有趣的概率小故事
、
歧 路 亡 羊 的 故 事
一
一 次 找 到 的 可 能 性 只 有 众 ？” 邻人 日 ： “ 多歧 路 ． ” 既返 ， 问： “ 获羊 家 才能 找到他 们 ， 乎 ？” 日： “ 亡之矣． ” 日： “ 奚亡之 ？ ” 日： “ 歧路 五分之一 ， 即２ ０ ％． ２ ． 一 旦 与 敌 潜 艇 相 遇 ，船 队 的 规 模 越 之 中又 有 歧 焉 ， 吾不知所之 ， 所 以反 也 ． ”
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【 活动说明 】 学 生 在 探 究 活 动 中获 得 的
经 验和感受 ， 可 以 通 过 绘 制 不 同统 计 图 的 形 式 展 示 出来 ， 有 利 于 学 生 进 行 学 习反 思 五 、活 动 评 价
以 当 羊 走 过 个 三 岔 路 口后 ， 就 可 能 找羊 １ Ｏ 艘船编队 ， 就 要 编成 １ ０ 队 ．两 种 编 队 方 的人 分 配 不过 来 了． 例如 ， 当ｎ ＝ ５ 时， 即使 式 与敌 潜 艇 相 遇 的可 能 性 之 比为 ５ ： １ ０ ， 即ｌ ：
杨 子 的邻 人 动员 了６ 个人去找 羊 ， 找 到 羊 的 ２ ． 假设 每次遭 到敌潜 艇袭击 损失５ 艘 运 输 那么， 上 述 两种 编 队 方 式 中每 艘 船 被 击 可 能 性 也 只有 还 不及 五 分之 一 ． 可见 ，邻 人 船 ，
．
参与本 次活动 ． 你最大的收获是什 么？
你对 自己在 本 次 活 动 中的表 现 满 意 吗 ？
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与 同伴 交 流 时 。 你 是 否 敢 于发 表 自己 的见 解 ？
小 组 评 价
老 师 评 价
（ 作者单位 ： 江 苏省 泰 州 中学 附 属 初 级 中学 ）
７ ２
Ｔ ｎ ｔ ｅ ｌ ｌ ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
【 活动 说 明 】此次活动的评价应突出过
和对探 究活 动提高认识 水平 ， 用 研 究 的 态 程性 评 价 ， 重 点 评 价 自己在探 究 过 程 中是 否 度 对 待所 学 内容 ， 同时 ， 通 过数 学 写 作 增 强 按要求 进行 规范操作 ，是 否有效 地参 与数 据 学生理解数学 、 表 达 数 学 以 及 应 用 数 学 的 统计 与分 析 ， 同时要关 注 同伴 和 老师 的评价 ，
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有趣 的概 率小 故事
江 苏 省 泰 州 中学 附属 初 级 中 学 明珠 分 校 八 （ ２） 班 郭 苗 概率知识贴近生活 ， 生动有趣 ， 老 师 在 分 知 识 的学 习 特 别 感 兴 趣 ． 我 将 其 中 比较
洋运 送 到 各个 战 场 ． 可是 在 １ ９ ４ ３ 年 以前 ， 的危 险 ｌ 生小 ． 负 责 运 送 物 资 的 英 美 船 队 常 常 受 到 德 国 美 国海 军 接 受 了数 学 家 的建 议 ，改 进
讲 这方面 的知识 时 ， 要 求 我 们 每 天 轮 流 讲 有 趣 的故 事 收 集 了下 来 ， 现 在 和 大 家 一 起
一
个概率 小故事 ， 这 个 活 动 使 我 们 对 这 部 分 享 ．
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喜 爱 各社 团的 学 生人 数 统 计 表
１ ■囊戤 攀
自己 的家 里 ， 老师要找一位 同学 ， 随便 去 哪 位 同学 家都 行 ． 但若这５ 位 同 学 都 集 中 杨子之邻人亡 羊 ， 既率 其党 ， 又请杨子 之竖追之． 杨子日： “ 嘻 ！亡 一羊 ， 何 追 者 之 在 其 中某 一 位 同 学 家 里 ， 老 师 可 能 要 找 几
这是 下 面 我 们 就 来 研 究 一 下 杨 子 的邻 人 找 小 ，每 艘 船 被 击 中 的可 能 性 就 越 大 ． 到 丢 失 的羊 的 可 能 性 有 多 大 ． 假 定 所 有 的 因 为 德 军 潜 艇 的 数 量 与 船 队 中 船 只 的 数
分 岔 口都 各 有 两 条 新 的歧 路 ． 这样 ， 每次分 量 相 比总是少 的 ， 潜 艇所 载 弹 药有 限 ， 每 岔 的总歧路 数分 别为 ２ ’ ， ２ ｚ ， ２ ， ２ ， …， 到第 次袭击 ， 不 论 船 队规 模 多 大 ， 被 击 沉 的数 目 几 次分 岔 时 ， 共有 ２ 条 歧 路 ．因为 丢 失 的羊 基 本 相 等 ． 假 如 运 输 船 的 总量 为 １ ０ ０ 艘， 按 走到 每条歧 路去 的可 能性都 是相等 的 ， 所 每 队２ ０ 艘船 编 队 ， 就 要编成 ５ 队； 而 按 每 队
能 力．
不 断改进 自己的 动 评 价 表
活 动 主题 参 加 者 你 在 活动 中是 如 何 克 服 困难 的？ “ 你 最喜 欢 的 电视 节 目” 调 查 问卷 活动时 间
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在 活 动 中 你 运 用 了哪 些 统 计 方 法 ？
空 手而 返 ， 是 很 自然 的事 了 ！ 二 、数 学 家很 厉 害 的 故 事 中 的可 能性 之 比为５ ／ ２ ０ ： ５ ／ １ ０ ＝ １ ： ２ ． 两者 结 合起 来看 ， 两 种 编 队 方 式 中 每 艘 运 输 船 与
： ４ ． 在第 二 次世界 大 战 中 ， 盟 军 为 了 和 德 敌 潜 艇 相 遇 并 被 击 沉 的 可 能 性 之 比为 １ １ ０ ０ 艘运输 船 ， 编成５ 队 比编 成 １ ０ 队 国法 西 斯 作 战 ， 大量 军需 物资要 穿过 大西 这说 明 ，
简短经典小故事
简短经典小故事追求一种圆满的结局，是人类的共同心理需求。
而简短经典小故事往往能以精炼的叙述和深刻的寓意让读者在短暂的时间内获得共鸣。
