导数解决切线问题的习题
考点49 利用导数求切线方程——2021年高考数学专题复习真题练习
考点49：利用导数求切线方程【题组一 求切线斜率或倾斜角】 1．曲线在点处的切线斜率为 .()sin cos f x x x =,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．曲线在处的切线的斜率等于 .x y e x =+0x =3．曲线在点处的切线的倾斜角为 .34y x x =-()1,3-4．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则()323f x x =()()1,1f α222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+ .5．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为 .2ln y x x =-1x =αcos(22πα+6．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为。
234x y lnx =-12-7．点P 在曲线上移动，设点P 处切线的倾斜角为，则角的范围是 。
323y x x =-+αα8．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是 。
()3ln f x x x x -+-()y f x =()()-1,-1f【题组二 在某点处求切线】1．曲线在点处的切线方程为________.()20xy x e --=()0,2-2．曲线在点处的切线方程为__________． cos y x x =+(0,1)3．曲线在点处的切线方程为______.()3x y x e x =+()0,04．曲线在处的切线方程为__________． ()sin 1ln 1=+++y x x x 0x =5．曲线在处的切线方程为__________． ()tan ln 11=+++y x x 0x =6． 曲线在点处的切线方程为__________. cos 2xy x =-()0,17．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是()f x 0x <()ln()3f x x x =-+()y f x =(1,3)-__________．8．若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()()3212f x a x ax x =++-()y f x =()()1,1f______________．【题组三 过某点求切线】1．过原点与曲线相切的直线方程为______. 2x y e =2．已知点在函数的图象上，则过点的曲线的切线方程()1,2A ()3f x ax =A ():C y f x =是 。
导数题型总结
导数题型总结导数题型总结导数及其应用题型总结题型一：切线问题①求曲线在点（xo，yo）处的切线方程②求过曲线外一点的切线方程③求已知斜率的切线方程④切线条数问题例题1：已知函数f（x）=x+x-16，求：（1）曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程（2）过原点的直线L是曲线y=f（x）的切线，求它的方程及切点坐标（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-(1/4)x+3垂直，求切线方程及切点坐标例题2：已知函数f（x）=ax+2bx+cx在xo处去的极小值-4.使其导数f”(x)>0的x的取值范围为（1,3），求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P （-1，m）的曲线y=f(x)有三条切线，求实数m的取值范围。
题型二：复合函数与导数的运算法则的综合问题例题3：求函数y=xcos （x+x-1）sin（x+x-1）的导数题型三：利用导数研究函数的单调区间①求函数的单调区间（定义域优先法则）②求已知单调性的含参函数的参数的取值范围③证明或判断函数的单调性例题4：设函数f(x)=x+bx+cx，已知g（x）=f(x)-f”(x)是奇函数，求y=g （x）的单调区间例题5：已知函数f(x)=x3-ax-1，（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。
例题6：证明函数f(x)=lnx/x2在区间（0,2）上是减函数。
题型四：导数与函数图像问题例1：若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在[a,b]上的图象可能是y题型五：利用导数研究函数的极值和最值例题7：已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间（-2,1）上x=-1时取得极小值，x=2/3时取得极yy32323oaoobxoabxbxabxaA．B．C．D．大值。
求（1）函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程（2）函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值。
导数公切线问题
公切线问题题型一：切线与一曲线的切点已知，且与另一曲线相切，求另一曲线方程 例1：（2017•许昌二模）已知函数y=x +1+lnx 在点A （1，2）处的切线l ，若l 与二次函数y=ax 2+（a +2）x +1的图象也相切，则实数a 的取值为（ ） A ．12 B ．8 C ．0 D ．4解：y=x +1+ln x 的导数为y′=1+，曲线y=x +1+ln x 在x =1处的切线斜率为k =2，则曲线y =x +1+ln x 在x =1处的切线方程为y ﹣2=2x ﹣2，即y=2x ．由于切线与曲线y=a x 2+（a +2）x +1相切，y=ax 2+（a +2）x +1可联立y=2x ，得ax 2+ax +1=0，又a ≠0，两线相切有一切点，所以有△=a 2﹣4a =0，解得a =4．故选：D ． 例2：已知函数()xaf x x e =- (0)a >，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲x y e =相切，符合情况的切线 A. 有0条 B. 有1条 C. 有2条 D. 有3条解：函数 ()x af x x e =-的导数为()11,0xaf x e aa '->=，易知,曲线()y f x =在0x =处的切线l 的斜率为11a -,切点为(0,−1)，可得切线的方程为111y x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，假设l 与曲线x y e =相切,设切点为()00,x y ，即有0011111xe x a a 骣琪=-=--琪桫，消去a 得0001x x e e x =-,设()1x x h x xe e =--，则()x h x xe ¢=令()0h x ¢>，则0x >，所以()h x 在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增，当x ??，()1h x ?，x ??，()h x ??，所以()h x 在(0,+∞)有唯一解,则01x e >，而0a >时,111a-<与01x e >矛盾，不存在。
(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线
利用导数求曲线的切线和公切线一.求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1.(1)求在点P（1,0）处的切线l1的方程；(2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二.有关切线的条数【例2】．（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y），则y0=2﹣3x，且切线斜率为k=6﹣3，∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x），∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1，∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．【例3】．已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R），．（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式：1+e f（x）+g（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=1时，记h（x）=f（x）﹣g（x），过点（1，﹣1）是否存在函数y=h（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．【解答】解：（I）当a=3时，原不等式可化为：1+e ln3x+＞0；等价于，解得x，故解集为（Ⅱ）∵对x≥1恒成立，所以，令，可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，故h（x）在x=1处取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，故a的取值范围为：[1，+∞）（Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点T（x，），∴切线方程：y+1=，将点T坐标代入得：即，①设g（x）=，则∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，故g（x）极大=g（1）=1＞0，故g（x）极，小=g（2）=ln2+＞0，．又g（）=+12﹣6﹣1=﹣ln4﹣3＜0，由g（x）在其定义域上的单调性知：g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根，方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．【作业1】．（2017•莆田一模）已知函数f （x ）=2x 3﹣3x+1，g （x ）=kx+1﹣lnx ． （1）设函数，当k ＜0时，讨论h （x ）零点的个数；三.切线与切线之间的关系 【例4】．（2018•绵阳模拟）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则a+c的取值范围是 .23a b c ++=则23b c +，∵b 2+c 2=1，∴sin ,cos b a ββ==设，∴235sin()b c βϕ+=+，故a+c ∈[﹣，]，【例5】.已知函数f （x ）=lnx ﹣a （x ﹣1），g （x ）=e x ，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）设，求函数t （x ）在[m ，m+1]（m ＞0）上的最小值；（Ⅱ）过原点分别作曲线y=f （x ）与y=g （x ）的切线l 1，l 2，已知两切线的斜率互为倒数，求证：a=0或．