二元一次方程组应用题归类及精选例题

二元一次方程组精选应用题库

二元一次方程组是最简单的方程组， 其应用广泛， 尤其是生活、 生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、列二元一次方程组来加以解决。

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（ 1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（ 2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（ 3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（ 4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（ 5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 . 现将中考中常见的几种题型归纳如下：

一、市场营销问题

例 1（2005 年河南省实验区）某商场购进甲、乙两种服装后，都加价 40%标价出售 . “春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八

折和九折出售 . 某顾客购买甲、乙两种服装共付款 182 元，两种服装标价之和为 210 元. 问这两种服装的进价和标价各是多少元？

解：设甲种服装的标价为

x 元，则进价为 x

元；乙种服装的标价为 y 元， 则进价为 y

元. 由题意，得

1.4

1.4

x y 210,

解得，

x

70, 0.8x 0.9 y 182.

y 140.

所以， x =50（元），

y

=100（元） .

1.4

1.4

故甲种服装的进价和标价分别为

50 元、 70 元，乙种服装的进价和标价分别

为 100 元、 140 元.

二、生产问题

例 2（2005 年长沙市实验区）某工厂第一季度生产两种机器共 480 台. 改进

生产技术后，计划第二季度生产两种机器共 5544 台，其中甲种机器产量要比第 一季度增产 10%，乙种机器产量要比第一季度增产 20%. 该厂第一季度生产甲、 乙两种机器各多少台？

解：设该厂第一季度生产甲种机器 x 台，乙种机器 y 台.

x y

480,

由题意，得 10%x 20% y 540 480.

解得， x

220, y 260.

故该厂第一季度生产甲种机器220 台，乙种机器 260 台.

三、校舍改造问题

例 3 为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一

部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需 80 元，建造新校舍每平方米需700 元. 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 7200 平方米，在实施中为扩大

绿地面积，新建校舍只完成了计划的 80%，而拆除旧校舍则超过了计划的 10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积 .

（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？

（2）若绿化 1 平方米需 200 元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资

金用来绿化大约是多少平方米？

分析：本题可以设一个未知数列方程来解决，但关系复杂，转化起来比较繁

杂.因此，选用列二元一次方程组来解决 .其中有两个很明显的相等关系：一是原计

划拆、建总面积，二是实施当中，拆、建的总面积 .

解：（1）设原计划拆除旧校舍 x 平方米，新校舍 y 平方米 . 由题意，得

x y 7200,

(1 10%)x 80% y7200.

解得，x4800,

y2400.

（2）实际比原计划拆除与新建校舍节约资金为：

（4800×80＋2400×700）－ [4800×（ 1＋10%）× 80＋2400×80%]×700 = 297600.

用此资金可绿化面积为297600÷200 = 1488（平方米） .

四、方案选择问题

例 4（2005 年临沂市实验区）李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样的一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了8桶和 12桶，且在乙供水点比在甲供水点多花 18 元钱 . 若只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些？

解：设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为x、y 元.

由题意，得 10x 6 y51,

12y 8x18.

x3,

解得，

y 3.5.

由于 3.5 > 3，所以到甲供水点购买便宜一些.

开动脑筋，做一做：

1、（2005 年无锡市实验区）某天，一蔬菜经营户用 60 元钱从蔬菜批发市场

批了西红柿和豆角共 40kg 到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价

如下表所示：

品名西红柿豆角

批发价（单位：元 /kg） 1.2 1.6

零售价（单位：元 /kg） 1.8 2.5

问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？

2、（2005 年吉林省实验区）随着我国人口速度的减慢，小学入学儿童数量每年按逐渐减少的趋势发展，某区2003 年和 2004 年小学儿童人数之比为8 : 7，且

2003 年入学人数的 2 倍比 2004 年入学人数的 3 倍少 1500 人，某人估计 2005 年入学儿童数将超过 2300 人，请你通过计算，判断他的估计是否符合当前的变化趋势 .

五、数字问题

例 1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大 27，求这个两位数．

分析：设这个两位数十位上的数为 x，个位上的数为 y，则这个两位数及新两位数及其之间

的关系可用下表表示：

十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系

10x+y10x+y=x+y+原两位数x y

9

10y+x10y+x=10x+新两位数yｘ

y+27

10x y x y 9x1

解方程组，得，因此，所求的两位数是 14．

10y x 10x y 27y4

点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接

设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x 的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．

六、利润问题

例 2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10 元，问

此商品的定价是多少？

分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为

x 元，进价为 y

元，则打九折时的卖出价为 0.9x 元，获利 (0.9x-y)元，因此得方程 0.9x-y=20%y ；打八折时的

卖出价为 0.8x 元，获利 (0.8x-y)元，可得方程 0.8x-y=10.