下面，我将为您介绍几个经典的小故事，希望能够为您带来一丝思考和感悟。
故事一：老人与青年有一天，一个精力充沛的年轻人看到一位正在栽种花草的老人，他好奇地问道：“大爷，您已经这么老了，为什么还要劳累地在这里种花？”老人微笑着回答：“年轻人，我的奇迹才刚刚开始。
”青年不解地看着老人，老人继续说道：“我栽种的花草最终会成长为美丽的花朵，给人们带来欢乐和美好的风景。
这正是我的奇迹，而我能够亲自见证这个奇迹的发生，也是我最大的幸福。
”年轻人恍然大悟，心中涌起了对老人真实的敬佩。
故事二：渔夫与律师一天，一个富有且受过良好教育的律师来到一个小渔村度假。
他看到海边有一个老渔夫正在悠然地垂钓，便上前和他开始了一段对话。
律师嘲笑道：“老伙计，你为什么不多钓些鱼，换个大点的房子，买辆漂亮的车子呢？而且你还能雇佣其他人来帮助你。
”老渔夫转身看着律师，微笑着说：“先生，我现在每天就是这样，轻松自在地度过我的日子。
我有足够的食物来满足我的需求，并且有时间陪伴我的家人和朋友。
我并不需要追求更多的东西。
”听到这番话，律师陷入沉思。
他开始考虑自己的生活，突然意识到，他一直在不停地追逐物质和权力，却忽略了真正重要的东西。
故事三：羊群概率在一个农村里，有一个充满趣味和智慧的小故事，它名字叫做“羊群概率”。
故事说，在一个村庄附近有一个羊群，村民们每天都可以看到它们在山坡上放牧。
有一天，一只陌生的黑羊闯入了羊群，引起了大家的注意。
村民们围在一起讨论，其中一位年轻人说：“根据我的观察，这里的大部分羊毛是白色的，所以，这只黑羊不可能是在这个村庄出生的。
”另一位年长的村民低声说：“但是，我们不能排除这只黑羊是从其他地方走失而来的可能性。
”村民们意见不一，有的坚信黑羊是在别处出生的，有的则相信它是从附近的羊群中走失的。
有关概率的趣味小故事——犯人的机智
有关概率的趣味小故事——犯人的机智
古代一个犯人被判了死刑。
在执行前，国王给他一个免死的机会。
国王令这犯人将50个白球和50个黑球随意放进两个外表完全一样的坛子里，然后让侍卫将这两个坛子随意掉换，直至囚犯认不出哪个坛子放了什么球为止，再命令囚犯从其中的一个坛子中摸出一个球来。
如果摸出白球，便立刻释放；若摸出黑球，则立即处死。
结果这个聪明的囚犯很快将100个球放进了坛子里面，并使自己逃生的几率最大，最终如愿以偿，请问，你知道囚犯是怎么做的吗？
经过一番思索后，囚犯在第一个坛子里只放入1个白球，然后把剩余的49只白球和50只黑球统统放入第二个坛子里。
这样一来，如果他幸运地抽中第一个坛子，那必然逃生，因其里面只有一个白球，抽中白球的概率为1；倘若他抽中第二个坛子，则抽得一个白球的概率为九十九分之四十九。
但请注意，他首先要选择取哪一个坛子（作为条件），而取得任一个坛子的概率均为二分之一。
所以得白球的概率应为0.75。
高中数学概率统计小故事
1.分赌本问题A ，B 二人赌博，各出注金a 元，每局每个人获胜的概率都是12，约定：谁先胜S 局，即赢得全部注金a 2元，现进行到A 胜1S 局、B 胜2S 局(1S 与2S 都小于S )时赌博因故停止，问此时注金a 2应如何分配给A 和B 才算公平？此问题文字最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对6=S ，51=S 和22=S 的情况的分析.由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确.例如，帕西奥利本人提出按2:S S 1的比例分配.塔泰格利亚则在1556年怀疑能找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若2S S 1>，则A 取回自己下的注a ,并取走B 下的注的S S S 1/)(2-，这等于按)(:)(22S S S S S S 11+--+的比例瓜分注金.法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按)12(:)12(22S S S S S S 11+---+-的比例分配.卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记1S S r -=1，22S S r -=.把注金按)1(22+r r ︰)1(11+r r 之比分给A 和B.他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之处，即他注意到起作用的是1S ,2S 与S 的差距，而不在其本身.这个问题的症结在于：它关乎每个人在当时状况下的期望值.从以上这些五花八门的解法中，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系.而与此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率.循着这个想法问题很易解决：至多再赌121-+=r r r 局，即能分出胜负.假如A 获胜，他在这r 局中至少须胜1r 局.因此按二项分布，A 取胜的概率为r rr i A i r p -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，而B 取胜的概率为1B A p p =-.注金按B A p p :之比分配给A 和B ，因A ap 2和B ap 2是A ，B 在当时状态下的期望值.这个解是巴斯噶（B.Pascal, 1623～1662）在1654年提出的.他用了两种方法，其一是递推公式法，其二是用“巴斯噶三角”（即杨辉三角）.1710年，蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同.后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形.分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过对这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系有了启示.