1.2.2等差数列的前n项和(二)课件ppt(北师大版必修五)
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想一想：教材是怎样推导等差数列{an}的前n项和的？试 写出推导过程． 解 等差数列{an}的前n项和Sn可以采用倒序相加法推导， 具体过程如下： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， 又Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1， 在等差数列中有：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1. ∴2Sn＝(a1＋an)×n， na1＋an ∴Sn＝ .① 2
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【训练3】 若等差数列共有n项，其和为210，前四项的和为 124，后四项的和为156，则n＝________. 解析 设前四项分别为a1，a2，a3，a4. 后四项分别为an－3，an－2，an－1，an. 则a1＋a2＋a3＋a4＝124，an－3＋an－2＋an－1＋an＝156，
24 小时内完成任务．
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题型三
等差数列的性质在前n项和中的应用
【例3】(本题满分 12 分)已知两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别
Sn 7n＋1 a11 为 Sn，Tn，且 ＝ (n∈N＋ )，求 . Tn 4n＋27 b11 S2n－1 an 审题指导 (1) ＝ 是很重要的性质，解类似题目时注意运用． T2n－ 1 bn
－n2＋10n，n≤5，n∈N＋， ∴Tn＝ 2 n －10n＋50，n≥6，n∈N＋.
规律方法 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原 等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差 数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再 分段求和．
(1)当 n≤34 时，Tn＝|a1|＋|a2|＋„＋|an|＝a1＋a2＋„＋an＝ 3 2 205 Sn＝－ n ＋ n. 2 2
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(2)当 n≥35 时， Tn＝|a1|＋„＋|a34|＋|a35|＋„＋|an| ＝(a1＋a2＋„＋a34)－(a35＋a36＋„＋an) 3 2 205 ＝S34－(Sn－S34)＝2S34－Sn＝ n － n＋3 502. 2 2 3 2 205 －2n ＋ 2 n，n≤34，n∈N＋， ∴Tn＝ 3n2－205n＋3 502，n≥35，n∈N＋ . 2 2
24×20＝480.
∵500>480，∴在 24 小时内能构筑成第二道防线．
规律方法 解决实际问题首先要审清题意，明确条件与问 题之间的数量关系，然后建立相应的数学模型．本题就是 建立了等差数列的前n项和这一数学模型，以方程为工具 解决问题的．
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【训练2】 若只有25辆车可以抽调，则最长每隔多少分钟就有 一辆车投入工作才能在24小时内完成任务？ 解 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时) 依次设为a1，a2，…，a25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24. 由例题的解答可知，需要完成的工作量为480. 即25辆翻斗车完成的工作量需满足条件 a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×d≥480， 2 解得 d≥－ .所以最长每隔 24 分钟就有一辆车投入工作才能在 5
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题型二
等差数列前n项和公式的实际应用
【例2】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为 确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作 为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外， 还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从 各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每 隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在 24小时内能否构筑成第二道防线？ [思路探索] 因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的 工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的 工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．
由于 an＝a1＋(n－1)d 代入①，得 nn－1 Sn＝na1＋ d.② 2
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名师点睛
等差数列前n项和有关的几个性质结论 深入研究前n项和公式，会发现其中有很多有用且美观对 称的结论． (1)前n项和、中间n项和、末n项和成等差数列，即2(S2n－ Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)． (2)关于等差数列奇数项与偶数项的性质． ① 若项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝a2＋a4＋„＋a2n－a1－a3－„－
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(3)Sn＝an2＋bn(a≠0)⇔{an}为等差数列(公差 d≠0)．
nn－1 Sn d d Sn (4)Sn＝na1＋ d⇔ ＝ n＋a1－ ，这说明点n， 在直 2 n 2 2 n d d 线 y＝ x＋a1－ 上． 2 2
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a5 1 ∴a5＝S5－S4＝k，b5＝T5－T4＝2k，∴ ＝ . b5 2
当 d≠0 时，等差数列前 n 项和 Sn 是 n 的二次函 Sn 数，在比例 中约掉了 n，错解忘找回 n. Tn
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Sn n n2 [正解] ∵ ＝ ＝ ， ∴可设 Sn＝n2k， n＝n(2n－1)k， T Tn 2n－1 2n－1n a5 9 ∴a5＝S5－S4＝9k，b5＝T5－T4＝17k，∴ ＝ . b5 17 d 2 d 等差数列的前 n 项和 Sn＝ n ＋a1－ n，当 d≠0 2 2 时，是关于 n 的二次函数式，且常数项为零，当 d＝0 时 Sn ＝na1，但本题不属于此情况．
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3 2 205 【训练1】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－2n ＋ 2 n，求数列{|an|} 的前 n 项和 Tn.
