量子力学习题答案(曾谨言版)
曾谨严量子力学习题解答2
1 [ϕ1 (x ) + ϕ 2 (x )] 2 1 1 ⎡ϕ1 ( x ) e − iE1t / h + ϕ 2 ( x ) e − iE2t / h ⎤ ⎡ϕ1 ( x, t ) + ϕ 2 ( x, t ) ⎤ = 则有：ϕ ( x, t ) = ⎣ ⎦ ⎦ 2⎣ 2 (2)求 x (t ) = ?
⎧ ⎛ nπ pa ⎞ ⎛ nπ pa ⎞ ⎫ a sin ⎜ − + ⎛ nπ pa ⎞ sin ⎜ ⎟ ⎟ i⎜ − ⎟ ⎪ n +1 ⎪ ⎝ 2 2h ⎠ ⎪ 2 2h ⎠ ⎪ ⎝ = π h e ⎝ 2 2h ⎠ ⎨ + ( −1) nπ pa nπ pa ⎬ 2i ⎪ ⎪ − + 2 2h 2 2h ⎭ ⎪ ⎪ ⎩
3. 《曾 P.163-5》 一维无限深势阱（如右图）中的粒子，设处于 ϕ n ( x ) 态。求其动量分布概率。当 n >> 1 时， 与经典粒子运动比较。 解：利用已知解：
⎧ 2 nπ x sin , ⎪ ϕn ( x ) = ⎨ a a ⎪0, ⎩
V ( x)
0
a
(0 < x < a) ( x < 0, x > a )
∗
5π 2 h 2 5 1 = = E1 = ( E1 + E2 ) 2ma 2 2 2
2 （4）求 H = ?
H = ∫ ϕ ∗ ( x ) H 2ϕ ( x )dx
2 −∞
+∞
=∫
+∞
−∞ a
1 1 ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ ⋅ H 2 ⋅ ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2
量子力学习题答案(曾谨言版)
d2 d2x
1
2 h
e ipx
hdp
1 2m
p2
1 eipx
2 h
hdp
常数 ( x)
因此(x)=(x) 非能量本征态。
(d) 任意波函数可按自由粒子的平面波函数展开：
( x, t) C( p) p ( x, t) C( p) p ( x, t)dp p 1 i px i Et
P95 习题4.2
解: (a) 对两个全同的Boss子，体系波函数必须满足 交换对称性。
① 当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定 交换对称：
(1, 2) i (1)i (2), i 1, 2, 3 可能态数目 3
① 当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波
函数：
(1, 2)
1 2
2l
,
l n1
N2 n,n1
4Z3 a3n4 (2n 1)!
r (n2 n 2) a Z
对于氢原子“园轨道”的平均半径
r (n2 n 2) a
例如基态 r1 3 2 a 和例题1的结果一致。
(c) 涨落
1
r (r2 r 2 )2
与(b)类似地
r2
C
(2n 2)! (2Z na)2n3
解：设lz算符的本征态为m，相应的本征值mћ
lx
* m
lˆx
m
dx
1 ih
* m
(lˆylˆz
lˆz lˆy
)
mdx
1 [ ih
* m
lˆy
lˆz
mdx
* m
lˆz
lˆy
m
dx]
1 [mh ih
* m
lˆyz
[理学]《量子力学导论》习题答案曾谨言版_北京大学1
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第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。
曾谨严量子力学习题解答5
⑵
由归一化条件 ψ +ψ = 1, 即
(a
b)
⎛ ⎜ ⎝
a b
⎞ ⎟ ⎠
=
1
a2 + b2 =1
⑶
由⑵、⑶可解得: a = b = 1 2
∴σ x
的本征态为 ψ + =
1 ⎛1⎞ 2 ⎜⎝1⎟⎠
当 λ = −1 时,带入方程⑴式,可得:
⎛ +1
⎜ ⎝
1
1⎞ 1⎟⎠
⎛ ⎜ ⎝
a b
⎞ ⎟ ⎠
=
0
∴a = −b
Ay Bz − Ay Bz
+iσ y ( Az Bx − Ax Bz )
( ) ( ) ( ) =
r A
⋅
r B
+
iσ
z
( ) =
r A
⋅
r B
+
iσr
⋅
Ar ×
r B
rr
z
+ iσ x
A× B
Ar ×
r B
x
+ iσ y
Ar ×
r B
y
证毕。
2. 《曾 p.401-练习7》
令
( ) σ ±
=
1 2
⎥ ⎦
1 ⎡nx − iny ⎤
2(1− nz ) ⎢⎣ 1− nz ⎥⎦
⑼
如
nr
=
(0, 0,1),
取
φ−1
=
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦ ;
如
nr
=
(0, 0, −1),
取
φ−1
=
⎡1⎤ ⎢⎣0⎥⎦
6.《曾 p.442-练习9》
(a) 设电子处于自旋态 χ1/2 (σ z = 1), 求 σ n = σr ⋅ nr 的可能测得值及相应的概率,
(完整word版)量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案
(完整word 版)量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案 第一章量子力学的诞生1。
1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰ )(x V解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω===。
a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， (2)a x ±=即为粒子运动的转折点。
