网络优化最短路问题
最短路问题
最短路问题基本内容：（1）问题的提法——寻求网络中两点间的最短路就是寻求连接这两个点的边的总权数最小的通路。
（注意：在有向图中，通路——开的初等链中所有的弧应是首尾相连的。
）（2）应用背景——管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等。
D氏标号法（Dijkstra）（1）求解思路——从始点出发，逐步顺序地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最短的。
（3）选用符号的意义：①P 标号（Permanent固定/永久性标号），从始点到该标号点的最短路权。
1、一辆送货车从配送中心所在地V1 给V6，V7 两地客户实现共同配送。
已知车辆自身成本消耗0.2 元/ 公里。
各站点间的距离（单位：公里）数如下图所示。
在V6，V7两地的线路间有一收费站，每次每台车辆通过均收费15 元。
问题：（1）用标号法求出送货车的最优送货路线（2）此次送货,车辆总的花费是多少解：把收费站的收费折算成路线后，如下图：用用标号法解出各站点距V1的最短路径用标号法解出最短路线：V1－V2－V4－V5－V6－V7按上述路线的走法花费最少，TC=95×0.2＋15=34 元若避开收费站走：V1－V2－V4－V5－V6－V5－V7TC=（85＋20＋45）×0.2＝30 元因此，最优送货路线：V1－V2－V4－V5－V6－V5－V7；此次送货，车辆总的花费是30 元。
2、下图为某地区的交通运输道路示意图。
其中V1为配送中心位置，V8为要货客户位置，现V8客户向配送中心提出了4吨订货要求，并且要越快越好。
配送中心物流计划人员已做出了用一台4吨东风卡车配送的计划安排。
但要以最快的速度将货物送达，就必须确定最短的配送路线，而该计划人员不知如何确定。
（1）请您帮该物流计划人员优化出最佳的送货路线？（2）已知车辆的平均行驶速度为50公里/小时，如早晨8：00发车，货物什么时间可以送达客户？解：用T 标号法求解得最短路线为：V1－Ｖ２－Ｖ３－Ｖ６－Ｖ７－Ｖ８。
第十一章 最短道路和最小树
一个顶点的 T 标号表示从起点v 1到该点的最短路径长度的
上界，这种标号为临时标号；P 标号表示从 v 1 到该点的最 短路长度，这种标号为固定标号。
在最短路径计算过程中，对于已经得到 P标号的顶点，
不再改变其标号；对于凡是没有标上 P标号的顶点，先给 它一个T标号；算法的每一步就是把顶点的T标号逐步修改， 将其变为P标号。
（1）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点 vj ，使得运送总成本最小。这属 于最小费用流问题。 （2）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点 vj ，使得总流量最大。这属于最 大流问题。 （ 3 ）从某个点 vi 出发到达另一个点 vj ， 怎样安排路线使得总距离最短或总费 用最小。这属于最短路问题。
标号法具体计算步骤
开始，先给v1标上P标号P(v1)＝ 0，其余各点标上T标号 T(vj)＝+∞（j≠1）。 ① 如果刚刚得到P标号的点是vi，那么，对于所有这样 的点
v v , v E, 而且v 的标号是 T标号
j i j j
v j0
将其T标号修改为： min[T(vj)，P(vi)+wij]。 vj
[5]
7 9
v11
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1 7
[1]
v4
1
2
4
v6 6
3
1
v9 2
4
9
v7[10] 1
v10
v [2] 2
1 5
[3] v5 3
2 9
v8
[5]
7 9
v11
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1
[1]
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
最短路问题数学模型
最短路问题数学模型
最短路问题是指在带权有向图中，求两个顶点之间的最短路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，如在交通规划、电信网络设计、人工智能等领域。
为了解决这个问题，需要建立一个数学模型。
数学模型是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，从而进行定量分析和求解的方法。
对于最短路问题，可以使用图论和运筹学的方法建立数学模型。
在图论中，最短路问题可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法求解。