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104 ∵n＝1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N＋)． 由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7. 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
2.2 等差数列的前n项和(二)
【课标要求】
理解等差数列前n项和的一些性质，并能应用性质解决一 1． 些问题． 能应用等差数列解决一些实际问题． 2．
【核心扫描】 1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．(重 点) 2．掌握等差数列前n项和公式，会应用公式解决一些实际问 题．(重点、难点)
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a2n － 1 ＝(a2 －a1)＋(a4 －a3)＋„＋(a2n －a2n － 1)＝ n S奇 2a1＋a2n－1 2an an nd. ＝ ＝ ＝ . S偶 n 2an＋1 an＋1 a ＋a2n 2 2
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＝
②若项数为 2n－1，由等差数列的性质；a2＋a2n－2＝a1＋a2n－1＝„ ＝2an. n－1 n－1 ∴S 偶 ＝a2 ＋a4 ＋„＋a2n － 2 ＝ (a2 ＋a2n － 2)＝ ×2an ＝(n－ 2 2 1)an. n n S 奇＝a1＋a3＋„＋a2n－ 1＝ (a1＋a2n－1)＝ ×2an＝nan. 2 2 S奇 nan ∴S 奇－S 偶 ＝nan－(n－1)an＝an，这里 an＝a 中， ＝ ＝ S偶 n－1an n . n－1
a11 2a11 a1＋a21 法二 ＝ ＝ (4 分) b11 2b11 b1＋b21 21a1＋a21 21a1＋a21 2 ＝ ＝ (8 分) 21b1＋b21 21b1＋b21 2 S21 7×21＋1 148 4 ＝ ＝ ＝ ＝ .(12 分) T21 4×21＋27 111 3
a ＝9， 1 解得 d＝－2.
3×2 S3＝3a1＋ 2 d＝21， S ＝6a ＋6×5d＝24， 1 6 2
∴an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11， 1 由 an＝－2n＋11>0 得 n<5 ， 2
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故{an}的前5项为正，其余各项为负． (1)当1≤n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn ＝－n2＋10n. (2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋…＋|a5|＋|a6|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋… ＋a5)－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝n2－10n ＋50，
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自学导引
等差数列的前n项和公式 首末两项等距离 1． 倒序相加法：如果一个数列{an}中，与_______________的 两项之和等于首末两项之和，可把正着写和倒着写的两个 式子相加，就得到一个常数列的和．
2．等差数列的前 n 项和公式
nn－1 na1＋an na1＋ d (1)公式 1： n＝ S .(2)公式 2： n＝______________. S 2 2
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解 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依 次设为 a1，a2，„，a25. 1 由题意可知，此数列为等差数列，且 a1＝24，公差 d＝－ . 3 25 辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋„＋a25＝25×24＋
1 25×12×－ ＝500，而需要完成的工作量为 3
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na1＋an 【题后反思】 1.等差数列前 n 项和 Sn＝ 与等差数列性质 2 “若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq”经常结合起来使用，使这 类问题的解决更具灵活性． 2．数列{an}、{bn}为等差数列，Sn、Tn 分别是其前 n 项和，则有 am S2m－ 1 结论 ＝ . bm T2m－1
∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝4(a1＋an)＝280， na1＋an n×70 ∴a1＋an＝70，∴Sn＝ ＝ ＝210.∴n＝6. 2 2
答案
6
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误区警示
对等差数列前n项和公式理解有误而致错
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1.2.2等差数列的前n项和 课件 (共15张PPT)
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？
情景二 计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50组： 中间的一 第一个数与最后一个数一组； 组数是什 首尾 么呢？ 第二个数与倒数第二个数一组； 配对 第三个数与倒数第三个数一组，…… 相加 法 每组数的和均相等，都等于101，50个 101 就等于 5050 了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
Sn 4n n(n 1) 6 3n 2 n 2
例3.等差数列－10，－6， －2，2，…前多少项和是54?