有量子化条件h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p aaaa==⋅=-=-=⋅⎰⎰⎰+-+-222222222)21(22πωπωωω得ωωπm nm nh a 22==（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4）积分公式： c au a u a u du u a ++-=-⎰arcsin 22222221.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动.假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=，,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π,3,2,1,,=z y x n n n1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。
量子力学导论习题答案(曾谨言)
第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则()BA AB +21和()BA AB i-21也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++21212121()BA AB +∴21为厄米算符。
ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++++21212121()BA AB i-∴21也为厄米算符。
ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===++++，且定义 ()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+-+++==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得 -++=iF F F4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明[][]F ,F,,pi F x x i F p ∂∂=∂∂-=整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞==,),(n m n m mnp x Cp x F 。
证： （1）先证[][]11, ,,--=-=n n m mp ni p x xmi xp 。
[][][][][][][][]()()[]()111111331332312221111,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m mx m i x i x i m xxp x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i xx p x p x x p同理，[][][][][][]1221222111,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n np ni ppx pi p p x p p x p p i pp x p x p p x现在，[][]()∑∑∑∞=-∞=∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0,1,0,,,,n m nm mnn m n m mn n m n m mn px m i C p x p C p x C p F p而 ()∑∞=--=∂∂-0,1n m n m mn p x mi C x Fi 。
曾谨言量子力学(卷1)习题答案
目次第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。
1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。
19793．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。
19824．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。
1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。
1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。
19727．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。
1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics(有中译本：陈洪生译。
科学) 19519. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics（英译本） Springer Verlag 197311. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1)dx e x an e x a dx e x axn ax n ax n ∫∫−−=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a ba e bxdx e axax−+=∫ (3) =∫axdx e axcos )sin cos (22bx b bx a ba e ax++ (4)ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2−=∫(5) =∫axdx x sin 2ax a xaax a x cos )2(sin 2222−+(6)ax a xax aaxdx x sin cos 1cos 2+=∫ (7) ax aa x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222−+=∫))ln(2222c ax x a ac c ax x ++++ (0>a ) (8)∫=+dx c ax 2)arcsin(222x c a ac c ax x −−++ (a<0) ∫20sin πxdx n2!!!)