【解答】（Ⅰ）解：，令t'（x）＞0得x＞1，令t'（x）＜0得x＜1，所以，函数t（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴当m≥1时，t（x）在[m，m+1]（m＞0）上是增函数，∴当0＜m＜1时，函数t（x）在[m，1]上是减函数，在[1，m+1]上是增函数，∴t（x）min=t（1）=e．（Ⅱ）设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，∴x2=1，y2=e∴k2=e．由题意知，切线l1的斜率，∴切线l1的方程为，设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），∴，∴，，又y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1，a后整理得，令，则，∴m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，若x1∈（0，1），∵，，∴，而，在单调递减，∴．若x1∈（1，+∞），∵m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，∴x1=e，∴综上，a=0或．【作业2】．（2017•黄山二模）已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x+f'（0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若g（x）=e﹣x f（x）+lnx，h（x）=e x，过O（0，0）分别作曲线y=g（x）与y=h（x）的切线l1，l2，且l1与l2关于x轴对称，求证：﹣＜a ＜﹣．四．求公切线的方程【例6】．（2018•安阳一模）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由，得，令f′（x）=0，得．当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x＞0，则，即，其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），得h（x ）在上单调递减，在上单调递增，又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，故方程h（x0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x=e，经验证也满足（1）式．于是，f（x0）=g（x）=3e，f′（x）=g'（x）=3，曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），即y=3x．【作业3】．已知函数f （x）=lnx，g（x）=2﹣（x＞0）（1）试判断当f（x）与g（x）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f（x）和 y=g（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；（3）试比较（1+1×2）（1+2×3）…（1+2012×2013）与 e4021的大小，并写出判断过程．五.与公切线有关的参数取值范围问题【例7】．已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．（Ⅰ）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；（Ⅱ）当b=1时，若曲线f（x）与g（x）在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；（Ⅲ）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公切线，求正实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，g'（x）=2ax﹣1．∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，∴，解得a=b=1．（Ⅱ）设P（x0，y），则由题设有lnx=ax2﹣x…①，又在点P有共同的切线，∴f′（x0）=g′（x），∴，∴a=，代入①得lnx0=x，设h（x）=lnx ﹣+x，则h′（x）=+（x＞0），则h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 h（x）=0最多只有1个实根，从而，结合（1）可知，满足题设的点P只能是P（1，0）．（Ⅲ）当a＞0，b=1时，f（x）=lnx，f′（x）=，f（x）在点（t，lnt）处的切线方程为y﹣lnt=（x﹣t），即y=x+lnx﹣1．与y=ax2﹣x，联立得ax2﹣（1+）x﹣lnt+1=0．∵曲线f（x）与g（x）总存在公切线，∴关于t（t＞0）的方程△=+4a（lnt﹣1）=0，即=4a（1﹣lnt）（*）总有解．若t＞e，则1﹣lnt＜0，而＞0，显然（*）不成立，所以 0＜t＜e，从而，方程（*）可化为4a=．令H（t）=（0＜t＜e），则H′（t）=．∴当0＜t＜1时，h'（t）＜0；当1＜t＜e时，h'（t）＞0，即 h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增．∴h（t）在（0，e）上的最小值为h（1）=4，∴要使方程（*）有解，只须4a≥4，即a≥1．∴正实数a的最小值为1．【例8】．（2017•韶关模拟）.已知函数f（x）=ae x（a≠0），g（x）=x2（Ⅰ）若曲线c1：y=f（x）与曲线c2：y=g（x）存在公切线，求a最大值．（Ⅱ）当a=1时，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）内有零点，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设公切线l与c1切于点（x1，a）与c2切于点（x2，），∵f′（x）=ae x，g′（x）=2x，∴，由①知x2≠0，①代入②：=2x2，即x2=2x1﹣2，由①知a=，设g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=2；当x＜2时g′（x）＞0，g（x）递增．当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）递减．∴x=2时，g（x）max =g（2）=，∴amax=．（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1=e x﹣bx2﹣cx﹣1，∵F（2）=0=F（0），又F（x）在（0，2）内有零点，∴F（x）在（0，2）至少有两个极值点，即F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内至少有两个零点．∵F″（x）=e x﹣2b，F（2）=e2﹣4b﹣2c﹣1=0，c=，①当b≤时，在（0，2）上，e x＞e0=1≥2b，F″（x）＞0，∴F″（x）在（0，2）上单调增，F′（x）没有两个零点．②当b≥时，在（0，2）上，e x＜e2≤2b，∴F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，2）上单调减，F′（x）没有两个零点；③当＜b＜时，令F″（x）=0，得x=ln2b，因当x＞ln2b时，F″（x）＞0，x＜ln2b时，F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，ln2b）递减，（ln2b，2）递增，所以x=ln2b时，∴F′（x）最小=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，设G（b）=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，令G′（b）=2﹣2ln2b=0，得2b=e，即b=，当b＜时G′（b）＞0；当b＞时，G′（b）＜0，当b=时，G（b）最大=G（）=e+﹣＜0，∴G（b）=f′（ln2b）＜0恒成立，因F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内有两个零点，∴，解得：＜b ＜，综上所述，b 的取值范围（，）．【作业4】．已知函数f（x）=a（x ﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）若b=2，试探究函数f（x）与g（x）在其公共点处是否有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由．六．公切线的条数问题【例9】．已知函数f（x）=lnx，g（x）=e x．（1）确定方程f（x）=实数根的个数；（2）我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=f （x），y=g（x）公切线的条数，并证明你的结论．【解答】解：（1）由题意得lnx==1+，即lnx﹣1=．分别作出y=lnx﹣1和y=的函数图象，由图象可知：y=lnx﹣1和y=的函数图象有两个交点，∴方程f（x）=有两个实根；（2）解：曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与f（x）=lnx，g（x）=e x的切点分别为（m，lnm），（n，e n），m≠n，∵f′（x）=，g′（x）=e x，∴，化简得（m﹣1）lnm=m+1，当m=1时，（m﹣1）lnm=m+1不成立；当m≠1时，（m﹣1）lnm=m+1化为lnm=，由（1）可知，方程lnm=有两个实根，∴曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2条．【作业5】．已知函数f（x）=x2+2（1﹣a）x﹣4a，g（x）=﹣（a+1）2，则f （x）和g（x）图象的公切线条数的可能值是．【作业1解答】解：（1）f′（x）=（2x+1）（x﹣1）2=0，x=﹣或1，∴x=﹣是h（x）的零点；∵g′（x）=k﹣，k＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）的最大值为g（1）=k+1．k＜﹣1，g（1）＜0，g（x）在[1，+∞）上无零点；k=﹣1，g（1）=0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；﹣1＜k＜0，g（1）＞0，g（e1﹣k）=ke1﹣k+k＜0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；综上所述，k＜﹣1时，h（x）有1个零点；﹣1≤k＜0时，h（x）有两个零点；（2）设切点（t，f（t）），f′（x）=6x2﹣6x，∴切线斜率f′（t）=6t2﹣6t，∴切线方程为y﹣f（t）=（6t2﹣6t）（x﹣t），∵切线过P（a，﹣4），∴﹣4﹣f（t）=（6t2﹣6t）（a﹣t），∴4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5=0①由题意，方程①有3个不同的解．