平面的基本性质
立体几何平面的基本性质
一、知识点:1.平面的概念:平面就是没有厚薄的,可以无限延伸,这就是平面最基本的属性2.平面的画法及其表示方法:①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o ,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等3.空间图形就是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示:图形 符号语言 文字语言(读法) 图形 符号语言 文字语言(读法)A a A a ∈点A 在直线a 上 a αa α⊂ 直线a 在平面α内 A a A a ∉点A 不在直线a 上 a αa α=∅I 直线a 与平面α无公共点AαA α∈点A 在平面α内 a A αa A α=I 直线a 与平面α交于点AA αA α∉点A 不在平面α内 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点l αβ=I 平面α、β相交于直线lα⊄a (平面α外的直线a )表示a α=∅I (a αP )或a A α=I4 平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式:A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭. 如图示: 应用:就是判定直线就是否在平面内的依据,也可用于验证一个面就是否就是平面.公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既就是判断直线在平面内,又就是检验平面的方法.公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其她公共点,且所有这些公共点的集合就是一条过这个公共点的直线推理模式:A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭I 且A l ∈且l 唯一如图示: 应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征,就是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法.公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面BA α推理模式:,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α,使得,,A B C α∈ 应用:①确定平面;②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”就是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”与“唯一性”两方面来论证. 5 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内,则称这个图形为平面图形,否则称为空间图形 6公理的推论:推论1 经过一条直线与直线外的一点有且只有一个平面、推理模式:A a ∉⇒存在唯一的平面α,使得A α∈,l α⊂推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式:P b a =I ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α⊂推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式://a b ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α⊂二、基本题型:1 下面就是一些命题的叙述语,其中命题与叙述方法都正确的就是( )A.∵αα∈∈B A ,,∴α∈AB .B.∵βα∈∈a a ,,∴a =βαI .C.∵α⊂∈a a A ,,∴A α∈.D.∵α⊂∉a a A ,,∴α∉A .2.下列推断中,错误的就是( )A.ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,, C.βα∈∈C B A C B A ,,,,,,且A,B,C 不共线βα,⇒重合B.AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβαI ,,, D.αα∉⇒∈⊄A l A l ,3.两个平面把空间最多分成___ 部分,三个平面把空间最多分成__部分.4.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”(1)空间三点可以确定一个平面 ( )(2)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合( )(3)两条直线可以确定一个平面( )(4)若四点不共面,那么每三个点一定不共线( )(5)两条相交直线可以确定一个平面( )(6)三条平行直线可以确定三个平面( )(7)一条直线与一个点可以确定一个平面( )(8)两两相交的三条直线确定一个平面( )5.瞧图填空 (1)AC ∩BD = (4)平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD =(2)平面AB 1∩平面A 1C 1= (5)平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C =(3)平面A 1C 1CA ∩平面AC = (6)A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1= 6 6.选择题(1)下列图形中不一定就是平面图形的就是 ( )A 三角形B 菱形 C 梯形 D 四边相等的四边形O 11D 1B C 1O D B A(2)空间四条直线每两条都相交,最多可以确定平面的个数就是( )A 1个 B 4个C 6个 D 8个(3)空间四点中,无三点共线就是四点共面的 ( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要7.已知直线a //b //c ,直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,求证:a 、b 、c 、d 四线共面、 答案:1、 C 2、 D 3、 2,4,8 4、 ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×5、⑴O ⑵A 1B 1⑶O ⑷OO 1⑸B 1⑹B 16、 答案:⑴ D ⑵ C ⑶ D7、 证明:因为a //b ,由推论3,存在平面α,使得,a b αα⊂⊂又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,由公理1,d α⊂下面用反证法证明直线c α⊂:假设c α⊄,则c C α=I ,在平面α内过点C 作c b 'P ,因为b //c,则c c 'P ,此与c c C '=I 矛盾、故直线c α⊂、综上述,a 、b 、c 、d 四线共面、。
平面的基本性质3
公理1
平面的基本性质
平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么这条直线上所有的点都在这 个平面内．
A
B
A l , B l , A , B l
公理2
平面的基本性质
平面的基本性质
公理2 如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点，且所有这些公 共点的集合是一条过这个公共点的直线．
(3) A1B1
(4)
A1 B1 （6）平面A1C1CA∩平面D1B1BD= oo1
_ (5) A1B1 __ , A1B1
BB1
D1 O1
C1
练习
平面的基本性质
2．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形． B (1) A , B P (2)l , m
平 面
第一课时
平面的概念
平面的基本性质
平面的基本性质
平面的特征：
(1) 平展性 (2) 无限延展性 (3) 没有厚度 平面的画法： 通常用平行四边形来表示平面。 平面的表示：