解：∵a1=-10,d=-6－(-10)=4 ∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54 解得n=9，n=-3(舍) ∴前9项的和是54
变式训练：求等差数列13，15，17，…81的各项和 1645
Sn a1 a2 a3 an
其中
a1 an a2 an1 a3 an2 an a1
Sn a1 a2 a3 an
Sn an an13 an2 a1
2Sn a 1 an a 1 an a 1 an a 1 an
思考：图案中，第1层到第21层一共有多少颗 宝石？
借助几何图形之 直观性，把这个“全 等三角形”倒置，与 原图补成平行四边形。
思考：图案中，第1层到第21层一共有多少颗 宝石？
2 1 21 20 19
3
获得算法：
(1 21) 21 s21 2
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.2.2等差数列的前n项和(教学课件)——高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册
∵a1=25>0,d=-2<0,∴{an}是单调递减的等差数列.
n
a
-2
n
27
0,
由 n
得
an 1 -2(n 1) 27 0, n
27
,
2
25
,
2
又∵n∈N*,∴当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+
13×(13−1)
×(-2)=169.
B.(-3,+∞)
)
5
C.(−3, − 2)
解析 ∵{an}是等差数列,其公差为非零常数d,前n项和为Sn,∴
∵数列
的前n项和为Tn,当且仅当n=6时,Tn有最大值,
5
S6
a
d 0,
1
6
2
5
S
∴ 7 a1 3d 0, 解得-3< 1<− 2.故选C.
7
d 0,
高中数学
选择性必修第二册
北师大版
二 等差数列前项和性质的应用
例3 已知等差数列{an}的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,求该数列
的公差d.
解法一:设等差数列{an}的首项为a1,由
12 = 121 + 66 = 354,
偶 ＝ 61+36 = 1+6 = 32 , 解得
北师大版
即时巩固
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．(
n
a
-2
n
27
0,
由 n
得
an 1 -2(n 1) 27 0, n
27
,
2
25
,
2
又∵n∈N*,∴当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+
13×(13−1)
×(-2)=169.
B.(-3,+∞)
)
5
C.(−3, − 2)
解析 ∵{an}是等差数列,其公差为非零常数d,前n项和为Sn,∴
∵数列
的前n项和为Tn,当且仅当n=6时,Tn有最大值,
5
S6
a
d 0,
1
6
2
5
S
∴ 7 a1 3d 0, 解得-3< 1<− 2.故选C.
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d 0,
高中数学
选择性必修第二册
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二 等差数列前项和性质的应用
例3 已知等差数列{an}的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,求该数列
的公差d.
解法一:设等差数列{an}的首项为a1,由
12 = 121 + 66 = 354,
偶 ＝ 61+36 = 1+6 = 32 , 解得
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即时巩固
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．(
高中数学北师大版必修五课件：第1章 §2-2.2 第1课时 等差数列的前n项和
故 S110＝110a1＋110（1120－1）d ＝110×1100909＋110×2 109×－5110＝－110.
法二：(设而不求整体代换法)因为 S10＝100，S100＝10， 所以 S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90（a112＋a100）＝－90. 故 a11＋a100＝－2. 又因为 a1＋a110＝a11＋a100＝－2， 所以 S110＝110（a12＋a110）＝－110.
等差数列前 n 项和的有关计算 在等差数列{an}中， (1)已知 a3＝16，S20＝20.求 S10； (2)已知 a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求 n 及 a12； (3)已知 a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝ 210，求项数 n.
【 解 】 (1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d ， 则 有 a210＋a1＋2d2＝0（16， 202－1）d＝20，解得ad1＝＝－202，. 所以 S10＝10×20＋ 10×9×2（－2）＝200－90＝110.