令H（t）=4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5，则H′（t）=12t2﹣6t﹣12at+6a=0．t=或a．a=时，H′（t）≥0，H（t）在定义域内单调递增，H（t）不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意；a时，在（﹣），（a，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（，a）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（），极小值为H （a）；a时，在（﹣∞，a），（，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（a，）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（a），极小值为H （）；要使方程①有三个不同解，则H（）H（a）＜0，即（2a﹣7）（a+1）（2a2﹣5a+5）＞0，∴a＞或a＜﹣1．【作业2解答】解：由已知得f'（x）=[ax2+（2a+1）x]e x，f'（0）=0，所以f （x）=（ax2+x﹣1）e x．（1）f'（x）=[ax2+（2a+1）x]e x=[x（ax+2a+1）]e x．①若a＞0，当或x＞0时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．②若a=0，f（x）=（x﹣1）e x，f'（x）=xe x，当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）．③若，当或x＜0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．④若，故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）．⑤若，当或x＞0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当a＞0时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当a=0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）．，当时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）；当时，f（x）单调递增区间为；单调递减区间为，（0，+∞）；（2）证明：g（x）=e﹣x f（x）+lnx=﹣e﹣x（ax2+x﹣1）e x+lnx=ax2+x﹣1+lnx，设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，所以x2=1，y2=e，k2=e．由题意知k1=﹣k2=﹣e，所以l1的方程为y=﹣ex，设l1与y=g（x）的切点为（x1，y1），则．又，即，令，在定义域上，u'（x）＞0，所以（0，+∞）上，u（x）是单调递增函数，又，所以，即，令，则，所以，故．【作业3解答】解：（1）证明：设F（x）=f（x）﹣g（x），则F′（x）=﹣，由F'（x）=0，得x=3，当0＜x＜3时，F'（x）＜0，当x＞3时F'（x）＞0，可得F（x）在区间（0，3）单调递减，在区间（3，+∞）单调递增，所以F（x）取得最小值为F（3）=ln3﹣1＞0，∴F（x）＞0，即f（x）＞g（x）；（2）假设曲线f（x）与g（x）有公切线，切点分别为P（x0，lnx）和Q（x1，2﹣）．因为f′（x）=，g′（x）=，所以分别以P（x0，lnx）和Q（x1，2﹣）为切线的切线方程为y=+lnx﹣1，y=+2﹣．令，即2lnx1+﹣（3+ln3）=0．令h（x）=2lnx1+﹣（3+ln3）．所以由h′（x）=﹣=0，得x1=3．显然，当0＜x1＜3时，h'（x）＜0，当x1＞3时，h'（x）＞0，所以h（x）min=ln3﹣1＞0，所以方程2lnx1+﹣（3+ln3）=0无解，故二者没有公切线．所以曲线y=f（x）和y=g（x）不存在公切线；（3）（1+1×2）（1+2×3）•…•（1+2012×2013）＞e4021．理由：由（1）可得lnx＞2﹣（x＞0），可令x=1+n（n+1），可得ln（1+n（n+1））＞2﹣＞2﹣=2﹣3（﹣），则ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+2012×2013）＞2×2012﹣3（1﹣+﹣+…+﹣）=4024﹣3+＞4021．即有（1+1×2）（1+2×3）…（1+2012×2013）＞e4021．【作业4解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣﹣blnx，∴f′（x）=1+﹣，由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′（1）=0，即1+1﹣b=0，∴b=2；（2）假设f（x），g（x）的图象在其公共点（x0，y）处存在公切线，由f（x）=a（x﹣）﹣2lnx，得f′（x）=，g′（x）=2x，由f′（x0）=g′（x），得=2x，即2x3﹣ax2+2x﹣a=0，即（x02+1）（2x﹣a）=0，则x=，又函数的定义域为（0，+∞），当a≤0时，x0=≤0，则f（x），g（x）的图象在其公共点（x，y）处不存在公切线；当a＞0时，令f（）=g（），﹣2ln﹣2=，即=ln，令h（x）=﹣ln（x＞0），h′（x）=x﹣=，则h（x）在（0，2）递减，（2，+∞）递增．且h（2）=﹣＜0，且当x→0时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞，∴h（x）在（0，+∞）有两个零点，∴方程=ln在（0，+∞）解的个数为2．综上：当a≤0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处不存在公切线；当a＞0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2个．在导数的练习中，常见这一类题型：已知含有的一个不等式，以及的一些其他性质，让解不等式或者比较大小。
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导数复习专题——切线问题例一：求曲线 y x33x21在点(1，1)处的切线方程变式一：已知函数变式二：已知函数y x33x ，过点A(0，16)作曲线y f ( x) 的切线，求此切线方程．y x33x ，过点A(2,2)作曲线y f ( x) 的切线，求此切线方程．例二：已知函数 f(x)=x3+3ax2-3b， g(x)=-2x2+2x+3(a ≠ 0)(1) 若 f(x)的图象与 g(x)的图象在 x=2 处的切线互相平行，求 a 的值；(2)若函数 y=f(x)的两个极值点 x=x1,x=x2恰是方程 f(x)=g(x)的两个根，求 a、b 的值；并求此时函数y=f(x)的单调区间．变式二：设函数 y x3 ax2 9x 1 a 0 ，若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线12 x y 6 平行，求：（Ⅰ） a 的值; （Ⅱ）函数 f ( x) 的单调区间.例三：已知函数 y x3ax b a, b R（Ⅰ）若f ( x)的图像在 2 x 2 部分在 x 轴的上方，且在点(2, f 2 ) 处的切线与直线9x y 50 平行，求b的取值范围；（Ⅱ）当 x1 , x20,3，且x1x2时，不等式 f x1 f x2x1x2恒成立，求的3取值范围。
变式三：已知函数 f(x)=ax ，在 x=1 处取得极值为 2.2x b（1）求函数 f(x)的解析式；（2）若函数 f(x)在区间（ m， 2m＋ 1）上为增函数，求实数m 的取值范围；（3）若P（ x0，y0）为 f(x)=axl 与 f(x)=ax的图象相切于x 2图象上的任意一点，直线2b x b点 P，求直线l 的斜率的取值范围.课后练习：一：选择题1. 曲线 y 1 x2 2x 在点(1， 3 )处切线的倾斜角为 ( )2 2A. 1B. 45C. 45D.1352. 过点（－ 1， 0）作抛物线y x2 x 1 的切线，则其中一条切线为（）A.2 x y 2 0B. 3x y 3 0C. x y 1 0D. x y 1 0 3．已知函数f ( x) x2 (ax b)(a,b R) 在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1)) 处的切线与直线 3x+y=0 平行，则函数f(x) 的单调减区间为（）A. ,0B.（ 0， 2）C. 2,D. ,4. 曲线 y x( x 1)( x 2)...( x 50) 在原点处的切线，方程为（）A、y 1275 xB、y 50 2 x C. y 100x D、y 50! x曲线 y 1 x5. e2在点 (4， e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. 9 e2B. 4e2C. 2e2D. e226. 设点 P 是曲线：y x3 3x b (b 为实常数 )上任意一点， P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（）A. 2 ,B.2 ,5C.［0, ］∪［ 5 , π］D.［ 0,2)∪［ 2 , π)3 6 2 6 37. 函数 y ax2 1的图象与直线y x 相切，则 a ＝( )1 1 1A．8 B．4 C．2 D． 1二：填空题nx) 在x 2 处的切线与a n1．正整数n，y x (1 y 轴交点的纵坐标为a n，则数列n 1 的前 n 项和的公式是2曲线ysin x在点 M ( ,0) 处的切线方程为.x3. 函数 y f ( x) 的图象在点P处的切线方程是y x 8，则 f (5) f (5) =.94. 点 P 是曲线y x 2 ln x 上任意一点，则P 到直线y x 2 的距离的最小值为三：解答题1. 求曲线 ( x 1)2 ( y 3 )2 5 的切线，使该切线平行于直线 2 x y 82 41 2与 C2 2 1 2都相切，求直线l 的方程 .2. 已知曲线 C :y=x :y=－ (x－2) ,直线 l 与 C 、C3.已知函数（1）求曲线f (x) x3x ．y f (x) 在点 M (t， f (t)) 处的切线方程；（2）设a0，如果过点(a，b)可作曲线y f (x) 的三条切线，证明： a b f (a) ．。
定积分三角函数数列导数中切线问题练习题
学习好资料欢迎下载姓名：4月21日课后作业与1、求由曲线所围成的封闭图形的面积。
1答案：2、求由直线2y=2x与抛物线y=3－x所围成的阴影部分的面积。
D.【解析】，故选、求函数处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积。
3，所以切线方程为，所以在处的切线斜率为【解析】，所以所求三角形的面积，得，令，令，得为4，求点取自阴影部分的概率。
、已知从如图所示的长方形区域内任取一个点，长方形的面积为【答案】【解析】，阴影部分的面积为欢迎下载学习好资料。