(3)
有时也可以用其他平面图形来表示
平面的基本性质
平面的表示： (1) 用希腊字母αβγ来表示，如平面α (2) 用表示多边形的各顶点字母来表示， (3)用表示多边形的对角线字母来表示Leabharlann lP
P l且P l
练习
平面的基本性质
1．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B , B1C ，分别记作、、 ，试用适当的符号填 空．
(1) A1 _, (2) B1 _,
A _ D D _ A
O B
平面的基本性质教案(1)
课题：10.1平面的基本性质课题：10.1平面的基本性质【教学目标】1.知识目标：理解和掌握平面的三个基本性质，并学会应用性质进行一些简单的分析和判断。
2. 能力目标：通过实例和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。
通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力。
3.情感目标：（1）通过创设主题式故事情境，增强学习兴趣。
（2）结合生活，进行“数学来源于生活”的唯物主义观念教育。
（3）通过问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
【教学重点】平面的基本性质。
因为研究空间图形时，往往将有关点、线归结到一个平面内，再利用平面图形的性质解决。
所以要求学生对基本性质有较深刻的理解。
【教学难点】平面的基本性质的掌握与运用。
因为平面的基本性质既抽象又枯燥，而中职幼师专业的学生想象和思维都较弱，所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。
【教学方法】遵循学生的认知规律，结合多媒体将具体与抽象、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起。
进行思考、交流，师生共同讨论等学法。
根据中职学生想象能力、思维能力较弱的特点，尽量从直观入手，因此考虑通过创设既靠近生活，又体现数学本质，并且能从情感上激发学生主动、深入思考的有效情境（主题式故事情境）作为载体的启发式教法。
【教学过程】图9−5公理1作为判断和证明直线是否在平图9−8反映了只要“两面共一点”，就两面共一线，且过这一点，线唯把信封的一角竖立在桌面上，那么信封所在平面和桌面所在平面只交于一点，对吗？如图：在长方体ABCD—A1B1C1D1是棱A1B1上的中点，画出C1三点所确定的平面α与长方体表面的交线。
平面的基本性质
三、平面的基本性质： 平面的基本性质：
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上 公理 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上 如果一条直线的两点在一个平面内 的所有点都在这个平面内. 的所有点都在这个平面内 这时我们说直线在平面内或平面经过直线. 注 : ①这时我们说直线在平面内或平面经过直线 ②符号表示:若A∈l, B∈l,A∈α, B∈α, 则 l ⊂ α . 符号表示 若 ∈ ∈ ∈ ∈ 是借用集合的符号,点 不在直线 不在直线l上 直线 直线l不 ③∈, ⊂ 是借用集合的符号 点A不在直线 上,直线 不 内记作什么? 在平面α内记作什么 A∉l l⊄α ∉ ⊄ 作用: 判断直线在平面内的依据 直线在平面内的依据. ④作用 判断直线在平面内的依据
α
A B
公理2:如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其它公 公理 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公 如果两个平面有一个公共点 共点,这些公共点的集合是一条直线 这些公共点的集合是一条直线. 共点 这些公共点的集合是一条直线 对于不重合的两个平面,只要它们有公共点 只要它们有公共点,它们就是相 注: ①对于不重合的两个平面 只要它们有公共点 它们就是相 交的位置关系,交集是一条直线 且交线有且只有一条.) α 交集是一条直线.(且交线有且只有一条 交的位置关系 交集是一条直线 且交线有且只有一条 符号表示:若 ∈ ②符号表示 若P∈α, P∈ β ，则 α ∩ β =l且P∈l . ∈ 且 ∈ A 作用:判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 判断两个平面相交的依据,找两个平面的交线 ③作用 判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 证明点共线或线共点的依据。 证明点共线或线共点的依据。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. 公理 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 注: ①过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面, 过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面 过不在同一直线上的四点不一定有平面. 过不在同一直线上的四点不一定有平面 ②“有 是说明图形存在,即存在性 只有一个” 即存在性;“ ②“有”是说明图形存在 即存在性 “只有一个”说明图 形唯一,即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面. 即唯一性;本定理强调的是存在和唯一两方面 形唯一 即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面 符合某一条件的图形既然存在且只有一个,说明图形 ③符合某一条件的图形既然存在且只有一个 说明图形 是确定的,因此 有且只有一个” 因此“ 确定”是同义词; 是确定的 因此“有且只有一个”和“确定”是同义词 过不共线三点A、 、 的平面又可记为 平面ABC”; 的平面又可记为“ ④过不共线三点 、B、C的平面又可记为“平面 ” 作用:确定平面的依据 证明两个平面重合的依据. 确定平面的依据.证明两个平面重合的依据 ⑤作用 确定平面的依据 证明两个平面重合的依据
9.1.1平面的基本性质
练习 下列命题：
(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面
重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，宽是20m；
(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象
的数学概念．其中正确命题的个数为( A )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
1.常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的 一个角上，如平面α、平面β等 2.用代表平面的四边形的四个顶点 3.用相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称
数学中的“平面”是指光滑并且可以无限延展的图形
思考:将一条直线向两端无限伸展得到 的图形是什么？将课桌面、平静的水面、 田径场地面向四周无限伸展得到的图形 是什么？ 直线是否有长短、粗细之分？平面 是否有大小、厚薄之别？
平面的特点:
1.平的 2.四周无限延展 3.不计大小 4.不计厚薄 不是凹凸不平 没有边界 无所谓面积 没有体积
D A
C B
记作：平面 平面 ABCD 平面 AC 或平面 BD
动脑思考
探索新知
当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°， 横边画成邻边的2倍长． 当平面竖直放置的时候，通常把平面画成矩形．
D
C
A
B
巩固知识
典型例题
例1 表示出正方体 ABCD A1B1C1D 1 （如图）的 6个面． 解 这6个面可以分别表示为：平面AC 、平面 A1C1、
生活中经常看到用三角架支撑照相机．
文字语言：
基本性质3 图像语言：