这些算法基于图的边权和，采用动态规划的思想，逐步计算每个节点到源节点的最短距离，最终得到整个图中每对节点之间的最短路径。
在运筹学中，最短路问题可以被看作是一种线性规划问题。
可以将每个节点看作是一个决策变量，节点之间的边权看作是线性约束条件，目标函数则是从源节点到目标节点的路径长度。
通过对目标函数进行最小化，可以得到最短路径的解。
总之，最短路问题数学模型可以通过图论和运筹学的方法进行建立和求解。
建立好的数学模型可以为实际问题提供科学解决方案，优化效率和效果。
- 1 -。
最短路径问题的优化算法
最短路径问题的优化算法最短路径问题是图论中的经典问题之一，涉及在给定图中找到两个节点之间的最短路径。
这个问题在实际生活中有广泛的应用，如导航系统中的路线规划、网络通信中数据包的传输等。
为了提高计算效率，许多优化算法被提出和应用于解决最短路径问题。
1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在给定图中，从一个固定的起始节点到其他所有节点的最短路径问题。
经典的解决方法包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法。
迪杰斯特拉算法是一种贪婪算法，通过确定与起始节点距离最短的节点来逐步扩展最短路径树。
具体步骤如下：1) 初始化距离数组，将起始节点距离设为0，其他节点距离设为无穷大。
2) 选择当前距离最短的节点，并标记为已访问。
3) 更新与该节点相邻节点的距离，若经过当前节点到相邻节点的距离更短，则更新距离数组。
4) 重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被访问过。
最后，距离数组中记录的即为从起始节点到其他所有节点的最短路径。
贝尔曼-福特算法是一种动态规划算法，通过不断地松弛边来逐步得到最短路径。
具体步骤如下：1) 初始化距离数组，将起始节点距离设为0，其他节点距离设为无穷大。
2) 依次对所有边进行松弛操作，即更新边的端点节点的距离。
3) 重复步骤2，直到所有边都被松弛完毕。
4) 判断是否存在负环路，若存在则说明无最短路径；若不存在，则距离数组中记录的即为从起始节点到其他所有节点的最短路径。
2. 全局最短路径问题全局最短路径问题是指在给定图中，找到任意两个节点之间的最短路径问题。
弗洛伊德算法是一种经典的解决方法，通过动态规划的思想逐步求解。
弗洛伊德算法的具体步骤如下：1) 初始化距离矩阵，将所有节点之间的距离设为无穷大。
2) 根据已知的边信息更新距离矩阵，即将已知路径的距离设为对应的实际距离。
3) 对于每一对节点，考虑经过中转节点的路径是否更短，若更短则更新距离矩阵。
4) 重复步骤3，直到距离矩阵不再变化。
最后，距离矩阵中记录的即为任意两个节点之间的最短路径。
最短路问题实际案例
最短路问题实际案例最短路问题是指在图中找出两个顶点之间的最短路径的问题，其中图可以是有向图或无向图，并且每条边可以有权重。
这个问题是在许多实际案例中都会遇到的。
以下是几个实际案例，其中涉及到最短路问题：1. 导航系统：导航系统是最常见的利用最短路问题的实例。
当用户输入起点和终点时，导航系统会计算出最短路径，并显示给用户。
这个过程中，导航系统需要考虑路程的时间或距离，同时还需要考虑道路的限速和交通情况等因素。
2. 物流配送：物流配送涉及到从一个地点到另一个地点的最短路径。
物流公司需要计算出从货物的起始点到目标点的最短路径，以最快速度将货物送达目的地。
在这个问题中，可能还会有其他限制条件，如运输工具的载重量、路段的通行能力等。
3. 电信网络：电信网络是一个复杂的网络，其中存在着许多节点和边，每个节点代表一个通信设备，边代表设备之间的通信连接。
在设计电信网络时，需要考虑到从一个节点到另一个节点的最短路径，以最小化通信的时延。
这个问题中，还会有其他因素，如网络拓扑的复杂性、网络流量的负载均衡等。
4. 交通规划：交通规划涉及到城市道路网络的设计和优化。
在设计城市交通规划时，需要考虑到不同节点之间的最短路径，以便在城市中建设高效的道路系统。
这个问题中，需要考虑到人口分布、交通流量、环境因素等复杂变量。
5. 谷歌地图：谷歌地图是一种广泛使用最短路径算法的应用。
当用户在谷歌地图上搜索起点和终点时，谷歌地图会计算出最短路径，并给出导航指引。
这个过程中，谷歌地图需要考虑到道路的限速、交通情况和实时路况等因素。
综上所述，最短路问题在许多实际案例中都有应用。
无论是导航系统、物流配送、电信网络、交通规划还是谷歌地图等，都需要计算出最短路径以满足需求。
因此，研究和解决最短路问题在实际应用中具有重要意义。
最优化-最短路
Dijkstra算法步骤
1)
S:永久标号的顶点集中 s: DIJ算法的起点 mp: 带权图邻接矩阵 mp[u][v]: 顶点u到顶点v的路径权值(无路径时权值为INF) f[v]: 记录v是否在永久标号的顶点集中 l[v]: 记录当前情况下,从s到v的最短路径权值 lastPoint[v]: 记录v的父顶点,用以输出最短路径;