0.9x y 20%y x 200 解方程组

y 10

，解得

，

0.8x y

150

因此，此商品定价为 200 元．

点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的， 不要误为是相对于定价或卖出价． 利润

的计算一般有两种方法， 一是：利润 =卖出价 -进价；二是：利润 =进价 ×利润率（盈利百分数）．特

别注意 “利润 ”和“利润率 ”是不同的两个概念．

七、配套问题

例 3 某厂共有 120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套， 那么每天安排多名工人生产螺栓， 多少名工人生产螺母， 才能使每天生产出来的产品配成最多套？

分析：要使生产出来的产品配成最多套， 只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，

根据题

意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式： 每天生产的螺栓数 ×2=每天生产的螺母数 ×1．因此， 设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓

25ｘ个，螺母 20ｙ个，依题意，得

x

y 120

x 20

．

50x 2

，解之，得

y 100 20y 1

故应安排 20 人生产螺栓， 100 人生产螺母．

点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一， 如何分配生产力， 使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题， 解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系， 其中两种最常见的配套问题的等量关系是：

（1）“二合一 ”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于

甲产品数

乙产品数

乙产品数的ａ倍，即

；

a

b

（2）“三合一 ”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产

甲产品数 乙产品数 丙产品数 品数应满足的相等关系式是：

．

a

b

c

八、行程问题

例 4 在某条高速公路上依次排列着 A 、B 、C 三个加油站， A 到 B 的距离为 120 千米，

B 到

C 的距离也是 120 千米．分别在 A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以

相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在

B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立

即以相同的速度分别往 A 、C 两个加油站驶去， 结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住， 而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上． 问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为

x 、 y 千米 /时，则

3 x y 120 x y 40

x 80 x y

，整理，得

x y ，解得

y

，

120

120

40

因此，巡逻车的速度是 80 千米 /时，犯罪团伙的车的速度是 40 千米 /时．

点评： “相向而遇 ”和 “同向追及 ”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在

着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：

“相向而遇 ”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；

“同向追及 ”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．

九、货运问题

典例 5 某船的载重量为 300 吨，容积为 1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲

种货物每吨体积为 6 立方米，乙种货物每吨的体积为 2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容

积，甲、乙两重货物应各装多少吨？

分析： “充分利用这艘船的载重和容积 ”的意思是 “货物的总重量等于船的载重量

”且

“货物

的体积等于船的容积 ”．设甲种货物装 x 吨，乙种货物装 y 吨，则

x y 300

x y 300

x 150

6x 2 y

，整理，得

3x y

，解得

y

， 1200

600

150

因此，甲、乙两重货物应各装 150 吨．

点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简， 因此，解实际问题的方程组时要注意

先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边

同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．

十、工程问题

例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装 150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能

完成订货的4

；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200 套，这5

样不仅比规定时间少用 1 天，而且比订货量多生产25 套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？

分析：设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得

150y 4

x3375 x

5，解得.

200 y1x 25y18

点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1表”示总工作量．

十一【典题精析】

（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元 /辆，小型汽车的停车费为 4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？

解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有 y辆.由题意，得

x y50,

6x 4 y230.

解得，x15,

y 35.

故中型汽车有 15辆，小型汽车有 35辆.

例 2（ 2006 年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：

销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售

每吨获利（元）100250450

现在该公司收购了140 吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜 6 吨或粗加工蔬菜16 吨（两种加工不能同时进行）．

（1）如果要求在 18 天内全部销售完这140 吨蔬菜，请完成下列表格：

销售方式全部直接

销售全部粗加工后

销售

尽量精加工，剩余部分直接

销售

获利（元）

（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15 天内刚好加工完

如何分配加工时间？

解：（1）全部直接销售获利为：100×140=14000（元）；

140 吨蔬菜，则应

全部粗加工后销售获利为：250×140=35000（元）；

尽量精加工，剩余部分直接销售获利为： 450×（6×18）＋100×（ 140－6×18）=51800（元）.

（2）设应安排 x 天进行精加工，y 天进行粗加工 .

x y15,

由题意，得

6 x 16y140.

解得，x10,

y 5.

故应安排 10 天进行精加工， 5 天进行粗加工 .

十二【跟踪练习】

为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需 80 元，建新校舍每平方米需 700 元. 计划在年内拆除旧校舍

与建造新校舍共 7200 平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的 80%，而拆除旧校舍则超过了计划的 10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积 .

（1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？

（2）若绿化 1 平方米需 200 元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大

约是多少平方米？

答案：（ 1）原计划拆、建面积各是4800 平方米、 2400 平方米；

（ 2）可绿化面积为1488 平方米 .