二元一次方程组应用题归类及精选例题

二元一次方程组精选应用题库二元一次方程组是最简单的方程组， 其应用广泛， 尤其是生活、 生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、列二元一次方程组来加以解决。

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（ 1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（ 2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（ 3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（ 4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（ 5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 . 现将中考中常见的几种题型归纳如下：一、市场营销问题例 1（2005 年河南省实验区）某商场购进甲、乙两种服装后，都加价 40%标价出售 . “春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售 . 某顾客购买甲、乙两种服装共付款 182 元，两种服装标价之和为 210 元. 问这两种服装的进价和标价各是多少元？解：设甲种服装的标价为x 元，则进价为 x元；乙种服装的标价为 y 元， 则进价为 y元. 由题意，得1.41.4x y 210,解得，x70, 0.8x 0.9 y 182.y 140.所以， x =50（元），y=100（元） .1.41.4故甲种服装的进价和标价分别为50 元、 70 元，乙种服装的进价和标价分别为 100 元、 140 元.二、生产问题例 2（2005 年长沙市实验区）某工厂第一季度生产两种机器共 480 台. 改进生产技术后，计划第二季度生产两种机器共 5544 台，其中甲种机器产量要比第 一季度增产 10%，乙种机器产量要比第一季度增产 20%. 该厂第一季度生产甲、 乙两种机器各多少台？解：设该厂第一季度生产甲种机器 x 台，乙种机器 y 台.x y480,由题意，得 10%x 20% y 540 480.解得， x220, y 260.故该厂第一季度生产甲种机器220 台，乙种机器 260 台.三、校舍改造问题例 3 为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需 80 元，建造新校舍每平方米需700 元. 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 7200 平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的 80%，而拆除旧校舍则超过了计划的 10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积 .（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化 1 平方米需 200 元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？分析：本题可以设一个未知数列方程来解决，但关系复杂，转化起来比较繁杂.因此，选用列二元一次方程组来解决 .其中有两个很明显的相等关系：一是原计划拆、建总面积，二是实施当中，拆、建的总面积 .解：（1）设原计划拆除旧校舍 x 平方米，新校舍 y 平方米 . 由题意，得x y 7200,(1 10%)x 80% y7200.解得，x4800,y2400.（2）实际比原计划拆除与新建校舍节约资金为：（4800×80＋2400×700）－ [4800×（ 1＋10%）× 80＋2400×80%]×700 = 297600.用此资金可绿化面积为297600÷200 = 1488（平方米） .四、方案选择问题例 4（2005 年临沂市实验区）李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样的一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了8桶和 12桶，且在乙供水点比在甲供水点多花 18 元钱 . 若只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些？解：设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为x、y 元.由题意，得 10x 6 y51,12y 8x18.x3,解得，y 3.5.由于 3.5 > 3，所以到甲供水点购买便宜一些.开动脑筋，做一做：1、（2005 年无锡市实验区）某天，一蔬菜经营户用 60 元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共 40kg 到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：品名西红柿豆角批发价（单位：元 /kg） 1.2 1.6零售价（单位：元 /kg） 1.8 2.5问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？2、（2005 年吉林省实验区）随着我国人口速度的减慢，小学入学儿童数量每年按逐渐减少的趋势发展，某区2003 年和 2004 年小学儿童人数之比为8 : 7，且2003 年入学人数的 2 倍比 2004 年入学人数的 3 倍少 1500 人，某人估计 2005 年入学儿童数将超过 2300 人，请你通过计算，判断他的估计是否符合当前的变化趋势 .五、数字问题例 1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大 27，求这个两位数．分析：设这个两位数十位上的数为 x，个位上的数为 y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系10x+y10x+y=x+y+原两位数x y910y+x10y+x=10x+新两位数yｘy+2710x y x y 9x1解方程组，得，因此，所求的两位数是 14．10y x 10x y 27y4点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x 的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．六、利润问题例 2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10 元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x 元，进价为 y元，则打九折时的卖出价为 0.9x 元，获利 (0.9x-y)元，因此得方程 0.9x-y=20%y ；打八折时的卖出价为 0.8x 元，获利 (0.8x-y)元，可得方程 0.8x-y=10.0.9x y 20%y x 200 解方程组y 10，解得，0.8x y150因此，此商品定价为 200 元．点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的， 不要误为是相对于定价或卖出价． 利润的计算一般有两种方法， 一是：利润 =卖出价 -进价；二是：利润 =进价 ×利润率（盈利百分数）．特别注意 “利润 ”和“利润率 ”是不同的两个概念．