所以点取自阴影部分的概率为、求定积分5【解析】,21,S?S?6，、已知数列6{a}是等差数列，{a}的前n项和为S nnn63n a2.项和{T}的前na(1)求数列{}的通项公式；(2)求数列nnn n=答案：a n)ba,m?(Δ7、已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，，设向量2)a2,(A i p?b?n?n?(si B,s，.nm为等腰三角形；ABC//（1）若，求证：Δ?m p C =c = 2⊥，角（2ABC的面积. ）若，边长，求Δ3vvu ba?ba??,?Bb sin//n,?a sin A Q m外接圆半ABC，其中R即证明：（1）是三角形RR22ABCa?b??为等腰三角形径，vuvu abb??a?0b(a?2)?m//p?0,即a(b?2)?解（2）由题意可知22221)??4(舍去ab?ab?0??ab)3ab?4ab?(a?b)?3ab即(?4?a?b余弦定理?113sin?C sin??S??4?ab 322关于导数中切线问题的专题训练能力提升（选做）2的图象在a∈R)f)函数(x)＝2ln x＋x>0－bx＋a(b，1. (2014·北大附中河南分校高考押题() 处的切线斜率的最小值是点(b，f(b))1．D 2 C.3 2A．2 B．2222A. ，(b)≥2 ·2b＝2b(2x)＝＋x－b，∴f′b)＝＋2b－＝＋b，∵b，∴>0f′f解∵′(bxbb23的取值α－3x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则2. 设点P是曲线y＝x3)范围为(πππ5252????????????ππ，πππ，ππ，，0，，0 B. C. D.∪∪A.????????????623623222，x＝3x′∵)y，P解析答案[]A []设(x，f()＝＝x切线的斜率－3，∴k33－000．欢迎下载学习好资料π2????2π，π，0A. .故应选∈∴≥α－∪α＝3x3.－3∴tan????0323.（云南省昆明市2013届高三复习适应性检测数学（理）试题）若函数11x?x??)??e?x?3xy?e(?的最小值是则的图象上任意点处切线的倾斜角为 ,22????35(A)(B)(C)(D) 4664【答案】 B2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线＝(2010·福州高二期末)设P为曲线C：yx4.π倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为()411D．[，1]1,0] C．[0,1] －A．[1，－]B．[－22π[答案]A [解析]∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，∴切线的斜率k满足0≤k≤1，41即0≤2x＋2≤1，∴－1≤x≤－.2关于导数其他问题的专题训练132＋2xx－[0,4]内任取的一个数，那么函数f(x)＝江西八校联考1. (2014·)已知m是区间32x ＋3在x∈R上是增函数的概率是()m1112A. B. C. D. 4323132222≥0在x＋m(x)＝x4xx)＝－－2x′＋mx＋3在R上是增函数，∴f(C答案：解析：∵f32≤0，解得m≤－2或m≥2.又∵0≤m≤4，∴2≤m≤4.m＝R上恒成立，∴Δ16－421故所求的概率为P＝＝.422．(2014·贵阳二中模拟)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()，)>0x(′f时，<0x2<单调递减；当－)x(f，)<0x(′f时，>0x或2－<x当解析：A答案：欢迎下载学习好资料A.单调递增．故选f(x)x2的一个极值点，则下)e(x＝－1为函数f＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x(3．设函数fx)＝ax)(x)的图象的是(＝列图象不可能为yfx2xx2x x)e由.ax＋bx＋)e＋，则h′(x)＝(2axb)e b＋(ax＋＋bx＋c)e ax＝(c＋2)解析：设h(x＝f(x2x＝x)＝ca.∴f(x)e(的极值点，当x＝－1时，ax2＋ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴＝－1为函数fa22＝＝1，D中图象一定不满足该条件．axa＋bx＋.若ax，则＋bx＋a＝0有两根x，xxx2112a的取值范围是k单调递增,则 4.(2014新课标Ⅱ,文11)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)) () +∞∞,-1] C.[2,+∞)D.[1,-A.(-∞,-2]B.(,,则f'(x)≥0在x)上恒成立∈(1,+∞在)D答案：解析:由f'(x=k-,又f(x)(1,+∞)上单调递增D.≥<<1,故k1.故选∞)k即≥在x∈(1,+∞上恒成立.又当x∈(1,+)时,02t的值为则当|MN|达到最小时,x 5. 设直线x=t与函数f()=x),g(x=ln x图象分别交于点M,N212.A1BD.C ..222212t=令ln t(t>0),F'(t)=20,得t-=t|MN|=F:答案.或t=-(舍去)易知D解析由题意,设(t)=-22t2222??也为,t> t(t(Ft)在0)取得极小值t,上单调递减在t故上单调递增,时t=,F()=t-ln 222.故选D达到最小最小值,即|MN|,数函若）题试）理（学数测检性应适习复三高届2013市明昆省南云（ 6.欢迎下载学习好资料11x?x??)x??3x(?y?e??e ,则的图象上任意点处切线的倾斜角为的最小值是22????35 (D)(A)(B)(C)4664B【答案】??)(?fxfy(x))f(x)(xf1)?f(4R的的导函数，已知为上的函数，定义在 7.满足b?2a b1)?f(2a?b的取值范围是满足、，则图象如图所示，若两个正数a?21111)??)(,3((,)??,)?(3,)(??,3 D B． CA．．．2232C 【答案】ππ2________.sin x，则f′())的导函数为f′(x)且f(x＝x＝f′()＋y8.已知函数＝f(x)33ππππ32×2′()＝)′(x＝2xf′()＋cos 答案x．所以f)因为f(x＝x＋f′()sin x，所以f33334π－6πππ3f′()＋cos.所以f′()＝.3336－4π12＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是____________．＝－9.已知函数f(x)x22?x－1??x－3?－x＋4x－33答案0<t<1或2<t<3解析f′(x)＝－x＋4－＝＝－，由f′(x)＝0xxx得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t，t＋1)内，函数在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3. ?)100(?x????x1)(x2)(x3)(x(0)?f____________ f已知函数(＝x)，则10.答案：100！=1×2×3×…×100。
导数中的切线问题
切线问题一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,由确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等. 二、解题秘籍(一) 求曲线在某点处的切线求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简．【例1】（2022届天津市静海区高三上学期开学摸底）已知函数()ln 2f x x x =+,()2g x x mx =−.（1）在()f x 点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在[](),20t t t +>上的最小值；（3）若存在01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()()0002mf x g x x m '+≥+成立,求实数m 的取值范围.【分析】（1）由()12f =,()ln 1f x x '=+,()11f '=,得函数在()()1,1f 处的切线方程为21y x −=−即10x y −+=.（2）()'ln 1(0)f x x x =+>令()'0f x =,解得1=x e ,则1x e >时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,10x e<<时,()'0f x <,函数()f x 单调递减1≥t e ,()()min ln 2f x f t t t ==+；10<<t e ,()min 112f x f e e ⎛⎫==−+ ⎪⎝⎭(3)先证明ln 0x x −>恒成立,故2max2ln x x m x x ⎛⎫−≤ ⎪−⎝⎭ 1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,令()22ln x xh x x x −=−,1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()()()()()()()222122ln 21122ln ln ln x x x x x x x x x h x x x x x ⎛⎫−−−−−⎪−+−⎝⎭'==−−,因为1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以222ln x x +>≥,即22ln 0x x +−>,所以当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()0h x '<,()h x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,当(]1,x e ∈时,()0h x '>,()h x 在(]1,e 上单调递增,2212112011e e e h e e e e−−⎛⎫==< ⎪+⎝⎭+,()2201e e h e e −=>−, 所以()()()max 21e e h x h e e −==−,所以()21e e m e −≤− (二)求曲线过某点的切线求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x 0,y 0),解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0,y 0),进而确定切线方程．【例2】（2022届河北省部分学校高三上学期第一次月考）已知函数()1e ln xf x x −=−.（1）求过点()0,1与曲线()y f x =相切的切线方程.（2）若0a >,函数()()()1h x f x a x =−−有且只有一个零点0x ,证明：()01,2x ∈.【分析】（1）设切点()()00,x f x ,则()0100e ln x f x x −=−.因为()11e x f x x−'=−,所以()01001e x k f x x −'==−, 所以切线方程为()()00110001e ln e x x y x x x x −−⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭, 将点()0,1代入,得()01001e ln 0x x x −−+=.01x =,切点为()1,1,k =0,故所求切线方程为1y =.