有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具.如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等.可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段.2. 巴斯噶与费尔马的通信巴斯噶与费尔马(P. de Fermat ，1601-1665)的名字，对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生.巴斯噶三角，在我国称杨辉三角，中学教科书中已有提及.至于费尔马，因其“费尔马大定理”(不存在整数,,,≠xyx z y x xyz≠0和整数3≥n ，使n n n z y x =+) 于近年得到证明，名声更远播数学圈子内外.费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的成就，其在概率史上占到一席地位，多少有些偶然，由于他与巴斯噶在1654年7～10月间来往的7封信件，其中巴致费的有3封.这几封信全是讨论具体的赌博问题.与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率的方法(他们没有使用概率这个名称).与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了.他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了.他们引进了赌博的值(value)的概念，值等于赌注乘以获胜概率.3年后，惠更斯改“值”为“期望” (expectation)，这就是概率论的最重要的概念之一——(数学)期望的形成和命名过程.前文已指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间.这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了更复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a 和b 元(a ，b 为正整数)，每局输赢1元，要计算各人输光的概率.这个问题拿现在的标准看也有相当的难度.由此也可看出这组通信达到的水平及其在概率论发展史上的重要性.有的学者，如丹麦概率学者哈尔德，认为巴、费2人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础.这话相当有道理，但也应指出，这些通信的内容是讨论具体问题，没有明确陈述并提炼出概率运算的原则性内容.例如，他们想当然地使用了概率加法和乘法定理.但未将其作为一般原则凸现出来.促使巴、费2人进行这段通信的，是一个名叫德梅尔的人，他曾向巴斯噶请教几个有关赌博的问题.1564年7月29日巴斯噶首先给费尔马写信，转达了这些问题之一，请费尔马解决.所提问题并不难，但不知为何巴斯噶未亲自回答：将两颗骰子掷24次，至少掷出一个“双6”的机遇小于2/1（其值为.0)36/35(124≈-≈0.491 4）.但从另一方面看，掷两颗骰子只有36种等可能结果，而24占了36的3/2，这似乎有矛盾，如何解释.现今学过初等概率论的读者都必能毫无困难地回答这个问题.巴、费通信中涉及的有关分赌本问题的解法，包含了一些在当时看很先进且直到现在仍广为使用的想法和技巧.3. 惠更斯的《机遇的规律》惠更斯是一个有多方面成就的、在当时声名与牛顿相若的大科学家.人们熟知他的贡献之一是单摆周期公式g l T /2π=.他在概率论的早期发展史上也占有重要地位，其主要著作《机遇的规律》出版于1657年，出版后得到学术界的高度重视，在欧洲作为概率论的标准教本长达50年之久.该著作的写作方式不大像一本书，而更像一篇论文.他从关于公平赌博(fair game)的值的一条公理出发，推出关于“期望”（这是他首先引进的术语）的3条定理.基于这些定理并利用递推法等工具，惠更斯解决了当时感兴趣的一些机遇博弈问题.最后，他提出了5个问题，对其中的3个给出了答案但未加证明.3条定理加11个问题，被称为惠更斯的14个命题.前3条如下述：命题1若某人在赌博中以等概率12得a ，b 元，则其期望为2/)(b a +元.命题2若某人在赌博中以等概率13得a ，b 和c 元，则其期望为3/)(c b a ++元.命题3若某人在赌博中以概率p ,)1(=+q p q 得a ，b 元，则其期望为qb pa +元.看了这些命题，现代的读者或许会感到惶惑：为何一个应取为定义的东西，要当作需要证明的定理? 答案在于，这反映了当时对纯科学的一种公认的处理方法，即应从尽可能少的“第一原理”（first principle ，即公理）出发，把其他内容推演出来.惠更斯只从一条公理出发而导出上述命题，其推理颇为别致，此处不细述.这几个命题是期望概念的一般化.此前涉及或隐含这一概念只是相当于命题3中0=b 的特例，即注金乘取胜概率，因而本质上没有超出概率这个概念的范围.惠更斯的命题将其一般化，是这个重要概念定型的决定性的一步.实际上，据惠更斯的命题不难证明：若某人在赌博中分别以概率得k a a ,,1 元，则其期望为11k k p a p a ++.这与现代概率论教科书中关于离散随机变量的期望的定义完全一致.余下的11个命题及最后的5个问题，都是在形形色色的赌博取胜约定下，去计算各方取胜的概率，其中命题4～9是关于2人和多人的分赌本问题.对这些及其他问题，惠更斯都用了现行概率论教科书中初等概率计算方法，通过列出一定的方程求解，大体上与巴斯噶的做法相似.这种方法后来被伯努利称为“惠更斯的分析方法”.最后5个问题较难一些，其解法的技巧性也较强.现举其一为例：A ，B 二人约定按ABBAABBAABB …掷两颗骰子，即A 先掷一次，然后从B 开始轮流各掷两次.若A 掷出和为6点，则A 胜；若B 掷出和为7点，则B 胜.求A ，B 获胜的概率.A 在一次投掷时掷出和为6的概率36/5=A p ，而B 在一次投掷时掷出和为7的概率6/136/6==B p .