存在性
唯一性
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
B
A
C
符号语言： A, B, C三点不共线 有且只有一个平面
43平面的基本性质
∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA三线共点． ∴P∈直线 DA.∴CE、D1 F、DA 三线共点． ∴P∈直线 A1＝DA， 1 ∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA 三线共点． D∩平面 ADD1DA.∴CE、D11F、DA 三线共点．
DA.∴CE、D1F、DA 三线共点．
变式训练 1
如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD ∥ 1AD，BE 1FA，G、H 分别为 FA、FD // ＝∠FAB＝90° ，BC 2 2 的中点． (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？
∴CE 与与DD1必相交，设交点为P，P， ∴CE 与 F 1 必相交，设交点为 P， ∴CE D ， ∴CE 与 111 11 F 必相交，设交点为 D1，EF<CDDFF 必相交，设交点为 P， 则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD，得 P∈平面 ABCD. 则由 P∈CE，CE⊂平面 则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD，得 P∈平面 ABCD. F 则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD，得P∈平面 ABCD. 必相交，设交点为 P， ABCD，得 P∈平面 ABCD.
a
b
c
a // b a // c c // b
(3)等角定理 对应平行 空间中如果两个角的两边分别___________,那 么这两个角相等或互补．
要点梳理
2.空间两直线的位置关系 (4)异面直线所成的角 b
b
O
b
α a
O
a
α
a a
①定义：设a, b是两条异面直线，经过空间中任一点O 锐角或直角 作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的___________叫做异 面直线a, b所成的角(或夹角).
平面的基本性质：三个公理,三个推论.
资源信息表14．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l上有两个点在平面α上，那么直线l在平面α上.（直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠ （二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα （三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面 推论2：两条相交的直线确定一个平面. 用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面 （四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面； 1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交 设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上.1D 1C 1B 1A DCBA FE[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面； 四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面. [说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面 的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业练习14.1（1）2 练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.αFBCDEA公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。
平面的基本性质(3课时)
（3）相交两平面：
β B α α A
β B A
α β a A 图2 α a β B
四.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： 用数学符号来表示点、 面之间的位置关系： (1)点与直线的位置关系： (1)点与直线的位置关系： 点与直线的位置关系 记为： 点A在直线a上： 记为：A∈a 在直线a 记为： 点B不在直线a上： 记为：B∈a 不在直线a (2)点与平面的位置关系： (2)点与平面的位置关系： 点与平面的位置关系 记为： 点A在平面α内： 记为：A∈α 在平面α 记为： 点B不在平面α上： 记为：B∈ α 不在平面α
可以用来检验某一个面是否为 （2）公理 可以用来检验某一个面是否为 ）公理1可以用来 平面，检验的方法为： 平面，检验的方法为：把一条直线在面内 旋转，固定两个点在面内后， 旋转，固定两个点在面内后，如果其他点 也在面内，则该面为平面。 也在面内，则该面为平面。
将一把直尺置于桌面上， 将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光 就能检查桌面是否平整． 就能检查桌面是否平整．
三条直线相交于一点， 三条直线相交于一点，用其中的两条确定 可以确定3个 平面，最多可以确定 平面，最多可以确定 个。
4条直线相交于一点时： 条直线相交于一点时： 条直线相交于一点时
）、4条直线全共面时 （1）、 条直线全共面时 ）、 ）、有 条直线共面时 （2）、有3条直线共面时 ）、 ）、每 条直线都确定 （c）、每2条直线都确定 ）、 一平面时
A 反证法 D B C
填空题: 填空题
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 最多确定的平面数是_______; 最多确定的平面数是 四条直线相交于一点呢?_____________ ?_____________。 四条直线相交于一点呢?_____________。
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∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和平点面的A基本的性质平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直 线 a bC 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征：
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法：
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用
一只撑脚？
平面的基本性质
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
BAAB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直 线l在平面α外 应用：
平面的基本性质
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
直 线 a//b 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。
推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。
A
a
β
B
C
数学语言表示:
A直 线 a 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 A， a.