七、配套问题例 3 某厂共有 120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套， 那么每天安排多名工人生产螺栓， 多少名工人生产螺母， 才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套， 只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式： 每天生产的螺栓数 ×2=每天生产的螺母数 ×1．因此， 设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母 20ｙ个，依题意，得xy 120x 20．50x 2，解之，得y 100 20y 1故应安排 20 人生产螺栓， 100 人生产螺母．点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一， 如何分配生产力， 使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题， 解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系， 其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一 ”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于甲产品数乙产品数乙产品数的ａ倍，即；ab（2）“三合一 ”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产甲产品数 乙产品数 丙产品数 品数应满足的相等关系式是：．abc八、行程问题例 4 在某条高速公路上依次排列着 A 、B 、C 三个加油站， A 到 B 的距离为 120 千米，B 到C 的距离也是 120 千米．分别在 A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往 A 、C 两个加油站驶去， 结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住， 而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上． 问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x 、 y 千米 /时，则3 x y 120 x y 40x 80 x y，整理，得x y ，解得y，12012040因此，巡逻车的速度是 80 千米 /时，犯罪团伙的车的速度是 40 千米 /时．点评： “相向而遇 ”和 “同向追及 ”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇 ”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及 ”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．九、货运问题典例 5 某船的载重量为 300 吨，容积为 1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为 6 立方米，乙种货物每吨的体积为 2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析： “充分利用这艘船的载重和容积 ”的意思是 “货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积 ”．设甲种货物装 x 吨，乙种货物装 y 吨，则x y 300x y 300x 1506x 2 y，整理，得3x y，解得y， 1200600150因此，甲、乙两重货物应各装 150 吨．点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简， 因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．十、工程问题例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装 150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的4；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200 套，这5样不仅比规定时间少用 1 天，而且比订货量多生产25 套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得150y 4x3375 x5，解得.200 y1x 25y18点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1表”示总工作量．十一【典题精析】（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元 /辆，小型汽车的停车费为 4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有 y辆.由题意，得x y50,6x 4 y230.解得，x15,y 35.故中型汽车有 15辆，小型汽车有 35辆.例 2（ 2006 年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利（元）100250450现在该公司收购了140 吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜 6 吨或粗加工蔬菜16 吨（两种加工不能同时进行）．（1）如果要求在 18 天内全部销售完这140 吨蔬菜，请完成下列表格：销售方式全部直接销售全部粗加工后销售尽量精加工，剩余部分直接销售获利（元）（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15 天内刚好加工完如何分配加工时间？解：（1）全部直接销售获利为：100×140=14000（元）；140 吨蔬菜，则应全部粗加工后销售获利为：250×140=35000（元）；尽量精加工，剩余部分直接销售获利为： 450×（6×18）＋100×（ 140－6×18）=51800（元）.（2）设应安排 x 天进行精加工，y 天进行粗加工 .x y15,由题意，得6 x 16y140.解得，x10,y 5.故应安排 10 天进行精加工， 5 天进行粗加工 .十二【跟踪练习】为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需 80 元，建新校舍每平方米需 700 元. 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 7200 平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的 80%，而拆除旧校舍则超过了计划的 10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积 .（1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化 1 平方米需 200 元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？答案：（ 1）原计划拆、建面积各是4800 平方米、 2400 平方米；（ 2）可绿化面积为1488 平方米 .。