记B B A A p q p q -=-=1,1，又记i e 为在第1i -次投掷完时A ，B 都未取胜，求在这一条件下A 最终取胜的概率.利用全概率公式，并注意到约定的投掷次序，可以列出方程组：14433221,,,e q p e e q e e q e e q p e A A B B A A +===+=.由此容易得出略小于1/2.故此赌法对A 不利.机遇博弈在概率概念的产生及其运算规则的建立中，起了主导的作用.这一点不应当使人感到奇怪：虽说机遇无时不在，但要精确到数量上去考虑，在几百年前那种科学水平之下，只有在像掷骰子这类很简单的情况下才有可能.但这门学科建立后，既脱离赌博的范围又找到了多方面的应用.这也是一个有趣的例子，表明一种看似无益的活动(如赌博），可以产生对人类文明极有价值的副产物.把概率论由局限于对赌博机遇的讨论拓展出去的转折点和标志，应是1713年伯努利划时代著作《推测术》的出版，是在惠更斯的《机遇的规律》出版后56年.惠更斯这一著作，内容基本上限于掷骰子等赌博中出现各种情况的概率的计算，而伯努利这本著作不仅对以前的成果作了总结和发挥，更提出了“大数定律”这个无论从理论和应用角度看都有着根本重要性的命题，可以说其影响一直到今日而不衰.其对数理统计学的发展也有不可估量的影响，许多统计方法和理论都是建立在大数定律的基础上.有的概率史家认为，这本著作的出版，标志着概率概念漫长的形成过程的终结与数学概率论的开端.假定有一个事件A ，根据某种理论，我们算出其概率为p A P =)(.这理论是否正确呢？一个检验的方法就是通过实际观察，看其结果与此理论的推论——p A P =)(是否符合.或者，一开始我们根本就不知道)(A P 等于多少，而希望通过实际观察去估计其值.这些包含了数理统计学中两类重要问题——检验与估计.这个检验与估计概率p 的问题，是数理统计学中最常见、最基本的两个问题.要构造具体例子，最方便的做法是使用古典概率模型.拿一个缸子，里面装有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个.这时，随机从缸中抽出一球(意指各球有同等可能被抽出），则“抽出之球为白球”这事件A 有概率)/(b a a p +=.如果不知道a ，b 的比值，则p 也不知道.但我们可以反复从此缸内抽球(每次抽出记下其颜色后再放回缸中）.设抽了N 次，发现白球出现N X 次，则用N X N /去估计p .这个估计含有一定程度不确定的误差，但我们直观上会觉得，抽取次数N 愈大，误差一般会愈小.这一点如伯努利所说：“哪怕最愚笨的人，也会经由他的本能，不需他人的教诲而理解的”.但对这个命题却无人能给出一个严格的理论证明.伯努利决心着手解决这个问题，其结果导致了以他的名字命名的大数定律的发现.这个发现对概率论和数理统计学有极重大的意义.伯努利把这一研究成果写在他的著作《推测术》的第四部分中，是该著作的精华部分.由于该书在概率统计史上的重要意义，在此对伯努利其人及此书的整个面貌先做一点介绍.4. 伯努利的《推测术》伯努利1654年出生于瑞士巴塞尔.在其家族成员中，对数学各方面做出过不同程度贡献的至少有12人，在概率论方面有5人，其中杰出的除他本人外，还有其弟弟约翰与侄儿尼科拉斯.伯努利的父亲为其规划的人生道路是神职人员.但他的爱好却是数学.他对数学的贡献除概率论外，还包括微积分、微分方程和变分法等.后者包括著名的悬链线问题.他和牛顿、莱布尼兹是同时代人，并与后者有密切的通信联系，因而非常了解当时新兴的微积分学的进展，学者们认为他在这方面的贡献，是牛、莱之下的第一人.此外，他对物理学和力学也做出过贡献.他与惠更斯长期保持通信联系，仔细阅读过惠更斯的《机遇的规律》，由此引发了他对概率论的兴趣.从他与莱布尼兹的通信中，可知他写《推测术》这一著作是在他生命的最后两年.在1705年他去世时，此书尚未整理定稿.由于家族内部的问题，整理和出版遗稿的工作，迟迟未能实现.先是其遗孀因对其弟约翰的不信任，不愿把整理和出版的事委托给他，后来又拒绝了欧洲一位富有学者捐资出版的建议.最后在莱布尼兹的敦促下，才决定由其侄儿尼科拉斯来负责这件事情.尼科拉斯也是当时重要的数学家，与欧拉和莱布尼兹保持通信联系.当时尚无科学期刊，学者的通信是学术交流的一种重要方式.《推测术》一书共239页，分四个部分.第一部分(P 2～71)对《机遇的规律》一书作了详细的注解，总量比惠更斯的原书长4倍.第二部分(P 72～137)是关于排列组合的系统的论述.第三部分(P 138～209)利用前面的知识，讨论了一些使用骰子等的赌博问题.第四部分(P 210～239)是关于概率论在社会、道德和经济等领域中的应用，其中包括了该书的精华、奠定了概率史上不朽地位的，以其名字命名的“伯努利大数定律”——大数定律的名称不是出自该书，首见于泊松1837年的一篇著作中.该书若缺了这一部分，则很可能会像某些早期概率论著作那样湮没无闻，或至多作为一本一般著作被人评价.该书最后有一长为35页的附录，用与友人通信的形式讨论网球比赛中计分问题.5. 伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》中最重要的部分——包含了如今被称之为“伯努利大数定律”的第四部分.回到前面的缸中抽球模型：缸中有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个，“抽出之球为白球”的概率为p ，则有)/(b a a p +=.假设有放回地从缸中抽球N 次，记N X 为抽到白球的次数，以N X N /估计p .这种估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一.此处的条件是，每次抽取时都要保证缸中b a +个球的每一个有同等机会被抽出，但这一点在实践中并不见得容易保证.例如，产生中奖号码时可能要用复杂的装置.在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具.这是一本很厚的书，各页按行、列排列着数字9,,2,1,0 ，它们是用据说是“充分随机”的方法产生的.