等差数列前 n 项和公式的灵活运用
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求 S110. 【解】 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则1100a01a＋1＋101（001（02－10210） －d1＝ ）d1＝00， 10.
解得a1＝1100909， d＝－5110.
等差数列中的基本计算 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1，d，n，an 和 Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本 量 a1 和 d 的方程组，解出 a1 和 d，便可解决问题．解题时注意 整体代换的思想．
1.(1)已知等差数列{an}中，a1＝4，S8＝172， 则 a8＝________，d＝________． (2)在等差数列{an}中，已知公差 d＝2，an＝11，前 n 项和 Sn＝ 35，求 a1 和 n. 解：(1)由已知，得 S8＝8（a1＋ 2 a8）＝8（4＋2 a8）＝172， 解得 a8＝39， 又因为 a8＝4＋(8－1)d＝39， 所以 d＝5.故填 39 和 5.
法二：(设而不求整体代换法)因为 S10＝100，S100＝10， 所以 S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90（a112＋a100）＝－90. 故 a11＋a100＝－2. 又因为 a1＋a110＝a11＋a100＝－2， 所以 S110＝110（a12＋a110）＝－110.
等差数列前 n 项和的有关计算 在等差数列{an}中， (1)已知 a3＝16，S20＝20.求 S10； (2)已知 a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求 n 及 a12； (3)已知 a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝ 210，求项数 n.
【 解 】 (1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d ， 则 有 a210＋a1＋2d2＝0（16， 202－1）d＝20，解得ad1＝＝－202，. 所以 S10＝10×20＋ 10×9×2（－2）＝200－90＝110.
等差数列前 n 项和公式的灵活运用
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求 S110. 【解】 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则1100a01a＋1＋101（001（02－10210） －d1＝ ）d1＝00， 10.
解得a1＝1100909， d＝－5110.
等差数列中的基本计算 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1，d，n，an 和 Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本 量 a1 和 d 的方程组，解出 a1 和 d，便可解决问题．解题时注意 整体代换的思想．
1.(1)已知等差数列{an}中，a1＝4，S8＝172， 则 a8＝________，d＝________． (2)在等差数列{an}中，已知公差 d＝2，an＝11，前 n 项和 Sn＝ 35，求 a1 和 n. 解：(1)由已知，得 S8＝8（a1＋ 2 a8）＝8（4＋2 a8）＝172， 解得 a8＝39， 又因为 a8＝4＋(8－1)d＝39， 所以 d＝5.故填 39 和 5.
北师大版高中数学必修5课件1.2等差数列的前n项和课件(北师大版)
④
对于本节开头的问题，即转化为求满足 的最大自然数n.易知当n=19时，Sn=190;n=20时，Sn=210.所以n的 最大值为19.此时，将堆垛19层，剩余10根圆木料.
例7: 求前n个正奇数的和.
解 由等差数列前n项和公式，得
例8 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家 建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的 石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板， 从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：
高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到 100的自然数之和.那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，
所以他一写完题目，就坐到一边看书去了.谁知，他刚坐下，马上就有一
个学生举手说:“老师，我做完了.”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小 的高斯.老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
①
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
②
把①， ②等号两边分别相加，得
（共n个）
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积 的一半，参见下图.
将an=a1+(n-1)d代入③式，得
例9 在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大 道一侧路边每隔10m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这 20棵树苗，并返回A处.植树工人共走了多少路程?
解 植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位：m)组成了一
个数列 0,20,40,60，…，380，
北师版选择性必修第二册1.2.2.2等差数列的前n项和(二)【课件】
跟踪训练1 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植 树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树 坑旁边，若使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程 总和最小，则此最小值为___2_0_0_0__米．
解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来 领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两 侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返 的总路程为S＝9×20＋9×28×20＋10×20＋102×9×20＝2 000米．
题型三 利用an与Sn的关系求解数列问题 例3 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且8Sn＝(an＋2)2. (1)求证：{an}为等差数列； (2)求{an}的通项公式.