平面的基本性质
推论1：经过一条直线和直线外一点，有
且只有一个平面.
已知：点A a
A
a
BC
求证：过点A和直线a有且只有一个平面.
证明（: 存在性）∵Aa, 在a上任取两点B、C，
们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条
经过这个公共点的直线。
AA l
β
如果两个平面有一条公共
直线，则称这两个平面相
交，这条公共直线叫做这
P
两个平面的交线。
l
α
平面的基本性质
应用：判定两个平面有交线及交线位置的依据
1.判定两个平面相交:如果两个平面有一个公 共点,那么它们相交;
2.判定点在直线上:点若是某两个平面的公共点, 那么这点就在这两个平面的交线上;
D
α
β
A
如：平面α，平面β，平面ABCD等。
C B
四.平面的画法： （1）水平放置的平面：
（2）垂直放置的平面：
β
α
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住， 可以把遮住部分画成虚线，也可间的位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
观
问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？ 木匠如何检查桌面是否平整？
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用
一只撑脚？
平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
αA
C
B A
公理3.经过不在同一直线上 C 的三点有且只有一个平面.
应用：确定平面的依据 判定点或平线面的基的本性共质 面;
a
a
α
A α
例1.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。 （1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B
都在直线 a上； （2）平面α与平面β相交于直线 m，直线 a 在平
面α内且平行于直线 m.
B A α
a
α
a
m β
六.平面性质研究
观
问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？ 木匠如何检查桌面是否平整？
平面的基本性质
例1：如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点 分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面， 并说明理由.
A BC
共面
平面的基本性质
证明：∵AB∩AC=A
∴直线AB、AC确定一个平面(推论2)
∵B∈AB ,C∈AC
∴B∈ ,C∈ ∴BC (公理1) ∴直线AB、BC、CA都在平面内
即它们共面
A BC
平面的基本性质
证法2： ∵A直线BC
∴过点A和直线BC确定平面 ∵ A∈, B∈BC ∴ B∈,∴AB 同理 AC
∴AB、AC、BC共面
A BC
平面的基本性质
证法3： ∵ A、B、C三点不在一条直线上
∴过A、B、C三点可以确定平面 (公理3) ∵ A∈, B∈∴AB (公理1) 同理 BC, AC
1.判断点或直线在平面内的依据;
2.判断点或直线共面的平依面的基据本性质
六.平面性质研究
观
问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？ 木匠如何检查桌面是否平整？
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用
一只撑脚？
平面的基本性质
公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它
直线分别交平面 于点P、Q、R，求
证：P、Q、R三点在同一直线上。
A
Q
C B
R P
平面的基本性质
例4：已知：空间四边形ABCD，平面四
边形EFGH的顶点分别在空间四边
形的各边AD,AB,BC,CD上,若EF与
GH不平行，求证：三条直线
EF,GH,BD共点。
方法小结
平面的基本性质
六.平面性质研究
∴AB、AC、BC共面
A BC
平面的基本性质
练1.直线l 与过点P的三条直线a1 , a2 , a3 分别 交于 A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证： 这四条直线共面。
3.两平面两个公共点 的连线就是它们的交 线
β
P
l
α
平面的基本性质
例2．在长方体ABCD—A1B1C1D1 中，画出平面A1C1D与平面B1D1D 的交线.
D1
C1
O
A1
B1
D A
C
B
平面的基本性质
例3：如图画出平面 与平面ADE的交线 画出DE与平面 的交点
A
B
C
P
D
E
平面的基本性质
变式：如图，已知△ABC三边所在的
a
点A在直线a上： 记为：A∈a
点B不在直线a上：记为：B∈a
A
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α上： 记为：A∈α 点B不在平面α上：记为：B∈ α
α
B A
(3)直线与平面的位置关系：
直线a上的所有点都在平面α上，称直线a
在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：aα
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直 线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A