在使用时，“随机地”翻到一页并随机地点到一个位置，以此处的数字确定抽出的对象.伯努利企图证明的是：用N X N /估计p 可以达到事实上的确定性——他称为道德确定性.其确切含义是：任意给定两个数0>ε和0>η，总可以取足够大的抽样次数N ，使事件{}ε>-|)/(|p N X N 的概率不超过η.这意思就很显然：ε>-|)/(|p N X N 表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以“随心所欲地小”(代价是加大N ).为忠实于伯努利的表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定于1)(-+b a ，虽然其证明对一般ε也有效.但他做这一模型限定与所用缸子模型的特殊性有关：必要时把缸中的白、黑球分别改为ra 和rb 个，则p 不变，1)(-+b a 改为1)(-+rb ra ，只须取r 足够大，便可使1)(-+rb ra 任意小.二是伯努利欲证明的是：对任给的0>c ，只要抽取次数足够大，就可使⎭⎬⎫⎩⎨⎧>->⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-εεp N X cP p N X P N N . （5）这与前面所说是一回事.因为由上式得.11c p N X P N +<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-ε （6）取c 充分大，可使(6)式右边小于η.另外要指出的是：伯努利使用的这个缸子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而有损于结果的普遍性.但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要.伯努利上述对事实上确定性数学的理解，即(5)式，有一个很值得赞赏的地方，即他在概率论的发展刚刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法.因为，既然我们欲证明的是当N 充分大时，N X N /和p 可以任意接近，则一个看来更直截了当的提法是,lim p N X N N =∞→ （7）而这不可能实现.因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时N X N /总为1，不能收敛到1<p .或者退一步：要求(7)式成立的概率为1，这一结论是对的，但直到1909年才由波莱尔给予证明，证明的难度比伯努利的提法大得多.设想一下，如果当时伯努利就采用该提法，他也许在有生之年不能完成这一工作.由于波莱尔的结论比伯努利的结论强，现今人们又把他们的结论分别称之为强大数定律和弱大数定律.6. 泊松公式、泊松分布与泊松大数定律泊松（Possion ）的名字对学概率论与数理统计的人来说，可谓耳熟能详.原因主要在于泊松近似公式，以及更重要的是源于该近似公式的泊松分布，泊松分布的重要性和知名度在离散型分布中仅次于二项分布.泊松的另一个重要工作是把伯努利大数定律推广到每次试验中事件发生的概率可以不同的情况，现称泊松大数定律.继狄莫佛给出二项概率近似计算公式(10)之后，丹尼尔和拉普拉斯也给出了二项概率近似计算公式，但这些公式在现今的教科书上已很少提及，只有泊松近似公式则不然，其形式为,!),,(lim k e k p N b k N λλ-∞→= （11）其中Np N ∞→=lim λ，N k ,,2,1,0 =.公式(11)在教科书上通称为泊松逼近公式、泊松近似公式或泊松公式.它是泊松在1838年于《概率在法律审判的应用》一书中所引进，此公式适用于p 很小，N 很大而Np 又不很大时，这正好填补了狄莫佛公式(10)的不足，因后者只适用于p 不太接近于0和1的时候.不过，从历史上看，狄莫佛早在1712年已做出了这个结果.7. 贝叶斯及其传世之作托马斯•贝叶斯(Thomas Bayes,1701－1761)在18世纪上半叶的欧洲学术界，恐怕不能不算是一个很知名的人物.在他生前，没有发表过任何的科学论著.那时，学者之间的私人通信，是传播和交流科学成果的一种重要方式.许多这类信件得以保存下来并发表传世，而成为科学史上的重要文献，例如，前面提到的费尔马和巴斯噶的通信、伯努利与莱布尼兹的通信等.但对贝叶斯来说，这方面材料也不多.在他生前，除在1755年有一封致约翰•康顿的信(其中讨论了辛普森有关误差理论的工作)外，历史上没有记载他与当时的学术界有何重要的交往.但他曾在1742年当选为英国皇家学会会员(相当于科学院院士），因而可以想到，他必定曾以某种方式表现出其学术造诣而被当时的学术界所承认.如今，我们对这个生性孤僻、哲学气味重于数学气味的学术怪杰的了解，是因他的一篇题为“An essay towards solving a problem in the doctrine of chance(机遇理论中一个问题的解)”的遗作.此文发表后很长一个时期在学术界没有引起什么反响，但到20世纪以来突然受到人们的重视，成为贝叶斯学派的奠基石.1958年，国际权威性的统计杂志《Biometrika》（生物计量）重新刊载了这篇文章.此文也有中译本(见廖文等译《贝叶斯统计学——原理、模型及应用》的附录4，中国统计出版社1992年版）.此文是他的两篇遗作之一，首次发表于1764年伦敦皇家学会的刊物《Philosophical Transactions》上.此文在贝叶斯生前已写就，为何当时未交付发表，后来的学者有些猜测，但均不足定论.据文献记载，在他逝世之前4个月，他在一封遗书中将此文及100英镑托付给一个叫普莱斯的学者，而贝叶斯当时对此人在何处也不了然.所幸的是，后来普莱斯在贝叶斯的文件中发现了这篇文章，他于1763年12月23日在皇家学会上宣读了此文，并在次年得以发表.发表时普莱斯为此文写了一个有实质内容的前言和附录.据普莱斯说，贝叶斯自己也准备了一个前言.这使人们无法确切区分：哪些思想属于贝叶斯本人，哪些又是普莱斯所附加的.贝叶斯写作此文的动机，说法也不一.