（2）由()1eln x h x x ax a −=−−+得()11e x h x a x−'=−−.先证明e 1x x ≥+,所以()1111e 110111ah a a a a a a a '+=−−≥+−−=−>+++. ()11e x h x a x−'=−−在()0,∞+上单调递增,且()10h a '=−<,所以存在唯一的()01,1t a ∈+,使得()00h t '=,即001e 10ta t −−−=.当()00,x t ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减；当()0,x t ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增.所以当0x t =时,()h x 取得最小值,且()110h =>.()ln 11ln x x x x ≥+⇒−≥,x =1时取“=”,则ln x x >,所以()()1e1x h x a x a −>−++,2211212eee e 244x x x x x x x x −−−−≥⇒≥⇒≥⇒≥, 所以()()()2114144x h x a x a x x a a >−++=−++⎡⎤⎣⎦,则()410h a a +>>⎡⎤⎣⎦,于是要使()h x 有唯一的零点,则()()000h t h x ==,即01e 1x a x −=+, 所以()()000001ln 201h x x ax a x x =−−+=>. 设()1ln 2φx x ax a x=−−+,则()x ϕ在()1,+∞上单调递减. 因为()110φa =+>,()12ln 202φ=−<, 所以012x <<,即()01,2x ∈. (三)求曲线的切线条数求曲线切线的条数一般是设出切点()(),t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题.【例3】（2022届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数()ln af x x x=+,a ∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线()y f x =相切,求a 的取值范围. 【分析】（1）221()a x af x xx x−'=−=,0x >, 当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上单调递增；0a >时,()f x 在(0,)a 上单减,在(,)a +∞上单增；（2）设切点横坐标为0x ,则切线方程为0200012ln 1a ay x x x x x ⎛⎫=−++− ⎪⎝⎭,代入(0,0)得002ln 10a x x +−=,即0002ln a x x x =−,关于0x 的方程0002ln a x x x =−在(0,)+∞内恰有两个解,令()ln g x x x x =−,()g x 在(0,1)上单增,在(1,)+∞上单减,又(1)1g =,当0x →时,()0g x →,且()0g e =,故当021a <<时,方程()2g x a =有两个解,所以102a <<,故a 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.(四)曲线的公切线研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.【例4】已知函数()()()1ln 1,x f x x g x e −=+=（1）若直线:l y kx b =+既是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线,求直线l 的方程； （2）证明：2ln 1x x x e x <−−．（参考数据：0.69ln 20.7<<）【分析】（1）1()1f x x '=+,1()x g x e '−=, 函数()f x 在点11(,())x f x 处的切线方程为：1111ln(1)()1y x x x x −+=−+,即11111ln(1)11x y x x x x =++−++, 函数()g x 在点22(,())x g x 处的切线方程为：22112()x x y ee x x −−−=−,即22112(1)x x y e x e x −−=+−,因为直线:l y kx b =+既是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线, 所以22111112111ln(1)(1)1x x e x x x e x x −−⎧=⎪+⎪⎨⎪+−=−⎪+⎩, 将211ln(1)x x −=−+代入得1ln(1)1111ln(1)ln(1)1x x x e x x −++−=⋅++,即111ln(1)x x x +=, 所以10x =或11x e =−,若10x =,则21x =,此时直线l 的方程为：y x =； 若11x e =−,则20x =,则此时直线l 的方程为：11y x e e =+,综上得：y x =或11y x e e=+.（2）先证明ln 1≤−x x ,所以2ln x x x x ≤−,设2()21(0)x F x e x x x =−+−>,则()41x F x e x '=−+,令()()41x G x F x e x '==−+,则()'4xG x e =−,令()'0G x =,得ln 4x =,所以存在12,x x 使得()F x 满足()F x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增,在12(,)x x 上单调递减, 所以{}{}min 22()min (0),()min 0,()F x F F x F x ==,又因为22222222()21252x F x e x x x x =−+−=−+−,且2ln 42x <<,因为2252y x x =−+−在(ln 4,2)上单调递减,所以2222520x x −+−>,所以2()0F x >,所以2()210x F x e x x =−+−>,即221ln x e x x x x x −−>−≥,即2ln 1x x x e x <−−.(五)取得满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解.【例5】（2021届北京人大附中高三考前热身）已知函数()22x f x e x =−.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）是否存在()12,0,2x x ∈,使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直？说明理由.（参考数据： 2.72e ≈,ln 20.69≈）【分析】由（1）()'01f =,()01f =,得切线方程为 1y x =+.（2）令()()'4xg x f x e x ==−,若存在()12,0,2x x ∈,使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直,则存在()12,0,2x x ∈,()()121g x g x ⋅=−.()'4x g x e =−,令()'0g x =,解得：()ln 40,2x =∈.所以()g x 在()0,ln 4上单调递减,在()ln 4,2上单调递增.()01g =,()ln 444ln 4 1.42g =−≈−,()2280.6016g e =−≈−故()[)1.42,1g x ∈−,所以存在()12,0,2x x ∈,使得()()121g x g x ⋅=−,例如()()1265,56g x g x =−=.三、典例展示【例1】函数()()ln 1,f x a x a =+∈R ．（1）当1a =时,求曲线()y f x =在3x =处的切线方程；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞,都有()212f x x x −恒成立,求实数a 的取值范围；（3）设()()1,0p x f x a =−>,若()()1122,,,A x y B x y 为曲线()y p x =的两个不同点,满足120x x <<,且()312,x x x ∃∈,使得曲线()y p x =在3x 处的切线与直线AB 平行,求证：123.2x x x +< 【解析】（1）当1a =时,()()ln 1f x x =+,得出切点()3,ln4, ()1,1f x x '=∴+Q 切线的斜率()13.4k f '== ∴曲线()y f x =在3x =处的切线方程为()1:ln434y x −=−, 化为48ln230.x y −+−=（2）对任意[)0,x ∈+∞,()212f x x x −恒成立,即()21ln 102a x x x +−+恒成立．令()()()()()2211ln 10.10211a x a h x a x x x x h x x x x x +−=+−+=−+=++'．①当1a 时,()0h x '恒成立,∴函数()h x 在[)0,x ∈+∞上单调递增,()()00,h x h ∴=1a ∴时符合条件．②当1a <时,由()0h x '=,及0x ,解得x = 当(x ∈时,()0h x '<；当)x ∞∈+时,()0.hx '>则()h x 在(单调递减,在)∞+单调递增．所以()()min 00h x hh =<=,这与()0h x 相矛盾,应舍去．综上可知1,a a 的取值范围为[1,)+∞ （3）()()2121ln ln 1ln ,AB a x a x p x f x a x k x x −=−==−．()()33,,a ap x p x x x ''=∴=QQ 曲线()y p x =在3x 处的切线与直线AB 平行,21213ln ln ,a x a x ax x x −∴=−要证123:.2x x x +<即证明212121ln ln 2a x a x a x x x x −>−+,变形可得()2211221211212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫− ⎪−⎝⎭>=++,令21x t x =,则 1.t > 要证明的不等式等价于()()()21ln 1ln 21.1t t t t t t −>⇔+>−+构造函数()()()1ln 21,(1)q t t t t t =+−−>．()11ln 2ln 1(1)t q t t t t t t+=+−=+−>' 则()()221110,t q t q t t t t−=−=>∴'''在区间()1,+∞上单调递增．()()10,q t q ∴'>='∴函数()q t 在区间()1,+∞上单调递增, ()()()10,0q t q q t ∴>=∴>在()1,+∞上恒成立． ()()1ln 21t t t ∴+>−在()1,+∞上恒成立,即1232x x x +<成立． 【例2】（2021届安徽师大附中高三5月最后一卷）已知函数()x f x e =,()ln g x x =.（1）若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为y kx b =+,且存在实数m ,n ,使得直线()y m k x n b −=++与曲线()y g x =相切,求m n +的值； （2）若函数()()(())x x af x g x x ϕ=+−有零点,求实数a 的取值范围. 