方法归纳 在给出数列的an与Sn的关系式时，可根据an＝Sn－Sn－1(n≥2)将关系 式中的Sn(或an)消去，从而求得an与an－1(或Sn与Sn－1)的关系，然后借 助等差数列或其他特殊数列中的方法求解.
解得n＝15或n＝－16(舍去)．故选C.
4．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟 走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，则甲、乙开 始运动后_____7___分钟相遇．
解析：设n分钟后相遇，依题意，有2n＋n
n−1 2
＋5n＝70，整理得n2＋13n－140
(1)求a1时不能使用an＝Sn－Sn－1，因为S0在数列前n项和中无意义，
而应该是a1＝S1;
(2)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1时，若恰好a1＝S1，则an＝Sn
－Sn－1就是其通项公式；
(3)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1时，若a1≠S1，则数列的通项
高中数学北师大版必修5课件：1.2.2.2等差数列前n项和的性质
第2课时 等差数 列前n项和的性质
1.等差数列前n项和的性质 (1)在等差数列{an}中,每m项的和 a1+a2+…+am,am+1+am+2+…+a2m,a2m+1+a2m+2+…+a3m,…仍为等差 数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍为等差数列. (2)在等差数列{an}中,公差为d,S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数 项的和, ①当n为奇数时,
S 奇-S 偶=a1+
������- 1 ������ 2
= ������������+1 (中间项),
2
Sn=n· ������������+1 (项数与中间项的积 ),
������奇 ������偶
2
������ + 1 = (项数加 1 比项数减 1); ������-1
②当 n 为偶数时,S 偶-S 奇= 2 ������ ,
10������1 +
① ②
=-110. 故此数列的前 110 项之和为-110.
题型一
题型二
题型三
解法二:设 Sn=an2+bn. ∵S10=100,S100=10, 102 ������ + 10������ = 100, ∴ 1002 ������ + 100������ = 10, 11 ������ = , 100 解得 111 ������ = .
∴Sn=-100n2+ 10 n.
11
11
10
111
∴S110=-100×1102+ 10 ×110=-110.
111
题型一
1.等差数列前n项和的性质 (1)在等差数列{an}中,每m项的和 a1+a2+…+am,am+1+am+2+…+a2m,a2m+1+a2m+2+…+a3m,…仍为等差 数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍为等差数列. (2)在等差数列{an}中,公差为d,S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数 项的和, ①当n为奇数时,
S 奇-S 偶=a1+
������- 1 ������ 2
= ������������+1 (中间项),
2
Sn=n· ������������+1 (项数与中间项的积 ),
������奇 ������偶
2
������ + 1 = (项数加 1 比项数减 1); ������-1
②当 n 为偶数时,S 偶-S 奇= 2 ������ ,
10������1 +
① ②
=-110. 故此数列的前 110 项之和为-110.
题型一
题型二
题型三
解法二:设 Sn=an2+bn. ∵S10=100,S100=10, 102 ������ + 10������ = 100, ∴ 1002 ������ + 100������ = 10, 11 ������ = , 100 解得 111 ������ = .
∴Sn=-100n2+ 10 n.
11
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∴S110=-100×1102+ 10 ×110=-110.
111
题型一
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
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01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
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01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
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• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
等差数列的前n项和课件(北师大版必修5)
把(n-1)d=-513代入②， 得n+ 1 n·(-513)=-1 022， 解得n=4,所以d=-171,
2
a1 d a1 4d 19, (2)方法一：由已知可得 5 4 5a d 40. 1 2 解得a1=2,d=3.
所以a10=a1+9d=29. 方法二：由S5=5a3=40，得a3=8.
【解析ห้องสมุดไป่ตู้选A.a2+a6=2a4∴a4为定值，又有2a4=a1+a7
∴S7= 7(a1 a 7 ) =7a4为定值.
2
二、填空题（每题4分，共8分） 5. （ 2010·辽宁高考）设 Sn 为等差数列 {an} 的前 n 项和，若
S3=3,S6=24,则a9=________.
【解析】记首项为a1,公差为d,则有
1 d , 10 解得 a1 11 . 20
所以a41+a42+„+a50=10a1+445d=50.
