6.6习题课

(4) 设 为某二阶常系数齐线性微分方程的
通解(C1与C2为任意常数), 则该方程为 y′′ − 2y′ + y = 0. 分析 注意到该微分方程有两个相等的特征根r =1, 相应的特征方程为
2.选择题 选择题 (1) 已知 则 A. 是方程的通解
是方程 为任意常数) B
的解,
B. 是方程的解,但不是通解
的微分方程是
即 又由原方程可知f (0)=0, (2) 已知 和 从而得结论. 是微分方程
(p、q均为实常数)的两个解, 则该方程的通解为 y = C cos x +C2 sin x 1 分析 注意到y1与y2线性无关.
1.填空题 填空题 (3) 微分方程 (ax +b)ex 的特解可设为形如
λ =1, m =1 分析 微分方程右端函数形式如右所示. y′′ + py′ + qy = eλ x P (x) 具有形如 方程 m y* = xk Qm(x) eλ x (k = 0, 1 2) 的特解. ,
分离变量,得 即 两边积分得
从而 记 将
便有 代入得所求微分方程的通解为 (C为任意常数).
4.求下列微分方程的通解或特解： ： 解 (3) 先求对应齐次方程的通解.
分离变量,得
两边积分得 即 再用常数变易法求原方程的通解. 令 (1) 于是
代入原方程得
整理得 天然抵消 积分得 把上式代入到(1)式, 得原方程的通解为
第六章
习题课
1.填空题 填空题 (1) 满足条件 (2) 已知 和
的微分方程是 是微分方程
(p、q均为实常数)的两个解, 则该方程的通解为 (3) 微分方程 (4) 设
的特解可设为形如
为某二阶常系数齐次线性微分方程
的通解(C1与C2为任意常数), 则该方程为
1.填空题 填空题 (1) 满足条件 y′ + 2y = 2x, y x=0 = 0. 分析 方程两边求导, 得
人数为x =x(t), 其变化率与已掌握新技术人数和未掌 握新技术人数之积成正比,比例常数k>0,求x(t). 解 由题意可知, x(t)满足下面方程 (1) 分离变量,得
变形,得
两边积分, 化简后得方程(1)的通解为
由条件
得
所以
即
C. 不一定是方程的解 D. 是方程的一个特解 (2) 的一个特解应具有形式 C A. C. B. D.
分析 (1) 注意到y 与y 不线性无关. 故选B. 1 2 (2) 由于1+2i是特征方程的根, 故选C.
3. 已知微分方程 的通解正确吗? 分离变量,得 解对
试问用下述方法求得的该方程
两边积分,得 (1) 故 即 所以 为该方程的通解. 解 不正确. 在求出(1)式两边的积分时, 应带上任意常数 . 即由(1)式得 从而
将y*(x)代入原方程,并化简得 比较等式两边同类项的系数,得 , 解得 从而 所以,原微分方程的通解为
将 即 两边求导,得 ,
代入通解,得

将
代入上式,得
所以,原微分方程满足初始条件的特解为
5.求下列微分方程的通解或特解： ： 解 (2) 对应齐次方程: 特征方程: 特征根: 对应齐次方程的通解: 的一个特解y1*. 先求 由于λ＝1为特征方程的单根, 因此可设特解y1*为 将y1*代入到 解得 即 整理得
y 上式两边对x求导, 得 (1) O 因曲线过(2,3), 故初始条件为 对(1)式分离变量,得 即 将 代入上式,得 A B
M(2,3) P(x,y)
即
x
于是所求曲线方程为
7.一质量为m的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻 起,有一个和时间成正比的力作用在它上面, 此外, 质 点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比.试求质点 的速度与时间的关系. 解 质点运动的速度v是时间t的函数, 设为v =v(t). 依题意, 质点在运动过程中受到力k1t和阻力－k2v 作用, 其中k1>0,k2>0是比例系数. 由牛顿第二定律可得
再求
的一个特解y2*.
由λ＝0知可设特解y2*为 将y2*代入到 解得 即 整理得
从而原微分方程的一个特解为
所以原微分方程的通解为
6.在过坐标原点和点M(2,3)的曲线上任取一点, 作两坐 标轴的平行线, 其中一条平行线与x轴及曲线围成的 面积是另一条平行线与y轴及曲线围成面积的两倍, 求此曲线方程. 解 设所求曲线方程为y=f (x), 依题意作图如图所示. y 在曲线上任取一点P(x,y), 则 M(2,3) 曲边三角形OPB的面积 P(x,y) A 曲边三角形OPA的面积 =矩形OAPB的面积 x －曲边三角形OPB的面积 O B 依题意,可得
4.求下列微分方程的通解或特解： ：
解 (1) 原方程变形,得
这是可分离变量的微分方程, 两边积分得
从而 故所求微分方程的通解为 (C=6C1为任意常数).
4.求下列微分方程的通解或特解： ： 解 (2) 原方程变形,得
这是齐次方程. 令 代入,得
即y=ux, 则
整理, 得
4.求下列微分方程的通解或特解： ：
再将
代入到上式, 得C=2.
所以原方程的满足初始条件的特解为
5.求下列微分方程的通解或特解： ：
解 (1) 对应齐次方程: 特征方程: 特征根: 对应齐次方程的通解: 注意到l=0,n=0,m=max{l,n}=0, 而λ＝0,ω=2, λ±iω=0±2i 不是特征方程的根, 因此可设原方程的特解为
即 依题意, 初始条件为
(1)
方程(1)是一个一阶线性微分方程.
由通解公式得 (其中
将初始条件
代入上式,得
于是质点的速度与时间的关系为
y =e
−∫ P( x)dx
∫ P(x)dx dx + C] [ ∫ Q(x)e
8.(经管类专业适用)已知某商品的需求价格弹性为 且当P=1时,需求量Q=1. (1) 求商品对价格的需求函数; (2) 当P→＋∞时,需求量是否趋于稳定? 解 (1)由题设条件可知
即 分离变量,得
(1)
两边积分, 化简后得方程(1)的通解为
8.(经管类专业适用)已知某商品的需求价格弹性为 且当P=1时,需求量Q=1. (1) 求商品对价格的需求函数; (2) 当P→＋∞时,需求量是否趋于稳定?
由条件
得C =1, 所以
(2) 由于 说明随着价格的无限增大,需求量将趋于零.
9.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术 的人进行的.设该人群的总人数为N, 在t =0时刻已掌 握新技术的人数为 在任意时刻t已掌握新技术