专题 立体几何三视图、球

专题七立体几何专题三视图和球一、知识清单1.空间几何体的结构特征注意区别：1.正三棱柱 2.正四面体 3.直棱柱 4.正棱柱2. 空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用________画法来画，基本规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直。

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中______________________。

平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中__________，平行于y轴的线段长度在直观图中_________________。

3.几何体的三视图三视图包括_______________,____________,_________________.三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝_____S圆台侧＝__________5.空间几何体的表面积和体积公式二、实例演练1.【2017课标II ，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A.90πB.63πC.42πD.36π【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B. 2.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） （A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10试题分析：该几何体是三棱锥，如图：图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是，故选D.3.【2018届四川省成都市龙泉第二中学高三10月月考】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】D 故该几何体的表面积 4.【2017课标1，】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A ．10B ．12C ．14D ．165.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是( )A ．314B ．4C ．310D ．3 【解析】几何体如图，体积为：42213=⨯，故选择B115341032V =⨯⨯⨯⨯=3π4π24π＋34π＋1222342S πππ=⨯⨯++⨯=+（），6.(2016·河北三市二联)某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积的比值为( )A.13B.23C.25D.45解析：由三视图可知，该几何体是高为4的四棱锥，计算可得最小面的面积为2，底面面积为5，故选C 。

7.【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试】已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A．．．． 【答案】C【解析】由三视图可知这是一个三棱柱截去一个三棱锥所得，故体积为22146433⋅-⋅245=⋅=8．【临川一中2016届高三上学期第二次月考】已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为( ) A.B.【答案】C9.【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为（ ） A ．8 B ．7 C.233D ．223【解析】31111211212273232V =-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选 B. 10. 【2018届河南省中原名校高三第三次联考】 把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，连结AC ，得到三棱锥C ABD -，其正视图、俯视图均为全等的等腰三角形（如图所示），则其侧视图的面积为（ ）C. 1D. 图：∵正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形， ∴平面BCD ⊥ 平面ABD ，又O 为BD 的中点， CO ∴⊥ 平面ABD ， OA ⊥ 平面BCD ，．故选：C ． 11.【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】如图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（ ）A. 3 2B. 19C. 22D. 3 3 【解析】几何体ABCD 为图1中粗线所表示的图形，最长棱是AC ，AC = 32+32+22= 22，故选C ．12.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于A．． D ．13.【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B.14.【广东省韶关市高三调研】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】由三视图易知，该几何体是底面积为，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得.选C.121323321333322V =⨯⨯=正视图 侧视图球15.【2018届广西桂林市柳州市高三综合模拟金卷（1）】已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB =3，AC =4 AB ⊥AC ,AA 1=12,则球O 的半径为 （ ） A.3 172B. 2 10C. 132 D.3 10【答案】C16.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 试题分析：取SC 的中点O ，连接,OA OB 因为,SA AC SB BC == 所以,OA SC OB SC ⊥⊥ 因为平面SAC ⊥平面SBC 所以OA ⊥平面SBC 设OA r =3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以31933r r =⇒=，所以球的表面积为2436r ππ=17.【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【考点】圆柱体积18.【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以224π14π.R S R ====19.【江西省新余市2016届高三第二次模拟】已知C B A 、、是球O 的球面上三点，2=AB ，32=AC ， 60=∠ABC ，且棱锥ABC O -的体积为364，则球O 的表面积为（ ） A ．π10 B ．π24 C ．π36 D ．π4820.【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）】已知三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 .21．D C B A ,,,是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形, AD ⊥平面ABC ，4=AD ，32=AB ,则该球的表面积为( )A.8πB.16πC.32πD.64π 【答案】C22.已知体积为的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为那么球O 的体积等于（ ）A ．323π B ．3 C ．332π D ．2【答案】A23.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ） A. 4π B. 6π C. 12π D. 24π 【答案】B【解析】设球的半径为：r ，由正四面体的体积得： 4×13×r × 34×62=13×34×62× 62− 23× 32×6 2, 所以r=，设正方体的最大棱长为a ，∴3=∴a=,外接球的面积为故选B.24.【2017天津，文11】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】92π 【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=. 25.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为2，则直三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为 ． 【答案】4π【解析】根据题意，设2BC m =，则有11BB m =，从而有其外接球的半径为1R =≥，所以其比表面积的最小值为4S π=.26.三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】分析可知球心在的中点. 因为，,所以所以球的半径.所以此球的表面积为.故A 正确.P ABC -PA⊥ABC AC BC ⊥1AC BC ==PA =π5π2π20π4PB AC BC ⊥1AC BC ==AB =PB =R =245S R ππ==。