单调递减； 当12x >时,()0m x '>,()m x 单调递增, 所以()1ln 22m x m ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭,所以2ln2a b +≥, 又2a b c e +≤,所以2≤c ,即c 的最大值为2.【点睛】本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.。
2020年山东新高考数列精选模拟试题(含解析)
专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立， 所以14mn的最小值为34，故选A 。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题02 相等关系与不等关系,计数原理(原卷版)
专题2 相等关系与不等关系高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.预测2020年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查.第一部分 相等关系与不等关系一、单选题1．（2020届山东省日照市高三上期末联考）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺2．（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ）A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,23．（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21log a b ab +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．1634．（2020·全国高三专题练习（文））“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ）A ．1a ≤-B ．14a -≤ C ．2a ≤- D．0a ≤5．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知a R ∈，则“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）A ．22a b >B ．1ba<C ．()10g a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式220ax bx ++>的解集为{12}x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（ ）A ．{1x <-或1}2x > B ．1{1}2x x -<<C ．{21}x x -<<D ．{2x <-或1}x >9．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1B ．92C ．9D ．1810．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u rx AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．9211．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-12．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．913．（2020届山东师范大学附中高三月考）若0a >，0b >，()lg lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．614．（2020届山东实验中学高三上期中）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2B ．3C ．4D ．815．（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当2x >时，有()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若，则不等式()12f x x <-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(),1-∞C ．()()1,22,3⋃D ．()(),13,-∞⋃+∞二、多选题16．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->- D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 17．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．11a b< B ．11a b> C ．2a b > D ．22a b >18．（2020届山东省潍坊市高三上期中）若x y ≥，则下列不等式中正确的是（ ） A ．22x y ≥B ．2x yxy +≥ C ．22x y ≥ D ．222x y xy +≥19．（2020届山东省九校高三上学期联考）下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤20．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 三、填空题21．（20201x x +x =______. 22．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数2245()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值是__________.23．（2020届山东省潍坊市高三上期中）“x R ∃∈，220x x a --<” 为假命题，则实数a 的最大值为__________．24．（2020·全国高三专题练习（理））谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数13与115的和表示25等.从11111,,,,,234100101⋅⋅⋅这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是________.（按照从大到小的顺序排列）25．（2020·全国高三专题练习（理））已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________． 26．（2020届山东实验中学高三上期中）设命题21:01x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．27．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设()()201x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+⎪⎩，，＞． （1）当12a =时，f （x ）的最小值是_____； （2）若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是_____． 四、解答题28．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是21()5004R x x x =-+（元），()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售， ()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价()a b c <<，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ是由当b a -是c b -，c a -的比例中项时来确定.（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求()P x 的最大值； （2）求乐观系数λ的值；（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值.29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x 台()x N *∈的收益函数为()2300020R x x x =- （单位：万元），成本函数()5004000C x x =+（单位：万元），该公司每月最多生产100台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）（1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1） （3）求x 为何值时利润函数()P x 取得最大值，并解释边际利润函数()MP x 的实际意义． 30．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<（Ⅰ）当3a =时，求A B I ；（Ⅱ）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.第二部分 计数原理一、单选题1．（2020届山东省烟台市高三上期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ） A ．216B ．480C ．504D ．6242．（2020届山东省九校高三上学期联考）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ） A ．20 B ．15 C ．10D ．53．（2020·全国高三专题练习（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（ ） A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种4．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）A ．59B ．49C ．716D ．9165．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A ．24B ．36C ．48D ．606．（2020届山东省滨州市高三上期末）展开式中项的系数为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15 B ．815 C ．35D ．3208．（2020届山东省临沂市高三上期末）6324x x ⎛⎝的展开式的中间项为（ ） A ．-40B ．240x -C ．40D ．240x9．（2020届山东省潍坊市高三上期中）(82x 展开式中3x 的系数为（ ）A ．-112B ．28C ．56D ．112二、多选题 三、填空题10．（2020届山东省日照市高三上期末联考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）11．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在32nx x ⎛ ⎝的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．12．（2020届山东省德州市高三上期末）6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 13．（2020届山东省临沂市高三上期末）现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于3本的概率是______.14．（2020·全国高三专题练习（理））在()8x 的展开式中,含44x y 项的系数是_______.。