9
2
9
把9加入S
10
v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
L(v)
F‘(v)
0
1
8
1
11
1
16
1
3 5
17
1
16
1
5 6
7
1
8
1
17
1
12
10
INF
0
27
0
2
8
3 6
3
2
4
1
1
8
7
7 8
9
5
7
2
11
9
2
9
把10加入S
10
v
1
2
3
4
5
6
78Βιβλιοθήκη 91011
L(v)
F‘(v)
0
1
8
1
11
1
16
1
3 5
17
1
16
1
5 6
初始化 令 l[s]=0; vv0, l[v]=INF;
v, f[v]=0,lastPoint[v]=-1;
1)
更新l(v), f(v) 寻找f[u]=0即不在S中的,且使l(u)最小的顶点u 把u加入到S,即f[u]=1 对所有不在S中的顶点v,如l[v]>l[u]+mp[u][v],则[v]=l[u]+mp[u][v],lastPoint(v)=u
第三节 最短路问题
作业
195页
习题8
8.4题
( X , X ) { (V1 ,V4 ) ,(V2 ,V4 ) ,(V5 ,V4 ) ,(V5 ,V9 )} 1、 2、K14 K 24 8 K54 5 3 8 K59 1 3 4
3、 (V5 ,V9 ) V9 ( 4 ,
5)
第五轮： V1 (0,0) V2 (2,1) V5 (3,2) V9 (4,5) V7 (7,9) 1、 ( X , X ) { (V1 ,V4 ) ,(V2 ,V4 ) ,(V5 ,V4 ),(V9 ,V6 ),(V9 ,V7 ),(V9 ,V8 )} 2、 K14 K24 K54 8 3、 (V9 ,V7 ) V7 ( 7 ,
V1
(i , i )
V2
5
7
1
V4
6
2 2
V3
1
V5
第三步： 找出第二步中 K ij 最小的那条弧，给它的终 点以标号
(V1 ,V3 ) V3 (2,1)
8
如果有几个 K ij 都取最小值，就同时标号
以后每一轮都重复第二轮的三个步骤， 从而使某个顶点获得标号； 当终点获得标号后，计算结束； 然后逆向追踪获得最短路．
( X , X ) { (V1 ,V4 ) ,(V2 ,V4 ) ,(V5 ,V4 ) ,(V5 ,V9 )} 1、 2、K14 K 24 8 K54 3 5 8 K59 3 1 4
3、 (V5 ,V9 ) V9 ( 4 ,
5)
第三轮： V1 (0,0) V2 (2,1) V5 (3,2)
9)
1)
V4 (8,1) V1 V2 (2,1) V5 (3,2) V9 (4,5) V7 (7,9) V6 (10,9)
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所有s-t有向路中权(或弧长、费用)最小的一条称为s-t最短路.
对于有向网络中的一个圈，定义它的权为圈上所有前向弧上的 权的和, 减去圈上所有反向弧上的权. 权为正的圈称为正圈; 权 为负的圈称为负圈; 权为0的圈称为零圈.
对一个有向圈， 它的权就是圈上所有弧上的权的和. 本章的圈
最短路问题的例子和意义
S
T
✓ 许多实际问题都可以转化为最短路问题
✓ 其有效算法经常在其它网络优化问题中作为子算 法调用
1
最短路问题的例子 - 单产品、无能力限制的批量问题
例5.1 （Single-level Uncapacitated Lotsizing）
某工厂生产某种产品用以满足市场需求,且已知在时段t中的市 场需求为dt . 在某时段t, 如果开工生产, 则生产开工所需的生 产准备费为st , 单件产品的生产费为ct .在某时段t期末, 如果有
j:( j,i)A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0,
i s,t,
(5.2)
xij 0.
(5.3)
思考：为什么xij 可以不限定为{0，1}？
关联矩阵是全么模矩阵，因此0-1变量可以松弛为 区间[0,1]中的实数
不含负圈，变量直接松弛为所有非负实数 7
5.2.1 Bellman方程
min wij xij (i, j )A
1, i s,
6
最短路问题的数学描述
xij表示弧（i，j）是否位于s-t路上：当xij =1时，表示弧（i，j） 位于s-t路上，当xij =0时，表示弧（i，j）不在s-t路上.
min wij xij (i, j )A
(5.1)
1, i s,
s.t.
xij
x ji
1,
i t,
j:(i, j )A
一般都是指有向圈, 我们直接将正有向圈简称为“正圈”， 负
有向圈简称为“负圈”， 零有向圈简称为“零圈”, 而“无圈”
指的是不存在有向圈.