方法二：设b1=a1+a2+„+a10,b2=a11+a12+„+a20,
b3=a21+a22+„+a30,b4=a31+a32+„+a40,
b5=a41+a42+„+a50. 易知b2-b1=(a11-a1)+(a12-a2)+„+(a20-a10) =10d+10d+„+10d=100d. 同理b3-b2=b4-b3=b5-b4=100d. 故数列{bn}是等差数列，设其公差为d′, 则b1=10,b2=20,d′=10. 所以b5=10+4×10=50.
2018-2019学年高二数学北师大版必修5实用课件：第1章 2.2 等差数列的前n项和
思考：(1)等差数列的前 n 项和一定是 n 的二次函数吗？
[提示] 不一定，当公差 d≠0 时，前 n 项和是 n 的二次函数，当公差 d＝0 时，前 n 项和是 n 的一次函数，它们的常数项都为 0. (2)求等差数列的前 n 项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前 n 项和 公式？ [提示] 求等差数列的前 n 项和时，若已知首项、末项和项数，则选用第 一个公式；若已知首项、公差和项数，则选用第二个公式．
第一章 数列
§2 等差数列 2.2 等差数列的前n项和
学习目标：1.理解并掌握等差数列的前 n 项和公式及其推导过程，体会等差 数列的前 n 项和公式与二次函数的关系．(重点、难点)2.熟练掌握等差数列的五 个基本量 a1， d， n， an， Sn 之间的联系， 能够由其中的任意三个求出其余的两个． (重 点)3.能够应用等差数列的前 n 项和公式解决有关等差数列的实际问题． (易混点)
[合 作 探 究· 攻 重 难]
与Sn有关的基本量的运算
已知等差数列{an}中， 3 1 (1)a1＝ ，d＝－ ，Sn＝－15，求 n 和 a12； 2 2 (2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差 d； (3)a1＝6，a3＋a5＝0，求 S6.
[解]
3 nn－1 1 － ＝－15， (1)因为 Sn＝n·＋ · 2 2 2
因为数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前 n 项和公式求和；(3)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知等差数列{an}的首项 a1＝1，公差 d＝－2，则前 n 项和 S10＝( A．－20 B．－40 C．－60 D．－80
)
1 D [由等差数列前 n 项和公式，S10＝10×1＋ ×10×9×(－2)＝－80.] 2
北师版数学高二北师大版必修5课件 1.3.2 等比数列的前n项和(二)
明目标、知重点
跟踪训练3 在等比数列{an}中，an>0 (n∈N＋)，公比q∈(0， 1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式； 解 ∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25， ∴a23＋2a3a5＋a25＝25， 又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2， ∴a3a5＝4，而q∈(0，1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
明目标、知重点
例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn， S2n，S3n，求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n). 证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， ∴S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21， Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21， ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
C.27(8n＋2－1)
D.27(8n＋3－1)
解析 f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝211－－88n＋1＝27(8n＋1－1).
明目标、知重点
反思与感悟 数列是一个特殊的函数，数列的 通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数. 所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的 基本方法.
明目标、知重点
明目标、知重点
又a1＝2a1－2，∴a1＝2， ∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an＝2n. ∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上， ∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2， ∴{bn}是等差数列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1.
明目标、知重点
(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn. 解 ∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，① ∴2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1， ② ①－②得：
跟踪训练3 在等比数列{an}中，an>0 (n∈N＋)，公比q∈(0， 1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式； 解 ∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25， ∴a23＋2a3a5＋a25＝25， 又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2， ∴a3a5＝4，而q∈(0，1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
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例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn， S2n，S3n，求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n). 证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， ∴S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21， Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21， ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
C.27(8n＋2－1)
D.27(8n＋3－1)
解析 f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝211－－88n＋1＝27(8n＋1－1).
明目标、知重点
反思与感悟 数列是一个特殊的函数，数列的 通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数. 所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的 基本方法.
明目标、知重点
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又a1＝2a1－2，∴a1＝2， ∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an＝2n. ∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上， ∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2， ∴{bn}是等差数列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1.
明目标、知重点
(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn. 解 ∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，① ∴2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1， ② ①－②得：