一种表面上看来显然的说法是为了解决伯努利和狄莫佛未能解决的、二项分布概率p的“逆概率”问题，因为当时距这两位学者的工作发表后尚不久，有人认为他是受了辛普森误差工作的触动，想为这种问题的处理提供一种新的思想.还有人主张，贝叶斯写作此文，是为了给“第一推动力”的存在提供一个数学证明.这些说法现在都无从考证.上面提到“逆概率”这个名词.在较早的统计学著作中这个名词用得较多，现在已逐渐淡出.顾名思义，它是指“求概率这个问题的逆问题”：已知事件的概率为p，可由之计算某种观察结果出现的概率如何.反过来，给定了观察结果，问由之可以对概率p做出何种推断.推广到极处可以说，“正概率”是由原因推结果，是概率论；“逆概率”是由结果推原因，是数理统计.8. 拉普拉斯的“不充分推理原则”贝叶斯的遗作发表后很长一段时期，都没有得到学术界的注意，因而他的这种思想未能及早地发展成为一种得到广泛应用的统计推断方法.但是，也有些学者独立地朝这个方向思考，提出类似的思想并付诸实用，其中最重要的当属拉普拉斯.拉普拉斯在1774年的一篇文章中提出了所谓的“不充分推理原则”（principle of insufficient reasoning ）.他的思想大致如下：如果一个问题中存在若干个不同的原因(cause) n A A A ,,,21 ，则在没有理由认为其中哪一个特别有优势时，概率应各取n /1，即认为各原因有同等机会出现.在统计问题中，这里所说的不同“cause ”n A A A ,,,21 可看作代表未知参数的不同的可能值.以E 记在这原因下可能产生的事件(例如，在某参数值之下观察到的样本)，拉普拉斯提出：)|(/)|(i i A E P E A P 与i 无关. （12）用现今熟知的概率论知识很容易证明(12），但拉普拉斯在其文章中用了一个很复杂的证法.拉普拉斯的原则(12)可用于由)|(i A E P 推)|(E A P i ，这与贝叶斯的原则完全一样，也并未超出贝叶斯思想的范围.因此，现在统计学史上也把拉普拉斯视为贝叶斯统计的一个奠基者.9. 勒让德发明最小二乘法勒让德是法国大数学家，在数学的许多领域，包括椭圆、积分、数论和几何等方面，都有重大的贡献.最小二乘法最先出现在他于1805年发表的一本题为《计算彗星轨道的新方法》著作的附录中，该附录占据了这本长达80页著作的最后9页.勒让德在这本书前面几十页关于彗星轨道计算的讨论中没有使用最小二乘法，可见在他刚开始写作时，这一方法尚未在他头脑中成形.历史资料还表明，勒让德在参加测量巴黎子午线长这项工作很久以后还未发现这个方法.考虑到此书发表于1805年且该法出现在书尾的附录中，可以推测他发现这个方法应当在1805年或之前不久的某个时间.勒让德在该书72～75页描述了最小二乘法的思想、具体做法及方法的优点.他提到：使误差平方和达到最小，在各方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止了某一极端误差（对决定参数的估计值）取得支配地位，而这有助于揭示系统的更接近真实的状态.的确，考察勒让德之前一些学者的做法，都是把立足点放在解出一个线性方程组上.这种做法对于误差在各方程之间的分布的影响如何，是不清楚的.在方法的具体操作上，勒让德指出，为实现20111()n i i ki k i x x x θθ=+++=∑最小而对各i θ求偏导数所形成的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+∑∑==.,,1,,,1,0,,,,1,0110k j k r x x s k j s n i ji ri rj kr j r rj θθ （13）只涉及简单的加、乘运算，至于解线性方程组，这是当时已知的其他方法也难免的.现今我们把(13)叫做正则方程组，这是后来高斯引进的称呼.关于最小二乘法的优点，勒让德指出了以下几条：第一，通常的算术平均值是其一特例.第二，如果观察值全部严格符合某一线性方程，则这个方程必是最小二乘法的解.第三，如果在事后打算弃置某些观察值不用或增加新的观察值，对正则方程组的修改易于完成.从现在的观点看，这方法只涉及解线性方程组是其最重要的优点之一（其他的重要优点包括此法在统计推断上的一些优良性质，以及其广泛的适用性）.近年发展起来的，从最小二乘法衍生出的其他一些方法，尽管在理论上有其优点，可是由于计算上的困难而影响了其应用.最小二乘法在19世纪初发明后，很快得到了欧洲一些国家的天文和地测学工作者的广泛使用.据不完全统计，自1805年至1864年的60年期间，有关这一方法的研究论文约250篇，一些百科全书，包括1837年出版的《不列颠百科全书》（第7版），都收进了有关这个方法的介绍.在研究论文中，有一些是关于。
十篇有趣的数学小故事
十篇有趣的数学小故事数学是一门神奇的学科，有时它是一个伟大的科学领域，而有时它也是一种诗意的艺术。
为了更好地了解它，本文将介绍十篇有趣的数学小故事。
故事一：蒙特卡罗和他的概率数学几百年前，蒙特卡罗是个爱投机取巧的商人，他有一种体系化的做法，可以用来评估可能发生的不同情况，他称之为概率数学。
事实证明，他的完美无瑕的理论和方法既可以用于投资，也可以用于研究自然现象，从而改变了世界。
故事二：哥白尼的圆周定理哥白尼是法国的一个科学家，他在16世纪的时候发现了一个很有趣的现象，即圆的周长等于其半径的平方乘以圆周率。
他最终发现了这一圆周定理，并将其发表在了著名的《圆周率及比例》一书中，从而纳入了数学史册。
故事三：贝尔定理和投机取巧贝尔定理是一个非常重要的数学定理，它指明了三角形内角的总度数为180度。
这个定理最初是由希腊数学家贝尔发现的，但其实它的真正发现源于一个古老的投机取巧，当时有一个叫布拉克斯的商人，他用它来骗取了一笔巨额财富，从而改变了他的命运。
故事四：哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是一个极具挑战性的数学问题，它提出了整数的惊人联系，它指出这个定理可以用两个不同的质数之和来表达。
达罗士哥德巴赫是一位著名的德国数学家，他发现了这个现象，但是直到今天也没有人能够证明它的真实性。
故事五：牛顿的数学与物理学英国科学家牛顿是数学和物理学领域的巨人，他发现了一种叫做牛顿力学的革命性理论，并用它来证明各种现象，例如重力定律和圆周运动。