【解析】（1）()x f x e '=,(0)1f '=,(0)1f =,所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+,所以1k b ==, 则()y m k x n b −=++,即1y x m n =+++. 1()g x x '=,则曲线()y g x =在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x −=−,即001ln 1y x x x =+−, 从而11x =,0ln 11x m n −=++,所以01x =,2m n +=−. （2）由题意知()(ln )x x x ae x x ϕ=+−,(0,)x ∈+∞, 函数()ϕx 有零点,即()0x ϕ=有根. 当0a =时,()0x x ϕ=>,不符合题意. 当0a ≠时,函数()ϕx 有零点等价于1ln 1x x e a x ⎫⎛=− ⎪⎝⎭有根. 设ln ()1x x h x e x ⎫⎛=− ⎪⎝⎭,则2ln 1ln ()1x x x x h x e e x x −⎫⎫⎛⎛=−+− ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭'2(1)(1ln )x e x x x x =−+−,设()1ln s x x x =+−,则1()1s x x =−', 当(0,1)x ∈时,()0s x '<,()s x 单调递减, 当(1,)x ∈+∞时,()0s x '>,()s x 单调递增,所以()(1)20s x s =>,所以()0h x '=仅有一根1x =,且当(0,1)x ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减, 当(1,)x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增,所以()(1)h x h e ≥=. 数形结合可知,若函数()ϕx 有零点,则1e a,从而10a e <.【例3】（2021届西南名校联盟“3 3 3”高三5月诊断）已知函数()33f x x x =−（1）求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若过点()2,t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围.【解析】（1）()()()233311f x x x x '=−=+−Q ,当()0,1x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减；当()1,2x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增,()f x ∴在1x =处取得极小值为12f ,又()()00,22f f ==,()f x ∴在[]0,2上的值域为[]22−,； （2）设切点为()30003,x x x −,则切线斜率为()20033k f x x '==−,所以切线方程为()()()320000333y x x x x x −−=−−,又切线过点()2,t ,则()()()3200003332t x x x x −−=−−,整理得3200266x x t −+=−,则曲线有三条切线方程等价于()32000266g x x x =−+与y t =−有三个交点,()()20000061262g x x x x x =−=−',令()00g x '>解得00x <或02x >,令()00g x '<解得002x <<,()0g x ∴在()(),0,2,−∞+∞单调递增,在()0,2单调递减,()0g x ∴在0x =处取得极大值()60g =,在2x =处取得极小值()22g =−,要使()0g x 与y t =−有三个交点,则需满足26t −<−<,解得62t −<<. 四、跟踪检测1.（2021届】重庆市巴蜀中学高三适应性月考）函数3221(),()ln 2f x x ax bg x a x m =−+=+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时,设()()h x f x '=,()h x 与()g x 有公共点,且在公共点处的切线方程相同,求实数m 的最大值． 【解析】（1）321(),2f x x ax b x =−+∈R ,则2334()2223f x x ax x x a '⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭,当0a =时,23()02f x x '=≥,所以()f x 在R 上单调递增； 当0a <时,令()0f x '>0x ⇒>或43x a <,4()003f x a x '<⇒<<, 所以()f x 在4,3a ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭上单调递增,4,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,(0,)+∞上单调递增；当0a >时,令4()03f x x a '>⇒>或40,()003x f x x a <<⇒<<',所以()f x 在(,0)−∞上单调递增,40,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,4,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；综上所述：当0a =时,()f x 在R 上单调递增；当0a <时,()f x 在4,3a ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭上单调递增,4,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,(0,)+∞上单调递增；当0a >时,()f x 在(,0)−∞上单调递增,40,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,4,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）23()()22h x f x x ax '==−,因为()h x 与()g x 有公共点,设公共点为()00,x y ,所以2()32,()a h x x a g x x''=−=,则20032a x a x −=,且00,0x a >>,解得0x a =, 又因为2200032ln 2x ax a x m −=+,则221ln ,02m a a a a =−−>,令221()ln (0),()2(1ln )2x x x x x x x x ϕϕ=−'=−−>+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0x ϕ'>；当1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 时,()0x ϕ'<,故()ϕx 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以max 211()e 2ex ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故实数m 的最大值为212e ．2.已知函数2()()ln f x x a b x =++,,a b ∈R ．（1）若直线2y ax =是曲线()y f x =的切线,求2a b −的最小值； （2）设1b =,若函数()f x 有两个极值点1x 与2x ,且12x x <,证明()()12122f x f x a x x a−>−−．【解析】（1）设切点()00,x y ,由2()()ln f x x a b x =++得222()x ax bf x x++'=, 因为切线为2y ax =,故2000222x ax b a x ++=,所以202b x =−．又因为()2000ln 2x a b x ax ++=,所以222200000ln 2ln 0a x b x x x x =−−=−+≥,所以0x ≥因此2220002ln a b x x x −=+．令()2200002ln g x x x x =+,0x ≥则()000044ln 0g x x x x ='+>对)0x ∈+∞恒成立, 所以()0g x在)0x ∈+∞上单调递增,则()02e g g x ≥=,所以2a b −的最小值为2e ．（2）因为2221()x ax f x x++'=, 若函数()f x 有两个极值点1x 与2x ,则1>0x ,20x >,2121248012a x x a x x ⎧⎪∆=−>⎪+=−⎨⎪⎪⋅=⎩,所以a <因此()()()22112212121212121222ln ln ln ln x ax x ax x x f x f x x x a x x x x x x +−++−−−==+−−−112121112222111ln ln ()()1x x x x x x a a x a x x x a x x ++=+=+−−−−,令12x t x =,(01)t <<, 则()()12121111ln ln 11f x f x t t a t a t x x a t a t −++=+⋅=−⋅−−−−, 构造函数1()ln 21t g t t t −=−+,(01)t << 则221214()20(1)(1)g t t t t t −'=−=+>++在()0,1t ∈上显然恒成立, 所以()g t 在()0,1t ∈上单调递增,则()(1)0g t g <=； 所以1ln 21t t t −<+,即1ln 21t t t +>−,又a <则112ln 1t t a t a +−⋅>−−,因此112ln 1t a t a a t a+−⋅>−−, 所以()()1212112ln 1f x f x t a t a x x a t a−+=−⋅>−−−．3.（2021届四川省遂宁市高三三模）已知函数2()ln x f x e x x =−+,()2ln x g x e x =−−．（1）设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为1k ,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线斜率为2k ,求12k k +的值；（2）若()()()h x f x g x =+,设曲线()y h x =在点(,())t h t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ,求()S t 的最小值．【解析】（1）因为2()ln x f x e x x =−+,所以1()2xf x e x x'=−+,故()111k f e '==−；又因为()2ln x g x e x =−−,所以1()xg x e x'=−−,故()211k g e '==−−, 所以122k k +=−（2）2()()()2h x f x g x x =+=−,(0)x >,()2h x x '=−,则()2h t t '=−, 又点(,())t h t 为()2,2t t −,所以()y h x =在点()2,2t t −处的切线方程为()222()y tt x t −−=−−,故当0x =时,22y t =+；当0y =时,222t x t+=, 所以()24221244()222||4||t t t S t t t t +++=+⋅=,(0)t > 则4234414()444t t S t t t t t ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,则2214()344S t t t ⎛⎫'=+− ⎪⎝⎭4223444t t t +−=()()2223224t t t −+=()2224t t+=,由()0S t '>得t >由()0S t '<得0t <,所以()S t 在⎛ ⎝⎭上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,所以当t =,()S t 取得极小值,也是最小值S =⎝⎭． 