!1(πn n − (=n 正偶数)(9) =∫20cos πxdx n!!!)!1(n n − (=n 正奇数) 2π(0>a )(10)∫∞=0sin dx xax2π− (0<a )(11))1!+∞−=∫n n ax an dx x e (0,>=a n 正整数) (12)adx e ax π2102=∫∞− (13) 121022!)!12(2++∞−−=∫n n ax n an dx e x π(14)1122!2+∞−+=∫n ax n an dx e x (15)2sin 022adx xax π∫∞= (16)∫∞−+=222)(2sin b a abbxdx xe ax (0>a )∫∞−+−=022222)(cos b a b a bxdx xeax(0>a )第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
曾谨言量子力学练习题答案
曾谨言量子力学练习题答案曾谨言量子力学练习题答案量子力学作为现代物理学的重要分支，是研究微观世界的基本理论。
在学习量子力学的过程中，练习题是不可或缺的一部分。
本文将为大家提供一些曾谨言量子力学练习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 考虑一个自旋1/2的粒子，其自旋矢量可以表示为：S = (h/2π) * σ其中，h为普朗克常数，σ为泡利矩阵。
对于自旋1/2的粒子，其泡利矩阵可以表示为：σx = |0 1||1 0|σy = |0 -i||i 0|σz = |1 0||0 -1|其中，i为虚数单位。
根据这些泡利矩阵，我们可以计算自旋矢量在不同方向上的期望值。
2. 对于一个自旋1/2的粒子，其自旋矢量的模长可以表示为：|S| = √(S·S)其中，S·S表示自旋矢量的内积。
根据泡利矩阵的定义，可以计算出自旋矢量在不同方向上的内积。
3. 考虑一个自旋1/2的粒子，其自旋矩阵可以表示为：J = (h/2π) * σ其中，h为普朗克常数，σ为泡利矩阵。
对于自旋1/2的粒子，其泡利矩阵可以表示为：σx = |0 1||1 0|σy = |0 -i||i 0|σz = |1 0||0 -1|根据这些泡利矩阵，我们可以计算自旋矩阵在不同方向上的期望值。
4. 对于一个自旋1/2的粒子，其自旋矩阵的模长可以表示为：|J| = √(J·J)其中，J·J表示自旋矩阵的内积。
根据泡利矩阵的定义，可以计算出自旋矩阵在不同方向上的内积。
5. 考虑一个自旋1/2的粒子，其自旋算符可以表示为：S = (h/2π) * σ其中，h为普朗克常数，σ为泡利矩阵。
对于自旋1/2的粒子，其泡利矩阵可以表示为：σx = |0 1||1 0|σy = |0 -i||i 0|σz = |1 0||0 -1|根据这些泡利矩阵，我们可以计算自旋算符在不同方向上的期望值。
6. 对于一个自旋1/2的粒子，其自旋算符的模长可以表示为：|S| = √(S·S)其中，S·S表示自旋算符的内积。
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可以证明展开系数（见附录）
C( p) p * ( x, t) ( x, t)dx
当(x,t)未知时，C(p)难以直接求解。但C(p)与时间 无关，故可以用系统的初态求解：
C( p) p * ( x) ( x, 0)dx; t 0
右边
C( p)dp
p ( x, t) p' * ( x, t)dx
C( p) ( p p')dp C( p')
所以 C( p) p *(x, t) (x, t)dx 得证！
（I）式可以写成：
1
i px
( x, t)
C( p, t) p ( x)dp (2 h) 2
和任意，所以 ( Aˆ Bˆ ) B% ˆ A% ˆ
P74 习题3.3
解答：利用 [ p, xm] ihmxm1
[x, pn] ihnpn1
[ p, F ] Cmn[ p, xm ] pn
mn0
ih Cmnmxm1 pn
mn0
ih F x
同理有 [x, F ] ih F p
P75 习题3.14
h 2m 2t
2t
利用
ei 2 d
i
e 4
所以
(x,t)
mx2
m i i e e4 2ht
2 ht
附录：
系数 证明：
( x, t) C( p) p ( x, t)dp
C( p) p * ( x, t) ( x, t)dx
( x, t) C( p) p ( x, t)dp
n2
(n
1 2
)(n
1)
(a
Z )2
所以
r
[n2
(n
1 2
)(n
1)
(a
Z)2
1
(n2 n 2)2 (a Z )2]2
1
r
n2 4
n3 2
2
(a
Z)
r r n n2 n 1 2n 1
2
2
可见，n越大，r r 越小，量子力学的结果和Bohr
量子化“轨道”的图像越接近。
部分习题解答
P25 习题1.3
解: （a）、（b）两问参见课件。
（c） 由(a)知道：自由粒子波函数既是动量本征 函数也是能量本征函数或能量本征态(定态)，而 (x)是无穷多动量本征态的叠加，也即无穷多能量 本征态的叠加，因此(x)=(x)代表非定态，也即 非能量本征态。
另解：
Hˆ
(
x)
h2 2m
100 (r, , )
1 er a
a3
基态能量
E1
e4
2h2