他发现了宇宙的秩序，用数学语言来表达，从而使人类对自然的奥秘有了更多的了解。
故事六：勒莱定理的无限可能勒莱定理是一个非常有趣的数学定理，它说明整数间存在一种奇妙的联系，并提出一种无限的可能性。
这个定理的研究者是著名的德国数学家勒莱，他证明了不同的数字之间存在着某种神奇的联系，从而引起了全世界的数学家们的共鸣。
故事七：瓦莱乌定理的实用性瓦莱乌定理是一个非常实用的数学定理，它指出了任何单形两顶点之距离总是相同的。
有关概率的趣味小故事
《有关概率的趣味小故事》嘿，朋友！今天来给你讲几个有关概率的趣味小故事，可有意思啦。
有这么一个事儿，有个小镇上举办抽奖活动。
一等奖是一辆超级酷炫的汽车。
好多人都去参加，那场面可热闹了。
有个小伙子也去凑凑热闹，他心里想着，说不定自己运气好，能把汽车开回家呢。
抽奖开始了，大家都紧张得不行。
这个小伙子也在心里默默祈祷。
结果呢，他没中一等奖，不过也别灰心嘛。
这抽奖啊，概率可不大，那么多人参加，能中一等奖的那可真是幸运儿。
就像在大海里捞针一样难。
但是呢，大家还是愿意去试试，为啥？因为有那个万一呀，万一自己就是那个幸运的人呢。
还有一个故事。
有个学校要选学生代表去参加一个重要的活动。
从全校学生里选，每个班都有机会。
有个班级的同学们都很期待，大家都觉得自己有可能被选上。
这就像玩游戏，不知道幸运会降临到谁头上。
其实啊，这也是个概率问题。
全校那么多学生，能被选上的毕竟是少数。
但是大家还是充满希望，都在努力表现自己，说不定自己就是那个幸运的代表呢。
最后，虽然不是每个人都能被选上，但是大家在这个过程中也学到了很多，变得更加优秀了。
再讲一个。
有个老爷爷喜欢买彩票，他每周都去买。
他的家人就说他，别浪费钱啦，哪有那么容易中奖。
老爷爷可不这么想，他觉得自己总有一天会中奖的。
虽然中奖的概率很低，但是他享受这个期待的过程。
有一次，老爷爷真的中了个小奖，高兴得像个孩子一样。
这概率啊，有时候就是这么神奇，说不定什么时候就给你一个惊喜。
你看，概率这东西，在我们生活中到处都有。
有时候它让我们充满期待，有时候又让我们有点小失落。
但是不管怎样，这些小故事都让我们感受到了生活的趣味。
一年级数学小故事_小学一年级数学小故事
一年级数学小故事_小学一年级数学小故事趣味数学故事是一种很好的思维训练，它能使一年级的同学养成思维的习惯，提高思维的技巧。
下面就是店铺给大家整理的一年级数学小故事，希望大家喜欢。
一年级数学小故事篇1：同一天过生日的概率假设你在参加一个由50人组成的婚礼，有人或许会问：“我想知道这里两个人的生日一样的概率是多少?此处的一样指的是同一天生日，如5月5日，并非指出生时间完全相同。
”也许大部分人都认为这个概率非常小，他们可能会设法进行计算，猜想这个概率可能是七分之一。
然而正确答案是，大约有两名生日是同一天的客人参加这个婚礼。
如果这群人的生日均匀地分布在日历的任何时候，两个人拥有相同生日的概率是97%。
换句话说就是，你必须参加30场这种规模的聚会，才能发现一场没有宾客出生日期相同的聚会。
人们对此感到吃惊的原因之一是，他们对两个特定的人拥有相同的出生时间和任意两个人拥有相同生日的概率问题感到困惑不解。
两个特定的人拥有相同出生时间的概率是三百六十五分之一。
回答这个问题的关键是该群体的大小。
随着人数增加，两个人拥有相同生日的概率会更高。
因此在10人一组的团队中，两个人拥有相同生日的概率大约是12%。
在50人的聚会中，这个概率大约是97%。
然而，只有人数升至366人(其中有一人可能在2月29日出生)时，你才能确定这个群体中一定有两个人的生日是同一天。
一年级数学小故事篇2：一元钱哪里去了三人住旅店，每人每天的价格是十元，每人付了十元钱，总共给了老板三十元，后来老板优惠了五元，让服务员退给他们，结果服务员贪污了两元，剩下三元每人退了一元钱，也就是说每人消费了9元钱。
三个人总共花了27元，加上服务员贪污的2元总共29元。
那一元钱到哪去了?分苹果小咪家里来了5位同学。
小咪的爸爸想用苹果来招待这6位小朋友，可是家里只有5个苹果。
怎么办呢?只好把苹果切开了，可是又不能切成碎块，小咪的爸爸希望每个苹果最多切成3块。
这就成了又一道题目：给6个孩子平均分配5个苹果，每个苹果都不许切成3块以上。
概率小故事
布丰的投针试验公元1777年的一天，法国科学家D·布丰（D·buffon1707～1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。
接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。
然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。
” 客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。
一把小针扔完了，把它捡起来又扔。
而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。
最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。
总数2212与相交数704的比值为 3.142。
”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！” 众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！” 布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。
不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。
”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。
π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。