4．已知函数()()ln e xf x x m x −=+−.（1）若()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y −=平行,求m 的值； （2）在（1）的条件下,证明：当0x >时,()0f x >； （3）当1m 时,求()f x 的零点个数.【解析】（1）因为()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y −=平行, 所以()112f '=,因为()()11e x f x x x m−+−'=+, 所以()11112f m ='=+,解得1m =. （2）由（1）得当1m =时,()()()21e 11e 11e x xxx f x x x x −+−=+−=++', 当0x >时,因为()0f x '>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增, 因为()00f =,所以()0f x >在()0,∞+上恒成立.（3）由（2）可知当1m 且0x >时,()()ln 1e 0xf x x x −>+−>,即()f x 在()0,∞+上没有零点,当(),0x m ∈−时,()()()()2e 111e e x xxx m x m f x x x m x m −++−−=+−=++', 令()()2e 1x g x x m x m =++−−,(),0x m ∈−,则()e 21xg x x m =++−'单调递增,且()e21e 10mm g m m m m −−−=−+−=−−<',()00g m '=>,所以()g x '在(),0m −上存在唯一零点,记为0x , 且()0,x m x ∈−时,()0g x '<,()0,0x x ∈时,()0g x '>, 所以()g x 在()0,m x −上单调递减,在()0,0x 上单调递增, 因为1m , 所以()e0mg m −−=>,()010g m =−<,因为()()00g x g <,所以()00g x <,所以()g x 在()0,m x −上存在唯一零点1x ,且在()0,0x 上恒小于零, 故()1,x m x ∈−时,()0g x >；()1,0x x ∈时,()0g x <,所以()f x 在()1,m x −上单调递增,在()1,0x 上单调递减,且()0ln 0f m =>,所以()f x 在(),0m −上至多有一个零点, 取()e 2e ,0mm x m m −=−+∈−,则有()()22ln e 0mf x x m m <++=,所以由零点存在定理可知()f x 在(),0m −上只有一个零点, 又f (0)不为0,所以()f x 在(),m −+∞上只有一个零点. 5.（2021届辽宁省高三临门一卷）已知函数()2132f x x x =−,()()12ln g x a x a x =−+,a ∈R ． （1）若函数()()()h x f x g x =+在()0,1上单调递增,在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,求实数a 的取值范围；（2）设曲线()y f x =在点P 处的切线为l ,是否存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y g x =（其中1a =）也相切？若存在,判断满足条件的点P 的个数,若不存在,请说明理由． 【解析】（1）因为()()()()2122ln 2h x f x g x x a x a x =+=−++, 则()()()()222x x a a h x x a x x−−'=−++=. ①当0a ≤时,若02x <<,则()0f x '<,此时函数()f x 单调递减, 若2x >,则()0f x '>,此时函数()f x 单调递增,不合乎题意；②当02a <<时,由()0f x '<,可得2a x <<,由()0f x '>,可得0x a <<或2x >. 此时函数()f x 的单调递增区间为()0,a 和()2,+∞,单调递减区间为(),2a , 因为函数()h x 在()0,1上单调递增,在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,则312a ≤≤；③当2a =时,对任意的0x >,()()220x h x x−'=≥,则函数()f x 在()0,∞+上单调递增,不合乎题意；④当2a >时,若02x <<,则()0f x '>,此时函数()f x 单调递增,不合乎题意.综上所述,实数a 的取值范围是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）设20001,32P x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭,因为()3f x x '=−,所以()003f x x =−'．所以直线l 的方程为()()200001332y x x x x x −+=−−,即()200132y x x x =−−．①假设直线l 与2ln y x =的图象也相切,切点为()11,2ln x x ． 因为2y x'=,所以直线l 的方程也可以写作()11122ln y x x x x −=−,即1122ln 2y x x x =+−．② 又因为0123x x −=,即0123x x =+,代入①式得直线l 的方程为21121232y x x x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭．由①②有211122ln 232x x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭,即211122ln 2302x x ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭．令()2111122ln 232x x x ϕ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭,1>0x ,所以()()21112311112222332x x x x x x x ϕ'⎛⎫⎛⎫=++⋅−=⋅−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令()10x ϕ'>,得1x >令()10x ϕ'<,可得10x <所以()1x ϕ在⎛⎝⎭上递减,在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增, 即()1min xϕ0ϕ==>⎝⎭, 所以()10x ϕ>在()0,∞+上恒成立,即()10x ϕ=无解,故不存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y g x =（其中1a =）的图象也相切．6.（2021届安徽省六安市高三下学期适应性考试）已知函数()()2ln f x x x ax x a =−+∈R .（1）证明：曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 恒过定点； （2）若()f x 有两个零点1x ,2x ,且212x x >,证明：1228x x e >. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞,由2()ln f x x x ax x =−+,得()ln 22f x x ax '=−+,则(1)2(1)f a '=−,又(1)1f a =−,则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线l 的方程为(1)2(1)(1)y a a x −−=−−,即12(1)2y a x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭,显然恒过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若()f x 有两个零点1x ,2x ,则21111ln 0x x ax x −+=,22222ln 0x x ax x −+=,得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+.因为2120x x >>,令21(2)x tx t =>,则111111ln ln()11x tx x x tx tx +=+, 得1ln ln 11tx t =−−,则211ln ln ln()ln ln 11t t x tx t x t ==+=−−, 所以()1212ln ln (+1)ln ln ln ln 112111t t t t tx x x x t t t =+=−+−=−−−−. 令(+1)ln ()2(2)1t th t t t =−>−,则212ln ()(1)t t t h t t −+−'=−,令1()2ln (2)t t t t t ϕ=−+−>,则22221(1)()10t t t t t ϕ−'=−++=>, 则()t ϕ在(2,)+∞上单调递增,所以3()(2)2ln 202t ϕϕ>=−>. 所以2()()0(1)t h t t ϕ'=>−,则()h t 在(2,)+∞上单调递增,所以28()(2)3ln 22ln h t h e >=−=,即()1228ln ln x x e >,故1228x x e >. 7.已知函数1()ln f x x a x=++. （1）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能与x 轴相切,求实数a 的值；否则请说明理由； （2）若函数()f x 恰好有两个零点1x ,212(0)x x x <<,求证：121132x x +>. 【解析】（1）函数1()ln f x x a x =++的导数为211()f x x x'=−, 由'(1)0f =,得1x =,若()f x 与x 轴相切,切点为(1,f （1）),必有f （1）10a =+=,解得1a =−,当(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 递减；当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 递增, 所以函数()f x 的图象能与x 轴相切,此时1:a =−（2）证明：设21x tx =,所以1t >,由12()()0f x f x ==,可得111111ln ln()0x a tx a x tx ++=++=, 解得11ln 1t tx t =−, 所以1211111ln 1(1)ln (1)11t t t t t x x x t t t t +++=+=⋅=−−, 要证121132x x +>,即证(1)ln 312t t t +>−,即为3(1)ln 02(1)t t t −−>+,1t >, 令3(1)()ln 2(1)t h t t t −=−+,1t >,222131()0(1)(1)t t h t t t t t −+'=−=>++, 所以()h t 在(1,)+∞递增,可得()h t h >（1）0=, 则121132x x +>.8．