e2 2a
经典禁区
E1 V (r) 0
e2 e2 0 2a r
r 2a
（因为E=T+V，E－V<0意味着T<0，显然是经典理
论不允许的；但量子理论中，粒子可以发生隧道效
应，穿越经典禁区）
基态电子处于经典禁区的概率
2
P 100 (r, , ) d
d2 d2x
1
2 h
e ipx
hdp
1 2m
p2
1 eipx
2 h
hdp
常数 ( x)
因此(x)=(x) 非能量本征态。
(d) 任意波函数可按自由粒子的平面波函数展开：
( x, t) C( p) p ( x, t) C( p) p ( x, t)dp p 1 i px i Et
园轨道（l = n－1）下的径向概率分布函数
n,n1(r) 2 Cr2ne2Zr na
最概然半径 rn 由下列极值条件决定：
d dr
n,n1 (r) 2
0
rn n2a Z
2
(b) r r nlm (r, , ) d
1 0r
nl (r) 2 r 2dr
4 0
Ylm (
,
)
2
d
0
nl (r)
P95 习题4.2
解: (a) 对两个全同的Boss子，体系波函数必须满足 交换对称性。
① 当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定 交换对称：
(1, 2) i (1)i (2), i 1, 2, 3 可能态数目 3
① 当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波
函数：
(1, 2)
1 2
dA 1 [Aˆ , Hˆ ] 1 ( ,[Aˆ , Hˆ ] )
dt ih
ih
1 [( , Aˆ Hˆ ) ( , HˆAˆ )]
ih
1 [E( , Aˆ ) (Hˆ , Aˆ )]
ih
1 [E( , Aˆ ) E( , Aˆ )] 0
ih
P115 习题5.5
解答: 氢原子基态波函数
[i
(1)
j
(
2)
i
(
2)
j
(1)],
i j
可能态数目 C32 3
所以，两个全同Boss子总的可能态数目6
(b) 对两个全同的Femi子，体系波函数必须满足交换 反对称要求。
对Femi子不允许两个粒子处于相同的单态，因
此它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系
波函数：
(1, 2)
1 2
[i
1 i px
1
(2 h) 2 e h ( x)dx= (2 h) 2
则
(x,t)
(2 h)1
i ( px p2 t )
e h 2m dp
(2 h) e dp 1
i [( t p m x )2 mx2 ]
h 2m 2t
2t
( x, t) (2 h)1
e dp
i [( t p m x )2 mx2 ]
C( p, t)e h
dp
1
i px
C( p, t)
p * ( x) ( x, t)dx (2 h) 2
(x, t)e h
dx
课件第3章§1习题: 证明 ( Aˆ Bˆ ) B% ˆ A% ˆ
解答：由转置算符的定义得到
( , Aˆ Bˆ ) (*, Aˆ Bˆ *)
( Bˆ * , A% ˆ ) ( A% ˆ **, Bˆ *) ( , B% ˆ A% ˆ )
（I）
p' * ( x, t) ( x, t) p' * ( x, t) C( p) p ( x, t)dp
p' *(x, t) (x, t)dx p' *(x, t)dx C( p) p(x, t)dp
p' *(x, t) (x, t)dx p' *(x, t)dx C( p) p(x, t)dp
1
a3
e2r ar2dr
4
d
2a
0
13e4 0.238
注意：结果中e非指电子电荷，而是指数e。
P115 习题5.6
解答: (a) 类氢离子中电子的波函数
nlm
(r,
,
)
Rnl
( r )Ylm
(
,
)
1 r
nl
( r )Ylm
(
,
)
Rnl (r) Nnl le 2F(n l 1, 2l 2, )
* m
lˆy
mdx]
0
类似地可以证明 ly 0
P75 习题3.16
解：显然态，非lz算符和l2算符的本征态 (a) lz的可能测值
lz1 mh h, m 1 相应本征态Y11 lz2 mh 0, m 0 相应本征态Y20
相应的测量概率：
lz1 : c1 2 ; lz2 : c2 2
平均值：
2l
,
l n1
N2 n,n1
4Z3 a3n4 (2n 1)!
r (n2 n 2) a Z
对于氢原子“园轨道”的平均半径
r (n2 n 2) a
例如基态 r1 3 2 a 和例题1的 (r2 r 2 )2
与(b)类似地
r2
C
(2n 2)! (2Z na)2n3
解：设lz算符的本征态为m，相应的本征值mћ
lx
* m
lˆx
m
dx
1 ih
* m
(lˆylˆz
lˆz lˆy
)
mdx
1 [ ih
* m
lˆy
lˆz
mdx
* m
lˆz
lˆy
m
dx]
1 [mh ih
* m
lˆyz
mdx
(lˆz m ) * lˆy mdx]
1 [mh ih
m* lˆyz mdx mh
2
rdr
对于园轨道(l = n－1)
径向概率密度
n,n1(r) 2 Cr2ne2Zr na
r C r e 2n1 2Zr nadr 0
r C r e 2n1 2Zr nadr 0
利用积分公式
0
xne
xdx
n!
n1
得到
r
C
(2n 1)! (2Z na)2n2
而
C
N
2 nl
2Z na
lz lz1 c1 2 lz2 c2 2 h c1 2
(b) l2的可能测值
l12 l(l 1)h2 2h2, l 1 相应本征态Y11 l22 l(l 1)h2 6h2, l 2 相应本征态Y20
相应的测量概率：
l12 : c1 2 ;
平均值：
l22 : c2 2
l 2 l12 c1 2 l22 c2 2 2h2 c1 2 6h2 c2 2