5
最短路问题 – 两点说明
最长路问题可以转化为最短路问题，把弧上的费用反号即可. ➢必须指出：目前为止，一切最短路算法都只对不含负有向圈 的网络有效. 对于含负有向圈的网络，最短路问题是NP困难的. ➢因此，本章中除非特别说明，一律假定网络不包含负有向圈. 无向网络上的最短路问题一般可以转化为有向网络上的问题. ➢如果所有弧上的权全为非负（或非正）数，只需将无向图的 一条边代之以两条对称的有向弧即可. ➢如果弧上的权有负有正，一般来说问题要复杂得多。
Bellman方程(最短路方程、动态规划基本方程 )
us 0,
u j
min i j
{ui
wij }.
一般情况下直接求解最短路方程是相当困难的.
(5.7) (5.8)
9
最短路树（树形图）
定理5.1 对于只含正有向圈的连通有向网络，从起点s到任一顶 点j都存在最短路，它们构成以起点s为根的树形图（称为最短 路树（Tree of Shortest Paths）或最短路树形图（Shortest Path Arborescence）），最短路的长度可以由Bellman方程唯一确定.
s.t.
xij
x ji
1,
i t,
j:(i, j )A
j:( j,i)A
0,
i s,t,
xij 0.
(5.1) (5.2' ) (5.3)
对偶问题为
max(ut us )
(5.4)
s.t. u j ui wij ,(i, j) A.
(5.5)
根据互补松弛条件, 当x和u分别为原问题和对偶问题的最优解
5
w13 w14
w24
3
例5.3 计划评审技术, 即PERT(Project Evaluation & Review Technique), 又称网络计划技术或统筹法)
大型复杂工程项目(Project)往往被分成许多子项目,子项目之 间有一定的先后顺序(偏序)要求, 每一子项目需要一定的时间 完成. PERT网络的每条弧表示一个子项目,如果以弧长表示每 一子项目需要的时间,则最早完工时间对应于网络中的最长路 (关键路线). 工程上所谓的关键路线法(CPM: Critical Path Method)基本上也是计划评审技术的一部分.
5
B6D
(开始) A
4 4
7
5
C 3E
6
F (结束) 1
项目网络不含圈, 其最长路问题和最短路问题都是可解的. 4
最短路问题
s
t
给定有向网络N，弧（i，j）对应的权又称为弧长（或费用）.
对于其中的两个顶点s，t，以s为起点和t为终点的有向路称为 s-t有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和
(包括生产准备费、生产费和库存费), 即 wij si ci xi
其中 I t dt1 di2 d j (i t j 1)
h I j1
ti t t
网络：从所有节点i到j (> i)连一条弧, 弧上的权为wi,j-1 , 如T=4时：
w12
w23
w34
1
w11 2 w22
3 w33 4 w44
产品库存, 单件产品的库存费为ht . 假设初始库存为0, 不考虑 能力限制, 工厂应如何安排生产, 可以保证按时满足生产, 且
使总费用最小? （Wagner – Whitin，1958）
假设在时段t, 产品的生产量为xt , 期末产品的库存为It (I0 =0);
用二进制变量yt表示在时段t工厂是否进行生产准备.
T
T
假设费用均非负，则在最优解中 I0 IT 0 ，即 xt dt
t 1
t 1
可以证明：一定存在满足条件 It1xt 0(1 t T ) 的最优解.
可以只考虑 xt 0, dt , dt dt1, , dt dt1 dT 2
单产品、无能力限制的批量问题
记wij为第i时段生产量为 xi di di1 d j 时所导致的费用
时:
xij (u j ui wij ) 0, (i, j) A.
(5.6) 8
Bellman方程
当某弧(i,j)位于最短路上时， 即变量xij>0时, 一定有 u j ui wij
如果u为对偶问题最优解,易知u+c (c为任意实数)仍为最优解. 不妨令 us=0 ，则u的具体数值就可以唯一确定了. 相当于对节点j赋予的一个实数值uj（通常称为 “标号”），在 us=0时表示的正好是节点s到节点j的最短路的长度.