第一章 直流电动机的数学模型及其闭环控制系统

直流电源电压；C为滤波电容器；VT为功率开关器件； VD为续流二极管；MD为直流电动机。
图 1-10 PWM控制器与变换器的框图
图1-9不可逆PWM变换器—直流电动机系统
结合PWM变换器工作情况可以看出：当控制 电压变化时，PWM变换器输出平均电压按线性规 律变化，因此，PWM变换器的放大系数可求得， 即为
4.直流调速系统的广义被控对象模型
（1）额定励磁状态下直流电动机的动态结构图 图1-12所示的是额定励磁状态下的直流电动机动 态结构图。
图1-12 额定励磁状态下直流电动机的动态结构框图
由上图可知，直流电动机有两个输入量，一个是施加在电枢
上的理想空载电压U d0 ，另一个是负载电流 I L 。前者是控制输入量，
它已不起作用，整流电压并不会立即变化，必须等
到 t3时刻该器件关断后，触发脉冲才有可能控制另
一对晶闸管导通。
设新的控制电压
U ct2
U
对应的控制角为
ct1
2 1 ，则另一对晶闸管在 t4 时刻导通，平均整
流电压降低。假设平均整流电压是从自然换相点
开始计算的，则平均整流电压在 t3 时刻从U d01降
Tm
GD2 R
375K
e
K
m
2 d
（1-23）
因其中d 的减小而变成了时变参数。由此 可见，在弱磁过程中，直流调速系统的被控对象 数学模型具有非线性特性。这里需要指出的是， 图1-15所示的动态结构图中，包含线性与非线性 环节，其中只有线性环节可用传递函数表示，而 非线性环节的输入与输出量只能用时域量表示， 非线性环节与线性环节的连接只是表示结构上的 一种联系，这是在应用中必须注意的问题。
Ks
U d U ct
(1-13)
参数估算法：这是工程设计中常用的方法。 例如：当触发器控制电压的调节范围为0~U10d V时， 对应整流器输出电压 的变化范围如果是 0~220V，则可估算得到 Ks 220 /10 22 。
在动态过程中，可把晶闸管触发器与整流器 看成一个纯滞后环节，其滞后效应是由晶闸管的
到 U d02 ，从U ct 发生变化的时刻 t2 到 U d 0 响应变化
的时刻t3 之间，便有一段失控时间 Ts。
显然，失控时间 Ts 是随机的，它的大小随 U ct 发生变化的时刻而改变，最大可能的失控时间就是 两个相邻自然换相点之间的时间，与交流电源频率 和整流电路形式有关，由下式确定
Ts max
WL
(s)
If Uf
(s) (s)
1/ Rf 1 Lfs/
Rf
Kf 1Tf s
将上式绘制成 动态结构图
U f (s)
Kf 1 Tf s
I f (s)
图1-16 励磁绕组回路模型的动态结构图
（2）触发器与整流器的数学模型
If U kf
Wsf
Ksf eTsf s
Ksf 1 Tsf s
（1-25）
1R
U d0 (s) Ed (s) 1 Tl s
可绘制动态结构图，如下图所示
＋
U d 0 (s)
_
1R 1 Tl s
Id (s)
Ed (s)
图1-3 电枢电压与电流间的动态结构图
2.转矩方程和运动方程及两者的统一方程
电动机轴上的动力学方程：
Ted
TL
GD 2 375
dn dt
(1-4)
额定励磁下的负载转矩和电磁转矩，以及转速和反电
单相半波
20
10
最严重的情况考虑，
单相桥式
10
5
取 Ts Ts max 。表1-1列
（全波）
出了不同整流电路的
三相半波
6.67
3.33
失控时间。
三相桥式、
3.33
1.67
六相半波
若用单位阶跃函数表示滞后，则晶闸管触发器与整流 器的输入—输出关系为
U d 0 K sU ct 1(t Ts )
(1-15)
后者是扰动输入量。如果不需要在结构图中显现出电流 I d ，可将扰 动量I L的综合点前移、电动势反馈点后移，再做等效变换，可得到图 1-13a所示的动态结构图。当空载时，IL 0，结构框图可简化成图113b。
由上图可以看到，额定励磁下的直流电动机是一个 二阶线性环节，其特征方程为：
TmTl s2 Tms 1 0
利用拉氏变换的位移定理，可求出晶闸管触发器与整
流器的传递函数为
由于式(W1s (-s1) 6)UU中dc0t (包(ss)) 含 K指se数Tss函数
e
(1-16) Tss，它使系统成为非
最小相位系统，分析和设计都比较麻烦。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为了简化，先将该指数函数按泰勒（Taylor）级数展开，
则式(1-16)变成
Ks
Ua U ct