由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。
布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为l，投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，那么当n相当大时有：。
数学故事《概率之旅》
数学故事《概率之旅》概率之旅：数学故事引言概率，这个数学领域中的一部分，以其独特的魅力吸引着无数数学家和爱好者。
本故事将带领读者踏上一场概率之旅，从古代的骰子游戏到现代的随机模型，探索概率的起源、发展和应用。
起源：古代骰子游戏概率的起源可以追溯到古代文明。
古埃及、古希腊和古罗马的人们都喜欢玩骰子游戏。
他们通过观察骰子的结果，开始思考并计算事件发生的可能性。
发展：概率论的诞生17世纪，法国数学家布莱士·帕斯卡和皮埃尔·德·费马通过通信讨论了概率问题，奠定了概率论的基础。
他们提出了著名的帕斯卡定理和费马小定理。
1713年，雅各布·伯努利发表了《推测术》，这是第一本关于概率论的专著。
随后，丹尼尔·伯努利和雅各布·伯努利兄弟继续研究概率论，并将其应用于赌博问题。
应用：现代概率论的应用随着概率论的发展，它在各个领域得到了广泛的应用。
在物理学中，概率论为量子力学提供了数学基础。
在经济学中，概率论被用于研究市场的随机性。
在工程学中，概率论帮助工程师评估系统的可靠性。
随机模型：从生日问题到蒙特卡洛方法生日问题是一个经典的概率问题，它探讨了在一定人数中，至少有两个人生日相同的概率。
这个问题引出了许多有趣的数学结论。
蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法。
它通过模拟随机过程，得到问题的近似解。
蒙特卡洛方法在许多领域都有应用，如计算物理、金融衍生品定价等。
结论概率之旅让我们领略了概率论的奇妙世界。
从古代的骰子游戏到现代的随机模型，概率论不断发展，并在各个领域中发挥着重要作用。
这场旅程让我们明白，概率不仅是数学的一部分，也是我们生活中不可或缺的一部分。
02 概率小故事四则
概率小故事四则——专家的信、基金的广告、扔硬币锦标赛、猩猩掷飞镖专家的信一位“专家”第一周向800个人发出800封信，其中400封说某只股票涨，400封说跌；第二周，他向其中说对的400人再发一封信，其中200封说某只股票涨，200封说某只股票跌；第三周他再向说对的200人发信，其中100封说某只股票会涨，100封说某只股票会跌．最后有100人，发现这位专家连续3次说对某只股票的涨跌，简直神奇，就信了这位“专家”，把钱交给他投资，当然如果挣钱了是要分成的．有了钱后这位“专家”会做什么呢？他会给这一百个不同的账户各买一只股票，最好这些股票各不相同．一段时间过后，股票有的涨，有的跌．如果一个人的账户买了一只涨的股票，他对这个专家就会更加信赖，甚至还会追加投资．如果一个人的账户买了一只下跌的股票，这位专家是不会负责赔偿的，更多的时候只是消失而已．而如果碰巧遇到单边的牛市，大部分时间里股票上涨概率大大超过下跌，因此，这种商业模式在大部分时间里也是可以比较顺畅运行的．基金的广告华尔街有一个非常牛的基金公司，他们管理的每一只基金都是晨星的五星级基金，当然这些基金投资了大量的科技股．于是有一天他们在报纸上做了一个广告，内容是：一只基金是晨星的五星级基金并不稀罕，但如果每一只基金都是五星级基金，那就是绝对稀罕．两年后，美国NASDQ崩盘，这个公司的每一只基金都沦为了最低等级．据说有好事者在同一份报纸同样的位置又做了一个广告，内容是：一只基金晨星评级最低并不稀罕，但如果每一只基金都是晨星最低的评级，那就是绝对稀罕．扔硬币锦标赛举办一次全国性的扔硬币锦标赛，一周赛一场．假如2亿人报名参加这项赛事，那么6个月过后将有32名常胜将军脱颖而出，他们中的每一个人差不多已连续扔对硬币25次．想想媒体会煽起多大的热潮吧，有人成了杂志采访的草根英雄，被很多人奉为“掷币之神”；有人在电视上大谈如何能让硬币听从自己的意志；还有一些人争先出书，书名诸如《扔硬币扔成百万富翁》《上帝如何让我赢》．这时，华尔街的教授们终于拍案而起，他们在华尔街日报上大谈“有效市场”“零和游戏”等理论，当然这32名常胜将军一定会挺身反击，如果是有效市场，为什么我们能做到，而别人做不到？据说这些获胜选手，对异性的吸引力显著提高，还成为房地产商推销的重点对象．猩猩掷飞镖如果猩猩世界举行掷飞镖大赛，大赛的获奖者中总是有一群猩猩，他们具有相同的特点，比如都来自一个地方，掷飞镖的方式也相同，那么这群猩猩获得好成绩可能就不是偶然的了．其实对投资也是这样，如果总是有一群人，他们能够长期获得好的收益，而他们投资的方式是相似的，比如都是遵循价值投资，那么他们很可能就是那群经常获胜的猩猩．所以经过一些失败的试验后，公司研究员和基金经理终于接受了这样一个买入原则，那就是：股票将要上涨绝对不能成为买入一只股票的理由，既使事后这只股票真的在上涨．只有在公司理念的框架下，分析出了上涨原因，才是研究员推荐某只股票或基金经理买入某只股票的必要条件，其实我们和猩猩没有区别．。
小概率事件的例子
小概率事件的例子
1. 你说中彩票是不是小概率事件？就像我朋友，买了好几年彩票，一直盼着能中大奖，那真的是盼星星盼月亮啊！可到现在也没中。
2. 路上走着被鸟屎砸中，这得多小概率呀！嘿，我就曾经遇到过，当时我那个郁闷啊，心想这运气咋这么“好”呢！
3. 两个人在毫无约定的情况下，在陌生城市的同一条街道相遇，这难道不是极小概率的事吗？我就听说过这样的奇妙故事呢！
4. 随手一画就画出一幅超级棒的画，这概率得多小啊！就像有些画家，也许一辈子就那么几幅惊世之作。
5. 在海边随便捡到一个超级漂亮的贝壳，还正好是自己一直想找的那种造型，哎呀，这不就是小概率事件嘛！我有次去海边玩可就没这么幸运。
6. 一觉醒来发现自己成了大明星，这简直像做梦一样的小概率事件啊！虽然不太可能发生，但想想还是很有意思呀。
7. 随手扔个石头正好掉进一个小洞里，这得是多巧啊！就好像老天特意安排的一样。
结论：生活中有好多小概率事件，有些让人惊喜，有些让人无奈，但都让我们的生活变得更加丰富多彩呀！。