（2022届浙江省名校协作体高三上学期开学联考）设函数2()(1)ln (0)2a f x x a x x x a =+−−>． （1）若()f x 为单调递增函数,求a 的值；（2）当02a <≤时,直线y kx =与曲线()y f x '=相切,求k 的取值范围； （3）若()f x 的值域为[)0,+∞,证明：2ln 2ln a a −=−． 【解析】（1）因为2()(1)ln (0)2a f x x a x x x a =+−−>,定义域为()0,∞+, 因为()f x 为单调递增函数,所以()ln 0f x ax a x '=−−≥在0x >上恒成立． 即()1ln a x x −≥恒成立． 当1x =时显然成立,当1x >时ln 1x a x ≥−；当01x <<时ln 1xa x ≤−．设 ln ()1xg x x =−,则211ln ()(1)x xg x x −−'=−,又1ln 1y x x =+−,则22111x y x x x −'=−=,即当1x >时0y '>,当01x <<时0y '<,所以min1ln1101y =+−=,所以11ln x x −≤,所以211ln ()0(1)x x g x x −−'=≤−, 所以1x >时1a ≥,01x <<时1a ≤,所以1a =．（2）设y kx =与()ln y f x ax a x '==−−相切于点()()000,1ln x a x x −−, ()001ln 1a x x k a x x −−==−得101a e x −=代入01k a x =−得1a k a e −=−．设1()x h x x e −=−,1()1x h x e −='−,()0,1x ∈,()0h x '>；()1,x ∈+∞,()0h x '<,即()h x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减． 又()10h e =−,()10h =,()22h e =−．而1(0)(2)2h h e e=−>=−．所以当02a <≤时,[]12,0a k a ee −=∈−−．（3）()()1ln f x a x x '=−−,0x >,当1a ≥,()1ln a x x −=,如图所示存在两根101x <<,21x =, 当()10,x x ∈时,()1ln a x x −>,()0f x '>,()f x 递增；当()1,1x x ∈时,()1ln a x x −<,()0f x '<,()f x 递减； 当()1,x ∈+∞时,()1ln a x x −>,()0f x '>,()f x 递增．又因为()f x 在0x =处无定义,所以只有min ()(1)102af x f a ==+−=, 则2a =,从而2ln 2ln a a −=−成立,当01a <<,()1ln a x x −=,如图所示存在两根11x =,21>x ． 当()0,1x ∈时,()1ln a x x −>,()0f x '>,()f x 递增； 当()21,x x ∈时,()1ln a x x −<,()0f x '<,()f x 递减； 当()2,x x ∈+∞时,()1ln a x x −>,()0f x '>,()f x 递增． 又因为()f x 在0x =处无定义, 所以只有()222222(1)ln 0(*)2a f x x a x x x =+−−=, 将()221ln a x x −=代入()*式得22202a x x −+=,所以22x a=．从而有221ln a a a ⎛⎫−= ⎪⎝⎭,从而2ln 2ln a a −=−成立．综上,对任意0a >,都有2ln 2ln a a −=−成立．。
导数公切线练习题
导数公切线练习题导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
在数学中，我们经常遇到需要求函数在某一点的切线斜率或者求函数在某一点的切线方程的问题，而这些问题可以通过导数来解决。
在本文中，我们将介绍一些导数公切线的练习题，帮助大家更好地理解和应用导数概念。
1. 练习题一：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-5，求函数f(x)在点x=2处的切线方程。
解答：首先，我们需要求出函数f(x)在点x=2处的导数f'(x)。
对于给定的函数f(x)，我们可以求出导数f'(x)为f'(x)=6x^2-6x+4。
接下来，我们根据导数的定义，可以得到函数f(x)在点x=2处的切线斜率为f'(2)。
带入x=2，我们得到切线斜率为f'(2)=6*2^2-6*2+4=20。
知道切线斜率后，我们可以利用点斜式或者斜截式来求切线方程。
这里，我们使用点斜式。
切线方程的点（x1，y1）为（2，f(2)）。
将该点和切线斜率代入点斜式的公式y-y1=k(x-x1)，我们可以得到切线方程的表达式为y-f(2)=20(x-2)。
所以，函数f(x)在点x=2处的切线方程为y-(-5)=20(x-2)。
2. 练习题二：已知函数g(x)=sin(x)+cos(x)，求函数g(x)在点x=π/4处的切线方程。
解答：同样地，我们首先求出给定函数g(x)的导数g'(x)。
对于函数g(x)，我们可以得到导数g'(x)为g'(x)=cos(x)-sin(x)。
接下来，我们代入x=π/4，求出切线斜率为g'(π/4)。
带入x=π/4，我们得到切线斜率为g'(π/4)=cos(π/4)-sin(π/4)。
根据三角函数的性质，我们可以知道cos(π/4)=sin(π/4)=√2/2。
所以，切线斜率为g'(π/4)=√2/2-√2/2=0。
已知切线斜率为0，我们可以得出切线方程的表达式为y=g(π/4)。
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导数复习专题——切线问题
例一： 求曲线32
31y x x =-+在点(11)-，处的切线方程
变式一：已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．
变式二：已知函数33y x x =-，过点(2,2)A 作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．
例二：已知函数f(x)=x 3+3ax 2-3b ，g(x)=-2x 2+2x+3(a≠0)
(1) 若f(x)的图象与g(x)的图象在x=2处的切线互相平行，求a 的值；
(2)若函数y=f(x)的两个极值点x=x 1,x=x 2恰是方程f(x)=g(x)的两个根，求a 、b 的值；并求此时函数y=f(x)的单调区间．
变式二：设函数()32910y x ax x a =+--<，
若曲线y =f (x )的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求：
（Ⅰ）a 的值; （Ⅱ）函数()f x 的单调区间.
例三：已知函数()3,y x ax b a b R =++∈ （Ⅰ）若()f x 的图像在22x -≤≤部分在x 轴的上方，且在点()(2,2)f 处的切线与直线950x y -+=平行，求b 的取值范围；
（Ⅱ）当123,0,3x x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
，且12x x ≠时，不等式()()1212f x f x x x -<-恒成立，求的取值范围。
变式三： 已知函数f(x)=，在x=1处取得极值为2. （1）求函数f(x)的解析式；
（2）若函数f(x)在区间（m ，2m ＋1）上为增函数，求实数m 的取值范围；
（3）若P （x 0，y 0）为f(x)=图象上的任意一点，直线l 与f(x)=的图象相切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围.
b
x ax +2b x ax +2b
x ax +2
课后练习：
一：选择题
1. 曲线x x y 2212-=在点(1 ，2
3-)处切线的倾斜角为( ) A.1- B.︒45 C. ︒-45 D.︒135
2. 过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（ ）
A.220x y ++=
B. 330x y -+=
C.10x y ++=
D. 10x y -+=
3．已知函数2()()(,)f x x ax b a b R =+∈在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f(x)的单调减区间为（ ）
A. (),0-∞
B.（0，2）
C. ()2,+∞
D. (),-∞+∞
4. 曲线)50)...(2)(1(---=x x x x y 在原点处的切线，方程为 （ ）
A 、x y 1275=
B 、x y 250= C.x y 100= D 、x y !50=
5. 曲线12x y e
=在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.29e 2 B.24e
C.22e
D.2e 6. 设点P
是曲线：3y x b =+ (b 为实常数)上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，
则α的取值范围是（ ）
A. 2,3
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.［0,］∪［,π］ D.［0,)∪［,π) 7. 函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a ＝ ( )
A ． 18
B ．14
C ．12
D ．1
二：填空题
1．正整数n ，(1)n y x x =-在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是
2 .曲线x
x y sin =在点)0,(πM 处的切线方程为 3. 函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是
8+-=x y ，则)5()5(f f '+= . 9
2π65π2π32π2x =y n a 1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
n
4. 点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则P 到直线2-=x y 的距离的最小
值为
三：解答题
1. 求曲线2235(1)()24
x y -++=
的切线，使该切线平行于直线28x y +=
2. 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.
3.已知函数3()f x x x =-．
（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．。