（1-19）
当开关频率为10kHz时，T＝0.1ms。可见PWM
变换器输出电压对PWM控制信号的响应延迟可以忽
略，可认为是实时的。因此，PWM 变换器的数学模
型可写成
Ws
Ua (s) Uct (s)
Ks
（1-20）
式(1-20)可以用图1-11来表示。
图1-11 PWM变换器动态结构图
（2）额定励磁状态下旋转电枢系统的动态 结构图
（a）
Uct (s) K s U d0 (s) Ts s 1
I L (s)
1 R Id (s)
Tl s 1
R Ed (s) 1
Tm s
Ce
n(s)
（b）
图1-14 额定励磁状态下旋转电枢系统的动态结构图 a)额定励磁状态下，晶闸管－直流电动机调速系统的动态结构图 b) 额定励磁状态下，PWM－直流电动机调速系统的动态结构图
(a) (b)
图1-14 额定励磁状态下旋转电枢系统的动态结构图 a)额定励磁状态下，晶闸管－直流电动机调速系统的动态结构图 b) 额定励磁状态下，PWM－直流电动机调速系统的动态结构图
图1-15弱磁状态下直流调速广义被控对象动态结构图
由上图可以看出，在弱磁状态下，电磁转矩 形成环节（ Ted Cm Id Kmd Id ）和反电动势形成环 节（ Ed Cen Ked n）出现两个变量相乘 （ d Id 、d n ）的情况，这样，在直流电动机的数 学模型中就包含了非线性环节。还应该看到，机 电时间常数
第1章 直流电动机的数学模型及其 闭环控制系统
本章主要内容： 建立他励直流电动机及其电力电子变换装置的
数学模型，并将此模型绘制成关系清晰的动态 结构图； 根据动态结构图构建闭环直流调速系统的控制 结构，以及给出相应的闭环直流调速系统基本 组成框图。
1.1闭环直流调速系统广义被控对象的数学模型 及其动态结构图
（3）弱磁状态下直流调速广义被控对象动 态结构图
当磁通 d为变量时，参数 Ce 、 Ked Cm Kmd 就不再是 常数。为了分析问题方便，应使 d 在反电动势方程和 电磁转矩方程中凸现出来，即为
Ed Cen Ke d n （1-21）
Ted Cm I d K m d I d （1-22） 依据图1-14以及式(1-21) 、式(1-22)可得到弱磁状态 下的模型结构图，如图1-15所示。
图1-15弱磁状态下直流调速广义被控对象动态结构图
1.1.2 他励直流电动机励磁回路的数 学模型及其动态结构图
1.忽略磁场回路涡流影响时的数学模型
（1）励磁绕组回路的数学模型
➢电动机励磁电流 和励磁电压 间的关系为
惯性环节，其时间常数较大（最大时间常数可达
几秒），一般视为大惯性环节， 其传递函数为：
`
依据式(1-12)绘制的动态结构图，如图1-4 所示。
图1-4 电枢电流与电动势间的动态结构图
3. 电力电子变换装置的动态数学模型
（1）晶闸管触发器GT和整流器VT的放大系数和传递函数
图1-5给出了晶闸管—电动机调速系统（V—M系统）的原 理图，图中VT是晶闸管可控整流器，GT是触发器，在VM系统中，通常把晶闸管触发器和整流器看成一个环节， 当进行闭环调速系统分析和设计时，需要求出这个环节
图1-2他励直流电动机在额定励 磁下的等效电路
将 Ed (s)
移到等 式左边
Id (s)
1R
U d0 (s) Ed (s) 1 Tl s
U
d0
(s)
Ed
(s)
(
R
L
s)
Id
(s)
R(1
L R
s)Id
(s)
得电压与电流 的传递函数
R(1Tls)Id(s)
电枢电压与电流间的动态结构图
依据
Id (s)
的放大系数和传递函数。
这个环节的输入量是触发
器的控制电压Uct，输出
量是整流器的输出电压
Ud0 ，输出量与输入量之
间的放大系数 Ks可以通 过实测特性或根据装置的
参数估算而得到。
图1-5 晶闸管—电动机调速系统 （V—M系统）原理图
实测特性法：先用试验方法测出该环节的输入—输出特 性，即 U d f (Uct )曲线，如图1-6所示。放大系数 K s 可由 线性段内的斜率决定，即是
图1-1（a） 晶闸管-他励直流电动机调速系统（V-M）主回路
图1-1（b）PWM-他励直流电动机调速系统（PWM-M)主回路
额定励磁状态下他励直流电动机电枢回路的 数学模型
他励直流电动机在额定励磁下 的等效电路如下图所示
U d0
R Id
L dId dt
Ed
在零初始条件 下，取拉氏变换
Ud0(s) R Id (s) L s Id (s) Ed (s)
1 mf
式中，f为交流电源频率（Hz）；m为一周内整流 电压的脉波数。